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luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
database e distribuzioni
- misure di sintesi- misure di sintesi
- misure di variabilità- misure di variabilità
descrizione dei dati:descrizione dei dati:
database e distribuzioni
misure su scala nominale
misure su scala ordinale
misure su scala a intervalli o a rapporti
MODA
MODA & MEDIANA
MODA, MEDIANA & MEDIA ARITMETICA
misure di sintesimisure di sintesi
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
database e distribuzioni
MODA: MODA: valore o modalità a cui si associa la massima frequenzavalore o modalità a cui si associa la massima frequenza
esempio
abilità
sociali
frequenze
assolute
xi ni
scarse (s) 4
medie (m) 3
buone (b) 6
somma (Σ) 13
frequenza assolutamaggiore
la moda è“buone abilità”
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
database e distribuzioni
MEDIANA: MEDIANA: valore o modalità che bipartisce la distribuzione ordinatavalore o modalità che bipartisce la distribuzione ordinata
delle modalità delle modalità xx(1)(1) ≤ ≤ xx(2)(2) ≤ … ≤ … xx(n)(n)
esempio
abilità
sociali
frequenze
assolute
xi ni
scarse (s) 4
medie (m) 3
buone (b) 6
somma (Σ) 13
la mediana è“medie abilità”
xx(1)(1) ≤ ≤ xx(2)(2) ≤ ≤ xx(3)(3) ≤ ≤ xx(4)(4) ≤ ≤ xx(5)(5) ≤ ≤ xx(6)(6) ≤ ≤ xx(7)(7) ≤ ≤ xx(8)(8) ≤ ≤ xx(9)(9) ≤ ≤ xx(10)(10) ≤ ≤ xx(11)(11) ≤ ≤ xx(12) (12) ≤ ≤ xx(13)(13)
(s)(s) -- (s)(s) -- (s) - (s) -(s) - (s) - (m)(m) -- (m)(m) -- (m)(m) -- (b)(b) -- (b)(b) - (b)- (b) -- (b)(b) -- (b)(b) -- (b) (b)
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
database e distribuzioni
MEDIA ARITMETICA: MEDIA ARITMETICA:
esempio
id. QI
A101 88
A102 93
A103 112
B1002 121
B1003 80
C221 99
C222 100
C223 103
C224 99
C225 88
n
iixN
x1
1
10
110
1
iixx
88+93+112+121+80+99+100+103+99+88
10x = = 98,3
la media è98,3
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
database e distribuzioni
- qual è la variabile di interesse?
- che tipo di variabile è?
- quali/quante sono le unità statistiche e quali/quante le modalità?
- quali indici di sintesi si possono calcolare?
- qual è l’indice di sintesi più appropriato?
misure di sintesimisure di sintesi
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
1. Costruire la distribuzione di frequenza
230somma (Σ)
23097grosso
13328modesto
10543minimo
6262assente
Ninimodalità (xi):
frequenze
cumulate
frequenze
assolute
beneficio
al farmaco
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
2. Trovare la moda
230somma (Σ)
23097grosso
13328modesto
10543minimo
6262assente
Ninimodalità (xi):
frequenze
cumulate
frequenze
assolute
beneficio
al farmacofrequenza assolutamaggiore
la moda è“grosso
beneficio”
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
3a. È possibile calcolare la mediana? Sì, perché la variabile è misurata su scala ordinale
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari?
N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1
230/2 = 115 ; 115+1 = 116
le posizioni cercate sono 115 e 116
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
2. Identificare la mediana
230somma (Σ)
23097grosso
13328modesto
10543minimo
6262assente
Ninimodalità (xi):
frequenze
cumulate
frequenze
assolute
beneficio
al farmaco 115 e 116 sono compresi tra 105 e 133
la mediana è“beneficiomodesto”
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)
1. Calcolare le frequenze relative
1230somma (Σ)
0.4297grosso
0.1228modesto
0.1943minimo
0.2762assente
pinimodalità (xi):
frequenze
relative
frequenze
assolute
beneficio
al farmaco
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
0.58
0.46
Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.
Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.
3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)
2. Calcolare le frequenze relative cumulate
1230somma (Σ)
0.4297grosso
0.1228modesto
0.1943minimo
0.2762assente
pinimodalità (xi):
frequenze
relative
frequenze
assolute
beneficio
al farmaco
1
0.27
Pi
freq. rel. cumulate
la frequenza cumulata pari
a 0.50 è compresa tra 0.46 e 0.58
la mediana è“beneficiomodesto”luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Esempio 1
Esempio 2
Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.
Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)
1. Costruire la distribuzione di frequenza ed indicare la moda
abilità
sociali
frequenze
assolute
xi ni
scarse 4
medie 10
buone 15
somma (Σ) 29
frequenza assolutamaggiore
la moda è“buone abilità”
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari?
N è dispari, si considera la posizione (N+1)/2
(29+1)/2 = 15
la posizione cercata è 15
Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.
Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)
Esempio 2
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
29
2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.
Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)
2. Identificare la medianala posizione 15 si trova
dopo la frequenza cumulata 14 e prima
della frequenza cumulata 29
la mediana è“buone abilità”
29somma (Σ)
15buone
1410medie
44scarse
Ninixi
frequenze
cumulate
frequenze
assolute
abilità
sociali
Esempio 2
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)
Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.
Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)
1. Calcolare le frequenze relative
129somma (Σ)
0.5215buone
0.3410medie
0.144scarse
pinixi
frequenze
relative
frequenze
assolute
abilità
sociali
Esempio 2
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)
Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.
Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)
1
0.48
2. Calcolare le frequenze relative cumulate
129somma (Σ)
0.5215buone
0.3410medie
0.144scarse
pinixi
frequenze
relative
frequenze
assolute
abilità
sociali
0.14
Pi
freq. rel. cumulate
la frequenza cumulata pari a
0.50 si trova dopo 0.48 e prima di 1
la mediana è“buone abilità”
Esempio 2
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.
Si trovino moda, mediana e media aritmetica
1. Indicare la moda
libri
comprati
frequenze
assolute
xi ni
0 3
1 30
2 27
3 6
somma (Σ) 66
frequenza assolutamaggiore
la moda è“un libro”
Esempio 3
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.
Si trovino moda, mediana e media aritmetica
2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari?
N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1
66/2 = 33 ; 33+1 = 34
le posizioni cercate sono 33 e 34
Esempio 3
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.
Si trovino moda, mediana e media aritmetica
2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)
2. Identificare la mediana
66somma (Σ)
6663
60272
33301
330
Ninixi
frequenze
cumulate
frequenze
assolute
libri
comprati
33 e 34 si trovano nelle modalità 1 e 2…
la mediana è1.5
si calcola quindi la media tra le due
modalità: (1+2)/2 = 1.5
Esempio 3
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
+++=
x
x
x
x
Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.
Si trovino moda, mediana e media aritmetica
3. Calcolare la media aritmetica:
102
18
54
30
0
(xi) * (ni)
prodotti
6
66somma (Σ)
27
30
3
nixi
frequenze
assolute
libri
comprati
3
2
1
0dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene:
102/66 = 1.55
la media aritmeticaè 1.55
n
iii nx
Nx
1
1
Esempio 3
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
Misure di dispersione
Varianza (σ²) =
Deviazione standard (σ) =(scarto quadratico medio)
n
ii xx
N 1
2)(1
n
ii xx
N 1
2)(1
Cּni
Cּni
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
calcolatrici
possedute
frequenze
assolute
xi ni
0 3
1 52
2 19
3 8
somma (Σ) 82
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
VARIANZA σ² = niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
calcolatrici
possedute
frequenze
assolute
xi ni
0 3
1 52
2 19
3 8
somma (Σ) 82
VARIANZA σ² =
1. calcolo la media aritmetica
n
iii nx
Nx
1
1
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
114
24
38
52
0
(xi) * (ni)
prodotti
83
82somma (Σ)
192
521
30
nixi
frequenze
assolute
calcolatrici
possedute
VARIANZA σ² =
1. calcolo la media aritmetica
n
iii nx
Nx
1
1
114 / 82 = 1.39
la media è 1.39
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
1.61
0.61
0.39
1.39
Xi - X
scarti
83
82somma (Σ)
192
521
30
nixi
frequenze
assolute
calcolatrici
possedute
VARIANZA σ² =
2. calcolo gli scarti (in valore assoluto) (media = 1.39)
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
2.59
0.37
0.15
1.93
(Xi – X)²
scarti al quadrato
1.61
0.61
0.39
1.39
Xi - X
scarti
83
82somma (Σ)
192
521
30
nixi
frequenze
assolute
calcolatrici
possedute
VARIANZA σ² =
3. calcolo il quadrato degli scarti
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
20.72
7.03
7.80
5.79
(Xi – X)² * ni
scarti² * ni
2.59
0.37
0.15
1.93
(Xi – X)²
scarti al quadrato
1.61
0.61
0.39
1.39
Xi - X
scarti
83
82somma (Σ)
192
521
30
nixi
frequenze
assolute
calcolatrici
possedute
VARIANZA σ² =
4. calcolo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
41.34
20.72
7.03
7.80
5.79
(Xi – X)² * ni
scarti² * ni
2.59
0.37
0.15
1.93
(Xi – X)²
scarti al quadrato
1.61
0.61
0.39
1.39
Xi - X
scarti
83
82somma (Σ)
192
521
30
nixi
frequenze
assolute
calcolatrici
possedute
VARIANZA σ² =
5. sommo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato e divido per N
La varianza è 41.34 / 82 = 0.50
niCּ
n
ii xx
N 1
2)(1
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
DEVIAZIONE STANDARD σ =
σ = √(σ²) = √0.50 = 0.71
la deviazione standard è 0.71
n
ii xx
N 1
2)(1
niCּ
Esempio 4
Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.
luciano giromini – la misura in psicologia, 2009
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