not1

2011-12 Bahar

ELN3402 Haberleşme 1-1

ELN 3402

Haberleşme

Tuncay ERTAŞ

Ders Notları-1

ELN3402 HaberleşmeKullanılan Ders Kitabı:Communication Systems, 3./4. Baskı, Simon HaykinHaberleşme Sistemlerinin Temelleri, J. G. Proakis ve M. Salehi, Prentice-Hall

Dersin Yardımcısı:Arif Başgümüş Oda: 509 Tel: 41914 e-mail: [email protected]

Dersin AmacıSinyal ve sistemleri zaman ve frekans ortamında analiz etmekAnalog haberleşme sistemlerini kavramak ve gürültü performansını irdelemekSayısal haberleşmenin kavram ve tekniklerini anlamak ve bunları sayısal haberleşme sistemlerinin analiz ve dizaynına uygulamak.

Dersin HedefiDersin tamamlanması ile genel olarak aşağıdaki becerileri kazanacaksınız:· Sinyallerin ayrık ve sürekli spektrumlarını çizebilmekSinyallerin ayrık ve sürekli spektrumlarını çizebilmek· Fourier Transformunun özelliklerini anlamak ve kullanabilmek· Gauss rastsal sürecini anlamak· Beyaz gürültüye süzgeçlemenin etkisini anlamak· AM, DSB-SC, SSB, VSB, FM, PM modülasyonlarının zaman ve frekans ifadelerini verebilmek· Genlik ve Frekans modülasyon-demodülasyon öbek gösterimlerini çizebilmek ve

bant genişliklerini hesaplamak· AM, DSB-SC, SSB, FM sistemlerinin sinyal-gürültü analizini yapabilmek

2011-12 Bahar


ELN3402 Haberleşme• Nicemlemeyi ve etkilerini anlamak.• Hat kodlama tekniklerini aralarındaki farklar ile anlamak ve güç spektrumlarını hesaplamak.• Sıfır girişim ölçütünü ve darbe şekillendirmeyi anlamak.• Uygun süzgeç ile ilintisel alıcı kavramını anlamak ve bunları farklı modülasyon teknikleri ile

kullanarak bit hata olasılığını hesaplamak.• BPSK, QPSK ve BFSK sinyalleri için bant genişliği ve bit hata olasılığı takaslarını kavramak.• Sayısal haberleşme sistemlerinin tasarımındaki temel takasları tanımlayabilmek.• Haberleşme Sistemleri ile ilgili problemleri MATLAB kullanarak çözebilmek.

ELN3402 HaberleşmeDers Programı

HAFTA YER ZAMAN KONU İÇERİK Ödevler

D103Salı Çarş

08:45 17:00 Sinyaller veSinyallerin sınıfları, Fourier serisi, Fourier transformu ve özellikleri, Hilbert transformu ve özellikleri özilinti çapraz ilinti güç spektral yoğunluğu enerji1 D103

D30208:45 17:0012:30 20:15

Sinyaller ve Sistemler

transformu ve özellikleri, özilinti, çapraz ilinti, güç spektral yoğunluğu, enerji spektral yoğunluğu, zamanla değişmeyen doğrusal sistemlerden iletim, bant geçiren sinyal ve sistemlerin temsili.

2-3 D103 D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

Genlik Modülasyonları

DSB-LC (AM) genlik modülasyonu, AM sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, zarf takipçi. DSB-SC sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, SSB sinyallerinin üretimi, spektrumu, ve demodülasyonu, VSB sinyallerinin üretimi ve demodülasyonu, frekans bölmeli çoğullama, dik taşıyıcılı çoğullama, FM stereo çoğullama, super-heterodyne alıcılar.

4-5 D103 D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

Frekans Modülasyonu

Frekans ve Faz modülasyonu, darbant FM, genişbant FM, tek ve çok tonlu FM sinyallerinin spektrumu, FM sinyallerinin transmisyon bantgenişliği(Carson kuralı). FM sinyallerinin üretimi, FM sinyallerinin frekans ayırıcı ve PLL ile demodülasyonu.

