mathématiques appliquées secteur tertiairecomme abscisse la longueur de [oa], avec [ou] comme...
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Mathématiques Appliquées
Secteur Tertiaire
M. Van Helleputte
CP 220 Campus Plaine ULB – Bd du Triomphe, 1 – 1050 Bruxelles
MAST 2
Table des matières
NOTIONS DE BASE ................................................................................................................. 5
1. Les nombres réels ............................................................................................................... 5
a) Les ensembles ................................................................................................................ 5
b) Droite réelle ................................................................................................................... 5
c) Plan réel ℝ2 .................................................................................................................... 6
d) Opérations dans ℝ .......................................................................................................... 7
2. Calcul algébrique .............................................................................................................. 11
a) Ordre des opérations (P-E-M-D-A-S) .......................................................................... 11
b) Factorisation ................................................................................................................. 12
c) Les produits remarquables ........................................................................................... 12
d) Equations ...................................................................................................................... 13
3. Exercices .......................................................................................................................... 14
LE PREMIER DEGRÉ ............................................................................................................ 20
1. Fonction et graphique ....................................................................................................... 20
2. Fonction 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝....................................................................................................... 20
a) Cas général ................................................................................................................... 22
b) Cas particuliers ............................................................................................................. 23
c) Autres formes d'écriture ............................................................................................... 24
3. Système de 2 équations à 2 inconnues ............................................................................. 25
a) Méthode de substitution ............................................................................................... 25
b) Méthode de comparaison ............................................................................................. 25
c) Méthode d'addition ....................................................................................................... 25
d) Méthode de Cramer ...................................................................................................... 26
e) Discussion et représentation géométrique .................................................................... 27
4. Droites perpendiculaires ................................................................................................... 29
MAST 3
5. Exercices .......................................................................................................................... 31
LE SECOND DEGRÉ .............................................................................................................. 32
1. Définitions ........................................................................................................................ 32
2. Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 ....................................................................... 32
a) Cas général ................................................................................................................... 32
b) Cas particuliers ............................................................................................................. 33
c) Somme et Produit ......................................................................................................... 34
d) Exemples ...................................................................................................................... 34
3. Etude de la fonction y = ax2 + bx + c ............................................................................... 35
a) Cas particulier .............................................................................................................. 35
b) Cas général ................................................................................................................... 37
c) Exemple ........................................................................................................................ 38
4. Exercices .......................................................................................................................... 40
STATISTIQUES ...................................................................................................................... 41
1. Définition ......................................................................................................................... 41
2. Signe sommatoire .......................................................................................................... 41
3. Tableau statistique d’une distribution observée ............................................................... 42
4. Graphiques d’une distribution observée ........................................................................... 45
a) Diagramme en bâtons ................................................................................................... 45
b) Diagramme cumulatif .................................................................................................. 46
5. Tableau statistique d’une distribution groupée ................................................................ 47
6. Graphiques d’une distribution groupée ............................................................................ 49
a) L’histogramme ............................................................................................................. 49
b) Polygone d’une distribution groupée ........................................................................... 50
7. Paramètres de tendance centrale ...................................................................................... 51
a) Moyenne �̅� (ou < 𝑥 > ou 𝜇𝑋) .................................................................................. 51
b) Mode 𝑥𝑀 (ou M ou Mo) ........................................................................................... 52
MAST 4
c) Médiane 𝑥1/2 (ou 𝑥0.5 ou �̃� ou Me) ....................................................................... 52
8. Paramètres de dispersion .................................................................................................. 53
a) Ecart moyen 𝑒𝑚 ........................................................................................................... 53
b) Variance 𝑉𝑋 .................................................................................................................. 53
c) Ecart-type 𝜎𝑋 ................................................................................................................ 54
9. Exercices .......................................................................................................................... 56
ALGÈBRE FINANCIÈRE ....................................................................................................... 59
1. Les intérêts simples .......................................................................................................... 59
a) Définitions .................................................................................................................... 59
b) Escompte commercial .................................................................................................. 60
c) Relation entre e et i ...................................................................................................... 61
d) Échéance commune ..................................................................................................... 61
e) Échéance moyenne ....................................................................................................... 64
2. Les intérêts composés ....................................................................................................... 66
a) Définition ..................................................................................................................... 66
b) Escompte, échéance commune et échéance moyenne ................................................. 67
c) Taux annuel effectif global TAEG ............................................................................... 68
3. Exercices .......................................................................................................................... 69
BIBLIOGRAPHIE ……………………………………………………………………….…..74
MAST 5
NOTIONS DE BASE
1. Les nombres réels
a) Les ensembles
Ensemble ℕ des nombres naturels : ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }.
Ensemble ℤ des nombres entiers : ℤ = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }.
Ensemble ℚ des nombres rationnels : ℚ = {… ,−28
3 , … , −3 , … , 1 , … ,
2
5 , … }.
Ensemble ℝ des nombres réels. Aux éléments de ℚ, on joint les nombres
irrationnels, nombres que l'on ne peut mettre sous la forme d'une fraction;
tels que √2 = 1,4142… , π = 3,14159…
ℝ = {… , −28
3 , … , −√2 , … , 0 , … , 1 , … , 𝜋 , … }.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Notons encore ℝ0 = ℝ \ {0} = {𝑥 ∈ ℝ & 𝑥 ≠ 0}.
b) Droite réelle
Sur une droite d, on choisit un couple de points ( O , U ) appelé repère. O est l'origine
et U le point unitaire. La droite est orientée de O vers U. Ainsi, un point A aura
comme abscisse la longueur de [OA], avec [OU] comme unité de longueur.
Le repère est normé si ‖𝑂𝑈‖ = 1. On note ‖𝑂𝐴‖ = a.
Un point quelconque P de la droite d aura pour abscisse x.
La droite d est alors notée Ox.
Un point P peut se situer dans un intervalle, partie de la droite Ox correspondant soit
à un segment, soit à une demi-droite.
MAST 6
Soient a et b ∈ ℝ avec a < b. Il existe 8 cas possibles :
[𝑎 , 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
]𝑎 , 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
[𝑎 , 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
]𝑎 , 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
A gauche : ]−∞ , 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 𝑎}
A droite : [𝑎 , +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 𝑎}
A gauche : ]−∞ , 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 𝑎}
A droite : ]𝑎 , +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 𝑎}
−∞ se lit moins l'infini, +∞ se lit plus l'infini.
−∞ et +∞ ne sont pas des éléments de ℝ. ]−∞,+∞[ = ℝ.
c) Plan réel ℝ2
Partant du repérage des points sur une droite d, on procède de même sur un plan. On
choisit un triple de points ( O , Ux , Uy ) non alignés. O est l'origine, Ux et Uy sont les
points unitaires. L'orientation de [OUx] détermine la droite Ox; l'orientation de [OUy],
la droite Oy.
Si les droites Ox et Oy sont perpendiculaires et que ‖𝑂𝑈𝑥‖ = ‖𝑂𝑈𝑦‖ = 1 ; alors le
repère est orthonormé.
On peut définir les coordonnées d'un point A comme suit :
La projection de A sur Ox, parallèlement à Oy, est l'abscisse de A, et est notée
ax (ou xA).
La projection de A sur Oy, parallèlement à Ox, est l'ordonnée de A, et est
notée ay (ou yA).
Le couple (ax , ay) détermine les coordonnées du point A.
Un point quelconque P aura pour coordonnées (x , y).
MAST 7
A et B sont des points fixes; ils sont constants.
P est un point variable.
d) Opérations dans ℝ
i) Addition
(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 + 𝑏 appelé somme.
[D] Opération interne et partout définie : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ.
[A] Associativité : ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ; (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
ℝ,+ est un semi-groupe.
[N] Neutre : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎.
[S] Symétrique : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0.
ℝ,+ est un groupe.
[C] Commutativité : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
ℝ,+ est un groupe commutatif.
La soustraction est l'opération inverse de l'addition.
(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Le résultat est appelé différence.
𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐵(𝑏𝑥, 𝑏𝑦)
𝐴(𝑎𝑥, 𝑎𝑦)
𝑎𝑥 𝑏𝑥
𝑎𝑦
𝑏𝑦
𝑥
𝑦
MAST 8
ii) Multiplication
(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏. Le résultat est appelé produit.
[D] Opération interne et partout définie : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎𝑏 ∈ ℝ.
[A] Associativité : ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ; (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏𝑐.
ℝ,∙ est un semi-groupe.
[N] Neutre : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 ⋅ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎.
[S] Symétrique : ∀ 𝑎 ∈ ℝ0 ; 𝑎 ∙1
𝑎=
1
𝑎∙ 𝑎 = 1.
ℝ0,∙ est un groupe.
[C] Commutativité : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.
ℝ,∙ est un semi-groupe commutatif.
𝑅0,∙ est un groupe commutatif.
La division est l'opération inverse de la multiplication.
(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎/𝑏. Le résultat est appelé quotient.
iii) Distributivité (de la multiplication par rapport à l'addition)
Distributivité à gauche : 𝑝(𝑎 + 𝑏) = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏
Distributivité à droite : (𝑎 + 𝑏)𝑞 = 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞
Double distributivité : (𝑎 + 𝑏)(𝑝 + 𝑞) = 𝑎𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 + 𝑏𝑞
Remarque : On peut supprimer une parenthèse précédée du signe – , à
condition de changer les signes des nombres qu'elle renferme.
−(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) = −𝑎 − 𝑏 + 𝑐
iv) Fractions
Soit l'égalité de deux fractions appelées proportion.
𝑎
𝑏=𝑐
𝑑
avec 𝑏 ≠ 0 et 𝑑 ≠ 0.
𝑎 et 𝑑 sont les extrêmes, 𝑏 et 𝑐 sont les moyens.
Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
𝑎
𝑏=𝑐
𝑑 ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐
MAST 9
Simplification.
∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑛, 𝑏 ∈ ℕ0; 𝑎
𝑏=𝑛𝑎
𝑛𝑏
Pourcentage.
Si le dénominateur est égal à 100 ; alors on note :
𝑖
100= 𝑖 %
Addition, réduction au même dénominateur.
𝑎
𝑏+𝑐
𝑑=𝑎𝑑
𝑏𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑=𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
Multiplication.
𝑎
𝑏∙𝑐
𝑑=𝑎𝑐
𝑏𝑑
Division.
1
𝑎/𝑏=𝑏
𝑎
v) Puissances
Carré d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2
Cube d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎3
nème
puissance d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 𝑛 facteurs
= 𝑎𝑛
Signe de puissances. Soit un nombre positif 𝑎.
{(−𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛
(−𝑎)𝑛 = − 𝑎𝑛si 𝑛 est pair
si 𝑛 est impair
Produit de puissances : 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎𝑝 = 𝑎𝑚+𝑛+𝑝
Remarque : 𝑎2 ∙ 𝑎 = 𝑎3 ⟹ 𝑎1 = 𝑎
Quotient de puissances. 𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑚𝑎𝑛
𝑎𝑝𝑎𝑞= 𝑎𝑚+𝑛−𝑝−𝑞
MAST 10
Remarques : 𝑎𝑚
𝑎𝑚= 𝑎𝑚−𝑚 = 𝑎0 ⇒ 𝑎0 = 1
1
𝑎𝑚= 𝑎−𝑚
Puissance d'une puissance : (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
Puissance d'un produit : (𝑎𝑏𝑐)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 ∙ 𝑐𝑚
Puissance d'une fraction : (𝑎
𝑏)𝑚
=𝑎𝑚
𝑏𝑚
vi) Radicaux
Soit l'équation suivante à résoudre : 𝑥2 = 9.
Une équation est une égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs
attribuées à l'inconnue, souvent notée 𝑥, qu'elle renferme. Une solution d'une
équation est une valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation.
Dans notre exemple, nous avons 2 solutions : 𝑥 = 3 et 𝑥 = −3.
En effet, 32 = 9 et (−3)2 = 9.
√𝑎 = 𝑥 avec 𝑎 ∈ ℝ+ équivaut à rechercher la solution de 𝑎 = 𝑥2
avec ∈ ℝ+ .
Exemples : √9 = 3, √16 = 4, √49 = 7, …
La racine carrée d'un nombre positif est le nombre réel positif dont ce
nombre est le carré.
Soit √𝑎𝑛
avec 𝑎 ∈ ℝ+ équivaut à rechercher la solution de 𝑎 = 𝑥𝑛
avec 𝑥 ∈ ℝ+ et 𝑛 ∈ ℕ0.
Exemples : √83
= 2, √325
= 2, …
Soit √𝑎𝑛
avec 𝑎 ∈ ℝ+ et 𝑛 un naturel impair ; alors √−𝑎𝑛
= −√𝑎𝑛
.
Exemple : √−273
= −√273
= −3. En effet : (−3)3 = −27.
Soit √𝑎𝑛
avec 𝑎 ∈ ℝ+ et 𝑛 un naturel pair. Alors √−𝑎𝑛
∉ ℝ.
En effet, on ne peut trouver de réel qui élevé au carré donne – 4, par
exemple. : 𝑥2 = −4 ⟹ 𝑥 ∉ ℝ et √−4 n'existe pas dans ℝ.
Par définition, (√𝑎𝑛)𝑛= 𝑎.
Soit √𝑎𝑛
= 𝑎𝑘 ; alors (𝑎𝑘)𝑛 = 𝑎𝑘∙𝑛 = 𝑎 ⟹ 𝑘 ∙ 𝑛 = 1 ⟹ 𝑘 =1
𝑛.
√𝑎𝑛
= 𝑎1 𝑛⁄
MAST 11
Conclusions :
o √𝑎𝑚𝑛
= 𝑎𝑚 𝑛⁄ = (𝑎1 𝑛⁄ )𝑚= (√𝑎
𝑛)𝑚
o √𝑎𝑏𝑐𝑛
= (𝑎𝑏𝑐)1 𝑛⁄ = 𝑎1 𝑛⁄ 𝑏1 𝑛⁄ 𝑐1 𝑛⁄ = √𝑎𝑛
∙ √𝑏𝑛
∙ √𝑐𝑛
o √ √𝑎𝑚𝑛
= (𝑎1 𝑚⁄ )1 𝑛⁄
= 𝑎1
𝑚∙1
𝑛 = √𝑎𝑚∙𝑛
= (𝑎1 𝑛⁄ )1 𝑚⁄
= √√𝑎𝑛𝑚
Attention !!! √(−2)2 = √4 = 2
(√−2)2 n'existe pas !
vii) Valeur absolue
∀ 𝑎 ∈ ℝ, √𝑎2 = |𝑎| appelée valeur absolue de 𝑎. Par définition :
∀ 𝑎 ∈ ℝ, |𝑎| = { 𝑎 si 𝑎 ≥ 0−𝑎 si 𝑎 < 0
Exemples : |5| = 5, |−7| = 7, |3| = |−3| = 3, …
2. Calcul algébrique
a) Ordre des opérations (P-E-M-D-A-S)
La priorité des opérations ou ordre des opérations précise l'ordre dans lequel les
calculs doivent être effectués.
