modul mte3143

MODUL MTE 3114

APLIKASI MATEMATIK

2 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

2

1.1 PERANAN MATEMATIK DALAM TEKNOLOGI MODEN

Antara pendorong utama kemajuan sesebuah tamadun adalah rasa keinginan untuk

mengatasi masalah-masalah yang membelenggu kehidupan manusia dengan

bantuan alat teknikal. Kamus Dewan (2005) mentakrifkan teknologi sebagai aktiviti

atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam

industri, pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru teknologi

moden secara umumnya adalah kajian atau aktiviti terbaru yang berkaitan tentang

masa kini yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis.

Matematik yang kita peroleh ini sebenarnya mempengaruhi teknologi moden pada

hari ini. Bahkan dalam segenap sisi kehidupan manusia.

1.1.1 Matematik Sebagai Satu Bahasa

Dengan memerhatikan evolusi sains secara semula jadi

dalam abad ke dua puluh ini, kita dapat mengakui bahawa

buku alam ditulis dalam bahasa matematik

Matematik ialah bahasa dan seperti bahasa-bahasa lain yang

mempunyai tatabahasa sendiri, sintaks, perbendaharaan kata,

susunan kata, sinonim, konvensyen, dan lain-lain [Esty, 1997].

Bahasa ini adalah kedua-dua alat komunikasi dan alat

pemikiran.

Salah satu matlamat utama matematik ialah untuk pelajar menyerap konsep-konsep

asas dan kemahiran bahasa yang penting dalam matematik. Kemahiran bahasa

matematik ialah kebolehan untuk membaca dengan kefahaman, untuk meluahkan

BAB 1 MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

1 Matematik dilihat sebagai satu bahasa


3

pemikiran matematik dengan jelas, untuk menyatakan sebab secara logik, untuk

mengiktiraf dan menggunakan corak pemikiran matematik. [Esty, W., 1997, kata

pengantar]

Keunikan bahasa-bahasa adalah keupayaan untuk memberikan ekspresi yg tepat

bagi setiap buah fikiran ataupun konsep yang dapat di formulasi melalui bahasa

tersebut. Kuasa bahasa matematik moden boleh dilihat dalam dua contoh di bawah:

BAHASA MATEMATIK PURBA BAHASA MATEMATIK MODEN

If a straight line be cut at random, the square

on the whole is equal to the squares on the

segments and twice the rectangle contained

by the segments. (Euclid, Elements, II.4,

300B.C.)

(a+b)2 = a2 + b2 + 2.a.b

The area of any circle is equal to a

rightangled triangle in which one of the

sides about the right angle is equal to the

radius, and the other to the circumference

of the circle.

(Archimedes, On the Sphere and the

Cylinder, 220B.C.)

A = r.2r/2 = r2

Jika kita mengekalkan peranan utama matematik sebagai penyelesaian masalah,

yang terdiri daripada masalah aktiviti model - operasi - mentafsir, maka matlamat

utama pembelajaran matematik ialah memproses terjemahan daripada suatu

masalah yang dirumuskan dalam bahasa ibunda kepada model matematik yang

ditulis dalam bahasa matematik.

1.1.2 Matematik Sebagai Teknologi Berfikir

"Teknologi pemikiran matematik adalah inti pati sains dan inti pati masyarakat yang

berasaskan teknologi "(Buchberger)

Teknologi pemikiran juga boleh diperoleh dalam mata pelajaran lain tetapi matematik

memerlukan cara khas dalam berfikir. Untuk menerangkan cara ini kita boleh


4

menggunakan "kreativiti lingkaran" Buchbergers

sebagai model cara pelajar memahami matematik

[Buchberger, 1992]. Lingkaran ini bermula dengan

pemerhatian, bahan atau masalah data, penyelesaian

yang boleh didapati dalam pembangunan algoritma

atau dalam penciptaan konsep baru. Model Kreativiti

Lingkaran Buchbergers merangkumi:

1.1.3 Matematik Sebagai Faktor Keselamatan Dalam Teknologi Moden

Realiti dunia pada hari ini, semakin maju sesebuah negara, maka semakin maju

teknologinya dan semakin besar juga gangguan ke atas keselamatan individu,

komuniti, syarikat dan negara. Justeru, bagaimana pula matematik dapat membantu

dalam aspek keselamatan?

Contoh yang pertama dapat dilihat pada

Kriptografi moden. Kriptografi moden ini

menyatukan disiplin matematik, sains

komputer dan kejuruteraan. Kriptografi

adalah teknik menyembunyikan maklumat

rahsia, biasanya dalam bentuk teknik-

teknik pengekodan, matematik, atau cara

lain dengan tujuan supaya mesej yang

disimpan atau dihantar hanya diketahui oleh mana-mana pihak yang berminat.

FASA 1: HEURISTIK (FASA

EKSPERIMENTAL)

Membangunkan andaian,

membentuk hipotesis, merangka

membuktikan idea-idea dan

strategi penyelesaian, konsep

asas masalah. Ciri-ciri bari aktiviti

ini ialah: munasabah, kesimpulan

induktif

FASA 2: FASA MEMPERSOAL

DAN MEMPERJELAS

Membuat andaian,

membuktikan

hipotesis,

pengaturcaraan

FASA 3: FASA APLIKASI

Menyelesaikan

masalah dengan

menggunakan konsep

dan algoritma

dibangunkan di fasa 1

dan 2: model, operasi

dan mentafsir.

2 Model Kreativiti Lingkaran Buchbergers

3 Bagaimana kriptografi berfungsi


5

Berhenti dan renungkan. Adakah sistem kriptografi ini dianggap selamat?

Apakah yang anda tahu mengenai Pubic Key Cryptography?

Selain itu, mesin ATM (Automatic Teller Machine) juga menggunakan matematik

dalam sistem sekuritinya. Mesin juruwang automatik (ATM) merupakan sejenis

peranti telekomunikasi berkomputer yang menyediakan capaian transaksi

kewangan kepada pelanggan institusi

kewangan di kawasan tumpuan awam tanpa

memerlukan juruwang manusia atau kerani

bank. Para pengguna akan memasukkan

nombor pin untuk mengakses mesin

tersebut.

1.2 MATEMATIK SEBAGAI KEGIATAN BUDAYA YANG

BERTERUSAN

Sepanjang sejarah, matematik telah digunakan oleh orang-orang yang berbeza

dalam pelbagai cara. Aritmetik dan geometri telah digunakan untuk memenuhi

keperluan harian rakyat. Orang-orang Mesir menggunakan geometri untuk membina

piramid dalam tujuan pengebumian (Burton, 1999). Kajian matematik yang

digunakan oleh orang-orang yang berbeza telah berkembang menjadi apa yang kini

dikenali sebagai etnomatematik. Etnomatematik ditakrifkan sebagai bagaimana

manusia pelbagai budaya menggunakan matematik dalam kehidupan seharian

mereka. Kumpulan budaya tidak hanya terhad kepada kaum semata-mata tetapi

konsepnya merangkumi lebih luas seperti golongan cerdik pandai.

Dr Chris Matthews, seorang lelaki Orang Asli dari Negara Quandamooka (Moreton

Bay, Queensland) menyatakan bahawa ia adalah penting untuk mempertimbangkan

bahawa budaya mempunyai kesan yang besar terhadap cara matematik dipelajari.

4 Papan kekunci mesin ATM


6

Beliau mencadangkan bahawa untuk memahami aspek-aspek budaya matematik,

adalah perlu untuk mengetahui apa itu matematik. Rajah di bawah menunjukkan

ringkasan Dr Matthews tentang pandangannya mengenai persoalan asas

epistemologi matematik. Beliau percaya pembangunan pedagogi yang berpusat

pada kitaran ini akan membawa kepada celik matematik tulen, membolehkan pelajar

untuk mencapai pada standard yang tinggi.

5 Epistemologi matematik oleh Dr. Matthews

Salah satu budaya yang berterusan di dalam matematik ialah Friezes (Dekorasi

Dinding). Friezes ialah satu konsep matematik untuk mengklasifikasikan corak pada

permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah, erdasarkan Simetri

dalam corak.

Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan

(transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran /

enlargement). John Conway mencipta nama-nama yang berkaitan dengan jejak

langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1 hingga F7).


7


8

Mosaic (Mozek)

Mosaic adalah seni mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca

berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan,

aspek hiasan dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa

tempat terkenal tamadun dunia.

1. Roman Mosaic


9

2. Etruscan Mosaic

3. Girih islamic comlex mosaic

4. Dome of the Rock, Palestin


10

1.3 ASAS MATEMATIK KONTEMPORARI

Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahuan matematik.

Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk menjadikannya lebih

berkembang dan moden.

1.3.1 Enjin Carian Google.

Google mempunyai visi untuk mengatur maklumat dunia dan membuatkannya boleh

diakses secara universal. Proses enjin carian Google ini menggunakan prinsip

matriks dan algoritma.

Penggunaan matriks

Katakan setiap nod di sebelah kanan mempunyai link yang ditunjukkan dalam graf

yang diarahkan. Yang manakah nod yang paling penting dan akan muncul pada kali

yang pertama?


11

Berikut ialah kedudukan carian bagi setiap

laman sesawang yang dicari. Nombor satu

menunjukkan laman yang paling kurang

diakses dan nombor 10 adalah laman yang paling kerap dilayari pengguna internet.

Penggunaan Algoritma

PageRank adalah algoritma analisis link yang menyerahkan wajaran berangka untuk

setiap halaman Web, dengan tujuan untuk "mengukur" kepentingan relatif. Ia

berasaskan kepada peta hyperlink dan merupakan cara terbaik untuk

mengutamakan keutamaan carian kata kunci. Justeru bagaimana untuk mengiranya?

PR setiap halaman bergantung kepada PR di laman-laman menunjuk

kepadanya.

Tetapi kita tidak akan tahu apa yang PR halaman tersebut mempunyai

sehingga halaman menunjuk ke mereka mempunyai PR mereka dikira dan

sebagainya.

Jadi apa yang kita lakukan adalah membuat tekaan.

PR1 Very Poor. PR2 Poor. PR3 Average. PR4 Above Average. PR5 Good. PR6 Great. PR7 On Fire. PR8 Big. PR10 The Best.


12

Prinsip:

Ia tidak kira di mana anda bermula tekaan anda, apabila pengiraan PageRank telah

ditetapkan, "taburan kebarangkalian normal" (PageRank purata untuk semua muka

surat) akan menjadi 1.0.

Anggapkan 4 laman sesawang ialah A, B, C dan D. Biarkan setiap halaman bermula

dengan anggaran Page Rank sebanyak 0.25.

Pemerhatian: setiap halaman mempunyai sekurang-kurangnya PR 0.15 untuk

berkongsi keluar. Tetapi ini hanya mungkin dalam teori - terdapat khabar angin

bahawa Google menjalani fasa pasca spidering di mana mana-mana halaman yang

tidak mempunyai link masuk di semua benar-benar dihapuskan dari indeks ...


13

1.3.2 Global Positioning System (GPS)

GPS adalah sistem navigasi radio berasaskan satelit yang membolehkan sesiapa

sahaja di mana-mana di dunia ini untuk menentukan kedudukan mereka dengan

ketepatan yang besar dan tepat.