Ödev1

Salı Çarş Rastsal süreçler d rağanl k ergodiklik ko ar ans e ilinti fonksi onlar6 D103

D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

Rastsal SüreçlerRastsal süreçler, durağanlık, ergodiklik, kovaryans ve ilinti fonksiyonları, Gauss süreci, ısıl gürültü, beyaz gürültü, beyaz gürültüye süzgeçlemenin etkisi, darbant gürültü ve temsili, gürültü eşdeğer bant genişliği.

7 D103 D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

AM ve FM Sistemlerinde

Gürültü

Evre uyumlu ve zarf takipçi demodülasyonu kullanan AM sistemlerinde gürültü, sinyal-gürültü oranı, figure of merit, FM sistemlerinde gürültü, FM in gürültü bastırma etkisi, limiter, ön ve ters vurgulama, sezinleme sonrasısüzgeçleme.

Ödev 2 Quiz 1

8-9 D103D302

09:45-12:3019:30-22:00

Örnekleme ve Darbe

Modülasyonu

Sayısal Haberleşmeye giriş, Temel takaslar, Örnekleme İşlemi, İdeal Örnekleme, Nyquist Frekansı, Örtüşme, Düz Tepeli Örnekleme, Analog Darbe Modülasyonları, Zaman Bölmeli Çoğullama, Doğrusal Nicemleme, Companding, DKM, Hat Kodları

2011-12 Bahar


ELN3402 HaberleşmeDers Programı

Hafta Yer Zaman Konu İçerik Ödevler

10 Sınav Haftası

11 D103Salı Çarş

Temel BantUygun Süzgeç, Sembollerarası Girişim, Bozulmasız Transmisyon, İdealN i t D b i Yük ltil i K i ü S kt İli ti l S i Ödev 311 D103

D302 08:45 17:0012:30 20:15

Temel BantDarbe İletimi

Nyquist Darbesi, Yükseltilmiş Kosinüs Spektrumu, İlintisel Seviye Kodlama, Göz Diyagramları, Bit Hata Olasılıkları

12 D103D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

Bant Geçiren İletişim

Gram-Shmidt Dikleştirme Yöntemi, Sinyal Uzayı, ML Alıcılar, İlintisel Alıcılar, Uygun Süzgeç Tipi Alıcılar

13-14 D103D302

Salı Çarş

08:45 17:0012:30 20:15

Bant Geçiren Sayısal

Modülasyon

İkili Evre Kaydırmalı Anahtarlama, İkili Frekans KaydırmalıAnahtarlama, M-ary Evre Kaydırmalı Anahtarlama, Evre Uyumlu ve Evre Uyumsuz Sezinleme, Farksal Evre Kaydırmalı Anahtarlama, Bit Hata Olasılıkları

Quiz 2

DeğerlendirmeEv Ödevi %15 Kısa Sınavlar %10 Dönemiçi Sınavı %25 Dönemsonu Sınavı %50

Ev ÖdevleriDönem içinde 3 adet ev ödevi verilecektir Bazı ödevler yazılım şeklinde olacağından temel

ELN3402 Haberleşme

Dönem içinde 3 adet ev ödevi verilecektir. Bazı ödevler yazılım şeklinde olacağından temel MATLAB dilinde program yazımının bilinmesi gerekmektedir. Ödevler dersin Web sayfasından indirilebilir. Ev ödevleri, belirtilen tarihte saat 17:00 a kadar teslim edilmelidir. Zamanında teslim edilmeyen ödevler kesinlikle kabul edilmez.

Kısa SınavlarDönem içinde 2 adet kısa sınav yapılacaktır.

