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CALCOLO PROPOSIZIONALE

Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci

vada Bruno.

Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che:1) Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno2) Nessuno dei tre amici è andato al cinema3) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado4) Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato

nemmeno Bruno

Come si formalizza il concetto di passaggio di deduzione valido?

UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA(da un test d’ingresso)

IL CALCOLO PROPOSIZIONALE

E’ il nucleo di (quasi) tutte le logiche. Limitato potere espressivo, ma sufficiente per introdurre il concetto di deduzione valida

Le proposizioni atomiche sono asserzioni a cui sia assegnabile in modo univoco un valore di verità in accordo ad una interpretazione del mondo a cui si riferiscono

“dichiarativi sono non già tutti i discorsi, ma quelli in cui sussiste una enunciazione vera oppure falsa”

Aristotele

ESEMPI DI PROPOSIZIONI “ATOMICHE”

1. Roma è la capitale d’Italia

2. La Francia è uno stato del continente asiatico

3. 1+1 = 2

4. 2+2 = 3

ESEMPI DI NON PROPOSIZIONI

1. Che ora è?

2. Leggete queste note con attenzione

3. X+1 = 2

SINTASSI E SEMANTICA

● Introduciamo la sintassi e la semantica del calcolo proposizionale

● La sintassi definisce il linguaggio ovvero le asserzioni (formule): -simboli proposizionali (proposizioni atomiche)

-connettivi logici

● La semantica definisce il significato delle formule, ovvero il loro valore di verita' -dipende dal valore di verita dei simboli proposizionali

CONNETTIVI LOGICI

Connettivo Forma simbolica Operazione corrispondente

not ~ p negazione

and, e p ˰ q congiunzione

or, oppure p ˬ q disgiunzione

se p allora q p q implicazione

p se e solo se q p q equivalenza

p se q p q conseguenza

SINTASSI DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI (GRAMMATICA)

Prop ::=

Prop Prop | Prop ˬ Prop | Prop ˰ Prop |

Prop Prop | Prop Prop |

Atom | ~AtomAtom ::= T | F | Ide | (Prop)Ide ::= p | q | …| P | Q | …

SEMANTICA (SIGNIFICATO) DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI

Tabelle di verità dei connettivi logici:

Il valore di verita' di una formula composta si ottiene a partire dal valore di verita' delle sottoformule

Si osservi in particolare il valore di verità di un’implicazione (o di una conseguenza)

p q T F ~p p ˰ q p ˬ q p q p q p q

T T T F F T T T T T

T F T F F F T F F T

F T T F T F T T F F

F F T F T F F T T T

CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO

Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Introduciamo tre proposizioni:

A “Antonio va al cinema” B “Bruno va al cinema” C “Corrado va al cinema”

Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio;

C A

Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. A B

CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO

Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno

C B

Nessuno dei tre amici è andato al cinema

(~A) ˰ (~B) ˰ (~ (~C)

Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado B C

Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno (~C) (~B)

Per rispondere alla domanda del test, dobbiamo capire quale di queste quattro proposizioni è conseguenza logica delle proposizioni precedenti

∧

TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia è una formula del calcolo proposizionale che vale T per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali Esempio: p ˬ p (vedi tabella di verità)

Una contraddizione è una formula che vale F per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali

Quindi P è una tautologia se e solo se ~P è una contraddizione

IMPLICAZIONI E EQUIVALENZE

Diciamo che p implica tautologicamente q

se e solo se p q è una tautologia

p è tautologicamente equivalente a qse e solo se

p ≡ q è una tautologia

In entrambi i casi e' sufficiente costruire la corrispondente tabella di verita'

DIMOSTRAZIONE DI TAUTOLOGIE

Per dimostrare che p è una tautologia possiamo Usare le tabelle di verità

Del tutto meccanico, richiede di considerare 2n casi, dove n è il numero di variabili proposizionali in p

Mostrare che non è una tautologia individuando valori delle variabili proposizionali che rendono falsa p

ESEMPIO DI TAULTOLOGIA: TRANSITIVITA’ DELL’IMPLICAZIONE:

p q r p q q r (p q) (q r)

p r ((p q) (q r)) (p r)

