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METODOS DE INTEGRACIÓN 1
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METODOS DE INTEGRACION
INTEGRACION INMEDIATA
Se considerarán como integrales inmediatas las comprendidas en la siguiente tabla:
)1n si( C1n
)x(fdx)x('f)x(f
1nn
C)x(Lnfdx)x(f
)x('f
Ca Ln
adx)x('fa
)x(f)x(f
Cadx)x('fe )x(f)x(f
Cf(x) cosdxf(x) sen)x('f
Cf(x) sendxf(x) cos)x('f
Cf(x) tagdx)x(fcos
)x('f2
Cf(x) agcotdx)x(fsen
)x('f2
C )x(f arccosCf(x) arcsendx)x(f1
)x('f
2
C f(x) agcotarcCf(x) arctagdx)x(f1
)x('f2
Cf(x) Chdxf(x) Sh)x('f
Cf(x) Shdxf(x) Ch)x('f
C)x(f Thdx)x(f Ch
)x('f2
C)x(f Cthdx)x(f Sh
)x('f2
C )x(f1f(x) LnCf(x) Shargdx)x(f1
)x('f 2
2
C 1)x(ff(x) LnCf(x) Chargdx1)x(f
)x('f 2
2
C f(x)1
f(x)1Ln
2
1Cf(x) arcThdx
)x(f1
)x('f2
INTEGRACION POR PARTES
Aplicaremos este método, en general, cuando la función subintegral sea producto de funciones de distinto
tipo; como puede ser: polinómica por exponencial; trigonométrica por exponencial; etc..
La fórmula a emplear es:
)x(du)x(v)x(v)·x(u)x(dv)·x(udx)x(f
haciendo la elección de u(x) y dv(x) en la integral dada.
En la mayoría de los casos puede considerarse que la elección está bien hecha siempre que )()·( xduxv
sea más sencilla o del mismo tipo que la integral dada.
METODOS DE INTEGRACIÓN 2
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INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES
Antes de empezar con los métodos específicos de resolución de este tipo de integrales, veamos la
forma de pasar de un polinomio de segundo grado a otro que sea cuadrado perfecto más o menos una
constante.
ax2 + bx + c = 0
a2
ac4bbx
2
a2
ac4b
a2
bx
2
a2
ac4b
a2
bx
22
0a2
ac4b
a2
bx
22
Por tanto: a2
ac4b
a2
bxacbxax
222
Método que se utiliza bastante y que convierte en inmediatas un buen número de integrales.
En lo que respecta a las integrales racionales, se consideran como tales aquellas en que aparezca como
función subintegral el cociente de polinomios enteros.
Dos tipos particulares de integrales racionales son:
a)
2
2221
a4
ac4b
a2
bxa
dx
cbxax
dxI
que según sea (b2 – 4ac) positivo o negativo, dará respectivamente como resultado un ArgTh o un arctg.
b) dxcbxax
nmxI
22
El primer paso en la resolución de esta integral, es tratar de obtener en el numerador la derivada del
denominador.
dxcbxax
bbm
an2ax2
a2
mdx
cbxax
nmx
m
a2m
a2
dxcbxax
nmxI
2222
1
2
22I
a2
mbn)cbxax(Ln
a2
m
cbxax
dxb
m
an2
a2
mdx
cbxax
bax2
a2
m
Sea en general dxxQ
xPI
)(
)(, donde P(x) y Q(x) son polinomios enteros de x, tales que
grado de P(x) grado de Q(x). Entonces )(
)()(
)(
)(
xQ
xRxC
xQ
xP siendo C(x) y R(x) los polinomios
"cociente" y "resto" respectivamente de la división de P(x) y Q(x). Verificándose que grado de R(x) <
grado de Q(x). Entonces:
dx)x(Q
)x(Rdx)x(Cdx
)x(Q
)x(R)x(Cdx
)x(Q
)x(P
METODOS DE INTEGRACIÓN 3
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dxxC )( es inmediata debido a ser C(x) un polinomio en x.
dxxQ
xR
)(
)(se obtiene por descomposición en fracciones simples, para lo cual se hallan las raíces de la
ecuación Q(x) = 0 y se expresa Q(x) como producto de sus raíces.
Supongamos que Q(x) = 0, tiene las raíces reales x = p, x = q de grados de multiplicidad r y s,
respectivamente, así como las raíces complejas conjugadas x = a bj y x = c dj de grados de
multiplicidad n y m. Entonces Q(x) se puede poner de la forma:
Q(x) = k·(x – p)r · (x – q)
s · [x – (a bj)]
n · [x – (c dj)]
m
siendo k el coeficiente del término de mayor grado de Q(x).
