matematika – matematika – 1 1. zadatak 548 (mario, maturant) u jednoj se trgovini od po četka...
Post on 29-Dec-2019
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
matematika – www.halapa.com
1
1.
Zadatak 232 (Filip, gimnazija)
Riješi jednadžbu ( )
22
11 1
x xn n
x x+ = ⋅ −
+ −
, gdje je n realan broj, n ≠ – 1, n ≠ 2.
Rješenje 232
Ponovimo!
( ) ,2 2 2
.1
,2n m n m
a b a a b b a a a a a+
+ = + ⋅ ⋅ + = ⋅ =
( ) ( ) ,2
.2 a c a d b c
a b a b a bb d b d
⋅ + ⋅− = − ⋅ + + =
⋅
( )2 2 2
2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
−
-
matematika – www.halapa.com
2
( )
2 22
1 021 1 1
x x xn n
x x x
⋅⇒ + − − ⋅ − = ⇒
+ − −
( ) ( )
( ) ( )( )
2 21 1 2
1 021 1 1
x x x x xn n
x x x
⋅ − + ⋅ + ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒
+ ⋅ − −
( )
22 2 2
21 0
2 21 1
x x x x xn n
x x
− + + ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒
− −
( ) ( )
2 22 2 2 2 2
2 2 21 0 1 0.
2 2 2 21 1 1 1
x x x x xn n n n
x x x x
x x+ ⋅ ⋅ ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒ − − ⋅ − =
− − − −
− +
Uvedemo zamjenu 2
2.
21
xt
x
⋅=
−
Dalje slijedi:
( )( )
( )
21 02
1 01 , 1 , 1
t t n nt t n n
a b c n n
− − ⋅ − =− − ⋅ − = ⇒ ⇒
= = − = − ⋅ −
( )( ) ( ) ( )( )
1 , 1 , 1 21 1 4 1 1
21,24 2 1
1,2 2
a b c n nn n
tb b a c
ta
= = − = − ⋅ −− − ± − − ⋅ ⋅ − ⋅ −
⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅
=⋅
( ) 2 21 1 4 1 1 1 4 4 1 4 4 11,2 1,2 1,22 2 2
n n n n n nt t t
± + ⋅ ⋅ − ± + ⋅ − ⋅ ± ⋅ − ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
( )2
1 2 1 2 1.
1,2 1,22 2
n nt t
± ⋅ − ± ⋅ −⇒ = ⇒ =
Sada je:
• ( )
1 2 1
11 2 1 22 1 0 2 1 2 1
1,2 1 2 12
2 2
nt
nn n n t
nt
+ ⋅ −=
± ⋅ −⋅ − ≥ ⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒ = ⇒ ⇒
− ⋅ +=
( ) ( )
221 11 22 1
.2 1 12 2 1
22 2 22 2
21 1
2
2
2
n nnt tt t n
n nn t nt t t
⋅ ⋅+ ⋅= == =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ − ⋅ −− ⋅ = −
= = =
−
• ( )( )1 2 1
2 1 0 2 1 2 1 2 13,4 2
nn n n n t
± − ⋅ +⋅ − < ⇒ ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ + ⇒ = ⇒
( )
( ) ( )1 2 1 2 1 2 12 23 3 3 32 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 244 4 422 2 2
1 1
n n nnt t t t
n n n ntt t t
− ⋅ + ⋅ − ⋅ −− ⋅= = = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − ⋅ + + ⋅ − + ⋅ ⋅
== = =−
-
matematika – www.halapa.com
3
( )2
2
2
2
113 3
.
44
nt t n
t nnt
⋅ −= = −
⇒ ⇒=⋅
=
Rješenja su:
, 1 .1 2t n t n= = −
Vraćamo se zamjeni:
• ( ) ( )2
2 2 22 2 2 22 2 11 2 2
1
/ 1
1
2x
t x xn n x n xx
x xt n
x
⋅= ⋅ ⋅
⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒− ⋅ −− −
=
( )2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2x n x n n x n x n x x n n x n⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒
( )2 2 2
2 .1,22
1/ /
2 2 2
n n nn x n x x x
n n nn⇒ − ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
− − −⋅
−
• ( ) ( ) ( )2/2
2 2 22 2 2 22 1 1 2 1 11 2 2
1 11
1
xt x x
n n x n xxx x
t n
x
⋅= ⋅ ⋅
⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⋅⋅ = − ⋅ − ⇒−− −
−
= −
2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1x x n x n x x n x n x n x n⇒ ⋅ = − − ⋅ + ⇒ ⋅ − + ⋅ = − + ⇒ + ⋅ = − ⇒
( ) ( )12 2 21
/1
1 1 1 11
nn x n n x n x
n n
−⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ =
+ +⋅ ⇒
1 12.
