linearna algebra materijali za nastavu iz matematike 1

Linearna algebraMaterijali za nastavu iz Matematike 1

Kristina Krulic Himmelreich i Ksenija Smoljak

2012/13

1 / 40

Uvod

Matrica:

matematicki objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni uretke i stupce

zapisuje se u obliku pravokutne sheme, a brojeve od kojih se sastojizovemo elementima matrice

Matrica A sa m redaka, n stupaca i s elementima aij zapisuje se kao

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

Takvu matricu zovemo m × n matrica, sto zapisujemo A ∈Mm,n

2 / 40

Uvod

matricu sa samo jednim retkom zovemo matrica redak ilijednoretcana matrica

matricu sa samo jednim stupcem zovemo matrica stupac ilijednostupcana matrica

ako je broj redaka jednak broju stupaca kazemo da je A kvadratnamatrica reda n i zapisujemo A ∈Mn

Primjer 1 7 4 02 6 1 4−2 3 0 5

5 4 10 7 3−1 3 0

12−2

[9 6 1 4 −7

]

3 / 40

Uvod

Jednakost matrica:matrica A je jednaka matrici B ako imaju isti broj redaka i isti brojstupaca i za njihove elemente vrijedi aij = bij , ∀i , j . Svaki element jednematrice jednak je odgovarajucem elementu druge matrice.

Nul-matrica je matrica ciji je svaki element jednak nuli.

Dijagonalna matrica je kvadratna matrica za koju vrijedi(∀i 6= j)(aij = 0)

Jedinicna matrica je dijagonalna matrica kojoj su svi elementi nadijagonali jednaki 1. Oznacavamo je sa I ili E .

Primjer0 00 00 0

1 0 00 0 00 0 7

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

4 / 40

Operacije s matricama

Zbrajanje matricaNeka su A,B ∈Mm,n. Matricu C ∈Mm,n s elementimacij = aij + bij , ∀i , j zovemo zbrojem matrica A i B i pisemo C = A + B.

Primjer[2 3 57 0 1

]+

[1 0 20 3 1

]=

[2 + 1 3 + 0 5 + 27 + 0 0 + 3 1 + 1

]=

[3 3 77 3 2

]Svojstva operacije zbrajanja:

1 A + (B + C ) = (A + B) + C asocijativnost

2 A + B = B + A komutativnost

5 / 40

Operacije s matricama

Mnozenje matrica sa skalarommatrica se mnozi sa skalarom (brojem) tako da se svaki element matricepomnozi s tim brojem, kA = B, gdje je bij = kaij , ∀i , j .

Primjer

A =

2 3 57 3 21 5 9

2A =

2 · 2 2 · 3 2 · 52 · 7 2 · 3 2 · 22 · 1 2 · 5 2 · 9

=

4 6 1014 6 42 10 18

Svojstva operacije mnozenja matrica sa skalarom:

1 c(A + B) = cA + cB distributivnost mnozenja prema zbrajanju

2 (k + l)A = kA + lA distributivnost mnozenja prema zbrajanju

3 (kl)A = k(lA)

6 / 40

Operacije s matricama

Transponiranje matricaNeka je A ∈Mm,n. Matrica AT ∈Mn,m naziva se transponiranamatrica matrici A, ako je svaki redak od AT jednak odgovarajucemstupcu matrice A.

Primjer

A =

2 3 57 3 21 5 96 3 2

AT =

2 7 1 63 3 5 35 2 9 2

Svojstva operacije transponiranja matrica:

1 (AT )T = A

2 (A + B)T = AT + BT

3 (AB)T = BTAT

7 / 40

Zadaci

Zadatak

Ako je A =

−2 23 4−5 −6

, B =

[1 5 62 −2 3

]odredite

(a) 3A + BT

(b) 2AT + 3B.

Zadatak

Odredite matricu X za koju vrijedi 2A− 3X = B, ako je A =

[2 −15 3

],

B =

[−5 −21 3

].

8 / 40

Zadaci

Zadatak

Odredite matricu X koja zadovoljava uvjet 3A + 2X = I , gdje je I

jedinicna matrica, a A =

1 −2 64 3 −82 −2 5

.

Zadatak

Odredite X iz uvjeta 2A + 13X = C , ako je A =

[1 5 −2−3 0 2

]i

C =

[10 −8 −57 2 −1

].

9 / 40

Operacije s matricama

Mnozenje matricaNeka je A ∈Mm,n i B ∈Mn,p. Produkt matrica A i B je matricaC ∈Mm,p kojoj su elementi odredeni formulom

cij =n∑

k=1

aikbkj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.