Las raíces complejas conjugadas se pueden sustituir por un polinomio de segundo grado de la siguiente
forma: [x – (a bj)] = (x – a + bj)(x – a – bj) = (x – a)2 + b
2
El desarrollo en fracciones simples de R(x)/Q(x) es:
n22
11s
1s
2
s
1r
1r
2
r
1
]b)ax[(
DxC
qx
B...
)qx(
B
)qx(
B
px
A...
)px(
A
)px(
A
)x(Q
)x(R
22
mm
1m22
22
m22
11
22
nn
1n22
22
d)cx(
FxE...
]d)cx[(
FxE
]d)cx[(
FxE
b)ax(
DxC...
]b)ax[(
DxC
Siendo Ai, Bi, Ci, Di, Ei y Fi coeficientes a determinar; para lo cual basta multiplicar ambos miembros
de la igualdad por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado. O bien darle a x valores
adecuados.
Una vez obtenido el desarrollo en fracciones simples, se integra éste, dando lugar a una suma de
integrales que son de los siguientes tipos:
a) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 1, elevado a una potencia; las
cuales son inmediatas.
b) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, las cuales son del tipo I1 ó I2,
resueltas anteriormente.
c) Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, elevado a una potencia >
1, las cuales resolveremos por reducción.
Debido a la dificultad que presentan las integrales del tipo c) cuando el exponente es superior a 2, es
aconsejable aplicar el método de Hermite.
METODO DE HERMITE
Consiste en hacer el siguiente desarrollo:
siendo k = grado del denominador del corchete menos la unidad.
Para calcular los coeficientes A, B, C, D, E, F y ai, basta derivar la expresión que está dentro del
corchete, multiplicar ambos miembros por Q(x), e identificar coeficientes de términos del mismo grado.
1m221n221s1r
k1k
1k
0
2222 ]d)cx[(]b)ax[()qx()px(
a...xaxa
dx
d
d)cx(
FEx
b)ax(
DCx
qx
B
px
A
)x(Q
)x(R
METODOS DE INTEGRACIÓN 4
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INTEGRACION DE FUNCIONES IRRACIONALES
Son aquellas en las que la variable x o funciones de la variable x aparecen elevadas a exponentes
fraccionarios.
Dos tipos particulares de integrales irracionales son:
a)
2
2223
a4
ac4b
a2
bx
dx
cbxax
dxI
que según sean los signos de a y (b2 – 4ac) dará un arcsen, ArgSh ó ArgCh.
b) dxcbxax
nmxI
24
El primer paso en la resolución de esta integral es tratar de obtener en el numerador la derivada de la
función subradical.
dxcbxax
bbm
an2ax2
a2
mdx
cbxax
nmxI
224
32
22I
a2
mbncbxax
a
m
cbxax
dxb
m
an2
a2
mdx
cbxax
bax2
a2
m
Casos generales:
Integrales irracionales simples
dx )x,...,x,x(R vutskh siendo R una función racional de xh/k
, xs/t
,..., xu/v
.
Sea m.c.m.(k, t,..., v). Hacemos el cambio x = t , con lo cual se transforma en una función
racional de la variable t.
Integrales irracionales lineales
dxdcx
bax,...,
dcx
bax,
dcx
bax,xR
v
u
t
s
k
h
siendo R una función racional.
Sea = m.c.m.(k, t, ... , v). Hacemos el cambio tdcx
baxtransformándose la función subintegral en
una función racional de t.
METODOS DE INTEGRACIÓN 5
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Integrales irracionales del tipo
Existen tres cambios que la transforman en una integral racional:
a) si a > 0 txacbxax2
b) si a < 0 y c > 0 cxtcbxax2
c) si a < 0 y c < 0 )x(tcbxax2 siendo una cualquiera de las
raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Casos particulares de las integrales irracionales del tipo anterior son:
A) dxcbxax
)x(P
2 donde P(x) es un polinomio de grado n.
Podemos plantear la siguiente igualdad:
cbxax
dx D cbxax )x(Qdx
cbxax
)x(P
2
2
2
siendo Q(x) un polinomio de coeficientes indeterminados de grado n–1; y D otra constante a determinar.
Para calcular estas constantes, derivamos ambos miembros de la igualdad y una vez multiplicados por
ax2 + bx + c , identificamos coeficientes de términos del mismo grado.
B) cbxax )hkx(
dx
2n hacemos el cambio t
hkx
1 resultando una integral del tipo A.
Se multiplica y divide por cbxax 2 , resultando una integral del tipo A.
C) dxcbxax2 Se multiplica y divide por cbxax 2
, resultando una integral del
tipo A.
dx]cbxax,x[R 2
METODOS DE INTEGRACIÓN 6
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Integrales irracionales binómicas
dx)axb(x phk
Estas integrales sabremos resolverlas en los tres casos siguientes:
a) Si p es entero, se desarrolla por Newton el paréntesis.
b) Si h
1kes entero, hacemos el cambio b + ax
h = t
u. Siendo u el denominador de p.
c) Si ph
1k es entero, se multiplica x
k por x
hp y se divide (b + ax
h )
p por x
hp,
resultando una integral del caso b).
Cambios trigonométricos para integrales irracionales
22) xaa , se hace el cambio x = a sen t
22) xab , se hace el cambio x = a tag t
22) axc , se hace el cambio x = a sec t
METODOS DE INTEGRACIÓN 7
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INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
dxxsenxR ] ,[cos siendo R una función racional.
Se hace el cambio general: t2
xtag x = 2 arctg t
2t1
dt 2dx
222 t1
t2
2
xsen
2
xcos
2
xcos
2
xsen 2
x sen 2
2
22
22
t1
t1
2
xsen
2
xcos
2
xsen
2
xcos
x cos
transformándose la función subintegral en una función racional en t.
Casos particulares:
a) Función subintegral impar en sen x. Esto es, si R(– sen x, cos x) = – R(sen x, cos x).
Se hace el cambio cos x = t.
b) Función subintegral impar en cos x. Esto es, si R(sen x, – cos x) = – R(sen x, cos x)
Se hace el cambio sen x = t.
c) Función subintegral par en cos x y sen x. Esto es, si R(– sen x, – cos x) = R(sen x, cos x)
Se hace el cambio tg x = t, siendo
2t1
dtdx
2t1
tx sen
2t1
1xcos
INTEGRACION DE FUNCIONES HIPERBOLICAS
dx]xSh,xCh[R siendo R una función racional.
Se hace el cambio general: t2
xTh x = 2 argTh t
2t1
dt 2dx
222 t1
t2
2
xSh
2
xCh
2
xCh
2
xSh 2
x Sh 2
2
22
22
t1
t1
2
xSh
2
xCh
2
xSh
2
xCh
x Ch
transformándose la función subintegral en una función racional en t.
Casos particulares:
a) Función subintegral impar en Sh x. Esto es, si R(– Sh x, Ch x) = – R(Sn x, Ch x). Se hace el
cambio Ch x = t.
b) Función subintegral impar en Ch x. Esto es, si R(Sh x, – Ch x) = – R(Sh x, Ch x). Se hace el
cambio Sh x = t.
c) Función subintegral par en Ch x y Sh x. Esto es, si R(– Sh x, – Ch x) = R(Sh x, Ch x). Se hace
el cambio Th x = t, siendo
2t1
dtdx
2t1
tx Sh
2t1
1x Ch
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METODOS DE INTEGRACIÓN 9
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CAPITULO II
INTEGRALES IMPROPIAS DE 1ª, 2ª Y 3ª ESPECIE
La regla de Barrow para calcular una integral definida
b
a
dx )x(f , cuando se conoce una
primitiva F(x) de la función subintegral es: )a(F)b(F)x(Fdx )x(fb
a
b
a
Para poder aplicar esta regla es necesario que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo [a,b], y
además dicho intervalo ha de ser de amplitud finita. Si no se cumple alguna, o ambas de las hipótesis
anteriores, diremos que la integral es impropia.
Resumimos los posibles casos en el cuadro siguiente:
A. Impropia de 1ª especie { Si f(x) tiene uno o más puntos de discontinuidad en el
intervalo [a,b
1) Si a = – b
a
dx )x(f B. Impropia de 2ª especie: 2) Si b = +
3) Si a = – y b = +
C. Impropia de 3ª especie { Si existen las dos impropiedades simultáneamente
Cálculo de integrales impropias de 1ª especie:
a) Discontinuidad en el límite superior: f(x) solamente es discontinua en x = b. Se define
b
a0
b
a
dx )x(flimdx )x(f
b) Discontinuidad en el límite inferior: f(x) solamente es discontinua en x = a. Se define
b
a0
b
a
dx )x(flimdx )x(f
c) Discontinuidad en un punto interior del intervalo:f(x) solamente es discontinua en x = c, siendo a < c <
b. Se define
c
a
b
c00
b
a
dx )x(flimdx )x(flimdx )x(f
Si en el intervalo de integración hubiese más de un punto de discontinuidad, es necesario descomponer
dicha integral como suma de varias, extendidas a intervalos arbitrarios con la única condición de que en
cada uno de ellos aparezca solamente una discontinuidad. Posteriormente se aplican las definiciones
anteriores.
