matematika – www.halapa.com

1

1.

Zadatak 232 (Filip, gimnazija)

Riješi jednadžbu ( )

22

11 1

x xn n

x x+ = ⋅ −

+ −

, gdje je n realan broj, n ≠ – 1, n ≠ 2.

Rješenje 232

Ponovimo!

( ) ,2 2 2

.1

,2n m n m

a b a a b b a a a a a+

+ = + ⋅ ⋅ + = ⋅ =

( ) ( ) ,2

.2 a c a d b c

a b a b a bb d b d

⋅ + ⋅− = − ⋅ + + =

⋅

( )2 2 2

2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

−

matematika – www.halapa.com

2

( )

2 22

1 021 1 1

x x xn n

x x x

⋅⇒ + − − ⋅ − = ⇒

+ − −

( ) ( )

( ) ( )( )

2 21 1 2

1 021 1 1

x x x x xn n

x x x

⋅ − + ⋅ + ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒

+ ⋅ − −

( )

22 2 2

21 0

2 21 1

x x x x xn n

x x

− + + ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒

− −

( ) ( )

2 22 2 2 2 2

2 2 21 0 1 0.

2 2 2 21 1 1 1

x x x x xn n n n

x x x x

x x+ ⋅ ⋅ ⋅⇒ − − ⋅ − = ⇒ − − ⋅ − =

− − − −

− +

Uvedemo zamjenu 2

2.

21

xt

x

⋅=

−

Dalje slijedi:

( )( )

( )

21 02

1 01 , 1 , 1

t t n nt t n n

a b c n n

− − ⋅ − =− − ⋅ − = ⇒ ⇒

= = − = − ⋅ −

( )( ) ( ) ( )( )

1 , 1 , 1 21 1 4 1 1

21,24 2 1

1,2 2

a b c n nn n

tb b a c

ta

= = − = − ⋅ −− − ± − − ⋅ ⋅ − ⋅ −

⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅

=⋅

( ) 2 21 1 4 1 1 1 4 4 1 4 4 11,2 1,2 1,22 2 2

n n n n n nt t t

± + ⋅ ⋅ − ± + ⋅ − ⋅ ± ⋅ − ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

( )2

1 2 1 2 1.

1,2 1,22 2

n nt t

± ⋅ − ± ⋅ −⇒ = ⇒ =

Sada je:

• ( )

1 2 1

11 2 1 22 1 0 2 1 2 1

1,2 1 2 12

2 2

nt

nn n n t

nt

+ ⋅ −=

± ⋅ −⋅ − ≥ ⇒ ⋅ − = ⋅ − ⇒ = ⇒ ⇒

− ⋅ +=

( ) ( )

221 11 22 1

.2 1 12 2 1

22 2 22 2

21 1

2

2

2

n nnt tt t n

n nn t nt t t

⋅ ⋅+ ⋅= == =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ − ⋅ −− ⋅ = −

= = =

−

• ( )( )1 2 1

2 1 0 2 1 2 1 2 13,4 2

nn n n n t

± − ⋅ +⋅ − < ⇒ ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ + ⇒ = ⇒

( )

( ) ( )1 2 1 2 1 2 12 23 3 3 32 2 2 2

1 2 1 1 2 1 2 244 4 422 2 2

1 1

n n nnt t t t

n n n ntt t t

− ⋅ + ⋅ − ⋅ −− ⋅= = = =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − ⋅ + + ⋅ − + ⋅ ⋅

== = =−

matematika – www.halapa.com

3

( )2

2

2

2

113 3

.

44

nt t n

t nnt

⋅ −= = −

⇒ ⇒=⋅

=

Rješenja su:

, 1 .1 2t n t n= = −

Vraćamo se zamjeni:

• ( ) ( )2

2 2 22 2 2 22 2 11 2 2

1

/ 1

1

2x

t x xn n x n xx

x xt n

x

⋅= ⋅ ⋅

⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒− ⋅ −− −

=

( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2x n x n n x n x n x x n n x n⇒ ⋅ = ⋅ − ⇒ ⋅ − = ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒

( )2 2 2

2 .1,22

1/ /

2 2 2

n n nn x n x x x

n n nn⇒ − ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

− − −⋅

−

• ( ) ( ) ( )2/2

2 2 22 2 2 22 1 1 2 1 11 2 2

1 11

1

xt x x

n n x n xxx x

t n

x

⋅= ⋅ ⋅

⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⋅⋅ = − ⋅ − ⇒−− −

−

= −

2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 1x x n x n x x n x n x n x n⇒ ⋅ = − − ⋅ + ⇒ ⋅ − + ⋅ = − + ⇒ + ⋅ = − ⇒

( ) ( )12 2 21

/1

1 1 1 11

nn x n n x n x

n n

−⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ =

+ +⋅ ⇒

1 12.