Les règles de priorité sont les suivantes :
Les calculs entre Parenthèses sont prioritaires sur les calculs situés en dehors
de ces parenthèses. La barre d'une fraction ou d'une racine carrée joue le rôle
d'une parenthèse.
Les Exposants sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et
soustractions.
Les Multiplications et Divisions sont prioritaires sur les Additions et
Soustractions.
Exemple :
5 ∙ 7 − 4 = 35 − 4 = 31 et 5 ∙ 7 − 4 ≠ 5 ∙ 3 = 15
6 ∙ 3 − [2 + 5 ∙ (12 − 7 + 5) − 4]
= 18 − [2 + 5 ∙ 10 − 4]
= 18 − [2 + 50 − 4]
= 18 − 48 = −30
MAST 12
b) Factorisation
Factoriser, c'est transformer une somme de termes en un produit de facteurs. On
procède en une mise en évidence d'un facteur commun.
Exemples :
4𝑎2𝑏2 − 2𝑎3𝑏 = 2𝑎2𝑏 ∙ (2𝑏 − 𝑎)
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑥 + (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)
c) Les produits remarquables
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2
(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
= 𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3
= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2)
= 𝑎3 − 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 𝑏3
= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 − 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏3
(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 𝑏3
(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3
𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2)
MAST 13
d) Equations
Soit l'équation à une inconnue 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥).
Principe d'addition : 𝐴(𝑥) + 𝐶(𝑥) = 𝐵(𝑥) + 𝐶(𝑥).
Principe de multiplication : ∀𝑛 ∈ ℕ0, 𝑛 ∙ 𝐴(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝐵(𝑥).
Exemple :
5𝑥 + 3 = 2𝑥 − 9
⇕
5𝑥 + 3 − 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 9 − 2𝑥 − 3
⇕
3𝑥 = −12
⇕
3𝑥
3=−12
3
⇕
𝑥 = −4
Soit l'équation 𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = 0
Principe de disjonction : 𝐴(𝑥) = 0 ou 𝐵(𝑥) = 0
Exemple :
(2𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) = 0
⇕
𝑥 =3
2 ou 𝑥 = −1
MAST 14
3. Exercices
1) Ayant choisi un repère orthogonal dans le plan, construire les points :
𝐴(2, 3) 𝐵(−1, 4) 𝐶(0; 1,6) 𝐷(−4,2; 0) 𝐸(−2, √2)
2) Calculer :
𝑎) (−4) + (−2) + (−5) + (+2) + (−7) + (+3)
𝑏) (−12) + (−14) + (+17) + (−8) + (+21)
𝑐) (−4) + (−6) − (+2) − (−4) + (−5) − (−7)
𝑑) (−5) − (−5) + (−7) − (+13) + (−15) − (−8)
𝑒) 3 + 4 + 5 + (2 − 5) − (4 + 8)
𝑓) 3 − 2 + (4 − 5) − (3 − 2) − (4 + 3)
𝑔) 5 − [4 − (5 + 2)] − 12 + 4 − 3
ℎ) 12 − 4 + (3 − 8) − [2 − (3 − 4) + 5] + 6
𝑖) − 4 + [6 − 2 + (3 − 5) − 3] − (9 − 2 + 6 − 4)
𝑗) − 5 − {3 − [5 − (3 − 2)] + (2 − 5)} − (5 − 4)
3) Effectuer
𝑎) 4𝑥2 + (+2𝑥2) − (−3𝑥2) + (−6𝑥2) − (+4𝑥2)
𝑏) 𝑎 − (−2𝑏) + (−3𝑎) − (−2𝑎) − (+4𝑏)
𝑐) (𝑎 + 𝑏) − (2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 2𝑏)
𝑑) (2 − 𝑎) + (3𝑎 − 4) − (5 + 2𝑎) − 𝑎
𝑒) (𝑎2 + 1) − (2𝑎 + 4) − 5 − (−𝑎2 + 3)
𝑓) (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) − (𝑎2 − 𝑏2) + (𝑎2 − 𝑎𝑏)
𝑔) 𝑥2 − (𝑦2 − 𝑥𝑦) + [2𝑦2 + 3𝑥𝑦 − (𝑥2 + 𝑦2)]
ℎ) − 3𝑎𝑏 + (2𝑏2 − 𝑎2) − [𝑎𝑏 − (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎2] − (𝑏2 − 𝑎2)
𝑖) 2𝑎 − {3𝑏 − [4𝑎 + (𝑏 − 𝑎)] + 𝑎} − 𝑏
𝑗) 𝑥2 − [3𝑥 − (𝑥2 − 3)] − {𝑥2 − [3𝑥 + 4 − (𝑥2 − 1)]}
4) Calculer
𝑎) (+3)(+5)(−4)
𝑏) (+7)(+2)(−1)(+2)
𝑐) (+4)(−3)(−2)(−3)(−1)
𝑑) (−5 + 2)(−1 + 3 + 5)(4 − 2 + 3)
MAST 15
𝑒) [3 − (3 − 4)][5 + (2 − 3)](8 − 3)
𝑓) 5(1 − 2)(3 − 4) − 3(7 − 6) − (−4)(6 − 5)(−2)
𝑔) (4 + 2 − 5)(−2 + 3 − 4 + 3)
ℎ) (−5) ∙ 7 + (−3) ∙ 2 + 1
𝑖) [4 − (3 − 2)][5 − (4 + 2) − 2]
𝑗) (2 − 3)(7 − 4) − (−3) ∙ 2 − 5
5) Effectuer
𝑎) 5𝑎 ∙ 3𝑏 ∙ 2𝑐
𝑏) (−4𝑥) ∙ 2𝑦 ∙ (−𝑧)
𝑐) (−2𝑎2) ∙ 3𝑎3 ∙ (−4𝑎7)
𝑑) 𝑎𝑏 ∙ (−𝑏𝑐) ∙ 𝑐𝑑
𝑒) 𝑎𝑏𝑐2 ∙ 𝑎2𝑏𝑐 ∙ 𝑎3𝑏𝑐4
𝑓) 2𝑥𝑦2 ∙ (−4𝑥3𝑦5) ∙ (−𝑥2𝑦2)
𝑔) 𝑥𝑦 ∙ (−𝑥2𝑦2𝑧) ∙ 4𝑥𝑧2 ∙ (−7𝑥3𝑦3𝑧3)
ℎ) (−3) ∙ 𝑎2𝑏 ∙ 4𝑎3 ∙ (−𝑎𝑏3)
𝑖) 𝑎𝑚−2 ∙ 𝑎2
𝑗) 𝑎𝑚+𝑛 ∙ 𝑎𝑚−𝑛
6) Calculer
𝑎) 22 ∙ 23
𝑏) 25 ∙ 52
𝑐) (−5)4 ∙ 24
𝑑) 24 ∙ (−53)
𝑒) −24 ∙ (−53)
𝑓) (−2)3 + 22 + (3 − 4)3
𝑔) (32)3 ∶ 34
ℎ) (−1
2)2
+ (1
2)2
− (3
2)2
𝑖) (2
−3)2
∙−9
4
𝑗) (4
−5)2
(−3
2)3
(−5
−9)
𝑘) (2𝑎3𝑏2𝑐)3
𝑙) (𝑎𝑥2)4
𝑚) (−5𝑎2𝑏3𝑐)2
𝑛) (−2
3𝑎2𝑥3)
2
𝑜) (1
2𝑎𝑏2𝑐3)
3
𝑝) (−𝑎𝑏)3
𝑞) (−𝑎𝑏)4
𝑟) (−3𝑎4𝑥3𝑦)3
𝑠) (−3
4𝑎3𝑏)
4
𝑡) (𝑎𝑥𝑏𝑦−1)2
MAST 16
7) Effectuer
𝑎) (2𝑎 + 𝑏)𝑥
𝑏) (3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)3𝑎
𝑐) 2𝑥2(3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐)
𝑑) (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(−2𝑎)
𝑒) (2𝑥3 − 4𝑥2 + 6)(−2𝑥2)
𝑓) (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑎𝑏)(−2𝑎𝑏)
𝑔) 4𝑥2𝑦(𝑥3𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦3 − 1)
ℎ) − 5𝑎𝑏2(𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2)
𝑖) (−𝑎3 + 3𝑎2 − 3𝑎 + 1)(−𝑎)
𝑗) (7𝑎𝑥2𝑦 + 8𝑎2𝑥 − 5𝑥𝑦2)(−3𝑥𝑦)
8) Effectuer
𝑎) 3𝑥(𝑥2 − 1) − 4𝑥2(𝑥 + 2) − 3𝑥 + 4(𝑥2 − 1)
𝑏) − 3𝑥2(𝑥3 − 2𝑥2 + 4) + 4𝑥3(1 − 2𝑥) + 𝑥(𝑥 − 1) + 2𝑥
𝑐) 5𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) + 3𝑎(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) − 𝑏3
𝑑) [𝑥 − (𝑥2 + 3)]2𝑥2 + 3(𝑥 − 2) + 4𝑥2
𝑒) 3𝑥{𝑥 − [2𝑥2 − (−𝑥 + 4)] + 3} − 3𝑥2(𝑥 − 2)
9) Effectuer
𝑎) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)
𝑏) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
𝑐) (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)
𝑑) (3 − 𝑥)(𝑎 − 𝑥)
𝑒) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
𝑓) (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
𝑔) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
ℎ) (𝑥 − 2𝑎)(𝑥 + 3𝑏)
𝑖) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑗) (3𝑥 + 2)(2𝑥 + 5)
𝑘) (𝑥2 + 𝑥)(𝑥 − 1)
𝑙) (2𝑥2 + 3𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
𝑚) (−𝑥2 + 4𝑥 − 3)(2 − 𝑥)
𝑛) (2𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3𝑥 + 5)
𝑜) (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)
𝑝) (3𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 𝑎3)(2𝑎 − 3𝑏)
𝑞) (𝑥2 + 2𝑥 − 4)(3𝑥 − 2)
𝑟) (𝑥 − 1)(2𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥 + 5)
𝑠) (2𝑥3 + 4𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1 + 𝑥)
𝑡) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
10) Effectuer
𝑎) (2𝑥 + 3)(𝑥2 + 𝑥 − 1) − 𝑥3 − (𝑥2 + 1)(𝑥 + 4)
𝑏) (2𝑥2 − 4𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) + (𝑥 + 𝑥2)(2𝑥 − 4 + 3𝑥2)
𝑐) (𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2)(2𝑥 + 𝑦) − 2𝑥3(𝑥 + 𝑦) − 2𝑦3(𝑥 − 𝑦)
𝑑) (𝑎 + 2)[𝑎2 − (1 − 𝑎)] − 𝑎(2 − 𝑎2)
𝑒) {𝑎3 − [𝑎2 + (𝑎 − 2)𝑎]} [𝑎 + 2(𝑎 − 1)] (3𝑎2 − 1) − 3𝑎6
MAST 17
11) Calculer
𝑎) √121
𝑓) √814
𝑘) √−273
𝑏) √643
𝑔) √40966
𝑙) √−2435
𝑐) √164
ℎ) √65618
𝑚) √−325
𝑑)√10 0004
𝑖) √14
𝑛) √−1253
𝑒)√325
𝑗) √05
𝑜) √−10 0004
12) Résoudre les équations suivantes dans ℝ
𝑎) 𝑥2 = 64 𝑏) 𝑥3 = 8 𝑐) 𝑥3 = −27 𝑑) 𝑥2 = 2 𝑒) 𝑥2 = −3
13) Factoriser
𝑎) 4𝑎𝑏 + 4𝑎𝑐
𝑏) 6𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦 − 9𝑥3𝑦2
𝑐) 𝑚(𝑎 − 𝑏) + 𝑛(𝑎 − 𝑏)
𝑑) 𝑥(2𝑎 − 𝑏) + 𝑦(𝑏 − 2𝑎)
𝑒) (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑥 + 𝑦) + (3𝑎 + 5𝑏)(2𝑥 + 𝑦)
𝑓) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 3𝑦) − 2𝑎(𝑥 − 3𝑦)
𝑔) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦) − 3𝑎(𝑦 − 𝑥)
ℎ) 𝑎2(𝑥 − 1)(𝑎 + 𝑏) + 𝑎2(1 − 𝑥)
𝑖) (𝑎 + 𝑏)2 + 𝑥(𝑎 + 𝑏)
𝑗) 2𝑎(𝑚 − 𝑛)2 − 𝑎𝑚(𝑚 − 𝑛)2
𝑘) (𝑎 + 𝑏)3 − (𝑎 + 𝑏)2
𝑙) (2𝑥 + 1)(4𝑥 + 3) + (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)2
𝑚) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
𝑛) 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥
𝑜) 𝑎𝑥 − 4𝑥 + 4𝑦 − 𝑎𝑦
𝑝) 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 + 1
𝑞) 𝑎3 + 2𝑎 − 𝑎2 − 2
𝑟) 2𝑎4 − 3 − 2𝑎3 + 3𝑎
𝑠) 𝑎2𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎2𝑦3 − 𝑏𝑦3
𝑡) 6𝑥2 + 𝑥𝑦 + 18𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧
MAST 18
14) Effectuer
𝑎) (𝑎 + 2)(𝑎 − 2)
𝑏) (𝑎2 − 1)(𝑎2 + 1)
𝑐) (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑎 − 3𝑏)
𝑑) (𝑎2 − 𝑏2)(𝑎2 + 𝑏2)
𝑒) (𝑎2
2−2𝑏
3)(𝑎2
2+2𝑏
3)
15) Factoriser
𝑎) 𝑎2 − 9
𝑏) 𝑏2 − 4𝑎2
𝑐) 𝑎2𝑏2 −𝑚2
𝑑) 100𝑎2 − 64𝑏2
𝑒) 4𝑎2 −𝑏2
4
16) Effectuer
𝑎) (𝑎 + 2)2
𝑏) (𝑥𝑦 − 1)2
𝑐) (𝑎2 − 𝑏2)2
𝑑) (−𝑎 − 1)(𝑎 + 1)
𝑒) (−𝑎 − 𝑏)2
17) Factoriser
𝑎) 𝑎2 + 2𝑎 + 1
𝑏) 𝑥4 − 6𝑥2 + 9
𝑐) − 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏2
𝑑) 5𝑥2 − 10𝑥 + 5
𝑒) 𝑥6 + 16𝑥4 − 8𝑥5
18) Effectuer
𝑎) (𝑎 + 3)3
𝑏) (𝑎 − 2)3
𝑐) (−𝑎 + 2)3
𝑑) (−𝑎 − 1)3
𝑒) (2𝑎𝑥 − 3)3
19) Factoriser
𝑎) 𝑎3 + 6𝑎2 + 12𝑎 + 8
𝑏) 𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 1
𝑐) 8𝑎3 + 12𝑎2 + 6𝑎 + 1
𝑑) 5𝑥3 + 15𝑥2 + 15𝑥 + 5
𝑒) − 24𝑎5 + 36𝑎4 − 18𝑎3 + 3𝑎2
MAST 19
20) Effectuer
𝑎) (𝑎 + 3)(𝑎2 − 3𝑎 + 9)
𝑏) (𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
𝑐) (1 − 𝑎𝑏)(1 + 𝑎𝑏 + 𝑎2𝑏2)
𝑑) (3𝑎 − 2𝑏)(9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 4𝑏2)
𝑒) (𝑎2 − 𝑥)(𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎4)
21) Factoriser
𝑎) 𝑎3 − 8
𝑏) 8𝑎3 − 𝑏3
𝑐) 𝑥3 − 1
𝑑) 𝑎3𝑏2 − 𝑏2
𝑒) (𝑎 + 𝑏)3 − 𝑐3
22) Simplifier les fractions suivantes, et donner les conditions d'existence
𝑎) 3𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏2
𝑎2𝑏 − 𝑎3
𝑏) 𝑥2 − 𝑦2
𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑐) 𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑑) 5𝑥3 − 5𝑎3
10𝑎2 − 10𝑥2
𝑒) 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
𝑎2 − 𝑏2
23) Résoudre les équations
𝑎) 𝑥 + 8 = 5
𝑏) 13 − (𝑥 + 3) = 7
𝑐) 3𝑥 − (8 − 𝑥) = 0
𝑑) 3𝑥 + 2(𝑥 + 4) = −7
𝑒) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0
𝑓) 𝑥3 − 𝑥2 = 0
𝑔) 𝑥2 + 1 = 2𝑥
ℎ) 3(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2
𝑖) 𝑥 − (𝑥 + 2) − (2 − 𝑥) − (𝑥 − 2) = 𝑥
𝑗) 2𝑥 − 4(𝑥 − 2) = 𝑥 + 3 − (𝑥 − 2)
MAST 20
LE PREMIER DEGRÉ
1. Fonction et graphique
Une fonction 𝑓 de ℝ vers ℝ est une relation telle que chaque élément 𝑥 a au plus une
image 𝑦. Ce qui se note :
𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ayant choisi un repère dans le plan, le graphique de la fonction 𝑓 est l'ensemble des
points (𝑥 , 𝑦) tels que 𝑦 = 𝑓(𝑥), ou des points (𝑥 , 𝑓(𝑥)).
