ottimizzazione topologica di reti di tipo internet protocol con il metodo del local branching...
Post on 01-May-2015
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ottimizzazione topologica di reti di tipo Internet Protocol con il metodo del Local Branching
Politecnico di Torino
Tesi di Laurea
Relatore:
prof. Roberto Tadei
Candidato:
Flavio Cimolin
Dicembre 2003
Un problema di Network Design
Le componenti del problema sono:• Un insieme di nodi• Una serie di archi fra i nodi• Delle richieste che devono essere instradate sulla rete
Su ogni arco possono essere installati dei link (cavi in fibra ottica), con un certo costo unitario ed una determinata capacità. Ogni arco presenta poi dei pesi di instradamento in entrambe le direzioni di percorrenza
Si deve garantire il corretto instradamento di tutti i flussi secondo un protocollo di tipo Internet Protocol OSPF-ECM
Problema:Determinare la topologia di costo minimo e l’allocazione della banda in modo da soddisfare tutte le richieste
Modello in PLMI
InsiemiInsiemi
Funzione
Obiettivo
Funzione
Obiettivo IstanzaIstanza
VincoliVincoli
VariabiliVariabili
SolverSolver
Xpress IVE ed il linguaggio Mosel
• Xpress IVE è un software di ottimizzazione della Dash Optimization che si basa sul linguaggio Mosel
• Mosel è un linguaggio di programmazione particolarmente indicato per scrivere modelli di Programmazione Lineare
Variabili e vincoli
Listato del programma
Albero di ricerca,Statistiche,
Grafici di progresso
Output
Branch and Bound
• E’ lo strumento base per risolvere problemi di PLMI• E’ un metodo di tipo enumerativo con uno schema ad
albero• Ad ogni passo sceglie una variabile frazionaria e genera
due sottoproblemi imponendone l’interezza• Sfrutta dei rilassamenti del problema• Consente di eliminare interi sottoinsiemi di soluzioni in
base a 3 criteri di fathoming:
1. Inammissibilità della soluzione
2. Soluzione intera determinata
3. Assenza di soluzione migliorante
Euristiche basate su ricerca locale
Si può descrivere l’algoritmo in quattro passi fondamentali:
1. Si parte da una soluzione iniziale di riferimento x1
2. Si definisce un vicinato V, cioè un insieme di soluzioni “vicine” a x1
3. Si cerca all’interno del vicinato una soluzione x2 migliore della precedente
4. Si reitera il procedimento creando un nuovo vicinato di x2 e cercando lì una soluzione ancora migliore
Permettono di determinare in breve tempo soluzioni molto buone, ma senza poterne garantire l’ottimalità
Meta-Euristiche
A volte conviene accettare una soluzione peggiorante per poter uscire da minimi locali e sondare più soluzioni ammissibili
Le euristiche classiche hanno il rischio di subire intrappolamenti in minimi locali, per risolvere l’inconveniente nascono le Meta-Euristiche
Metodi di Tabu Search, Simulated Annealing, Algoritmi Genetici
Diversificazioni
IL LOCAL BRANCHING
Il Local Branching
• Presentato per la prima volta da M. Fischetti eA. Lodi nel Maggio 2002
• E’ in linea di principio un metodo esatto, ma può essere utilizzato in modo proficuo come una meta-euristica
• Si basa sulla costruzione di vicinati in cui un certo numero di variabili vengono fissate, ma non si sa a priori quali
Soft Variable Fixing:
E’ il Solver stesso a decidere quali variabili fissare e quali lasciare libere, facendo la scelta ottima
• Il Local Branching si applica bene a problemi che hanno un elevato numero di variabili binarie (0/1)
• Necessita di una soluzione iniziale di riferimento
• A partire da essa, crea un vicinato che contenga le soluzioni in cui cambino valore al massimo k variabili binarie
Variabili Binarie
Sia B l’insieme di tutti gli indici delle variabili binarie, e sia S il supporto binario di , ovvero l’insieme degli indici delle variabili binarie che hanno valore 1:
Tagli di Local Branching
Si definisce allora Taglio di Local Branching di ampiezza k il vincolo aggiuntivo:
Scelto k sufficientemente piccolo, l’intorno che ne risulta può essere esplorato interamente al fine di trovare una soluzione migliore x2, e così via…
Schema ad alberoNe deriva uno schema ad albero molto simile al Branch and Bound classico
Si parte dalla soluzione
iniziale
Si impone un taglio
di Local Branching
ed il suo opposto
Si esplora interamente il