T T T T T T T T

T T F T F F F T

T F T F T F T T

T F F F T F F T

F T T T T T T T

F T F T F F T T

F F T T T T T T

F F F T T T T T

EQUIVALENZE PER IMPLICAZIONI

(p q) ((~p) ˬ q) (elim- )

(p q) (p q) ˰ (q p) (elim- )

(p q) (q p) (elim-)

p q p q ~p ~p ˬ q

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

EQUIVALENZE PER LA NEGAZIONE

~(~ p) p (Doppia negazione)

p ˬ ~p) T (Terzo escluso)

p ˰ ~p) F (Contraddizione)

~(p ˰ q) (~p) ˬ (~q) (De Morgan)

~(p ˬ q) (~p) ˰ ~q)

~T F (T:F)

~F T (F:T)

Esercizio: dimostrare le equivalenze con tabelle di verità

ESEMPI DI IMPLICAZIONI

Dimostrare che le seguenti formule sono tautologie usando le tabelle di verita'

(p ˰ (p q)) q

(p ˰ q) p

p p ˬ q)

ESEMPI DI IMPLICAZIONI

Dimostrare che le seguenti formule non sono tautologie usando le tabelle di verita'

(p ˬ q) p

p p ˰ q)

((p ˬ ~r)) ˰ (p q)) q

PASSO DI DEDUZIONE VALIDO

Torniamo indietro al problema della deduzione Il concetto di conseguenza logica si puo' formalizzare in

modo intuitivo usando la semantica dell'implicazione E' corretto dedurre una conclusione P da un insieme di

premesse G1 ............ Gn

sse la sequente formula e' una tautologia

(G1 ˰ .... ˰ Gn) P

MODUS PONENS

Abbiamo dimostrato che la seguente formula e' una tautologia

(p ˰ (p q)) q

Se valgono le premesse p, (p q)

possiamo dedurre q

TORNIAMO ALL’ESEMPIO DAL TEST

Premesse: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; ( C A )

Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. ( A B )

Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno

( C B )

Nessuno dei tre amici è andato al cinema

( (~A ) ˰ (~B) ˰ (~C) )

Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado ( B C )

Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno ( (~C) (~B) )

Basta determinare quale delle seguenti formule è una tautologia:

1) ( (C A) ˰ A B) ) ( C B )

2) ( (C A) ˰ A B) ) ( (~A) ˰ (~B) ˰ (~C) )

3) ( (C A) ˰ A B) ) ( B C )

4) ( (C A) ˰ A B) ) ( (~ C) ~B) )

Si possono verificare con tabelle di verità

Abbiamo gia' dimostrato che (1) è una tautologia

Esercizio: mostrare che (2), (3) e (4) non sono tautologie

CONSEGUENZA LOGICA

Sia Γ un insieme di formule proposizionali (asserzioni che hanno valore T o F)

Una intepretazione assegna un valore di verita' alle proposizioni elementari

Una intepretazione che rende veri tutte le formule proposizionali in Γ è detta un modello di Γ

Se una formula Q è vera in tutti i modelli di Γ si dice che

Q è conseguenza logica di Γ (Γ Q)

CONSEGUENZA LOGICA

Dato Γ, il numero di possibili interpretazioni è finito: se n è il numero di proposizioni elementari in Γ, il numero di possibili interpretazioni è 2^n.

Si possono usare le tabelle di verita' per decidere se

Γ Q

Modo alternativo per formulare la che la conclusione Q e' deducibile dall'insieme delle premesse Γ

Esercizi: usare le tabelle di verita'

Dimostrare che q e' conseguenza logica delle premesse: p, (p q)

Dimostrare che q non e' conseguenza logica delle premesse p, ((p ˰ r ) q)

Dimostrare che (q p) (~ p ~q)

FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPI

Piove e fa molto freddo

Fa freddo, ma non piove

Se ci sono nuvole e non c’è vento, allora piove

Piove solo se ci sono nuvole e non c’è vento

Nevica, ma non fa freddo se ci si copre

Se ci si copre, allora fa freddo o nevica

Formalizzazione di implicazioni in linguaggio naturale

Scrivere la proposizione rappresentata da ognuna delle seguenti frasi in italiano: Se P, allora Q P è una conseguenza di Q P è condizione necessaria e sufficiente per Q P è condizione necessaria per Q P è condizione sufficiente per Q P vale solo se vale Q P vale se vale Q P vale se e solo se vale Q