not1
Post on 18-Apr-2015
168 Views
Preview:
TRANSCRIPT
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-1
ELN 3402
Haberleşme
Tuncay ERTAŞ
Ders Notları-1
ELN3402 HaberleşmeKullanılan Ders Kitabı:Communication Systems, 3./4. Baskı, Simon HaykinHaberleşme Sistemlerinin Temelleri, J. G. Proakis ve M. Salehi, Prentice-Hall
Dersin Yardımcısı:Arif Başgümüş Oda: 509 Tel: 41914 e-mail: basgumus@uludag.edu.tr
Dersin AmacıSinyal ve sistemleri zaman ve frekans ortamında analiz etmekAnalog haberleşme sistemlerini kavramak ve gürültü performansını irdelemekSayısal haberleşmenin kavram ve tekniklerini anlamak ve bunları sayısal haberleşme sistemlerinin analiz ve dizaynına uygulamak.
Dersin HedefiDersin tamamlanması ile genel olarak aşağıdaki becerileri kazanacaksınız:· Sinyallerin ayrık ve sürekli spektrumlarını çizebilmekSinyallerin ayrık ve sürekli spektrumlarını çizebilmek· Fourier Transformunun özelliklerini anlamak ve kullanabilmek· Gauss rastsal sürecini anlamak· Beyaz gürültüye süzgeçlemenin etkisini anlamak· AM, DSB-SC, SSB, VSB, FM, PM modülasyonlarının zaman ve frekans ifadelerini verebilmek· Genlik ve Frekans modülasyon-demodülasyon öbek gösterimlerini çizebilmek ve
bant genişliklerini hesaplamak· AM, DSB-SC, SSB, FM sistemlerinin sinyal-gürültü analizini yapabilmek
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-2
ELN3402 Haberleşme• Nicemlemeyi ve etkilerini anlamak.• Hat kodlama tekniklerini aralarındaki farklar ile anlamak ve güç spektrumlarını hesaplamak.• Sıfır girişim ölçütünü ve darbe şekillendirmeyi anlamak.• Uygun süzgeç ile ilintisel alıcı kavramını anlamak ve bunları farklı modülasyon teknikleri ile
kullanarak bit hata olasılığını hesaplamak.• BPSK, QPSK ve BFSK sinyalleri için bant genişliği ve bit hata olasılığı takaslarını kavramak.• Sayısal haberleşme sistemlerinin tasarımındaki temel takasları tanımlayabilmek.• Haberleşme Sistemleri ile ilgili problemleri MATLAB kullanarak çözebilmek.
ELN3402 HaberleşmeDers Programı
HAFTA YER ZAMAN KONU İÇERİK Ödevler
D103Salı Çarş
08:45 17:00 Sinyaller veSinyallerin sınıfları, Fourier serisi, Fourier transformu ve özellikleri, Hilbert transformu ve özellikleri özilinti çapraz ilinti güç spektral yoğunluğu enerji1 D103
D30208:45 17:0012:30 20:15
Sinyaller ve Sistemler
transformu ve özellikleri, özilinti, çapraz ilinti, güç spektral yoğunluğu, enerji spektral yoğunluğu, zamanla değişmeyen doğrusal sistemlerden iletim, bant geçiren sinyal ve sistemlerin temsili.
2-3 D103 D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
Genlik Modülasyonları
DSB-LC (AM) genlik modülasyonu, AM sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, zarf takipçi. DSB-SC sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, SSB sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, VSB sinyallerinin üretimi ve demodülasyonu, frekans bölmeli çoğullama, dik taşıyıcılı çoğullama, FM stereo çoğullama, super-heterodyne alıcılar.
4-5 D103 D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
Frekans Modülasyonu
Frekans ve Faz modülasyonu, darbant FM, genişbant FM, tek ve çok tonlu FM sinyallerinin spektrumu, FM sinyallerinin transmisyon bantgenişliği(Carson kuralı). FM sinyallerinin üretimi, FM sinyallerinin frekans ayırıcı ve PLL ile demodülasyonu.
