luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 database e distribuzioni - misure di sintesi -...

luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

database e distribuzioni

- misure di sintesimisure di sintesi

- misure di variabilità- misure di variabilità

descrizione dei dati:descrizione dei dati:


misure su scala nominale

misure su scala ordinale

misure su scala a intervalli o a rapporti

MODA

MODA & MEDIANA

MODA, MEDIANA & MEDIA ARITMETICA

misure di sintesimisure di sintesi



MODA: MODA: valore o modalità a cui si associa la massima frequenzavalore o modalità a cui si associa la massima frequenza

esempio

abilità

sociali

frequenze

assolute

xi ni

scarse (s) 4

medie (m) 3

buone (b) 6

somma (Σ) 13

frequenza assolutamaggiore

la moda è“buone abilità”



MEDIANA: MEDIANA: valore o modalità che bipartisce la distribuzione ordinatavalore o modalità che bipartisce la distribuzione ordinata

delle modalità delle modalità xx(1)(1) ≤ ≤ xx(2)(2) ≤ … ≤ … xx(n)(n)

esempio

abilità

sociali

frequenze

assolute

xi ni

scarse (s) 4

medie (m) 3

buone (b) 6

somma (Σ) 13

la mediana è“medie abilità”

xx(1)(1) ≤ ≤ xx(2)(2) ≤ ≤ xx(3)(3) ≤ ≤ xx(4)(4) ≤ ≤ xx(5)(5) ≤ ≤ xx(6)(6) ≤ ≤ xx(7)(7) ≤ ≤ xx(8)(8) ≤ ≤ xx(9)(9) ≤ ≤ xx(10)(10) ≤ ≤ xx(11)(11) ≤ ≤ xx(12) (12) ≤ ≤ xx(13)(13)

(s)(s) -- (s)(s) -- (s) - (s) -(s) - (s) - (m)(m) -- (m)(m) -- (m)(m) -- (b)(b) -- (b)(b) - (b)- (b) -- (b)(b) -- (b)(b) -- (b) (b)



MEDIA ARITMETICA: MEDIA ARITMETICA:

esempio

id. QI

A101 88

A102 93

A103 112

B1002 121

B1003 80

C221 99

C222 100

C223 103

C224 99

C225 88

n

iixN

x1

1

10

110

1

iixx

88+93+112+121+80+99+100+103+99+88

10x = = 98,3

la media è98,3



- qual è la variabile di interesse?

- che tipo di variabile è?

- quali/quante sono le unità statistiche e quali/quante le modalità?

- quali indici di sintesi si possono calcolare?

- qual è l’indice di sintesi più appropriato?

misure di sintesimisure di sintesi


Esempio 1

Un ricercatore indaga i benefici di un farmaco su un gruppo di topi malati (N=230): 97 hanno un grosso beneficio, 62 non hanno alcun beneficio, 43 hanno un beneficio minimo e 28 hanno un beneficio modesto.

Costruire la distribuzione di frequenza (freq. assolute e cumulate) ed indicare le misure di sintesi opportune.

1. Costruire la distribuzione di frequenza

230somma (Σ)

23097grosso

13328modesto

10543minimo

6262assente

Ninimodalità (xi):

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

beneficio

al farmaco




2. Trovare la moda

230somma (Σ)

23097grosso

13328modesto

10543minimo

6262assente

Ninimodalità (xi):

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

beneficio

al farmacofrequenza assolutamaggiore

la moda è“grosso

beneficio”


Esempio 1



3a. È possibile calcolare la mediana? Sì, perché la variabile è misurata su scala ordinale


Esempio 1



3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)

1. Trovare la posizione mediana: N è pari o dispari?

N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1

230/2 = 115 ; 115+1 = 116

le posizioni cercate sono 115 e 116


Esempio 1



3b. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)

2. Identificare la mediana

230somma (Σ)

23097grosso

13328modesto

10543minimo

6262assente

Ninimodalità (xi):

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

beneficio

al farmaco 115 e 116 sono compresi tra 105 e 133

la mediana è“beneficiomodesto”


Esempio 1



3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)

1. Calcolare le frequenze relative

1230somma (Σ)

0.4297grosso

0.1228modesto

0.1943minimo

0.2762assente

pinimodalità (xi):

frequenze

relative

frequenze

assolute

beneficio

al farmaco


Esempio 1

0.58

0.46



3c. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)

2. Calcolare le frequenze relative cumulate

1230somma (Σ)

0.4297grosso

0.1228modesto

0.1943minimo

0.2762assente

pinimodalità (xi):

frequenze

relative

frequenze

assolute

beneficio

al farmaco

1

0.27

Pi

freq. rel. cumulate

la frequenza cumulata pari

a 0.50 è compresa tra 0.46 e 0.58

la mediana è“beneficiomodesto”luciano giromini – la misura in psicologia, 2009

Esempio 1

Esempio 2

Si indagano le abilità sociali dei bambini (N=29) di una terza elementare mediante i giudizi soggettivi dello psicologo scolastico: 15 bambini hanno abilità buone, 10 medie e 4 scarse.

