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CALCOLO PROPOSIZIONALE
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Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci
vada Bruno.
Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che:1) Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno2) Nessuno dei tre amici è andato al cinema3) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado4) Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato
nemmeno Bruno
Come si formalizza il concetto di passaggio di deduzione valido?
UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA(da un test d’ingresso)
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IL CALCOLO PROPOSIZIONALE
E’ il nucleo di (quasi) tutte le logiche. Limitato potere espressivo, ma sufficiente per introdurre il concetto di deduzione valida
Le proposizioni atomiche sono asserzioni a cui sia assegnabile in modo univoco un valore di verità in accordo ad una interpretazione del mondo a cui si riferiscono
“dichiarativi sono non già tutti i discorsi, ma quelli in cui sussiste una enunciazione vera oppure falsa”
Aristotele
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ESEMPI DI PROPOSIZIONI “ATOMICHE”
1. Roma è la capitale d’Italia
2. La Francia è uno stato del continente asiatico
3. 1+1 = 2
4. 2+2 = 3
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ESEMPI DI NON PROPOSIZIONI
1. Che ora è?
2. Leggete queste note con attenzione
3. X+1 = 2
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SINTASSI E SEMANTICA
● Introduciamo la sintassi e la semantica del calcolo proposizionale
● La sintassi definisce il linguaggio ovvero le asserzioni (formule): -simboli proposizionali (proposizioni atomiche)
-connettivi logici
● La semantica definisce il significato delle formule, ovvero il loro valore di verita' -dipende dal valore di verita dei simboli proposizionali
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CONNETTIVI LOGICI
Connettivo Forma simbolica Operazione corrispondente
not ~ p negazione
and, e p ˰ q congiunzione
or, oppure p ˬ q disgiunzione
se p allora q p q implicazione
p se e solo se q p q equivalenza
p se q p q conseguenza
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SINTASSI DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI (GRAMMATICA)
Prop ::=
Prop Prop | Prop ˬ Prop | Prop ˰ Prop |
Prop Prop | Prop Prop |
Atom | ~AtomAtom ::= T | F | Ide | (Prop)Ide ::= p | q | …| P | Q | …
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SEMANTICA (SIGNIFICATO) DELLE FORMULE PROPOSIZIONALI
Tabelle di verità dei connettivi logici:
Il valore di verita' di una formula composta si ottiene a partire dal valore di verita' delle sottoformule
Si osservi in particolare il valore di verità di un’implicazione (o di una conseguenza)
p q T F ~p p ˰ q p ˬ q p q p q p q
T T T F F T T T T T
T F T F F F T F F T
F T T F T F T T F F
F F T F T F F T T T
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CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO
Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare al cinema. Introduciamo tre proposizioni:
A “Antonio va al cinema” B “Bruno va al cinema” C “Corrado va al cinema”
Si sa che: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio;
C A
Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. A B
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CALCOLO PROPOSIZIONALE PER FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO
Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno
C B
Nessuno dei tre amici è andato al cinema
(~A) ˰ (~B) ˰ (~ (~C)
Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado B C
Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno (~C) (~B)
Per rispondere alla domanda del test, dobbiamo capire quale di queste quattro proposizioni è conseguenza logica delle proposizioni precedenti
∧
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TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI
Una tautologia è una formula del calcolo proposizionale che vale T per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali Esempio: p ˬ p (vedi tabella di verità)
Una contraddizione è una formula che vale F per qualunque valore T/F assegnato alle variabili proposizionali
Quindi P è una tautologia se e solo se ~P è una contraddizione
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IMPLICAZIONI E EQUIVALENZE
Diciamo che p implica tautologicamente q
se e solo se p q è una tautologia
p è tautologicamente equivalente a qse e solo se
p ≡ q è una tautologia
In entrambi i casi e' sufficiente costruire la corrispondente tabella di verita'
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DIMOSTRAZIONE DI TAUTOLOGIE
Per dimostrare che p è una tautologia possiamo Usare le tabelle di verità
Del tutto meccanico, richiede di considerare 2n casi, dove n è il numero di variabili proposizionali in p
Mostrare che non è una tautologia individuando valori delle variabili proposizionali che rendono falsa p
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ESEMPIO DI TAULTOLOGIA: TRANSITIVITA’ DELL’IMPLICAZIONE:
p q r p q q r (p q) (q r)
p r ((p q) (q r)) (p r)
T T T T T T T T
T T F T F F F T
T F T F T F T T
T F F F T F F T
F T T T T T T T
F T F T F F T T
F F T T T T T T
F F F T T T T T
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EQUIVALENZE PER IMPLICAZIONI
(p q) ((~p) ˬ q) (elim- )
(p q) (p q) ˰ (q p) (elim- )
(p q) (q p) (elim-)
p q p q ~p ~p ˬ q
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
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EQUIVALENZE PER LA NEGAZIONE
~(~ p) p (Doppia negazione)
p ˬ ~p) T (Terzo escluso)
p ˰ ~p) F (Contraddizione)
~(p ˰ q) (~p) ˬ (~q) (De Morgan)
~(p ˬ q) (~p) ˰ ~q)
~T F (T:F)
~F T (F:T)
Esercizio: dimostrare le equivalenze con tabelle di verità
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ESEMPI DI IMPLICAZIONI
Dimostrare che le seguenti formule sono tautologie usando le tabelle di verita'
(p ˰ (p q)) q
(p ˰ q) p
p p ˬ q)
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ESEMPI DI IMPLICAZIONI
Dimostrare che le seguenti formule non sono tautologie usando le tabelle di verita'
(p ˬ q) p
p p ˰ q)
((p ˬ ~r)) ˰ (p q)) q
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PASSO DI DEDUZIONE VALIDO
Torniamo indietro al problema della deduzione Il concetto di conseguenza logica si puo' formalizzare in
modo intuitivo usando la semantica dell'implicazione E' corretto dedurre una conclusione P da un insieme di
premesse G1 ............ Gn
sse la sequente formula e' una tautologia
(G1 ˰ .... ˰ Gn) P
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MODUS PONENS
Abbiamo dimostrato che la seguente formula e' una tautologia
(p ˰ (p q)) q
Se valgono le premesse p, (p q)
possiamo dedurre q
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TORNIAMO ALL’ESEMPIO DAL TEST
Premesse: Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; ( C A )
Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada Bruno. ( A B )
Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che: Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno
( C B )
Nessuno dei tre amici è andato al cinema
( (~A ) ˰ (~B) ˰ (~C) )
Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado ( B C )
Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno Bruno ( (~C) (~B) )
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Basta determinare quale delle seguenti formule è una tautologia:
1) ( (C A) ˰ A B) ) ( C B )
2) ( (C A) ˰ A B) ) ( (~A) ˰ (~B) ˰ (~C) )
3) ( (C A) ˰ A B) ) ( B C )
4) ( (C A) ˰ A B) ) ( (~ C) ~B) )
Si possono verificare con tabelle di verità
Abbiamo gia' dimostrato che (1) è una tautologia
Esercizio: mostrare che (2), (3) e (4) non sono tautologie
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CONSEGUENZA LOGICA
Sia Γ un insieme di formule proposizionali (asserzioni che hanno valore T o F)
Una intepretazione assegna un valore di verita' alle proposizioni elementari
Una intepretazione che rende veri tutte le formule proposizionali in Γ è detta un modello di Γ
Se una formula Q è vera in tutti i modelli di Γ si dice che
Q è conseguenza logica di Γ (Γ Q)
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CONSEGUENZA LOGICA
Dato Γ, il numero di possibili interpretazioni è finito: se n è il numero di proposizioni elementari in Γ, il numero di possibili interpretazioni è 2^n.
Si possono usare le tabelle di verita' per decidere se
Γ Q
Modo alternativo per formulare la che la conclusione Q e' deducibile dall'insieme delle premesse Γ
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Esercizi: usare le tabelle di verita'
Dimostrare che q e' conseguenza logica delle premesse: p, (p q)
Dimostrare che q non e' conseguenza logica delle premesse p, ((p ˰ r ) q)
Dimostrare che (q p) (~ p ~q)
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FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI: ESEMPI
Piove e fa molto freddo
Fa freddo, ma non piove
Se ci sono nuvole e non c’è vento, allora piove
Piove solo se ci sono nuvole e non c’è vento
Nevica, ma non fa freddo se ci si copre
Se ci si copre, allora fa freddo o nevica
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Formalizzazione di implicazioni in linguaggio naturale
Scrivere la proposizione rappresentata da ognuna delle seguenti frasi in italiano: Se P, allora Q P è una conseguenza di Q P è condizione necessaria e sufficiente per Q P è condizione necessaria per Q P è condizione sufficiente per Q P vale solo se vale Q P vale se vale Q P vale se e solo se vale Q