İşbirliği PolitikasıÖdevleri öncelikle kendiniz çözmelisiniz. Takıldığınız yerleri bir sınıf arkadaşınızla, olmaz ise dersin yardımcısı ile veya benimle tartışabilirsiniz. Diğer bir kişinin çözümüne bakmak, kısmen veya tamamen kopya etmek kesinlikle yasaktır. Dersi alan bütün öğrencilerin bu işbirliği ve karşılıklı güven politikasını kabul ve buna uymayı taahhüt ettiği farz edilir. Bu durum, teslim ettiğiniz ödevlerin üzerinde imzaladığınız

Bu ödevde müsaade edilen miktarın dışında yardım almadım ve kimseye yardım etmedim

ibaresi ile ifade edilir. Bu kısmın bulunmadığı ödevler kabul edilmez.

2011-12 Bahar


Derse Gerekli Ön BilgilerBu dersin iyi anlaşılabilmesi için, Sinyaller ve Sistemler ile Mühendislik Olasılığıderslerinin alınmış olması tavsiye edilir.

ELN3402 Haberleşme

Derse DevamDerse devam esastır. %70 Devam alamayan öğrenciler devamsız sayılır. Derste bulunmayan öğrencilerin, yapılan duyurulardan doğan görevlerinin sorumlukları kendilerine aittir. Dersin internet sayfasının http://home.uludag.edu.tr/~tertas/ her zaman kontrol edilmesi tavsiye edilir.

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Tem

el B

ilgile

r • Sinyaller ve Sınıflandırılması• Güç ve Enerji• Fourier Serileri• Fourier Transformu ve Özellikleri• Dirac Delta Fonksiyonu

2011-12 Bahar


SinyallerBir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudur

Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir

Tem

el B

ilgile

r

Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir

Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için, sinyal :

Zamanda sınırlı olmalıdır.Bant genişliği sonlu olmalıdır.Zamanda sürekli olmalıdır.Aldığı değerler sonlu olmalıdır.Gerçel değerli olmalıdır.

Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller

tTtgtg o ∀+= , )( )(

Tem

el B

ilgile

r Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyaldenir.

Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük 0Tdeğerine sinyalin temel periyodu denir.

2011-12 Bahar


Güç: Anlık ve NormalizeBir devrede Anlık Güç : )()()( titvtp =

t)(2

Tem

el B

ilgile

r Ohm kanunundan,

Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:

g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t)sinyalinin anlık normalize gücü:

RtiR

tvtp )()()( 22

==

)()()( 22 titvtp ==

sinyalinin anlık normalize gücü:

olarak yazılır.

)()( 2 tgtp =

Ortalama Normalize GüçBir sinyalin ortalama normalize gücü anlık normalize gücünün zaman ortalaması alınarak

Tem

el B

ilgile

r

normalize gücünün zaman ortalaması alınarak bulunur:

∫−

∞→==

2/

2/

22 )(1lim)(T

TT

dttgT

tgP

burada zaman ortalaması operatörüdür.⋅

2011-12 Bahar


Güç Sinyalleri

Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu l i l ü i li d i

Tem

el B

ilgile

r

olan sinyale güç sinyali denir

Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri

∞<< P0

sonsuzdur!

Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.

Enerji SinyalleriBir sinyalin normalize enerjisi

Tem

el B

ilgile

r

olarak tanımlanır.

Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallereenerji sinyali denir. Öyle ki,

∫−

∞→=

2/

2/

2 )(limT

TT

dttgE

enerji sinyali denir. Öyle ki,

Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!

∞<< E0

2011-12 Bahar


Sinyallerin SınıflandırılmasıBir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır

Tem

el B

ilgile

r

Güç Sinyali:Enerji Sinyali:

Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir

Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.

∞<< E0∞<< P0

SinyallerSinyaller

EnerjiGüç

AperiyodikPeriyodik

Periyodik Sinyallerin GücüPeriyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü, bir periyot boyunca anlık normalize gücünün

Tem

el B

ilgile

r

bir periyot boyunca anlık normalize gücünün ortalamasıdır.

Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark

∫−

=2/

2/

2 )(1 o

o

T

To

dttgT

P

ediniz!