Si trovino moda e mediana (con le posizioni e con le relative cumulate)

1. Costruire la distribuzione di frequenza ed indicare la moda

abilità

sociali

frequenze

assolute

xi ni

scarse 4

medie 10

buone 15

somma (Σ) 29


la moda è“buone abilità”


2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)


N è dispari, si considera la posizione (N+1)/2

(29+1)/2 = 15

la posizione cercata è 15



Esempio 2


29

2a. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)



2. Identificare la medianala posizione 15 si trova

dopo la frequenza cumulata 14 e prima

della frequenza cumulata 29

la mediana è“buone abilità”

29somma (Σ)

15buone

1410medie

44scarse

Ninixi

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

abilità

sociali

Esempio 2


2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)



1. Calcolare le frequenze relative

129somma (Σ)

0.5215buone

0.3410medie

0.144scarse

pinixi

frequenze

relative

frequenze

assolute

abilità

sociali

Esempio 2


2b. Calcolare la mediana: (utilizzando le frequenze relative cumulate…)



1

0.48

2. Calcolare le frequenze relative cumulate

129somma (Σ)

0.5215buone

0.3410medie

0.144scarse

pinixi

frequenze

relative

frequenze

assolute

abilità

sociali

0.14

Pi

freq. rel. cumulate

la frequenza cumulata pari a

0.50 si trova dopo 0.48 e prima di 1

la mediana è“buone abilità”

Esempio 2


Si desidera conoscere quanti libri comprano gli studenti di un corso (N=66) per preparare un determinato esame; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.

Si trovino moda, mediana e media aritmetica

1. Indicare la moda

libri

comprati

frequenze

assolute

xi ni

0 3

1 30

2 27

3 6

somma (Σ) 66


la moda è“un libro”

Esempio 3




2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)


N è pari, si considerano le posizioni N/2 e (N/2)+1

66/2 = 33 ; 33+1 = 34

le posizioni cercate sono 33 e 34

Esempio 3




2. Calcolare la mediana: (utilizzando le posizioni…)

2. Identificare la mediana

66somma (Σ)

6663

60272

33301

330

Ninixi

frequenze

cumulate

frequenze

assolute

libri

comprati

33 e 34 si trovano nelle modalità 1 e 2…

la mediana è1.5

si calcola quindi la media tra le due

modalità: (1+2)/2 = 1.5

Esempio 3


+++=

x

x

x

x



3. Calcolare la media aritmetica:

102

18

54

30

0

(xi) * (ni)

prodotti

6

66somma (Σ)

27

30

3

nixi

frequenze

assolute

libri

comprati

3

2

1

0dividendo la somma dei prodotti per N si ottiene:

102/66 = 1.55

la media aritmeticaè 1.55

n

iii nx

Nx

1

1

Esempio 3


Misure di dispersione

Varianza (σ²) =

Deviazione standard (σ) =(scarto quadratico medio)

n

ii xx

N 1

2)(1

n

ii xx

N 1

2)(1

Cּni

Cּni


calcolatrici

possedute

frequenze

assolute

xi ni

0 3

1 52

2 19

3 8

somma (Σ) 82

Esempio 4

Si desidera conoscere quante calcolatrici possiedono gli studenti (N=82) di un corso di statistica; di seguito vengono riportate le frequenze assolute.Si calcolino indici di sintesi e dispersione opportuni.

VARIANZA σ² = niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1


calcolatrici

possedute

frequenze

assolute

xi ni

0 3

1 52

2 19

3 8

somma (Σ) 82

VARIANZA σ² =

1. calcolo la media aritmetica

n

iii nx

Nx

1

1

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



114

24

38

52

0

(xi) * (ni)

prodotti

83

82somma (Σ)

192

521

30

nixi

frequenze

assolute

calcolatrici

possedute

VARIANZA σ² =

1. calcolo la media aritmetica

n

iii nx

Nx

1

1

114 / 82 = 1.39

la media è 1.39

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



1.61

0.61

0.39

1.39

Xi - X

scarti

83

82somma (Σ)

192

521

30

nixi

frequenze

assolute

calcolatrici

possedute

VARIANZA σ² =

2. calcolo gli scarti (in valore assoluto) (media = 1.39)

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



2.59

0.37

0.15

1.93

(Xi – X)²

scarti al quadrato

1.61

0.61

0.39

1.39

Xi - X

scarti

83

82somma (Σ)

192

521

30

nixi

frequenze

assolute

calcolatrici

possedute

VARIANZA σ² =

3. calcolo il quadrato degli scarti

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



20.72

7.03

7.80

5.79

(Xi – X)² * ni

scarti² * ni

2.59

0.37

0.15

1.93

(Xi – X)²

scarti al quadrato

1.61

0.61

0.39

1.39

Xi - X

scarti

83

82somma (Σ)

192

521

30

nixi

frequenze

assolute

calcolatrici

possedute

VARIANZA σ² =

4. calcolo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



41.34

20.72

7.03

7.80

5.79

(Xi – X)² * ni

scarti² * ni

2.59

0.37

0.15

1.93

(Xi – X)²

scarti al quadrato

1.61

0.61

0.39

1.39

Xi - X

scarti

83

82somma (Σ)

192

521

30

nixi

frequenze

assolute

calcolatrici

possedute

VARIANZA σ² =

5. sommo il prodotto di ni per gli scarti al quadrato e divido per N

La varianza è 41.34 / 82 = 0.50

niCּ

n

ii xx

N 1

2)(1

Esempio 4



DEVIAZIONE STANDARD σ =

σ = √(σ²) = √0.50 = 0.71

la deviazione standard è 0.71

n

ii xx

N 1

2)(1

niCּ

Esempio 4



luciano giromini – la misura in psicologia, 2009 database e distribuzioni - misure di sintesi -...

Documents