logika stosowana - wyk ad 5 - zbiory i logiki rozmyte czesc 1szczuka/ls/lecture5.pdf · marcin...

Logika StosowanaWykład 5 - Zbiory i logiki rozmyte

Część 1

Marcin Szczuka

Instytut Informatyki UW

Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36

Plan wykładu

1 WstępDefinicje i własnościOperacje na zbiorach rozmytychReguły lingwistyczne

2 Zbiory i wnioskowania rozmytePodstawowe operacje raz jeszczeRelacje rozmyte

3 Rozmyte operatory logiczneImplikacja rozmyta

Źródła pojęć rozmytych

W odróżnieniu od precyzyjnego ale ograniczonego języka, jakiegoużywaliśmy dotąd do opisywania pojęć wykorzystywanych do budowaniasystemów (logicznego) wnioskowania, pojęcia w świecie rzeczywistym sązwykle określone znacznie mniej dokładnie.

Weżmy dla przykładu zdanie z języka naturalnego:

Jaś jest wysoki

Może ono wyrażać różne rzeczy zależnie od kontekstu czy perspektywy (np.pojęcie wysoki może byc inne w Japonii).Jednak jeśli chcemy wprowadzić dane Jasia do komputera, musimy podaćjego wzrost dokładnie - powiedzmy 190 cm.

A co jesli nie wiemy jak (dokładnie) wysoki jest Jaś?

Źródła pojęć rozmytych

Na codzień doskonale radzimy sobie z rozumieniem zdań takich jak:

Potrzeba około 40 minut, aby dojechać na lotnisko o ileruch uliczny nie jest zbyt duży.Co jednak, gdybyśmy chcieli zmusić komputer, aby rozumiał i posługiwałsię takimi pojęciami?

Jak moglibyśmy przetwarzać w maszynie takie stwierdzenia?

W jaki sposób reprezentować około czy zbyt duży?

Pojęcia i zbiory rozmyte

W 1965 Lotfi Zadeh zaproponował nowe spojrzenie na pojęcie zbioru inależenia. Jego celem było umożliwienie wyrażania zależności, które są zeswojej natury niedokładne, żozmyte"(ang. fuzzy).

Wróćmy do przykładu stwierdzenia w języku naturalnym:

Jaś jest wysoki.

Jeżeli wiemy, że Jaś ma 175 cm wzrostu, to możemy się zastanawiać nadprawdziwością powyższego stwierdzenia.

W terminach klasycznej teorii mnogości, musielibyśmy twardo zdecydować,czy 175 cm kwalifikuje Jasia jako wysokiego czy nie.

W teorii zbiorów rozmytych, możemy wyrazić to subtelniej, określając wjakim stopniu można uznać Jasia za osobę wysoką.

Zbiory rozmyte

W klasycznej teorii mnogości każdy podzbiór A w pewnej przestrzeni Xmożna utożsamić z jego funkcją charakterystyczną określoną jako:

χA(x) =

{1 gdy x ∈ A0 gdy x /∈ A

W przypadku teorii zbiorów rozmytych zastępujemy binarną funkcjęcharakterystyczną χA przez funkcję przynależnoci µA : X → [0, 1].

Funkcję µA nazywamy funkcją przynależności lub funkcją należenia.

Jeżeli ∀x∈XµA(x) ∈ {0, 1} to zbiór A jest zbiorem w zwykłym sensie i jestnazywany zbiorem ostrym, definiowalnym lub dokładnym (ang. crisp).

Jeżeli istnieje x ∈ X takie, że 0 < µA(x) < 1 to zbiór A jest rozmyty.

Zbiory rozmyte – przykłady

Klasycznym przykładem zbioru rozmytego jest zbiór prawie− zero(near − zero) przedstawiony przez Zadeha dla reprezentowania pojęcialiczby rzeczywistej bliskiej 0. Ten zbiór może być zadany na przykładnastępującą funkcją przynależności:

µprawie−zero =1

1 + x2

Która wygląda tak:

Wcześniej rozważane pojęcie wysoki, może być zadane – dla wzrostu x wcentymetrach – funkcją przynależności:

µwysoki =

0 if x ≤ 1251 if x ≥ 185x−185

2 + 1 if 125 < x < 185

Kóra wygląda tak:

Wzrost w cm

µwysoki

125 185

Inny przykład to zbiory rozmyte reprezentujące trzy pojęcia zimny (cold),ciepły (warm) i gorący (hot), dla x będącego temperaturą w stopniach.

Plan wykładu

Zbiory rozmyte – definicje i własności

Aby móc mówić o teorii zbiorów trzeba wprowadzić podstawowe pojęcia.

Zbiór normalnyPowiemy, że zbiór rozmyty A zadany przez funkcję przynależnościµA : X → [0, 1] jest normalny jeśli ∃x∈X µA(x) = 1.

Zawieranie rozmyteNiech A,B będą zbiorami rozmytymi w tej samej przestrzeni X. Zbiórrozmyty A jest zawarty zbiorze rozmytym B (A ⊆ B) wtedy i tylko wtedy,gdy ∀x∈X µA(x) ≤ µB(x).

Charakterystyki zbioru rozmytegoDla danego zbioru rozmytego A określamy następujące wartości:

Wysokość A: height(A) = h(A) = maxx∈X µA(x).Nośnik A: Supp(A) = {x ∈ X : µA(x) > 0}.Jądro A: Core(A) = {x ∈ X : µA(x) = 1}.

Zbiory rozmyte – definicje i własności

Dla dobrego określenia własności zbiorów rozmytych musimy wprowadzićpodstawowe pojęcia takie jak zawieranie czy zbiór pusty.

Pusty zbiór rozmytyPowiemy że zbiór rozmyty ∅ jest pusty wtedy i tylko wtedy gdy∀x∈X µ∅(x) = 0

Normalnie moc zbioru mierzymy liczbą jego elementów. W przypadkuzbiorów rozmytych posługujemy się funkcją przynależności.

Moc zbioru rozmytegoDla danego zbioru rozmytego A określamy jego moc

Power(A) = A =

{ ∑ni=1 µA(x) gdy X = {x1, . . . , xn}∫

X µA(x)dx w p.p.

Wprowadzimy teraz operacje mnogościowe na zbiorach rozmytych.

Plan wykładu

Zbiory rozmyte – operacje

W przypadku zbiorów rozmytych operacje takie jak suma, dopełnienie czyprzecięcie możemy definiować na wiele sposobów. Jednakże wprzeważającej większości (ponad 90%) zastosowań praktycznychwykorzystujemy minimum stopni przynależności (jako przecięcie) imaksimum stopni przynależności (jako sumę).

Podstawowe operatory na zbiorach rozmytychDla zbiorów rozmytych A i B o funkcjach przynależności (odpowiednio) µAi µB, mamy:

Suma zbiorów rozmytych A ∪B:µA∪B = max(µA, µB).Przecięcie zbiorów rozmytych A ∩B:µA∩B = min(µA, µB).Dopełnienie zbioru rozmytego \A:µ\A = 1− µA.

Zbiory rozmyte – operacje

µA(x)

µB(x)

µA(x)

µB(x)

Alternatywą dla operatorów min i max są na przykład:µA∪B = min(1, µA + µB), µA∩B = max(0, µA + µB − 1)tak zwane operatory Łukasiewicza.µA∪B = µA + µB − µAµB, µA∩B = µAµBtak zwane operatory produktowe.

Ważna uwaga o zbiorach rozmytych

Jest bardzo ważne, zby zdawać sobie sprawę, że:1 Teoria zbiorów rozmytych NIE jest alternatywą dla klasycznej teorii

mnogości. Jest ona rozszerzeniem klasycznej teorii mnogości, którenie może istnieć niezależnie od niej. Aparat klasycznej teorii mnogościjest niezbędny w definicji zbioru rozmytego. Zatem teoria zbiorówrozmytych nie jest niezależna od teorii mnogości.

2 Teoria zbiorów rozmytych, pomimo pozornych podobieństw, NIE jestw stanie zastąpić wnioskowań probabilistycznych. Fakt, że obie teoriesą oparte o wartości w przedziale [0, 1] nie wystarcza. Może być tak,że nie istnieje rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje zadanąrodzinę zbiorów rozmytych.

Plan wykładu

Reguły lingwistyczne

Reguły lingwistyczne (rozmyte) to wyrażenia postaci:

IF A1 AND A2 AND ... AND Ak THEN D

gdzie warunki A1, . . . , Ak i decyzja D odpowiadają zbiorom rozmytym.Na przykład:

IF pogoda jest dobra AND ruch jest niewielki AND mamy dość paliwaTHEN będziemy na lotnisku za około 30 minut.