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Cálculo de integrales impropias de 2ª especie:
a) Supuesta f(x) continua en el intervalo [a,+ ), se define
t
at
a
dx )x(flimdx )x(f
b) Supuesta f(x) continua en el intervalo (– ,b], se define
b
tt
b
dx )x(flimdx )x(f
c) Supuesta f(x) continua en el intervalo (– ,+ ), se define
d
t
t
dtt
dx )x(flimdx )x(flimdx )x(f
siendo d un punto arbitrario perteneciente a dicho intervalo.
Cálculo de integrales impropias de 3ª especie:
Sea
a
dx )x(f , y además f(x) discontinua solamente en x = c, siendo a < c < d < + .
Entonces se define
c
a
t
dt
d
c00
a
dx )x(flimdx )x(flimdx )x(flimdx )x(f
En los tres casos estudiados, si los límites existen y son finitos, diremos que las integrales son
convergentes, y su valor ser el de dichos límites; sin embargo, si dichos límites son infinitos o no
existen, diremos que las integrales son divergentes.
Utilizando las definiciones anteriores para el cálculo de integrales impropias, vemos que es
imprescindible el cálculo de la primitiva de la función subintegral; sin embargo, en muchos problemas
basta con saber la naturaleza de una integral, sin necesidad, en el caso de ser convergente, de conocer su
valor. Por eso vamos a ver ahora un criterio que nos permitir estudiar únicamente la naturaleza de una
integral impropia.
METODOS DE INTEGRACIÓN 11
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CRITERIO DEL COCIENTE PARA ESTUDIAR LA NATURALEZA DE UNA INTEGRAL
IMPROPIA
Veamos primero el caso de una integral impropia de 2ª especie:
Sea
a
dx )x(f . Elegimos una integral patrón
a
dx )x(g de naturaleza conocida.
Verificándose que f(x) 0 y g(x) 0, para todo x perteneciente a intervalo de integración.
Hallamos )x(g
)x(flimL
x ; si existe este límite y es distinto de 0 e , ambas integrales tienen la
misma naturaleza.
Casos particulares:
1º) Supongamos que L = 0
Si
a
dx )x(g es convergente
a
dx )x(f es convergente
Si
a
dx )x(g es divergente no se sabe nada de
a
dx )x(f
2º) Supongamos que L =
Si
a
dx )x(g es divergente
a
dx )x(f es divergente
Si
a
dx )x(g es convergente no se sabe nada de
a
dx )x(f
Para el caso de integrales impropias de 1ª especie, el criterio es análogo con la única diferencia que para
calcular L hay que hallar el límite cuando x tiende al punto donde f(x) deja de ser continua.
Para poder aplicar este criterio es imprescindible conocer a priori la naturaleza de la integral que
tomamos como patrón.
METODOS DE INTEGRACIÓN 12
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Veamos pues algunas integrales impropias de interés:
t > 0 > CONVERGENTE
*
a
tx dx e
T 0 > DIVERGENTE
(– < a < + ) Patrones de 2ª especie
p > 1 > CONVERGENTE
*
a
pdx
x
1
p 1 > DIVERGENTE
(a > 0)
p < 1 CONVERGENTE
*
b
a
pdx
x)(a
1
p 1 DIVERGENTE
(discontinuidad en x = a) Patrones de 1ª especie
p < 1 CONVERGENTE
*
b
a
pdx
x)(b
1
p 1 DIVERGENTE
(discontinuidad en x = b)
Para llegar a los resultados del cuadro anterior, basta con calcular las integrales, aplicando las
definiciones dadas; es decir, para estudiar, por ejemplo, la primera integral, calcularíamos:
t
e
t
eLim
t
eLim dxeLim
atut
u
u
a
tx
u
u
a
tx
u
Este límite es si t < 0 DIVERGENTE.
Este límite es finito si t > 0 CONVERGENTE.
