Mathématiques Appliquées

Secteur Tertiaire

M. Van Helleputte

CP 220 Campus Plaine ULB – Bd du Triomphe, 1 – 1050 Bruxelles

MAST 2

Table des matières

NOTIONS DE BASE ................................................................................................................. 5

1. Les nombres réels ............................................................................................................... 5

a) Les ensembles ................................................................................................................ 5

b) Droite réelle ................................................................................................................... 5

c) Plan réel ℝ2 .................................................................................................................... 6

d) Opérations dans ℝ .......................................................................................................... 7

2. Calcul algébrique .............................................................................................................. 11

a) Ordre des opérations (P-E-M-D-A-S) .......................................................................... 11

b) Factorisation ................................................................................................................. 12

c) Les produits remarquables ........................................................................................... 12

d) Equations ...................................................................................................................... 13

3. Exercices .......................................................................................................................... 14

LE PREMIER DEGRÉ ............................................................................................................ 20

1. Fonction et graphique ....................................................................................................... 20

2. Fonction 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝....................................................................................................... 20

a) Cas général ................................................................................................................... 22

b) Cas particuliers ............................................................................................................. 23

c) Autres formes d'écriture ............................................................................................... 24

3. Système de 2 équations à 2 inconnues ............................................................................. 25

a) Méthode de substitution ............................................................................................... 25

b) Méthode de comparaison ............................................................................................. 25

c) Méthode d'addition ....................................................................................................... 25

d) Méthode de Cramer ...................................................................................................... 26

e) Discussion et représentation géométrique .................................................................... 27

4. Droites perpendiculaires ................................................................................................... 29

MAST 3

5. Exercices .......................................................................................................................... 31

LE SECOND DEGRÉ .............................................................................................................. 32

1. Définitions ........................................................................................................................ 32

2. Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0 ....................................................................... 32

a) Cas général ................................................................................................................... 32

b) Cas particuliers ............................................................................................................. 33

c) Somme et Produit ......................................................................................................... 34

d) Exemples ...................................................................................................................... 34

3. Etude de la fonction y = ax2 + bx + c ............................................................................... 35

a) Cas particulier .............................................................................................................. 35

b) Cas général ................................................................................................................... 37

c) Exemple ........................................................................................................................ 38

4. Exercices .......................................................................................................................... 40

STATISTIQUES ...................................................................................................................... 41

1. Définition ......................................................................................................................... 41

2. Signe sommatoire .......................................................................................................... 41

3. Tableau statistique d’une distribution observée ............................................................... 42

4. Graphiques d’une distribution observée ........................................................................... 45

a) Diagramme en bâtons ................................................................................................... 45

b) Diagramme cumulatif .................................................................................................. 46

5. Tableau statistique d’une distribution groupée ................................................................ 47

6. Graphiques d’une distribution groupée ............................................................................ 49

a) L’histogramme ............................................................................................................. 49

b) Polygone d’une distribution groupée ........................................................................... 50

7. Paramètres de tendance centrale ...................................................................................... 51

a) Moyenne �̅� (ou < 𝑥 > ou 𝜇𝑋) .................................................................................. 51

b) Mode 𝑥𝑀 (ou M ou Mo) ........................................................................................... 52

MAST 4

c) Médiane 𝑥1/2 (ou 𝑥0.5 ou �̃� ou Me) ....................................................................... 52

8. Paramètres de dispersion .................................................................................................. 53

a) Ecart moyen 𝑒𝑚 ........................................................................................................... 53

b) Variance 𝑉𝑋 .................................................................................................................. 53

c) Ecart-type 𝜎𝑋 ................................................................................................................ 54

9. Exercices .......................................................................................................................... 56

ALGÈBRE FINANCIÈRE ....................................................................................................... 59

1. Les intérêts simples .......................................................................................................... 59

a) Définitions .................................................................................................................... 59

b) Escompte commercial .................................................................................................. 60

c) Relation entre e et i ...................................................................................................... 61

d) Échéance commune ..................................................................................................... 61

e) Échéance moyenne ....................................................................................................... 64

2. Les intérêts composés ....................................................................................................... 66

a) Définition ..................................................................................................................... 66

b) Escompte, échéance commune et échéance moyenne ................................................. 67

c) Taux annuel effectif global TAEG ............................................................................... 68

3. Exercices .......................................................................................................................... 69

BIBLIOGRAPHIE ……………………………………………………………………….…..74

MAST 5

NOTIONS DE BASE

1. Les nombres réels

a) Les ensembles

Ensemble ℕ des nombres naturels : ℕ = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }.

Ensemble ℤ des nombres entiers : ℤ = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }.

Ensemble ℚ des nombres rationnels : ℚ = {… ,−28

3 , … , −3 , … , 1 , … ,

2

5 , … }.

Ensemble ℝ des nombres réels. Aux éléments de ℚ, on joint les nombres

irrationnels, nombres que l'on ne peut mettre sous la forme d'une fraction;

tels que √2 = 1,4142… , π = 3,14159…

ℝ = {… , −28

3 , … , −√2 , … , 0 , … , 1 , … , 𝜋 , … }.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Notons encore ℝ0 = ℝ \ {0} = {𝑥 ∈ ℝ & 𝑥 ≠ 0}.

b) Droite réelle

Sur une droite d, on choisit un couple de points ( O , U ) appelé repère. O est l'origine

et U le point unitaire. La droite est orientée de O vers U. Ainsi, un point A aura

comme abscisse la longueur de [OA], avec [OU] comme unité de longueur.

Le repère est normé si ‖𝑂𝑈‖ = 1. On note ‖𝑂𝐴‖ = a.

Un point quelconque P de la droite d aura pour abscisse x.

La droite d est alors notée Ox.

Un point P peut se situer dans un intervalle, partie de la droite Ox correspondant soit

à un segment, soit à une demi-droite.

MAST 6

Soient a et b ∈ ℝ avec a < b. Il existe 8 cas possibles :

[𝑎 , 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

]𝑎 , 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

[𝑎 , 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

]𝑎 , 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

A gauche : ]−∞ , 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 𝑎}

A droite : [𝑎 , +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 𝑎}

A gauche : ]−∞ , 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 𝑎}

A droite : ]𝑎 , +∞[ = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 𝑎}

−∞ se lit moins l'infini, +∞ se lit plus l'infini.

−∞ et +∞ ne sont pas des éléments de ℝ. ]−∞,+∞[ = ℝ.

c) Plan réel ℝ2

Partant du repérage des points sur une droite d, on procède de même sur un plan. On

choisit un triple de points ( O , Ux , Uy ) non alignés. O est l'origine, Ux et Uy sont les

points unitaires. L'orientation de [OUx] détermine la droite Ox; l'orientation de [OUy],

la droite Oy.

Si les droites Ox et Oy sont perpendiculaires et que ‖𝑂𝑈𝑥‖ = ‖𝑂𝑈𝑦‖ = 1 ; alors le

repère est orthonormé.

On peut définir les coordonnées d'un point A comme suit :

La projection de A sur Ox, parallèlement à Oy, est l'abscisse de A, et est notée

ax (ou xA).

La projection de A sur Oy, parallèlement à Ox, est l'ordonnée de A, et est

notée ay (ou yA).

Le couple (ax , ay) détermine les coordonnées du point A.

Un point quelconque P aura pour coordonnées (x , y).

MAST 7

A et B sont des points fixes; ils sont constants.

P est un point variable.

d) Opérations dans ℝ

i) Addition

(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 + 𝑏 appelé somme.

[D] Opération interne et partout définie : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ.

[A] Associativité : ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ; (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

ℝ,+ est un semi-groupe.

[N] Neutre : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎.

[S] Symétrique : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0.

ℝ,+ est un groupe.

[C] Commutativité : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

ℝ,+ est un groupe commutatif.

La soustraction est l'opération inverse de l'addition.

(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏). Le résultat est appelé différence.

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝐵(𝑏𝑥, 𝑏𝑦)

𝐴(𝑎𝑥, 𝑎𝑦)

𝑎𝑥 𝑏𝑥

𝑎𝑦

𝑏𝑦

𝑥

𝑦

MAST 8

ii) Multiplication

(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏. Le résultat est appelé produit.

[D] Opération interne et partout définie : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎𝑏 ∈ ℝ.

[A] Associativité : ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ ; (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏𝑐.

ℝ,∙ est un semi-groupe.

[N] Neutre : ∀ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑎 ⋅ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎.

[S] Symétrique : ∀ 𝑎 ∈ ℝ0 ; 𝑎 ∙1

𝑎=

1

𝑎∙ 𝑎 = 1.

ℝ0,∙ est un groupe.

[C] Commutativité : ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ; 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.

ℝ,∙ est un semi-groupe commutatif.

𝑅0,∙ est un groupe commutatif.

La division est l'opération inverse de la multiplication.

(𝑎 , 𝑏) ⟼ 𝑎/𝑏. Le résultat est appelé quotient.

iii) Distributivité (de la multiplication par rapport à l'addition)

Distributivité à gauche : 𝑝(𝑎 + 𝑏) = 𝑝𝑎 + 𝑝𝑏

Distributivité à droite : (𝑎 + 𝑏)𝑞 = 𝑎𝑞 + 𝑏𝑞

Double distributivité : (𝑎 + 𝑏)(𝑝 + 𝑞) = 𝑎𝑝 + 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 + 𝑏𝑞

Remarque : On peut supprimer une parenthèse précédée du signe – , à

condition de changer les signes des nombres qu'elle renferme.

−(𝑎 + 𝑏 − 𝑐) = −𝑎 − 𝑏 + 𝑐

iv) Fractions

Soit l'égalité de deux fractions appelées proportion.

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑

avec 𝑏 ≠ 0 et 𝑑 ≠ 0.

𝑎 et 𝑑 sont les extrêmes, 𝑏 et 𝑐 sont les moyens.

Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑 ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

MAST 9

Simplification.

∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑛, 𝑏 ∈ ℕ0; 𝑎

𝑏=𝑛𝑎

𝑛𝑏

Pourcentage.

Si le dénominateur est égal à 100 ; alors on note :

𝑖

100= 𝑖 %

Addition, réduction au même dénominateur.

𝑎

𝑏+𝑐

𝑑=𝑎𝑑

𝑏𝑑+𝑏𝑐

𝑏𝑑=𝑎𝑑 + 𝑏𝑐

𝑏𝑑

Multiplication.

𝑎

𝑏∙𝑐

𝑑=𝑎𝑐

𝑏𝑑

Division.

1

𝑎/𝑏=𝑏

𝑎

v) Puissances

Carré d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎2

Cube d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎3

nème

puissance d'un nombre : 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 𝑛 facteurs

= 𝑎𝑛

Signe de puissances. Soit un nombre positif 𝑎.

{(−𝑎)𝑛 = 𝑎𝑛

(−𝑎)𝑛 = − 𝑎𝑛si 𝑛 est pair

si 𝑛 est impair

Produit de puissances : 𝑎𝑚𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚𝑎𝑛𝑎𝑝 = 𝑎𝑚+𝑛+𝑝

Remarque : 𝑎2 ∙ 𝑎 = 𝑎3 ⟹ 𝑎1 = 𝑎

Quotient de puissances. 𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛

𝑎𝑚𝑎𝑛

𝑎𝑝𝑎𝑞= 𝑎𝑚+𝑛−𝑝−𝑞

MAST 10

Remarques : 𝑎𝑚

𝑎𝑚= 𝑎𝑚−𝑚 = 𝑎0 ⇒ 𝑎0 = 1

1

𝑎𝑚= 𝑎−𝑚

Puissance d'une puissance : (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛

Puissance d'un produit : (𝑎𝑏𝑐)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 ∙ 𝑐𝑚

Puissance d'une fraction : (𝑎

𝑏)𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚

vi) Radicaux

Soit l'équation suivante à résoudre : 𝑥2 = 9.

Une équation est une égalité qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs

attribuées à l'inconnue, souvent notée 𝑥, qu'elle renferme. Une solution d'une

équation est une valeur de l'inconnue qui vérifie l'équation.

Dans notre exemple, nous avons 2 solutions : 𝑥 = 3 et 𝑥 = −3.

En effet, 32 = 9 et (−3)2 = 9.

√𝑎 = 𝑥 avec 𝑎 ∈ ℝ+ équivaut à rechercher la solution de 𝑎 = 𝑥2

avec ∈ ℝ+ .

Exemples : √9 = 3, √16 = 4, √49 = 7, …

La racine carrée d'un nombre positif est le nombre réel positif dont ce

nombre est le carré.

Soit √𝑎𝑛

avec 𝑎 ∈ ℝ+ équivaut à rechercher la solution de 𝑎 = 𝑥𝑛

avec 𝑥 ∈ ℝ+ et 𝑛 ∈ ℕ0.

Exemples : √83

= 2, √325

= 2, …

Soit √𝑎𝑛

avec 𝑎 ∈ ℝ+ et 𝑛 un naturel impair ; alors √−𝑎𝑛

= −√𝑎𝑛

.

Exemple : √−273

= −√273

= −3. En effet : (−3)3 = −27.

Soit √𝑎𝑛

avec 𝑎 ∈ ℝ+ et 𝑛 un naturel pair. Alors √−𝑎𝑛

∉ ℝ.

En effet, on ne peut trouver de réel qui élevé au carré donne – 4, par

exemple. : 𝑥2 = −4 ⟹ 𝑥 ∉ ℝ et √−4 n'existe pas dans ℝ.

Par définition, (√𝑎𝑛)𝑛= 𝑎.

Soit √𝑎𝑛

= 𝑎𝑘 ; alors (𝑎𝑘)𝑛 = 𝑎𝑘∙𝑛 = 𝑎 ⟹ 𝑘 ∙ 𝑛 = 1 ⟹ 𝑘 =1

𝑛.

√𝑎𝑛

= 𝑎1 𝑛⁄

MAST 11

Conclusions :

o √𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚 𝑛⁄ = (𝑎1 𝑛⁄ )𝑚= (√𝑎

𝑛)𝑚

o √𝑎𝑏𝑐𝑛

= (𝑎𝑏𝑐)1 𝑛⁄ = 𝑎1 𝑛⁄ 𝑏1 𝑛⁄ 𝑐1 𝑛⁄ = √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

∙ √𝑐𝑛

o √ √𝑎𝑚𝑛

= (𝑎1 𝑚⁄ )1 𝑛⁄

= 𝑎1

𝑚∙1

𝑛 = √𝑎𝑚∙𝑛

= (𝑎1 𝑛⁄ )1 𝑚⁄

= √√𝑎𝑛𝑚

Attention !!! √(−2)2 = √4 = 2

(√−2)2 n'existe pas !

vii) Valeur absolue

∀ 𝑎 ∈ ℝ, √𝑎2 = |𝑎| appelée valeur absolue de 𝑎. Par définition :

∀ 𝑎 ∈ ℝ, |𝑎| = { 𝑎 si 𝑎 ≥ 0−𝑎 si 𝑎 < 0

Exemples : |5| = 5, |−7| = 7, |3| = |−3| = 3, …

2. Calcul algébrique

a) Ordre des opérations (P-E-M-D-A-S)

La priorité des opérations ou ordre des opérations précise l'ordre dans lequel les

calculs doivent être effectués.