Komponen GPS:

a. Angkasa - Satelit

b. Kawalan - Stesen-stesen pemantauan di bumi

c. Pengguna - unit GPS seperti yang anda akan gunakan hari ini

Berapa banyak satelit yang membentuk GPS? 24 satelit GPS yang ada di orbit sekitar

12,000 batu di atas kita. Ia bergerak berterusan bergerak mengelilingi bumi 12 jam

dengan kelajuan 7,000 batu sejam. GPS juga memerlukan sekurang-kurangnya 3-4

satelit.

Bagaimana satelit bekerja?

Contoh:

Satu Kapal berada pada kedudukan yang tidak

diketahui dan tidak mempunyai jam. Ia menerima

isyarat serentak daripada 4 satelit, memberikan

kedudukan dan masa seperti yang ditunjukkan

dalam Jadual di bawah :

corresponds to latitude, to longitude and h to the ellipsoidal height,i.e.the length of the vertical P line to the ellipsoid.


14

1. Kira jarak dari kapal tersebut Isyarat itu dihantar pada masa 19.9 dan tiba pada

masa t. Perjalanan pada kelajuan .047, Jadi:


15


16

1.3.3 Kekunci Awam Kriptografi (Public Key Cryptography)

Berasal daripada perkataan Greek kryptos yang bermaksud tersembunyi dan

graphien untuk menulis. Kriptografi (Bruce Schneier) ilmu dan seni untuk menjaga

kerahsiaan berita.

Bagaimana Kriptografi berfungsi?

Berfungsi dalam sistem keselamatan rangkaian dan menjamin penyimpanan data.

Apa itu Kriptanalisis (Cryptanalisis)?

Seni dan ilmu untuk memecahkan ciphertext menjadi plaintext tanpa melalui cara

yang seharusnya (dekripsis).

Proses:


17

Algoritma Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

RSA dicipta pada tahun 1978 dan dipaten pada 1983. Singkatan dari nama perintis

perintis iaitu Ron Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman dari Masschusetts

Institute of Technology.

Berikut ialah pengiraan inkripsi RSA:

Pengiraan:

Kekunci awam yang digunakan adalah (e,N).

Kekunci peribadi yang digunakan adalah d.


18

1.3.4 Pemampatan Imej Fraktal

10 hingga 15 tahun yang lalu, teknik fractal ini diperkenalkan dalam grafik computer.

Teknik ini menggunakan teori matematik Iterated Function System (IFS) yang

berasaskan Sistem Fungsi Pengulangan. Sistem ini dibangunkan oleh John

Hutchinson.

Apa yang dimaksudkan dengan pemampatan Imej Fraktal?

Bayangkan sejenis mesin fotokopi yang mengurangkan imej yang disalin kepada

separuh dan dalam masa yang sama, dihasilkan dalam tiga salinan imej.

Anda akan melihat kesemua salinan bertumpu kepada satu imej akhir.


19

Apabila mesin fotokopi menyusutkan input imej, maka sebarang imej permulaan yang

diletakkan pada mesin fotokopi akan menyusut kepada satu titik. Hakikatnya,

kedudukan dan orientasi salinan sahaja yang akan menentukan imej yang terakhir.

Pemampatan Fractal termasuk dalam kaedah mampatan tidak berkurang (lossy

compression). Terdapat kaedah tradisional yang lain tentang pemampatan imej dan

pemampatan fractal adalah merupakan salah satu yang terbaik. Walau bagaimana

pun, kaedah mampatan fractal didakwa mempunyai prestasi yang lebih baik kerana

ia menghasilkan anggaran yang lebih dekat kepada imej asal pada nisbah mampatan

yang lebih tinggi.

Apakah yang terkandung dalam Pemampatan Imej Fraktal?

- Affine transformation

- Iterated function system (IFS)

- Self-similarity in images

- Partition iterated function system

- Encoding images

- Encoding colour images

Salah satu sistem yang diguna pakai dalam pemampatan imej fractal ini ialah

Transformasi Affine (Affine Transformation). Affine transformation bagi sesuatu

imej adalah sebarang kombinasi bagi putaran, perubahan skala, condongan ataupun

translasi.

Contoh:

Imej yang diputar 90 darjah, dan diskalakan, akan membentuk affine transformation


20


21

Kesimpulan: pemampatan imej fractal masih dalam pembangunan. Penyelidik dan

syarikat-syarikat teknologi masih lagi mencuba membentuk algoritma baru untuk

mengurangkan masa pengekodan.

1.3.5 Sistem Binari

Sebuah sistem mempersembahkan nombor menggunakan asas 2. Nombor-nombor

(1, 2, 3, 4, 5, ...) dipersembahkan dengan diwakili dengan digit 0 dan 1. Ahli

matematik melihat sistem binari ini sebagai suatu alat berkembangnya ilmu sains

komputer dan kecanggihan peranti elektronik.


22

Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah:

100001 = (1 x 25) + (1 x 20) = 32 + 1 = 33 (nombor desimal)

Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan litar

elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan outputnya diwakili

oleh digit 0 dan 1). Contoh peranti yang menggunakan sistem binari ialah:

Kalkulator

Komputer

Mesin taip elektronik

Penggunaan sistem binari dalam kod ASCII

ASCII ialah American Standard Code for Information Interchange. Ia digunakan

secara meluas dalam bidang mikrokomputer. Kod ASCII ini mewakili symbol pada

papan kekunci komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol

kesemuanya.

Contoh Kod ASCII:


23

Secara kesimpulannya, matematik banyak digunakan dalam pelbagai bidang di

dunia. Di bawah ini merupakan rumusan berkenaan bidang-bidang yang

menggunakan matematik:

Aritmetik : kewangan, perakaunan, perbankan, insurans

Statistik : insurans, penyelidikan, pemasaran, hubungan awam

Geometri : arkitektur, reka bentuk, seni bina, GPS

Kalkulus : arkitektur, reka bentuk, seni bina

Algebra : penyelesaian masalah, kriptografi, enjin pencarian


24

2.1 Beberapa Definisi

Kod

Satu peraturan /petua untuk menukar sebarang maklumat ke dalam bentuk / perwakilan yang berlainan.

Pengkodan

Proses di mana maklumat daripada sumber ditukar kepada simbol untuk dikomunikasi.

Pengdekodan

Proses songsang pengkodan di mana simbol kod ditukar balik kepada bentuk / maklumat yang mudah difahami oleh si penerima.

Cipher

Algoritma atau prosedur yang ditetapkan untuk menjalankan proses enkripsi ( mesej dienkod agar maklumat tidak dapat difahami oleh pihak lain kecuali pihak yang dibenarkan)[ atau dekripsi (proses mengdekod mesej yang diterima kepada mesej yang asal dan mudah difahami)

Perkembangan kod klasik dan cipher menggunakan teknik-teknik yang berikut o Transposisi o Gantian o

2.2 Transposisi

Kaedah enkripsi mesej yang melibatkan perubahan penyusunan semula huruf / kumpulan huruf mengikut peraturan atau sistem tertentu Cipher Pagar Kereta Api

Huruf-huruf dalam mesej ditulis semula dalam dua atau lebih baris. Kemudiannya, dicantumkan semula untuk membentuk mesej yang telah dienkodkan.

BAB 2 KOD KLASIK DAN SIFER


25

Contoh: Mesej KAMI TERTIPU OLEH MEREKA LAGI bila ditulis dalam LIMA baris menjadi K E U M A A R O E L M T L R A I I E E G T P H K I dan bila digabungkan semula menjadi mesej KEUMAAROELMTLRAIIEEGTPHKI Si penerima akan menyusun mesej yang diterima dalam lima baris dan membaca mengikut arah yang dipersetujui dengan si pengirim dalam contoh ini dari atas ke bawah untuk mengdekod mesej kepada yang asal.

Cipher Lintasan

Huruf-huruf dalam mesej ditulis semula mengikut satu lintasan yang tertentu, misalnya mengikut lintasan spiral dari luar ke dalam yang tersusun dalam satu segiempat sama. Bilangan petak dalam segiempat sama yang diguna merupakan rahsia antara si pengirim dan si penerima. Contoh: Mesej KAMI TERTIPU OLEH MEREKA LAGI selepas ditulis mengikut lintasan spiral akan menjadi mesej KAMITMEREEHGIKREALATLOUPI

Untuk mengdekod mesej, si penerima menggunakan segiempat sama yang serupa dengan si pengirim dan membaca ikut lintasan yang dipersetujui.

2.3 Gantian

Kaedah enkripsi mesej yang melibatkan penggantian semula huruf/kumpulan huruf mengikut peraturan atau sistem tertentu


26

Cipher Gantian Mudah Semua huruf dalam abjad dipadankan dengan huruf secara padanan satu dengan satu mengikut peraturan atau sistem yang dipersetujui dan dirahsiakan. Contoh: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z M E L A Y U B C D F G H I J K N O P Q R S T V W X Z Merujuk kepada sistem di atas mesej SATU MALAYSIA akan ditulis sebagai QMRSIMHMXQDM Kedua-dua pengirim dan penerima akan menggunakan sistem yang sama. Cipher Caesar Setiap huruf dalam abjad digantikan oleh huruf yang berkedudukan tertentu daripadanya dalam susunan abjad. Contoh: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Dalam contoh ini, setiap huruf digantikan dengan huruf yang berada dua tempat selepasnya. Oleh yang demikian, mesej KECEMERLANGAN akan ditulis sebagai ICACKCPJYLEYL Cipher Pigpen


27

Sistem ini menggunakan simbol-simbol yang diguna oleh kumpulan Freemason bagi mewakili huruf-huruf tertentu. Cipher ini juga dikenali sebagai cipher Masonic atau Rosicrucian. Contoh:

Cipher Atbash Cipher ini merupakan cipher gantian yang mudah yang hanya mengandungi dua baris abjad yang yang disusun secara bertentangan arah. Contoh : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Z Y X W V U T S R Q P O N M L K J I H G F E D C B A Mesej BAHASA JIWA BANGSA akan ditulis sebagai YZSZHZ QRDZ YZMTHZ Cipher Kama Sutra Cipher ini juga dikenali sebagai cipher Vatsyayana yang pernah dihuraikan dalam buku Kama Sutra yang ditulis dalam abad ke-4 AD. Setiap huruf dipadankan dengan huruf lain secara rawak dan digunakan untuk menulis mesej rahsia. Padanan satu dengan satu antara pasangan huruf-huruf hanya diketahui oleh pengirim dan penerima. Contoh: A = K B = C C = Z D = I E = R F = S G = M H = P I = L J = H K = V L = E M =Y N = G O = J P = F Q =N R = W S = B T = O U = D V = X W= U X = A Y = T Z = Q Mesej TERPERANGKAP ditulis sebagai ORWFRWKGMVKF


28

3.1 Kapal Angkasa Mariner6 1969

Pada tahun1965, Amerika Syarikat telah melancarkan kapal angkasa Mariner4 untuk

mengambil gambar Marikh. Transmisi setiap gambar mengambil masa 8 jam. Misi

Mariner selanjut, seperti Mariner6, telah menghasilkan gambar yang lebih jelas

sebab menggunakan kod pembetulan ralat.

.