2011-12 Bahar


ÖrnekAşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.

1

Tem

el B

ilgile

r

∫− ==1

11

21

1 WattdtP

02− 11− 2

sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.)2cos( 0tfA π

WattAdttfTA

dttfAT

P

T

T

22)4cos(1

)2(cos1

2

0

02

00

22

=+

=

=

∫

∫π

π 0/1 fT =

Bazı Önemli Sinyaller

⎪⎨

⎧ ≤⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ 2

if1 Tttt1

Π(t/T)

Tem

el B

ilgile

r

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

TtTt

Tt

Tt

if0 if1

⎪⎩

⎪⎨

>=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

2 if0

2TtT

trectTt

t

1

-T 0 T

Λ(t/T)

tT/2-T/2

( )x

xxππ )sin(sinc =

-5 0 5

1

4321-4 -3 -2 -1x

sinc(x)

2011-12 Bahar


Fourier SerisiPeriyodu olan bir sinyali için, )(tg p0T

Tem

el B

ilgile

r

∑∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

222n o

no

nop Tntb

Tntaatg ππ sincos)(

dttgT

aT

Tp∫−=

2/

2/00

0

0

)(1

/ 21 2 ⎞⎛∫ tT

L.,,,,cos)(/

/32121 2

2 00

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫− ndt

Tnttg

Ta

T

Tpn

π

L.,,,,sin)(/

/32121 2

2 00

0

0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫− ndt

Tnttg

Tb

T

Tpn

π

Kompleks Fourier Serisi( ) ( ) ( )∑

∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

1

22

n onn

onnop T

ntjjbaT

ntjjbaatg ππ expexp

Tem

el B

ilgile

r

⎪

⎪⎨

⎧=>−

= 0,0,

nanjba

c o

nn

n

( ) ∑∞

∞−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n onp T

ntjctg π2exp

L,,,,exp)(/

/21021 2

2 00

0

0

±±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫− ndt

Tntjtg

Tc

T

Tpn

π

⎪⎩ <+ 0, njba nn

Genel olarak, nc katsayıları komplekstir. Dolayısı ile, ( )[ ]c c j cn n n= exp arg

Gerçel Değerli Sinyaller için, *nn cc =− , dolayısı ile de

c cn n− = ve ( ) ( )arg argc cn n− = −

2011-12 Bahar


Örnek( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤−=

için kalanıperiyodun ,022

, TtTAtg p

nc

2.00

=TT0/TAT

Tem

el B

ilgile

r A

t

2T

−2T

0T

)(tg p

0T−

dtT

ntjAT

cT

Tn ∫− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

2 00

0

0

21 /

/exp π

( )ncaçı

π

/T

T3

0/1 T

T1

T2

T3

−T1

−T2

− 00/Tn

Genlik spektrumu

,....,,,sin 210 ±±=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= n

TTn

nA

o

ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

oo TnT

TTA sinc

π−0/Tn

Faz spektrumu

DİKKAT!Spektrum ayrıkDarbe parametrelerinin etkisiFaz tek, genlik ise çift simetriye sahip

Sinyal ve Frekans SpektrumuGenlik

Tem

el B

ilgile

r

Fourier Dönüşümü

2011-12 Bahar


Fourier TransformuBir aperiyodik g(t) sinyali için

( )∫∞

dtftjtgfG π2exp)()( Fourier Transformu

Tem

el B

ilgile

r

Fourier Transformu genellikle komplekstir: ( ) ( ) ( )[ ]G f G f j fθ

( ) ( )g t G f←→ ( )[ ] ( )F g t G f= ( )[ ] ( )F G f g t− =1

( )∫ ∞−−= dtftjtgfG π2exp)()(

( )∫∞

∞−= dfftjfGtg π2exp)()(

Fourier Transformu

Ters Fourier Transformu

g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.