Les règles de priorité sont les suivantes :

Les calculs entre Parenthèses sont prioritaires sur les calculs situés en dehors

de ces parenthèses. La barre d'une fraction ou d'une racine carrée joue le rôle

d'une parenthèse.

Les Exposants sont prioritaires sur les multiplications, divisions, additions et

soustractions.

Les Multiplications et Divisions sont prioritaires sur les Additions et

Soustractions.

Exemple :

5 ∙ 7 − 4 = 35 − 4 = 31 et 5 ∙ 7 − 4 ≠ 5 ∙ 3 = 15

6 ∙ 3 − [2 + 5 ∙ (12 − 7 + 5) − 4]

= 18 − [2 + 5 ∙ 10 − 4]

= 18 − [2 + 50 − 4]

= 18 − 48 = −30

MAST 12

b) Factorisation

Factoriser, c'est transformer une somme de termes en un produit de facteurs. On

procède en une mise en évidence d'un facteur commun.

Exemples :

4𝑎2𝑏2 − 2𝑎3𝑏 = 2𝑎2𝑏 ∙ (2𝑏 − 𝑎)

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑥 + (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑦 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)

c) Les produits remarquables

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)

= 𝑎3 + 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑏3

= 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2)

= 𝑎3 − 2𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 𝑏3

= 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3

(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 − 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 − 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏3

(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 𝑏3

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3

𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2)

MAST 13

d) Equations

Soit l'équation à une inconnue 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥).

Principe d'addition : 𝐴(𝑥) + 𝐶(𝑥) = 𝐵(𝑥) + 𝐶(𝑥).

Principe de multiplication : ∀𝑛 ∈ ℕ0, 𝑛 ∙ 𝐴(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝐵(𝑥).

Exemple :

5𝑥 + 3 = 2𝑥 − 9

⇕

5𝑥 + 3 − 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 9 − 2𝑥 − 3

⇕

3𝑥 = −12

⇕

3𝑥

3=−12

3

⇕

𝑥 = −4

Soit l'équation 𝐴(𝑥) ∙ 𝐵(𝑥) = 0

Principe de disjonction : 𝐴(𝑥) = 0 ou 𝐵(𝑥) = 0

Exemple :

(2𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 1) = 0

⇕

𝑥 =3

2 ou 𝑥 = −1

MAST 14

3. Exercices

1) Ayant choisi un repère orthogonal dans le plan, construire les points :

𝐴(2, 3) 𝐵(−1, 4) 𝐶(0; 1,6) 𝐷(−4,2; 0) 𝐸(−2, √2)

2) Calculer :

𝑎) (−4) + (−2) + (−5) + (+2) + (−7) + (+3)

𝑏) (−12) + (−14) + (+17) + (−8) + (+21)

𝑐) (−4) + (−6) − (+2) − (−4) + (−5) − (−7)

𝑑) (−5) − (−5) + (−7) − (+13) + (−15) − (−8)

𝑒) 3 + 4 + 5 + (2 − 5) − (4 + 8)

𝑓) 3 − 2 + (4 − 5) − (3 − 2) − (4 + 3)

𝑔) 5 − [4 − (5 + 2)] − 12 + 4 − 3

ℎ) 12 − 4 + (3 − 8) − [2 − (3 − 4) + 5] + 6

𝑖) − 4 + [6 − 2 + (3 − 5) − 3] − (9 − 2 + 6 − 4)

𝑗) − 5 − {3 − [5 − (3 − 2)] + (2 − 5)} − (5 − 4)

3) Effectuer

𝑎) 4𝑥2 + (+2𝑥2) − (−3𝑥2) + (−6𝑥2) − (+4𝑥2)

𝑏) 𝑎 − (−2𝑏) + (−3𝑎) − (−2𝑎) − (+4𝑏)

𝑐) (𝑎 + 𝑏) − (2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 − 2𝑏)

𝑑) (2 − 𝑎) + (3𝑎 − 4) − (5 + 2𝑎) − 𝑎

𝑒) (𝑎2 + 1) − (2𝑎 + 4) − 5 − (−𝑎2 + 3)

𝑓) (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2) − (𝑎2 − 𝑏2) + (𝑎2 − 𝑎𝑏)

𝑔) 𝑥2 − (𝑦2 − 𝑥𝑦) + [2𝑦2 + 3𝑥𝑦 − (𝑥2 + 𝑦2)]

ℎ) − 3𝑎𝑏 + (2𝑏2 − 𝑎2) − [𝑎𝑏 − (𝑎2 + 𝑏2) + 𝑎2] − (𝑏2 − 𝑎2)

𝑖) 2𝑎 − {3𝑏 − [4𝑎 + (𝑏 − 𝑎)] + 𝑎} − 𝑏

𝑗) 𝑥2 − [3𝑥 − (𝑥2 − 3)] − {𝑥2 − [3𝑥 + 4 − (𝑥2 − 1)]}

4) Calculer

𝑎) (+3)(+5)(−4)

𝑏) (+7)(+2)(−1)(+2)

𝑐) (+4)(−3)(−2)(−3)(−1)

𝑑) (−5 + 2)(−1 + 3 + 5)(4 − 2 + 3)

MAST 15

𝑒) [3 − (3 − 4)][5 + (2 − 3)](8 − 3)

𝑓) 5(1 − 2)(3 − 4) − 3(7 − 6) − (−4)(6 − 5)(−2)

𝑔) (4 + 2 − 5)(−2 + 3 − 4 + 3)

ℎ) (−5) ∙ 7 + (−3) ∙ 2 + 1

𝑖) [4 − (3 − 2)][5 − (4 + 2) − 2]

𝑗) (2 − 3)(7 − 4) − (−3) ∙ 2 − 5

5) Effectuer

𝑎) 5𝑎 ∙ 3𝑏 ∙ 2𝑐

𝑏) (−4𝑥) ∙ 2𝑦 ∙ (−𝑧)

𝑐) (−2𝑎2) ∙ 3𝑎3 ∙ (−4𝑎7)

𝑑) 𝑎𝑏 ∙ (−𝑏𝑐) ∙ 𝑐𝑑

𝑒) 𝑎𝑏𝑐2 ∙ 𝑎2𝑏𝑐 ∙ 𝑎3𝑏𝑐4

𝑓) 2𝑥𝑦2 ∙ (−4𝑥3𝑦5) ∙ (−𝑥2𝑦2)

𝑔) 𝑥𝑦 ∙ (−𝑥2𝑦2𝑧) ∙ 4𝑥𝑧2 ∙ (−7𝑥3𝑦3𝑧3)

ℎ) (−3) ∙ 𝑎2𝑏 ∙ 4𝑎3 ∙ (−𝑎𝑏3)

𝑖) 𝑎𝑚−2 ∙ 𝑎2

𝑗) 𝑎𝑚+𝑛 ∙ 𝑎𝑚−𝑛

6) Calculer

𝑎) 22 ∙ 23

𝑏) 25 ∙ 52

𝑐) (−5)4 ∙ 24

𝑑) 24 ∙ (−53)

𝑒) −24 ∙ (−53)

𝑓) (−2)3 + 22 + (3 − 4)3

𝑔) (32)3 ∶ 34

ℎ) (−1

2)2

+ (1

2)2

− (3

2)2

𝑖) (2

−3)2

∙−9

4

𝑗) (4

−5)2

(−3

2)3

(−5

−9)

𝑘) (2𝑎3𝑏2𝑐)3

𝑙) (𝑎𝑥2)4

𝑚) (−5𝑎2𝑏3𝑐)2

𝑛) (−2

3𝑎2𝑥3)

2

𝑜) (1

2𝑎𝑏2𝑐3)

3

𝑝) (−𝑎𝑏)3

𝑞) (−𝑎𝑏)4

𝑟) (−3𝑎4𝑥3𝑦)3

𝑠) (−3

4𝑎3𝑏)

4

𝑡) (𝑎𝑥𝑏𝑦−1)2

MAST 16

7) Effectuer

𝑎) (2𝑎 + 𝑏)𝑥

𝑏) (3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧)3𝑎

𝑐) 2𝑥2(3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐)

𝑑) (−𝑎 + 𝑏 − 𝑐)(−2𝑎)

𝑒) (2𝑥3 − 4𝑥2 + 6)(−2𝑥2)

𝑓) (𝑎2 + 𝑏2 − 𝑎𝑏)(−2𝑎𝑏)

𝑔) 4𝑥2𝑦(𝑥3𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦3 − 1)

ℎ) − 5𝑎𝑏2(𝑎2 + 𝑎𝑏 − 𝑏2)

𝑖) (−𝑎3 + 3𝑎2 − 3𝑎 + 1)(−𝑎)

𝑗) (7𝑎𝑥2𝑦 + 8𝑎2𝑥 − 5𝑥𝑦2)(−3𝑥𝑦)

8) Effectuer

𝑎) 3𝑥(𝑥2 − 1) − 4𝑥2(𝑥 + 2) − 3𝑥 + 4(𝑥2 − 1)

𝑏) − 3𝑥2(𝑥3 − 2𝑥2 + 4) + 4𝑥3(1 − 2𝑥) + 𝑥(𝑥 − 1) + 2𝑥

𝑐) 5𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) + 3𝑎(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) − 𝑏3

𝑑) [𝑥 − (𝑥2 + 3)]2𝑥2 + 3(𝑥 − 2) + 4𝑥2

𝑒) 3𝑥{𝑥 − [2𝑥2 − (−𝑥 + 4)] + 3} − 3𝑥2(𝑥 − 2)

9) Effectuer

𝑎) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

𝑏) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

𝑐) (𝑥 − 2)(𝑥 − 4)

𝑑) (3 − 𝑥)(𝑎 − 𝑥)

𝑒) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)

𝑓) (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏)

𝑔) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑏)

ℎ) (𝑥 − 2𝑎)(𝑥 + 3𝑏)

𝑖) (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)

𝑗) (3𝑥 + 2)(2𝑥 + 5)

𝑘) (𝑥2 + 𝑥)(𝑥 − 1)

𝑙) (2𝑥2 + 3𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑚) (−𝑥2 + 4𝑥 − 3)(2 − 𝑥)

𝑛) (2𝑥 − 3)(2𝑥2 − 3𝑥 + 5)

𝑜) (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)

𝑝) (3𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 − 𝑎3)(2𝑎 − 3𝑏)

𝑞) (𝑥2 + 2𝑥 − 4)(3𝑥 − 2)

𝑟) (𝑥 − 1)(2𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥 + 5)

𝑠) (2𝑥3 + 4𝑥2 − 1)(𝑥2 + 1 + 𝑥)

𝑡) (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

10) Effectuer

𝑎) (2𝑥 + 3)(𝑥2 + 𝑥 − 1) − 𝑥3 − (𝑥2 + 1)(𝑥 + 4)

𝑏) (2𝑥2 − 4𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1) + (𝑥 + 𝑥2)(2𝑥 − 4 + 3𝑥2)

𝑐) (𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2)(2𝑥 + 𝑦) − 2𝑥3(𝑥 + 𝑦) − 2𝑦3(𝑥 − 𝑦)

𝑑) (𝑎 + 2)[𝑎2 − (1 − 𝑎)] − 𝑎(2 − 𝑎2)

𝑒) {𝑎3 − [𝑎2 + (𝑎 − 2)𝑎]} [𝑎 + 2(𝑎 − 1)] (3𝑎2 − 1) − 3𝑎6

MAST 17

11) Calculer

𝑎) √121

𝑓) √814

𝑘) √−273

𝑏) √643

𝑔) √40966

𝑙) √−2435

𝑐) √164

ℎ) √65618

𝑚) √−325

𝑑)√10 0004

𝑖) √14

𝑛) √−1253

𝑒)√325

𝑗) √05

𝑜) √−10 0004

12) Résoudre les équations suivantes dans ℝ

𝑎) 𝑥2 = 64 𝑏) 𝑥3 = 8 𝑐) 𝑥3 = −27 𝑑) 𝑥2 = 2 𝑒) 𝑥2 = −3

13) Factoriser

𝑎) 4𝑎𝑏 + 4𝑎𝑐

𝑏) 6𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦 − 9𝑥3𝑦2

𝑐) 𝑚(𝑎 − 𝑏) + 𝑛(𝑎 − 𝑏)

𝑑) 𝑥(2𝑎 − 𝑏) + 𝑦(𝑏 − 2𝑎)

𝑒) (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑥 + 𝑦) + (3𝑎 + 5𝑏)(2𝑥 + 𝑦)

𝑓) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 3𝑦) − 2𝑎(𝑥 − 3𝑦)

𝑔) (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦) − 3𝑎(𝑦 − 𝑥)

ℎ) 𝑎2(𝑥 − 1)(𝑎 + 𝑏) + 𝑎2(1 − 𝑥)

𝑖) (𝑎 + 𝑏)2 + 𝑥(𝑎 + 𝑏)

𝑗) 2𝑎(𝑚 − 𝑛)2 − 𝑎𝑚(𝑚 − 𝑛)2

𝑘) (𝑎 + 𝑏)3 − (𝑎 + 𝑏)2

𝑙) (2𝑥 + 1)(4𝑥 + 3) + (3𝑥 − 2)(2𝑥 + 1) − (2𝑥 + 1)2

𝑚) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦

𝑛) 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 − 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥

𝑜) 𝑎𝑥 − 4𝑥 + 4𝑦 − 𝑎𝑦

𝑝) 𝑎3 + 𝑎2 + 𝑎 + 1

𝑞) 𝑎3 + 2𝑎 − 𝑎2 − 2

𝑟) 2𝑎4 − 3 − 2𝑎3 + 3𝑎

𝑠) 𝑎2𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎2𝑦3 − 𝑏𝑦3

𝑡) 6𝑥2 + 𝑥𝑦 + 18𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧

MAST 18

14) Effectuer

𝑎) (𝑎 + 2)(𝑎 − 2)

𝑏) (𝑎2 − 1)(𝑎2 + 1)

𝑐) (2𝑎 + 3𝑏)(2𝑎 − 3𝑏)

𝑑) (𝑎2 − 𝑏2)(𝑎2 + 𝑏2)

𝑒) (𝑎2

2−2𝑏

3)(𝑎2

2+2𝑏

3)

15) Factoriser

𝑎) 𝑎2 − 9

𝑏) 𝑏2 − 4𝑎2

𝑐) 𝑎2𝑏2 −𝑚2

𝑑) 100𝑎2 − 64𝑏2

𝑒) 4𝑎2 −𝑏2

4

16) Effectuer

𝑎) (𝑎 + 2)2

𝑏) (𝑥𝑦 − 1)2

𝑐) (𝑎2 − 𝑏2)2

𝑑) (−𝑎 − 1)(𝑎 + 1)