Kaedah transmisi gambar oleh Mariner6 dari Marikh ke Bumi yang digunakan pada

tahun 1969 melibatkan penggunaan grid halus yang diletakkan ke atas gambar yang

dikirim. Setiap petak atau piksel, diberi darjah kehitaman antara julat 0 hingga 63.

BAB 3 KOD DAN KRIPTOGRAFI


29

Setiap nombor ditulis sebagai urutan enam 0 dan 1. Contoh cara penulisan dalam

sistem binari (nombor asas 2) adalah seperti di bawah:

0

000000

1 000001

2 000010

3 000011

4 000100

5 000101

6 000110

7 000111

8 001000

9 001001

43 101011

63 111111

Jadi, darjah kehitaman = 43 101011.

Dalam kes Mariner6, setiap gambar dipecahkan kepada 700 x 832 petak, di mana

setiap petak dikodkan oleh 6 digit binari, setiap gambar akan mengandungi satu

urutan 6 x 700 x 832 = 3 494 400 digit binari.

Walau bagaimana pun, darjah kehitaman setiap petak mengandungi enam digit binari

manakala mesej yang dikirim sebenarnya menggunakan lebih banyak digit bagi

setiap darjah kehitaman sebenarnya 32 digit binari digunakan bagi setiap petak,

oleh yang demikian gambar akan mengandungi urutan 32 x 700 x 832 = 18 636 800

digit binari.


30

Proses Transmisi Mesej

Sungguh pun, saluran transmisi mesej yang ditunjukkan di atas mudah. Kadang-

kadang mesej yang dikirim akan diganggu oleh ralat tertentu. Sama ada saluran

transmisi yang digunakan merupakan pautan satelit, tanpa wayar atau wayar telefon,

biasanya saluran tersebut mungkin akan menambah unsur gangguan (noise) yang

menyebabkan ralat. Kejadian ini serupa dengan gangguan suara yang kita alami

semasa panggilan telefon di kawasan isyarat lemah.

Dalam contoh di atas, mesej 01101 dikirim tetapi mesej yang diterima kurang jelas.

Jadi, adalah sukar untuk menterjemahkan digit tengah dan digit terakhir yang

diterima 01?0?

Apakah yang si penerima patut buat bila menerima mesej tersebut? Jawapannya

bergantung kepada situasi. Misalnya, adalah mungkin mesej tersebut diminta dikirim

sekali lagi semasa panggilan telefon, minta disebut sekali lagi atau pun semasa

menggunakan kad kredit, kad kredit dilalui mesin kad kredit sekali lagi jika nombor


31

yang diterima kurang jelas sebab sukar diteka. Dalam kes misi angkasa lepas

Mariner, gambar tersebut tidak dapat dihantar sekali lagi dan adalah lebih praktikal

untuk mengdekod mesej seberapa yang mungkin (oleh komputer bukan oleh

manusia).

Secara am, kesan gangguan dalam saluran komunikasi akan mengakibatkan ralat

yang menyebabkan mesej yang diterima berlainan daripada apa yang dikirim. Oleh

demikian, dalam contoh Mariner6 di atas, kita dapat lihat situasi di mana 43 yang

ditransmisikan oleh kapal angkasa diterima dan diterjemahkan sebagai 11 di Bumi.

3.2 Kod Pembetulan Kesilapan

Kod pembetulan kesilapan (ralat) menangani masalah ralat dengan menggunakan

konsep lebihan (redundancy) menggunakan lebih banyak simbol yang diperlukan

untuk mesej.

Dalam bahasa biasa, lebihan kerap berlaku, di mana pengetahuan bahasa dan

konteks ianya digunakan membantu kita mengenal pasti ralat tipografikal (ejaan)

dan membetulkannya apabila dibaca.

Misalnya, jika perkataan cetakan dikirim, ia mungkin diterima sebagai cetekan atau

cetakau. Dalam konteks topik ini, memang dapat dikenal pasti dengan mudah yang

ralat tipografikal (ejaan) telah berlaku dan perkataan yang betul diteka dengan tepat

sebagai cetakan.

Misi Mariner6 telah menggunakan 6 digit binari untuk mengenkod setiap petak kecil

(piksel) dalam gambar Marikh. Apabila mengirim isyarat balik ke Bumi, Mariner6

mengirim 32 digit dengan 26 (=32-6) digit lebihan. Yang lebih mengkagumkan ialah

terjemahan betul bagi setiap rantaian yang mengandungi kurang daripada 8 ralat.


32

Jadi:

Setiap rantaian mengandungi enam 0 dan 1 rantaian tiga puluh dua 0

dan 1

rantaian dengan < 8 ralat didekodkan dengan betul

Bagaimanakah ini boleh berlaku?

Proses mengenkod mesej bermula dengan penukaran teks biasa kepada satu

rantaian nombor dengan menggunakan abjad digital berikut. Dalam kod ini, setiap

huruf (dan juga tanda isyarat) diwakili oleh urutan 0 dan 1 sepanjang 5-digit. Oleh

yang demikian, urutan-urutan tersebut merupakan nombor antara 0 dan 32 yang

ditulis dalam sistem binari (asas 2).

Dalam kest Mariner6, satu kod Reed-Muller yang kuat telah digunakan untuk

pembetulan kesilapan. Seperti yang dinyatakan, mesej 6 digit binari telah ditukar

kepada mesej 32 digit binari yang digelar sebagai katakod (codewords).

Misalnya, mesej yang dikirim mengandungi 3 digit binari. Oleh yang demikian,

terdapat 8 mesej yang mungkin, yang boleh diwakili oleh integer 0 hingga 7.

Dalam contoh ini, 5 digit lebihan akan ditambah kepada setiap mesej untuk

menghasilkan katakod yang panjangnya 8.


33

0 = 000 000 00000

1 = 001 001 10110

2 = 010 010 10101

3 = 011 011 00011

4 = 100 100 10011

5 = 101 101 00101

6 = 110 110 00110

7 = 111 111 10000

Katakod 00110110 mewakili integer 1. Jika dibandingkan dengan katakod 00000000

yang mewakili integer 0, mudah dilihat bahawa kedua-dua katakod ini berbeza di

empat tempat (ketiga, keempat, keenam dan ketujuh). Dengan cara yang sama, jika

dibandingkan 0110110 dengan katakod 01010101, dapat dilihat sekali lagi bahawa

kedua-dua katakod ini berbeza di empat tempat kali ini di tempat kedua, ketiga,

ketujuh dan kelapan.

Perhatikan yang hanya ada 8 mesej, iaitu 8 katakod daripada 28 = 256 rantaian

lapan digit binari yang mungkin. Hal ini akan dapat membantu pengesanan ralat

tetapi juga pembetulan ralat yang tunggal.

Jika 00111110 diterima, memang mudah untuk menyemak bahawa ini bukan katakod

dan ralat telah berlaku biasanya tidak pasti hanya satu ralat berlaku tetapi yang

pasti adalah sekurang-kurangnya satu ralat telah berlaku.

Sungguh pun sukar untuk mengetahui mesej asal, prinsip kemungkinan maksimum

(principle of maximum likelihood) boleh digunakan untuk mengdekod mesej yang

diterima. Ini boleh dilakukan dengan membandingkan mesej yang diterima dengan 8

katakod dan lihat yang mana satu katakod paling rapat dengan mesej yang diterima.

Apabila ini dilakukan, dapat dilihat yang katakod yang paling rapat dengan 00111110

ialah 00110110. Ia hanya berbeza di satu tempat tempat kelima (yang digariskan).

Oleh sebab setiap katakod berbeza daripada yang laing dalam tepat empat tempat,

mesej yang diterima 00111110 akan berbeza daripada yang lain dalam sekurang-

kurangnya tiga tempat.


34

Jadi, dapat diandaikan yang ralat jarang-jarang berlaku, jadi katakod yang mungkin

ditransmisikan ialah 00110110. Dalam kes ini, selagi ada satu ralat (dan ini adalah

kes yang paling mungkin) ianya dapat diperbetulkan.

Ini memang benar untuk semua kes di mana satu ralat berlaku jadi ia digelarkan

sebagai kode pembetulan ralat tunggal (single-error-correcting code).

Dalam contoh ini,

8 digit katakod

3 digit maklumat dan

5 digit lebihan.

Kadar maklumat = 8

3

Secara am,

n digit

}

} }

k digit mesej r digit semakan (lebihan)

Kadar maklumat, R = n

k.

Bagi Mariner 6, kadar maklumat R =32

6.


35

3.3 Kod Ulangan

Satu cara yang mudah untuk memperkenalkan lebihan adalah untuk mengulang semua. Jadi, jika ada mesej, ia boleh dikodkan dengan mengulang setiap digit n kali. Jika n = 5, panjang kod ulangan ialah 5.

Contoh :

S 10011 11111 00000 00000 11111 11111

U 10101 11111 00000 11111 00000 11111

S 10011 11111 00000 00000 11111 11111

I 01001 00000 11111 00000 00000 11111

E 00101 00000 00000 11111 00000 11111

Jika dikirim S = 10011 as 11111 00000 00000 11111 11111, ia akan diterima

sebagai urutan ) dan 1 yang panjangnya 25.

Kita perlu peraturan (algoritma) untuk mengdekod mesej yang diterima.

Dengan bantuan komputer mengdekod mesej, tekaan mengikut konteks tidak

dilakukan tetapi peraturan yang tepat perlu digunakan.

Misalnya, apabila mesej berikut di terima:

11011 00110 11000 10000 10111 bagaimanakah ianya didekod ?\

Algoritma Dekod bagi Kod Ulangan Panjang 5

1. Bilang digit 1.

2. Jika bilangan digit 1 3 , tulis 11111.

3. Jika bilangan digit 1 2 , tulis 00000.

Perhatikan bahawa kod ini boleh membetulkan 2 ralat tetapi ia mempunyai kad

maklumat yang sangat rendah 5

1.

Jika n = 4 (setiap digit diulang 4 kali),apakah yang berlaku jika terima 0011 ?


36

Saluran Simetri Binari

Kebarangkalian menerima simbol yang silap adalah serupa sama ada simbol 0 atau

simbol 1 dikirim.

Kebarangkalian menerima simbol yang silap = p

Misalnya, jika p = 100

1 , jadi kebarangkalian satu digit tunggal diterima secara silap

ialah 100

1 = 0.01, jadi kebarangkalian satu digit tunggal diterima secara betul ialah

100

99 = 0.99.

Dianggap semual ralat berlaku secara rawak iaitu secara tidak bersandar satu

sama lain.

Untuk memudahkan pengiraan, kod ulangan panjang 3 digunakan.

Bolehkah kebarangkalian 100

99 = 0.99 diperbaiki jika satu katakod satu digit

diterima?

Mesej dikirim

Mesej

dikodkan

Mesej mungkin diterima

Mesej didekod

0 000 000 001

010 100 0

1 111 101 011

110 111 1


37

Jika 000 dikirim,

Pengiraan kebarangkalian mesej yang mungkin diterima:

Pr (000) = 100

99 x

100

99 x

100

99 = 0.970299

Pr (001) = 100

99 x

100

99 x

100

1 = 0.009801

Pr (010) = 100

99 x

100

1 x

100

99 = 0.009801

Pr (100) = 100

1 x

100

99 x

100

99 = 0.009801

Jadi kebarangkalian mengdekod mesej sebagai 0:

Pr (0) = Pr (000) + Pr (001) + Pr (010) + Pr (100)

= 0.970299 + 3 x 0.009801

= 0.999702 .