vicinato che ne deriva, con
un “Tactical Branching”
Viene trovata una soluzione migliore
Si reitera il procedimento con la nuova
soluzione determinata
Tagli di Local Branching
Il procedimento continua fino a quando
nel nodo di sinistra non viene determinata
nessuna soluzione migliore
Allora resta solo più la possibilità di
effettuare una ricerca esaustiva su
tutte le restanti soluzioni
Inserimento di un tempo limite• Quando si ha a che fare con problemi complessi (è il nostro caso), anche la
ricerca sul ramo di sinistra può risultare troppo dispendiosa da poter essere portata a termine
• Si inserisce allora un tempo limite nella ricerca, oltre il quale fermarsi (nel caso sia già stata determinata una soluzione intera migliore della precedente)
Tempo limite raggiunto
Determinata una
nuova soluzione
Si apre un nuovo ramo aggiungendo
un taglio di Local Branching relativo
alla nuova soluzione determinata
Non si può in questo
caso invertire questo taglio,
perché il suo intorno non è
stato esplorato interamente
Metodo del Local Branching
• Oltre al tempo limite si possono anche introdurre delle diversificazioni
• Si abbandona così la struttura di metodo esatto• Non si arriverà mai all’esplorazione dell’ultimo
nodo di destra• Il comportamento rispecchia così quello di una
meta-euristica, e può determinare in tempi brevi soluzioni sempre migliori, ma senza garantirne l’ottimalità
Applicazione al problema in esame
Sono le variabili y{i,j} , una per ogni arco presente nella rete, ed indicano se esso deve essere aperto oppure no
Variabili di Local BranchingIl problema in esame presenta effettivamente un cospicuo numero di variabili binarie, fissate le quali il problema diventa “semplice”
TAGLIO DI LOCAL BRANCHING
dove
Sono stati studiati i vicinati per k = 1 (piccolo), 3 (medio), 5 (grande)
Soluzione Iniziale
E’ necessaria per far partire il metodo
Sono state testate due tipi diversi di soluzioni iniziali
MAGLIA COMPLETAALBERO RICOPRENTE
di costo minimo
Tutti gli archi
vengono posti apertiIl minor numero possibile
di archi viene aperto
Istanze analizzate
• Per reti con 3, 4 e 5 nodi il Solver risolve il problema in frazioni di secondo
• Per una rete con 6 nodi e richieste fra tutte le possibili coppie di nodi il Solver non trova soluzioni in 24 ore
Occorre analizzare istanze intermedie
Nodi di destinazione
• La complessità dell’istanza dipende dal numero di nodi di destinazione (insieme DK)
• Sono allora state studiate numerose istanze da 6 e da 7 nodi, nelle quali non tutti i nodi erano destinazione di qualche richiesta
• Per ognuna di esse si sono fatti variare i parametri caratteristici (k, tempo limite, tipo di istanza iniziale)
• Per questi casi si è confrontato il comportamento del metodo del Local Branching con quello del metodo esatto (Branch and Bound)
Risultati ottenuti
Se i parametri di tempo limite, dimensione del vicinato e soluzione iniziale vengono settati con accuratezza, il Local Branching funziona meglio del Branch and Bound
• La soluzione iniziale “albero ricoprente di costo minimo” funziona meglio di quella “maglia completa”
• Il valore di k migliore è 3 (vicinato di medie dimensioni)
• Il valore di tempo limite più opportuno è di scegliere sempre la prima soluzione determinata (strategia first improvement)
Il metodo risulta però sempre troppo lento per istanze grandi dato che l’algoritmo non riesce
ad interagire bene con il Solver.
Esempio di confronto
Istanza da 6 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement,
soluzione iniziale albero ricoprente di costo minimo
Effetto “bandiera italiana”
Istanza da 7 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement,
soluzione iniziale maglia completa
Sviluppi futuri
Il metodo è molto buono in linea teorica, ma nellapratica non riesce ad essere efficiente per istanze grandi:
la causa è la scarsa interazione fra algoritmo e Solver
Si dovrebbe far capire al Solver che le variabili primarie sono le y{i,j}
Per istanze di grandi dimensioni si potrebbe ancora:
• studiare altre soluzioni iniziali (ad esempio ottenerne una con una euristica costruttiva)
• valutare vicinati di dimensioni basse: k = 1, 2, 3
• implementare diversificazioni
FINE
top related