Fourier Transformu genellikle komplekstir:Gerçel değerli bir sinyal için: Dolayısı ile,

çift simetri

tek simetri

( ) ( ) ( )[ ]G f G f j f= exp θ

( ) ( )G f G f= −*

( ) ( )G f G f− =

( ) ( )θ θ− = −f f

Örnek( )fTAT

TtA sincrect ⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Tem

el B

ilgile

r

g(t)

t

A

T/2-T/2T2

T2

−T3

T1

−T3

−T10

f

|G(f)|AT

∏ ⎟⎞

⎜⎛=⎟

⎞⎜⎛=

tAtrectAtg )( ( )∫ −=2

2/

exp)(T

dtftjAfG π∏ ⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ T

AT

rectAtg )( ( )∫− −=2

2/

exp)(T

dtftjAfG π

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

fTfTAT

ππsin

( )fTATsinc =

2011-12 Bahar


Örnekg(t)

1g(t)

1

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( ) ( )g t t u t= −exp

( )∫∞

∞−−−= dtftjtfG π2exp)exp()(

( )[ ]∫∞

+−= 21 dttfj πexp

( ) ( ) ( )g t t u t= −exp

( )∫∞

∞−−= dtftjtfG π2exp)exp()(

( )[ ]∫ −=0

21 dttfj πexp

t0

t0

( )[ ]∫0fjp

=+

11 2j fπ

( ) ( )exp − ⇔+

t u tj f1

1 2π

( )[ ]∫ ∞−fjp

=−

11 2j fπ

( ) ( )exp t u tj f

− ⇔−

11 2π

Doğrusallık Özelliği( ) ( ) ( ) ( )ag t bg t aG f bG f1 2 1 2+ ⇔ +

Tem

el B

ilgile

r

fjtg

π211)(1 +

⇔( ) )()(exp)( 21 tgtgttg +=−=

g(t)=exp(-|t|)

t0

1

( ) ( ) ( )tuttg −= exp1( ) ( ) ( )tuttg −= exp2

( )( )

exp − ⇔+

tf

2

1 22

π

fj

( )fj

tgπ21

12 −

⇔( )G fj f j f

=+

+−

11 2

11 2π π

2011-12 Bahar


Genleştirme Özelliği( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

afG

aatg 1

Tem

el B

ilgile

r [ ] ( )∫∞

∞−−= dtftjatgatgF π2exp)()(

yazarakat=τ

[ ] ∫∞

∞− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dt

afjg

aatgF τπτ 21 exp)()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

fG1 ⎠⎝ aa

Örnek

( )

( )

g t

at t

tt

=

− >

=

<

⎧

⎨⎪

⎩⎪

exp ,

,,

012

00 0

( ) ( )G fa j f a

=+

11 2π /

Dualite Özelliği( ) ( )fgtG −⇔

Tem

el B

ilgile

r ( )∫∞

∞−−=− dfftjfGtg π2exp)()( ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,

( )∫∞

∞−−=− dtftjtGfg π2exp)()(

Örnek ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔=Wfrect

WAWtAtg sinc)(

g(t)

t

A

W1

−W2

−W3

−W1

W2

W3

f

A/W

W/2-W/2

)( fG

2011-12 Bahar


Zamanda Öteleme Özelliği( ) ( ) ( )g t t G f j fto o− ⇔ −exp 2π

Tem

el B

ilgile

r

Örnek

yazılırsa,0tt −=τ

( )[ ] ( ) )()(exp)(exp)(exp fGftjdfjgftjttgF ooo πττπτπ 222 −=−−=− ∫∞

∞−

( ) ( ) ( )fTjfTATfG π−= expsinc t

A

)(tga

( ) ( ) ( )fTjfTATfGa π= expsinc

( ) ( ) ( )fTjfTATfGb πexpsinc=

)(tgb

t

A

-T 0

tT0

Frekansta Öteleme Özelliği( ) ( ) ( )exp j f t g t G f fc c2π ⇔ −

Tem

el B

ilgile

r

Örnek

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] )(2exp2exp ccc ffGdtfftjtgtgtfjF −=−−= ∫∞