Jadi, secara purata, kesilapan mengdekod mesej yang dikirim 0 sebagai 1 berlaku

hanya sekali setiap 100 kali, kita akan dapat ralat kurang daripada 3 setiap 10 000

(atau 1/3000) ! Ini merupak kemajuan yang hebat.

Bagi kod ulangan panjang n,

n digit

}

} }

1 digit Mesej

n 1 digit semakan

Kadar maklumat, R = n

1. Ini sangat kecil!

Kod ulangan dapat membetulkan ralat tetapi kadar maklumatnya sangat rendah!


38

Latihan

1. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan

panjang 5.

00000 10010 11011 11000 01111

11110 01010 01000 01011 00001

00111 10000 01100 11100 00000

01000 11111 00111 10111 11101

01111 00010 01000 10111 10000

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

2. Anda telah menerima mesej berikut yang ditulis dengan kod ulangan

panjang 5.

00000 11011 01111 00100 11111

01000 11111 00100 00001 11101

11101 00100 00000 11110 01111

11111 10000 01000 00000 00100

10111 00010 10000 00111 01100

01100 10001 01010 00011 11001

01010 10111 01111 11111 00000

11111 00010 11011 01000 00000

a) Tukar mesej ini kepada kod 5 digit binari.

b) Tukarkan kepada abjad biasa.

c) Apakah mesej yang sebenar?

3. Kod ulangan panjang 3 digunakan untuk transmisi mesej. Jika kebarangkalian

membuat kesilapan dalam satu digit ialah 0.01 dan kita anggap kesilapan

berlaku secara tak bersandar satu sama lain, kirakan kebarangkalian mesej

000 yang dikirim diterima sebagai 111.


39

3.4 Kod Semakan Pariti

Kod semakan pariti tunggal merupakan ekstrem daripada kod ulangan. Berbanding

dengan kod ulangan, kod semakan pariti tunggal hanya ada satu digit semakan.

Digit semakan ini diperolehi daripada jumlah digit maklumat (mod 2).

Sebagai contoh, lihat bagaimana digit semakan dikira

A

000001 1

}

5 digit

maklumat

1 digit

semakan

B

000010 1

C

000011 0

D

000100 1

Secara am katakod ditulis sebagai c1 c2 c3 c4 c5 c6 di mana

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2).

Bagi kod semakan pariti tunggal,

n digit

} -- - -

}

k = n 1 digit mesej

1 digit semakan

Kadar maklumat n

k =

n

n 1 , amat tinggi!

Akan tetapi, kod semakan pariti tunggal hanya boleh mengesan bilangan ralat yang

ganjil tetapi tidak dapat membetulkannya.


40

Latihan

1. Cari katakod yang mewakili huruf berikut dalam kod semakan

pariti tunggal di atas : J , L , Q , S , G , X.

2. Tulis mesej NO ERRORS dengan kod semakan pariti tunggal.

3. Mesej berikut telah diterima dalam kod semakan pariti tunggal:

000011 000000 001111 011110 010110 001001

000000 100100 001010 100111 101001 011000 101000

a) Kesan di mana ralat telah berlaku.

b) Dekod semua huruf yang lain.

c) Cuba teka mesej yang dikirim.


41

3.5 Kod Linear Perhatikan kod linear panjang 6 berikut ada 3 digit mesej dan 3 digit semakan

Katakod panjang 6

} c1 c2 c3 c4 c5 c6

} } 3 digit mesej

3 digit semakan

boleh ditulis semula sebagai persamaan linear untuk mentakrifkan digit-digit

semakan.

Bila diberi mesej c1 c2 c3 ,

c4 = c1 + c2 (mod 2)

c5 = c1 + c3 (mod 2)

c6 = c2 + c3 (mod 2)

untuk memperolehi katakod C= [c1 c2 c3 c4 c5 c6].

=>

6

5

4

c

c

c

=

110

101

011

3

2

1

c

c

c

.

Sebagai contoh, 010 akan ditransmisikan sebagai [010101].

Latihan

Tuliskan katakod yang sepadan dengan mesej:

(i) 111 (ii) 101

(a) Berapakah mesej tiga digit yang dibentukkan?

(b) Senaraikan semua katakod bagi kod ini.


42

Persamaan Semakan Pariti

Katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6 ] menyempurnakan persamaan semakan pariti

c1 + c2 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c3 + c5 = 0 (mod 2)

c2 + c3 + c6 = 0 (mod 2).

Persamaan-persamaan ini dinamakan sebagai persamaan semakan pariti sebab

menyemak pariti atau kegenapan hasil tambah digit-digit dalam katakod untuk

memperolehi 0 di sebelah kanan, kita perlu dapat bilangan 1 yang genap pada

sebelah kiri setiap persamaan.

Persamaan semakan pariti juga boleh ditulis sebagai

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

c

c

c

c

c

c

=

0

0

0

,

atau H CT = 0 ,

di mana H ialah matriks semakan pariti.

[CT = transpos menegak bagi vektor C ]

Apakah yang berlaku semasa transmisi katakod?

Apabila katakod C = [c1 c2 c3 c4 c5 c6] dikirim

saluran transmisi akan menambah gangguan (ralat)

E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6]

mengakibatkan katakod diterima sebagai

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6]

di mana ri = ci + ei (mod 2) .


43

Latihan

1. Jika C = [100110] , E = [000101], cari R.

2. Jika R = [001000], E = [000011], cari C.

3. Jika R = [010000], C = [111000], cari E.

Biasanya, kita hanya tahu katakod yang diterima, R. Jadi masalah adalah untuk

mengetahui katakod yang dikirim C jika kita terima katakod R. Ini boleh dilakukan

dengan mencari E dahulu.


44

Mengira Sindrom

Bagi katakod yang diterima, R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6], kita mentakrifkan sindrom, s = [s1

s2 s3] bagi R dengan

s1 = r1 + r2 + r4 (mod 2)

s2 = r1 + r3 + r5 (mod 2)

s3 = r2 + r3 + r6 (mod 2).

3

2

1

s

s

s

=

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

r

r

r

r

r

r

atau

sT = H RT.

Oleh kerana digit-digit sindrom ditakrifkan oleh persamaan semakan pariti yang sama

dengan katakod, digit sindrom akan mendedahkan pola kegagalan semakan pariti.

s dinamakan sebagai sindrom R sebab ia mempamerkan simptom khas ralat

tanpa mengenal pasti sebabnya, seperti cara kita mengenal sesuatu penyakit

daripada simptomnya dan bukan sindrom (sebabnya yang sebenar) contoh SIDS

= Sudden Infant Death Syndrome.

Semua katakod mempunyai sindrom 0 = [000] sebab H CT = 0 .

Sindrom katakod yang diterima serupa dengan sindrom ralat.

Katakod yand diterima R merupakan hasil tambah katakod C dan ralat E.

R = C + E.

Jadi C = R E dan

0 = H CT = H (R E)T

= H (R T E T)

= H R T H E T

Oleh itu sT = H RT = H E T.

Jadi katakod yang diterima R mempunyai sindrom yang sama dengan ralat E.


45

Maklumat ini sangat berguna sebab ini bermakna jika R merupakan katakod yang

diterima, set ralat yang mungkin juga merupakan set vektor yang sama dengan

sindrom R.

Dari atas, jika R dan E mempunyai sindrom yang sama, kita boleh guna akas

penghujahan untuk menunjukkan bahawa jika H RT = H E T , jadi R E = C , di

mana C adalah katakod.

Bilangan perkataan dengan sindrom yang sama serupa dengan bilangan katakod.

Dalam kes ini ada 23 = 8 sindrom yang mungkin dan setiap selaras tepat dengan

88

64

8

2 6 perkataan.

Oleh itu, sebagai contoh, 8 katakod selaras tepat dengan 8 perkataan dengan

sindrom[000].

Mencari perkataan selaras dengan sindrom yang diberi

Sebab sindrom katakod yang diterima R sama dengan sindrom ralat E, satu perkara

yan perlu dilakukan untuk dekod katakod yang diterima adalah untuk mencari semua

perkataan yang mempunyai sindrom yang sama dengan R.

Misalnya, kita akan mencari semua perkataan dengan sindrom [001] bila kita

menggunakan kod linear yang ditakrifkan. Oleh itu,

r1 + r2 + r4 = 0 (mod 2)

r1 + r3 + r5 = 0 (mod 2)

r2 + r3 + r6 = 1 (mod 2).

100110

010101

001011

6

5

4

3

2

1

r

r

r

r

r

r

=

1

0

0

,


46

atau H RT =

1

0

0

= sT.

Dengan cara yang sama, kita akan dapat mencari semua perkataan yang selaras

dengan sindrom [001] dengan cara menyenaraikan semua 8 pilihan yang mungkin

bagi 0 dan 1 bagi ketiga-tiga pembolehubah yang pertama dan mencari nilai baki

tiga pembolehubah tersebut. Misalnya, jika kita mula dengan r1 = 0, r2 = 0, r3 = 0,

kita dapat lihat daripada persamaan ini, kita dapatkan tiga persamaan di mana r4 =

0, r5 = 0, r6 = 1.

Jadi salah satu daripada 8 perkataan yang selaras dengan sindrom [001] ialah

[000001].

Kita boleh memperolehi semua 8 perkataan dengan cara yang sama.Misalnya, jika

r1 = 0, r2 = 0, r3 = 1, kita dapat r4 = 0, r5 = 1, r6 = 0, yang membentuk perkataan

[001010].

Latihan

1. Cari 6 perkataan lagi yang selaras dengan sindrom [001].

2. Senaraikan semua perkataan dengan sindrom

a) [010].

b) [111].

Tatasusunan Piawai Slepian menyenaraikan semua perkataan yang selaras dengan

setiap sindrom bagi kod linear.


47

Set perkataan { [r1 r2 r3 r4 r5 r6] di mana ri = 0 atau 1, bagi i = 1, 2, , 6} membentuk ruang vektor dimensi 6 di atas Medan Galois GF(2).

Sebab semua katakod merupakan penyelesaian bagi H CT = 0, semua katakod

membentuk subruang bagi ruang vektor yang mengandungi semua perkataan.

Dimensi sub ruang ini ialah 6 3 = 3.

Khasnya, ini bermakna set katakod akan membentuk kumpulan di bawah penambahan(mod 2) dan juga hasil tambah mana-mana dua katakod merupakan satu katakod.

Latihan Berkumpulan

1. Semak bahawa hasil tambah mana-mana dua katakod merupakan katakod.

2. Pilih sindrom yang tidak sama dengan [000] pastikan semua ahli dalam

kumpulan anda memilih sindrom yang berlainan.

a) Pilih satu katakod dan tambah kepadanya setiap daripada perkataan dalam baris yang selaras dengan sindrom pilihan anda. Apakah yang anda dapati ? What do you find?

b) Dengan menggunakan sindrom yang sama, pilih katakod yang berlainan dan ulang (a).

c) Dengan menggunakan sindrom yang sama, semak yang setiap perkataan yang selaras dengan sindrom dlam Tatasusunan Piawai Slepian boleh diperolehi sebagai hasil tambah perkataan pertama dalam baris (pemimpin koset) dan katakod dalam lajur yang sama.

d) Banding jawapan a), b) dan c) dengan ahli kumpulan lain.