Ödev1
Salı Çarş Rastsal süreçler d rağanl k ergodiklik ko ar ans e ilinti fonksi onlar6 D103
D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
Rastsal SüreçlerRastsal süreçler, durağanlık, ergodiklik, kovaryans ve ilinti fonksiyonları, Gauss süreci, ısıl gürültü, beyaz gürültü, beyaz gürültüye süzgeçlemenin etkisi, darbant gürültü ve temsili, gürültü eşdeğer bant genişliği.
7 D103 D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
AM ve FM Sistemlerinde
Gürültü
Evre uyumlu ve zarf takipçi demodülasyonu kullanan AM sistemlerinde gürültü, sinyal-gürültü oranı, figure of merit, FM sistemlerinde gürültü, FM in gürültü bastırma etkisi, limiter, ön ve ters vurgulama, sezinleme sonrasısüzgeçleme.
Ödev 2 Quiz 1
8-9 D103D302
09:45-12:3019:30-22:00
Örnekleme ve Darbe
Modülasyonu
Sayısal Haberleşmeye giriş, Temel takaslar, Örnekleme İşlemi, İdeal Örnekleme, Nyquist Frekansı, Örtüşme, Düz Tepeli Örnekleme, Analog Darbe Modülasyonları, Zaman Bölmeli Çoğullama, Doğrusal Nicemleme, Companding, DKM, Hat Kodları
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-3
ELN3402 HaberleşmeDers Programı
Hafta Yer Zaman Konu İçerik Ödevler
10 Sınav Haftası
11 D103Salı Çarş
Temel BantUygun Süzgeç, Sembollerarası Girişim, Bozulmasız Transmisyon, İdealN i t D b i Yük ltil i K i ü S kt İli ti l S i Ödev 311 D103
D302 08:45 17:0012:30 20:15
Temel BantDarbe İletimi
Nyquist Darbesi, Yükseltilmiş Kosinüs Spektrumu, İlintisel Seviye Kodlama, Göz Diyagramları, Bit Hata Olasılıkları
12 D103D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
Bant Geçiren İletişim
Gram-Shmidt Dikleştirme Yöntemi, Sinyal Uzayı, ML Alıcılar, İlintisel Alıcılar, Uygun Süzgeç Tipi Alıcılar
13-14 D103D302
Salı Çarş
08:45 17:0012:30 20:15
Bant Geçiren Sayısal
Modülasyon
İkili Evre Kaydırmalı Anahtarlama, İkili Frekans KaydırmalıAnahtarlama, M-ary Evre Kaydırmalı Anahtarlama, Evre Uyumlu ve Evre Uyumsuz Sezinleme, Farksal Evre Kaydırmalı Anahtarlama, Bit Hata Olasılıkları
Quiz 2
DeğerlendirmeEv Ödevi %15 Kısa Sınavlar %10 Dönemiçi Sınavı %25 Dönemsonu Sınavı %50
Ev ÖdevleriDönem içinde 3 adet ev ödevi verilecektir Bazı ödevler yazılım şeklinde olacağından temel
ELN3402 Haberleşme
Dönem içinde 3 adet ev ödevi verilecektir. Bazı ödevler yazılım şeklinde olacağından temel MATLAB dilinde program yazımının bilinmesi gerekmektedir. Ödevler dersin Web sayfasından indirilebilir. Ev ödevleri, belirtilen tarihte saat 17:00 a kadar teslim edilmelidir. Zamanında teslim edilmeyen ödevler kesinlikle kabul edilmez.
Kısa SınavlarDönem içinde 2 adet kısa sınav yapılacaktır.