𝑒) (−𝑎 − 𝑏)2

17) Factoriser

𝑎) 𝑎2 + 2𝑎 + 1

𝑏) 𝑥4 − 6𝑥2 + 9

𝑐) − 𝑎2 + 2𝑎𝑏 − 𝑏2

𝑑) 5𝑥2 − 10𝑥 + 5

𝑒) 𝑥6 + 16𝑥4 − 8𝑥5

18) Effectuer

𝑎) (𝑎 + 3)3

𝑏) (𝑎 − 2)3

𝑐) (−𝑎 + 2)3

𝑑) (−𝑎 − 1)3

𝑒) (2𝑎𝑥 − 3)3

19) Factoriser

𝑎) 𝑎3 + 6𝑎2 + 12𝑎 + 8

𝑏) 𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 1

𝑐) 8𝑎3 + 12𝑎2 + 6𝑎 + 1

𝑑) 5𝑥3 + 15𝑥2 + 15𝑥 + 5

𝑒) − 24𝑎5 + 36𝑎4 − 18𝑎3 + 3𝑎2

MAST 19

20) Effectuer

𝑎) (𝑎 + 3)(𝑎2 − 3𝑎 + 9)

𝑏) (𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

𝑐) (1 − 𝑎𝑏)(1 + 𝑎𝑏 + 𝑎2𝑏2)

𝑑) (3𝑎 − 2𝑏)(9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 4𝑏2)

𝑒) (𝑎2 − 𝑥)(𝑥2 + 𝑎2𝑥 + 𝑎4)

21) Factoriser

𝑎) 𝑎3 − 8

𝑏) 8𝑎3 − 𝑏3

𝑐) 𝑥3 − 1

𝑑) 𝑎3𝑏2 − 𝑏2

𝑒) (𝑎 + 𝑏)3 − 𝑐3

22) Simplifier les fractions suivantes, et donner les conditions d'existence

𝑎) 3𝑎2𝑏 − 3𝑎𝑏2

𝑎2𝑏 − 𝑎3

𝑏) 𝑥2 − 𝑦2

𝑥𝑦 − 𝑥2

𝑐) 𝑎2 − 𝑏2

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑑) 5𝑥3 − 5𝑎3

10𝑎2 − 10𝑥2

𝑒) 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

𝑎2 − 𝑏2

23) Résoudre les équations

𝑎) 𝑥 + 8 = 5

𝑏) 13 − (𝑥 + 3) = 7

𝑐) 3𝑥 − (8 − 𝑥) = 0

𝑑) 3𝑥 + 2(𝑥 + 4) = −7

𝑒) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0

𝑓) 𝑥3 − 𝑥2 = 0

𝑔) 𝑥2 + 1 = 2𝑥

ℎ) 3(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2

𝑖) 𝑥 − (𝑥 + 2) − (2 − 𝑥) − (𝑥 − 2) = 𝑥

𝑗) 2𝑥 − 4(𝑥 − 2) = 𝑥 + 3 − (𝑥 − 2)

MAST 20

LE PREMIER DEGRÉ

1. Fonction et graphique

Une fonction 𝑓 de ℝ vers ℝ est une relation telle que chaque élément 𝑥 a au plus une

image 𝑦. Ce qui se note :

𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Ayant choisi un repère dans le plan, le graphique de la fonction 𝑓 est l'ensemble des

points (𝑥 , 𝑦) tels que 𝑦 = 𝑓(𝑥), ou des points (𝑥 , 𝑓(𝑥)).

2. Fonction 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒑

Soit la fonction 𝑓 ∶ ℝ → ℝ ∶ 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.

𝑥 et 𝑦 sont les variables, 𝑚 et 𝑝 sont des constantes.

MAST 21

Pour dessiner le graphique de cette fonction, on peut commencer à rechercher un

ensemble de points appartenant à cette fonction, comme ci-dessous.

𝑥 𝑦

… …

−2 −2𝑚 + 𝑝

−1 −𝑚 + 𝑝

0 𝑝

1 𝑚 + 𝑝

2 2𝑚 + 𝑝

… …

Prenons le cas où 𝑚 > 0 et 𝑝 > 0. Nous obtenons le résultat suivant :

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 est l'équation d'une droite. Dès lors, il est inutile de rechercher plus de deux

points de cette fonction. En effet, par 2 points passe une et une seule droite.

Nous noterons désormais : 𝑑 ≡ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.

Il nous reste à déterminer les coordonnées des points P et Q pour dessiner la droite à

partir de son équation.

P1

x1 x2

y1

y2

x

y

q

p

P2

MAST 22

a) Cas général

La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑦 en un point 𝑃 (ordonnée à l'origine) dont les

coordonnées sont de type (0 , 𝑦0), où 𝑦0 se détermine en calculant la valeur

numérique de 𝑦 pour 𝑥 = 0

𝑦0 = 𝑚 ∙ 0 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝑦0 = 𝑝 ⇒ 𝑃(0, 𝑝)

La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑥 en un point 𝑄 (abscisse à l'origine) de

coordonnées (𝑥0 , 0). Pour trouver 𝑥0, il suffit de résoudre l'équation :

𝑚𝑥0 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝑥0 = −𝑝

𝑚(= 𝑞) ⇒ 𝑄 (𝑞 = −

𝑝

𝑚, 0)

Si nous avions eu 𝑝 ≠ 0 et 𝑚 = 0 ; alors 𝑥0 n'existerait pas.

Un point complémentaire facile à trouver est l'ordonnée du point d'abscisse 1

(x = 1); alors y = m + p. La droite passe toujours par le point 𝑀(1,𝑚 + 𝑝).

Soient 𝑃1 et 𝑃2 deux points de la droite 𝑑, avec pour coordonnées (𝑥1 , 𝑦1) et

(𝑥2 , 𝑦2).

𝑃1 ∈ 𝑑 ⇔ 𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑝 (1)

𝑃2 ∈ 𝑑 ⇔ 𝑦2 = 𝑚𝑥2 + 𝑝 (2)

𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥2 − 𝑥1) (2) – (1)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

=Δ𝑦

Δ𝑥

et

𝑝 = 𝑦1 −𝑚𝑥1 = 𝑦2 −𝑚𝑥2

𝑚 est le coefficient angulaire (ou pente) de la droite. 𝑝 est le terme indépendant.

Remarquons que chaque fois que 𝑥 augmente de 1; alors 𝑦 augmente de 𝑚.

En effet, soit 𝑥′ = 𝑥 + 1

⇒ 𝑦′ = 𝑚𝑥′ + 𝑝 = 𝑚(𝑥 + 1) + 𝑝 = 𝑚𝑥 +𝑚 + 𝑝

= (𝑚𝑥 + 𝑝) + 𝑚 = 𝑦 +𝑚

Conclusion : Si 𝑚 > 0 ; alors 𝑓 est croissante.

Si 𝑚 < 0 ; alors 𝑓 est décroissante.

Si 𝑚 = 0 ; alors 𝑓 est constante (voir cas particuliers).

Toutes les droites ayant le même coefficient angulaire sont parallèles.

MAST 23

b) Cas particuliers

𝑝 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑚𝑥 ⇒ 𝑃(0, 𝑝) = 𝑄 (−𝑝

𝑚, 0) = 𝑂(0,0)

La droite est parallèle à 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝, ∀𝑝 ; et passe par 𝑂(0,0).

La droite passe également par le point particulier 𝑀(1,𝑚) puisque 𝑝 = 0.

Nous avons les deux points nécessaires, 𝑂(0,0) et 𝑀(1,𝑚) pour dessiner la

droite 𝑦 = 𝑚𝑥.

𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 𝑚 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝑝

Toutes les valeurs de y sont identiques. La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑦 au point

𝑃(0, 𝑝) et est parallèle à l'axe 𝑂𝑥. Comme prévu, 𝑥0 n'existe pas.

L'équation 𝑦 = 0 est la droite 𝑦 = 𝑝 pour 𝑝 = 0.

C'est l'ensemble des points (𝑥, 0) ∀𝑥 ∈ ℝ. C'est l'axe 𝑂𝑥. 𝑂𝑥 ≡ 𝑦 = 0

p

MAST 24

𝑥1 = 𝑥2 = 𝑞

Toutes les valeurs de x sont identiques. La droite 𝑑 coupe l'axe 𝑂𝑥 au point

𝑄(𝑞, 0) et est parallèle à l'axe 𝑂𝑦. 𝑚 est de pente infinie. Il n'est plus possible

d'écrire 𝑑 sous la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.

L'équation s'écrit : 𝑑 ≡ 𝑥 = 𝑞. Cette droite n'est plus une fonction.

L'équation 𝑥 = 0 est la droite 𝑥 = 𝑞 pour 𝑞 = 0.

C'est l'ensemble des points (𝑜, 𝑦) ∀𝑦 ∈ ℝ. C'est l'axe 𝑂𝑦. 𝑂𝑦 ≡ 𝑥 = 0

c) Autres formes d'écriture

L'équation d'une droite peut encore s'écrire d'autres manières différentes, dont trois

assez classiques.

1°) 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑚 = −𝑎

𝑏, 𝑝 = −

𝑐

𝑏, 𝑞 = −

𝑐

𝑎

2°) 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ⇒ 𝑚 = −𝑎

𝑏, 𝑝 =

𝑐

𝑏, 𝑞 =

𝑐

𝑎

3°) 𝑑 ≡𝑥

𝑞+𝑦

𝑝= 1 ⇒ 𝑚 = −

𝑝

𝑞

MAST 25

3. Système de 2 équations à 2 inconnues

La résolution d'un système de 2 équations à 2 inconnues consiste à déterminer l'ensemble

des solutions communes de ces équations.

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

Graphiquement, la solution du système détermine l'intersection de 2 droites 𝑑1 ∩ 𝑑2, si

elle existe.

Partons de l'exemple suivant :

{3𝑥 + 2𝑦 = 124𝑥 − 𝑦 = 5

(1)(2)

a) Méthode de substitution

(2) ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 5 qu'on introduit dans (1)

(1) ⇒ 3𝑥 + 2 ∙ (4𝑥 − 5) = 12

⇒ 3𝑥 + 8𝑥 − 10 = 12

⇒ 11𝑥 = 22 ⇒ 𝑥 = 2

(2) ⇒ 𝑦 = 4 ∙ 2 − 5 ⇒ 𝑦 = 3

b) Méthode de comparaison

(1) ⇒ 2𝑦 = 12 − 3𝑥 ⇒ 𝑦 = 6 −3

2𝑥 (1′)

(2) ⇒ 𝑦 = 4𝑥 − 5 (2′)

(1′) = (2′) ⇒ (𝑦 =)6 −3

2𝑥 = 4𝑥 − 5 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3

c) Méthode d'addition

(1) ⇒ 3𝑥 + 2𝑦 = 12

(2) × 2 ⇒ 8𝑥 − 2𝑦 = 10

⇒ 11𝑥 + 0𝑦 = 22 ⇒ 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3

MAST 26

d) Méthode de Cramer

Pour découvrir la méthode de Cramer, nous allons commencer par résoudre le cas

général à partir des méthodes vues précédemment.

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

(1)(2)

(1) × 𝑏2 ⇒ 𝑎1𝑏2𝑥 + 𝑏1𝑏2𝑦 = 𝑐1𝑏2

(2) × (−𝑏1) ⇒ −𝑎2𝑏1𝑥 − 𝑏1𝑏2𝑦 = −𝑐2𝑏1

⇒ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑥 + 0𝑦 = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1

⇒ 𝑥 =𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

⟺ 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ≠ 0

𝑦 =𝑐1𝑏1−𝑎1𝑏1∙ 𝑥 =

𝑐1𝑏1−𝑎1 ∙ (𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1)

𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

=𝑐1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1) − 𝑎1 ∙ (𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1)

𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

=𝑎1𝑏2𝑐1 − 𝑎2𝑏1𝑐1 − 𝑎1𝑏2𝑐1 + 𝑎1𝑏1𝑐2

𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)=𝑏1 ∙ (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)

𝑏1 ∙ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

=𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

Nous allons simplifier l'écriture en utilisant des déterminants.

On pose :

𝛿 = |𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

| = 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

𝛿𝑥 = |𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2

| = 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1

𝛿𝑦 = |𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2

| = 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1

𝑥 =𝛿𝑥𝛿=|𝑐1 𝑏1𝑐2 𝑏2

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

|=𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

𝑦 =𝛿𝑦

𝛿=|𝑎1 𝑐1𝑎2 𝑐2

|

|𝑎1 𝑏1𝑎2 𝑏2

|=𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

MAST 27

Reprenons notre exemple, et appliquons la méthode de Cramer.

{3𝑥 + 2𝑦 = 124𝑥 − 𝑦 = 5

𝛿 = |3 24 −1

| = 3 ∙ (−1) − 4 ∙ 2 = −3 − 8 = −11 ≠ 0

𝛿𝑥 = |12 25 −1

| = 12 ∙ (−1) − 5 ∙ 2 = −12 − 10 = −22 ⇒ 𝑥 =−22

−11= 2

𝛿𝑦 = |3 124 5

| = 3 ∙ 5 − 4 ∙ 12 = 15 − 48 = −33 ⇒ 𝑦 =−33

−11= 3

e) Discussion et représentation géométrique

Nous reprenons notre cas général.

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

(1)(2)

(1) et (2) sont respectivement les équations des droites 𝑑1 et 𝑑2.

𝛿 ≠ 0

Alors, le système a une solution unique 𝑥 = 𝛿𝑥 𝛿⁄ et 𝑦 = 𝛿𝑦 𝛿⁄ .

Les droites 𝑑1 et 𝑑2 ont en commun un point unique; c'est le point

d'intersection 𝐼(𝛿𝑥 𝛿⁄ , 𝛿𝑦 𝛿⁄ ).

d1

d2

𝛿𝑦

𝛿

𝛿𝑥𝛿

I

MAST 28

𝛿 = 0

{𝑦 = −

𝑎1

𝑏1𝑥 +

𝑐1

𝑏1= 𝑚1𝑥 + 𝑝1

𝑦 = −𝑎2

𝑏2𝑥 +

𝑐2

𝑏2= 𝑚2𝑥 + 𝑝2

(1)

(2)

𝑑1 et 𝑑2 ont même coefficient angulaire;

𝑚1 = −𝑎1

𝑏1= 𝑚2 = −

𝑎2

𝑏2 et

𝑎1

𝑎2=𝑏1

𝑏2

Si 𝛿𝑥 = 𝛿𝑦 = 0 ⇒ 𝑎1

𝑎2=𝑏1

𝑏2=𝑐1

𝑐2 ;

alors le système est indéterminé. 𝑑1 = 𝑑2

d1 = d2

MAST 29

Si 𝛿𝑥 ≠ 0, 𝛿𝑦 ≠ 0

alors le système est impossible. 𝑑1 ∥ 𝑑2

4. Droites perpendiculaires

Soit la droite 𝑑 ≡ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.

