mechanics of materials...mechanics of materials รองศาสตราจารย ดร....

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

1

2

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

1 นิยามและหลักการเบื้องตนของความเคนและความเครียด 1 - 14

2 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 1 15 - 28

3 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 2 29 - 48

4 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 1 49 - 78

5 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 2 49 - 78

6 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 3 49 - 78

7 สอบกลางภาค

แผนการบรรยาย

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

3

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14

9 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 2 15 - 28

10 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 3 29 - 48

11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบื้องตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

4

โครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน(Axially loaded members)

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

• โครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

• ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง

• ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง

5

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

หัวขอบรรยาย

6

2.1 การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสร้างที่รับแรงตามแนวแกน (Displacements of axially loaded members)

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• โครงสรางที่มีแกนกลาง (longitudinal axes) เปนเสนตรง

• รับแรงในแนวแกน (axial force) ซึ่งอาจจะเปนแรงดึง (tensile force) หรือแรงอัด (compressive force) เชน กานสูบในเครื่องยนต

7

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

การศึกษาทางดานกลศาสตรของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน แบงเปน

1 - การวิเคราะห (analysis) คือ การศึกษาสมบัติของชิ้นสวนเครื่องจักรกลที่ใชงานอยูแลว และใชทฤษฎีมาทํานายพฤติกรรมภายใตสภาพตาง ๆ

2 - การออกแบบ (design) คือ การคิด คํานวณ หารูปราง และคุณสมบัติของชิ้นสวนเครื่องจักรกลเพื่อใหเหมาะกับความตองการภายใตสภาพตาง ๆ

3 - การเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด (optimization) คือ การออกแบบ ภายใตขอจํากัดตาง ๆ เชน น้ำหนัก คาใชจาย ขนาด

8

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• สําหรับโครงสรางมีลักษณะตรง (prismatic bar) และมีพื้นที่หนาตัด (A) คงที่ตลอดความยาว (L) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง

9

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• เมื่อเปรียบเทียบการตอบสนองของโครงสรางเมื่อรับแรงตามแนวแกนกับการตอบสนองของสปริงเมื่อรับแรงตามแนวแกน พบวา ความสัมพันธระหวางการเปลี่ยนแปลงขนาดของสปริง (s) กับแรง (P) เปน

• โดย k คือ คาคงที่สปริง (spring’s constant)

10

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

กำหนดให:

k คือ คาคงที่สปริง (spring’s constant) หรือความคงตัว (stiffness)

f คือ ความยืดหยุน (flexibility หรือ compliance) ซึ่งเปนสวนกลับของความคงตัว ( f = 1/k)

P = AEL

11

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• โครงสรางรับแรงตามแนวแกนมากกวา 1 แรง หรือโครงสรางที่ประกอบดวยวัสดุหรือพื้นที่หนาตัดที่แตกตางกัน การเปลี่ยนแปลงขนาดรวม คํานวณไดจากผลรวมของการเปลี่ยนแปลงขนาดของแตละชิ้นสวนยอย

12

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ชิ้นสวนยอยที่ 1

13

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ชิ้นสวนยอยที่ 2

14

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ชิ้นสวนยอยที่ 3

15

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• การเปลี่ยนแปลงขนาดรวมของชิ้นสวน

• i คือ ตัวแปรแสดงสวนประกอบแตละสวนของโครงสราง

• n คือ จํานวนของสวนประกอบของโครงสราง

• Pi คือ แรงตามแนวแกนที่เกิดบนสวนประกอบแตละชิ้นสวน

16

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• โครงสรางที่พื้นที่หนาตัดมีการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่องตามแนวแกน (longitudinal axis) การเปลี่ยนแปลงขนาดรวมคำนวณไดจากการรวม (integrate) การเปลี่ยนแปลงขนาดของสวนเล็กๆ เขาดวยกัน

17

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาแตละชิ้นสวนเล็กๆ ที่มีความยาว dx ของพื้นที่หนาตัด C

18

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• เมื่อรวม (integrate) แตละชิ้นสวนเล็กๆ เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงขนาดรวม

• สมการนี้ตั้งอยูบนสมมุติฐานที่ความเคนบนพื้นที่หนาตัดกระจายแบบสม่ำเสมอ ( = P/A) ซึ่งเกิดขึ้นกับชิ้นสวนที่มีมุมระหวางดานทั้งสองนอยกวา 20 องศา ซึ่งทำใหเกิดความผิดพลาดจากการคำนวณนอยกวา 3%

• การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

• โครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

• ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง

• ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง

19

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

หัวขอบรรยาย

20

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• โครงสราง AB ถูกยึดดานบน และดานลางดวยจุดยึดแบบแข็ง (rigid support) โดยมีแรงในแนวแกนกระทำที่จุด C ทำใหเกิดแรงปฎิกริยา และ ซึ่งไมสามารถคำนวณไดดวยสมการสมดุล

2.2 โครงสร้างที่ไม่สามารถคำนวณภาระด้วยสมการสมดุล (Statically Indeterminate Structures)

21

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

วิธีความยืดหยุน (flexibility method or force method)

• กำหนดสมการสมดุลของแรง

• กำหนดแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุล (statical redundant)

• แยกแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุลออกจากโครงสราง โดยจะได primary structure และ statically redundant structure

22

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

primary structure statically-redundant structure

23

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• หาความสัมพันธรวมกัน (constitutive relation) จากกฎของฮุก โดยพิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง P ใน primary structure

• พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง ใน statically redundant structure

24

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• หาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB รวม เนื่องจากแรง P และ Ra โดยรวม P และ R (ทิศลงเปนบวก)

• จาก compatibility equation พบวาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เปนศูนย (ถูกประกบดวยพื้นแข็งทั้งบนและลาง)

25

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• คา flexibility (f) ซึ่งเทากับ L/EA flexibility method

• ตัวแปรที่ไมทราบคา คือ แรง force method

26

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

27

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

วิธีความคงตัว (stiffness method or displacement method)

• พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสราง พบวาหลังจากที่มีแรง P มากระทำ สวนบนของ C มีแนวโนมที่จะยืดยาวขึ้น ในขณะที่สวนลางของ C มีแนวโนมที่จะ

ถูกอัดใหสั้นลง ซึ่งจากกฎของฮุก ( = E) พบวา

• โดย EA/a และ EA/b เปน stiffness และกำหนดให C มีคาเปนบวกเมื่อมีทิศลง

28

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาชิ้นสวนเล็ก ๆ ลอมรอบจุด C

29

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• จาก C ทำการหา Ra และ Rb โดย

• คำตอบที่ไดก็เปนเชนเดียวกับ flexibility method

วิธีความยืดหยุน (flexibility method) vs วิธีความคงตัว (stiffness method)

30

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

• วิธีความคงตัว (stiffness method)

31

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ตัวอยางที่ 2.1 ทรงกระบอกตัน S ทำจากเหล็ก (steel) และทรงกระบอกกลวง

C ทำจากทองแดงมีความยาวเทากัน L ถูกยึดอยูระหวางแผนแข็งซึ่งไมมีการ

เปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) โดยมีแรง P มากระทำ จงหา (a) Ps และ Pc,

(b) s และ c, และ (c) ของระบบ

32

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) พบวา

Pc/2 Pc/2Ps

33

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ซึ่งมีสมการสมดุล 1 สมการ แตมีแรงที่ไมทราบคา 2 แรง (Ps และ Pc) ดังนั้นโครงสรางนี้เปนโครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล (statically-indeterminate structures)

วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

34

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• กำหนดใหการหดสั้นลงเปน +

• โดย L/EsAs และ L/EcAc เปนความยืดหยุน (flexibility) ของเหล็กและทองแดง

C = P R

35

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาสมการ compatibility

จากสมการสมดุล

36

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

37

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

• โครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

• ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง

• ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง

38

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

หัวขอบรรยาย

39

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ผลกระทบจากอุณหภูมิ (temperature effect)

• ความรอนอยางสม่ำเสมอ (uniform heat)

• วัสดุที่มีสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตำแหนงและทิศทาง (homogeneous and isotropic) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่องโดยไมมีชองวางใดๆ มีอิสระในการขยาย และหดตัวในทุกทิศทาง

• ความเครียดจากความรอนอยางสม่ำเสมอ

(uniform thermal strain, T)

40

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ถาใหความรอนกับทุกๆ ชิ้นสวนเทาๆ กัน จะทำใหทุกๆ ชิ้นสวนเกิดการขยายตัวพรอม กัน ไมมีการดันหรือฉุดซึ่งกันและกัน จึงไมเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress)

ความรอน

41

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ถาใหความรอนแตละชิ้นสวนไมเทากัน แตละชื้นสวนก็จะขยายตัวไมเทากัน สงผลใหเกิดการฉุดหรือดันซึ่งกันและกัน ทำใหเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) ในโครงสราง

ความรอน

42

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ความเครียดจากความรอน (thermal strain, T)

• T คือ ความเครียดจากความรอน เปนปริมาณที่ไมมีหนวย มีคาเปนบวกเมื่อเกิดการขยายตัว และมีคาเปนลบเมื่อเกิดการหดตัว

