matematička analiza 1

1/33

�

�

�

�

�

�

MATEMATIKA I: Analiza

Po udzbeniku M. Merkle, Matematicka analiza

Elektrotehnicki fakultet u Beogradu2004

Slajdovi za predavanja na odseku za Softversko inzenjerstvo

2/33

�

�

�

�

�

�

Pregled sadrzaja kursa

2/33

�

�

�

�

�

�

Pregled sadrzaja kursa• UVOD U ANALIZU: Pojam beskonacnosti, poredak, nejednakosti, el-

ementarne funkcije i njihovi grafici.

2/33

�

�

�

�

�

�

Pregled sadrzaja kursa• UVOD U ANALIZU: Pojam beskonacnosti, poredak, nejednakosti, el-

ementarne funkcije i njihovi grafici.

• NIZOVI: Pojam niza, granicna vrednost, monotoni nizovi.Broj e.Skupovina realnoj pravoj i njihove osobine. Banahov stav i metod iteracije.

2/33

�

�

�

�

�

�

Pregled sadrzaja kursa• UVOD U ANALIZU: Pojam beskonacnosti, poredak, nejednakosti, el-

ementarne funkcije i njihovi grafici.

• NIZOVI: Pojam niza, granicna vrednost, monotoni nizovi.Broj e.Skupovina realnoj pravoj i njihove osobine. Banahov stav i metod iteracije.

• GRANICNE VREDNOSTI FUNKCIJA: Limesi funkcija, neprekidnefunkcije, osobine. Metod polovljenja intervala za resavanje jednacina.Beskonacno male velicine i njihovo poredenje.

2/33

�

�

�

�

�

�

Pregled sadrzaja kursa• UVOD U ANALIZU: Pojam beskonacnosti, poredak, nejednakosti, el-

ementarne funkcije i njihovi grafici.

• NIZOVI: Pojam niza, granicna vrednost, monotoni nizovi.Broj e.Skupovina realnoj pravoj i njihove osobine. Banahov stav i metod iteracije.

• GRANICNE VREDNOSTI FUNKCIJA: Limesi funkcija, neprekidnefunkcije, osobine. Metod polovljenja intervala za resavanje jednacina.Beskonacno male velicine i njihovo poredenje.

• DIFERENCIJALNI RACUN: Pojam tangente i izvod funkcije, pravilai tablica izvoda. Metod tangente za resavanje jednacina. Izvodi slozenefunkcije, izvodi parametarski zadate funkcije. Teoreme o srednjoj vred-nosti. Primene. Lopitalovo pravilo. Izvodi viseg reda. Tejlorova for-mula. Ispitivanje funkcija.

3/33

�

�

�

�

�

�

Sve to je samo mali deo velikog ledenog brega. . .

3/33

�

�

�

�

�

�

Sve to je samo mali deo velikog ledenog brega. . .

A svako putovanje od hiljadu kilometaramora zapoceti jednim korakom

4/33

�

�

�

�

�

�

Uvod u analizu

• Kardinalni brojevi (razne vrste beskonacnosti)

• Realni brojevi, simbol ∞ i osobine

• Kompleksni brojevi - pregled osobina

• Nejednakosti koje cemo koristiti u toku kursa

5/33

�

�

�

�

�

�

Kardinalni brojeviDosli su gosti u hotel, a jedan iz grupe je malo zakasnio. Kada se pojavio

na recepciji, ispostavilo se da su se ostali vec razmestili po sobama i daza njega nema slobodne sobe. Portir je malo razmislio a onda se dosetio.Javio je svim gostima da se presele u sobu koja ima za jedan veci broj odone u kojoj su do tada bili. Kada je to uradeno, ostala je jedna soba viska,koju je uzeo zakasneli gost.

6/33

�

�

�

�

�

�

Hotel je imao beskonacno mnogo soba!

PRE: 1 2 3 4 5 . . .

POSLE: 2 3 4 5 6 . . .

Ostala je prazna soba broj 1 !

7/33

�

�

�

�

�

�

Kako prebrojavamo konacne skupove?

7/33

�

�

�

�

�

�

Kako prebrojavamo konacne skupove?

7/33

�

�

�

�

�

�

Kako prebrojavamo konacne skupove?