∞−ππ

( ) ( )g t A recttT

f tc=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos 2π

( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212

2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −t

g(t)

A

cf1

1>>Tfc

[ ] [ ]{ }TffTffATfG cc )(sinc)(sinc)( ++−=2

[ ]

[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<+

>−≈

0,)(sinc2

0,)(sinc2)(

fTffAT

fTffAT

fG

c

c

T2cf

f

AT/2

cf−

|)(| fG

T

2011-12 Bahar


g(t) ve G(f) Altında Kalan Alan

)()( 0Gdttg =∫∞

∞− ∫∞

∞−= dffGg )()0(

Tem

el B

ilgile

r

Örnek ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

Wfrect

WAWtA

222sinc

∫∞

=AdtWtA 2 )(sinc

f=0 yazılırsa,

∫ ∞−=

WdtWtA

22 )(sinc

Ayrıca, özel olarak A=1 ve 2W=1 alınırsa, ∫∞

∞−=1dtt)(sinc

( ) ( )ffGjtgdtd π2⇔

Zamanda Türev Özelliği

Tem

el B

ilgile

r

dt

( ) ( ) ( )ddt

g t j f G fn

nn

⇔ 2π

n. türev için ise,

2011-12 Bahar


Zamanda İntegral Özelliği

G(0)=0 için)(21)( fG

fjdg

t

∫ ∞−⇔

πττ

Tem

el B

ilgile

r

g(t) şeklinde ifade edilip, türev özelliği

kullanılırsa,

2 fj π

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∞−

tdg

dtdtg ττ )()(

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ ∞−

tdgFfjfG ττπ )()( 2

için ise,0)0( ≠G

)()()()( fGfGfj

dgt

δπ

ττ20

21

+⇔∫ ∞−

Ödev

)()()()( fGfGdgt

δττ 01+⇔∫

Tem

el B

ilgile

r

)()()( ffGfj

dg δπ

ττ22

+⇔∫ ∞−

Olduğunu gösteriniz.

İpucu: integralini, g(t) nin birim basamak ∫ ∞

tdg ττ )(

fonksiyonu u(t) ile konvolüsyonu olarak düşününüz.∫ ∞−

2011-12 Bahar


g(t) üçgen darbesinin Fourier transformunu bulunuz.

ÖrnekAT

)(tg

Tem

el B

ilgile

r

bulunuz.

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )fTfTjAT

fTjfTjfTATfGπ

ππsinsinc

expexpsinc)(2

1

=

−−=

t-T 0 T

g(t), g1(t) nin integrali olduğundan,

t

A

T0-T

-A

)(1 tg

( ) ( )fGfj

fG 121π

=

( ) ( )

( )fTAT

fTffTAT

22 sinc

sincsin

=

=ππ

( ) ( )fGtg −⇔ **

Kompleks Eşlenik Özelliği

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( ) ( )∫∞

∞−= dfftjfGtg π2exp ( ) ( ) ( )∫

∞

∞−−= dfftjfGtg π2exp**

( ) ( )∫∞−

∞−−= dfftjfG π2* exp

( ) ( )∫∞

∞−−= dfftjfG π2exp*

2011-12 Bahar


Örnek( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t= +Re Im ( ) ( )[ ] ( )[ ]g t g t j g t* Re Im= −

Tem

el B

ilgile

r

( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtgtg *

21Re += ( )[ ] ( ) ( )[ ]tgtg

jtg *

21Im −=

( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfGtg −+⇔ *

21Re ( )[ ] ( ) ( )[ ]fGfG

jtg −−⇔ *

21Im

2 j

Çarpma ve Konvolüsyon Özelliği

∫∞

−⇔ λλλ dfGGtgtg )()()()( 2121 Z d

Tem

el B

ilgile

r

∫ ∞−fgg )()()()( 2121

( ) ( ) ( ) ( )fGfGtgtg 2121 ⊗⇔

)()()()( fGfGdtgg 2121 ⇔−∫∞

τττ

Zamanda Çarpma

Z d)()()()( ffgg 2121∫ ∞−

( ) ( ) ( ) ( )g t g t G f G f1 2 1 2⊗ ⇔

Zamanda Konvolüsyon

2011-12 Bahar


Ödev

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=102

23)( tttx

Tem

el B

ilgile

r

⎠⎝⎠⎝ 102

Sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.