Nous avons vu que lorsque 𝑥 augmente de 1 (𝑥′ = 𝑥 + 1); alors 𝑦 augmente de 𝑚.

(𝑦′ = 𝑦 +𝑚).

Toute droite d'équation :

𝑑⊥ ≡ 𝑦 = −1

𝑚𝑥 + 𝑝′

est une droite perpendiculaire à 𝑑.

En effet, soit 𝑑⊥ ≡ 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′.

Pour avoir 𝑑 ⊥ 𝑑⊥, il suffit que lorsque 𝑥 augmente de 𝑚; 𝑦 diminue de 1.

{𝑦′ = 𝑚′(𝑥 + 𝑚) + 𝑝′ = 𝑚′𝑥 + 𝑚′𝑚 + 𝑝′

𝑦′ = 𝑦 − 1 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ − 1

⇒ 𝑚′𝑥 + 𝑚′𝑚 + 𝑝′ = 𝑚′𝑥 + 𝑝′ − 1

⇒ 𝑚′𝑚 = −1

⇒ 𝑚′ = −1 𝑚⁄

d1

d2

MAST 30

Soit la droite 𝑑 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.

Toute droite perpendiculaire à 𝑑 a pour équation :

𝑑⊥ = 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑐′ = 0

En effet :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑦 = −𝑎

𝑏𝑥 −

𝑐

𝑏 ⇒ 𝑚 = −

𝑎

𝑏

𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑐′ = 0 ⇒ 𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐′

𝑎 ⇒ 𝑚′ =

𝑏

𝑎 } ⇒ 𝑚′ = −

1

𝑚

d

𝑑⊥

MAST 31

5. Exercices

1) Dessiner le graphique des fonctions suivantes.

𝑎) 𝑦 = 3𝑥

𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 1

𝑐) 𝑦 = −𝑥 + 2

𝑑) 𝑦 = 2𝑥 − 1

𝑒) 𝑦 =𝑥

3+ 3

Pour chacune de ces droites, donner :

le coefficient angulaire.

l'abscisse à l'origine(𝑑 ∩ 𝑂𝑥).

l'ordonnée à l'origine(𝑑 ∩ 𝑂𝑦).

l'ordonnée du point d'abscisse 1.

2) Donner une équation de chaque droite dont on donne les coordonnées de deux points.

𝑎) (1, 2) et (5, 1)

𝑏) (0, 0) et (2, −4)

𝑐) (0,1

3) et (

2

5, 1)

𝑑) (−1, 5) et (2, 5)

𝑒) (−2, 5) et (−3, 2)

𝑓) (0, 2) et (3, 0)

𝑔) (2, 5) et (2, 8)

ℎ) (−3,−1) et (−3, 3)

𝑖) (3,7 ; 0) et (−3,2 ; 6,1)

𝑗) (1,2 ; 4) et (1,2 ; 0)

3) Résoudre les systèmes d'équations suivants en utilisant diverses méthodes, dont celle

de Cramer. Représenter graphiquement.

𝑎) { 2𝑥 − 𝑦 = 43𝑥 + 𝑦 = 1

𝑏) { 3𝑥 + 7𝑦 = 3 5𝑥 − 4𝑦 = 5

𝑐) { 𝑥 + 𝑦 = 16𝑥 − 𝑦 = 6

𝑑) { 4𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 8𝑥 − 5𝑦 + 9 = 0

𝑒) { 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 02𝑥 + 3𝑦 = 13

𝑓) { 𝑥 − 4 = 0 3𝑦 − 𝑥 = 2

𝑔) { 2𝑥 + 3𝑦 = 65𝑦 = 10

ℎ) { 𝑦 = 2𝑥 + 1 3𝑥 + 2𝑦 = 9

𝑖) { 3𝑥 − 2𝑦 = 5 2𝑥 − 5𝑦 = 7

𝑗) { 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 2𝑥 + 3

MAST 32

LE SECOND DEGRÉ

1. Définitions

Une équation du second degré en 𝑥 est une équation qui s'écrit sous la forme :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 ∈ ℝ0, 𝑏 et 𝑐 ∈ ℝ.

Une fonction du second degré en 𝑥 est une fonction :

𝑓:ℝ → ℝ: 𝑥 ⟼ 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ∈ ℝ0, 𝑏 et 𝑐 ∈ ℝ.

2. Résolution de l'équation ax2 + bx + c = 0

Lorsqu'on recherche les solutions de l'équation du second degré, on dit aussi qu'on

recherche les 2 racines 𝑥1 et 𝑥2 telles que :

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

a) Cas général

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

⇓

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

⇓

𝑥2 + 2𝑏

2𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2−𝑏2

4𝑎2+𝑐

𝑎= 0

⇓

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

−𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2= 0

On pose Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

Δ > 0

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

− (√Δ

2𝑎)

2

= 0

⇓

(𝑥 +𝑏

2𝑎−√Δ

2𝑎)(𝑥 +

𝑏

2𝑎+√Δ

2𝑎) = 0

MAST 33

⇓

{

𝑥1 =

−𝑏 + √Δ

2𝑎

𝑥2 =−𝑏 − √Δ

2𝑎

Δ = 0

(𝑥 +𝑏

𝑎)2

= 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Δ < 0

𝑥1 et 𝑥2 n'existent pas dans ℝ

Conclusion :

Pour résoudre l'équation 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ;

on commence par calculer Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

Δ > 0

𝑥1,2 =−𝑏 ± √Δ

2𝑎 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2}

Δ = 0

𝑥1 = 𝑥2 = −

𝑏

2𝑎

𝑆 = {𝑥1}

Δ < 0

𝑥1 et 𝑥2 ∄ 𝑆 = ∅

b) Cas particuliers

𝑏 est pair ⇒ 𝑏 = 2𝑏′

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4𝑏′2 − 4𝑎𝑐 = 4(𝑏′2− 𝑎𝑐) = 4Δ′ avec Δ′ = 𝑏′

2− 𝑎𝑐

−b ± √∆

2a=−2b′ ± √4∆′

2a=−2b′ ± 2√∆′

2a=−2(b′ ± √∆′)

2a=−b′ ± √∆′

a

Donc, pour 𝑎𝑥2 + 2𝑏′𝑥 + 𝑐 = 0 avec Δ′ = 𝑏′2− 𝑎𝑐

Si Δ′ > 0 ; alors :

{

𝑥1 =

−𝑏′ + √Δ′

𝑎

𝑥2 =−𝑏′ − √Δ′

𝑎

MAST 34

𝑐 = 0.

L'équation devient : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0

⇒ 𝑥1 = 0 et 𝑥2 = −𝑏 𝑎⁄

𝑏 = 0.

L'équation devient : 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑥2 +𝑐

𝑎= 0

⇒ 𝑥1,2 = ±√−𝑐 𝑎⁄ ⇔ 𝑐

𝑎< 0

c) Somme et Produit

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 𝑥2 − 𝑥1𝑥 − 𝑥2𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑥

2 − (𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2

On pose : {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2

(Somme)

(Produit)

⇒ 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 𝑥2 − 𝑆𝑥 + 𝑃

⇒ {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = −

𝑏

𝑎

𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

d) Exemples

2𝑥2 − 4𝑥 = 0

Il n'y a pas de terme indépendant (𝑐 = 0).

⇒ 2𝑥(𝑥 − 2) = 0

⇒ 𝑥1 = 0 et 𝑥2 = 2

3𝑥2 + 18𝑥 + 27 = 0

⇒ 3(𝑥2 + 6𝑥 + 9) = 0 ⇒ 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0

C'est un produit remarquable ! (Δ = 0)

⇒ (𝑥 + 3)2 = 0 ⇒ 𝑥 + 3 = 0

⇒ 𝑥1 = 𝑥2 = −3

2𝑥2 − 10𝑥 + 12 = 0

⇒ 2(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0 ⇒ 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

⇒ {𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = 5𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6

⇒ {𝑥1 = 2𝑥2 = 3

MAST 35

𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 0

Δ = 22 − 4 ∙ 1 ∙ (−15) = 64 = 82 OU Δ′ = 12 − 1 ∙ (−15) = 16 = 42

𝑥1,2 =−2 ± 8

2= ∕∖ 3

−5 … 𝑂𝑈… 𝑥1,2 =

−1 ± 4

1= ∕∖ 3

−5

⇒ 𝑥2 + 2𝑥 − 15 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 5)

5𝑥2 + 5 = 0

⇒ 5(𝑥2 + 1) = 0 ⇒ 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥2 = −1 ⇒ Impossible dans ℝ.

𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0

Δ = 12 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3 < 0 ⇒ Impossible dans ℝ.

3. Etude de la fonction y = ax2 + bx + c

a) Cas particulier

𝑏 = 𝑐 = 0 et 𝑎 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥2

Recherchons quelques points de la fonction afin d'en dessiner le graphique.

Nous obtenons : (0,0), (1,1), (2,4), (−2,4), (3,9), (−3,9), …

𝑦 = 𝑥2

MAST 36

Le résultat est une parabole qui …

… a l'axe 𝑂𝑦 comme axe de symétrie. 𝑦 = 𝑥2 est une fonction paire.

… est tangente à l'axe 𝑂𝑥 au point 𝑂.

… est strictement décroissante dans ℝ− et est strictement croissante dans ℝ+,

avec 𝑂 comme minimum.

𝑏 = 𝑐 = 0 et 𝑎 ≠ 1 ⇒ 𝑦 = 𝑎𝑥2

𝑦 = 𝑥2

𝑦 = −𝑥2

𝑦 = 2𝑥2

𝑦 = −2𝑥2

𝑦 =1

4𝑥2

𝑦 = −1

4𝑥2

MAST 37

Les fonctions 𝑦 = 𝑎𝑥2 sont toutes des paraboles, ∀𝑎 ≠ 0, qui …

… sont des fonctions paires; 𝑂𝑦 est un axe de symétrie.

… sont tangentes en 𝑂, à l'axe 𝑂𝑥.

… possèdent 𝑂 comme sommet.

Si 𝑎 > 0; alors le sommet 𝑂 est un minimum, et la concavité de la

parabole est tournée vers le haut (strictement décroissante dans ℝ−,

strictement croissante dans ℝ+).

Si 𝑎 < 0; alors le sommet 𝑂 est un maximum, et la concavité de la

parabole est tournée vers le bas (strictement croissante dans ℝ−,

strictement décroissante dans ℝ+).

b) Cas général

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

⇓

𝑦 = 𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎)

⇓

𝑦 = 𝑎 (𝑥2 + 2𝑏

2𝑎𝑥 +

𝑏2

4𝑎2−𝑏2

4𝑎2+𝑐

𝑎)

⇓

𝑦 = 𝑎 [(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

−𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2]

⇓

𝑦 = 𝑎 (𝑥 +𝑏

2𝑎)2

−∆

4𝑎

⇓

𝑦 +∆

4𝑎= 𝑎 (𝑥 +

𝑏

2𝑎)2

En posant {𝑥′ = 𝑥 +

𝑏

2𝑎

𝑦′ = 𝑦 +∆

4𝑎

; on trouve 𝑦′ = 𝑎𝑥′2.

Le résultat est une parabole de type 𝑦 = 𝑎𝑥2 qui a subit un déplacement (une

translation) de −𝑏 2𝑎⁄ vers la droite et de −∆ 4𝑎⁄ vers le haut.

Le sommet 𝑂(0,0) se déplace vers le sommet 𝑆 (−𝑏

2𝑎, −

∆

4𝑎).

MAST 38

Pour dessiner la parabole, on peut se servir d'un nouveau repère orthogonal en

utilisant les droites 𝑂′𝑥′ ≡ 𝑦 = −∆

4𝑎 et 𝑂′𝑦′ ≡ 𝑥 = −

𝑏

2𝑎 ; avec 𝑂′ = 𝑆.

c) Exemple

On demande de dessiner la parabole d’équation 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12

1°) 𝑎 = 1 > 0. La concavité de la parabole est vers le haut.

2°) Calcul des points A et B, intersections de la parabole avec l’axe Ox.

Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−8)2 − 4 ∙ 1 ∙ 12 = 64 − 48 = 16 = 42.

𝑥1,2 =−𝑏 ± √Δ

2𝑎=8 ± √4

2= ∕∖ 2

6 ⇒

𝐴 (2 , 0)

𝐵 (6 , 0)

𝑦 = 𝑎𝑥2

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦′ = 𝑎𝑥′2

−𝑏

2𝑎

−∆

4𝑎

MAST 39

3°) Calcul du sommet S.

𝑆 (−𝑏

2𝑎 , −

∆

4𝑎) = 𝑆 (

8

2 , −

16

4) = 𝑆(4 , −4)

⇒ L’axe de symétrie de la parabole a pour équation : 𝑥 = 4.

4°) Calcul du point C(0 , c), intersection de la parabole avec l’axe Oy ; et calcul du

point D, symétrique de C par rapport à l’axe de symétrie.

{𝐶(0 , 12)

𝐷 (−𝑏

𝑎 , 𝑐) = 𝐷(8 , 12)

MAST 40

4. Exercices

1) Résoudre et factoriser les équations dans ℝ.

𝑎) 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0

𝑏) 3𝑥 + 𝑥2 + 5 = 0

𝑐) 𝑥2 − 4𝑥 = −3

𝑑) 𝑥2 − 5𝑥 + 7 = 0

𝑒) − 𝑥2 + 9𝑥 − 19 = 0

𝑓) 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0

𝑔) 5 − 4𝑥 − 𝑥2 = 0

ℎ) 2𝑥2 + 5𝑥 = 3

𝑖) 3𝑥 − 4𝑥2 = 2

𝑗) − 2𝑥2 + 3 + 4𝑥 = 0

2) Résoudre et factoriser les équations dans ℝ, sans calculer la formule du Δ.

𝑎) 𝑥2 − 16 = 0

𝑏) 8𝑥2 − 2 = 0

𝑐) 𝑥2 + 9 + 6𝑥 = 0

𝑑) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 16

𝑒) 5𝑥2 − 3𝑥 = 0

𝑓) (𝑥 + 2)2 + 𝑥 + 2 = 0

𝑔) (2𝑥 − 5)2 = 25

ℎ) (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 2) + 6 = 0

𝑖) (2𝑥 − 3)2 − 𝑥2 = 0

𝑗) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 3𝑥 − 9

3) Résoudre et factoriser les équations (inconnue x) dans ℝ (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ).

𝑎) 𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑏2 = 0

𝑏) 𝑥2 + 6𝑎𝑥 + 8𝑎2 = 0

𝑐) 4𝑎2𝑥2 − 12𝑎𝑏𝑥 + 9𝑏2 = 0

𝑑) 𝑥2 − 2𝑎𝑥 = 0

𝑒) (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + 𝑎2 = 3𝑥

4) Simplifier les fractions suivantes, et donner les conditions d'existence.

