multiplicación algebraica vs. factorización
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Multiplicación algebraica vs. factorización
• Recordemos que las expresiones algebraicas pueden multiplicarse y son una consecuencia de las leyes de los exponentes.
• Por otra parte, la factorización algebraica es, en cierto sentido, el proceso inverso a la multiplicación. Consiste en reescribir una expresión algebraica en 2 o más factores.
MULTIPLICACIÓN MONOMIO - POLINOMIO
𝑎(𝑎+𝑏)=𝑎2+𝑎𝑏• Por las leyes de los exponentes…
2 𝑥2( 23 𝑥1 /2−3 𝑦)=43 𝑥5/2−6 𝑥2 𝑦
𝑚3 (𝑛−𝑚𝑛+0.1𝑚2 )=𝑚3𝑛−𝑚4𝑛+0.1𝑚5
FACTORIZACIÓN DE UN TÉRMINO COMÚN
• Por el contrario, si tenemos un polinomio con literales comunes, éste se puede factorizar en un monomio y un polinomio.
• Se identifican las literales comunes, y se toman con su exponente menor. El término formado con éstas será el término común.
𝑎2+2𝑎=𝑎(𝑎+2)
3𝑚2𝑛−27𝑚4𝑛−9𝑚5𝑛=3𝑚2𝑛 (1−9𝑚2−3𝑚3 )
Exponente menor
Productos notables y factorización
• Los productos notables son multiplicaciones algebraicas que tienen una forma particular, y que pueden realizarse de manera más rápida aplicando ciertas reglas.
• Ya que la factorización es inversa a la multiplicación, las reglas de los productos notables nos servirán para factorizar expresiones con cierta estructura.
CUADRADO DE UN BINOMIO
Elevar al cuadrado equivale a multiplicar este binomio por sí mismo:
• El trinomio del lado derecho es un trinomio cuadrado perfecto
• Realizando las multiplicaciones correspondientes y simplificando, se obtiene…
𝒂1
𝒂𝒂𝟐𝒂
EJEMPLO GEOMÉTRICO
𝒂+𝟏
𝑨=(𝒂+𝟏)(𝒂+𝟏)
𝒂𝟐+𝟐𝒂+𝟏
()() ()2()2 554𝑎4𝑎
16𝑎2 40𝑎 25
2
MÁS EJEMPLOS
(4𝑎+5 )2
()() ()2()2 −2𝑛−2𝑛3𝑚3𝑚
9𝑚2 12𝑚𝑛 4𝑛2
2(3𝑚−2𝑛)2
FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
• Recíprocamente, si tenemos un trinomio cuadrado perfecto, su factorización resulta ser un binomio al cuadrado.
𝑚2+2𝑚+1
4 𝑥2−20 𝑥𝑦+25 𝑦2(𝑚+1 )2
(2 𝑥−5 𝑦 )2
Extraer raíz Extraer raízAsociar las raíces con el signo del doble producto
BINOMIOS CONJUGADOSLos binomios conjugados son aquellos que poseen los mismos términos, pero difieren en un
signo:
• La multiplicación de dos binomios conjugados resulta
EJEMPLOS
FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
• En sentido contrario, si tenemos una diferencia de cuadrados, ésta se puede factorizar con un par de binomios conjugados.
4𝑎2−9𝑏2=(2𝑎+3𝑏) (2𝑎−3𝑏 )
𝑎2− 𝑦2=(𝑎− 𝑦 ) (𝑎+𝑦 )
CUBO DE UN BINOMIO
Elevar al cubo equivale a multiplicar este binomio por sí mismo tres veces:
• Si se realizan las multiplicaciones y simplificaciones correspondientes, se obtiene
()2 () ()3()3 55𝑎𝑎
𝑎3 15𝑎2 75𝑎
3
EJEMPLOS
(𝑎+5 )3
(𝑚−2𝑛)3
() ()25𝑎3
125
()2() ()3()3 −2𝑛−2𝑛𝑚𝑚
𝑚3 6𝑚2𝑛 12𝑚𝑛2
3 () ()2−2𝑛𝑚3
8𝑛3
CUBO PERFECTO DE BINOMIO
• Recíprocamente, podemos factorizar polinomios de la forma
como el cubo de un binomio
(𝑎+𝑏 )3
𝑥3−3𝑥2+3 𝑥−1=(𝑥−1 )3
Factorización de trinomios de la forma
• Hemos visto dos formas de factorizar para casos especiales: cuando es un trinomio cuadrado perfecto, y cuando se tiene una diferencia de cuadrados.• Ahora veremos dos técnicas de factorización para
trinomios más generales.• Buscamos expresar el trinomio como producto de dos
factores:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=(𝐴𝑥+𝐵)(𝐶𝑥+𝐷)
−6 𝑥(3 𝑥+1)(𝑥−2)
Consideremos
• Buscamos dos números que multiplicados den , y los colocamos debajo del primer término junto con .
• Análogamente, buscamos dos números que multiplicados resulten y los ponemos debajo del tercer término.
3 𝑥1𝑥
1−2 𝑥
−5 𝑥
• Esta técnica de factorización puede ser inmediata en algunos casos, pero podría volverse complicada, e incluso imposible para ciertos trinomios.
• Un método siempre seguro de factorización y de solución de ecuaciones cuadráticas lo proporciona la fórmula cuadrática general.
Fórmula cuadrática
• Consideremos un trinomio de la forma
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐• Podemos factorizarlo con la ayuda de su fórmula general:
𝑥=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
Consideremos 𝑥=
−7±√72−4 (6)(2)2(6)
𝑥=−7±√49−4812
𝑥=−7±112
𝑥1=−7+112 =
−612 ,𝑥2=
−7−112 =
−812
𝑥1=−12 , 𝑥2=−
23
• La factorización queda:
Suma y diferencia de cubos
• Consideremos un producto de la forma
¿
¡Diseña tres ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior!
• Ahora consideremos un producto muy parecido al anterior:
¿
¡Diseña dos ejercicios y comprueba si se cumple la formula anterior! ….Ahora factoriza….
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