2. Fonction 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒑
Soit la fonction 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
𝑥 et 𝑦 sont les variables, 𝑚 et 𝑝 sont des constantes.
MAST 21
Pour dessiner le graphique de cette fonction, on peut commencer à rechercher un
ensemble de points appartenant à cette fonction, comme ci-dessous.
𝑥 𝑦
… …
−2 −2𝑚 + 𝑝
−1 −𝑚 + 𝑝
0 𝑝
1 𝑚 + 𝑝
2 2𝑚 + 𝑝
… …
Prenons le cas où 𝑚 > 0 et 𝑝 > 0. Nous obtenons le résultat suivant :
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 est l'équation d'une droite. Dès lors, il est inutile de rechercher plus de deux
points de cette fonction. En effet, par 2 points passe une et une seule droite.
Nous noterons désormais : 𝑑 ≡ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
Il nous reste à déterminer les coordonnées des points P et Q pour dessiner la droite à
partir de son équation.
P1
x1 x2
y1
y2
x
y
q
p
P2
MAST 22
a) Cas général
La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑦 en un point 𝑃 (ordonnée à l'origine) dont les
coordonnées sont de type (0 , 𝑦0), où 𝑦0 se détermine en calculant la valeur
numérique de 𝑦 pour 𝑥 = 0
𝑦0 = 𝑚 ∙ 0 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝑦0 = 𝑝 ⇒ 𝑃(0, 𝑝)
La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑥 en un point 𝑄 (abscisse à l'origine) de
coordonnées (𝑥0 , 0). Pour trouver 𝑥0, il suffit de résoudre l'équation :
𝑚𝑥0 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝑥0 = −𝑝
𝑚(= 𝑞) ⇒ 𝑄 (𝑞 = −
𝑝
𝑚, 0)
Si nous avions eu 𝑝 ≠ 0 et 𝑚 = 0 ; alors 𝑥0 n'existerait pas.
Un point complémentaire facile à trouver est l'ordonnée du point d'abscisse 1
(x = 1); alors y = m + p. La droite passe toujours par le point 𝑀(1,𝑚 + 𝑝).
Soient 𝑃1 et 𝑃2 deux points de la droite 𝑑, avec pour coordonnées (𝑥1 , 𝑦1) et
(𝑥2 , 𝑦2).
𝑃1 ∈ 𝑑 ⇔ 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑝 (1)
𝑃2 ∈ 𝑑 ⇔ 𝑦2 = 𝑚𝑥2 + 𝑝 (2)
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1) (2) – (1)
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1
=Δ𝑦
Δ𝑥
et
𝑝 = 𝑦1 −𝑚𝑥1 = 𝑦2 −𝑚𝑥2
𝑚 est le coefficient angulaire (ou pente) de la droite. 𝑝 est le terme indépendant.
Remarquons que chaque fois que 𝑥 augmente de 1; alors 𝑦 augmente de 𝑚.
En effet, soit 𝑥′ = 𝑥 + 1
⇒ 𝑦′ = 𝑚𝑥′ + 𝑝 = 𝑚(𝑥 + 1) + 𝑝 = 𝑚𝑥 +𝑚 + 𝑝
= (𝑚𝑥 + 𝑝) + 𝑚 = 𝑦 +𝑚
Conclusion : Si 𝑚 > 0 ; alors 𝑓 est croissante.
Si 𝑚 < 0 ; alors 𝑓 est décroissante.
Si 𝑚 = 0 ; alors 𝑓 est constante (voir cas particuliers).
Toutes les droites ayant le même coefficient angulaire sont parallèles.
MAST 23
b) Cas particuliers
𝑝 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 ⇒ 𝑃(0, 𝑝) = 𝑄 (−𝑝
𝑚, 0) = 𝑂(0,0)
La droite est parallèle à 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝, ∀𝑝 ; et passe par 𝑂(0,0).
La droite passe également par le point particulier 𝑀(1,𝑚) puisque 𝑝 = 0.
Nous avons les deux points nécessaires, 𝑂(0,0) et 𝑀(1,𝑚) pour dessiner la
droite 𝑦 = 𝑚𝑥.
𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 𝑚 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑝
Toutes les valeurs de y sont identiques. La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑦 au point
𝑃(0, 𝑝) et est parallèle à l'axe 𝑂𝑥. Comme prévu, 𝑥0 n'existe pas.
L'équation 𝑦 = 0 est la droite 𝑦 = 𝑝 pour 𝑝 = 0.
C'est l'ensemble des points (𝑥, 0) ∀𝑥 ∈ ℝ. C'est l'axe 𝑂𝑥. 𝑂𝑥 ≡ 𝑦 = 0
p
MAST 24
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑞
Toutes les valeurs de x sont identiques. La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑥 au point
𝑄(𝑞, 0) et est parallèle à l'axe 𝑂𝑦. 𝑚 est de pente infinie. Il n'est plus possible
d'écrire 𝑑 sous la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
L'équation s'écrit : 𝑑 ≡ 𝑥 = 𝑞. Cette droite n'est plus une fonction.
L'équation 𝑥 = 0 est la droite 𝑥 = 𝑞 pour 𝑞 = 0.
C'est l'ensemble des points (𝑜, 𝑦) ∀𝑦 ∈ ℝ. C'est l'axe 𝑂𝑦. 𝑂𝑦 ≡ 𝑥 = 0
c) Autres formes d'écriture
L'équation d'une droite peut encore s'écrire d'autres manières différentes, dont trois
assez classiques.
1°) 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑚 = −𝑎
𝑏, 𝑝 = −
𝑐
𝑏, 𝑞 = −
𝑐
𝑎
2°) 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ⇒ 𝑚 = −𝑎
𝑏, 𝑝 =
𝑐
𝑏, 𝑞 =
𝑐
𝑎
3°) 𝑑 ≡𝑥
𝑞+𝑦
𝑝= 1 ⇒ 𝑚 = −
𝑝
𝑞
MAST 25
3. Système de 2 équations à 2 inconnues
La résolution d'un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à déterminer l'ensemble
des solutions communes de ces équations.
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
Graphiquement, la solution du système détermine l'intersection de 2 droites 𝑑1 ∩ 𝑑2, si
elle existe.
Partons de l'exemple suivant :
{3𝑥 + 2𝑦 = 124𝑥 − 𝑦 = 5
(1)(2)
a) Méthode de substitution
(2) ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 5 qu'on introduit dans (1)
(1) ⇒ 3𝑥 + 2 ∙ (4𝑥 − 5) = 12
⇒ 3𝑥 + 8𝑥 − 10 = 12
⇒ 11𝑥 = 22 ⇒ 𝑥 = 2
(2) ⇒ 𝑦 = 4 ∙ 2 − 5 ⇒ 𝑦 = 3
b) Méthode de comparaison
(1) ⇒ 2𝑦 = 12 − 3𝑥 ⇒ 𝑦 = 6 −3
2𝑥 (1′)
(2) ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 5 (2′)
(1′) = (2′) ⇒ (𝑦 =)6 −3
2𝑥 = 4𝑥 − 5 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3
c) Méthode d'addition
(1) ⇒ 3𝑥 + 2𝑦 = 12
(2) × 2 ⇒ 8𝑥 − 2𝑦 = 10
⇒ 11𝑥 + 0𝑦 = 22 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3
MAST 26
d) Méthode de Cramer
Pour découvrir la méthode de Cramer, nous allons commencer par résoudre le cas
général à partir des méthodes vues précédemment.
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
(1)(2)
(1) × 𝑏2 ⇒ 𝑎1𝑏2𝑥 + 𝑏1𝑏2𝑦 = 𝑐1𝑏2
(2) × (−𝑏1) ⇒ −𝑎2𝑏1𝑥 − 𝑏1𝑏2𝑦 = −𝑐2𝑏1
⇒ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑥 + 0𝑦 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1
⇒ 𝑥 =𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
⟺ 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ≠ 0
𝑦 =𝑐1𝑏1−𝑎1𝑏1∙ 𝑥 =
𝑐1𝑏1−𝑎1 ∙ (𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1)
𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)
=𝑐1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1) − 𝑎1 ∙ (𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1)
𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)
=𝑎1𝑏2𝑐1 − 𝑎2𝑏1𝑐1 − 𝑎1𝑏2𝑐1 + 𝑎1𝑏1𝑐2
𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)=𝑏1 ∙ (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)
𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)
=𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
Nous allons simplifier l'écriture en utilisant des déterminants.
On pose :
𝛿 = |𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
| = 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
𝛿𝑥 = |𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2
| = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1
𝛿𝑦 = |𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2
| = 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1
𝑥 =𝛿𝑥𝛿=|𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2
|
|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
|=𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
𝑦 =𝛿𝑦
𝛿=|𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2
|
|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2
|=𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
MAST 27
Reprenons notre exemple, et appliquons la méthode de Cramer.
{3𝑥 + 2𝑦 = 124𝑥 − 𝑦 = 5
𝛿 = |3 24 −1
| = 3 ∙ (−1) − 4 ∙ 2 = −3 − 8 = −11 ≠ 0
𝛿𝑥 = |12 25 −1
| = 12 ∙ (−1) − 5 ∙ 2 = −12 − 10 = −22 ⇒ 𝑥 =−22
−11= 2
𝛿𝑦 = |3 124 5
| = 3 ∙ 5 − 4 ∙ 12 = 15 − 48 = −33 ⇒ 𝑦 =−33
−11= 3
e) Discussion et représentation géométrique
Nous reprenons notre cas général.
{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
(1)(2)
(1) et (2) sont respectivement les équations des droites 𝑑1 et 𝑑2.
𝛿 ≠ 0
Alors, le système a une solution unique 𝑥 = 𝛿𝑥 𝛿⁄ et 𝑦 = 𝛿𝑦 𝛿⁄ .
Les droites 𝑑1 et 𝑑2 ont en commun un point unique; c'est le point
d'intersection 𝐼(𝛿𝑥 𝛿⁄ , 𝛿𝑦 𝛿⁄ ).
d1
d2
𝛿𝑦
𝛿
𝛿𝑥𝛿
I
MAST 28
𝛿 = 0
{𝑦 = −
𝑎1
𝑏1𝑥 +
𝑐1
𝑏1= 𝑚1𝑥 + 𝑝1
𝑦 = −𝑎2
𝑏2𝑥 +
𝑐2
𝑏2= 𝑚2𝑥 + 𝑝2
(1)
(2)
𝑑1 et 𝑑2 ont même coefficient angulaire;
𝑚1 = −𝑎1
𝑏1= 𝑚2 = −
𝑎2
𝑏2 et
𝑎1
𝑎2=𝑏1
𝑏2
Si 𝛿𝑥 = 𝛿𝑦 = 0 ⇒ 𝑎1
𝑎2=𝑏1
𝑏2=𝑐1
𝑐2 ;
alors le système est indéterminé. 𝑑1 = 𝑑2
d1 = d2
MAST 29
Si 𝛿𝑥 ≠ 0, 𝛿𝑦 ≠ 0
alors le système est impossible. 𝑑1 ∥ 𝑑2
4. Droites perpendiculaires
Soit la droite 𝑑 ≡ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.
Nous avons vu que lorsque 𝑥 augmente de 1 (𝑥′ = 𝑥 + 1); alors 𝑦 augmente de 𝑚.
(𝑦′ = 𝑦 +𝑚).