𝑎) 𝑥2 − 𝑥 − 2

2𝑥2 − 5𝑥 + 2

𝑏) 2𝑥2 − 3𝑥 − 5

4𝑥2 − 20𝑥 + 25

𝑐) 𝑥2 − 3𝑥

𝑥2 − 5𝑥 + 6

𝑑) 6𝑥2 + 5𝑥 − 6

4𝑥2 − 9

𝑒) 𝑥2 − 3𝑎𝑥 + 2𝑎2

𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2𝑎2

5) Faire l'étude des fonctions suivantes. Représenter graphiquement.

𝑎) 𝑦 = 2𝑥2

𝑏) 𝑦 = 𝑥2/2

𝑐) 𝑦 = 𝑥2 + 1

𝑑) 𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑥

𝑒) 𝑦 = 1 − 𝑥2

𝑓) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 4

𝑔) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 4

ℎ) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3

𝑖) 𝑦 = −2𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑗) 𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 − 4

MAST 41

STATISTIQUES

1. Définition

La statistique est la branche des mathématiques appliquées en liaison avec le calcul des

probabilités mais qui, à la différence de ce dernier, est basée sur des observations

d'événements réels à partir desquelles on cherche à établir des hypothèses plausibles en

vue de prévisions concernant des circonstances analogues.

L'étude d'un problème statistique peut se décomposer en quatre parties :

Recueil des données.

Classement et réduction de ces données (statistique descriptive).

Analyse des données visant à les rattacher à des modèles probabilistes.

Déduction de prévisions.

2. Signe sommatoire

Soient 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 n nombres réels. Par définition :

∑𝑥𝑖 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛

𝑛

𝑖=1

Attention !!! C’est l’indice i qui varie jusqu’au nombre n qui, lui, reste constant.

Notons que le choix de l'indice est indépendant du résultat.

∑𝑥𝑖 =

𝑛

𝑖=1

∑𝑥𝑗 =

𝑛

𝑗=1

∑𝑥𝑙 = ⋯

𝑛

𝑙=1

Règles de calcul :

1°) ∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)

𝑛

𝑖=1

= (𝑥1 + 𝑦1) + (𝑥2 + 𝑦2) + ⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)

= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛) + (𝑦1 + 𝑦2 +⋯+ 𝑦𝑛) = ∑𝑥𝑖 +∑𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖)

𝑛

𝑖=1

=∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+∑𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

MAST 42

2°) ∑𝑎

𝑛

𝑖=1

= 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎⏟ 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

= 𝑛𝑎

∑𝑎

𝑛

𝑖=1

= 𝑛𝑎

3°) ∑𝑎

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 = 𝑎𝑥1 + 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑥𝑛

= 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛) = 𝑎∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

∑𝑎

𝑛

𝑖=1

𝑥𝑖 = 𝑎∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

4°) ∑(𝑥𝑖 + 𝑎)

𝑛

𝑖=1

= (𝑥1 + 𝑎) + (𝑥2 + 𝑎) +⋯+ (𝑥𝑛 + 𝑎)

= (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛) + (𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎)⏟ 𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

= ∑𝑥𝑖 + 𝑛𝑎

𝑛

𝑖=1

∑(𝑥𝑖 + 𝑎)

𝑛

𝑖=1

=∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑛𝑎

3. Tableau statistique d’une distribution observée

Nous allons partir d’un exemple. Soit la série statistique (ensemble de données brutes)

suivante. Celle-ci représente le nombre d’ordinateurs vendus au cours du dernier mois

dans 40 magasins. Nous avons 40 valeurs {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛} avec n = 40.

7 1 5 12 3 2 1 4 7 5

Série A 6 4 1 8 10 3 3 6 5 2

5 8 2 7 0 7 4 4 6 8

5 5 4 6 8 10 6 5 3 3

Pour construire un tableau sous base de ces données, une mise en ordre s’impose. On

commence par classer dans l’ordre croissant les n valeurs du tableau, et on détermine

ainsi toutes les valeurs différentes k qui se répètent parmi ces n valeurs.

MAST 43

Dans notre exemple, n = 40 et nous trouvons k = 11 valeurs différentes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 10 et 12.Ensuite, nous représentons ces valeurs par des xj de telle sorte que j varie de

1 jusqu’à k, toujours dans l’ordre croissant. Ici, 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 2, … , 𝑥10 = 10, 𝑥11 =

12. Nous avons ici 11 valeurs différentes {𝑥𝑗 ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘} avec k = 11. (Ce sont les k

valeurs possibles de la variable X.)

On appelle nj effectif (ou fréquence absolue) de la valeur xj le nombre de fois que la

valeur xj se répète. Par exemple, si j = 8, on voit que la valeur 𝑥8 = 7 se répète 𝑛8 = 4 fois.

Bien évidemment, la somme des effectifs donnera l’effectif total n, c’est-à-dire le nombre

total de magasins dans notre exemple. En effet :

∑𝑛𝑗 = 1 + 3 + 3 +⋯+ 2 + 1 = 40

11

𝑗=1

Dans le cas général, nous pouvons écrire :

∑𝑛𝑗 = 𝑛

𝑘

𝑗=1

Exprimons chaque effectif sous la forme d’un pourcentage. Par exemple, au lien de dire

que 4 magasins ont vendu 7 ordinateurs, nous pouvons parler de :

4

40∙ 100% = 10% des magasins qui ont vendu ces 7 ordinateurs.

On définit la fréquence (relative) fj de la valeur xj comme étant le rapport :

𝑓𝑗 =𝑛𝑗

𝑛

Remarquons que :

𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑘 =𝑛1𝑛+𝑛2𝑛+⋯+

𝑛𝑘𝑛=𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘

𝑛=𝑛

𝑛= 1

∑𝑓𝑗 = 1

𝑘

𝑗=1

Nous pouvons également cumuler les données. Chercher l’effectif cumulé (ou fréquence

absolue cumulée) Nj de la valeur xj, consiste, dans notre exemple, à trouver le nombre de

magasins qui ont vendu au plus xj ordinateurs.

On a : 𝑁𝑗 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑗 avec 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘

𝑁𝑗 =∑𝑛𝑙

𝑗

𝑙=1

Notons que : 𝑁𝑘 = 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘 = ∑ 𝑛𝑙 = 𝑛𝑘𝑙=1 ⇒ 𝑁𝑘 = 𝑛

MAST 44

On remarque aussi que :

𝑛1 = 𝑁1

𝑛𝑗 = 𝑁𝑗 − 𝑁𝑗−1 pour 𝑗 = 2 , … , 𝑘

Les fréquences (relatives) cumulées expriment les effectifs cumulés sous la forme de

pourcentages.

La fréquence cumulée Fj de la valeur xj vaut :

𝐹𝑗 =𝑁𝑗

𝑛

Notons que : 𝐹𝑗 =𝑁𝑗

𝑛=𝑛1

𝑛+𝑛2

𝑛+⋯+

𝑛𝑗

𝑛= 𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑗

⟹ 𝐹𝑗 =∑𝑓𝑙

𝑗

𝑙=1

Et donc : 𝐹𝑘 = 𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑘 = ∑ 𝑓𝑙 = 1𝑘𝑙=1 ⇒ 𝐹𝑘 = 1

De même, nous avons :

𝑓1 = 𝐹1

𝑓𝑗 = 𝐹𝑗 − 𝐹𝑗−1 pour 𝑗 = 2 , … , 𝑘

Nous pouvons finalement dresser le tableau complet de notre exemple.

j xj nj fj Nj Fj

1 0 1 0,025 = 2,5 % 1 0,025 = 2,5 %

2 1 3 0,075 = 7,5 % 4 0,1 = 10 %

3 2 3 0,0075 = 7,5 % 7 0,175 = 17,5 %

4 3 5 0,125 = 12,5 % 12 0,3 = 30 %

5 4 5 0,125 = 12,5 % 17 0,425 = 42,5 %

6 5 7 0,175 = 17,5 % 24 0,6 = 60 %

7 6 5 0,125 = 12,5 % 29 0,725 = 72,5 %

8 7 4 0,1 = 10 % 33 0,825 = 82,5 %

9 8 4 0,1 = 10 % 37 0,925 = 92,5 %

10 10 2 0,05 = 5% 39 0, 975 = 97,5 %

11 12 1 0,025 = 2,5 % 40 1

40 1

Tableau A

MAST 45

4. Graphiques d’une distribution observée

a) Diagramme en bâtons

Le diagramme des effectifs est un graphique à deux dimensions avec lequel une table

d’effectifs est représentée par l’ensemble des points (𝑥𝑗 , 𝑛𝑗). Pour une représentation

plus concrète, à partir de chaque point, on abaisse une verticale jusqu’à l’axe des 𝑥𝑗.

C’est le diagramme en bâtons. En changeant l’échelle, on peut, tout en conservant la

forme du graphique, obtenir le diagramme des fréquences (𝑥𝑗 , 𝑛𝑗 𝑛⁄ ) = (𝑥𝑗 , 𝑓𝑗).

Dans les deux cas, ce sont des fonctions discrètes.

En prenant le tableau A comme exemple :

On appelle mode toute valeur 𝑥𝑀, pour laquelle 𝑛𝑀 ≥ 𝑛𝑗 ∀𝑗.

Dans notre exemple, c’est 𝑛6 = 7 qui est l’effectif le plus élevé.

𝑥𝑀 = 𝑥6 ⇒ 𝑥𝑀 = 5.

Remarque : Soit la fonction discrète 𝑓𝑗 = 𝑓(𝑥𝑗). Comme ∑ 𝑓𝑗 = 1𝑘𝑗=1 ; cela implique

que la somme de toutes les ordonnées vaut 1.

xj

nj (fj)

(xM)

MAST 46

b) Diagramme cumulatif

Le diagramme des effectifs cumulés est une fonction en escalier définie par :

𝑁(𝑥) = 𝑁𝑗 si 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1[ avec 𝑗 = 1 , … , 𝑘 − 1

Comme précédemment, le diagramme des fréquences cumulées se construit de

manière identique, à échelle réduite, de telle sorte que :

𝐹(𝑥) = 𝐹𝑗 si 𝑥 ∈ [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1[ avec 𝑗 = 1 , … , 𝑘 − 1

A partir du tableau A, nous obtenons :

Si on rejoint par une suite de segments les points de coordonnées (𝑥1, 0) , (𝑥1, 𝑁1) ,

(𝑥2, 𝑁1) , (𝑥2, 𝑁2) , (𝑥3, 𝑁2) , (𝑥3, 𝑁3) , … , (𝑥𝑘, 𝑁𝑘 = 𝑛) ; alors on obtient ce qu’on

appelle le polygone des effectifs cumulés. Bien entendu, le polygone des fréquences

cumulées s’obtient en rejoignant les points (𝑥1, 0) , (𝑥1, 𝐹1) , (𝑥2, 𝐹1) , (𝑥2, 𝐹2) ,

(𝑥3, 𝐹2) , (𝑥3, 𝐹3) , … , (𝑥𝑘, 𝐹𝑘 = 1).

x

N (F)

(𝑥1/2)

MAST 47

On appelle médiane la valeur 𝑥1/2 telle que le nombre d’observations qui la

précèdent est égal au nombre d’observations qui la suivent.

A partir des {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛} :

Si n est impair (𝑛 = 2𝑚 + 1) ; alors 𝑥1/2 = 𝑥𝑚+1 = 𝑥(𝑛+1)/2

Si n est pair (𝑛 = 2𝑚) ; alors 𝑥1/2 =𝑥𝑚+𝑥𝑚+1

2=𝑥𝑛/2+𝑥(𝑛/2)+1

2

Dans notre exemple, n = 40 , et nous trouvons avec l’indice i que 𝑥20 = 𝑥21 = 5 ;

ce qui est le résultat de la médiane, soit 𝑥1/2 = 5.

Une autre méthode consiste à déterminer directement la médiane sur le polygone en

recherchant la solution de l’équation : 𝐹(𝑥1/2) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥1/2) = 𝑛/2 ).

Il suffit, pour cela, de tracer l’horizontale 𝐹(𝑥) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥) = 𝑛/2 ).

Si on coupe un segment vertical du polygone ; la solution est immédiate, c’est

l’abscisse du point d’intersection.

Si l’horizontale contient un segment du polygone ; la solution est l’abscisse

de son milieu.

5. Tableau statistique d’une distribution groupée

Reprenons le même type d’exemple. Soit une série statistique représentant le nombre

d’ordinateurs vendus par 30 magasins.

124 115 110 114 134 126 114 138 136 114

Série B 110 120 130 138 120 120 138 110 120 110

120 122 130 115 120 114 110 138 116 118

Nous avons 13 valeurs différentes pour un effectif total n = 30. Ce qui implique que

beaucoup d’effectifs ont 1 comme valeur. Les répétitions sont très faibles.

En groupant certaines données, on peut former des classes ; c’est-à-dire un ensemble

d’intervalles consécutifs(𝑙𝑗 , 𝑙𝑗+1).

La largeur ℎ𝑗 du jème

intervalle est égale à la différence à la différence de ses limites ;

soit : ℎ𝑗 = 𝑙𝑗+1 − 𝑙𝑗.

Une classe est caractérisée par son centre :

𝑥𝑐𝑗 =𝑙𝑗 + 𝑙𝑗+1

2

MAST 48

Cas possible :

(𝑙𝑗 , 𝑙𝑗+1) ℎ𝑗 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗

[ 108 , 110 ] 2 109 5

] 110 , 116 ] 6 113 7

] 116 , 120 ] 4 118 7

] 120 , 136 ] 16 128 7

] 136 , 138 ] 2 137 4

Même si ce n’est pas obligatoire, on préfère souvent avoir des classes de largeurs

identiques. Il existe alors différentes règles pour déterminer le nombre de classes k en

fonction de l’effectif total n. Une des plus connue est celle de Sturges :

𝑘 = 1 +10

3log10 𝑛

Dans notre exemple : 𝑘 = 1 + 3,33 log10 30 = 5,92 ≈ 6

Définissons l’étendue : 𝐸 = 𝑥𝑛 − 𝑥1

⇒ ℎ =𝐸

𝑘=138 − 110

5,92= 4,7 ≈ 5

Ici encore, plusieurs choix sont possibles pour notre exemple.

1er

cas : [ 110 , 115 ] ; ] 115 , 120 ] ; ] 120 , 125 ] ; ] 125 , 130 ] ; ] 135 , 140 ]

Cependant, dans le 1er

intervalle, la valeur 110 se répète déjà 5 fois.

Nous pouvons décomposer [ 110 , 115 ] en ] 105 , 110 ] ; ] 110 , 115 ] ; ce qui implique

l’utilisation de 7 classes au lieu de 6.