Si t = 0, la integral resulta: )au(Lim dxLim dxu
u
au
a
DIVERGENTE
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C A P I T U L O I I I
INTEGRALES PARAMETRICAS. INTEGRALES EULERIANAS
FUNCION (p). (INTEGRAL EULERIANA DE 2ª ESPECIE)
Se define la función (p) como:
0
x1p dx e x)p(
que es una integral impropia, convergente para todo p > 0. El campo de definición de la función (p), se
puede ampliar para p < 0 (no enteros) mediante la fórmula de Gauss:
)np)...(1p(p
!nLim)p(n
que coincide con
0
x1p dx e x para todo p > 0.
Algunas fórmulas de interés para el cálculo de (p) son:
A) Fórmula de los complementos: p sen
)1p()p( , válida para todo p real. Una consecuencia
de esta fórmula es: π2
1Γ , basta para ello hacer p = 1/2.
B) Fórmula recurrente: (p) = (p – 1) (p – 1), válida para todo p real. Si p es entero positivo,
aplicando esta fórmula de forma reiterada, llegamos a que (p) = (p – 1)!.
Si p no es entero positivo, p = n + r, donde 0 < r < 1 y n es un número natural, obtenemos:
(p) = (p – 1)(p – 2) ... (1 + r) (1+r) siendo 1 < 1 + r < 2
Tabla de valores de (p) para 1 < p < 2
p 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0 1 0.9514 0.9182 0.8975 0.8873 0.8862 0.8937 0.9086 0.9314 0.9618
1 0.9943 0.9474 0.9156 0.8960 0.8868 0.8866 0.8947 0.9106 0.9341 0.9652
2 0.9888 0.9436 0.9131 0.8946 0.8864 0.8870 0.8959 0.9126 0.9368 0.9688
3 0.9835 0.9399 0.9108 0.8934 0.8860 0.8876 0.8972 0.9147 0.9397 0.9724
4 0.9784 0.9364 0.9085 0.8922 0.8858 0.8882 0.8986 0.9168 0.9426 0.9761
5 0.9735 0.9330 0.9064 0.8912 0.8857 0.8889 0.9001 0.9191 0.9456 0.9799
6 0.9687 0.9298 0.9044 0.8902 0.8856 0.8896 0.9017 0.9214 0.9487 0.9837
7 0.9642 0.9267 0.9025 0.8893 0.8856 0.8905 0.9033 0.9238 0.9518 0.9977
8 0.9597 0.9237 0.9007 0.8885 0.8857 0.8914 0.9050 0.9262 0.9551 0.9917
9 0.9555 0.9209 0.8990 0.8879 0.8859 0.8921 0.9068 0.9288 0.9584 0.9958
Para buscar, por ejemplo, (1.42), basta elegir en la columna horizontal el número 1.4 y en la
columna vertical el número 2, obteniéndose: (1.42) = 0.8864.
METODOS DE INTEGRACIÓN 14
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FUNCION (p, q). (INTEGRAL EULERIANA DE 1ª ESPECIE)
Se define la función (p,q) como:
1
0
1q1p dx x)(1 x)q,p( (1)
Que es una integral impropia, convergente para todo p > 0 y q > 0.
Algunas fórmulas de interés para el cálculo de (p,q), son:
A) Simetría: (p, q) = (q, p).
B) (1, q) = 1/q.
C) Fórmula recurrente: )1q,1p(p
1q)q,p(
D) )qp(
)q()p()q,p(
Otras formas en que se puede presentar (p,q), son:
I.
2/
0
1q212p dx t)(cos (sen t)2)q,p(
Para llegar a esta expresión, basta hacer el cambio x = sen2 t en la igualdad (1).
II.
0
qp
1-p
dx )t1(
t)q,p(
Para llegar a esta expresión, basta hacer el cambio t1
tx en la igualdad (1).
METODOS DE INTEGRACIÓN 15
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DERIVACION DE INTEGRAL PARAMETRICA
Sea f(x, ) una función de las variables independientes x y . Se denomina integral paramétrica, respecto
al parámetro , a la integral b
a
dx),x(f)(F
Si f(x, ) admite derivada ),x(f ', verificándose además que tanto f(x, ) como ),x(f '
son
continuas en el dominio a x b; c d, la función
b
a
dx),x(f)(F es derivable en el intervalo
c d, y su derivada vale:
b
a
dxd
),x(df
d
)(dF
Un caso más general que el anterior es cuando los límites de integración son también funciones de , es
decir:
)(b
)(a
dx),x(f)(F
Entonces la derivada vale: d
da]),(a[f
d
db]),(b[fdx
d
),x(df
d
)(dF)(b
)(a
En este caso se exige, además de las hipótesis anteriores, que existan las derivadas a'( ) y b'( ).
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