3, 1/

41

n nx x

n n

− −⇒ = ⇒ = ±

+ +

Vježba 232

Odmor!

Rezultat: …

matematika – www.halapa.com

4

2.

Zadatak 104 (Goran, gimnazija)

Odredite točku pravca y = 7 · x – 15 koja je najbliža grafu funkcije ( )1 4

3 4.8

f x x x= ⋅ + ⋅ −

Rješenje 104

Ponovimo!

1, , , .

b a c b b a b n a c a d b ca a n

c c c c b d b d

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅+ = ⋅ = = − =

⋅

Oznake za derivaciju su:

( ) ( )( )' lim lim ' .

0 0

f x x f xdy yy f x

x xdx x x

+ ∆ −∆= = = =

∆ → ∆ →∆ ∆

Tablično deriviranje

Funkcija Derivacija

c

0

x 1

nx

1nn x

−⋅

Ako je c konstanta, a u = f(x), v = g(x) su funkcije koje imaju derivacije, onda je

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '

,'.c f x c f x f x g x f x g x⋅ = ⋅ ± = ±

Ako je pravac tangenta na graf funkcije f, onda je njegov koeficijent smjera jednak derivaciji funkcije

u točki x0: ( )' .k f x=�

Jednadžba pravca oblika

y k x l= ⋅ +

naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi y. Uvjet usporednosti (paralelnosti):

Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama y = k1 · x + l1, y = k2 · x + l2, tada su usporedni ako i samo ako je

1 2.k k=

Uvjet okomitosti:

Ako su pravci dani eksplicitnim jednadžbama y = k1 · x + l1, y = k2 · x + l2, k1, k2 ≠ 0, tada su okomiti ako i samo ako je

1 11

1 2 1 2.

2 1

k k k kk k

⋅ = − ⇒ = − ⇒ = −

Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(x1, y1) glasi

( )1 .1y y k x x− = ⋅ − Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

matematika – www.halapa.com

5

Deriviramo funkciju f kako bismo našli koeficijent smjera tangente na njezin graf.

( ) ( )'

1 14 43 4 ' 3 4

8 8f x x x f x x x= ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( ) ( )' '1 1'4 4

' 3 4 ' ' 3 ' 08 8

f x x x f x x x⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒

( ) ( ) ( )48

1 1 13 3 3' 4 3 1 ' 3 1 ' 3.

8 2f x x f x x f x x⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ +

Pravac y = 7 · x – 15 ima koeficijent smjera k = 7. Budući da su tangenta i pravac usporedni mora biti

( )1 1 1 13 3 3 3

' 7 3 7 7 3 4 42 2

22

/2

f x x x x x= ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅= ⇒

33 3 38 8 8 2./x x x x⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Računamo y.

21 1 14

2 3 2 4 16 6 4 21 48 83 4

8

168

x

y y yy x x

=

⇒ = ⋅ + ⋅ − ⇒ = ⋅ + − ⇒ = ⋅ + ⇒= ⋅ + ⋅ −

2 2 4.y y⇒ = + ⇒ =

Dakle, tangenta dira graf funkcije f u točki T(2, 4). U toj točki konstruiramo okomicu na tangentu. Njezin koeficijent smjera, zbog okomitosti pravaca, je

1.

7k = −

( ) ( )( ) ( )1

, 2, 41 1 1

4 21 71

7

T x

y y k x

y T

y x

k

x

=

⇒ ⇒ − = − ⋅ − ⇒=

− = ⋅ −

−

1 2 1 2 1 304 4 .

7 7 7 7 7 7y x y x y x⇒ − = − ⋅ + ⇒ = − ⋅ + + ⇒ = − ⋅ +

Tražena točka S je sjecište pravaca 1 30

7 15 i .7 7

y x y x= ⋅ − = − ⋅ +

Riješimo sustav!

7 151 30 1 30

7 15 7 151 307 7

/ 77 7

7 7

y x

x x x xy x

= ⋅ −

⇒ ⋅ − = − ⋅ + ⇒ ⋅ − = − ⋅⋅ + ⇒= − ⋅ +

49 105 30 49 30 105 50 135 50 135 / : 50x x x x x x⇒ ⋅ − = − + ⇒ ⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒

135135 27.

050 105x x x⇒ = ⇒ = ⇒ =

Računamo y.

2727 189 15 189 150 39

7 15 .1010 10 1 10 10

7 15

xy y y y

y x

= −⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =

= ⋅ −

Točka je:

matematika – www.halapa.com

6

( )27 39

, , .10 10

S x y S=

Vježba 104

Odmor!

Rezultat: …

matematika – www.halapa.com

7

3.

Zadatak 106 (Andrija, maturant)

Koliko rješenja ima jednadžba 2 3x m m⋅ − − = ako je parametar m > 0?

. točno jedno . točno dva . točno tri . točno četiriA B C D Rješenje 106

Ponovimo!

Parametar

Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002. Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata. Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983. Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje. Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

− ⇒ = ⇒ =

=

2 3 2 32 3

2 3 2 3

x m m xx m m

x

m

m x

m

m m m

⋅ − − = − ⋅ − =⋅ − − = ⇒ ⇒ ⇒

⋅ − − = +

−

⋅ − =

−

2 3 0 2 32 3 0

2 3 2 2 2 32 3 2

2 3 2 2 2 3

x xx

x m x mx m

x m x m

⋅ − = ⋅ =⋅ − =

⇒ ⇒ ⋅ − = − ⋅ ⇒ ⋅ = − ⋅ + ⇒⋅ − = ⋅

⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ +

/ : 2

/ : 2

/ : 2

3

1 22 32 3

2 2 3 .2 2

2 2 32 3

3 2

x

xm

x m x

x mm

x

=

⋅ =− ⋅ +

⇒ ⋅ = − ⋅ + ⇒ =

⋅ = ⋅ +⋅ +

=

Odgovor je pod C.

Vježba 106

Koliko rješenja ima jednadžba 2 3 0x m⋅ − − = ako je parametar m > 0?

. točno jedno . točno dva . točno tri . točno četiriA B C D

Rezultat: B.

matematika – www.halapa.com

8

4.

Zadatak 868 (Ana, gimnazija)

Izračunajte vrijednost izraza 2 1x − za 1

gdje je 0, 0.2

a bx a b

b a

= ⋅ + > >

Rješenje 868

Ponovimo!

( ) ( ) ( )22 2 2

21

, , , .nn n n

a b a b a b a a b b a a n⋅ = ⋅ + = + ⋅ ⋅ + = =

, , , .1a c a d b c a c a d b cn m n m

a a a a ab d b d b d b d

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅++ = = ⋅ = − =

⋅ ⋅

( )2 2 2

2 , , .aa

a b a a b b a b a bb b

− = − ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:

, .

, 0

0

x xx

x x

≥=

−

matematika – www.halapa.com

9

( ) ( )22

21 .

4 4 2

a b a ba bx

a b a b a b

− −−− = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 868

Odmor!

Rezultat …

matematika – www.halapa.com

10

5.

Zadatak 121 (Tictac, gimnazija)

Odredite a tako da zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f(x) = x2 + a · x – 2 · (a + 1) bude najmanji.

Rješenje 121

Ponovimo!

( )2 2 2 2

2 , 0 .,a b a a b b a a R+ = + ⋅ ⋅ + ≥ ∈

Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi

( ) .0f x =�

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe

20x b x c+ ⋅ + =

zadovoljavaju Vièteove formule:

,1

.1 2 2

x x x xb c+ = − ⋅ =

Odredimo koeficijente funkcije f.

( ) ( )( ) ( )

( )

21 2 12

2 1 .1 , , 2 1

f x x a x af x x a x a

a b a c a

= ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ − ⋅ + ⇒

= = = − ⋅ +

Zbroj kvadrata nula x1 i x2 funkcije f je

( )2 2 2 2 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2x x x x x x x x x x x x x x+ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

( ) ( )1 21 2

2 2 22 2 2

1 2 1 2

x x b

x x cx x x x b c b c

= + − ⋅ ⋅ = = − − ⋅ = − ⋅ =

+ = −

⋅ =

( )( )( ) ( ) ( )

22 2 22 2 1 4 1 .

2 14 4 2a a

b a

c aa a a a a

= = − ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + = + ⋅ + = +

=

= − ⋅ +

Zaključujemo da je zbroj najmanji za 2 0 2.a a+ = ⇒ = −

Vježba 121

Odmor!

Rezultat: …

matematika – www.halapa.com

11

6.

Zadatak 528 (Tictac, gimnazija)

Izračunajte log 32 pomoću log 25.

Rješenje 528

Ponovimo!

.b a b

ac c

⋅⋅ =

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→

= =

Dekadski logaritam

Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili obični logaritam.

log log10

.x x=

1log log log log log log10 1, , , log log .

2

ana n a a b a a

b= ⋅ = − = = ⋅

Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.

( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +

( ) ( )105

log32 log 2 5 log 2 5 log 5 log10 log5 5 1 log 255

= = ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ⋅ − =

1 55 1 log 25 5 log 25.

2 2

= ⋅ − ⋅ = − ⋅

Vježba 528

Izračunajte log 8 pomoću log 25.

Rezultat: 3

3 log 25.2

− ⋅

matematika – www.halapa.com

12

7.

Zadatak 550 (Suzy, srednja škola)

Broj 100 napišite u obliku produkta od pet jednakih faktora.

Rješenje 550

Ponovimo!

( ),1 , .nn m n m n

a a a a a a a+

= ⋅ = =

( )5

5 5 5 5 5 5100 100 100 100 100 100 100.⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

Vježba 550

Broj 10 napišite u obliku produkta od sedam jednakih faktora.

Rezultat: ( )7

710 10.=

matematika – www.halapa.com

13

8.

Zadatak 527 (Max, gimnazija)

Zbroj dvaju realnih brojeva x i y koji zadovoljavaju sustav ( )

3 2 16

log 42

x y

x y

−⋅ =

− =

iznosi:

. 4 . 4 . 8 . 8A B C D− −

Rješenje 527

Ponovimo!

( ) ( ), ,2 41

,2

, .

nna an n m n m

a a a a a a a an nba b

− += = = ⋅ = =

( ) ( ) ( ) ( ), , 1 , 0.n n

a b f x g xa a f x g x a a

b a

−

= = ⇒ = = ≠

�

Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.

Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:

llog ogb

c ca c a b a b

b=

→

= =

1.inačica

( )( )

1 43 33 2 4 43 2 16 2 222 2log 4 4

2 4 42

x xxx yy

y yx y

x y x yx y

− ⋅ =⋅ == =

⇒ ⇒ ⇒ ⇒− =

− = = +− =

4 4 4 43 3 3 3 3 3 24 4 4

2 2 242

metoda 1/

2 2 24zamjene 33

y y y y

y y y y

+⋅ ⋅

⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒⋅

4 43 2 3 3

4.2 3 2 2

y y

y

−

⇒ = ⇒ = ⇒ = −

Računamo x. 4

4 4 0.4 44

yx x x

x y

= −⇒ = − − ++ ⇒ = ⇒ =

= +

Zbroj iznosi:

0 4 4.x y+ = − = −

Odgovor je pod A.

2.inačica

( ) ( )

44 43 2 23 2 16

3 2 2 3 2 24log 4

4 422

x yx yx y x y

x yx y y xx y

−−− −⋅ =⋅ =

⋅ = ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒

− =− = − = −− =

metoda 4/

4 4 4 4 4 43 2 : 2

zamjen2 3 2 2 2 3 2 2 2

e

x x x x x x− − −⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒

matematika – www.halapa.com

14

3 3 33 2 1 1 0.

2 22

xxx x

xx−

⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

�

Računamo y.

( )0

4 0 4 4 / 4.4

1x

y y y yy x

=⇒ − = − ⇒ ⋅ −− = ⇒ − = ⇒ = −

− = −

Zbroj iznosi:

0 4 4.x y+ = − = −

Odgovor je pod A.

Vježba 527

Odmor!

Rezultat: …

matematika – www.halapa.com

15

9.

Zadatak 124 (Marija, strukovna škola)

Iz opsega kruga izračunajte površinu kruga.

Rješenje 124

Ponovimo!

( ), .n n

a a n n na b a bn

b b

= ⋅ = ⋅

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga).

Opseg kruga polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅

Ploština kruga polumjera r iznosi:

2.P r π= ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Iz opsega kruga izračunamo polumjer r. 1

2 22

22

/2

OO r r O r O r P rπ ππ π

ππ

= ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⋅⋅

2

2 2 2 2

.22 44 4

O O O OP P P Pπ π

π ππ ππ

⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vježba 124

Odmor!

Rezultat: …

matematika – www.halapa.com

16

10.

Zadatak 125 (Marija, strukovna škola)

Iz površine kruga izračunajte opseg kruga.

Rješenje 125

Ponovimo!

2.a b a b⋅ = ⋅

Krug je skup svih točaka ravnine kojima je udaljenost od zadane točke S manja ili jednaka zadanom broju r > 0 (polumjeru kruga).

Ploština kruga polumjera r iznosi:

2.P r π= ⋅

Opseg kruga polumjera r iznosi: 2 .O r π= ⋅ ⋅

Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i jedinice

, 0 ., 1a n a

n nb n b

⋅= ≠ ≠

⋅

Iz površine kruga izračunamo polumjer r.

1/

2 2/

2 2 2P P PP r r P r P r r rπ π π

π π π π⋅= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

[ ]2

22

22 2 2 .P

OP P

O O Or O Pπ π π ππ π

ππ

⇒ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅⋅ ⋅= ⋅

Vježba 125

Odmor!

Rezultat: …