Classes Centres 𝑛𝑗

] 105 , 110 ] 107,5 5

] 110 , 115 ] 112,5 6

] 115 , 120 ] 117,5 8

] 120 , 125 ] 122,5 2

] 125 , 130 ] 127,5 3

] 130 , 135 ] 132,5 1

] 135 , 140 ] 137,5 5

MAST 49

2ème

cas : Pour conserver 6 classes, et obtenir des centres entiers, il suffit de décaler les

limites, par exemple de – 1,5. Ce sera notre tableau final.

Classes 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑓𝑗 𝑁𝑗 𝐹𝑗

] 108,5 ; 113,5 ] 111 5 0,167 5 0,167

] 113,5 ; 118,5 ] 116 8 0,267 13 0,433

] 118,5 ; 123,5 ] 121 7 0,233 20 0,667

] 123,5 ; 128,5 ] 126 2 0,067 22 0,733

] 128,5 ; 133,5 ] 131 2 0,067 24 0,8

] 133,5 ; 138,5 ] 136 6 0,2 30 1

30 1

Tableau B

6. Graphiques d’une distribution groupée

a) L’histogramme

Dans le cas d’une distribution groupée, l’histogramme des effectifs est représenté par

un ensemble de rectangles construits sur l’axe des 𝑥𝑗 , de base (𝑙𝑗 ; 𝑙𝑗+1) avec

ℎ𝑗 = 𝑙𝑗+1 − 𝑙𝑗 comme largeur, et de hauteur 𝑛𝑗 ℎ𝑗⁄ .

L’aire de chaque rectangle vaut 𝑛𝑗 .

En changeant d’échelle, l’histogramme des fréquences se construira de la même

manière, mais avec une hauteur de 𝑓𝑗 ℎ𝑗⁄ pour chaque rectangle, dont l’aire vaudra 𝑓𝑗.

Dans le cas du tableau B, ℎ𝑗 = ℎ = 5 ∀𝑗.

On peut construire un nouveau tableau pour l’histogramme.

Classes 𝑛𝑗 ℎ⁄ 𝑓𝑗 ℎ⁄

] 108,5 ; 113,5 ] 1 0,033

] 113,5 ; 118,5 ] 1,6 0,053

] 118,5 ; 123,5 ] 1,4 0,047

] 123,5 ; 128,5 ] 0,4 0,013

] 128,5 ; 133,5 ] 0,4 0,013

] 133,5 ; 138,5 ] 1,2 0,04

MAST 50

] 113,5 ; 118,5 ] est la classe modale. Une valeur modale 𝑥𝑀 peut être déterminée par

construction géométrique de deux segments de droite à l’intérieur de la classe. Le

calcul de cette intersection nous donnera ici 𝑥𝑀 = 117,25.

b) Polygone d’une distribution groupée

A partir de l’histogramme des effectifs cumulés, on trace les segments qui rejoignent

les points de coordonnées (𝑙1, 0) , (𝑙2, 𝑁1) , (𝑙3, 𝑁2) , … , (𝑥𝑘+1, 𝑁𝑘 = 𝑛) ; ou, en

changeant d’échelle, l’histogramme des fréquences cumulées avec les points (𝑙1, 0) ,

(𝑙2, 𝐹1) , (𝑙3, 𝐹2) , … , (𝑥𝑘+1, 𝐹𝑘 = 1).

Nous obtenons le polygone des effectifs cumulés, ainsi que le polygone des

fréquences cumulées, dans le cas d’une distribution groupée.

Pour déterminer la médiane, on procède comme pour la distribution observée avec la

fonction en escalier. On trace l’horizontale 𝑁(𝑥) = 𝑛/2 (ou 𝐹(𝑥) = 1/2 ) jusqu’à

ce qu’on coupe un segment de droite du polygone. Géométriquement, il suffit

d’abaisser une verticale à partir de ce point pour trouver 𝑥1/2.

Pour notre exemple, la calcul nous donnera 𝑥1/2 = 119,93.

Remarque : Toutes ces valeurs sont en fait des approximations en raison du choix des

classes.

𝑥𝑗

𝑛𝑗

ℎ (𝑓𝑗

ℎ)

𝑥𝑀

MAST 51

7. Paramètres de tendance centrale

a) Moyenne 𝒙 (ou ⟨𝒙⟩ ou 𝝁𝑿)

1°) Série statistique {𝑥𝑖 ; 𝑖 = 1 , … , 𝑛}

𝑥 =1

𝑛∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Série A :

𝑥 =7 + 1 + 5 +⋯+ 3 + 3

40=201

40= 5,025

Série B :

𝑥 =124 + 115 +⋯+ 118

30=3644

30= 121,4667

𝑥1/2 𝑥

𝑁 (𝐹)

MAST 52

2°) Distribution observée {(𝑥𝑗 , 𝑛𝑗) ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘}

𝑥 =1

𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗

𝑘

𝑗=1

⇓

𝑥 =∑𝑛𝑗

𝑛

𝑘

𝑗=1

𝑥𝑗

⇓

𝑥 =∑𝑓𝑗

𝑘

𝑗=1

𝑥𝑗

Tableau A :

𝑥 =(1 ∙ 0) + (3 ∙ 1) + (3 ∙ 2) + ⋯+ (2 ∙ 10) + (1 ∙ 12)

40= 5,025

𝑥 = (0,025 ∙ 0) + (0,075 ∙ 1) + ⋯+ (0,025 ∙ 12) = 5,025

3°) Distribution groupée {(𝑥𝑐𝑗 =𝑙𝑗+𝑙𝑗+1

2), 𝑛𝑗 ; 𝑗 = 1 , … , 𝑘}

𝑥 ≈1

𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗

𝑘

𝑗=1

Tableau B :

𝑥 =(5 ∙ 111) + (8 ∙ 116) + (3 ∙ 2) + ⋯+ (6 ∙ 136)

30=3660

30= 122

b) Mode 𝒙𝑴 (ou M ou Mo)

Toute valeur 𝑥𝑀 qui a l’effectif le plus élevé. Dans le cas d’une distribution groupée,

la valeur est calculée à partir de la classe modale (voir précédemment).

c) Médiane 𝒙𝟏/𝟐 (ou 𝒙𝟎.𝟓 ou �̃� ou Me)

C’est la valeur 𝑥1/2 solution de l’équation : 𝐹(𝑥1/2) = 1/2 (ou 𝑁(𝑥1/2) = 𝑛/2 ).

MAST 53

8. Paramètres de dispersion

a) Ecart moyen 𝒆𝒎

Soient 𝑒𝑖 les écarts entre chaque valeur 𝑥𝑖 et la moyenne 𝑥 donc : 𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥

Si nous calculons la moyenne des écarts, nous obtenons :

𝑒 =1

𝑛∑𝑒𝑖 =

1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥) =

1

𝑛∑𝑥𝑖 −

1

𝑛∑𝑥 = 𝑥 −

1

𝑛𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Ceci était prévisible, car cela donne tout son sens à la moyenne 𝑥.

Dès lors, pour avoir une première idée de la dispersion, on définit l’écart moyen

comme la moyenne de la valeur absolue des écarts :

𝑒𝑚 =1

𝑛∑|𝑥𝑖 − 𝑥|

𝑛

𝑖=1

Cependant, le calcul algébrique avec des valeurs absolues est généralement très

compliqué. Aussi, en pratique, l’écart moyen est rarement utilisé.

b) Variance 𝑽𝑿

Tout en conservant l’esprit de l’écart moyen, et en évitant les inconvénients ; on

préfère utiliser la variance, moyenne des carrés (ou moyenne quadratique) des écarts.

1°) Série statistique :

𝑉 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥)

2

𝑛

𝑖=1

2°) Distribution observée :

𝑉 =1

𝑛∑𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)

2𝑘

𝑗=1

𝑉 = ∑𝑓𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)2

𝑘

𝑗=1

3°) Distribution groupée :

𝑉 =1

𝑛∑𝑛𝑐𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)

2𝑘

𝑗=1

𝑉 = ∑𝑓𝑐𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)2

𝑘

𝑗=1

MAST 54

Calcul de la variance

1°) Série statistique :

𝑉 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥)

2

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛∑(𝑥𝑖

2 − 2𝑥 ∙ 𝑥𝑖 + 𝑥2)

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛∑𝑥𝑖

2 − 2𝑥 ∙1

𝑛∑𝑥𝑖 +

1

𝑛𝑛𝑥

2=

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛∑𝑥𝑖

2 − 2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥2

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛∑𝑥𝑖

2 − 𝑥2

𝑛

𝑖=1

2°) Distribution observée :

En faisant le même calcul, on trouve :

𝑉 =1

𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗

2 − 𝑥2

𝑘

𝑗=1

=∑𝑓𝑗𝑥𝑗2 − 𝑥

2

𝑘

𝑗=1

3°) Distribution groupée :

De même, on trouve :

𝑉 =1

𝑛∑𝑛𝑐𝑗𝑥𝑗

2 − 𝑥2

𝑘

𝑗=1

=∑𝑓𝑐𝑗𝑥𝑗2 − 𝑥

2

𝑘

𝑗=1

Dans tous les cas, le résultat final est donné par l’équation :

𝑉 = 𝑥2 − 𝑥2

c) Ecart-type 𝝈𝑿

L’écart-type est, par définition, la racine carrée de la variance.

𝜎 = √𝑉 = √𝑥2 − 𝑥2

Nous allons maintenant pouvoir appliquer ces paramètres à nos deux exemples en

construisant des tableaux suffisamment complets pour faire les calculs appropriés.

MAST 55

Tableau A

j 𝑥𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗𝑥𝑗 𝑥𝑗2 𝑛𝑗𝑥𝑗

2 𝑥𝑗 − 𝑥 (𝑥𝑗 − 𝑥)2 𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)

2

1 0 1 0 0 0 – 5,025 25,25 25,25

2 1 3 3 1 3 – 4,025 16,2 48,6

3 2 3 6 4 12 – 3,025 9,15 27,45

4 3 5 15 9 45 – 2,025 4,1 20,5

5 4 5 20 16 80 – 1,025 1,05 5,25

6 5 7 35 25 175 – 0,025 0,0006 0,0044

7 6 5 30 36 180 0,975 0,95 4,75

8 7 4 28 49 196 1,975 3,9 15,6

9 8 4 32 64 256 2,975 8,85 35,4

10 10 2 20 100 200 4,975 24,75 49,5

11 12 1 12 144 144 6,975 48,65 48,65

40 201 1291 280,975

𝑥 =1

40∑𝑛𝑗𝑥𝑗 =

201

40= 5,025

11

𝑗=1

𝑥2 =1

40∑𝑛𝑗𝑥𝑗

2 =1291

40= 32,275

11

𝑗=1

𝑉 = 𝑥2 − 𝑥2= 32,275 − (5,025)2 = 7,0244

𝑉 =1

40∑𝑛𝑗(𝑥𝑗 − 𝑥)

211

𝑗=1

=280

40= 7,0244

}

⇒ 𝜎 = √7,0244 = 2,65

Tableau B

j 𝑥𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗 𝑥𝑐𝑗2 𝑛𝑗𝑥𝑐𝑗

2 𝑥𝑐𝑗 − 𝑥 (𝑥𝑐𝑗 − 𝑥)2 𝑛𝑗(𝑥𝑐𝑗 − 𝑥)

2

1 111 5 555 12 321 61 605 – 11 121 605

2 116 8 928 13 456 107 648 – 6 36 288

3 121 7 847 14 641 102 487 – 1 1 7

4 126 2 252 15 876 31 752 4 16 32

5 131 2 262 17 161 34 322 9 81 162

6 136 6 816 18 496 110 976 14 196 1176

30 3660 448 790 2270

𝑥 =3660

30= 122 𝑥2 =

448790

30= 14959,67

𝑉 = 14959,67 − (122)2 = 75,67 ou 𝑉 =2270

30= 75,67 ⇒ 𝜎 = √75,67 = 8,7

MAST 56

9. Exercices

1) Ayant 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −2, 𝑥4 = 0, 𝑥5 = −1, 𝑥6 = 4.

Calculer :

𝑎) ∑𝑥𝑖

6

𝑖=1

𝑏) ∑𝑥𝑖2

6

𝑖=1

𝑐) ∑3𝑥𝑗

6

𝑗=1

𝑑) ∑𝑥𝑘 + 3

2

6

𝑘=1

2) Sachant que ∑ 𝑥𝑖 = 7𝑛𝑖=1 , calculer :

𝑎) ∑2𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏) ∑(𝑥𝑗 − 3)

𝑛

𝑗=1

𝑐) ∑(−𝑥𝑘4)

𝑛

𝑘=1

3) Soit une distribution d'un nombre de petits dans 121 portées de souris.

𝑥𝑗 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑛𝑗 7 11 16 17 26 31 11 1 1

𝑎) Dresser un tableau statistique complet.

𝑏) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.

𝑐) Dessiner le diagramme en bâtons et déterminer le mode.

𝑑) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.

4) Le tableau ci-dessous donne le nombre de buts marqués pour chacun des matchs de

hockey sur glace, arbitrés par McGyver.

𝑥𝑗 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13

𝑛𝑗 4 20 35 23 15 20 6 6 2 1 1 1

𝑎) Dresser un tableau statistique complet.

𝑏) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.

𝑐) Dessiner le diagramme en bâtons et déterminer le mode.

𝑑) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.

5) Un message secret a été découvert dans un vieux grimoire de Merlin, qui a retourné

vers le futur. Sachant que le message est en français, et que Merlin a remplacé chaque

lettre par une autre; pouvez-vous le déchiffrer ?

RC RUPZC BC RT QTIJZC CHI VJPCZI BCPTQI QVJH, CKZUI

BTQH RT RTQSJC BCH GTIFCGTIUWJCH. STRURCV STRURCU.

MAST 57

On dispose des deux informations suivantes :

𝑎) On possède une évaluation des fréquences des lettres qui figurent le plus souvent

dans un texte.

Lettres Fréquence

E

S

A, L, O, R, T, N

I, D

0,17

0,11

0,07

0,05

𝑏) On connait la répartition des lettres les plus fréquentes dans un jeu de

SCRABBLE.

Lettres Nombre de jetons

E

A

I

N, O, R, S, T, U

L

15

9

8

6

5

6) Soit un tableau brut de données sur la longueur (en mm) de la grande nervure de

75 feuilles de platane.

113 – 126 – 139 – 171 – 119 – 134 – 170 – 144 – 153 – 175 – 126 – 180 – 139 – 126 –

149 – 117 – 154 – 122 – 137 – 140 – 142 – 168 – 152 – 149 – 129 – 148 – 175 – 168 –

104 – 144 – 134 – 145 – 137 – 131 – 122 – 153 – 149 – 169 – 132 – 147 – 150 – 152 –

140 – 118 – 161 – 153 – 177 – 146 – 152 – 112 – 140 – 145 – 152 – 151 – 145 – 112 –

162 – 188 – 156 – 160 – 170 – 165 – 156 – 157 – 161 – 155 – 162 – 155 – 170 – 160 –

172 – 158 – 155 – 182 – 132.

