matematika ekonomi /bisnis differensial / turunan · pdf fileturunan (derivative) membahas...

Matematika Ekonomi /Bisnis

Dosen : D. Rizal Riyadi SE,.ME

Differensial / turunan

X1 X2

Y1

Y2

ILUSTRASI

Y = a + b X

a

Y = 3 + 1,5 X

X1 = 1 -> Y1 = 4,5 X2 = 3 -> Y2 = 7,5 X3 = 1,5 -> Y3 = 5,25

Y2 - Y1 3 -------- = --- = 1,5 X2 - X1 2

X1 X2 X3 X4

Y1

Y2

Y3

Y4 Perubahan X1 ke X2 sama dengan X3 ke X4 , tapi memberikan perubahan Y1 ke Y2 < Y3 ke Y4

Turunan (derivative) membahas

tentang tingkat perubahan suatu

fungsi sehubungan dengan

perubahan kecil dalam variabel

bebas fungsi yang bersangkutan.

Dengan turunan dapat pula disidik

kedudukan-kedudukan khusus

dari fungsi.

• Berdasarkan manfaat-manfaatnya inilah konsep turunan menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam ekonomi dan bisnis.

• Sebagaimana diketahui, analisis dalam ekonomi dan bisnis sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.

Atau :

Biaya Marjinal

Adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit

tambahan produk.

Biaya Marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi biaya total.

Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q), maka

Contoh :

Biaya Total =C=f(Q)= Q3 - 3Q2 +4Q+4

Maka, biaya marjinal = MC = C’ = 3Q2 - 6Q + 4

APLIKASI EKONOMI

Penerimaan Marjinal

Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan

bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual

Fungsi penerimaan marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi

penerimaan total.

Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f (Q), maka

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 –

2Q. Tentukan penerimaan marjinalnya!

Maka: Penerimaan Total = R = P x Q = (16 - 2Q)Q = 16Q –

2Q2

Penerimaan marjinal = MR = R’ = 16 – 4Q

Hubungan Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-rata

Pada posisi AC minimun : MC = AC

AC minimum jika AC’ = 0 MC = C’ AC = C/Q

MC = C’ = 3Q2 – 12Q + 15 AC = C/Q = Q2 - 6Q + 15 AC minimum jika AC’ = 0

2Q – 6 = 0 2Q = 6 Q = 3

Jadi, AC minimum ketika Q = 3

MC = 3(3)2 – 12 (3) +15= 6

AC = 32 – 6(3) +15 = 6

Produk Marjinal

ialah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor

produksi yang digunakan.

Fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total

Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P =f(X), maka produk marjinalnya:

Produksi total = P = f(X) 9X2 – X3,

maka

Produk marjinalnya adalah

MP = P’ = 18X – 3X2

Hubungan Produk Marjinal dengan Produk Rata-Rata

Pada posisi AP minimun : MP = AP

AP minimum jika AP’ = 0 MP = P’ AP = P/X

MP = P’ = 18X – 3X2

AP = P/X = 9X – X2

AP minimum jika AP’ = 0

9 – 2X = 0

2X = 9

X = 4,5

Jadi, AP minimum ketika

X = 4,5

MP = 18(4,5) – 3(4,5)2 = 20,25

AP = 9(4,5) – (4,5)2 = 20,25

APLIKASI EKONOMI

Elastisitas Permintaan

Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang

diminta akibat adanya perubahan harga.

Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas

permintaannya:

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan

Qd=25 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaannya jika tingkat

harga P = 5 !

Qd = 25 – 3P2 Q’d = -6P

Artinya, harga naik (turun) sebesar 1 persen maka jumlah barang yang

diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 persen

Elastisitas Penawaran

Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang

yang ditawarkan akibat adanya perubahan harga.

Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f(P), maka elastisitas

penawarannya:

Contoh :

Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan

Qs=-200+7P2. Tentukan elastisitas penawarannya jika tingkat

harga P = 10 !

Qs = -200 + 7P2 -- -Q’d = 14P

Elastisitas Produksi

Suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah

keluaran yang dihasilkan akibat adanya perubahan jml masukan

yang digunakan

Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f(X), maka elastisitas

produksinya:

Contoh :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P =

6X2 – X3. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat

penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit !

P = 6X2 – X3 -- P’ = 12X – 3X2

Analisis Keuntungan Maksimum

Tingkat produksi yang memberikan keuantungan maksimum, atau

menimbulkan kerugian maksimum, dapat disidik dengan pendekatan

diferensial.

π = R – C

π optimum jika π’ = 0

Untuk mengetahui apakah π’ = 0 adalah keuntungan maksium

ataukah kerugian maksimum, perlu diuji melalui derivatif kedua dari

fungsi π

R, C

π = -Q3 + 57Q2 – 315Q - 2000

Maka, agar keuntungan maksimum:

-3Q2 + 114Q – 315 = 0

Q1 = 3 ; Q2 = 35

π” = -6Q + 114

Q = 3, maka π” = 96 >0

Q = 35, maka π” =-96 <0

Maka tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum adalah Q = 35 unit, dengan besar keuntungannya adalah

π = -(35)3 + 57(35)2 – 315(35) – 2000 = 13.925

Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Jawab :

Biaya rata-rata = C(x)/x = 3200+3,25x-0,0003x2 / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000

= 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150

Biaya marjinal = dc/dx

= 3,25-0,0006x = 3,25-0.0006 (1000) = 2,65

Maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 pada x=1000

Dari hasil di atas, dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

KASUS