Dalam Tatasusunan Piawai Slepian, semua katakod disenaraikan sebagai baris pertama bermula dengan katakod [000000].

Setiap baris berikut dalam tatasusunan mengandungi satu koset katakod. Dalam setiap koset, perkataan disusun dalam setiap baris di mana perkataan pertama dalam setiap baris mempunyai bilangan 1 yang paling kurang. Perkataan pertama dalam setiap baris Tatasusunan Piawai Slepian dinamakan pemimpin koset.

Dalam baris pertama, selaras dengan sindrom [000], perkataan dalam baris tiada 1; perkataan pertama dalam setiap daripada enam baris berikut mempunyai hanya satu 1 sahaja; manakala perkataan pertama dalam baris terakhir merupakan salah satu daripada tiga perkataan dalam baris tersebut yang ada tepat dua 1.


48

Berat sesuatu perkataan ditakrifkan sebagai bilangan 1 dalam perkataan tersebut.

Tatasusunan Piawai Slepian boleh dibina bagi kod linear dengan langkah-langkah berikut:

1. Dalam baris pertama, senaraikan semua katakod yang bermula dengan 0.

2. Pilih mana satu perkataan, W, yang berat minimum weight yang bukan katakod

(tidak disenaraikan pada baris pertama) dan senaraikannya sebagai unsur

pertama dalam baris berikut.

3. Bermula dengan W, senaraikan semua unsur koset W + C, di mana C adalah

katakod, dalam urutan yang sama seperti senarai katakod dalam baris pertama.

4. Ulangi langkah 2 dan 3 dengan menggunakan perkataan baru X, di mana X tiada

dalam dua baris yang pertama.

5. Ulangi langkah 4 dengan menggunakan perkataan baru yang tiada dalam baris- baris sebelumnya sehingga semua perkataan telah disenaraikan.

Pengdekodan Perkataan yang diterima R

R = [r1 r2 r3 r4 r5 r6] boleh didekodkan dengan langkah-langkah berikut:

1. Kirakan sindrom s = [s1 s2 s3] bagi R.

Ini merupakan sindrom bagi E.

2. Guna Tatasusunan Piawai Slepian untuk mencari perkataan dengan sindrom s

dengan bilangan 1 yang paling sedikit.

Pilih perkataan ini sebagai E.

3. Kirakan C di mana C = R E.


49

Latihan 1. Cari C jika R = [101110].

[ Nota: Apabila menggunakan tatasusunan ini, kita tidak perlu mengira sindrom. Sebab R dan E mempunyai sindrom yang sama, kita hanya cari R dalam sifir ini. E merupakan perkataan dalam baris yang mengandungi R. ]

2. Cari C jika (i) R = [111111], (ii) R = [111011], (iii) R = [110011]. 3. Bekerja secara berpasangan dan jalankan langkah-langkah berikut:

[1] Pilih katakod C untuk dikirim sebagai mesej. [2] Pilih ralat E. [3] Kirakan R = C + E dan kirimkan kepada pasangan anda. [4] Dekod perkataan pasangan anda. [5] Ulang ini sebanyak tiga kali: sekali pilih E yang berat 1 (hanya satu

1 dalam perkataan); sekali dengan E = 0; dan sekali dengan E yang berat 2 (dengan dua 1 dalam perkataan). Dalam kes yang manakah anda dapat mengenal pasti katakod?

Kod Linear secara Am

Satu kod merupakan kod linear atau kod kumpulan jika katakodnya merupakan set

vektor C yang memuaskan persamaan H CT = 0, di mana H adalah matriks semakan

pariti.

Dalam kod semakan pariti tunggal , digit-digit c1, c2, c3, c4, c5, c6 dalam katakod [c1

c2 c3 c4 c5 c6 ] memuaskan persamaan semakan pariti

c6 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 (mod 2),

yang serupa dengan

c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 = 0 (mod 2).

Ini ditulis sebagai H CT = 0, di mana H = [111111]. Kod ulangan panjang 5 juga boleh ditakrifkan dengan menggunakan persamaan semakan pariti berikut:

c1 + c2 = 0 (mod 2)

c1 + c3 = 0 (mod 2)

c1 + c4 = 0 (mod 2)

c1 + c5 = 0 (mod 2).


50

H CT = 0, di mana H =

10001

01001

00101

00011

.

Secara am, jika kod ulangan panjang n kita akan dapat matriks semakan pariti H

yang (n 1) x n

Kod blok merupakan kod di mana setiap katakod merupakan urutan bilangan tetap,

n, simbol. Bagi kes kod linear, panjang bloknya ialah bilangan lajur dalam H

Sindrom, s, katakod yang diterima R diberi sebagai sT = H RT. Koset terdiri daripada semua perkataan yang mempunyai sindrom tertentu. Berat perkataan merujuk kepada bilangan 1 dalam perkataan tersebut.

Dalam satu koset, perkataan yang mempunyai berat yang minimum dipilih sebagaai

pemimpin koset (coset leader).

Untuk mengdekod R:

1. Kirakan sindrom s;

2. Cari pemimpin koset E; dan

3. Kirakan C = R E.

3.6 Kod Hamming

Teori kod pembetulan ralat telah bermula dengan usaha Richard Hamming dalam

1947. Sebagai seorang ahli matematik, Hamming dapat menggunakan kemudahan

komputer di Bell Telephone Laboratories untuk menjalankan pengiraan matematik.

Ketika itu, masa untuk melaksanakan program sangat lama dan apabila Hamming

datang bekerja pada hujung minggu beliau kerap menemui situasi di mana program

pengiraan terhenti kerana menemui ralat. Oleh yang demikian, Hamming memikirkan

tentang kebolehan komputer bukan sahaja untuk mengesan ralat tetapi

membetulkannya!

Pada 1950 Richard Hamming telah memperkembangkan kod Hamming yang

merupakan kod linear yang dapat membetulkan ralat tunggal.


51

H =

100110

010101

001011

sT = H RT = H ET.

Jika ralat E = [e1 e2 e3 e4 e5 e6], persamaan boleh ditulis semula sebagai

3

2

1

s

s

s

= e1

0

1

1

+ e2

1

0

1

+ e3

1

1

0

+ e4

0

0

1

+ e5

0

1

0

+ e6

1

0

0

.

Sindrom ialah hasil tambah lajur-lajur H di mana ralat-ralat saluran berlaku.

Oleh yang demikian, jika mana:

satu lajur H adalah 0 , ralat pada kedudukan tersebut tidak dapat dikesan;

dan

dua lajur H serupa, kita tidak dapat membezakan ralat tunggal yang berlaku

pada kedua-dua kedudukan tersebut

Kod linear hanya dapat membetulkan semua pola ralat tunggal jika lajur-lajur H

berbeza dan bukan sifar

Sebaliknya, jika semua lajur H berbeza dan bukan sifar, ralat tunggal pada

kedudukan berbeza akan menghasilkan sindrom yang berbeza.

Kod binari linear mampu membetulkan semua pola yang tiada lebih daripada satu

ralat saluran jika dan hanya semua lajur dalam matriks semakan pariti H berbeza

dan bukan sifar.

Pengedekodan Perkataan

Untuk mengdekodkan perkataan yang diterima R, sindrom s dikira.

Jika s ialah sifar, andaikan tiada ralat.

Jika s bukan sifar dan sama dengan salah satu lajur dalam H, andaikan ralat tunggal

telah berlaku pada kedudukan tersebut.


52

Jika s bukan sifar dan tidak sama dengan mana satu lajur dalam H , prosedur

pengdekodan ini gagal.

Kegagalan pengdekodan dan ralat hanya berlaku jika dua atau lebih ralat saluran

berlaku.

Misalnya, jika H =

101000111

011001110

101011100

011111000

.

Jika diterima perkataan R = [101000101], jadi kita dapat mengira s = [1100].

Sebab sT merupakan lajur kelima dalam H , kita andaikan E = [000010000].

Oleh itu C = R E = [101010101].

Walau bagaimana pun jika R = [101000101], kita perolehi s = [1101], dan dalam kes

ini di mana sT bukan salah satu lajur dalam H , ini bermakna terdapat 2 ralat dan prosedur pengdekodan gagal.

Latihan

Bagi matriks semakan pariti H di atas, cuba dekodkan perkataan-perkataan berikut yang diterima:

(i) R = [101001101] (ii) R = [111000101] (iii) R = [101000111]

Bagi kod pembetulan ralat tunggal, bilangan maksimum lajur bukan sifar matriks

binari yang berbeza dan bukan sifar 2r 1.


53

Kod Hamming

Lajur-lajur dalam matriks semakan pariti H , Kod Hamming terdiri daripada 2r 1

lajur bukan sifar r tuple (non-zero binary r-tuples ) yang tersusun dalam mana-mana

satu urutan.

Jika A merupakan matriks m n dengan pangkat r, dimensi ruang nol A adalah n r.

Sebab H mengandungi semua lajur bukan sifar yang mungkin, ia mengandungi

setiap satu daripada lajur-lajur matriks identiti r x r dan mempunyai pangkat r.

Jadi H merupakan matriks r x n dengan pangkat r dan dimensi subruang yang

memenuhi syarat H CT = 0 iaitu n r = k.

Oleh itu, bilangan digit mesej = k = n r = 2r 1 r.

Bagi setiap integer positif, wujud Kod Hamming dengan digit semakan r, panjang

blok n= 2r 1 dan k = n r = 2

r 1 r.

Kod ini boleh membetulkan ralat tunggal pada mana-mana satu digit. Sebab setiap

r-tuple bukan sifar wujud sebagai lajur, kegagalan pengdekodan tidak akan berlaku.

Jadi prosedur pengdekodan ralat tunggal lengkap.

Walau bagaimana pun kod ini tidak dapat mengesan lebih daripada 2 ralat.

Kadangkala digit semakan pariti yang lain akan ditambah untuk mengesan (tetapi

tidak dapat membetulkan ) 2 ralat.Lajur-lajur dalam matriks semakan pariti H boleh

disusun dalam mana-mana satu urutan.

Kadar maklumat Kod Hamming

R = n

k =

12

12r

r

r = 1

12r

r.

Bila r , R1.

Dengan membina Kod Hamming yang mempunyai panjang blok yang besar, kita

akan dapat kadar maklumat yang sangat tinggi. Sungguh pun Kod Hamming

merupakan perkembangan hebat berbanding dengan kod semakan pariti tunggal,

kod ini tidak dapat membetulkan lebih daripada dua ralat.

Sekitar 1960, Bose, Changhuri and Hocquenghan telah menemui kod pembetulan

dwi-ralat Kod BCH (double-error-correcting codes) yang lebih kompleks.

Seterusnya, kod-kod ini diperkembangkan sehingga menjadi kod pembetulan t

ralat.


54

Latihan

1.(a) Yang mana satu daripada matriks semakan pariti ini merupakan kod

pembetulan ralat tunggal? Beri sebab jawapan anda.

(i) H =

0111011100

0001000101

1100110011

1010101010

(ii) H =

110110000

000110110

000011011

011011000

(b) Yang mana satu daripada kedua matriks di atas merupakan Kod Hamming ? Beri sebab mengapa atau mengapa tidak.