Takie reguły możemy otrzymywać od ekspertów lub wydobywać (uczyć się)z danych eksperymentalnych. Aby ich używać wykorzystując zbiory rozmyteposłużymy się (logicznymi) operatorami rozmytymi.

Plan wykładu

Operatory rozmyte

W przypadku klasycznych zbiorów posługujemy się jednoznacznieokreślonymi operacjami takimi jak suma, dopełnienie, przecięcie czy różnicasymetryczna. W przypadku zbiorów rozmytych możemy definiować takieoperacje na (nieskończenie) wiele sposobów. Wynika to z faktu że istniejewiele:

1 Funkcji spełniających warunki dla T-normy – odpowiednik przecięcia.2 Funkcji spełniających warunki dla T-konormy (S-normy), –

odpowiednik sumy.3 Funkcji spełniających warunki dla dopełnienia (negacji).

Dalej przedstawimy różne przykłady takich funkcji.

Przecięcie rozmyte – T-norma

Każda spośród funkcji należących do klasy T-norm może byc wykorzystanajako przecięcie zbiorów rozmytych.

Definicja – T-normaT-normą nazwiemy każdą funkcję T : [0, 1]2 → [0, 1] spełniającąnastępujące warunki dla a, b, c, d ∈ [0, 1]:

Przemienność: T (a, b) = T (b, a);Łączność: T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c);Monotoniczność: T (a, b) ≥ T (c, d) gdy a ≥ c, b ≥ d;Tożsamość jedynki: T (a, 1) = a

Jak łatwo zauważyć, funkcja T (a, b) = min(a, b) jest prawidłową T-normą.Co więcej, funkcja min(., .) jest elementem maksymalnym (punktowo) wklasie T-norm.

Rozmyta suma – T-konorma (S-norma)

Analogicznie, sumę zbiorów rozmytych będziemy definiowali używającpojęcia S-normy (zwanej też T-konormą).

Definicja – S-normaS-normą (T-konormą) nazwiemy każdą funkcję S : [0, 1]2 → [0, 1]spełniającą następujące warunki dla a, b, c, d ∈ [0, 1]:

Przemienność: S(a, b) = S(b, a);Łączność: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c);Monotoniczność: S(a, b) ≥ S(c, d) gdy a ≥ c, b ≥ d;Tożsamość zera: S(a, 0) = a

Widzieliśmy już przykłady T-norm i S-norm:

T (a, b) = max(0, a+ b− 1), S(a, b) = min(1, a+ b) – operatoryŁukasiewicza.T (a, b) = ab, S(a, b) = a+ b− ab – operatory produktowe.

Dopełnienie rozmyte

Dopełnienie zbioru (negację rozmytą) możemy także zdefiniować dlazbiorów rozmytych na wiele sposobów.

Definicja –dopełnienie rozmyte (negacja)

Operatorem neacji nazwiemy każdą funkcję N : [0, 1]→ [0, 1] spełniającąnastępujące warunki dla a, b ∈ [0, 1]:

Zachowywanie stałych: N(0) = 1;N(1) = 0;Odwracanie porządku: N(a) ≤ N(b) gdy b ≤ a;Inwolucja: N(N(a)) = a.

Jeżeli w powyższej definicji nie jest spełniony warunek inwolucji to mamydo czynienia z tak zwaną negacją intuicjonistyczną.Najczęściej (praktycznie zawsze) używanym przykładem operacjidopełnienia jest µ\A(x) = 1− µA(x). W dalszej części wykładu będziemyzawsze przyjmować, że posługujemy się właśnie tą operacją negacji.

Dualność T-norm i S-norm

Posiadanie operatora negacji pozwala na definiowanie S-normy(T-konormy) dualnej do zadanej T-normy (i vice versa).

Definicja – S-norma dualnaDla T-normy T : [0, 1]2 → [0, 1] definiujemy S-normę (T-konormę) dualnąS, jako:

S(a, b) = N(T (N(a), N(b)))

W większości przypadków będziemy się posługiwać:

S(a, b) = 1− T (1− a, 1− b)

W większości przypadków będziemy sie ograniczać do pary min/max.Ważną własnością tej pary operacji jest spełnianie praw rozdzielności:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Ponadto, min (max) są jedynymi idempotentnymi operacjami w klasieT-norm (T-konorm).