İşbirliği PolitikasıÖdevleri öncelikle kendiniz çözmelisiniz. Takıldığınız yerleri bir sınıf arkadaşınızla, olmaz ise dersin yardımcısı ile veya benimle tartışabilirsiniz. Diğer bir kişinin çözümüne bakmak, kısmen veya tamamen kopya etmek kesinlikle yasaktır. Dersi alan bütün öğrencilerin bu işbirliği ve karşılıklı güven politikasını kabul ve buna uymayı taahhüt ettiği farz edilir. Bu durum, teslim ettiğiniz ödevlerin üzerinde imzaladığınız
Bu ödevde müsaade edilen miktarın dışında yardım almadım ve kimseye yardım etmedim
ibaresi ile ifade edilir. Bu kısmın bulunmadığı ödevler kabul edilmez.
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-4
Derse Gerekli Ön BilgilerBu dersin iyi anlaşılabilmesi için, Sinyaller ve Sistemler ile Mühendislik Olasılığıderslerinin alınmış olması tavsiye edilir.
ELN3402 Haberleşme
Derse DevamDerse devam esastır. %70 Devam alamayan öğrenciler devamsız sayılır. Derste bulunmayan öğrencilerin, yapılan duyurulardan doğan görevlerinin sorumlukları kendilerine aittir. Dersin internet sayfasının http://home.uludag.edu.tr/~tertas/ her zaman kontrol edilmesi tavsiye edilir.
Bölüm I Sinyaller ve Sistemler
Tem
el B
ilgile
r • Sinyaller ve Sınıflandırılması• Güç ve Enerji• Fourier Serileri• Fourier Transformu ve Özellikleri• Dirac Delta Fonksiyonu
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-5
SinyallerBir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudur
Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir
Tem
el B
ilgile
r
Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir
Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için, sinyal :
Zamanda sınırlı olmalıdır.Bant genişliği sonlu olmalıdır.Zamanda sürekli olmalıdır.Aldığı değerler sonlu olmalıdır.Gerçel değerli olmalıdır.
Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller
tTtgtg o ∀+= , )( )(
Tem
el B
ilgile
r Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyaldenir.
Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük 0Tdeğerine sinyalin temel periyodu denir.
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-6
Güç: Anlık ve NormalizeBir devrede Anlık Güç : )()()( titvtp =
t)(2
Tem
el B
ilgile
r Ohm kanunundan,
Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:
g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t)sinyalinin anlık normalize gücü:
RtiR
tvtp )()()( 22
==
)()()( 22 titvtp ==
sinyalinin anlık normalize gücü:
olarak yazılır.
)()( 2 tgtp =
Ortalama Normalize GüçBir sinyalin ortalama normalize gücü anlık normalize gücünün zaman ortalaması alınarak
Tem
el B
ilgile
r
normalize gücünün zaman ortalaması alınarak bulunur:
∫−
∞→==
2/
2/
22 )(1lim)(T
TT
dttgT
tgP
burada zaman ortalaması operatörüdür.⋅
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-7
Güç Sinyalleri
Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu l i l ü i li d i
Tem
el B
ilgile
r
olan sinyale güç sinyali denir
Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri
∞<< P0
sonsuzdur!
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.
Enerji SinyalleriBir sinyalin normalize enerjisi
Tem
el B
ilgile
r
olarak tanımlanır.
Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallereenerji sinyali denir. Öyle ki,
∫−
∞→=
2/
2/
2 )(limT
TT
dttgE
enerji sinyali denir. Öyle ki,
Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!
∞<< E0
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-8
Sinyallerin SınıflandırılmasıBir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır
Tem
el B
ilgile
r
Güç Sinyali:Enerji Sinyali:
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir
Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.
∞<< E0∞<< P0
SinyallerSinyaller
EnerjiGüç
AperiyodikPeriyodik
Periyodik Sinyallerin GücüPeriyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü, bir periyot boyunca anlık normalize gücünün
Tem
el B
ilgile
r
bir periyot boyunca anlık normalize gücünün ortalamasıdır.
Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark
∫−
=2/
2/
2 )(1 o
o
T
To
dttgT
P
ediniz!
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-9
ÖrnekAşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.
1
Tem
el B
ilgile
r
∫− ==1
11
21
1 WattdtP
02− 11− 2
sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.)2cos( 0tfA π
WattAdttfTA
dttfAT
P
T
T
22)4cos(1
)2(cos1
2
0
02
00
22
=+
=
=
∫
∫π
π 0/1 fT =
Bazı Önemli Sinyaller
⎪⎨
⎧ ≤⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ 2
if1 Tttt1
Π(t/T)
Tem
el B
ilgile
r
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
≤−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Λ
TtTt
Tt
Tt
if0 if1
⎪⎩
⎪⎨
>=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Π
2 if0
2TtT
trectTt
t
1
-T 0 T
Λ(t/T)
tT/2-T/2
( )x
xxππ )sin(sinc =
-5 0 5
1
4321-4 -3 -2 -1x
sinc(x)
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-10
Fourier SerisiPeriyodu olan bir sinyali için, )(tg p0T
Tem
el B
ilgile
r
∑∞
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
222n o
no
nop Tntb
Tntaatg ππ sincos)(
dttgT
aT
Tp∫−=
2/
2/00
0
0
)(1
/ 21 2 ⎞⎛∫ tT
L.,,,,cos)(/
/32121 2
2 00
0
0
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫− ndt
Tnttg
Ta
T
Tpn
π
L.,,,,sin)(/
/32121 2
2 00
0
0
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫− ndt
Tnttg
Tb
T
Tpn
π
Kompleks Fourier Serisi( ) ( ) ( )∑
∞
= ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
1
22
n onn
onnop T
ntjjbaT
ntjjbaatg ππ expexp
Tem
el B
ilgile
r
⎪
⎪⎨
⎧=>−
= 0,0,
nanjba
c o
nn
n
( ) ∑∞
∞−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n onp T
ntjctg π2exp
L,,,,exp)(/
/21021 2
2 00
0
0
±±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫− ndt
Tntjtg
Tc
T
Tpn
π
⎪⎩ <+ 0, njba nn
Genel olarak, nc katsayıları komplekstir. Dolayısı ile, ( )[ ]c c j cn n n= exp arg
Gerçel Değerli Sinyaller için, *nn cc =− , dolayısı ile de
c cn n− = ve ( ) ( )arg argc cn n− = −
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-11
Örnek( )
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤−=
için kalanıperiyodun ,022
, TtTAtg p
nc
2.00
=TT0/TAT
Tem
el B
ilgile
r A
t
2T
−2T
0T
)(tg p
0T−
dtT
ntjAT
cT
Tn ∫− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
2 00
0
0
21 /
/exp π
( )ncaçı
π
/T
T3
0/1 T
T1
T2
T3
−T1
−T2
− 00/Tn
Genlik spektrumu
,....,,,sin 210 ±±=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= n
TTn
nA
o
ππ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
oo TnT
TTA sinc
π−0/Tn
Faz spektrumu
DİKKAT!Spektrum ayrıkDarbe parametrelerinin etkisiFaz tek, genlik ise çift simetriye sahip
Sinyal ve Frekans SpektrumuGenlik
Tem
el B
ilgile
r
Fourier Dönüşümü
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-12
Fourier TransformuBir aperiyodik g(t) sinyali için
( )∫∞
dtftjtgfG π2exp)()( Fourier Transformu
Tem
el B
ilgile
r
Fourier Transformu genellikle komplekstir: ( ) ( ) ( )[ ]G f G f j fθ
( ) ( )g t G f←→ ( )[ ] ( )F g t G f= ( )[ ] ( )F G f g t− =1
( )∫ ∞−−= dtftjtgfG π2exp)()(
( )∫∞
∞−= dfftjfGtg π2exp)()(
Fourier Transformu
Ters Fourier Transformu
g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.
Fourier Transformu genellikle komplekstir:Gerçel değerli bir sinyal için: Dolayısı ile,
çift simetri
tek simetri
( ) ( ) ( )[ ]G f G f j f= exp θ
( ) ( )G f G f= −*
( ) ( )G f G f− =
( ) ( )θ θ− = −f f
Örnek( )fTAT
TtA sincrect ⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Tem
el B
ilgile
r
g(t)
t
A
T/2-T/2T2
T2
−T3
T1
−T3
−T10
f
|G(f)|AT
∏ ⎟⎞
⎜⎛=⎟
⎞⎜⎛=
tAtrectAtg )( ( )∫ −=2
2/
exp)(T
dtftjAfG π∏ ⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ T
AT
rectAtg )( ( )∫− −=2
2/
exp)(T
dtftjAfG π
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
fTfTAT
ππsin
( )fTATsinc =
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-13
Örnekg(t)
1g(t)
1
Tem
el B
ilgile
r
( ) ( ) ( )g t t u t= −exp
( )∫∞
∞−−−= dtftjtfG π2exp)exp()(
( )[ ]∫∞
+−= 21 dttfj πexp
( ) ( ) ( )g t t u t= −exp
( )∫∞
∞−−= dtftjtfG π2exp)exp()(
( )[ ]∫ −=0
21 dttfj πexp
t0
t0
( )[ ]∫0fjp
=+
11 2j fπ
( ) ( )exp − ⇔+
t u tj f1
1 2π
( )[ ]∫ ∞−fjp
=−
11 2j fπ
( ) ( )exp t u tj f
− ⇔−
11 2π
Doğrusallık Özelliği( ) ( ) ( ) ( )ag t bg t aG f bG f1 2 1 2+ ⇔ +
Tem
el B
ilgile
r
fjtg
π211)(1 +
⇔( ) )()(exp)( 21 tgtgttg +=−=
g(t)=exp(-|t|)
t0
1
( ) ( ) ( )tuttg −= exp1( ) ( ) ( )tuttg −= exp2
( )( )
exp − ⇔+
tf
2
1 22
π
fj
( )fj
tgπ21
12 −
⇔( )G fj f j f
=+
+−
11 2
11 2π π
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-14
Genleştirme Özelliği( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⇔
afG
aatg 1
Tem
el B
ilgile
r [ ] ( )∫∞
∞−−= dtftjatgatgF π2exp)()(
yazarakat=τ
[ ] ∫∞
∞− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= dt
afjg
aatgF τπτ 21 exp)()(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
fG1 ⎠⎝ aa
Örnek
( )
( )
g t
at t
tt
=
− >
=
<
⎧
⎨⎪
⎩⎪
exp ,
,,
012
00 0
( ) ( )G fa j f a
=+
11 2π /
Dualite Özelliği( ) ( )fgtG −⇔
Tem
el B
ilgile
r ( )∫∞
∞−−=− dfftjfGtg π2exp)()( ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,
( )∫∞
∞−−=− dtftjtGfg π2exp)()(
Örnek ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇔=Wfrect
WAWtAtg sinc)(
g(t)
t
A
W1
−W2
−W3
−W1
W2
W3
f
A/W
W/2-W/2
)( fG
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-15
Zamanda Öteleme Özelliği( ) ( ) ( )g t t G f j fto o− ⇔ −exp 2π
Tem
el B
ilgile
r
Örnek
yazılırsa,0tt −=τ
( )[ ] ( ) )()(exp)(exp)(exp fGftjdfjgftjttgF ooo πττπτπ 222 −=−−=− ∫∞
∞−
( ) ( ) ( )fTjfTATfG π−= expsinc t
A
)(tga
( ) ( ) ( )fTjfTATfGa π= expsinc
( ) ( ) ( )fTjfTATfGb πexpsinc=
)(tgb
t
A
-T 0
tT0
Frekansta Öteleme Özelliği( ) ( ) ( )exp j f t g t G f fc c2π ⇔ −
Tem
el B
ilgile
r
Örnek
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] )(2exp2exp ccc ffGdtfftjtgtgtfjF −=−−= ∫∞
∞−ππ
( ) ( )g t A recttT
f tc=⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ cos 2π
( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212
2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −t
g(t)
A
cf1
1>>Tfc
[ ] [ ]{ }TffTffATfG cc )(sinc)(sinc)( ++−=2
[ ]
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<+
>−≈
0,)(sinc2
0,)(sinc2)(
fTffAT
fTffAT
fG
c
c
T2cf
f
AT/2
cf−
|)(| fG
T
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-16
g(t) ve G(f) Altında Kalan Alan
)()( 0Gdttg =∫∞
∞− ∫∞
∞−= dffGg )()0(
Tem
el B
ilgile
r
Örnek ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⇔
Wfrect
WAWtA
222sinc
∫∞
=AdtWtA 2 )(sinc
f=0 yazılırsa,
∫ ∞−=
WdtWtA
22 )(sinc
Ayrıca, özel olarak A=1 ve 2W=1 alınırsa, ∫∞
∞−=1dtt)(sinc
( ) ( )ffGjtgdtd π2⇔
Zamanda Türev Özelliği
Tem
el B
ilgile
r
dt
( ) ( ) ( )ddt
g t j f G fn
nn
⇔ 2π
n. türev için ise,
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-17
Zamanda İntegral Özelliği
G(0)=0 için)(21)( fG
fjdg
t
∫ ∞−⇔
πττ
Tem
el B
ilgile
r
g(t) şeklinde ifade edilip, türev özelliği
kullanılırsa,
2 fj π
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ ∞−
tdg
dtdtg ττ )()(
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ ∞−
tdgFfjfG ττπ )()( 2
için ise,0)0( ≠G
)()()()( fGfGfj
dgt
δπ
ττ20
21
+⇔∫ ∞−
Ödev
)()()()( fGfGdgt
δττ 01+⇔∫
Tem
el B
ilgile
r
)()()( ffGfj
dg δπ
ττ22
+⇔∫ ∞−
Olduğunu gösteriniz.
İpucu: integralini, g(t) nin birim basamak ∫ ∞
tdg ττ )(
fonksiyonu u(t) ile konvolüsyonu olarak düşününüz.∫ ∞−
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-18
g(t) üçgen darbesinin Fourier transformunu bulunuz.
ÖrnekAT
)(tg
Tem
el B
ilgile
r
bulunuz.
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )fTfTjAT
fTjfTjfTATfGπ
ππsinsinc
expexpsinc)(2
1
=
−−=
t-T 0 T
g(t), g1(t) nin integrali olduğundan,
t
A
T0-T
-A
)(1 tg
( ) ( )fGfj
fG 121π
=
( ) ( )
( )fTAT
fTffTAT
22 sinc
sincsin
=
=ππ
( ) ( )fGtg −⇔ **
Kompleks Eşlenik Özelliği
Tem
el B
ilgile
r
( ) ( ) ( )∫∞
∞−= dfftjfGtg π2exp ( ) ( ) ( )∫
∞
∞−−= dfftjfGtg π2exp**
( ) ( )∫∞−
∞−−= dfftjfG π2* exp
( ) ( )∫∞
∞−−= dfftjfG π2exp*
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-19
Örnek( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t= +Re Im ( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t* Re Im= −
Tem
el B
ilgile
r
( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtgtg *
21Re += ( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtg
jtg *
21Im −=
( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfGtg −+⇔ *
21Re ( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfG
jtg −−⇔ *
21Im
2 j
Çarpma ve Konvolüsyon Özelliği
∫∞
−⇔ λλλ dfGGtgtg )()()()( 2121 Z d
Tem
el B
ilgile
r
∫ ∞−fgg )()()()( 2121
( ) ( ) ( ) ( )fGfGtgtg 2121 ⊗⇔
)()()()( fGfGdtgg 2121 ⇔−∫∞
τττ
Zamanda Çarpma
Z d)()()()( ffgg 2121∫ ∞−
( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f1 2 1 2⊗ ⇔
Zamanda Konvolüsyon
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-20
Ödev
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Π=102
23)( tttx
Tem
el B
ilgile
r
⎠⎝⎠⎝ 102
Sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.
Dirac Delta FonksiyonuDirac delta fonksiyonunun tanımı:
∫∞
Tem
el B
ilgile
r
İmpuls olarak da bilinir.
Özellikleri:∫∞
∞−
= )0()()( gdtttg δ
∫∞−
=≠= 1)(,0,0)( dttveiçintt δδ
)()( tt δδ =−
)(1)( tat δ=δ ∫∞
=− )()()( tgdttttg δ)(||
)( ta
at δ=δ ∫∞−
= )()()( 00 tgdttttg δ
)()()()( 000 tttgtttg −=− δδ ∫∞
∞−
=− )()()( tgdtg ττδτ
( ) ( ) ( )g t t g t⊗ =δ
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-21
Dirac Delta FonksiyonuDirac delta fonksiyonunun Fourier transformu:
Tem
el B
ilgile
r
[ ] ( ) 12)()( =−= ∫∞
∞−dtftjttF πδδ exp ( )δ t ⇔ 1
g(t) |G( f )|1
0t
0f
δ(t) UygulamalarıDC Sinyal ( )1⇔δ f
∫∞ G( f )g( t )
Tem
el B
ilgile
r
Sinüsoidal Sinyal
( )∫∞
∞−=− )(exp fdtftj δπ2
Kompleks Exponansiyel ( ) ( )exp j f t f fc c2π δ⇔ −
( ) ( ) ( )[ ]1
( ) ( ) ( )[ ]cos 212
π δ δf t f f f fc c c⇔ − + +
0f
( f )
0t
1
( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212
2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −
|G( f )|
f0cf− cf
t
g(t)
0
cf/1
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-22
δ(t) UygulamalarıSinüsoidal Sinyal
1
Tem
el B
ilgile
r
( ) ( ) ( )[ ]tfjtfjj
tf ccc πππ 2exp2exp212sin −−=
( ) ( ) ( )[ ]ccc ffffj
tf +−−⇔ δδπ212sin
(t)cf/1
j G( f )
t
g(t)
0
j ( f )
f0
cf−
cf
δ(t) UygulamalarıBirim Basamak Sinyali
1 )( ft δ∫
Tem
el B
ilgile
r 221 )()( f
fjd
t δπ
ττδ +=∫ ∞−
|G(f )|
∫ ∞−=
tdtu ττδ )()( ( ) ( )u t
j ff⇔ +
12
12πδ
|G(f )|
f0
t
g(t)
0
1
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-23
δ(t) Uygulamalarıİşaret Fonksiyonu
( ) 1
Tem
el B
ilgile
r
( )sgn tj f
⇔1π
( )sgn,,t
ttt
=>=
− <
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1 00 01 0
j G(f)g(t)
( ) ( )sgn t u t= −2 1
f0
t
g( )
0
1
-1
Periyodik Sinyallerin Fourier Transformu( )tg p g(t)
Tem
el B
ilgile
r
( ) ( )∑∞
−∞=
−=m
op mTtgtg
t
( )p
20T
− 20T
23 0T
−2
3 0Tt
g( )
2/0T2/0T−
( ) ∑∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇔
n ooop T
nfTnG
Ttg δ1
2011-12 Bahar
ELN3402 Haberleşme 1-24
Ödev
)(tg
sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.)(tg p
Tem
el B
ilgile
r 1
t
4T
−4T T
)(tg p
T−
top related