2. Guna matriks (ii) daripada soalan 1 di atas untuk mengdekod setiap

daripada perkataan yang diterima berikut:

(a) R = [111101000] (b) R = [110101011]

(c) R = [100010001] (d) R = [010010010].

3. Pertimbangkan Kod-Kod Hamming yang ditakrifkan oleh tiga matriks

semakan pariti di bawah.

(i) H =

1010101

1100110

1111000

(ii) H =

1001011

0101101

0011110


55

(iii) H =

1010101

0110011

0001111

(a) Bagi setiap kod, dekodkan perkataan-perkataan berikut yang diterima:

R1 = [1110000] , R2 = [1111000] .

(b) Tunjukkan yang dua daripada tiga matriks di atas mentakrifkan kod-kod yang

serupa (identical codes). Panduan: Tunjukkan bahawa baris-baris mana satu

merupakan kombinasi linear yang lain.

3.7 Algoritma RSA Masalah Penyebaran Kunci (Key-Distribution Problem)

Dalam sistem tradisional, kunci yang diguna oleh si-pengirim untuk mengenkod mesej diguna juga oleh si-penerima untuk mengdekodnya. Oleh yang demikian, kunci tunggal ini mesti dijaga dengan baik dan dirahsiakan agar hanya dapat digunakan oleh pihak tertentu.

Dalam masyarakat moden, masih ada jumlah data yang banyak yang perlu dirahsiakan dan ini mengakibatkan keperluan penggunaan kunci bagi pengguna-pengguna kod.

Masalah penyebaran kunci ini diterangkan oleh Simon Singh dalam bukunya The Codebook (2002) seperti berikut:

a classic catch-22 situation. If two people want to exchange a secret message over

the phone, the sender must encrypt it. To encrypt the secret message the sender must

use a key, which is itself secret, so then there is the problem of transmitting the secret

key to the receiver in order to transmit the secret message. In short, before two

people can exchange a secret (an encrypted message) they must already share a

secret (the key). (pp. 189190)

Pada pertengahan tahun 70-an, Whitfield Diffie, Martin Helman dan Ralph

Merkle telah mencadangkan penggunaan cipher asimetrik (asymmetric cipher)

untuk mengatasi masalah penyebaran kunci. Mereka mencadangkan

penggunaan kunci berlainan untuk mengenkod dan mengdekod mesej.


56

Peranan Pemfaktoran

Aktiviti: Faktorkan 518 940 557

Darabkan 15 107 dengan 34 351

Aktiviti di atas menunjukkan betapa sukarnya untuk mencari faktor-faktor

hasildarab dua nombor perdana. Oleh yang demikian, konsep ini diguna untuk

menjanakan sistem pengkodan yang baru yang dinamakan sebagai Kriptografi

Kunci Umum (Public Key Cryptography).

Dalam kriptografi kunci umum, kunci untuk mengdekod mesej tidak dapat

diperolehi dengan mudah daripada kunci yang diguna untuk mengenkodnya. Ini

membolehkan pengiriman mesej secara elektronik secara selamat ke destinasi

di mana kunci umum boleh dihebahkan secara umum.

Penggunaan Aritmetik Modular

Aritmetik modular digunakan dalam banyak kriptosistem untuk menyamarkan

maklumat dengan mudah kerana fungsinya yang agak mengelirukan.

Jadual berikut menunjukkan bagaimana nilai P dapat dirahsiakan melalui

pengiraan C = P3 dalam modulo 11.

P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C = P3 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

C = P3 modulo 11 0 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10

Aritmetik modular juga dikenali sebagai aritmetik jam diperkenalkan oleh K.F.Gauss (1777-1855). Bagi sebarang nombor asli n, aritmetik modulo n berasaskan kepada pembahagian set integer Z = {, 3,2, 1, 0, 1, 2, 3, } ke dalam n kelas yang berasingan yang selaras dengan n baki yang mungkin apabila dibahagi oleh n. Misalnya, jika n =2, baki yang mungkin jika integer dibahagi oleh 2 adalah 0 atau 1. Kelas integer dengan baki 0 merupakan set nombor genap = {..., 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, ...} manakala kelas integer dengan baki 1 merupakan set nombor ganjil = {..., 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, ...}. Secara umum, semua integer dalam kelas yang sama mempunyai baki yang sama apabila terbahagi oleh modulus. Ini bermakna terdapat perbezaan antara dua integer dalam kelas yang sama juga merupakan gandaan modulus.


57

Jadi, dalam contoh di atas, apabila kita memerhatikan perbezaan antara dua nombor genap kita akan memperolehi gandaan 2 (8 2 = 6 = 3x2) dan apabila kita lihat perbezaan antara dua nombor ganjil kita juga akan mendapat gandaan 2 ( 7 ( 1) = 8 = 4x2).

Sifat Kongruen Modulo Dua integer a dan b dikatakan sebagai kongruen modulo jika a b merupakan gandaan n dan ini ditulis sebagai

a b (mod n) .

Oleh yang demikian, semua nombor genap 0 (mod 2) dan semua nombor ganjil

1 (mod 2).

Dengan perkataan lain, kita boleh mewakili setiap nombor genap (mod 2) dengan

integer 0 dan setiap nombor ganjil (mod 2) dengan 1.

Aktiviti

1. (a) Apakah baki yang mungkin bila integer dibahagi dengan 3?

(b) Bagi setiap integer berikut, tulis baki yang diperolehi selepas dibahagi

dengan 3:

(i) 7; (ii) 301; (iii) 963; (iv) 31; (v) 5; (vi) 1.

(c) Pasangan integer yang manakah yang kongruen mod 3?

2. Bekerja secara berkumpulan.

(a) Pilih mana-mana dua integer a dan b pastikan semua orang menggunakan

pasangan integer yang berbeza.

Cari integer bukan negatif terkecil a dan b di mana

a a (mod 7) dan b b (mod 7).

(b) Kirakan nilai, dengan bantuan kalkulator saintifik jika perlu:

(i) ab ; (ii) ab (mod 7) ; (iii) ab ; (iv) ab (mod 7) .

(c) Berdasarkan pengiraan kumpulan anda, apakah kesimpulan yang anda

dapati tentang apa yang berlaku dengan hasil darab aritmetik modulo?


58

Jika a a (mod n) dan b b (mod n), maka ab a b (mod n).

Contoh:

Cari X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29).

Penyelesaian :

36 7 (mod 29), 53 24 (mod 29), 91 4 (mod 29), 17 17 (mod 29), dan 22 22 (mod 29).

Ini boleh ditulis semula sebagai

X = 36 * 53 * 91 * 17 * 22 (mod 29)

= 7 * 24 * 4 * 17 * 22 (mod 29)

= 168 * 68 * 22 (mod 29)

= 23 * 10 * 22 (mod 29)

= 230 * 22 (mod 29)

= 27 * 22 (mod 29)

= 594 (mod 29)

= 14.

Semak 36 * 53 * 91 * 17 * 22 = 64 936 872 dan 64 936 872 (mod 29) = 14.

[Nota: Kalkulator saintifik komputer anda juga boleh melakukan pengiraan aritmetik modulo.] Aktiviti

Cari X = 73 * 29 * 102 * 14 * 87 (mod 31) dan semak jawapan anda.

Contoh pengiraan aritmetik modulo secara berperingkat-peringkat:

Cari X = 1143 (mod 13).

Perhatikan bahawa 112 (mod 13) = 121(mod 13) = 4.

Jadi 114 (mod 13) = 42 (mod 13) = 16 (mod 13) = 3.

118 (mod 13) = 32 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9, dan

1116 (mod 13) = 92 (mod 13) = 81 (mod 13) = 3.

1132 (mod 13) = 32 (mod 13) = 9 (mod 13) = 9.

Tidak perlu cari kuasa yang lebih tinggi bagi 11 sebab 1164 > 1143.

Perhatikan yang 1143 = 1132 * 1111 = 1132 * 118* 113 = 1132 * 118* 112 * 11.

Oleh itu 1143 (mod 13) = 1132 * 118* 112 * 11 (mod 13) = 9 * 9 * 4 * 11 (mod 13)

= 81 * 44 (mod 13) = 81 * 44 (mod 13) = 3 * 5 (mod 13)

= 15 (mod 13) = 2.


59

Teorem Kecil Fermat Fungsi Euler bagi integer m ditakrifkan sebagai bilangan integer positif yang kurang atau sama dengan m dan perdana relatif (relatively prime) kepada m.

Aktiviti

Cari (n) bagi n = 1, 2, 3, , 20.

Semak bahawa n = p x q bagi nombor-nombor perdana p dan q,

dan (n) = (p 1) (q 1)

Teorem Kecil Fermat menyatakan bahawa bagi setiap integer yang perdana relatif kepada n,

a(n) 1(mod n).

Aktiviti

Bekerja secar berkumpulan, pilih satu nilai n antara 10 dan 20.

Cari (n)

Semak bahawa a(n) 1(mod n).

Sistem Rivest-Shamir-Adleman (RSA)

Salah satu kriptosistem kunci umum yang paling awal adalah sistem RSA yang

dicipta oleh Ted Rivest, Adi Shamir dan Leonard Adleman. Sistem RSA bergantung

kepada kesukaran memfaktorkan nombor yang besar dan penggunaan aritmetik

modular serta teori nombor.

Sistem RSA boleh diterangkan seperti berikut:

Menyediakan Sistem

Pilih dua nombor perdana yang besar, p dan q, di mana panjang setiap satu 100 digit. ( Nombor perdana ini dirahsiakan.) Biar n = p x q. (Nombor n dihebahkan secara umum tetapi pengetahuan n tidak memungkinkan anda menentukan nilai p dan q kerana kesukaran memfaktorkan nombor ini.)

Fungsi Euler function (n) = (p 1)(q 1) merupakan bilangan integer antara 1 dan n yang perdana relatif kepada n iaitu, bilangan nombor integer yang faktor sepunya dengan n adalah 1. Fungsi Euler (n) mempunyai ciri bagi sebarang integer a antara 0 dan n 1 di mana

a 1 + k.(n) = a mod n .


60

Pilih integer positif rawak E < (n) , di mana E perdana relatif kepada (n). (E, seperti n, diumumkan bersama n dan E menjadi kunci umum)

Sebab pihak yang menyediakan kod ketahui rahsia nombor perdana p dan q, mereka juga ketahui nilai (n) = (p 1)(q 1), tetapi nilai ini dirahsiakan daripada orang ramai. Jadi bagi pihak yang menyediakan kod, adalah mudah untuk mencari songsang E modulo (n) iaitu nombor D di mana

D.E 1 mod (n) ,

Iaitu nombor D yang memberi

D.E = 1 + k.(n) bagi sebarang integer k.

Nombor D ini juga dirahsiakan.

Secara ringkas,

Kunci rahsia: p, q, (n), D Kunci umum: n, E.

Enkripsi

Langkah pertama adalah untuk mewakili sebarang mesej sebagai urutan integer. Setiap mesej dipecahkan kepada beberapa blok digit, setiapnya merupakan nombor yang kurang daripada n. Setiap blok boleh dienkodkan secara berasingan.

Jika P adalah blok dalam mesej iaitu integer antara 0 dan n 1.