Plan wykładu

Relacje rozmyte

W zwykłej teorii mnogości relację definiuje się jako podzbiór produktukartezjańskiego. W przypadku zbiorów rozmytych ta definicja jestanalogiczna. Dalej będziemy się zajmować tylko relacjami binarnymi. Mato na celu uproszczenie notacji, bo wszystkie podane dalej pojęciaprzenoszą się na przypadek relacji n-arnych.

Definicja - relacja rozmytaRelacją rozmytą określoną na X × Y nazwiemy każdy podzbiór rozmytyiloczynu kartezjańskiego X × Y .

Tak określona relacja rozmyta ma wszystkie pożądane własności.Zauważmy jednak, że do jej wprowadzenia nie jest używane pojęcie iloczynukartezjańskiego zbiorów rozmytych. Powstaje zatem pytanie czym jest takiiloczyn i jak ma się on do wprowadzonego właśnie pojęcia relacji rozmytej.

Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych

Wprowadzimy iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych i pokażemy jak masię do pojęcia relacji rozmytej.

Definicja – iloczyn kartezjański zbiorów rozmytychNiech A,B zbiory rozmyte w przestrzeniach (odpowiednio) X i Y .Iloczynem kartezjańskim A×B nazwiemy relację R (ozn. R = A×B)określoną na X × Y przez:

µR(x, y) = min(µA(x), µB(y))

W ogólnym (n-arnym) przypadku:

µR(x1, . . . , xn) = mini(µAi(xi)),

gdzie R = A1 ×A2 × . . .×An dla zbiorów rozmytych A1, A2, . . . , An.

Rozszerzenie cylindryczne i projekcja

W pewnych sytuacjach potrzebujemy rozważać własności relacji rozmytychze względu na poszczególne współrzędne. Służą temu (między innymi)pojęcia rozszerzenia cylindrycznego i projekcji.

Definicja – Rozszerzenie cylindryczne i projekcjaNiech A będzie zbiorem rozmytym w X. Rozszerzeniem cylindrycznymzbioru A na iloczyn kartezjański X × Y nazywamy relację rozmytąA = A× Y zadaną przez funkcję przynależności:

µA(x, y) = T (µA(x), µY (y)) = T (µA(x), 1) = µA(x),

gdzie T jest T-normą.Niech R będzie relacją rozmytą określona na X × Y . Projekcją R na X(analogicznie na inne współrzędne) nazywamy zbiór rozmyty A◦ w Xoznaczany A◦ = Projx(A) i zadany przez:

µA◦(x) = maxy

(µA(x, y)).

Plan wykładu

Klasyczne vs. rozmyte

W przypadku klasycznej teorii mnogości operacje na zbiorach sąjednoznacznie związane z operacjami logicznymi na zdaniach.W przypadku zbiorów rozmytych sytuacja jest bardziej złożona choćby zewzględu na wiele możliwych sposobów wprowadzenia operacji na zbiorach.Dlatego przy rozpatrywaniu operacji logicznych związanych z pojęciamizbiorów rozmytych przyjmuje się inny sposób określania wartości logicznejdla formuły.W klasycznej logice zdaniowej podstawienie było funkcjąv : V AR→ {0, 1}.Zatem wartościowanie [[φ]]v dla każdej formuły φ zawsze było równe 0(fałsz) albo 1 (prawda).W logice rozmytej będziemy przyjmować, że formuła może przyjmowaćwartość logiczną pomiędzy 0 a 1.Dokładniej, [[φ]]v ∈ [0, 1], czyli możemy mówić o stopniu prawdziwościformuły.