Toute droite d'équation :
𝑑⊥ ≡ 𝑦 = −1
𝑚𝑥 + 𝑝′
est une droite perpendiculaire à 𝑑.
En effet, soit 𝑑⊥ ≡ 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′.
Pour avoir 𝑑 ⊥ 𝑑⊥, il suffit que lorsque 𝑥 augmente de 𝑚; 𝑦 diminue de 1.
{𝑦′ = 𝑚′(𝑥 + 𝑚) + 𝑝′ = 𝑚′𝑥 + 𝑚′𝑚 + 𝑝′
𝑦′ = 𝑦 − 1 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ − 1
⇒ 𝑚′𝑥 + 𝑚′𝑚 + 𝑝′ = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ − 1
⇒ 𝑚′𝑚 = −1
⇒ 𝑚′ = −1 𝑚⁄
d1
d2
MAST 30
Soit la droite 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.
Toute droite perpendiculaire à 𝑑 a pour équation :
𝑑⊥ = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑐′ = 0
En effet :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑎
𝑏𝑥 −
𝑐
𝑏 ⇒ 𝑚 = −
𝑎
𝑏
𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑐′ = 0 ⇒ 𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐′
𝑎 ⇒ 𝑚′ =
𝑏
𝑎 } ⇒ 𝑚′ = −
1
𝑚
d
𝑑⊥
MAST 31
5. Exercices
1) Dessiner le graphique des fonctions suivantes.
𝑎) 𝑦 = 3𝑥
𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑐) 𝑦 = −𝑥 + 2
𝑑) 𝑦 = 2𝑥 − 1
𝑒) 𝑦 =𝑥
3+ 3
Pour chacune de ces droites, donner :
le coefficient angulaire.
l'abscisse à l'origine(𝑑 ∩ 𝑂𝑥).
l'ordonnée à l'origine(𝑑 ∩ 𝑂𝑦).
l'ordonnée du point d'abscisse 1.
2) Donner une équation de chaque droite dont on donne les coordonnées de deux points.
𝑎) (1, 2) et (5, 1)
𝑏) (0, 0) et (2, −4)
𝑐) (0,1
3) et (
2
5, 1)
𝑑) (−1, 5) et (2, 5)
𝑒) (−2, 5) et (−3, 2)
𝑓) (0, 2) et (3, 0)
𝑔) (2, 5) et (2, 8)
ℎ) (−3,−1) et (−3, 3)
𝑖) (3,7 ; 0) et (−3,2 ; 6,1)
𝑗) (1,2 ; 4) et (1,2 ; 0)
3) Résoudre les systèmes d'équations suivants en utilisant diverses méthodes, dont celle
de Cramer. Représenter graphiquement.
𝑎) { 2𝑥 − 𝑦 = 43𝑥 + 𝑦 = 1
𝑏) { 3𝑥 + 7𝑦 = 3 5𝑥 − 4𝑦 = 5
𝑐) { 𝑥 + 𝑦 = 16𝑥 − 𝑦 = 6
𝑑) { 4𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 8𝑥 − 5𝑦 + 9 = 0
𝑒) { 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 02𝑥 + 3𝑦 = 13
𝑓) { 𝑥 − 4 = 0 3𝑦 − 𝑥 = 2
𝑔) { 2𝑥 + 3𝑦 = 65𝑦 = 10
ℎ) { 𝑦 = 2𝑥 + 1 3𝑥 + 2𝑦 = 9
𝑖) { 3𝑥 − 2𝑦 = 5 2𝑥 − 5𝑦 = 7
𝑗) { 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 + 3
MAST 32
LE SECOND DEGRÉ
1. Définitions
Une équation du second degré en 𝑥 est une équation qui s'écrit sous la forme :
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 ∈ ℝ0, 𝑏 et 𝑐 ∈ ℝ.
Une fonction du second degré en 𝑥 est une fonction :
𝑓:ℝ → ℝ: 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ∈ ℝ0, 𝑏 et 𝑐 ∈ ℝ.
2. Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0
Lorsqu'on recherche les solutions de l'équation du second degré, on dit aussi qu'on
recherche les 2 racines 𝑥1 et 𝑥2 telles que :
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
a) Cas général
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
⇓
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎= 0
⇓
𝑥2 + 2𝑏
2𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2−𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎= 0
⇓
(𝑥 +𝑏
2𝑎)2
−𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2= 0
On pose Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Δ > 0
(𝑥 +𝑏
2𝑎)2
− (√Δ
2𝑎)
2
= 0
⇓
(𝑥 +𝑏
2𝑎−√Δ
2𝑎)(𝑥 +
𝑏
2𝑎+√Δ
2𝑎) = 0
MAST 33
⇓
{
𝑥1 =
−𝑏 + √Δ
2𝑎
𝑥2 =−𝑏 − √Δ
2𝑎
Δ = 0
(𝑥 +𝑏
𝑎)2
= 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏
𝑎
Δ < 0
𝑥1 et 𝑥2 n'existent pas dans ℝ
Conclusion :
Pour résoudre l'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ;
on commence par calculer Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
Δ > 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √Δ
2𝑎 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2}
Δ = 0
𝑥1 = 𝑥2 = −
𝑏
2𝑎
𝑆 = {𝑥1}
Δ < 0
𝑥1 et 𝑥2 ∄ 𝑆 = ∅
b) Cas particuliers
𝑏 est pair ⇒ 𝑏 = 2𝑏′
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4𝑏′2 − 4𝑎𝑐 = 4(𝑏′2− 𝑎𝑐) = 4Δ′ avec Δ′ = 𝑏′
2− 𝑎𝑐
−b ± √∆
2a=−2b′ ± √4∆′
2a=−2b′ ± 2√∆′
2a=−2(b′ ± √∆′)
2a=−b′ ± √∆′
a
Donc, pour 𝑎𝑥2 + 2𝑏′𝑥 + 𝑐 = 0 avec Δ′ = 𝑏′2− 𝑎𝑐
Si Δ′ > 0 ; alors :
{
𝑥1 =
−𝑏′ + √Δ′
𝑎
𝑥2 =−𝑏′ − √Δ′
𝑎
MAST 34
𝑐 = 0.
L'équation devient : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
⇒ 𝑥1 = 0 et 𝑥2 = −𝑏 𝑎⁄
𝑏 = 0.
L'équation devient : 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥2 +𝑐
𝑎= 0
⇒ 𝑥1,2 = ±√−𝑐 𝑎⁄ ⇔ 𝑐
𝑎< 0
c) Somme et Produit
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑥2 − 𝑥1𝑥 − 𝑥2𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑥
2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2
On pose : {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2
(Somme)
(Produit)
⇒ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎= 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃
⇒ {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐
𝑎
d) Exemples
2𝑥2 − 4𝑥 = 0
Il n'y a pas de terme indépendant (𝑐 = 0).
⇒ 2𝑥(𝑥 − 2) = 0
⇒ 𝑥1 = 0 et 𝑥2 = 2
3𝑥2 + 18𝑥 + 27 = 0
⇒ 3(𝑥2 + 6𝑥 + 9) = 0 ⇒ 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0
C'est un produit remarquable ! (Δ = 0)
⇒ (𝑥 + 3)2 = 0 ⇒ 𝑥 + 3 = 0
⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = −3
2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0
⇒ 2(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0 ⇒ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
⇒ {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = 5𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6
⇒ {𝑥1 = 2𝑥2 = 3
MAST 35
𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0
Δ = 22 − 4 ∙ 1 ∙ (−15) = 64 = 82 OU Δ′ = 12 − 1 ∙ (−15) = 16 = 42
𝑥1,2 =−2 ± 8
2= ∕∖ 3
−5 … 𝑂𝑈… 𝑥1,2 =
−1 ± 4
1= ∕∖ 3
−5
⇒ 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 5)
5𝑥2 + 5 = 0
⇒ 5(𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 ⇒ Impossible dans ℝ.
𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0
Δ = 12 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3 < 0 ⇒ Impossible dans ℝ.
3. Etude de la fonction y = ax2 + bx + c
a) Cas particulier
𝑏 = 𝑐 = 0 et 𝑎 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥2
Recherchons quelques points de la fonction afin d'en dessiner le graphique.
Nous obtenons : (0,0), (1,1), (2,4), (−2,4), (3,9), (−3,9), …
𝑦 = 𝑥2
MAST 36
Le résultat est une parabole qui …
… a l'axe 𝑂𝑦 comme axe de symétrie. 𝑦 = 𝑥2 est une fonction paire.
… est tangente à l'axe 𝑂𝑥 au point 𝑂.
… est strictement décroissante dans ℝ− et est strictement croissante dans ℝ+,
avec 𝑂 comme minimum.
𝑏 = 𝑐 = 0 et 𝑎 ≠ 1 ⇒ 𝑦 = 𝑎𝑥2
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = −𝑥2
𝑦 = 2𝑥2
𝑦 = −2𝑥2
𝑦 =1
4𝑥2
𝑦 = −1
4𝑥2
MAST 37
Les fonctions 𝑦 = 𝑎𝑥2 sont toutes des paraboles, ∀𝑎 ≠ 0, qui …
… sont des fonctions paires; 𝑂𝑦 est un axe de symétrie.
… sont tangentes en 𝑂, à l'axe 𝑂𝑥.
… possèdent 𝑂 comme sommet.
Si 𝑎 > 0; alors le sommet 𝑂 est un minimum, et la concavité de la
parabole est tournée vers le haut (strictement décroissante dans ℝ−,
strictement croissante dans ℝ+).
Si 𝑎 < 0; alors le sommet 𝑂 est un maximum, et la concavité de la
parabole est tournée vers le bas (strictement croissante dans ℝ−,
strictement décroissante dans ℝ+).
b) Cas général
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
⇓
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎)
⇓
𝑦 = 𝑎 (𝑥2 + 2𝑏
2𝑎𝑥 +
𝑏2
4𝑎2−𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎)
⇓
𝑦 = 𝑎 [(𝑥 +𝑏
2𝑎)2
−𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2]
⇓
𝑦 = 𝑎 (𝑥 +𝑏
2𝑎)2
−∆
4𝑎
⇓
𝑦 +∆
4𝑎= 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎)2
En posant {𝑥′ = 𝑥 +
𝑏
2𝑎
𝑦′ = 𝑦 +∆
4𝑎
; on trouve 𝑦′ = 𝑎𝑥′2.
Le résultat est une parabole de type 𝑦 = 𝑎𝑥2 qui a subit un déplacement (une
translation) de −𝑏 2𝑎⁄ vers la droite et de −∆ 4𝑎⁄ vers le haut.
Le sommet 𝑂(0,0) se déplace vers le sommet 𝑆 (−𝑏
2𝑎, −
∆
4𝑎).
MAST 38
Pour dessiner la parabole, on peut se servir d'un nouveau repère orthogonal en
utilisant les droites 𝑂′𝑥′ ≡ 𝑦 = −∆
4𝑎 et 𝑂′𝑦′ ≡ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎 ; avec 𝑂′ = 𝑆.
c) Exemple
On demande de dessiner la parabole d’équation 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12
1°) 𝑎 = 1 > 0. La concavité de la parabole est vers le haut.
2°) Calcul des points A et B, intersections de la parabole avec l’axe Ox.
Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ 12 = 64 − 48 = 16 = 42.
𝑥1,2 =−𝑏 ± √Δ
2𝑎=8 ± √4
2= ∕∖ 2
6 ⇒
𝐴 (2 , 0)
𝐵 (6 , 0)
𝑦 = 𝑎𝑥2
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦′ = 𝑎𝑥′2
−𝑏
2𝑎
−∆
4𝑎
MAST 39
3°) Calcul du sommet S.
𝑆 (−𝑏
2𝑎 , −
∆
4𝑎) = 𝑆 (
8
2 , −
16
4) = 𝑆(4 , −4)
⇒ L’axe de symétrie de la parabole a pour équation : 𝑥 = 4.
4°) Calcul du point C(0 , c), intersection de la parabole avec l’axe Oy ; et calcul du
point D, symétrique de C par rapport à l’axe de symétrie.
{𝐶(0 , 12)
𝐷 (−𝑏
𝑎 , 𝑐) = 𝐷(8 , 12)
MAST 40
4. Exercices
1) Résoudre et factoriser les équations dans ℝ.
𝑎) 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0
𝑏) 3𝑥 + 𝑥2 + 5 = 0
𝑐) 𝑥2 − 4𝑥 = −3
𝑑) 𝑥2 − 5𝑥 + 7 = 0
𝑒) − 𝑥2 + 9𝑥 − 19 = 0
𝑓) 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0
𝑔) 5 − 4𝑥 − 𝑥2 = 0
ℎ) 2𝑥2 + 5𝑥 = 3
𝑖) 3𝑥 − 4𝑥2 = 2
𝑗) − 2𝑥2 + 3 + 4𝑥 = 0
2) Résoudre et factoriser les équations dans ℝ, sans calculer la formule du Δ.
𝑎) 𝑥2 − 16 = 0
𝑏) 8𝑥2 − 2 = 0
𝑐) 𝑥2 + 9 + 6𝑥 = 0
𝑑) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 16
𝑒) 5𝑥2 − 3𝑥 = 0
𝑓) (𝑥 + 2)2 + 𝑥 + 2 = 0
𝑔) (2𝑥 − 5)2 = 25
ℎ) (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) + 6 = 0
𝑖) (2𝑥 − 3)2 − 𝑥2 = 0
𝑗) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9
3) Résoudre et factoriser les équations (inconnue x) dans ℝ (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ).
𝑎) 𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑏2 = 0
𝑏) 𝑥2 + 6𝑎𝑥 + 8𝑎2 = 0
𝑐) 4𝑎2𝑥2 − 12𝑎𝑏𝑥 + 9𝑏2 = 0
𝑑) 𝑥2 − 2𝑎𝑥 = 0
𝑒) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + 𝑎2 = 3𝑥
4) Simplifier les fractions suivantes, et donner les conditions d'existence.
𝑎) 𝑥2 − 𝑥 − 2
2𝑥2 − 5𝑥 + 2
𝑏) 2𝑥2 − 3𝑥 − 5
4𝑥2 − 20𝑥 + 25
𝑐) 𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑑) 6𝑥2 + 5𝑥 − 6
4𝑥2 − 9
𝑒) 𝑥2 − 3𝑎𝑥 + 2𝑎2
𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑎2
5) Faire l'étude des fonctions suivantes. Représenter graphiquement.