3, 1/
41
n nx x
n n
− −⇒ = ⇒ = ±
+ +
Vježba 232
Odmor!
Rezultat: …
-
matematika – www.halapa.com
4
2.
Zadatak 104 (Goran, gimnazija)
Odredite točku pravca y = 7 · x – 15 koja je najbliža grafu funkcije ( )1 4
3 4.8
f x x x= ⋅ + ⋅ −
Rješenje 104
Ponovimo!
1, , , .
b a c b b a b n a c a d b ca a n
c c c c b d b d
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅+ = ⋅ = = − =
⋅
Oznake za derivaciju su:
( ) ( )( )' lim lim ' .
0 0
f x x f xdy yy f x
x xdx x x
+ ∆ −∆= = = =
∆ → ∆ →∆ ∆
Tablično deriviranje
Funkcija Derivacija
c
0
x 1
nx
1nn x
−⋅
Ako je c konstanta, a u = f(x), v = g(x) su funkcije koje imaju derivacije, onda je
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '
,'.c f x c f x f x g x f x g x⋅ = ⋅ ± = ±
Ako je pravac tangenta na graf funkcije f, onda je njegov koeficijent smjera jednak derivaciji funkcije
u točki x0: ( )' .k f x=�
Jednadžba pravca oblika
y k x l= ⋅ +
naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi y. Uvjet usporednosti (paralelnosti):
Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama y = k1 · x + l1, y = k2 · x + l2, tada su usporedni ako i samo ako je
1 2.k k=
Uvjet okomitosti:
Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama y = k1 · x + l1, y = k2 · x + l2, k1, k2 ≠ 0, tada su okomiti ako i samo ako je
1 11
1 2 1 2.
2 1
k k k kk k
⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −
Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(x1, y1) glasi
( )1 .1y y k x x− = ⋅ − Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
-
matematika – www.halapa.com
5
Deriviramo funkciju f kako bismo našli koeficijent smjera tangente na njezin graf.
( ) ( )'
1 14 43 4 ' 3 4
8 8f x x x f x x x= ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( ) ( )' '1 1'4 4
' 3 4 ' ' 3 ' 08 8
f x x x f x x x⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒
( ) ( ) ( )48
1 1 13 3 3' 4 3 1 ' 3 1 ' 3.
8 2f x x f x x f x x⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ +
Pravac y = 7 · x – 15 ima koeficijent smjera k = 7. Budući da su tangenta i pravac usporedni mora biti
( )1 1 1 13 3 3 3
' 7 3 7 7 3 4 42 2
22
/2
f x x x x x= ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅= ⇒
33 3 38 8 8 2./x x x x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Računamo y.
21 1 14
2 3 2 4 16 6 4 21 48 83 4
8
168
x
y y yy x x
=
⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + − ⇒ = ⋅ + ⇒= ⋅ + ⋅ −
2 2 4.y y⇒ = + ⇒ =
Dakle, tangenta dira graf funkcije f u točki T(2, 4). U toj točki konstruiramo okomicu na tangentu. Njezin koeficijent smjera, zbog okomitosti pravaca, je
1.
7k = −
( ) ( )( ) ( )1
, 2, 41 1 1
4 21 71
7
T x
y y k x
y T
y x
k
x
=
⇒ ⇒ − = − ⋅ − ⇒=
− = ⋅ −
−
1 2 1 2 1 304 4 .
7 7 7 7 7 7y x y x y x⇒ − = − ⋅ + ⇒ = − ⋅ + + ⇒ = − ⋅ +
Tražena točka S je sjecište pravaca 1 30
7 15 i .7 7
y x y x= ⋅ − = − ⋅ +
Riješimo sustav!
7 151 30 1 30
7 15 7 151 307 7
/ 77 7
7 7
y x
x x x xy x
= ⋅ −
⇒ ⋅ − = − ⋅ + ⇒ ⋅ − = − ⋅⋅ + ⇒= − ⋅ +
49 105 30 49 30 105 50 135 50 135 / : 50x x x x x x⇒ ⋅ − = − + ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
135135 27.
050 105x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =
Računamo y.
2727 189 15 189 150 39
7 15 .1010 10 1 10 10
7 15
xy y y y
y x
= −⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
= ⋅ −
Točka je:
-
matematika – www.halapa.com
6
( )27 39
, , .10 10
S x y S=
Vježba 104
Odmor!
Rezultat: …
-
matematika – www.halapa.com
7
3.
Zadatak 106 (Andrija, maturant)
Koliko rješenja ima jednadžba 2 3x m m⋅ − − = ako je parametar m > 0?
. točno jedno . točno dva . točno tri . točno četiriA B C D Rješenje 106
Ponovimo!
Parametar
Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− ⇒ = ⇒ =
=
2 3 2 32 3
2 3 2 3
x m m xx m m
x
m
m x
m
m m m
⋅ − − = − ⋅ − =⋅ − − = ⇒ ⇒ ⇒
⋅ − − = +
−
⋅ − =
−
2 3 0 2 32 3 0
2 3 2 2 2 32 3 2
2 3 2 2 2 3
x xx
x m x mx m
x m x m
⋅ − = ⋅ =⋅ − =
⇒ ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ + ⇒⋅ − = ⋅
⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ +
/ : 2
/ : 2
/ : 2
3
1 22 32 3
2 2 3 .2 2
2 2 32 3
3 2
x
xm
x m x
x mm
x
=
⋅ =− ⋅ +
⇒ ⋅ = − ⋅ + ⇒ =
⋅ = ⋅ +⋅ +
=
Odgovor je pod C.
Vježba 106
Koliko rješenja ima jednadžba 2 3 0x m⋅ − − = ako je parametar m > 0?
. točno jedno . točno dva . točno tri . točno četiriA B C D
Rezultat: B.
-
matematika – www.halapa.com
8
4.
Zadatak 868 (Ana, gimnazija)
Izračunajte vrijednost izraza 2 1x − za 1
gdje je 0, 0.2
a bx a b
b a
= ⋅ + > >
Rješenje 868
Ponovimo!
( ) ( ) ( )22 2 2
21
, , , .nn n n
a b a b a b a a b b a a n⋅ = ⋅ + = + ⋅ ⋅ + = =
, , , .1a c a d b c a c a d b cn m n m
a a a a ab d b d b d b d
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅++ = = ⋅ = − =
⋅ ⋅
( )2 2 2
2 , , .aa
a b a a b b a b a bb b
− = − ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
−
-
matematika – www.halapa.com
9
( ) ( )22
21 .
4 4 2
a b a ba bx
a b a b a b
− −−− = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vježba 868
Odmor!
Rezultat …
-
matematika – www.halapa.com
10
5.
Zadatak 121 (Tictac, gimnazija)
Odredite a tako da zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f(x) = x2 + a · x – 2 · (a + 1) bude najmanji.
Rješenje 121
Ponovimo!
( )2 2 2 2
2 , 0 .,a b a a b b a a R+ = + ⋅ ⋅ + ≥ ∈
Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi
( ) .0f x =�
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe
20x b x c+ ⋅ + =
zadovoljavaju Vièteove formule:
,1
.1 2 2
x x x xb c+ = − ⋅ =
Odredimo koeficijente funkcije f.
( ) ( )( ) ( )
( )
21 2 12
2 1 .1 , , 2 1
f x x a x af x x a x a
a b a c a
= ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ − ⋅ + ⇒
= = = − ⋅ +
Zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f je
( )2 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x x x x x x x+ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =
( ) ( )1 21 2
2 2 22 2 2
1 2 1 2
x x b
x x cx x x x b c b c
= + − ⋅ ⋅ = = − − ⋅ = − ⋅ =
+ = −
⋅ =
( )( )( ) ( ) ( )
22 2 22 2 1 4 1 .
2 14 4 2a a
b a
c aa a a a a
= = − ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ + = +
=
= − ⋅ +
Zaključujemo da je zbroj najmanji za 2 0 2.a a+ = ⇒ = −
Vježba 121
Odmor!
Rezultat: …
-
matematika – www.halapa.com
11
6.
Zadatak 528 (Tictac, gimnazija)
Izračunajte log 32 pomoću log 25.
Rješenje 528
Ponovimo!
.b a b
ac c
⋅⋅ =
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili obični logaritam.
log log10
.x x=
1log log log log log log10 1, , , log log .
2
ana n a a b a a
b= ⋅ = − = = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( )105
log32 log 2 5 log 2 5 log 5 log10 log5 5 1 log 255
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅ − =
1 55 1 log 25 5 log 25.
2 2
= ⋅ − ⋅ = − ⋅
Vježba 528
Izračunajte log 8 pomoću log 25.
Rezultat: 3
3 log 25.2
− ⋅
-
matematika – www.halapa.com
12
7.
Zadatak 550 (Suzy, srednja škola)
Broj 100 napišite u obliku produkta od pet jednakih faktora.
Rješenje 550
Ponovimo!
( ),1 , .nn m n m n
a a a a a a a+
= ⋅ = =
( )5
5 5 5 5 5 5100 100 100 100 100 100 100.⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
Vježba 550
Broj 10 napišite u obliku produkta od sedam jednakih faktora.
Rezultat: ( )7
710 10.=
-
matematika – www.halapa.com
13
8.
Zadatak 527 (Max, gimnazija)
Zbroj dvaju realnih brojeva x i y koji zadovoljavaju sustav ( )
3 2 16
log 42
x y
x y
−⋅ =
− =
iznosi:
. 4 . 4 . 8 . 8A B C D− −
Rješenje 527
Ponovimo!
( ) ( ), ,2 41
,2
, .
nna an n m n m
a a a a a a a an nba b
− += = = ⋅ = =
( ) ( ) ( ) ( ), , 1 , 0.n n
a b f x g xa a f x g x a a
b a
−
= = ⇒ = = ≠
�
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→
= =
1.inačica
( )( )
1 43 33 2 4 43 2 16 2 222 2log 4 4
2 4 42
x xxx yy
y yx y
x y x yx y
− ⋅ =⋅ == =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒− =
− = = +− =
4 4 4 43 3 3 3 3 3 24 4 4
2 2 242
metoda 1/
2 2 24zamjene 33
y y y y
y y y y
+⋅ ⋅
⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅
4 43 2 3 3
4.2 3 2 2
y y
y
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = −
Računamo x. 4
4 4 0.4 44
yx x x
x y
= −⇒ = − − ++ ⇒ = ⇒ =
= +
Zbroj iznosi:
0 4 4.x y+ = − = −
Odgovor je pod A.
2.inačica
( ) ( )
44 43 2 23 2 16
3 2 2 3 2 24log 4
4 422
x yx yx y x y
x yx y y xx y
−−− −⋅ =⋅ =
⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− =− = − = −− =
metoda 4/
4 4 4 4 4 43 2 : 2
zamjen2 3 2 2 2 3 2 2 2
e
x x x x x x− − −⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒
-
matematika – www.halapa.com
14
3 3 33 2 1 1 0.
2 22
xxx x
xx−
⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
�
Računamo y.
( )0
4 0 4 4 / 4.4
1x
y y y yy x
=⇒ − = − ⇒ ⋅ −− = ⇒ − = ⇒ = −
− = −
Zbroj iznosi:
0 4 4.x y+ = − = −
Odgovor je pod A.
Vježba 527
Odmor!
Rezultat: …
-
matematika – www.halapa.com
15
9.
Zadatak 124 (Marija, strukovna škola)
Iz opsega kruga izračunajte površinu kruga.
Rješenje 124
Ponovimo!
( ), .n n
a a n n na b a bn
b b
= ⋅ = ⋅
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga).
Opseg kruga polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅
Ploština kruga polumjera r iznosi:
2.P r π= ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Iz opsega kruga izračunamo polumjer r. 1
2 22
22
/2
OO r r O r O r P rπ ππ π
ππ
= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅⋅
2
2 2 2 2
.22 44 4
O O O OP P P Pπ π
π ππ ππ
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vježba 124
Odmor!
Rezultat: …
-
matematika – www.halapa.com
16
10.
Zadatak 125 (Marija, strukovna škola)
Iz površine kruga izračunajte opseg kruga.
Rješenje 125
Ponovimo!
2.a b a b⋅ = ⋅
Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga).
Ploština kruga polumjera r iznosi:
2.P r π= ⋅
Opseg kruga polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Iz površine kruga izračunamo polumjer r.
1/
2 2/
2 2 2P P PP r r P r P r r rπ π π
π π π π⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
[ ]2
22
22 2 2 .P
OP P
O O Or O Pπ π π ππ π
ππ
⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅= ⋅
Vježba 125
Odmor!
Rezultat: …
top related