Rozmyte operatory logiczne

Operatory logiczne rozmyte nie mogą już być określane za pomocą tabelek(truth table). Są to bowiem funkcje [0, 1]2 → [0, 1] ([0, 1]→ [0, 1] wprzypadku negacji).Używając T-norm i T-konorm możemy w naturalny sposób wprowadzićkoniunkcję i alternatywę jako:

[[φ ∧ ψ]]v = T ([[φ]]v, [[ψ]]v),

[[φ ∨ ψ]]v = S([[φ]]v, [[ψ]]v)

Zwykle będziemy przyjmować, że T-norma T i S-norma S w powyższejdefinicji są do siebie dualne.Podobnie dla negacji możemy się posłużyć funkcją spełniającą warunki zdefinicji dopełnienia (negacji). Najczęściej przyjmować będziemy, że:

[[¬φ]]v = 1− [[φ]]v

Rozmyte operatory logiczne

Równoważność określamy za pomocą implikacji i koniunkcji jako:

[[φ⇔ ψ]]v = [[(φ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ φ)]]v

Przyjmując założenie, że

[[φ]]v ≤ [[ψ]]v ⇒ [[φ⇒ ψ]]v = 1,

otrzymujemy [[φ⇒ ψ]]v = 1 lub [[ψ ⇒ φ]]v = 1.Dla koniunkcji określonej za pomocą jakiejś T-normy otrzymujemy zatem

[[φ⇔ ψ]]v = min([[φ⇒ ψ)]]v, [[ψ ⇒ φ)]]v)

i to niezależnie od wyboru operatora koniunkcji (T-normy).

Plan wykładu

Implikacje rozmyte

Pozostaje nam zdefiniować operator implikacji, czyli określić znaczenie dlaφ⇒ ψ (wartość [[φ⇒ ψ]]v) w przypadku rozmytym.Nie jest wielkim zaskoczeniem fakt, że można to zrobić na wiele sposobów.W tabeli poniżej zostały przedstawione najpowszechniej używane operatoryimplikacji rozmytej:

nazwa implikacji [[φ⇒ ψ]]vŁukasiewicza min(1− [[φ]]v + [[ψ]]v, 1)

Gödla{

1 gdy [[φ]]v ≤ [[ψ]]v[[ψ]]v w p.p.

Goguen’a

{1 gdy [[φ]]v = 0

min(1,[[ψ]]v[[φ]]v

) w p.p.

Kleene-Dienes’a max(1− [[φ]]v, [[ψ]]v)

Zadeha max(1− [[φ]]v,min([[ψ]]v, [[φ]]v))

Reichenbacha 1− [[φ]]v + [[ψ]]v · [[φ]]v

Operatory rozmyte – rozmaitości

W przypadku operacji rozmytych można, podobnie jak w przypadkuklasycznych spójników logicznych, definiować jedne za pomocą innychkorzystając z różnych tautologii. Trzeba jednak zachować przy tymostrożność, gdyż zależnie od używanej metody możemy uzyskać różnewyniki.I tak na przykład, używając implikacji Łukasiewicza możemy wprowadzićdwie różne operacje alternatywy wykorzystując dwie znane zależnościmiędzy spójnikami logicznymi.

[[φ ∨1 ψ]]v = [[¬φ⇒ ψ]]v = min([[φ]]v + [[ψ]]v, 1) (1)

[[φ ∨2 ψ]]v = [[¬φ⇒ ¬(ψ ⇒ φ)]]v = max([[φ]]v, [[ψ]]v) (2)

W klasycznej logice obie formuły ¬φ⇒ ψ i φ⇒ ¬(ψ ⇒ φ) są równoważnealternatywie. W zwykłej logice moglibyśmy wydefiniować implikację zapomocą dowolnej z nich. W przypadku logiki rozmytej i implikacjiŁukasiewicza możemy się posłużyć tylko negacją i alternatywą, czyli (1).

logika stosowana - wyk ad 5 - zbiory i logiki rozmyte czesc 1szczuka/ls/lecture5.pdf · marcin...

Documents

kwantologia stosowana 5

kwantologia stosowana 3

kwantologia stosowana

daftcode - mimuw - program 1

rak prącia - technika stosowana

lingwistyka stosowana 7, 2013 - uniwersytet...

mimuw - mikroekonomia

kwantologia stosowana 6

hamartiologia stosowana

logika stosowana - wykład 5 - zbiory i logiki rozmyte czesc...

fizyka stosowana

kwantologia stosowana 10

kwantologia stosowana 7

chemia stosowana i

statystyka matematyczna i stosowana

logika stosowana - wyk ad 8 - wnioskowanie indukcyjne...

logika stosowana - wykład 2 - logika modalna czesc 1

ekonometria stosowana

kwantologia stosowana 1

kwantologia stosowana 4