𝑎) 𝑦 = 2𝑥2
𝑏) 𝑦 = 𝑥2/2
𝑐) 𝑦 = 𝑥2 + 1
𝑑) 𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑥
𝑒) 𝑦 = 1 − 𝑥2
𝑓) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑔) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 4
ℎ) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3
𝑖) 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑗) 𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 − 4
MAST 41
STATISTIQUES
1. Définition
La statistique est la branche des mathématiques appliquées en liaison avec le calcul des
probabilités mais qui, à la différence de ce dernier, est basée sur des observations
d'événements réels à partir desquelles on cherche à établir des hypothèses plausibles en
vue de prévisions concernant des circonstances analogues.
L'étude d'un problème statistique peut se décomposer en quatre parties :
Recueil des données.
Classement et réduction de ces données (statistique descriptive).
Analyse des données visant à les rattacher à des modèles probabilistes.
Déduction de prévisions.
2. Signe sommatoire
Soient 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 n nombres réels. Par définition :
∑𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛
𝑛
𝑖=1
Attention !!! C’est l’indice i qui varie jusqu’au nombre n qui, lui, reste constant.
Notons que le choix de l'indice est indépendant du résultat.
∑𝑥𝑖 =
𝑛
𝑖=1
∑𝑥𝑗 =
𝑛
𝑗=1
∑𝑥𝑙 = ⋯
𝑛
𝑙=1
Règles de calcul :
1°) ∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
= (𝑥1 + 𝑦1) + (𝑥2 + 𝑦2) + ⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)
= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛) + (𝑦1 + 𝑦2 +⋯+ 𝑦𝑛) = ∑𝑥𝑖 +∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+∑𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
MAST 42
2°) ∑𝑎
𝑛
𝑖=1
= 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎⏟ 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
= 𝑛𝑎
∑𝑎
𝑛
𝑖=1
= 𝑛𝑎
3°) ∑𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 = 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑥𝑛
= 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛) = 𝑎∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
∑𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 = 𝑎∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
4°) ∑(𝑥𝑖 + 𝑎)
𝑛
𝑖=1
= (𝑥1 + 𝑎) + (𝑥2 + 𝑎) +⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑎)
= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛) + (𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎)⏟ 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
= ∑𝑥𝑖 + 𝑛𝑎
𝑛
𝑖=1
∑(𝑥𝑖 + 𝑎)
𝑛
𝑖=1
=∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑛𝑎
3. Tableau statistique d’une distribution observée
Nous allons partir d’un exemple. Soit la série statistique (ensemble de données brutes)
suivante. Celle-ci représente le nombre d’ordinateurs vendus au cours du dernier mois
dans 40 magasins. Nous avons 40 valeurs {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛} avec n = 40.
7 1 5 12 3 2 1 4 7 5
Série A 6 4 1 8 10 3 3 6 5 2
5 8 2 7 0 7 4 4 6 8
5 5 4 6 8 10 6 5 3 3
Pour construire un tableau sous base de ces données, une mise en ordre s’impose. On
commence par classer dans l’ordre croissant les n valeurs du tableau, et on détermine
ainsi toutes les valeurs différentes k qui se répètent parmi ces n valeurs.
MAST 43
Dans notre exemple, n = 40 et nous trouvons k = 11 valeurs différentes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 10 et 12.Ensuite, nous représentons ces valeurs par des xj de telle sorte que j varie de
1 jusqu’à k, toujours dans l’ordre croissant. Ici, 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 2, … , 𝑥10 = 10, 𝑥11 =
12. Nous avons ici 11 valeurs différentes {𝑥𝑗 ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘} avec k = 11. (Ce sont les k
valeurs possibles de la variable X.)
On appelle nj effectif (ou fréquence absolue) de la valeur xj le nombre de fois que la
valeur xj se répète. Par exemple, si j = 8, on voit que la valeur 𝑥8 = 7 se répète 𝑛8 = 4 fois.
Bien évidemment, la somme des effectifs donnera l’effectif total n, c’est-à-dire le nombre
total de magasins dans notre exemple. En effet :
∑𝑛𝑗 = 1 + 3 + 3 +⋯+ 2 + 1 = 40
11
𝑗=1
Dans le cas général, nous pouvons écrire :
∑𝑛𝑗 = 𝑛
𝑘
𝑗=1
Exprimons chaque effectif sous la forme d’un pourcentage. Par exemple, au lien de dire
que 4 magasins ont vendu 7 ordinateurs, nous pouvons parler de :
4
40∙ 100% = 10% des magasins qui ont vendu ces 7 ordinateurs.
On définit la fréquence (relative) fj de la valeur xj comme étant le rapport :
𝑓𝑗 =𝑛𝑗
𝑛
Remarquons que :
𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑘 =𝑛1𝑛+𝑛2𝑛+⋯+
𝑛𝑘𝑛=𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘
𝑛=𝑛
𝑛= 1
∑𝑓𝑗 = 1
𝑘
𝑗=1
Nous pouvons également cumuler les données. Chercher l’effectif cumulé (ou fréquence
absolue cumulée) Nj de la valeur xj, consiste, dans notre exemple, à trouver le nombre de
magasins qui ont vendu au plus xj ordinateurs.
On a : 𝑁𝑗 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑗 avec 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘
𝑁𝑗 =∑𝑛𝑙
𝑗
𝑙=1
Notons que : 𝑁𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘 = ∑ 𝑛𝑙 = 𝑛𝑘𝑙=1 ⇒ 𝑁𝑘 = 𝑛
MAST 44
On remarque aussi que :
𝑛1 = 𝑁1
𝑛𝑗 = 𝑁𝑗 − 𝑁𝑗−1 pour 𝑗 = 2 , … , 𝑘
Les fréquences (relatives) cumulées expriment les effectifs cumulés sous la forme de
pourcentages.
La fréquence cumulée Fj de la valeur xj vaut :
𝐹𝑗 =𝑁𝑗
𝑛
Notons que : 𝐹𝑗 =𝑁𝑗
𝑛=𝑛1
𝑛+𝑛2
𝑛+⋯+
𝑛𝑗
𝑛= 𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑗
⟹ 𝐹𝑗 =∑𝑓𝑙
𝑗
𝑙=1
Et donc : 𝐹𝑘 = 𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑘 = ∑ 𝑓𝑙 = 1𝑘𝑙=1 ⇒ 𝐹𝑘 = 1
De même, nous avons :
𝑓1 = 𝐹1
𝑓𝑗 = 𝐹𝑗 − 𝐹𝑗−1 pour 𝑗 = 2 , … , 𝑘
Nous pouvons finalement dresser le tableau complet de notre exemple.
j xj nj fj Nj Fj
1 0 1 0,025 = 2,5 % 1 0,025 = 2,5 %
2 1 3 0,075 = 7,5 % 4 0,1 = 10 %
3 2 3 0,0075 = 7,5 % 7 0,175 = 17,5 %
4 3 5 0,125 = 12,5 % 12 0,3 = 30 %
5 4 5 0,125 = 12,5 % 17 0,425 = 42,5 %
6 5 7 0,175 = 17,5 % 24 0,6 = 60 %
7 6 5 0,125 = 12,5 % 29 0,725 = 72,5 %
8 7 4 0,1 = 10 % 33 0,825 = 82,5 %
9 8 4 0,1 = 10 % 37 0,925 = 92,5 %
10 10 2 0,05 = 5% 39 0, 975 = 97,5 %
11 12 1 0,025 = 2,5 % 40 1
40 1
Tableau A
MAST 45
4. Graphiques d’une distribution observée
a) Diagramme en bâtons
Le diagramme des effectifs est un graphique à deux dimensions avec lequel une table
d’effectifs est représentée par l’ensemble des points (𝑥𝑗 , 𝑛𝑗). Pour une représentation
plus concrète, à partir de chaque point, on abaisse une verticale jusqu’à l’axe des 𝑥𝑗.
C’est le diagramme en bâtons. En changeant l’échelle, on peut, tout en conservant la
forme du graphique, obtenir le diagramme des fréquences (𝑥𝑗 , 𝑛𝑗 𝑛⁄ ) = (𝑥𝑗 , 𝑓𝑗).
Dans les deux cas, ce sont des fonctions discrètes.
En prenant le tableau A comme exemple :
On appelle mode toute valeur 𝑥𝑀, pour laquelle 𝑛𝑀 ≥ 𝑛𝑗 ∀𝑗.
Dans notre exemple, c’est 𝑛6 = 7 qui est l’effectif le plus élevé.
𝑥𝑀 = 𝑥6 ⇒ 𝑥𝑀 = 5.
Remarque : Soit la fonction discrète 𝑓𝑗 = 𝑓(𝑥𝑗). Comme ∑ 𝑓𝑗 = 1𝑘𝑗=1 ; cela implique
que la somme de toutes les ordonnées vaut 1.
xj
nj (fj)
(xM)
MAST 46
b) Diagramme cumulatif
Le diagramme des effectifs cumulés est une fonction en escalier définie par :
𝑁(𝑥) = 𝑁𝑗 si 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1[ avec 𝑗 = 1 , … , 𝑘 − 1
Comme précédemment, le diagramme des fréquences cumulées se construit de
manière identique, à échelle réduite, de telle sorte que :
𝐹(𝑥) = 𝐹𝑗 si 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1[ avec 𝑗 = 1 , … , 𝑘 − 1
A partir du tableau A, nous obtenons :
Si on rejoint par une suite de segments les points de coordonnées (𝑥1, 0) , (𝑥1, 𝑁1) ,
(𝑥2, 𝑁1) , (𝑥2, 𝑁2) , (𝑥3, 𝑁2) , (𝑥3, 𝑁3) , … , (𝑥𝑘, 𝑁𝑘 = 𝑛) ; alors on obtient ce qu’on
appelle le polygone des effectifs cumulés. Bien entendu, le polygone des fréquences
cumulées s’obtient en rejoignant les points (𝑥1, 0) , (𝑥1, 𝐹1) , (𝑥2, 𝐹1) , (𝑥2, 𝐹2) ,
(𝑥3, 𝐹2) , (𝑥3, 𝐹3) , … , (𝑥𝑘, 𝐹𝑘 = 1).
x
N (F)
(𝑥1/2)
MAST 47
On appelle médiane la valeur 𝑥1/2 telle que le nombre d’observations qui la
précèdent est égal au nombre d’observations qui la suivent.
A partir des {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛} :
Si n est impair (𝑛 = 2𝑚 + 1) ; alors 𝑥1/2 = 𝑥𝑚+1 = 𝑥(𝑛+1)/2
Si n est pair (𝑛 = 2𝑚) ; alors 𝑥1/2 =𝑥𝑚+𝑥𝑚+1
2=𝑥𝑛/2+𝑥(𝑛/2)+1
2
Dans notre exemple, n = 40 , et nous trouvons avec l’indice i que 𝑥20 = 𝑥21 = 5 ;
ce qui est le résultat de la médiane, soit 𝑥1/2 = 5.
Une autre méthode consiste à déterminer directement la médiane sur le polygone en
recherchant la solution de l’équation : 𝐹(𝑥1/2) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥1/2) = 𝑛/2 ).
Il suffit, pour cela, de tracer l’horizontale 𝐹(𝑥) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥) = 𝑛/2 ).
Si on coupe un segment vertical du polygone ; la solution est immédiate, c’est
l’abscisse du point d’intersection.
Si l’horizontale contient un segment du polygone ; la solution est l’abscisse
de son milieu.
5. Tableau statistique d’une distribution groupée
Reprenons le même type d’exemple. Soit une série statistique représentant le nombre
d’ordinateurs vendus par 30 magasins.
124 115 110 114 134 126 114 138 136 114
Série B 110 120 130 138 120 120 138 110 120 110
120 122 130 115 120 114 110 138 116 118
Nous avons 13 valeurs différentes pour un effectif total n = 30. Ce qui implique que
beaucoup d’effectifs ont 1 comme valeur. Les répétitions sont très faibles.
En groupant certaines données, on peut former des classes ; c’est-à-dire un ensemble
d’intervalles consécutifs(𝑙𝑗 , 𝑙𝑗+1).
La largeur ℎ𝑗 du jème
intervalle est égale à la différence à la différence de ses limites ;
soit : ℎ𝑗 = 𝑙𝑗+1 − 𝑙𝑗.
Une classe est caractérisée par son centre :
𝑥𝑐𝑗 =𝑙𝑗 + 𝑙𝑗+1
2
MAST 48
Cas possible :
(𝑙𝑗 , 𝑙𝑗+1) ℎ𝑗 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗
[ 108 , 110 ] 2 109 5
] 110 , 116 ] 6 113 7
] 116 , 120 ] 4 118 7
] 120 , 136 ] 16 128 7
] 136 , 138 ] 2 137 4
Même si ce n’est pas obligatoire, on préfère souvent avoir des classes de largeurs
identiques. Il existe alors différentes règles pour déterminer le nombre de classes k en
fonction de l’effectif total n. Une des plus connue est celle de Sturges :
𝑘 = 1 +10
3log10 𝑛
Dans notre exemple : 𝑘 = 1 + 3,33 log10 30 = 5,92 ≈ 6
Définissons l’étendue : 𝐸 = 𝑥𝑛 − 𝑥1
⇒ ℎ =𝐸
𝑘=138 − 110
5,92= 4,7 ≈ 5
Ici encore, plusieurs choix sont possibles pour notre exemple.
1er
cas : [ 110 , 115 ] ; ] 115 , 120 ] ; ] 120 , 125 ] ; ] 125 , 130 ] ; ] 135 , 140 ]
Cependant, dans le 1er
intervalle, la valeur 110 se répète déjà 5 fois.
Nous pouvons décomposer [ 110 , 115 ] en ] 105 , 110 ] ; ] 110 , 115 ] ; ce qui implique
l’utilisation de 7 classes au lieu de 6.
Classes Centres 𝑛𝑗
] 105 , 110 ] 107,5 5
] 110 , 115 ] 112,5 6
] 115 , 120 ] 117,5 8
] 120 , 125 ] 122,5 2
] 125 , 130 ] 127,5 3
] 130 , 135 ] 132,5 1
] 135 , 140 ] 137,5 5
MAST 49
2ème
cas : Pour conserver 6 classes, et obtenir des centres entiers, il suffit de décaler les
limites, par exemple de – 1,5. Ce sera notre tableau final.