𝑎) Grouper cette série en classes de largeur 10, à partir de 100 mm.

𝑏) Dresser un tableau statistique complet.

𝑐) Calculer la moyenne, la variance et l'écart-type.

𝑑) Dessiner l'histogramme et déterminer la classe modale.

𝑒) Dessiner le polygone des fréquences et déterminer la médiane.

MAST 58

Martin Gardner, La magie des paradoxes,

Bibliothèque POUR LA SCIENCE,

Diffusion Belin.

MAST 59

ALGÈBRE FINANCIÈRE

1. Les intérêts simples

a) Définitions

L'intérêt est la rémunération d'un prêt, d'une somme d'argent versée, d'un capital.

Cette rémunération est dite à "intérêts simples" lorsque les intérêts ne s'ajoutent pas

au capital pour porter eux-mêmes des intérêts. En pratique, cette opération est à court

terme.

On note : V la valeur du capital (ou simplement C le capital),

i (ou r) le taux d'intérêt exprimé en %.

Soit 𝑉0 le capital de départ placé pour un an au taux annuel à terme échu i. Au bout

d'un an, le capital devient :

𝑉1 = 𝑉0 + 𝐼1 = 𝑉0 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 𝑖) où 𝐼1 représente l'intérêt après un an.

Après 2 ans, nous avons : 𝑉2 = 𝑉0 + 𝐼2 = 𝑉1 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 2𝑖)

Au bout de n années, nous obtenons :

𝑉𝑛 = 𝑉0 + 𝐼 = 𝑉0(1 + 𝑛𝑖)où 𝐼 = 𝐼𝑛 = 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖

L'intérêt est directement proportionnel au capital, à la durée et au taux de placement.

Par défaut, nous avons travaillé avec 𝑛 années, et le taux d’intérêt annuel 𝑖 = 𝑖𝑎.

Si on travaille en mois, on peut calculer en fractions d’années.

𝑛 =𝑚

12 (𝑚 = nombre de mois)

𝐼 = 𝑉0 ∙𝑚

12∙ 𝑖

Nous pouvons encore écrire :

𝐼 = 𝑉0 ∙ 𝑚 ∙𝑖

12= 𝑉0 ∙ 𝑚 ∙ 𝑖𝑚

où 𝑖𝑚 est le taux d’intérêt mensuel.

Nous venons de définir le taux proportionnel :

𝑖𝑚 =𝑖

12 ⇒ 𝑉𝑛 = 𝑉𝑚 = 𝑉0(1 + 𝑚𝑖𝑚)

MAST 60

Conventionnellement, la durée de l’année commerciale est de 360 jours, soient

12 mois de 30 jours. Donc, si on travaille en jours :

𝑛 =𝑗

360 (𝑗 = nombre de jours)

𝐼 = 𝑉0 ∙𝑗

360∙ 𝑖

Soit 𝑖𝑗 le taux d’intérêt journalier ; nous obtenons :

𝑉𝑛 = 𝑉𝑗 = 𝑉0 (1 +𝑗

360∙ 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑗𝑖𝑗) avec 𝑖𝑗 =

𝑖

360

Remarque : Dans le cas d’un placement à partir d’une date précise jusqu’à la date

d’échéance, on tiendra compte de la durée exacte des mois. On partira

du lendemain du placement jusqu’au jour d’échéance compris.

b) Escompte commercial

On appelle escompte le coût de la transformation d’une créance, d’un effet de

commerce en moyen de paiement. L’escompte commercial 𝐸𝐶 est un intérêt négatif

calculé directement sur la valeur nominale 𝑉𝑛 (ou 𝐶𝑛), valeur de la traite à son

échéance. Cette valeur diminuée de l’escompte est la valeur actuelle 𝑉0 (ou 𝐶0).

𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒𝑉0 = 𝑉𝑛 − 𝐸𝐶

(e = taux d’escompte)

Exemple : Une entreprise négocie un effet de commerce à échéance du 15 mai et de

montant nominal 90 000,00 € , 70 jours avant son échéance. Taux de

l’escompte e = 11%.

Calculer l’escompte commercial et la somme que recevra l’entreprise.

𝐸𝐶 = 90 000 ∙70

360∙11

100= 1925,00 €

𝑉0 = 90 000 − 1925 = 88 075,00 €

Remarque : On parle aussi d’escompte rationnel 𝐸𝑅, intérêt de la valeur actuelle de

l’effet depuis le 1er

jour de la négociation jusqu’au jour de l’échéance.

𝐸𝑅 = 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒

MAST 61

c) Relation entre e et i

Nous savons que 𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒

⇒ 𝑉0 = 𝑉𝑛 − 𝐸𝐶 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒 ⟹ 𝑉0 = 𝑉𝑛(1 − 𝑛𝑒)

Or l’escompte payé par le client est aussi l’intérêt perçu par l’organisme financier.

𝐼 = 𝐸𝐶 ⇒ 𝑉0 ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒

⇒ 𝑉𝑛(1 − 𝑛𝑒) ∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒

⇒ (1 − 𝑛𝑒) ∙ 𝑖 = 𝑒

⇒ 𝑖 =𝑒

1 − 𝑛𝑒

⇒ 𝑉𝑛

1 + 𝑛𝑖∙ 𝑛 ∙ 𝑖 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑒

⇒ 𝑒 =𝑖

1 + 𝑛𝑖

d) Échéance commune

La date d’échéance commune T est celle qui permet à un débiteur de remplacer

plusieurs effets par un seul paiement équivalent.

Le raisonnement consiste à utiliser le jour de la négociation comme date

d’équivalence, jour où la valeur actuelle du nouvel effet est égale à la somme de

celles des effets remplacés.

Soient les 𝑁 effets 𝑉1, 𝑉2, … , 𝑉𝑁 échéants au dates 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑁.

Les mesures de temps sont données par :

𝑛𝑘 =𝑗𝑘360

et 𝑗𝑘 = 𝑡𝑘 − 𝑡0

𝑉1 𝑉2 𝑉𝑁

𝑡1 𝑡2 𝑡0 𝑡𝑁

𝑗1

𝑗2

j

𝑗𝑁

MAST 62

Soient la date d’échéance commune T, donnant 𝑗 = 𝑇 − 𝑡0 (avec 𝑛 = 𝑗 360⁄ ) et

le taux d’escompte e.

Le calcul du montant recherché est donné par l’équation générale :

𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)

𝑁

𝑘=1

⟹ 𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘 −∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

=∑𝑉𝑘 − 𝑒∑𝑉𝑘𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

En pratique, un autre raisonnement consiste à utiliser la date d’échéance commune

comme origine au lieu de la date d’équivalence (𝑡0 = 𝑇 ⇒ 𝑗 = 𝑛 = 0).

Dans ce cas, les 𝑝 paiements qui précèdent la date d’échéance T sont en retard. Les

jours 𝑗𝑘 = 𝑇 − 𝑡𝑘 ; le débiteur paie des intérêts qui se rajoutent avec un

taux 𝑖 équivalent au taux d’escompte 𝑒. 𝑖 = 𝑒

Les q paiements en avance qui restent (𝑞 = 𝑁 − 𝑝) sont des escomptes qui sont

soustraits, avec les jours 𝑗𝑘 = 𝑡𝑘 − 𝑇 .

A partir de l’équation générale, nous pouvons la réécrire sous la forme :

𝑉 =∑𝑉𝑘(1 + 𝑛𝑘𝑖)

𝑝

𝑘=1

+ ∑ 𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒) =

𝑁

𝑘=𝑝+1

∑𝑉𝑘 +∑𝑉𝑘𝑛𝑘

𝑝

𝑘=1

𝑖 − ∑ 𝑉𝑘

𝑁

𝑘=𝑝+1

𝑛𝑘𝑒

𝑁

𝑘=1

𝑉 = ∑𝑉𝑘 +∑𝐼𝑘

𝑝

𝑘=1

− ∑ 𝐸𝑘

𝑁

𝑘=𝑝+1

𝑁

𝑘=1

=∑𝑉𝑘 +∑𝑉𝑘𝑗𝑘360

𝑝

𝑘=1

𝑖 − ∑ 𝑉𝑘𝑗𝑘360

𝑁

𝑘=𝑝+1

𝑒

𝑁

𝑘=1

Le montant vaut la somme des dettes,

augmentée des intérêts et diminuée des escomptes

𝑉1 𝑉2 𝑉𝑁

𝑗2

𝑗1 𝑗𝑁

𝑡1 𝑡2 𝑡𝑁

MAST 63

Exemple :

Une société désire régler par un paiement unique, à la date du 15 juin, les effets

suivants :

1350,00 € au 8 mars.

3260,00 € au 20 avril.

2520,00 € au 15 août.

4270,00 € au 8 septembre.

Quelle somme devra-t-on payer si le taux d’escompte est de 4,5 % ?

1°) ∑𝑉𝑘 = 1350 + 3260 + 2520 + 4270 = 11 400 €

4

𝑘=1

2°) 𝑗1 = 23 + 30 + 31 + 15 = 99 ⇒ 𝐼1 = 1350 ∙99

360∙4,5

100= 16,71 €

𝑗2 = 10 + 31 + 15 = 56 ⇒ 𝐼2 = 3260 ∙56

360∙4,5

100= 22,82 €

⇒ ∑ 𝐼𝑘 = 16,71 + 22,82 = 39,53 €

2

𝑘=1

3°) 𝑗3 = 15 + 31 + 15 = 61 ⇒ 𝐸3 = 2520 ∙61

360∙4,5

100= 19,22 €

𝑗4 = 15 + 31 + 31 + 8 = 85 ⇒ 𝐸4 = 4270 ∙85

360∙4,5

100= 45,37 €

⇒ ∑𝐸𝑘 = 19,22 + 45,37 = 64,59 €

4

𝑘=3

Une autre méthode consiste à dresser un tableau en prenant les 𝐸𝐾 comme des

intérêts négatifs. Alors les 𝑗𝑘 correspondants sont également négatifs.

Montants 𝑉𝑘 Échéances 𝑡𝑘 Jours 𝑗𝑘 Intérêts 𝐼𝑘 Escomptes 𝐸𝑘

1350 8/3 99 16,71

3260 20/4 56 22,82

2520 15/8 – 61 – 19,22

4270 8/9 – 85 – 45,37

11400 39,53 – 64,59

⟹ 𝑉 = 11 400 + 39,53 − 64,59 = 11 374,94 €

Remarque : Si, par exemple, nous avions pris le 28 février comme référence, nous

aurions obtenu V = 11 374,61 €. Résultat légèrement différent.

MAST 64

e) Échéance moyenne

Nous venons de voir que le choix de la date de référence pour une échéance

commune modifie sensiblement le résultat du nouveau paiement.

Il existe un cas particulier où la valeur nominale est indépendante de cette date.

Commençons par déterminer ce montant à partir de la relation générale :

𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)

𝑁

𝑘=1

Afin d’éliminer n sans l’annuler, il suffit de décaler la date 𝑡0 jusqu’à T de j jours

(voir schéma) ; c’est-à-dire : 𝑛𝑘 → 𝑛𝑘 − 𝑛

⇒ 𝑉(1 − (𝑛 − 𝑛)𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − (𝑛𝑘 − 𝑛)𝑒)

𝑁

𝑘=1

⟹ 𝑉 = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)

𝑁

𝑘=1

+ 𝑛𝑒∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

⟹ 𝑉 = 𝑉(1 − 𝑛𝑒) + 𝑛𝑒∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

⟹ 𝑛𝑒𝑉 = 𝑛𝑒∑𝑉𝑘 ⇒ 𝑉 = ∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

La date d’échéance moyenne est celle qui permet à un débiteur de remplacer

plusieurs effets par leur somme comme paiement unique.

Le calcul de la date recherchée est donnée par :

𝑉(1 − 𝑛𝑒) = ∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)

𝑁

𝑘=1

⇒ (1 − 𝑛𝑒)∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

=∑𝑉𝑘(1 − 𝑛𝑘𝑒)

𝑁

𝑘=1

⟹ ∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

− 𝑛𝑒∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

=∑𝑉𝑘 −∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

⟹ 𝑛𝑒∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

=∑𝑉𝑘𝑛𝑘𝑒 ⟹

𝑁

𝑘=1

𝑛𝑒∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

= 𝑒∑𝑉𝑘𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

⇒ 𝑛∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

= 𝑛𝑉 =∑𝑉𝑘𝑛𝑘 ⇒ 𝑛 =1

𝑉∑𝑉𝑘𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

MAST 65

Etonnamment, on constate que 𝑛 est indépendant de 𝑒.

Bien sûr, on préfère utiliser des jours plutôt que des années ; pourtant, l’équation

restera inchangée. En effet :

𝑛 =1

𝑉∑𝑉𝑘𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

⇒ 𝑗

360=1

𝑉∑𝑉𝑘

𝑗𝑘360

𝑁

𝑘=1

⇒ 𝑗 =1

𝑉∑𝑉𝑘𝑗𝑘

𝑁

𝑘=1

Remarquons la ressemblance de cette formule avec la moyenne ∶ 𝑥 =1

𝑛∑𝑛𝑗𝑥𝑗

𝑘

𝑗=1

Exemple :

Calculer l’échéance moyenne des capitaux suivants :

3200,00 € au 5 juin.

700,00 € au 30 juin.

2100,00 € au 10 juillet.

1ère

méthode : On choisit le 31 mai comme date d’équivalence.

⇒ 𝑗1 = 5 , 𝑗2 = 30 , 𝑗3 = 40

𝑉𝑘 𝑡𝑘 𝑗𝑘 𝑉𝑘𝑗𝑘

3 200 5/06 5 16 000

700 30/06 30 21 000

2 100 10/07 40 84 000

6 000 121 000

⇒ 𝑗 =3 200 ∙ 5 + 700 ∙ 30 + 2 100 ∙ 40

3 200 + 700 + 2 100=121 000

6 000= 20,17 jours

⇒ La date d’échéance est le 20 juin.

MAST 66

2ème

méthode : On choisit de se servir d’une table journalière.

Très facile à construire, cette table donne le jème

jour de l’année, comme s’il

s’agissait de choisir le 31 décembre comme date d’équivalence.

Ainsi, pour une année non bissextile, nous avons :

𝑗1/01 = 1 , 𝑗31/01 = 31 , 𝑗1/02 = 32 , … , 𝑗15 06⁄ = 166 , … , 𝑗31 12⁄ = 365

Pour notre exercice, nous trouvons dans la table :

𝑗5 06⁄ = 156 , 𝑗30 06⁄ = 181 , 𝑗10 07⁄ = 191

𝑉𝑘 𝑡𝑘 𝑗𝑘 𝑉𝑘𝑗𝑘

3 200 5/06 156 499 200

700 30/06 181 126 700

2 100 10/07 191 401 100

6 000 1 027 000

⇒ 𝑗 =3 200 ∙ 156 + 700 ∙ 181 + 2 100 ∙ 191

3 200 + 700 + 2 100=1 027 000

6 000= 171,1667

⇒ Le 171ème

jour de l’année est le 20 juin.