Uspostavljena je bijekcija izmedu skupa prstiju i skupa {1, 2, 3, 4, 5}.

8/33

�

�

�

�

�

�

KAKO PREBROJAVATI BESKONACNE SKUPOVE?

8/33

�

�

�

�

�

�

KAKO PREBROJAVATI BESKONACNE SKUPOVE?

Beskonacni skupovi se mogu POREDITI po ”velicini”.

8/33

�

�

�

�

�

�

KAKO PREBROJAVATI BESKONACNE SKUPOVE?

Beskonacni skupovi se mogu POREDITI po ”velicini”.Pitanje koji od dva beskonacna skupa ima vise elemenata nema smisla

ako se pokusa resiti po analogiji sa konacnim skupovima.

8/33

�

�

�

�

�

�

KAKO PREBROJAVATI BESKONACNE SKUPOVE?

Beskonacni skupovi se mogu POREDITI po ”velicini”.Pitanje koji od dva beskonacna skupa ima vise elemenata nema smisla

ako se pokusa resiti po analogiji sa konacnim skupovima.

9/33

�

�

�

�

�

�

Pitanje: Kojih brojeva ima vise: prirodnih ili celih?

9/33

�

�

�

�

�

�

Pitanje: Kojih brojeva ima vise: prirodnih ili celih?

Odgovor 1: Celih brojeva ima vise, jer je skup prirodnih brojevapravi podskup skupa celih brojeva.

9/33

�

�

�

�

�

�

Pitanje: Kojih brojeva ima vise: prirodnih ili celih?

Odgovor 1: Celih brojeva ima vise, jer je skup prirodnih brojevapravi podskup skupa celih brojeva.

Odgovor 2: Prirodnih brojeva ima vise, sto se izlazi iz sledecegpostupka: Pridruzimo broju 0 broj 2, broju 1 broj 4, broju -1 broj 6, itd.Na taj nacin izlazi da celih brojeva ima isto koliko i parnih, a to je pravipodskup skupa prirodnih brojeva!

. . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . SVI CELI BROJEVI

. . . 14 10 6 2 4 8 12 . . . PARNI PRIRODNI BROJEVI

9/33

�

�

�

�

�

�

Pitanje: Kojih brojeva ima vise: prirodnih ili celih?

Odgovor 1: Celih brojeva ima vise, jer je skup prirodnih brojevapravi podskup skupa celih brojeva.

Odgovor 2: Prirodnih brojeva ima vise, sto se izlazi iz sledecegpostupka: Pridruzimo broju 0 broj 2, broju 1 broj 4, broju -1 broj 6, itd.Na taj nacin izlazi da celih brojeva ima isto koliko i parnih, a to je pravipodskup skupa prirodnih brojeva!

. . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . SVI CELI BROJEVI

. . . 14 10 6 2 4 8 12 . . . PARNI PRIRODNI BROJEVI

Odgovor 3: Prirodnih brojeva ima isto koliko i celih, jer se mozeuspostaviti sledece preslikavanje:

. . . −3 −2 −1 0 1 2 3 . . . SVI CELI BROJEVI

. . . 7 5 3 1 2 4 6 . . . SVI PRIRODNI BROJEVI

10/33

�

�

�

�

�

�

• Kazemo da skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznacicard A = card B, ako postoji bijektivno preslikavanje koje svakom ele-mentu jednog skupa dodeljuje jedan i samo jedan element drugog skupa.

10/33

�

�

�

�

�

�

• Kazemo da skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznacicard A = card B, ako postoji bijektivno preslikavanje koje svakom ele-mentu jednog skupa dodeljuje jedan i samo jedan element drugog skupa.• Ako postoji bijekcija koja preslikava skup A na neki pravi podskup

skupa B, a ne postoji bijekcija koja preslikava skup B na skup A ili naneki njegov podskup, kazemo da skup A ima manji kardinalni broj odskupa B.