Classes 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑓𝑗 𝑁𝑗 𝐹𝑗
] 108,5 ; 113,5 ] 111 5 0,167 5 0,167
] 113,5 ; 118,5 ] 116 8 0,267 13 0,433
] 118,5 ; 123,5 ] 121 7 0,233 20 0,667
] 123,5 ; 128,5 ] 126 2 0,067 22 0,733
] 128,5 ; 133,5 ] 131 2 0,067 24 0,8
] 133,5 ; 138,5 ] 136 6 0,2 30 1
30 1
Tableau B
6. Graphiques d’une distribution groupée
a) L’histogramme
Dans le cas d’une distribution groupée, l’histogramme des effectifs est représenté par
un ensemble de rectangles construits sur l’axe des 𝑥𝑗 , de base (𝑙𝑗 ; 𝑙𝑗+1) avec
ℎ𝑗 = 𝑙𝑗+1 − 𝑙𝑗 comme largeur, et de hauteur 𝑛𝑗 ℎ𝑗⁄ .
L’aire de chaque rectangle vaut 𝑛𝑗 .
En changeant d’échelle, l’histogramme des fréquences se construira de la même
manière, mais avec une hauteur de 𝑓𝑗 ℎ𝑗⁄ pour chaque rectangle, dont l’aire vaudra 𝑓𝑗.
Dans le cas du tableau B, ℎ𝑗 = ℎ = 5 ∀𝑗.
On peut construire un nouveau tableau pour l’histogramme.
Classes 𝑛𝑗 ℎ⁄ 𝑓𝑗 ℎ⁄
] 108,5 ; 113,5 ] 1 0,033
] 113,5 ; 118,5 ] 1,6 0,053
] 118,5 ; 123,5 ] 1,4 0,047
] 123,5 ; 128,5 ] 0,4 0,013
] 128,5 ; 133,5 ] 0,4 0,013
] 133,5 ; 138,5 ] 1,2 0,04
MAST 50
] 113,5 ; 118,5 ] est la classe modale. Une valeur modale 𝑥𝑀 peut être déterminée par
construction géométrique de deux segments de droite à l’intérieur de la classe. Le
calcul de cette intersection nous donnera ici 𝑥𝑀 = 117,25.
b) Polygone d’une distribution groupée
A partir de l’histogramme des effectifs cumulés, on trace les segments qui rejoignent
les points de coordonnées (𝑙1, 0) , (𝑙2, 𝑁1) , (𝑙3, 𝑁2) , … , (𝑥𝑘+1, 𝑁𝑘 = 𝑛) ; ou, en
changeant d’échelle, l’histogramme des fréquences cumulées avec les points (𝑙1, 0) ,
(𝑙2, 𝐹1) , (𝑙3, 𝐹2) , … , (𝑥𝑘+1, 𝐹𝑘 = 1).
Nous obtenons le polygone des effectifs cumulés, ainsi que le polygone des
fréquences cumulées, dans le cas d’une distribution groupée.
Pour déterminer la médiane, on procède comme pour la distribution observée avec la
fonction en escalier. On trace l’horizontale 𝑁(𝑥) = 𝑛/2 (ou 𝐹(𝑥) = 1/2 ) jusqu’à
ce qu’on coupe un segment de droite du polygone. Géométriquement, il suffit
d’abaisser une verticale à partir de ce point pour trouver 𝑥1/2.
Pour notre exemple, la calcul nous donnera 𝑥1/2 = 119,93.
Remarque : Toutes ces valeurs sont en fait des approximations en raison du choix des
classes.
𝑥𝑗
𝑛𝑗
ℎ (𝑓𝑗
ℎ)
𝑥𝑀
MAST 51
7. Paramètres de tendance centrale
a) Moyenne 𝒙 (ou ⟨𝒙⟩ ou 𝝁𝑿)
1°) Série statistique {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛}
𝑥 =1
𝑛∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Série A :
𝑥 =7 + 1 + 5 +⋯+ 3 + 3
40=201
40= 5,025
Série B :
𝑥 =124 + 115 +⋯+ 118
30=3644
30= 121,4667
𝑥1/2 𝑥
𝑁 (𝐹)
MAST 52
2°) Distribution observée {(𝑥𝑗 , 𝑛𝑗) ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘}
𝑥 =1
𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
⇓
𝑥 =∑𝑛𝑗
𝑛
𝑘
𝑗=1
𝑥𝑗
⇓
𝑥 =∑𝑓𝑗
𝑘
𝑗=1
𝑥𝑗
Tableau A :
𝑥 =(1 ∙ 0) + (3 ∙ 1) + (3 ∙ 2) + ⋯+ (2 ∙ 10) + (1 ∙ 12)
40= 5,025
𝑥 = (0,025 ∙ 0) + (0,075 ∙ 1) + ⋯+ (0,025 ∙ 12) = 5,025
3°) Distribution groupée {(𝑥𝑐𝑗 =𝑙𝑗+𝑙𝑗+1
2), 𝑛𝑗 ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘}
𝑥 ≈1
𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗
𝑘
𝑗=1
Tableau B :
𝑥 =(5 ∙ 111) + (8 ∙ 116) + (3 ∙ 2) + ⋯+ (6 ∙ 136)
30=3660
30= 122
b) Mode 𝒙𝑴 (ou M ou Mo)
Toute valeur 𝑥𝑀 qui a l’effectif le plus élevé. Dans le cas d’une distribution groupée,
la valeur est calculée à partir de la classe modale (voir précédemment).
c) Médiane 𝒙𝟏/𝟐 (ou 𝒙𝟎.𝟓 ou �̃� ou Me)
C’est la valeur 𝑥1/2 solution de l’équation : 𝐹(𝑥1/2) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥1/2) = 𝑛/2 ).
MAST 53
8. Paramètres de dispersion
a) Ecart moyen 𝒆𝒎
Soient 𝑒𝑖 les écarts entre chaque valeur 𝑥𝑖 et la moyenne 𝑥 donc : 𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥
Si nous calculons la moyenne des écarts, nous obtenons :
𝑒 =1
𝑛∑𝑒𝑖 =
1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥) =
1
𝑛∑𝑥𝑖 −
1
𝑛∑𝑥 = 𝑥 −
1
𝑛𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
Ceci était prévisible, car cela donne tout son sens à la moyenne 𝑥.
Dès lors, pour avoir une première idée de la dispersion, on définit l’écart moyen
comme la moyenne de la valeur absolue des écarts :
𝑒𝑚 =1
𝑛∑|𝑥𝑖 − 𝑥|
𝑛
𝑖=1
Cependant, le calcul algébrique avec des valeurs absolues est généralement très
compliqué. Aussi, en pratique, l’écart moyen est rarement utilisé.
b) Variance 𝑽𝑿
Tout en conservant l’esprit de l’écart moyen, et en évitant les inconvénients ; on
préfère utiliser la variance, moyenne des carrés (ou moyenne quadratique) des écarts.
1°) Série statistique :
𝑉 =1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥)
2
𝑛
𝑖=1
2°) Distribution observée :
𝑉 =1
𝑛∑𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)
2𝑘
𝑗=1
𝑉 = ∑𝑓𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)2
𝑘
𝑗=1
3°) Distribution groupée :
𝑉 =1
𝑛∑𝑛𝑐𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)
2𝑘
𝑗=1
𝑉 = ∑𝑓𝑐𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)2
𝑘
𝑗=1
MAST 54
Calcul de la variance
1°) Série statistique :
𝑉 =1
𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥)
2
𝑛
𝑖=1
=1
𝑛∑(𝑥𝑖
2 − 2𝑥 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑥2)
𝑛
𝑖=1
=1
𝑛∑𝑥𝑖
2 − 2𝑥 ∙1
𝑛∑𝑥𝑖 +
1
𝑛𝑛𝑥
2=
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
1
𝑛∑𝑥𝑖
2 − 2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥2
𝑛
𝑖=1
=1
𝑛∑𝑥𝑖
2 − 𝑥2
𝑛
𝑖=1
2°) Distribution observée :
En faisant le même calcul, on trouve :
𝑉 =1
𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗
2 − 𝑥2
𝑘
𝑗=1
=∑𝑓𝑗𝑥𝑗2 − 𝑥
2
𝑘
𝑗=1
3°) Distribution groupée :
De même, on trouve :
𝑉 =1
𝑛∑𝑛𝑐𝑗𝑥𝑗
2 − 𝑥2
𝑘
𝑗=1
=∑𝑓𝑐𝑗𝑥𝑗2 − 𝑥
2
𝑘
𝑗=1
Dans tous les cas, le résultat final est donné par l’équation :
𝑉 = 𝑥2 − 𝑥2
c) Ecart-type 𝝈𝑿
L’écart-type est, par définition, la racine carrée de la variance.
𝜎 = √𝑉 = √𝑥2 − 𝑥2
Nous allons maintenant pouvoir appliquer ces paramètres à nos deux exemples en
construisant des tableaux suffisamment complets pour faire les calculs appropriés.
MAST 55
Tableau A
j 𝑥𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗𝑥𝑗 𝑥𝑗2 𝑛𝑗𝑥𝑗
2 𝑥𝑗 − 𝑥 (𝑥𝑗 − 𝑥)2 𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)
2
1 0 1 0 0 0 – 5,025 25,25 25,25
2 1 3 3 1 3 – 4,025 16,2 48,6
3 2 3 6 4 12 – 3,025 9,15 27,45
4 3 5 15 9 45 – 2,025 4,1 20,5
5 4 5 20 16 80 – 1,025 1,05 5,25
6 5 7 35 25 175 – 0,025 0,0006 0,0044
7 6 5 30 36 180 0,975 0,95 4,75
8 7 4 28 49 196 1,975 3,9 15,6
9 8 4 32 64 256 2,975 8,85 35,4
10 10 2 20 100 200 4,975 24,75 49,5
11 12 1 12 144 144 6,975 48,65 48,65
40 201 1291 280,975
𝑥 =1
40∑𝑛𝑗𝑥𝑗 =
201
40= 5,025
11
𝑗=1
𝑥2 =1
40∑𝑛𝑗𝑥𝑗
2 =1291
40= 32,275
11
𝑗=1
𝑉 = 𝑥2 − 𝑥2= 32,275 − (5,025)2 = 7,0244
𝑉 =1
40∑𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)
211
𝑗=1
=280
40= 7,0244
}
⇒ 𝜎 = √7,0244 = 2,65
Tableau B
j 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗 𝑥𝑐𝑗2 𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗
2 𝑥𝑐𝑗 − 𝑥 (𝑥𝑐𝑗 − 𝑥)2 𝑛𝑗(𝑥𝑐𝑗 − 𝑥)
2
1 111 5 555 12 321 61 605 – 11 121 605
2 116 8 928 13 456 107 648 – 6 36 288
3 121 7 847 14 641 102 487 – 1 1 7
4 126 2 252 15 876 31 752 4 16 32
5 131 2 262 17 161 34 322 9 81 162
6 136 6 816 18 496 110 976 14 196 1176
30 3660 448 790 2270
𝑥 =3660
30= 122 𝑥2 =
448790
30= 14959,67
𝑉 = 14959,67 − (122)2 = 75,67 ou 𝑉 =2270
30= 75,67 ⇒ 𝜎 = √75,67 = 8,7
MAST 56
9. Exercices
1) Ayant 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −2, 𝑥4 = 0, 𝑥5 = −1, 𝑥6 = 4.
Calculer :
𝑎) ∑𝑥𝑖
6
𝑖=1
𝑏) ∑𝑥𝑖2
6
𝑖=1
𝑐) ∑3𝑥𝑗
6
𝑗=1
𝑑) ∑𝑥𝑘 + 3
2
6
𝑘=1
2) Sachant que ∑ 𝑥𝑖 = 7𝑛𝑖=1 , calculer :
𝑎) ∑2𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑏) ∑(𝑥𝑗 − 3)
𝑛
𝑗=1
𝑐) ∑(−𝑥𝑘4)
𝑛
𝑘=1
3) Soit une distribution d'un nombre de petits dans 121 portées de souris.
𝑥𝑗 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑛𝑗 7 11 16 17 26 31 11 1 1
𝑎) Dresser un tableau statistique complet.
𝑏) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
𝑐) Dessiner le diagramme en bâtons et déterminer le mode.
𝑑) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.
4) Le tableau ci-dessous donne le nombre de buts marqués pour chacun des matchs de
hockey sur glace, arbitrés par McGyver.
𝑥𝑗 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13
𝑛𝑗 4 20 35 23 15 20 6 6 2 1 1 1
𝑎) Dresser un tableau statistique complet.
𝑏) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
𝑐) Dessiner le diagramme en bâtons et déterminer le mode.
𝑑) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.
5) Un message secret a été découvert dans un vieux grimoire de Merlin, qui a retourné
vers le futur. Sachant que le message est en français, et que Merlin a remplacé chaque
lettre par une autre; pouvez-vous le déchiffrer ?
RC RUPZC BC RT QTIJZC CHI VJPCZI BCPTQI QVJH, CKZUI
BTQH RT RTQSJC BCH GTIFCGTIUWJCH. STRURCV STRURCU.
MAST 57
On dispose des deux informations suivantes :
𝑎) On possède une évaluation des fréquences des lettres qui figurent le plus souvent
dans un texte.
Lettres Fréquence
E
S
A, L, O, R, T, N
I, D
0,17
0,11
0,07
0,05
𝑏) On connait la répartition des lettres les plus fréquentes dans un jeu de
SCRABBLE.
Lettres Nombre de jetons
E
A
I
N, O, R, S, T, U
L
15
9
8
6
5
6) Soit un tableau brut de données sur la longueur (en mm) de la grande nervure de
75 feuilles de platane.
113 – 126 – 139 – 171 – 119 – 134 – 170 – 144 – 153 – 175 – 126 – 180 – 139 – 126 –
149 – 117 – 154 – 122 – 137 – 140 – 142 – 168 – 152 – 149 – 129 – 148 – 175 – 168 –
104 – 144 – 134 – 145 – 137 – 131 – 122 – 153 – 149 – 169 – 132 – 147 – 150 – 152 –
140 – 118 – 161 – 153 – 177 – 146 – 152 – 112 – 140 – 145 – 152 – 151 – 145 – 112 –
162 – 188 – 156 – 160 – 170 – 165 – 156 – 157 – 161 – 155 – 162 – 155 – 170 – 160 –
172 – 158 – 155 – 182 – 132.
𝑎) Grouper cette série en classes de largeur 10, à partir de 100 mm.
𝑏) Dresser un tableau statistique complet.
𝑐) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.
𝑑) Dessiner l'histogramme et déterminer la classe modale.
𝑒) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.
MAST 58
Martin Gardner, La magie des paradoxes,
Bibliothèque POUR LA SCIENCE,
Diffusion Belin.