2. Les intérêts composés

a) Définition

Un capital est dit placé à « intérêts composés » lorsque, à l’issue de chaque période

de placement, les intérêts s’ajoutent au capital et portent eux-mêmes intérêts au taux

du contrat initial. Ce principe est appelé capitalisation des intérêts. En pratique, c’est

une opération à long terme ; c’est-à-dire qui excède une année.

Soit 𝑉0 le capital placé pour 𝑛 années au taux d’intérêt annuel, à terme échu, 𝑖.

Au bout d’un an, le capital devient : 𝑉1 = 𝑉0 + 𝐼1 = 𝑉0 + 𝑖𝑉0 = 𝑉0(1 + 𝑖) comme

pour les intérêts simples.

Au bout de 2 ans, nous avons : 𝑉2 = 𝑉1 + 𝑖𝑉1 = 𝑉1(1 + 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑖)2

De façon générale, à la fin de la nième

année, le capital placé devient :

𝑉𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖)𝑛 = 𝑉0 𝑢

𝑛

en posant 𝑢 = 1 + 𝑖 ⇒ 𝐼 = 𝑉0(𝑢

𝑛 − 1)

MAST 67

Cette formule est tout à fait générale. Elle reste valide si la période de capitalisation

n’est pas annuelle. On convient alors que 𝑛 est le nombre de période, et 𝑖 le taux

d’intérêt à terme échu versé pour une période.

Pour faire une conversion d’un taux annuel vers un autre, soit un capital 𝑉0 placé

pendant 𝑛 années, mais avec des intérêts capitalisés 𝑝 fois par an, au taux 𝑖𝑝.

𝑉𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖)𝑛 = 𝑉0(1 + 𝑖𝑝)

𝑛∙𝑝

Ou encore, pendant un an (𝑛 = 1) :

𝑉1 = 𝑉0(1 + 𝑖) = 𝑉0(1 + 𝑖𝑝)𝑝

Nous venons de définir le taux équivalent 1 + 𝑖 = (1 + 𝑖𝑝)𝑝

⇒ 𝑖 = (1 + 𝑖𝑝)

𝑝− 1

𝑖𝑝 = (1 + 𝑖)1/𝑝 − 1

Et donc :

(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑠)2 = (1 + 𝑖𝑡)

4 = (1 + 𝑖𝑚)12 = (1 + 𝑖𝑗)

360

𝑖𝑎 = taux annuel, 𝑖𝑠 = taux semestriel, 𝑖𝑡 = taux trimestriel,

𝑖𝑚 = taux mensuel, 𝑖𝑗 = taux journalier

Exemple :

𝑖𝑚 = (1 + 𝑖𝑎)1/12 − 1 = √1 + 𝑖𝑎

12 − 1

b) Escompte, échéance commune et échéance moyenne

L’escompte se base sur la recherche de la valeur actuelle, ce qu’on appelle

l’actualisation, soit :

𝑉0 =𝑉𝑛

(1 + 𝑖)𝑛=𝑉𝑛𝑢𝑛 (𝐸𝑐 = 𝑉𝑛 − 𝑉0)

En se basant sur ce que nous avons vu dans le cas des intérêts simples, le calcul du

montant à la date d’échéance commune est donné par :

𝑉

𝑢𝑛=∑

𝑉𝑘𝑢𝑛𝑘

⇒ 𝑉 = ∑𝑉𝑘 𝑢𝑛−𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

𝑁

𝑘=1

Et pour le calcul de la date d’échéance moyenne :

𝑛 =log𝑉 − log𝑉0

log 𝑢=log𝑉 𝑉0⁄

log 𝑢 avec 𝑉 = ∑𝑉𝑘

𝑁

𝑘=1

𝑒𝑡 𝑉0 =∑𝑉𝑘𝑢𝑛𝑘

𝑁

𝑘=1

MAST 68

c) Taux annuel effectif global TAEG

Le TAEG (ou TEG) est le taux annuel qui englobe toutes les charges mises sur le

crédit selon la loi. Pour calculer une mensualité, on utilise une table comme

ci-dessous.

TAEG 30 mois 36 mois 42 mois 48 mois 60 mois

5 % 35,48 € 29,92 € 25,95 € 22,97 € 18,82 €

5,5 % 35,69 € 30,13 € 26,16 € 23,19 € 19,03 €

6 % 35,90 € 30,35 € 26,38 € 23,41 € 19,25 €

6,5 % 36,12 € 30,56 € 26,60 € 23,62 € 19,47 €

7 % 36,33 € 30,77 € 26,81 € 23,84 € 19,70 €

8 % 36,76 € 31,20 € 27,24 € 24,28 € 20,14 €

9 % 37,18 € 31,63 € 27,68 € 24,71 € 20,58 €

10 % 37,61 € 32,06 € 28,11 € 25,15 € 21,03 €

Ce tableau donne les mensualités calculées pour un emprunt de 1 000,00 €

sur 𝑚 mois à un TAEG 𝑖.

Exemple : Soit un emprunt pour un TAEG de 10 % sur 48 mois (hors frais de

dossiers).

Pour un emprunt de 1 000,00 €, nous trouvons dans le tableau une

mensualité 𝑀 = 25,15 €.

Si l’emprunt est en réalité de 25 000,00 € ; alors :

𝑀 = 25,15 ∙25 000

1 000= 628,75 €

Le coût de l’emprunt est de (628,75 ∙ 48) − 25 000 = 5 180,00 €

MAST 69

3. Exercices

A. Intérêts simples

1) Calculer l'intérêt dans chacun des cas suivants :

Capital Nombre de périodes Taux d'intérêt Intérêt

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2 600,00 €

95 000,00 €

390,00 €

4 000,00 €

25 000,00 €

6 600,00 €

6 500,00 €

205 000,00 €

31 000,00 €

2 ans

7 ans

3 ans

3 mois

7 mois

16 mois

25 jours

40 jours

100 jours

9 %

11 %

3 %

7 %

3,5 %

8 %

13 %

2,5 %

1,25 %

2) Pierre place 36 000,00 € pendant 3 ans sur un livret de dépôt au taux de base

de 2,25 %. Quel intérêt cela lui rapporte-t-il ? S'il avait placé ce montant pendant 11

mois, combien cela lui aurait-il rapporté ? S'il l'avait placé que pendant 15 jours,

combien aurait-il reçu ?

3) Un ordinateur est vendu au prix de 1 299,00 €. Paul verse un acompte de 299,00 €.

Il emprunte le montant restant en prêt personnel au taux de 13 %.

Calculer le montant de chacune des 20 mensualités.

4) Quel est l'intérêt de 9 360,00 € placés à intérêts simples pendant 82 jours au taux

de 6 % ?

5) Quel est l'intérêt global à 4,5 % de …

a) 387,70 € pendant 81 jours ?

b) 1 529,50 € pendant 60 jours ?

c) 3 750,00 € pendant 45 jours ?

6) Quel est le capital qui, placé à 9 % du 27 janvier au 7 avril, rapporte un intérêt

de 210,00 € ? (Année non bissextile)

MAST 70

7) Pendant combien de temps faudra-t-il placer 4 500,00 € à 4 % pour obtenir 600,00 €

d'intérêt ?

8) Au bout de 2 ans 6 mois et 10 jours, un capital augmenté de ses intérêts simples,

calculés à 3,6 %, est devenu 10 910,00 € Quel est ce capital ?

9) Une personne devrait payer une dette le 16 avril, elle ne l'a payée que le 15 juin,

ce qui a augmenté la dette de 55,00 €. L'intérêt étant compté à 5 %, combien devrait

cette personne ?

10) Quelle est la valeur acquise d'un capital de 2 000,00 € placé à intérêts simples pendant

7 ans au taux de 3,5 % ?

11) Un capital de 10 000,00 € est placé à 6 % l'an, pendant 3 ans et 4 mois. Quelle est sa

valeur acquise en fin de placement ?

12) Nous disposons d'un capital de 10 000,00 € que nous plaçons à 12 % l'an. On voudrait

obtenir 11 800,00 € en fin de placement. Quelle doit être la durée de ce placement ?

13) Nous désirons obtenir 28 400,00 € dans 3 ans et 6 mois avec un placement de 12 %

l'an. Quel doit être le capital initial ?

14) Quel est le montant des intérêts fournis par un placement de 3 480,00 € pendant

7 mois au taux d'intérêt annuel de 4,5 % ?

15) Quelle somme doit-on placer aujourd'hui sur un compte rapportant à intérêts simples

7,5 % l'an pour obtenir 5 000,00 € dans 11 mois ?

16) Quel est l'escompte d'un effet de 920,00 € échéant le 18 mai et négocié le 27 avril au

taux de 3 % ?

17) Un effet payable dans 5 mois est escompté à 6 %. Sa valeur actuelle est de 438,75 €.

Quelle est sa valeur nominale ?

18) Un effet de 12 725,00 € a été escompté à 144 jours. Le banquier retient un escompte

de 127,25 €. Quel est le taux d'escompte ?

MAST 71

19) Une entreprise négocie un effet de commerce à échéance du 15 mai et de valeur

nominale 90 000,00 €, 70 jours avant son échéance. Taux de l'escompte : 11 %.

Calculer l'escompte et la somme que recevra l'entreprise.

20) Quelle est la somme due au 20 septembre, au lieu de 5 000,00 € le 10 septembre,

8 000,00 € le 15 septembre et 3 000,00 € le 30 septembre ? Taux : 4 %.

21) Une entreprise est débitrice de deux effets : 4 000,00 € à échéance du 31 octobre,

6 000,00 € à échéance du 30 novembre. Elle demande à son créancier de remplacer ces

deux effets par un effet unique de 10 000,00 €. Quelle est la date d'échéance de ce

nouvel effet ? Taux : 12 %.

22) Un client doit à un même créancier 1 200,00 € payables le 12 mai, 8 000, 00 €

payables le 18 juin et 20 000,00 € payables le 18 août. A quelle date pourra-t-il

s'acquitter par un paiement unique de 22 000,00 € ?

B. Intérêts composés

23) Calculer le capital acquis par une somme de 700,00 € placés à intérêts composés au

taux annuel de 4,5 % au bout de 6 ans.

24) Un capital de 10 000 € est placé à intérêts simples pendant 4 ans au taux annuel

de 6 %, puis à intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 5 %. Calculer la

valeur acquise au bout des 4 ans, puis au bout des 7 années.

25) Les cartes de crédit, proposées par les grands magasins pour un paiement différé des

achats, sont souvent à un taux proche du taux d'usure (taux d'intérêt maximum fixé par

la loi). En 1998, le taux était de 14 %, à intérêts composés. Combien un article

de 450,00 € payé seulement au bout de 3 ans coûte-t-il réellement ?

26) Soit un capital de 150 000,00 € placé à intérêts composés :

8 % pendant les 2 premières années.

9 % pendant les 3 suivantes.

11% pendant les 4 dernières.

Quelle est la valeur acquise par ce placement en fin de période ?

Quel est le taux moyen annuel du placement ?

MAST 72

11

132

160

191

1121

1152

22

233

261

292

2122

2153

33

334

362

393

3123

3154

44

435

463

494

4124

4155

55

536

564

595

5125

5156

66

637

665

696

6126

6157

77

738

766

797

7127

7158

88

839

867

898

8128

8159

99

940

968

999

9129

9160

10

10

10

41

10

69

10

100

10

130

10

161

11

11

11

42

11

70

11

101

11

131

11

162

12

12

12

43

12

71

12

102

12

132

12

163

13

13

13

44

13

72

13

103

13

133

13

164

14

14

14

45

14

73

14

104

14

134

14

165

15

15

15

46

15

74

15

105

15

135

15

166

16

16

16

47

16

75

16

106

16

136

16

167

17

17

17

48

17

76

17

107

17

137

17

168

18

18

18

49

18

77

18

108

18

138

18

169

19

19

19

50

19

78

19

109

19

139

19

170

20

20

20

51

20

79

20

110

20

140

20

171

21

21

21

52

21

80

21

111

21

141

21

172

22

22

22

53

22

81

22

112

22

142

22

173

23

23

23

54

23

82

23

113

23

143

23

174

24

24

24

55

24

83

24

114

24

144

24

175

25

25

25

56

25

84

25

115

25

145

25

176

26

26

26

57

26

85

26

116

26

146

26

177

27

27

27

58

27

86

27

117

27

147

27

178

28

28

28

59

28

87

28

118

28

148

28

179

29

29

29

88

29

119

29

149

29

180

30

30

30

89

30

120

30

150

30

181

31

31

31

90

31

151

TA

BL

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OU

RN

AL

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E

Jan

vie

rF

év

rie

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ars

Av

ril

Mai

Ju

in

MAST 73

1182

1213

1244

1274

1305

1335

2183

2214

2245

2275

2306

2336

3184

3215

3246

3276

3307

3337

4185

4216

4247

4277

4308

4338

5186

5217

5248

5278

5309

5339

6187

6218

6249

6279

6310

6340

7188

7219

7250

7280

7311

7341

8189

8220

8251

8281

8312

8342

9190

9221

9252

9282

9313

9343

10

191

10

222

10

253

10

283

10

314

10

344

11

192

11

223

11

254

11

284

11

315

11

345

12

193

12

224

12

255

12

285

12

316

12

346

13

194

13

225

13

256

13

286

13

317

13

347

14

195

14

226

14

257

14

287

14

318

14

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15

196

15

227

15

258

15

288

15

319

15

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16

197

16

228

16

259

16

289

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17

229

17

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17

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18

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291

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19

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19

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20

201

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21

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21

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21

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22

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326

22

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23

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23

235

23

266

23

296

23

327

23

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24

205

24

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24

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25

206

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25

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28

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28

271

28

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28

332

28

362

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210

29

241

29

272

29

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29

333

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211

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31

212

31

243

31

304

31

365

TA

BL

E J

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ille

tA

oû

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ep

tem

bre

Octo

bre

No

ve

mb

reD

éce

mb

re

MAST 74

Bibliographie

Algèbre 1, S. Lorent, R. Lorent, De Boeck

Le calcul : Précis d'algèbre et d'arithmétique, Mathieu Scavenne, Librio

M41, S. & R. Lorent, Ed. De Boeck

M51, S. & R. Lorent, Ed. De Boeck

Savoir et savoir-faire Mathématique 4T, Boutriau, Paternottre, Dessain

Savoir et savoir-faire Mathématique 5 et 6T, Boutriau, Paternottre, Dessain

Comprendre les mathématiques financières, Didier Schlacther, Hachette Supérieur