• คือ สัมประสิทธิการขยายตัวของวัสดุเนื่องจากความรอน (coefficient of

thermal expansion) โดยเปนคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ มีหนวยเปน TΔ1

• T คือ การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ มีหนวยเปน , Co, Ko หรือ Fo

43

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ตัวอยางที่ 2.2 เมื่อใหความรอน (T) กับโครงสราง

อยากทราบวาขนาดของแรง R เปนเทาไร กำหนดให

โครงสรางมีสัมประสิทธิการขยายตัวของวัสดุเนื่องจาก

ความรอนเปน และไมคิดน้ำหนักของโครงสราง

44

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

จากวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

45

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พบวาแรงตาน (R) และความเคนเนื่องจากความรอน (T) ไมขึ้นกับระยะ L

46

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ตัวอยางที่ 2.3 เมื่อใหความรอน (T) กับปลอกกลวง (sleeve) ยาว L ถูกยึดดวย

นอต จงหา s และ b กำหนดใหปลอกกลวงและนอตทำจากวัสดุที่แตกตางกัน

โดย s < b

47

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

จากวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

48

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

กำหนดสมการ compatibility

สมการสมดุล

49

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

แกสมการ compatibility และสมการสมดุล

แทน Pb หรือ PS ลงในสมการ compatibility

50

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ถาปลอกกลวงและนอตทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน (s = b และ = 0)

51

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ความเครียดคงคาง (prestrains)

• เมื่อโครงสรางหลักในสภาพสมดุลประกอบดวยโครงสรางยอยที่มีการดึงและการอัด สงผลใหเกิดความเครียดคงคาง (prestrain) หรือความเคนคงคาง (prestress) ขึ้นในโครงสราง เชน คานคอนกรีตอัดแรง (prestressed concrete beam), ซี่เหล็กในลอรถจักรยาน เปนตน

• โดยความเครียดคงคางไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

52

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ตัวอยางที่ 2.4 เมื่อหมุนตัวยึดเคเบิล (turnbuckle) จะทำใหความยาวของเคเบิล

สั้นลง และดึงแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) กดคานใหสั้น

ลงดวย ทำใหเกิดโครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล อยาก

ทราบวาขนาดของแรง R เปนเทาไร

53

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

กำหนดให p คือระยะหางระหวางชวงเกลียว (pitch) ดังนั้นระยะที่สั้นลงเมื่อ

หมุนตัวยึดเคเบิล จำนวน n รอบ เปน

54

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

วิธีความยืดหยุน

(flexibility method)

55

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

กำหนดสมการ compatibility

สมการสมดุล

56

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

กำหนดสมการ compatibility

สมการสมดุล

• การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

• โครงสรางที่ไมสามารถคำนวณภาระดวยสมการสมดุล

• ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง

• ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง

57

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

หัวขอบรรยาย

58

2.4 ความเค้นบนพื้นที่หน้าตัดเอียง (stress on inclined section)

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• กำหนดใหโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตำแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทำผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสรางโดยความเคนตั้งฉาก (σ) มีการกระจายอยางสม่ำเสมอ

59

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาชิ้นสวนเล็กๆ บนรอยตัด m-n:

60

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณารอยตัด p-q:

61

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณารอยตัด p-q:

• A คือ พื้นที่หนาตัดเอียง

• N คือ แรงตั้งฉากที่กระจายอยางสม่ำเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, N = Pcosθ

• V คือ แรงเฉือนที่กระจายอยางสม่ำเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, V = Psinθ

62

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• มีคาเปนบวกในกรณีแรงดึงและเปนลบในกรณีแรงอัด

63

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• มีคาเปนบวกในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศทวนเข็มนากา (ccw) และเปนลบในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศตามเข็มนากา (cw)

64

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• พิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) บนรอยตัดเอียง:

• จากสมการสมดุล:

65

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• เมื่อนำ σθ และ τθ มาวาดกราฟเทียบกับ θ จะไดความสัมพันธดังตอไปนี้

66

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

• ในกรณีที่โครงสรางรับแรงอัด (compressive structure) เราสามารถแทนคา

σx เปนลบ (มีทิศทางตรงขามกับกรณีโครงสรางรับแรงดึง)

• ความเคนตั้งฉาก (normal stress)

• ความเครียดตั้งฉาก (normal strain)

• แผนภูมิความเคน-ความเครียด (stress-strain diagrams)

• อัตราสวนปวซอง (Poisson’s ratio)