MAST 59
ALGÈBRE FINANCIÈRE
1. Les intérêts simples
a) Définitions
L'intérêt est la rémunération d'un prêt, d'une somme d'argent versée, d'un capital.
Cette rémunération est dite à "intérêts simples" lorsque les intérêts ne s'ajoutent pas
au capital pour porter eux-mêmes des intérêts. En pratique, cette opération est à court
terme.
On note : V la valeur du capital (ou simplement C le capital),
i (ou r) le taux d'intérêt exprimé en %.
Soit 𝑉0 le capital de départ placé pour un an au taux annuel à terme échu i. Au bout
d'un an, le capital devient :
𝑉1 = 𝑉0 + 𝐼1 = 𝑉0 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 𝑖) où 𝐼1 représente l'intérêt après un an.
Après 2 ans, nous avons : 𝑉2 = 𝑉0 + 𝐼2 = 𝑉1 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 2𝑖)
Au bout de n années, nous obtenons :
𝑉𝑛 = 𝑉0 + 𝐼 = 𝑉0(1 + 𝑛𝑖)où 𝐼 = 𝐼𝑛 = 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖
L'intérêt est directement proportionnel au capital, à la durée et au taux de placement.
Par défaut, nous avons travaillé avec 𝑛 années, et le taux d’intérêt annuel 𝑖 = 𝑖𝑎.
Si on travaille en mois, on peut calculer en fractions d’années.
𝑛 =𝑚
12 (𝑚 = nombre de mois)
𝐼 = 𝑉0 ∙𝑚
12∙ 𝑖
Nous pouvons encore écrire :
𝐼 = 𝑉0 ∙ 𝑚 ∙𝑖
12= 𝑉0 ∙ 𝑚 ∙ 𝑖𝑚
où 𝑖𝑚 est le taux d’intérêt mensuel.
Nous venons de définir le taux proportionnel :
𝑖𝑚 =𝑖
12 ⇒ 𝑉𝑛 = 𝑉𝑚 = 𝑉0(1 + 𝑚𝑖𝑚)
MAST 60
Conventionnellement, la durée de l’année commerciale est de 360 jours, soient
12 mois de 30 jours. Donc, si on travaille en jours :
𝑛 =𝑗
360 (𝑗 = nombre de jours)
𝐼 = 𝑉0 ∙𝑗
360∙ 𝑖
Soit 𝑖𝑗 le taux d’intérêt journalier ; nous obtenons :
𝑉𝑛 = 𝑉𝑗 = 𝑉0 (1 +𝑗
360∙ 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑗𝑖𝑗) avec 𝑖𝑗 =
𝑖
360
Remarque : Dans le cas d’un placement à partir d’une date précise jusqu’à la date
d’échéance, on tiendra compte de la durée exacte des mois. On partira
du lendemain du placement jusqu’au jour d’échéance compris.
b) Escompte commercial
On appelle escompte le coût de la transformation d’une créance, d’un effet de
commerce en moyen de paiement. L’escompte commercial 𝐸𝐶 est un intérêt négatif
calculé directement sur la valeur nominale 𝑉𝑛 (ou 𝐶𝑛), valeur de la traite à son
échéance. Cette valeur diminuée de l’escompte est la valeur actuelle 𝑉0 (ou 𝐶0).
𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒𝑉0 = 𝑉𝑛 − 𝐸𝐶
(e = taux d’escompte)
Exemple : Une entreprise négocie un effet de commerce à échéance du 15 mai et de
montant nominal 90 000,00 € , 70 jours avant son échéance. Taux de
l’escompte e = 11%.
Calculer l’escompte commercial et la somme que recevra l’entreprise.
𝐸𝐶 = 90 000 ∙70
360∙11
100= 1925,00 €
𝑉0 = 90 000 − 1925 = 88 075,00 €
Remarque : On parle aussi d’escompte rationnel 𝐸𝑅, intérêt de la valeur actuelle de
l’effet depuis le 1er
jour de la négociation jusqu’au jour de l’échéance.
𝐸𝑅 = 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒
MAST 61
c) Relation entre e et i
Nous savons que 𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒
⇒ 𝑉0 = 𝑉𝑛 − 𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒 ⟹ 𝑉0 = 𝑉𝑛(1 − 𝑛𝑒)
Or l’escompte payé par le client est aussi l’intérêt perçu par l’organisme financier.
𝐼 = 𝐸𝐶 ⇒ 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒
⇒ 𝑉𝑛(1 − 𝑛𝑒) ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒
⇒ (1 − 𝑛𝑒) ∙ 𝑖 = 𝑒
⇒ 𝑖 =𝑒
1 − 𝑛𝑒
⇒ 𝑉𝑛
1 + 𝑛𝑖∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒
⇒ 𝑒 =𝑖
1 + 𝑛𝑖
d) Échéance commune
La date d’échéance commune T est celle qui permet à un débiteur de remplacer
plusieurs effets par un seul paiement équivalent.
Le raisonnement consiste à utiliser le jour de la négociation comme date
d’équivalence, jour où la valeur actuelle du nouvel effet est égale à la somme de
celles des effets remplacés.
Soient les 𝑁 effets 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑁 échéants au dates 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁.
Les mesures de temps sont données par :
𝑛𝑘 =𝑗𝑘360
et 𝑗𝑘 = 𝑡𝑘 − 𝑡0
𝑉1 𝑉2 𝑉𝑁
𝑡1 𝑡2 𝑡0 𝑡𝑁
𝑗1
𝑗2
j
𝑗𝑁
MAST 62
Soient la date d’échéance commune T, donnant 𝑗 = 𝑇 − 𝑡0 (avec 𝑛 = 𝑗 360⁄ ) et
le taux d’escompte e.
Le calcul du montant recherché est donné par l’équation générale :
𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)
𝑁
𝑘=1
⟹ 𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘 −∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
=∑𝑉𝑘 − 𝑒∑𝑉𝑘𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
En pratique, un autre raisonnement consiste à utiliser la date d’échéance commune
comme origine au lieu de la date d’équivalence (𝑡0 = 𝑇 ⇒ 𝑗 = 𝑛 = 0).
Dans ce cas, les 𝑝 paiements qui précèdent la date d’échéance T sont en retard. Les
jours 𝑗𝑘 = 𝑇 − 𝑡𝑘 ; le débiteur paie des intérêts qui se rajoutent avec un
taux 𝑖 équivalent au taux d’escompte 𝑒. 𝑖 = 𝑒
Les q paiements en avance qui restent (𝑞 = 𝑁 − 𝑝) sont des escomptes qui sont
soustraits, avec les jours 𝑗𝑘 = 𝑡𝑘 − 𝑇 .
A partir de l’équation générale, nous pouvons la réécrire sous la forme :
𝑉 =∑𝑉𝑘(1 + 𝑛𝑘𝑖)
𝑝
𝑘=1
+ ∑ 𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒) =
𝑁
𝑘=𝑝+1
∑𝑉𝑘 +∑𝑉𝑘𝑛𝑘
𝑝
𝑘=1
𝑖 − ∑ 𝑉𝑘
𝑁
𝑘=𝑝+1
𝑛𝑘𝑒
𝑁
𝑘=1
𝑉 = ∑𝑉𝑘 +∑𝐼𝑘
𝑝
𝑘=1
− ∑ 𝐸𝑘
𝑁
𝑘=𝑝+1
𝑁
𝑘=1
=∑𝑉𝑘 +∑𝑉𝑘𝑗𝑘360
𝑝
𝑘=1
𝑖 − ∑ 𝑉𝑘𝑗𝑘360
𝑁
𝑘=𝑝+1
𝑒
𝑁
𝑘=1
Le montant vaut la somme des dettes,
augmentée des intérêts et diminuée des escomptes
𝑉1 𝑉2 𝑉𝑁
𝑗2
𝑗1 𝑗𝑁
𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁
MAST 63
Exemple :
Une société désire régler par un paiement unique, à la date du 15 juin, les effets
suivants :
1350,00 € au 8 mars.
3260,00 € au 20 avril.
2520,00 € au 15 août.
4270,00 € au 8 septembre.
Quelle somme devra-t-on payer si le taux d’escompte est de 4,5 % ?
1°) ∑𝑉𝑘 = 1350 + 3260 + 2520 + 4270 = 11 400 €
4
𝑘=1
2°) 𝑗1 = 23 + 30 + 31 + 15 = 99 ⇒ 𝐼1 = 1350 ∙99
360∙4,5
100= 16,71 €
𝑗2 = 10 + 31 + 15 = 56 ⇒ 𝐼2 = 3260 ∙56
360∙4,5
100= 22,82 €
⇒ ∑ 𝐼𝑘 = 16,71 + 22,82 = 39,53 €
2
𝑘=1
3°) 𝑗3 = 15 + 31 + 15 = 61 ⇒ 𝐸3 = 2520 ∙61
360∙4,5
100= 19,22 €
𝑗4 = 15 + 31 + 31 + 8 = 85 ⇒ 𝐸4 = 4270 ∙85
360∙4,5
100= 45,37 €
⇒ ∑𝐸𝑘 = 19,22 + 45,37 = 64,59 €
4
𝑘=3
Une autre méthode consiste à dresser un tableau en prenant les 𝐸𝐾 comme des
intérêts négatifs. Alors les 𝑗𝑘 correspondants sont également négatifs.
Montants 𝑉𝑘 Échéances 𝑡𝑘 Jours 𝑗𝑘 Intérêts 𝐼𝑘 Escomptes 𝐸𝑘
1350 8/3 99 16,71
3260 20/4 56 22,82
2520 15/8 – 61 – 19,22
4270 8/9 – 85 – 45,37
11400 39,53 – 64,59
⟹ 𝑉 = 11 400 + 39,53 − 64,59 = 11 374,94 €
Remarque : Si, par exemple, nous avions pris le 28 février comme référence, nous
aurions obtenu V = 11 374,61 €. Résultat légèrement différent.
MAST 64
e) Échéance moyenne
Nous venons de voir que le choix de la date de référence pour une échéance
commune modifie sensiblement le résultat du nouveau paiement.
Il existe un cas particulier où la valeur nominale est indépendante de cette date.
Commençons par déterminer ce montant à partir de la relation générale :
𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)
𝑁
𝑘=1
Afin d’éliminer n sans l’annuler, il suffit de décaler la date 𝑡0 jusqu’à T de j jours
(voir schéma) ; c’est-à-dire : 𝑛𝑘 → 𝑛𝑘 − 𝑛
⇒ 𝑉(1 − (𝑛 − 𝑛)𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − (𝑛𝑘 − 𝑛)𝑒)
𝑁
𝑘=1
⟹ 𝑉 = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)
𝑁
𝑘=1
+ 𝑛𝑒∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
⟹ 𝑉 = 𝑉(1 − 𝑛𝑒) + 𝑛𝑒∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
⟹ 𝑛𝑒𝑉 = 𝑛𝑒∑𝑉𝑘 ⇒ 𝑉 = ∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
La date d’échéance moyenne est celle qui permet à un débiteur de remplacer
plusieurs effets par leur somme comme paiement unique.
Le calcul de la date recherchée est donnée par :
𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)
𝑁
𝑘=1
⇒ (1 − 𝑛𝑒)∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
=∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)
𝑁
𝑘=1
⟹ ∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
− 𝑛𝑒∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
=∑𝑉𝑘 −∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
⟹ 𝑛𝑒∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
=∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒 ⟹
𝑁
𝑘=1
𝑛𝑒∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
= 𝑒∑𝑉𝑘𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
⇒ 𝑛∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
= 𝑛𝑉 =∑𝑉𝑘𝑛𝑘 ⇒ 𝑛 =1
𝑉∑𝑉𝑘𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
MAST 65
Etonnamment, on constate que 𝑛 est indépendant de 𝑒.
Bien sûr, on préfère utiliser des jours plutôt que des années ; pourtant, l’équation
restera inchangée. En effet :
𝑛 =1
𝑉∑𝑉𝑘𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
⇒ 𝑗
360=1
𝑉∑𝑉𝑘
𝑗𝑘360
𝑁
𝑘=1
⇒ 𝑗 =1
𝑉∑𝑉𝑘𝑗𝑘
𝑁
𝑘=1
Remarquons la ressemblance de cette formule avec la moyenne ∶ 𝑥 =1
𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗
𝑘
𝑗=1
Exemple :
Calculer l’échéance moyenne des capitaux suivants :
3200,00 € au 5 juin.
700,00 € au 30 juin.
2100,00 € au 10 juillet.
1ère
méthode : On choisit le 31 mai comme date d’équivalence.
⇒ 𝑗1 = 5 , 𝑗2 = 30 , 𝑗3 = 40
𝑉𝑘 𝑡𝑘 𝑗𝑘 𝑉𝑘𝑗𝑘
3 200 5/06 5 16 000
700 30/06 30 21 000
2 100 10/07 40 84 000
6 000 121 000
⇒ 𝑗 =3 200 ∙ 5 + 700 ∙ 30 + 2 100 ∙ 40
3 200 + 700 + 2 100=121 000
6 000= 20,17 jours
⇒ La date d’échéance est le 20 juin.
MAST 66
2ème
méthode : On choisit de se servir d’une table journalière.
Très facile à construire, cette table donne le jème
jour de l’année, comme s’il
s’agissait de choisir le 31 décembre comme date d’équivalence.
Ainsi, pour une année non bissextile, nous avons :
𝑗1/01 = 1 , 𝑗31/01 = 31 , 𝑗1/02 = 32 , … , 𝑗15 06⁄ = 166 , … , 𝑗31 12⁄ = 365
Pour notre exercice, nous trouvons dans la table :
𝑗5 06⁄ = 156 , 𝑗30 06⁄ = 181 , 𝑗10 07⁄ = 191
𝑉𝑘 𝑡𝑘 𝑗𝑘 𝑉𝑘𝑗𝑘
3 200 5/06 156 499 200
700 30/06 181 126 700
2 100 10/07 191 401 100
6 000 1 027 000
⇒ 𝑗 =3 200 ∙ 156 + 700 ∙ 181 + 2 100 ∙ 191
3 200 + 700 + 2 100=1 027 000
6 000= 171,1667
⇒ Le 171ème
jour de l’année est le 20 juin.
2. Les intérêts composés
a) Définition
Un capital est dit placé à « intérêts composés » lorsque, à l’issue de chaque période
de placement, les intérêts s’ajoutent au capital et portent eux-mêmes intérêts au taux
du contrat initial. Ce principe est appelé capitalisation des intérêts. En pratique, c’est
une opération à long terme ; c’est-à-dire qui excède une année.
Soit 𝑉0 le capital placé pour 𝑛 années au taux d’intérêt annuel, à terme échu, 𝑖.
Au bout d’un an, le capital devient : 𝑉1 = 𝑉0 + 𝐼1 = 𝑉0 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 𝑖) comme
pour les intérêts simples.
Au bout de 2 ans, nous avons : 𝑉2 = 𝑉1 + 𝑖𝑉1 = 𝑉1(1 + 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑖)2
De façon générale, à la fin de la nième
année, le capital placé devient :
𝑉𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖)𝑛 = 𝑉0 𝑢
𝑛
en posant 𝑢 = 1 + 𝑖 ⇒ 𝐼 = 𝑉0(𝑢
𝑛 − 1)
MAST 67
Cette formule est tout à fait générale. Elle reste valide si la période de capitalisation
n’est pas annuelle. On convient alors que 𝑛 est le nombre de période, et 𝑖 le taux
d’intérêt à terme échu versé pour une période.
Pour faire une conversion d’un taux annuel vers un autre, soit un capital 𝑉0 placé
pendant 𝑛 années, mais avec des intérêts capitalisés 𝑝 fois par an, au taux 𝑖𝑝.
𝑉𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖)𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖𝑝)
𝑛∙𝑝
Ou encore, pendant un an (𝑛 = 1) :
𝑉1 = 𝑉0(1 + 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑖𝑝)𝑝
Nous venons de définir le taux équivalent 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖𝑝)𝑝
⇒ 𝑖 = (1 + 𝑖𝑝)
𝑝− 1
𝑖𝑝 = (1 + 𝑖)1/𝑝 − 1
Et donc :
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑠)2 = (1 + 𝑖𝑡)
4 = (1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑗)
360
𝑖𝑎 = taux annuel, 𝑖𝑠 = taux semestriel, 𝑖𝑡 = taux trimestriel,
𝑖𝑚 = taux mensuel, 𝑖𝑗 = taux journalier
Exemple :
𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑎)1/12 − 1 = √1 + 𝑖𝑎
12 − 1
b) Escompte, échéance commune et échéance moyenne
L’escompte se base sur la recherche de la valeur actuelle, ce qu’on appelle
l’actualisation, soit :
𝑉0 =𝑉𝑛
(1 + 𝑖)𝑛=𝑉𝑛𝑢𝑛 (𝐸𝑐 = 𝑉𝑛 − 𝑉0)
En se basant sur ce que nous avons vu dans le cas des intérêts simples, le calcul du
montant à la date d’échéance commune est donné par :
𝑉
𝑢𝑛=∑
𝑉𝑘𝑢𝑛𝑘
⇒ 𝑉 = ∑𝑉𝑘 𝑢𝑛−𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
Et pour le calcul de la date d’échéance moyenne :
𝑛 =log𝑉 − log𝑉0
log 𝑢=log𝑉 𝑉0⁄
log 𝑢 avec 𝑉 = ∑𝑉𝑘
𝑁
𝑘=1
𝑒𝑡 𝑉0 =∑𝑉𝑘𝑢𝑛𝑘
𝑁
𝑘=1
MAST 68
c) Taux annuel effectif global TAEG
Le TAEG (ou TEG) est le taux annuel qui englobe toutes les charges mises sur le
crédit selon la loi. Pour calculer une mensualité, on utilise une table comme
ci-dessous.
TAEG 30 mois 36 mois 42 mois 48 mois 60 mois
5 % 35,48 € 29,92 € 25,95 € 22,97 € 18,82 €
5,5 % 35,69 € 30,13 € 26,16 € 23,19 € 19,03 €
6 % 35,90 € 30,35 € 26,38 € 23,41 € 19,25 €
6,5 % 36,12 € 30,56 € 26,60 € 23,62 € 19,47 €
7 % 36,33 € 30,77 € 26,81 € 23,84 € 19,70 €
8 % 36,76 € 31,20 € 27,24 € 24,28 € 20,14 €
9 % 37,18 € 31,63 € 27,68 € 24,71 € 20,58 €
10 % 37,61 € 32,06 € 28,11 € 25,15 € 21,03 €
Ce tableau donne les mensualités calculées pour un emprunt de 1 000,00 €
sur 𝑚 mois à un TAEG 𝑖.
Exemple : Soit un emprunt pour un TAEG de 10 % sur 48 mois (hors frais de
dossiers).
Pour un emprunt de 1 000,00 €, nous trouvons dans le tableau une
mensualité 𝑀 = 25,15 €.
Si l’emprunt est en réalité de 25 000,00 € ; alors :
𝑀 = 25,15 ∙25 000
1 000= 628,75 €
Le coût de l’emprunt est de (628,75 ∙ 48) − 25 000 = 5 180,00 €
MAST 69
3. Exercices
A. Intérêts simples
1) Calculer l'intérêt dans chacun des cas suivants :
Capital Nombre de périodes Taux d'intérêt Intérêt
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2 600,00 €
95 000,00 €
390,00 €
4 000,00 €
25 000,00 €
6 600,00 €
6 500,00 €
205 000,00 €
31 000,00 €
2 ans
7 ans
3 ans
3 mois
7 mois
16 mois
25 jours
40 jours
100 jours
9 %
11 %
3 %
7 %
3,5 %
8 %
13 %
2,5 %
1,25 %
2) Pierre place 36 000,00 € pendant 3 ans sur un livret de dépôt au taux de base
de 2,25 %. Quel intérêt cela lui rapporte-t-il ? S'il avait placé ce montant pendant 11
mois, combien cela lui aurait-il rapporté ? S'il l'avait placé que pendant 15 jours,
combien aurait-il reçu ?
3) Un ordinateur est vendu au prix de 1 299,00 €. Paul verse un acompte de 299,00 €.
Il emprunte le montant restant en prêt personnel au taux de 13 %.
Calculer le montant de chacune des 20 mensualités.
4) Quel est l'intérêt de 9 360,00 € placés à intérêts simples pendant 82 jours au taux
de 6 % ?
5) Quel est l'intérêt global à 4,5 % de …
a) 387,70 € pendant 81 jours ?
b) 1 529,50 € pendant 60 jours ?
c) 3 750,00 € pendant 45 jours ?
6) Quel est le capital qui, placé à 9 % du 27 janvier au 7 avril, rapporte un intérêt
de 210,00 € ? (Année non bissextile)
MAST 70
7) Pendant combien de temps faudra-t-il placer 4 500,00 € à 4 % pour obtenir 600,00 €
d'intérêt ?
8) Au bout de 2 ans 6 mois et 10 jours, un capital augmenté de ses intérêts simples,
calculés à 3,6 %, est devenu 10 910,00 € Quel est ce capital ?
9) Une personne devrait payer une dette le 16 avril, elle ne l'a payée que le 15 juin,
ce qui a augmenté la dette de 55,00 €. L'intérêt étant compté à 5 %, combien devrait
cette personne ?
10) Quelle est la valeur acquise d'un capital de 2 000,00 € placé à intérêts simples pendant
7 ans au taux de 3,5 % ?
11) Un capital de 10 000,00 € est placé à 6 % l'an, pendant 3 ans et 4 mois. Quelle est sa
valeur acquise en fin de placement ?
12) Nous disposons d'un capital de 10 000,00 € que nous plaçons à 12 % l'an. On voudrait
obtenir 11 800,00 € en fin de placement. Quelle doit être la durée de ce placement ?
13) Nous désirons obtenir 28 400,00 € dans 3 ans et 6 mois avec un placement de 12 %
l'an. Quel doit être le capital initial ?
14) Quel est le montant des intérêts fournis par un placement de 3 480,00 € pendant
7 mois au taux d'intérêt annuel de 4,5 % ?
15) Quelle somme doit-on placer aujourd'hui sur un compte rapportant à intérêts simples
7,5 % l'an pour obtenir 5 000,00 € dans 11 mois ?
16) Quel est l'escompte d'un effet de 920,00 € échéant le 18 mai et négocié le 27 avril au
taux de 3 % ?
17) Un effet payable dans 5 mois est escompté à 6 %. Sa valeur actuelle est de 438,75 €.
Quelle est sa valeur nominale ?
18) Un effet de 12 725,00 € a été escompté à 144 jours. Le banquier retient un escompte
de 127,25 €. Quel est le taux d'escompte ?
MAST 71
19) Une entreprise négocie un effet de commerce à échéance du 15 mai et de valeur
nominale 90 000,00 €, 70 jours avant son échéance. Taux de l'escompte : 11 %.
Calculer l'escompte et la somme que recevra l'entreprise.
20) Quelle est la somme due au 20 septembre, au lieu de 5 000,00 € le 10 septembre,
8 000,00 € le 15 septembre et 3 000,00 € le 30 septembre ? Taux : 4 %.
21) Une entreprise est débitrice de deux effets : 4 000,00 € à échéance du 31 octobre,
6 000,00 € à échéance du 30 novembre. Elle demande à son créancier de remplacer ces
deux effets par un effet unique de 10 000,00 €. Quelle est la date d'échéance de ce
nouvel effet ? Taux : 12 %.
22) Un client doit à un même créancier 1 200,00 € payables le 12 mai, 8 000, 00 €
payables le 18 juin et 20 000,00 € payables le 18 août. A quelle date pourra-t-il
s'acquitter par un paiement unique de 22 000,00 € ?
B. Intérêts composés
23) Calculer le capital acquis par une somme de 700,00 € placés à intérêts composés au
taux annuel de 4,5 % au bout de 6 ans.
24) Un capital de 10 000 € est placé à intérêts simples pendant 4 ans au taux annuel
de 6 %, puis à intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 5 %. Calculer la
valeur acquise au bout des 4 ans, puis au bout des 7 années.
25) Les cartes de crédit, proposées par les grands magasins pour un paiement différé des
achats, sont souvent à un taux proche du taux d'usure (taux d'intérêt maximum fixé par
la loi). En 1998, le taux était de 14 %, à intérêts composés. Combien un article
de 450,00 € payé seulement au bout de 3 ans coûte-t-il réellement ?
26) Soit un capital de 150 000,00 € placé à intérêts composés :
8 % pendant les 2 premières années.
9 % pendant les 3 suivantes.
11% pendant les 4 dernières.
Quelle est la valeur acquise par ce placement en fin de période ?
Quel est le taux moyen annuel du placement ?
MAST 72
11
132
160
191
1121
1152
22
233
261
292
2122
2153
33
334
362
393
3123
3154
44
435
463
494
4124
4155
55
536
564
595
5125
5156
66
637
665
696
6126
6157
77
738
766
797
7127
7158
88
839
867
898
8128
8159
99
940
968
999
9129
9160
10
10
10
41
10
69
10
100
10
130
10
161
11
11
11
42
11
70
11
101
11
131
11
162
12
12
12
43
12
71
12
102
12
132
12
163
13
13
13
44
13
72
13
103
13
133
13
164
14
14
14
45
14
73
14
104
14
134
14
165
15
15
15
46
15
74
15
105
15
135
15
166
16
16
16
47
16
75
16
106
16
136
16
167
17
17
17
48
17
76
17
107
17
137
17
168
18
18
18
49
18
77
18
108
18
138
18
169
19
19
19
50
19
78
19
109
19
139
19
170
20
20
20
51
20
79
20
110
20
140
20
171
21
21
21
52
21
80
21
111
21
141
21
172
22
22
22
53
22
81
22
112
22
142
22
173
23
23
23
54
23
82
23
113
23
143
23
174
24
24
24
55
24
83
24
114
24
144
24
175
25
25
25
56
25
84
25
115
25
145
25
176
26
26
26
57
26
85
26
116
26
146
26
177
27
27
27
58
27
86
27
117
27
147
27
178
28
28
28
59
28
87
28
118
28
148
28
179
29
29
29
88
29
119
29
149
29
180
30
30
30
89
30
120
30
150
30
181
31
31
31
90
31
151
TA
BL
E J
OU
RN
AL
IÈR
E
Jan
vie
rF
év
rie
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ars
Av
ril
Mai
Ju
in
MAST 73
1182
1213
1244
1274
1305
1335
2183
2214
2245
2275
2306
2336
3184
3215
3246
3276
3307
3337
4185
4216
4247
4277
4308
4338
5186
5217
5248
5278
5309
5339
6187
6218
6249
6279
6310
6340
7188
7219
7250
7280
7311
7341
8189
8220
8251
8281
8312
8342
9190
9221
9252
9282
9313
9343
10
191
10
222
10
253
10
283
10
314
10
344
11
192
11
223
11
254
11
284
11
315
11
345
12
193
12
224
12
255
12
285
12
316
12
346
13
194
13
225
13
256
13
286
13
317
13
347
14
195
14
226
14
257
14
287
14
318
14
348
15
196
15
227
15
258
15
288
15
319
15
349
16
197
16
228
16
259
16
289
16
320
16
350
17
198
17
229
17
260
17
290
17
321
17
351
18
199
18
230
18
261
18
291
18
322
18
352
19
200
19
231
19
262
19
292
19
323
19
353
20
201
20
232
20
263
20
293
20
324
20
354
21
202
21
233
21
264
21
294
21
325
21
355
22
203
22
234
22
265
22
295
22
326
22
356
23
204
23
235
23
266
23
296
23
327
23
357
24
205
24
236
24
267
24
297
24
328
24
358
25
206
25
237
25
268
25
298
25
329
25
359
26
207
26
238
26
269
26
299
26
330
26
360
27
208
27
239
27
270
27
300
27
331
27
361
28
209
28
240
28
271
28
301
28
332
28
362
29
210
29
241
29
272
29
302
29
333
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363
30
211
30
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273
30
303
30
334
30
364
31
212
31
243
31
304
31
365
TA
BL
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oû
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tem
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Octo
bre
No
ve
mb
reD
éce
mb
re
MAST 74
Bibliographie
Algèbre 1, S. Lorent, R. Lorent, De Boeck
Le calcul : Précis d'algèbre et d'arithmétique, Mathieu Scavenne, Librio
M41, S. & R. Lorent, Ed. De Boeck
M51, S. & R. Lorent, Ed. De Boeck
Savoir et savoir-faire Mathématique 4T, Boutriau, Paternottre, Dessain
Savoir et savoir-faire Mathématique 5 et 6T, Boutriau, Paternottre, Dessain
Comprendre les mathématiques financières, Didier Schlacther, Hachette Supérieur
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