Dirac Delta FonksiyonuDirac delta fonksiyonunun tanımı:

∫∞

Tem

el B

ilgile

r

İmpuls olarak da bilinir.

Özellikleri:∫∞

∞−

= )0()()( gdtttg δ

∫∞−

=≠= 1)(,0,0)( dttveiçintt δδ

)()( tt δδ =−

)(1)( tat δ=δ ∫∞

=− )()()( tgdttttg δ)(||

)( ta

at δ=δ ∫∞−

= )()()( 00 tgdttttg δ

)()()()( 000 tttgtttg −=− δδ ∫∞

∞−

=− )()()( tgdtg ττδτ

( ) ( ) ( )g t t g t⊗ =δ

2011-12 Bahar


Dirac Delta FonksiyonuDirac delta fonksiyonunun Fourier transformu:

Tem

el B

ilgile

r

[ ] ( ) 12)()( =−= ∫∞

∞−dtftjttF πδδ exp ( )δ t ⇔ 1

g(t) |G( f )|1

0t

0f

δ(t) UygulamalarıDC Sinyal ( )1⇔δ f

∫∞ G( f )g( t )

Tem

el B

ilgile

r

Sinüsoidal Sinyal

( )∫∞

∞−=− )(exp fdtftj δπ2

Kompleks Exponansiyel ( ) ( )exp j f t f fc c2π δ⇔ −

( ) ( ) ( )[ ]1

( ) ( ) ( )[ ]cos 212

π δ δf t f f f fc c c⇔ − + +

0f

( f )

0t

1

( ) ( ) ( )[ ]cos exp exp212

2 2π π πf t j f t j f tc c c= + −

|G( f )|

f0cf− cf

t

g(t)

0

cf/1

2011-12 Bahar


δ(t) UygulamalarıSinüsoidal Sinyal

1

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( ) ( )[ ]tfjtfjj

tf ccc πππ 2exp2exp212sin −−=

( ) ( ) ( )[ ]ccc ffffj

tf +−−⇔ δδπ212sin

(t)cf/1

j G( f )

t

g(t)

0

j ( f )

f0

cf−

cf

δ(t) UygulamalarıBirim Basamak Sinyali

1 )( ft δ∫

Tem

el B

ilgile

r 221 )()( f

fjd

t δπ

ττδ +=∫ ∞−

|G(f )|

∫ ∞−=

tdtu ττδ )()( ( ) ( )u t

j ff⇔ +

12

12πδ

|G(f )|

f0

t

g(t)

0

1

2011-12 Bahar


δ(t) Uygulamalarıİşaret Fonksiyonu

( ) 1

Tem

el B

ilgile

r

( )sgn tj f

⇔1π

( )sgn,,t

ttt

=>=

− <

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 00 01 0

j G(f)g(t)

( ) ( )sgn t u t= −2 1

f0

t

g( )

0

1

-1

Periyodik Sinyallerin Fourier Transformu( )tg p g(t)

Tem

el B

ilgile

r

( ) ( )∑∞

−∞=

−=m

op mTtgtg

t

( )p

20T

− 20T

23 0T

−2

3 0Tt

g( )

2/0T2/0T−

( ) ∑∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇔

n ooop T

nfTnG

Ttg δ1

2011-12 Bahar


Ödev

)(tg

sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.)(tg p

Tem

el B

ilgile

r 1

t

4T

−4T T

)(tg p

T−

not1

Documents