Sekarang biarkan C = P E mod n,

Iaitu, kita naikkan kuasa P ke kuasa E dan mencari bakinya selepas dibahagi dengan n.

Dengan cara demikian, C dienkripkan atau mesej berkod yang selaras dengan mesej asal P, dan C ialah mesej yang ditransmisikan dengan apa jua kaedah (mungkin kurang selamat) yang digunakan.

Dekripsi

Untuk mengdekodkan mesej C , kita cari P secara mengira

P = C D mod n.

Oleh kerana C = P E mod n, Kita akan dapat

C D mod n = P E.D mod n = P 1 + k.(n) mod n = P mod n , sebab 0 < P< n.


61

Keberkesanan Kod RSA

Semasa kod RSA diperkembangkan, adalah dijangka yang masa untuk memfaktorkan nombor 200 digit n = p x q akan mengambil masa sejuta tahun dengan bantuan algoritma komputer terpantas di dunia ketika itu. Kini, dengan komputer yang cepat dan canggih, kaedah pengkodan sebegini mungkin akan ditewaskan pada satu masa. Oleh yang demikian, sistem-sistem kriptografi yang baru sentiasa dicipta demi menampung keperluan keselamatan dan kerahsiaan ketika menyimpan data dan transmisi maklumat digital. Minat dalam penggunaan Kriptografi Kunci Umum telah memesatkan lagi penyelidikan dan perkembangan teknik pemfaktoran nombor dan teori nombor secara umum.

Contoh Pengiraan Algoritma RSA #1: Pilih nilai p dan q (nombor perdana) p= 7, q =11 => n = 7 x 11 = 77 #2: Cari nilai (n) =(p-1)(q-1) (n) = (7-1)(11-1) = 6 x 10 =60 #3: Pilih nilai e (nombor yg relatif perdana) e = 13 #4: Cari nilai d di mana d.e = 1 mod (n) - Kaedah Euler d. 13 = 1 mod 60 60 = 4 x 13 + 1 x 8 1 = 3 1 x 2 13 = 1 x 8 + 1 x 5 = 3 1 x (5 1x3) 8 = 1 x 5 + 1 x 3 = 2x 3 1x5 5 = 1 x 3 + 1 x 2 = 2 x (8 1x5) 1 x5 3 = 1 x 2 + 1 x 1 = 2 x 8 3 x 5 2 = 2 x 1 + 0 = 2 x 8 3 (13 1x 8) = 5 x 8 3 x 13 = 5 (60 4 x 13) 3 x 13 = 5 x 60 23 x 13 (sebab nilai negatif jadi kena tukar kpd yg positif) d = 60 -23 =37 #5: Jika diberi, M =26 cari C C = Memod n = 2613 mod 77 = 75 261 mod77 = 26

262 mod77 = 676 mod77 = 60 264 mod77 = 602 mod77 = 58 268 mod77 = 582 mod77 = 53 2613 mod77= 268 264 261 mod77= 53 x 58 x 26 mod77 = 71 x 26 mod77= 75


62

#6 : Semakan guna M = Cdmod n M = 7537mod 77 = 26 751 mod77 = 75

752 mod77 = 5625 mod77 = 4 754 mod77 = 42 mod77 = 16 758 mod77 = 162 mod77 = 25 7516 mod77 = 252 mod77 = 9 7532 mod77 = 92 mod77 = 4 7537 mod77 = 7532 754 751

mod77 = 4 x 16 x 75

mod77 = 64 x 75 mod77 = 26


63

4.0 PENDAHULUAN

4.0.1 Apa itu permodelan matematik?

Model menggambarkan kepercayaan kita tentang bagaimana dunia berfungsi. Dalam

permodelan matematik, kita menterjemahkan kepercayaan itu ke dalam bahasa

matematik. Antara kelebihan-kelebihannya ialah:

a) Matematik ialah bahasa yang sangat tepat. Ia membantu kita merumuskan

idea-idea dan membantu mengenal pasti asas-asas andaian.

b) Matematik ialah bahasa yang sangat ringkas, dengan kaedah-kaedah yang

jelas untuk dimanipulasi.

Terdapat banyak unsur-unsur kompromi di

dalam permodelan matematik ini. Majoriti

sistem yang berinteraksi dengan dunia

sebenar adalah terlalu rumit untuk

dipermodelkan. Oleh itu, peringkat pertama

adalah untuk mengenal pasti bahagian yang

paling penting dalam sistem.

BAB 4 PENGGUNAAN

PERMODELAN MATEMATIK

DALAM BIOLOGI DAN

EKOLOGI

Rajah 1 Sistem yang berinteraksi dengan dunia sebenar adalah rumit untuk dipermodelkan.


64

4.0.2 Objektif yang boleh dicapai dalam permodelan

Permodelan matematik boleh boleh digunakan untuk beberapa sebab yang berbeza.

Sejauh mana sesuatu objektif itu tercapai adalah bergantung kepada kedua-dua

aspek iaitu keadaan pengetahuan mengenai sistem dan sejauh mana model dapat

dilaksanakan. Contoh-contoh objektif ialah:

a) Membangunkan pemahaman saintifik.

- Melalui sistem pengetahuan semasa ungkapan kuantitatif (quantitative

expression of current knowledge of a system).

b) Menguji kesan perubahan dalam sistem.

c) Membantu dalam membuat keputusan termasuklah

i keputusan taktikal oleh pengurus.

ii keputusan strategik oleh perancang

4.0.3 Klasifikasi Permodelan

Ketika mengkaji model, adalah membantu mengenal pasti kategori model. Klasifikasi

ini membantu kita mengetahaui beberapa ciri struktur utama bagi setiap kategori.

Satu bahagian di antara model adalah berdasarkan jenis hasil yang diramalkan.

Model berketentuan (deterministic model) mengabaikan perubahan secara rawak,

jadi hasil yang sama boleh sentiasa diramalkan dari satu titik permulaan. Tambahan

lagi, model mungkin lebih statistik dalam alam semula jadi, maka hasilnya juga boleh

diprediksikan.

Setengah model juga dikatakan bersifat

stochastic iaitu tidak boleh ditentukan (non-

deterministic). Model ini ditentukan oleh tindakan

sistem yang diramalkan (systems predictable

actions) dan juga elemen-elemen secara rawak

(random elements). Berikut adalah kategori

model yang terlibat dalam kaedah klasifikasi

permodelan:

Rajah 2 Pergerakan planet boleh dimodelkan berdasarkan persamaan pembezaan Newtonians Mechanics


65

Empirikal Mekanistik

Deterministik Meramalkan pembesaran

anak lembu daripada

hubungan regresi dengan

pengambilan makanan

Pergerakan planet.

Berdasarkan Newtonians

Mechanics (persamaan

pembezaan)

Stochastic Analisis varians terhadap

pelbagai hasil dalam

beberapa tahun

Genetik bagi populasi kecil

berdasarkan pewarisan

Mendelian / Mendelian

Inheritence ( persamaan

probabilistik)

JADUAL 1 KATEGORI MODEL-MODEL YANG TERLIBAT DALAM KAEDAH KLASIFIKASI PERMODELAN.

4.0.4 Peringkat-peringkat permodelan

Adalah lebih baik apabila kita membahagikan proses permodelan ini kepada 4 iaitu

membina (building), belajar (studying), menguji (testing) dan guna (use). Walaupun

amat senang memikirkan bahawa proses permodelan berlaku daripada membina

hingga guna, namun hal ini jarang berlaku. Umumnya, kecatatan yang berlaku pada

peringkat belajar dan menguji boleh diperbetulkan dengan kembali ke peringkat

permulaan. Harus diingat bahawa sekiranya berlaku apa-apa perubahan kepada

model, maka peringkat belajar dan uji harus diulang semula.

Berikut ialah laluan perwakilan bergambar menerusi peringkat-peringkat

permodelan:

RAJAH 3 PERINGKAT-PERINGKAT DALAM PERMODELAN


66

4.1 PERMODELAN MATEMATIK DALAM BIOLOGI DAN

EKOLOGI

4.1.1 Apakah Permodelan Matematik dalam Biologi?

Biologi Matematik (yang merupakan satu lagi nama untuk 'Permodelan Matematik

dalam Biologi, sering digunakan dalam kesusasteraan saintifik) adalah aplikasi

kaedah matematik untuk masalah yang timbul dalam bidang biologi dan sains hayat.

Matematik telah lama diiktiraf sebagai alat yang berkesan dan mudah untuk

menerangkan proses biologi dan ekologi. Kemajuan besar yang telah dibuat dalam

dekad baru-baru ini dalam memahami prinsip-prinsip organisasi yang hidup pada

tahap yang berbeza, yang terdiri daripada gen dan sel-sel untuk komuniti dan

ekosistem, akan tidak pernah dicapai tanpa menggunakan model matematik dan

eksperimen komputer.

4.2 MODEL LOGISTIK

Menentukan masalah sebenar

Jadual 1 menunjukkan data pertumbuhan bunga matahari dari segi ketinggian (dalam

sentimeter) diperhatikan dari masa ke masa (dalam minggu). Cari model yang

memberikan tinggi (t) sebagai fungsi masa (m).

Jadual 1 Pertumbuhan bunga matahari dari segi ketinggian Masa (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tinggi (t) 18 33 56 90 130 170 203 225 239 247 251

Model yang digunakan untuk pengiraan adalah model persamaan logistik.


67

Formulasi model matematik

Guna formula: 1kt

MP

Ae

Dimana P = populasi

M = had maksimum output

A,k = pemalar

t = masa

Penyelesaian masalah matematik

Guna formula: 1kt

MP

Ae

Andaikan C = 256 Diberi x0 = 0, y0 = 18 ; x1 = 1, y1 = 33

Masukkan dalam formula : P = 256

1 + A

Apabila x0 = 0, y0 = 18

18 = 256

1 + A(0)

18 = 256

1 + A

18 + 18A = 256 A = 13.22 Apabila x1 = 1, y1 = 33

33 = 256

1 + 13.22(1)

33 = 256

1 + 13.22

33 + 436.26 = 256 = 0.51 k = - ln (0.51) k = 0.67


68

Untuk mencari nilai C ;

y(0) =

1 + A(0)

=

1 + A

(1+A) y (0) = C (1 + 13.22) 18 = C C 255.96

Maka, P = 256

1 + 13.220.67

Seterusnya, untuk mencari titik lengkok balas:

= ( ln

,

2 )

= ( ln 13.22

0.67 ,

256

2 )

= ( 3.85, 128 )

Mentafsir penyelesaian

Graf yang telah diplotkan adalah seperti berikut:

Rajah1 Tinggi (t) melawan masa (m) bagi pertumbuhan bunga matahari

0102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250260270

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tin

gg

i (t

)

Masa (m)

Tinggi (t) melawan masa (m)


69

Persamaan logistik yang telah diperoleh adalah :

P = 256

1 + 13.220.67

Oleh itu, nilai ouput maksimum, C adalah 256 iaitu pertumbuhan ketinggian bunga

matahari akan lebih perlahan apabila mencapai ketinggian 256 cm. Nilai A yang

diperoleh adalah 13.22 manakala nilai k adalah 0.67. Nilai A yang memberikan

nombor positif menunjukkan bahawa graf akan menunjukkan dari segi ketinggian

bunga matahari.

Seperti yang dilihat dalam graf di atas, ciri-ciri bentuk-S dalam graf fungsi logistik

menunjukkan bahawa pertumbuhan pesat awal diikuti dengan tempoh di mana

pertumbuhan menjadi lambat dan kemudian peringkat mendatar, menghampiri

(tetapi tidak pernah mencapai) sesuatu had maksimum.

Manakala, untuk titik lengkok balas yang diperoleh adalah ( 3.85, 128 ). Ini

menunjukkan bahawa pada titik tersebut graf terbahagi kepada dua dan

menunjukkan kadar kenaikan yang berbeza.

Membanding dengan realiti

Seterusnya, kita akan menggunakan data yang diberi untuk membuat

perbandingan antara ketinggian menggunakan persamaan logistik yang telah

diperoleh.

P = 256

1 + 13.220.67

Jadual 2 Perbandingan antara data yang telah dikumpul dan data daripada

model

Masa (m)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tinggi (t)

18 33 56 90 130 170 203 225 239 247 251

Tinggirumus (t)

18 32.97

57.38

92.37

134.28

174.89

206.9 228.28

241.02

248.11

251.9


70

Apabila nilai t = 0 Apabila nilai t = 6

P0 = 256

1 + 13.220.67 P6 =

256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(0) =

256

1 + 13.220.67(6)

= 18 = 206.9


P1 = 256

1 + 13.220.67 P7 =

256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(1) =

256

1 + 13.220.67(7)

= 32.97 = 228.28


P2 = 256

1 + 13.220.67 P8 =

256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(2) =

256

1 + 13.220.67(8)

= 57.38 = 241.02


P3 = 256

1 + 13.220.67 P9 =

256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(3) =

256

1 + 13.220.67(9)

= 92.37 = 248.11


P4 = 256

1 + 13.220.67 P10 =

256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(4) =

256

1 + 13.220.67(10)

= 134.28 = 251.9

Apabila nilai t = 5

P5 = 256

1 + 13.220.67

= 256

1 + 13.220.67(5)

= 174.89


71

Berdasarkan Jadual 2 di atas, nilai ketinggian yang ditunjukkan oleh data yang telah

dikumpul dan melalui pengiraan menggunakan persamaan logistik yang telah

diperoleh adalah tidak menunjukkan perbezaan yang banyak. Oleh itu, graf fungsi

logistik yang telah diplotkan adalah sesuai.

Rajah 2 Perbandingan antara data yang telah dikumpul dan data daripada model

Rajah 2 menunjukkan perbandingan antara data yang telah dikumpul dan data

daripada model. Kedua-dua bentuk graf yang telah dilukis tidak menunjukkan

perbezaan yang banyak dan ini boleh dikatakan bahawa data adalah sesuai.

Seterusnya, untuk perbandingan nilai lengkok balas adalah seperti berikut;

Titik lengkok balas (dikira) : Titik lengkok balas (daripada graf) :

= ( ln

,

2 ) = (3.82, 128)

= ( ln 13.22

0.67 ,

256

2 )

= ( 3.85, 128 )

0102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250260270

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tin

gg

i (t

)

Masa (m)

Tinggi (t) melawan masa (m)

Tinggirumus (t)

Tinggi (t)


72

Rajah 3 Tinggirumus (t) melawan masa (m) bagi pertumbuhan bunga matahari

Kesimpulannya, persamaan logistik yang diperoleh adalah sesuai kerana perbandingan antara kedua-dua graf yang dilukis tidak menunjukkan perbezaan yang banyak dan titik lengkok balas juga menunjukkan perbezaan yang sedikit.

4.3 MODEL MANGSA PEMANGSA

Kita telah mengetahui bahawa terdapat

pelbagai model bagi pertumbuhan

spesis-spesis yang hidup dalam alam

sekitar kita. Dalam seksyen ini, kita

akan membuat pertimbangan kepada

model yang lebih realistik yang

melibatkan interaksi dua spesis dalam

habitat yang sama. Kita akan melihat

model ini berkaitan dengan persamaan

pembezaan.

0102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250260270

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tin

gg

i (t

)

Masa (m)

Tinggirumus (t) melawan masa (m)

Rajah 4 Interaksi di antara snowshoe hare dan lynx adalah salah satu contoh dalam model mangsa-pemangsa.


73

Pertimbangan yang pertama dalam situasi ini bagi satu spesis dikenali sebagai

mangsa, mempunyai sumber makanan yang cukup dan spesis yang kedua dikenali

sebagai pemangsa, yang memakan mangsa.

Hubungan dinamik di antara pemangsa dan mangsa telah lama dan akan terus

menjadi alah satu daripada tema dominan dalam ekologi dan ekologi matematik

keranan kewujudan universal dan kepentingannya1. Masalah ini mungkin kelihatan

mudah pada mulanya, tetapi hakikatnya ia sangat mencabar dan rumit. Walaupun

teori mangsa-pemangsa telah mengalami banyak perubahan dalam 40 tahun yang

lalu, masalah matematikal dan ekologikal masih kekal terbuka2. Model persamaan

pembezaan bagi interaksi antara dua spesis adalah salah satu daripada aplikasi

klasik metamatik kepada biologi.

Contoh bagi mangsa-pemangsa termasuklah arnab dengan serigala dalam hutan

yang terpencil, ikan dengan jerung, serangga afid (aphids) dengan kumbang

ladybugs, dan bakteria dengan amoeba.

4.3.1 Persamaan Pembezaan Model Mangsa-Pemangsa

Model ini mempunyai dua pemboleh ubah bersandar dan kedua-duanya adalah

berfungsi sebagai masa. Dalam persamaan ini, kita katakan () sebagai bilangan

mangsa (dalam keadaan ini, saya menggunakan M untuk rusa moose) dan ()

sebagai bilangan pemangsa ( W untuk serigala/wolves) pada sesuatu masa .

Dalam ketiadaan pemangsa, kita mengandaikan bekalan makanan yang mencukupi

akan menyokong pertumbuhan eksponental mangsa, iaitu:

= di mana k ialah pemalar tetap

1 Berryman AA. The origins and evolutions of predatorprey theory. Ecology 1992;73:15305. 2 Berreta E, Kuang Y. Convergence results in a well known delayed predatorprey system. J Math Anal Appl 1996;204:84053.


74

Dalam ketiadaan mangsa, kita mengandaikan populasi pemangsan akan berkurang

pada kadar dengan sendirinya (proportional to itself), iaitu:

= di mana r ialah pemalar tetap

4.3.2 Model Lotka-Volterra

Model Lotka-Volterra ialah model yang paling mudah

dalam interaksi mangsa- pemangsa. Model ini telah

diperkenalkan oleh ahli matematik Itali iaitu Vito

Volterra (1926) yang mencadangkan model

persamaan pembezaan untuk menerangkan

peningkatan yang diperhatikan pada ikan pemangsa

/predator fish (dan pengurangan sepadan dalam ikan

mangsa / prey fish) di Laut Adriatik semasa Perang

Dunia I. Dalam masa yang sama di Amerika Syarikat,

persamaan yang dikaji oleh Volterra telah diterbitkan

secara bebas oleh Alfred Lotka (1932) untuk

menerangkan tindak balas kimia hipotetikal dalam kepekatan kimia3.

Dengan kehadiran kedua-dua spesis, kita mengandaikan prinsip penyebab kematian

antara mangsa adalah kerana dimakan oleh pemangsa, dan kelahiran dan

kelangsungan hidup pemangsa bergantung kepada bekalan makanan yang ada, iaitu

mangsa. Kita juga mengandaikan bahawa dua spesis menghadapi satu sama lain

pada kadar yang berkadar kepada kedua-dua populasi dan seterusnya berkadar

dengan . (The more there are of either population, the more encounters there are

likely to be.) Sistem persamaan pembezaan yang menggabungkan andaian ini

adalah seperti berikut:

=

= +

3 http://www.scholarpedia.org/article/Predator-prey_model

Rajah 5 Vito Volterra, ahli matematik dan fizik

1


75

Di mana , , dan ialah pemalar positif. Perlu diingat bahawa

mengurangkan kadar pertumbuhan semula jadi mangsa dan meningkatkan

kadar pertumbuhan semula jadi pemangsa.

Persamaan (1) itulah dikenali sebagai persamaan mangsa-pemangsa atau

persamaan Lotka-Volterra. Penyelesaian bagi sistem persamaan ini ialah fungsi

kedua-dua () dan () yang menerangkan populasi mangsa dan pemangsa

sebagai fungsi masa. Disebabkan sistem ini berpasangan ( dan terdapat dalam

kedua-dua persamaan), jadi kita tidak dapat menyelesaikan persamaan satu persatu.

Ia hanya boleh diselesaikan secara serentak. Malangnya, adalah agak mustahil

untuk mencari formula eksplisit untuk dan sebagai fungsi masa . Bagaimana

pun, kita boleh menggunakan kaedah grafikal untuk menganalisis persamaan ini.

4.3.3 Titik Keseimbangan (Equilibrium Point)

Keseimbangan populasi berlaku pada

model apabila tiada satu pun daripada

kedua-dua tahap populasi tersebut

berubah. Dengan kata lain, kedua-dua

derivatif adalah sama dengan sifar 0.

Pada titik keseimbangan ini, kita

mengandaikan,

> 0

= 0

= 0

( ) = 0

= 0, ) = 0

Rajah 6 Titik keseimbangan interaksi di antara mangsa dan pemangsa.


76

=

Dan

> 0

= 0

+ = 0

( + ) = 0

= 0, + = 0

=

4.3.4 Aplikasi Model Mangsa-Pemangsa

4.3.4.1 Masalah

Dr. Rolf Peterson, seorang profesor Ekologi Haiwan Liar di universiti Michigan

Technological telah membuat kajian berkenaan interaksi dan hubung kait serigala

(Canis lupus) dan rusa moose (Alces alces). Kajian ini dijalankan di Taman Negara

Isle Royale, Michigan, US. Matlamat utama penyelidikan ini ialah untuk menjelaskan

peranan serigala pemangsa dalam populasi dinamik rusa.

Tahun Rusa Moose Serigala

1960 610 22

1965 733 28

1970 1295 18

1975 1355 41

1980 910 50

1985 1115 22

1990 1216 15

1995 2422 16

Jadual

modul mte3143

Documents

seminarprogramm 2018...

modul modul modul.pdf

bachelor of arts: anglistik/amerikanistik modulhandbuch...

„betriebswirtschaftliche steuerlehre und...

modul mte3143-bab 1.pdf

modul guru modul murid (m)

bewusstsein für bologna: konzeptentwicklung als ... ·...

1) versicherungsordner kranken- versicherung jetzt den...

modul basisdata - modul – modul smk negeri 4 malang

modul 1 modul excel

integrasi fi dengan modul-modul lain. integrasi co dengan...

pelan strategik mara - eghrmis.gov.my · peringkat...

2014 / 2015 - uni-potsdam.de · 2014. 11. 21. · modul p1...

mte3143 nov12 pmm

kurikulum modul-modul 3

kick off seminar - bureau veritas · modul 1.a modul 2.a...

modul praktikum modul pratikum farmakologi

fakultät allgemeinwissenschaften und betriebswirtschaft ·...

europäischer computer führerschein am ludwig-erhard...

· web vieweingesetztes material aus dem swissmechanic...