10/33

�

�

�

�

�

�

• Kazemo da skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznacicard A = card B, ako postoji bijektivno preslikavanje koje svakom ele-mentu jednog skupa dodeljuje jedan i samo jedan element drugog skupa.• Ako postoji bijekcija koja preslikava skup A na neki pravi podskup

skupa B, a ne postoji bijekcija koja preslikava skup B na skup A ili naneki njegov podskup, kazemo da skup A ima manji kardinalni broj odskupa B.• Ako se skup A sastoji od n elemenata (n ∈ N), kazemo da je card A =

n.

10/33

�

�

�

�

�

�

• Kazemo da skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznacicard A = card B, ako postoji bijektivno preslikavanje koje svakom ele-mentu jednog skupa dodeljuje jedan i samo jedan element drugog skupa.• Ako postoji bijekcija koja preslikava skup A na neki pravi podskup

skupa B, a ne postoji bijekcija koja preslikava skup B na skup A ili naneki njegov podskup, kazemo da skup A ima manji kardinalni broj odskupa B.• Ako se skup A sastoji od n elemenata (n ∈ N), kazemo da je card A =

n.

Prema tome, skupovi prirodnih, celih, parnih i neparnih brojeva imajuisti kardinalni broj.

10/33

�

�

�

�

�

�

• Kazemo da skupovi A i B imaju isti kardinalni broj, u oznacicard A = card B, ako postoji bijektivno preslikavanje koje svakom ele-mentu jednog skupa dodeljuje jedan i samo jedan element drugog skupa.• Ako postoji bijekcija koja preslikava skup A na neki pravi podskup

skupa B, a ne postoji bijekcija koja preslikava skup B na skup A ili naneki njegov podskup, kazemo da skup A ima manji kardinalni broj odskupa B.• Ako se skup A sastoji od n elemenata (n ∈ N), kazemo da je card A =

n.

Prema tome, skupovi prirodnih, celih, parnih i neparnih brojeva imajuisti kardinalni broj.

Za skupove koji imaju isti kardinalni broj kao skup prirodnih brojevakazemo da su prebrojivi. Kardinalni broj prebrojivih skupova oznacavase sa ℵ0 (cita se alef nula)

11/33

�

�

�

�

�

�

SVAKI SKUP CIJI SE ELEMENTI MOGU PRIKAZATI U OBLIKUNIZA

x1, x2, x3, . . .

JE PREBROJIV.

12/33

�

�

�

�

�

�

Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.

12/33

�

�

�

�

�

�

Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.

11

21 −→ 3

141 −→ 5

1 . . .↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗12

22

32

42

52

↙ ↗ ↙ ↗13

23

33

43

53 . . .

↓ ↗ ↙ ↗14

24

34

44

54 . . .

↙ ↗15 −→ 2

535

45

55 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

12/33

�

�

�

�

�

�

Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.

11

21 −→ 3

141 −→ 5

1 . . .↓ ↗ ↙ ↗ ↙ ↗12

22

32

42

52

↙ ↗ ↙ ↗13

23

33

43

53 . . .

↓ ↗ ↙ ↗14

24

34

44

54 . . .

↙ ↗15 −→ 2

535

45

55 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Na ovaj nacin se dobija niz svih pozitivnih racionalnih brojeva. Odavdese lako dobija niz SVIH racionalnih brojeva, {rn}.

Kako?

13/33

�

�

�

�

�

�

POSTOJE I SKUPOVI SA VECIM KARDINALNIM BROJEM OD ℵ0- NEPREBROJIVI SKUPOVI.

14/33

�

�

�

�

�

�

Svaka dva zatvorena intervala imaju isti kardinalni broj.

14/33

�

�

�

�

�

�

Svaka dva zatvorena intervala imaju isti kardinalni broj.

15/33

�

�

�

�

�

�

Interval [a, b] ima isti kardinalni broj kao zatvoreni interval [a, b).

15/33

�

�

�

�

�

�

Interval [a, b] ima isti kardinalni broj kao zatvoreni interval [a, b).Neka je x1, x2, . . . , xk . . . proizvoljan niz elemenata skupa [a, b].

f (b) = x1 , f (xk) = xk+1 (k = 1, 2, . . .) f (x) = x (x 6= x1, x2, . . .)

Funkcija f je bijekcija [a, b] 7→ [a, b).

16/33

�

�

�

�

�

�

Zakljucak: SVAKA DVA INTERVALA imaju isti kardinalni broj. Naprimer, intervali (0, 1) i [100, 1000000) imaju isti kardinalni broj.

16/33

�

�

�

�

�

�

Zakljucak: SVAKA DVA INTERVALA imaju isti kardinalni broj. Naprimer, intervali (0, 1) i [100, 1000000) imaju isti kardinalni broj.

SKUP TACAKA PROIZVOLJNOG INTERVALA JE NEPREBRO-JIV, TJ. KARDINALNI BROJ SKUPA TACAKA INTERVALA JE VECIOD ℵ0.

17/33

�

�

�

�

�

�

Skup realnih brojeva R ima isti kardinalni broj kao interval (−π/2, π/2):

17/33

�

�

�

�

�

�

Skup realnih brojeva R ima isti kardinalni broj kao interval (−π/2, π/2):

17/33

�

�

�

�

�

�

Skup realnih brojeva R ima isti kardinalni broj kao interval (−π/2, π/2):

Kardinalni broj skupa realnih brojeva oznacava se sa c (kontinuum)

18/33

�

�

�

�

�

�

.

POSTOJE I VECI KARDINALNI BROJEVI . . .

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.Usvajamo pravila: (∀x ∈ R) −∞ < x < +∞ .

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.Usvajamo pravila: (∀x ∈ R) −∞ < x < +∞ .

−∞ < +∞ ,

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.Usvajamo pravila: (∀x ∈ R) −∞ < x < +∞ .

−∞ < +∞ ,

∞ +∞ = ∞ ,−∞−∞ = −∞ , a±∞ = ±∞ (a ∈ R),

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.Usvajamo pravila: (∀x ∈ R) −∞ < x < +∞ .

−∞ < +∞ ,

∞ +∞ = ∞ ,−∞−∞ = −∞ , a±∞ = ±∞ (a ∈ R),

∞·∞ = ∞ ,−∞·∞ = ∞·−∞ = −∞ , a·±∞ = ±(sgn a)·∞ (a 6= 0).

19/33

�

�

�

�

�

�

Realni brojevi

Prosireni skup realnih brojeva: R = R ∪ {−∞, +∞}.Usvajamo pravila: (∀x ∈ R) −∞ < x < +∞ .

−∞ < +∞ ,

∞ +∞ = ∞ ,−∞−∞ = −∞ , a±∞ = ±∞ (a ∈ R),

∞·∞ = ∞ ,−∞·∞ = ∞·−∞ = −∞ , a·±∞ = ±(sgn a)·∞ (a 6= 0).

Ostale operacije sa simbolima ∞ i −∞ nisu dozvoljene. Na primer,izrazi ∞−∞ ili 0 · ∞ nemaju smisla!

20/33

�

�

�

�

�

�

Neka je A dati skup realnih brojeva. Minimum i maksimum skupaA definisu se na sledeci nacin:

20/33

�

�

�

�

�

�

Neka je A dati skup realnih brojeva. Minimum i maksimum skupaA definisu se na sledeci nacin:

• min{x | x ∈ A} = a ⇐⇒ a ∈ A ∧ (∀x ∈ A) a ≤ x,

20/33

�

�

�

�

�

�

Neka je A dati skup realnih brojeva. Minimum i maksimum skupaA definisu se na sledeci nacin:

• min{x | x ∈ A} = a ⇐⇒ a ∈ A ∧ (∀x ∈ A) a ≤ x,

• max{x | x ∈ A} = b ⇐⇒ b ∈ A ∧ (∀x ∈ A) b ≥ x.

20/33

�

�

�

�

�

�

Neka je A dati skup realnih brojeva. Minimum i maksimum skupaA definisu se na sledeci nacin:

• min{x | x ∈ A} = a ⇐⇒ a ∈ A ∧ (∀x ∈ A) a ≤ x,

• max{x | x ∈ A} = b ⇐⇒ b ∈ A ∧ (∀x ∈ A) b ≥ x.

Minimum i maksimum ne moraju da postoje. Na primer, skup tacakaintervala (0, 1) nema ni minimum ni maksimum (jer 0 i 1 ne pripadaju tomskupu!!)

20/33

�

�

�

�

�

�

Neka je A dati skup realnih brojeva. Minimum i maksimum skupaA definisu se na sledeci nacin:

• min{x | x ∈ A} = a ⇐⇒ a ∈ A ∧ (∀x ∈ A) a ≤ x,

• max{x | x ∈ A} = b ⇐⇒ b ∈ A ∧ (∀x ∈ A) b ≥ x.

Minimum i maksimum ne moraju da postoje. Na primer, skup tacakaintervala (0, 1) nema ni minimum ni maksimum (jer 0 i 1 ne pripadaju tomskupu!!)

Svaki skup koji se sastoji od konacno mnogo realnih brojeva imaminimum i maksimum.

21/33

�

�

�

�

�

�

• a ∈ R je donja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi a ≤ x.Za skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicenodozdo.

21/33

�

�

�

�

�

�

• a ∈ R je donja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi a ≤ x.Za skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicenodozdo.

• b ∈ R je gornja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi x ≤ b.Za skup koji ima konacnu gornju granicu kazemo da je ogranicenodozgo.

21/33

�

�

�

�

�

�

• a ∈ R je donja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi a ≤ x.Za skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicenodozdo.

• b ∈ R je gornja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi x ≤ b.Za skup koji ima konacnu gornju granicu kazemo da je ogranicenodozgo.

• Skup A kazemo da je ogranicen ako ima konacnu donju i gornjugranicu. Skup A je ogranicen ako i samo ako postoji pozitivan realanbroj M tako da za svako x ∈ A vazi |x| ≤ M .

21/33

�

�

�

�

�

�

• a ∈ R je donja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi a ≤ x.Za skup koji ima konacnu donju granicu kazemo da je ogranicenodozdo.

• b ∈ R je gornja granica skupa A, ako za svako x ∈ A vazi x ≤ b.Za skup koji ima konacnu gornju granicu kazemo da je ogranicenodozgo.

• Skup A kazemo da je ogranicen ako ima konacnu donju i gornjugranicu. Skup A je ogranicen ako i samo ako postoji pozitivan realanbroj M tako da za svako x ∈ A vazi |x| ≤ M .

Ako skup nije ogranicen odozgo, onda je ∞ jedina gornja granicatog skupa. Slicno, ako nije ogranicen odozdo, jedina donja granica je−∞

22/33

�

�

�

�

�

�

Primer: Interval S = [0, 1] je ogranicen.

22/33

�

�

�

�

�

�

Primer: Interval S = [0, 1] je ogranicen.

• Gornje granice skupa S su 1,√

2, 2, 3, π, . . .

22/33

�

�

�

�

�

�

Primer: Interval S = [0, 1] je ogranicen.

• Gornje granice skupa S su 1,√

2, 2, 3, π, . . .

• Najmanja gornja granica skupa S je 1, a to je maksimum ovog skupa.

• Donje granice skupa S su −7,−π,−3,−1, 0, . . .

22/33

�

�

�

�

�

�

Primer: Interval S = [0, 1] je ogranicen.

• Gornje granice skupa S su 1,√

2, 2, 3, π, . . .

• Najmanja gornja granica skupa S je 1, a to je maksimum ovog skupa.

• Donje granice skupa S su −7,−π,−3,−1, 0, . . .

• Najveca donja granica skupa S je 0 - minimum.

22/33

�

�

�

�

�

�

Primer: Interval S = [0, 1] je ogranicen.

• Gornje granice skupa S su 1,√

2, 2, 3, π, . . .

• Najmanja gornja granica skupa S je 1, a to je maksimum ovog skupa.

• Donje granice skupa S su −7,−π,−3,−1, 0, . . .

• Najveca donja granica skupa S je 0 - minimum.

Uopste, ako proizvoljni skup S ima maksimum M , onda je M istovre-meno i najmanja gornja granica skupa S. Minimum (ako postoji) je na-jveca donja granica.

23/33

�

�

�

�

�

�

Neka je S proizvoljan skup realnih brojeva.

23/33

�

�

�

�

�

�

Neka je S proizvoljan skup realnih brojeva.

• Supremum skupa S je njegova najmanja gornja granica.

23/33

�

�

�

�

�

�

Neka je S proizvoljan skup realnih brojeva.

• Supremum skupa S je njegova najmanja gornja granica.

• Infimum skupa S je njegova najveca donja granica.

23/33

�

�

�

�

�

�

Neka je S proizvoljan skup realnih brojeva.

• Supremum skupa S je njegova najmanja gornja granica.

• Infimum skupa S je njegova najveca donja granica.

Ako su inf S, odnosno sup S konacni, i ako S nije prazan skup, tada

inf S = a ⇐⇒ (∀x ∈ S)(x ≥ a) ∧ (∀ε > 0)(∃x ∈ S)(x < a + ε)

sup S = b ⇐⇒ (∀x ∈ S)(x ≤ b) ∧ (∀ε > 0)(∃x ∈ S)(x > b− ε)

24/33

�

�

�

�

�

�

Kompleksni brojevi.

Kompleksni broj je:

24/33

�

�

�

�

�

�

Kompleksni brojevi.

Kompleksni broj je:

• Ureden par z = (x, y), gde su x, y realni brojevi.

24/33

�

�

�

�

�

�

Kompleksni brojevi.

Kompleksni broj je:

• Ureden par z = (x, y), gde su x, y realni brojevi.

• U algebarskom obliku, z = x + iy, gde je x realni deo, a y imagi-narni deo broja z, u oznakama

x = Re z, y = Im z.

Kompleksan broj i naziva se imaginarnom jedinicom.

24/33

�

�

�

�

�

�

Kompleksni brojevi.

Kompleksni broj je:

• Ureden par z = (x, y), gde su x, y realni brojevi.

• U algebarskom obliku, z = x + iy, gde je x realni deo, a y imagi-narni deo broja z, u oznakama

x = Re z, y = Im z.

Kompleksan broj i naziva se imaginarnom jedinicom.

• U trigonometrijskom obliku, kao z = r(cos θ + i sin θ), gde je rmodul, a θ argument kompleksnog broja z.

24/33

�

�

�

�

�

�

Kompleksni brojevi.

Kompleksni broj je:

• Ureden par z = (x, y), gde su x, y realni brojevi.

• U algebarskom obliku, z = x + iy, gde je x realni deo, a y imagi-narni deo broja z, u oznakama

x = Re z, y = Im z.

Kompleksan broj i naziva se imaginarnom jedinicom.

• U trigonometrijskom obliku, kao z = r(cos θ + i sin θ), gde je rmodul, a θ argument kompleksnog broja z.

25/33

�

�

�

�

�

�

26/33

�

�

�

�

�

�

• Za dato r i θ, dobijaju se jedinstveni x i y

x = r cos θ, y = r sin θ.

26/33

�

�

�

�

�

�

• Za dato r i θ, dobijaju se jedinstveni x i y

x = r cos θ, y = r sin θ.

• Za dato x, y, dobija se

Jedinstveno r : r =√

x2 + y2,

26/33

�

�

�

�

�

�

• Za dato r i θ, dobijaju se jedinstveni x i y

x = r cos θ, y = r sin θ.

• Za dato x, y, dobija se

Jedinstveno r : r =√

x2 + y2,

i beskonacno mnogo raznih vrednosti za θ;

cos θ =x√

x2 + y2, sin θ =

y√x2 + y2

.

27/33

�

�

�

�

�

�

Pregled korisnih formula

x = Re z =z + z

2, y = Im z =

z − z

2i, |z|2 = zz.

Re z ≤ |z|, Im z ≤ |z|.

28/33

�

�

�

�

�

�

NejednakostiNEJEDNAKOST TROUGLA:

28/33

�

�

�

�

�

�

NejednakostiNEJEDNAKOST TROUGLA:

U trouglu ABC je | ~AB| = | ~AC + ~CB| ≤ | ~AC| + | ~CB|:

28/33

�

�

�

�

�

�

NejednakostiNEJEDNAKOST TROUGLA:

U trouglu ABC je | ~AB| = | ~AC + ~CB| ≤ | ~AC| + | ~CB|:

29/33

�

�

�

�

�

�

Za svaka dva realna ili kompleksna broja z1, z2, vazi nejednakost

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.

29/33

�

�

�

�

�

�

Za svaka dva realna ili kompleksna broja z1, z2, vazi nejednakost

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.Ideja dokaza: Kvadrirati obe strane!

29/33

�

�

�

�

�

�

Za svaka dva realna ili kompleksna broja z1, z2, vazi nejednakost

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.Ideja dokaza: Kvadrirati obe strane!

Primeri:

29/33

�

�

�

�

�

�

Za svaka dva realna ili kompleksna broja z1, z2, vazi nejednakost

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.Ideja dokaza: Kvadrirati obe strane!

Primeri:

• | − 1 + 2| < | − 1| + |2| = 3;

• |1 + i| =√

2 < |1| + |i| = 2;

29/33

�

�

�

�

�

�

Za svaka dva realna ili kompleksna broja z1, z2, vazi nejednakost

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.Ideja dokaza: Kvadrirati obe strane!

Primeri:

• | − 1 + 2| < | − 1| + |2| = 3;

• |1 + i| =√

2 < |1| + |i| = 2;

Ako su a, b, c proizvoljni realni ili kompleksni brojevi, onda je

|a− b| ≤ |a− c| + |c− b|

30/33

�

�

�

�

�

�

BERNOULLIJEVA NEJEDNAKOST:Porodica Bernoulli

30/33

�

�

�

�

�

�

BERNOULLIJEVA NEJEDNAKOST:Porodica Bernoulli

Za proizvoljan realan broj x > −1, x 6= 0 i za svaki prirodan brojn ≥ 2 vazi da je

(1 + x)n > 1 + nx.

30/33

�

�

�

�

�

�

BERNOULLIJEVA NEJEDNAKOST:Porodica Bernoulli

Za proizvoljan realan broj x > −1, x 6= 0 i za svaki prirodan brojn ≥ 2 vazi da je

(1 + x)n > 1 + nx.

Dokaz: Matematickom indukcijom pocevsi od n = 2Sta je matematicka indukcija?

31/33

�

�

�

�

�

�

NEJEDNAKOSTI ZA SINUSNU FUNKCIJU

(1) sin x < x < tg x, x ∈ (0, π/2),

31/33

�

�

�

�

�

�

NEJEDNAKOSTI ZA SINUSNU FUNKCIJU

(1) sin x < x < tg x, x ∈ (0, π/2),

(2) | sin x| < |x|, x ∈ R, x 6= 0,

31/33

�

�

�

�

�

�

NEJEDNAKOSTI ZA SINUSNU FUNKCIJU

(1) sin x < x < tg x, x ∈ (0, π/2),

(2) | sin x| < |x|, x ∈ R, x 6= 0,

(3) | sin x− sin y| ≤ |x− y|, x, y ∈ R.

31/33

�

�

�

�

�

�

NEJEDNAKOSTI ZA SINUSNU FUNKCIJU

(1) sin x < x < tg x, x ∈ (0, π/2),

(2) | sin x| < |x|, x ∈ R, x 6= 0,

(3) | sin x− sin y| ≤ |x− y|, x, y ∈ R.

Ilustracija nejednakosti (2).

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

• Osnovne osobine kompleksnih brojeva.

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

• Osnovne osobine kompleksnih brojeva.

• Nejednakosti

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

• Osnovne osobine kompleksnih brojeva.

• Nejednakosti

Nejednakost trougla (vazna nejednakost!),

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

• Osnovne osobine kompleksnih brojeva.

• Nejednakosti

Nejednakost trougla (vazna nejednakost!),

Bernoulli-jeva nejednakost (uskoro cemo je koristiti),

32/33

�

�

�

�

�

�

U ovom delu smo naucili

• Kako se beskonacni skupovi porede po velicini;

• Kardinalne brojeve ℵ0 and c

• Skup realnih brojeva prosiren simbolima ∞ i −∞. Dozvoljene i ne-dozvoljene operacije sa ∞.

• Poredak: minimum, maksimum, infimum, supremum.

• Osnovne osobine kompleksnih brojeva.

• Nejednakosti

Nejednakost trougla (vazna nejednakost!),

Bernoulli-jeva nejednakost (uskoro cemo je koristiti),

Nejednakosti za sinusnu funkciju (takode cemo koristiti uskoro)

33/33

�

�

�

�

�

�

Sledeci deo: Realne funkcije