• ความเคนเฉือนและความเครียดเฉือน (shear stress and shear strain)

• แรงและความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (allowable stresses and

allowable loads)

67

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

สรุปการบรรยาย

1) ระบบซึ่งประกอบดวยชิ้นสวน 2 ชิ้น

ทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน ถูกกระทำดวย

แรง P1 และ P2 จงหาอัตราสวนระหวาง

P1/P2 ที่ทำใหจุด C ไมมีการ

เปลี่ยนแปลงตำแหนง (จัดอยูในความ

สัมพันธของ A1, A2, L1, L2, L3 และ L4)

68

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

การบาน 3

3) แทงคอนกรีตซึ่งมีพื้นที่หนาตัดเปนสี่เหลี่ยม

จัตุรัส ดังรูป มีคาโมดูลัส E = 24 GPa จงหา

ระยะหดตัวเมื่อมีแรงอัด 1600 kN มากระทำ

(ไมคิดน้ำหนักของคอนกรีต)

69

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

5) แทงเหล็ก (S) และทองเหลือง (B) ถูกยึดดวย

วัสดุแข็งและประกอบกันเปนระบบ ถาพื้นที่หนา

ตัดรวมของแทงเหล็กมากเปน 1.5 เทาของพื้นที่

หนาตัดของแทงทองเหลือง และคาโมดูลัสอิลาสติก

ซิตีของเหล็กสูงเปน 2 เทาของคาโมดูลัสอิลาสติก

ซิตีของทองเหลือง จงหาแรงที่เกิดขึ้นในแทงทอง

เหลือง

70

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

11) แทง ABC ยาว L ทำจากวัสดุซึ่งมีโมดูลัสอิลาสติกเปน E และสัมประ

สิทธิการขยายตัวเนื่องจากความรอนเปน ถูกยึดระหวางผนังแข็งเกร็ง

ถามีการเพิ่มขึ้นของอุณหภูมิอยางสม่ำเสมอ T เกิดขึ้นกับระบบ และ

A2 > A1 จงหา (a) ความเคนสูงสุดในแนวแกน และ (b) การเปลี่ยน -

แปลงตำแหนงของจุด B กำหนดใหการเปลี่ยนแปลงตำแหนงไปทาง

ซายเปนบวก

71

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

การบาน 4

!

12) ปลอกทองเหลือง (b) มีเสนผาศูนยกลางภายใน 26 มม. และเสนผา

ศูนยกลางภายนอก 36 มม. ถูกยึดอยางพอดี (ไมมีแรงกระทำที่ผิวทั้งสอง

ขางของปลอกทองเหลือง) ดวยนอตเหล็ก (s) เสนผาศูนยกลาง 25 มม.

จงหาการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ (T) ที่ทำใหเกิดความเคนอัด 25 MPa

ในปลอกทองเหลือง กำหนดให b = 20 x 10-6 /oC, s = 12 x 10-6 /oC,

และ Eb = 100 GPa, Es = 200 GPa

72

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

!

13) ในการผลิตคอนกรีตอัดแรง เหล็ก

เสนถูกยืดดวยแรง Q จากนั้นเท

คอนกรีตหุมเหล็กเสน และรอจนกระทั้ง

คอนกรีตแหงจึงคลายแรง Q ออก ซึ่ง

ทำใหเหล็กเสนรับแรงดึง และคอนกรีต

รับแรงอัด ถาแรง Q ทำใหเกิดความเคน

เริ่มตนในเหล็กเสนเปน 760 MPa

อัตราสวนระหวาง Esteel/Econcrete = 8

และ Asteel/Aconcrete = 1/30 จงหาความ

เคนที่เกิดในเหล็กเสนและคอนกรีตหลัง

จากเสร็จกระบวนการผลิต

73

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

!

15) คานซึ่งรับแรงอัดประกอบดวยพลาสติก 2 ชิ้นประกบกันดวยกาว

ตามแนว pq ดวยมุม = 40o กาวสามารถรับความเคนอัดได 8 MPa

และความเคนเฉือนได 7 MPa และพลาสติกสามารถรับความเคนอัดได

16 MPa และความเคนเฉือนได 10 MPa จงหาวาความกวางต่ำสุด

(bmin) ของคานควรเปนเทาไหรที่จะไมทำใหคานเสียหาย เมื่อมีแรงอัด

P = 142 kN มากระทำ

74

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

!

การบาน 5

16) จากชิ้นสวนความเคน (stress element) ซึ่งถูกตัดออกมาจากคาน

ที่รับแรงในแนวแกน จงหา , r, max และ rmax

75

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

!

จบการบรรยาย

76

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร