Ottimizzazione topologica di reti di tipo Internet Protocol con il metodo del Local Branching

Politecnico di Torino

Tesi di Laurea

Relatore:

prof. Roberto Tadei

Candidato:

Flavio Cimolin

Dicembre 2003

Un problema di Network Design

Le componenti del problema sono:• Un insieme di nodi• Una serie di archi fra i nodi• Delle richieste che devono essere instradate sulla rete

Su ogni arco possono essere installati dei link (cavi in fibra ottica), con un certo costo unitario ed una determinata capacità. Ogni arco presenta poi dei pesi di instradamento in entrambe le direzioni di percorrenza

Si deve garantire il corretto instradamento di tutti i flussi secondo un protocollo di tipo Internet Protocol OSPF-ECM

Problema:Determinare la topologia di costo minimo e l’allocazione della banda in modo da soddisfare tutte le richieste

Modello in PLMI

InsiemiInsiemi

Funzione

Obiettivo

Funzione

Obiettivo IstanzaIstanza

VincoliVincoli

VariabiliVariabili

SolverSolver

Xpress IVE ed il linguaggio Mosel

• Xpress IVE è un software di ottimizzazione della Dash Optimization che si basa sul linguaggio Mosel

• Mosel è un linguaggio di programmazione particolarmente indicato per scrivere modelli di Programmazione Lineare

Variabili e vincoli

Listato del programma

Albero di ricerca,Statistiche,

Grafici di progresso

Output

Branch and Bound

• E’ lo strumento base per risolvere problemi di PLMI• E’ un metodo di tipo enumerativo con uno schema ad

albero• Ad ogni passo sceglie una variabile frazionaria e genera

due sottoproblemi imponendone l’interezza• Sfrutta dei rilassamenti del problema• Consente di eliminare interi sottoinsiemi di soluzioni in

base a 3 criteri di fathoming:

1. Inammissibilità della soluzione

2. Soluzione intera determinata

3. Assenza di soluzione migliorante

Euristiche basate su ricerca locale

Si può descrivere l’algoritmo in quattro passi fondamentali:

1. Si parte da una soluzione iniziale di riferimento x1

2. Si definisce un vicinato V, cioè un insieme di soluzioni “vicine” a x1

3. Si cerca all’interno del vicinato una soluzione x2 migliore della precedente

4. Si reitera il procedimento creando un nuovo vicinato di x2 e cercando lì una soluzione ancora migliore

Permettono di determinare in breve tempo soluzioni molto buone, ma senza poterne garantire l’ottimalità

Meta-Euristiche

A volte conviene accettare una soluzione peggiorante per poter uscire da minimi locali e sondare più soluzioni ammissibili

Le euristiche classiche hanno il rischio di subire intrappolamenti in minimi locali, per risolvere l’inconveniente nascono le Meta-Euristiche

Metodi di Tabu Search, Simulated Annealing, Algoritmi Genetici

Diversificazioni

IL LOCAL BRANCHING

Il Local Branching

• Presentato per la prima volta da M. Fischetti eA. Lodi nel Maggio 2002

• E’ in linea di principio un metodo esatto, ma può essere utilizzato in modo proficuo come una meta-euristica

• Si basa sulla costruzione di vicinati in cui un certo numero di variabili vengono fissate, ma non si sa a priori quali

Soft Variable Fixing:

E’ il Solver stesso a decidere quali variabili fissare e quali lasciare libere, facendo la scelta ottima

• Il Local Branching si applica bene a problemi che hanno un elevato numero di variabili binarie (0/1)

• Necessita di una soluzione iniziale di riferimento

• A partire da essa, crea un vicinato che contenga le soluzioni in cui cambino valore al massimo k variabili binarie

Variabili Binarie

Sia B l’insieme di tutti gli indici delle variabili binarie, e sia S il supporto binario di , ovvero l’insieme degli indici delle variabili binarie che hanno valore 1:

Tagli di Local Branching

Si definisce allora Taglio di Local Branching di ampiezza k il vincolo aggiuntivo:

Scelto k sufficientemente piccolo, l’intorno che ne risulta può essere esplorato interamente al fine di trovare una soluzione migliore x2, e così via…

Schema ad alberoNe deriva uno schema ad albero molto simile al Branch and Bound classico

Si parte dalla soluzione

iniziale

Si impone un taglio

di Local Branching

ed il suo opposto

Si esplora interamente il

vicinato che ne deriva, con

un “Tactical Branching”

Viene trovata una soluzione migliore

Si reitera il procedimento con la nuova

soluzione determinata

Tagli di Local Branching

Il procedimento continua fino a quando

nel nodo di sinistra non viene determinata

nessuna soluzione migliore

Allora resta solo più la possibilità di

effettuare una ricerca esaustiva su

tutte le restanti soluzioni

Inserimento di un tempo limite• Quando si ha a che fare con problemi complessi (è il nostro caso), anche la

ricerca sul ramo di sinistra può risultare troppo dispendiosa da poter essere portata a termine

• Si inserisce allora un tempo limite nella ricerca, oltre il quale fermarsi (nel caso sia già stata determinata una soluzione intera migliore della precedente)

Tempo limite raggiunto

Determinata una

nuova soluzione

Si apre un nuovo ramo aggiungendo

un taglio di Local Branching relativo

alla nuova soluzione determinata

Non si può in questo

caso invertire questo taglio,

perché il suo intorno non è

stato esplorato interamente

Metodo del Local Branching

• Oltre al tempo limite si possono anche introdurre delle diversificazioni

• Si abbandona così la struttura di metodo esatto• Non si arriverà mai all’esplorazione dell’ultimo

nodo di destra• Il comportamento rispecchia così quello di una

meta-euristica, e può determinare in tempi brevi soluzioni sempre migliori, ma senza garantirne l’ottimalità

Applicazione al problema in esame

Sono le variabili y{i,j} , una per ogni arco presente nella rete, ed indicano se esso deve essere aperto oppure no

Variabili di Local BranchingIl problema in esame presenta effettivamente un cospicuo numero di variabili binarie, fissate le quali il problema diventa “semplice”

TAGLIO DI LOCAL BRANCHING

dove

Sono stati studiati i vicinati per k = 1 (piccolo), 3 (medio), 5 (grande)

Soluzione Iniziale

E’ necessaria per far partire il metodo

Sono state testate due tipi diversi di soluzioni iniziali

MAGLIA COMPLETAALBERO RICOPRENTE

di costo minimo

Tutti gli archi

vengono posti apertiIl minor numero possibile

di archi viene aperto

Istanze analizzate

• Per reti con 3, 4 e 5 nodi il Solver risolve il problema in frazioni di secondo

• Per una rete con 6 nodi e richieste fra tutte le possibili coppie di nodi il Solver non trova soluzioni in 24 ore

Occorre analizzare istanze intermedie

Nodi di destinazione

• La complessità dell’istanza dipende dal numero di nodi di destinazione (insieme DK)

• Sono allora state studiate numerose istanze da 6 e da 7 nodi, nelle quali non tutti i nodi erano destinazione di qualche richiesta

• Per ognuna di esse si sono fatti variare i parametri caratteristici (k, tempo limite, tipo di istanza iniziale)

• Per questi casi si è confrontato il comportamento del metodo del Local Branching con quello del metodo esatto (Branch and Bound)

Risultati ottenuti

Se i parametri di tempo limite, dimensione del vicinato e soluzione iniziale vengono settati con accuratezza, il Local Branching funziona meglio del Branch and Bound

• La soluzione iniziale “albero ricoprente di costo minimo” funziona meglio di quella “maglia completa”

• Il valore di k migliore è 3 (vicinato di medie dimensioni)

• Il valore di tempo limite più opportuno è di scegliere sempre la prima soluzione determinata (strategia first improvement)

Il metodo risulta però sempre troppo lento per istanze grandi dato che l’algoritmo non riesce

ad interagire bene con il Solver.

Esempio di confronto

Istanza da 6 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement,

soluzione iniziale albero ricoprente di costo minimo

Effetto “bandiera italiana”

Istanza da 7 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement,

soluzione iniziale maglia completa

Sviluppi futuri

Il metodo è molto buono in linea teorica, ma nellapratica non riesce ad essere efficiente per istanze grandi:

la causa è la scarsa interazione fra algoritmo e Solver

Si dovrebbe far capire al Solver che le variabili primarie sono le y{i,j}

Per istanze di grandi dimensioni si potrebbe ancora:

• studiare altre soluzioni iniziali (ad esempio ottenerne una con una euristica costruttiva)

• valutare vicinati di dimensioni basse: k = 1, 2, 3

• implementare diversificazioni

FINE