Produkt matrica A i B definiran je samo onda kad je broj stupaca matriceA jednak broju redaka matrice B. Za takve dvije matrice kazemo da suulancane.

Zadatak

Odrediti m, n ∈ N iz uvjeta

(a) A3,4 · B4,5 = Cm,n

(b) A2,3 · Bm,n = C2,6

10 / 40

Zadaci

Zadatak

Izracunajte produkt matrica A · B i B · A, ako postoji, za:

(a) A =

[2 −1 01 0 1

], B =

1 0 −12 1 00 1 1

(b) A =

[−1 13 −3

], B =

[2 32 3

]

(c) A =

3 −12 0−1 1

, B =

[2 3 −10 1 2

]

(d) A =

[−2 3 4 05 −1 2 3

], B =

1 20 −1−1 04 0

.

11 / 40

Operacije s matricama

Svojstva mnozenja matrica

1 A(B + C ) = AB + AC

2 (B + C )A = BA + CA

3 A(BC ) = (AB)C

4 k(AB) = (kA)B = A(kB)

Uocimo:

ne vrijedi zakon komutativnosti

postoje matrice A i B za koje produkt A · B postoji, a B · A nepostoji, ili obratno

postoje matrice A i B za koje vrijedi A · B = 0 iako ni A ni B nisunul-matrice.

12 / 40

Polinom matrice

Ako je A kvadratna matrica, izraz

Pn(A) = an · An + an−1 · An−1 + · · ·+ a0 · I

je polinom matrice A.Ako je Pn(A) nul-matrica, onda A zovemo nul-tockom polinoma Pn(x).

Zadatak

Dokazite da je A nul-tocka polinoma P2(x) = x2 − 4x − 5, ako je

A =

1 2 22 1 22 2 1

.

13 / 40

Determinanta matrice

Kvadratnoj matrici A reda n pridruzujemo broj koji nazivamodeterminanta matrice A, a racunamo ga na sljedeci nacin:

A =[a11], det(A) = a11 A =

[a11 a12a21 a22

], det(A) = a11a22 − a12a21

Za matrice reda veceg od 2 koristimo razvoj determinante po retku ilistupcu koji se jos naziva i Laplaceov razvoj determinante.

14 / 40

Laplaceov razvoj determinante

Laplaceov razvoj determinanten > 2 : A ∈Mn,

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =n∑

i=1

aijAij︸ ︷︷ ︸razvoj po j-tom stupcu

=n∑

j=1

aijAij︸ ︷︷ ︸razvoj po i-tom retku

Aij nazivamo algebarski komplement

Aij = (−1)i+jMij

Mij se naziva minora, to je determinanta matrice nizeg stupnja kojase dobiva izostavljanjem i-tog retka i j-tog stupca.

15 / 40

Primjer

Primjer

Izracunajte det(A) ako je

(a) A =

[2 −13 5

];

(b) A =

[cosα − sinαsinα cosα

].

Primjer

Izracunajte det(A) ako je A =

1 2 −13 0 1−1 1 1

(a) razvijajuci po 1. retku;

(b) razvijajuci po 2. stupcu.

16 / 40

Sarrusovo pravilo

Samo za determinante 3. reda vrijedi tzv. Sarrusovo pravilo pomocukojeg mozemo brze izracunati determinantu.

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

Primjer

Prethodni primjer rijesite koristeci Sarrusovo pravilo.

17 / 40

Svojstva determinanti

det(AT ) = det(A).

Ako u determinanti zamijenimo dva retka (stupca), determinantamijenja predznak.

Ako matrica ima dva jednaka retka ili stupca, onda je njenadeterminanta jednaka 0.

Ako se jedan redak (stupac) determinante pomnozi skalarom, onda secijela determinanta mnozi tim skalarom.

Ako matrica ima redak ili stupac sastavljen od samih nula, onda jenjena determinanta jednaka 0.

Determinanta trokutaste matrice (matrica kojoj su elementi iznad iliispod dijagonale jednaki 0) jednaka je produktu elemenata nadijagonali.

18 / 40

Svojstva determinanti

Ako nekom retku (stupcu) matrice dodamo neki drugi redak (stupac)pomnozen sa skalarom, vrijednost determinante se nece promijeniti.

Binet-Cauchy teorem: det(AB) = det(A) · det(B).

Zadatak

Ako je D =

∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 −13 −1 1 11 0 2 −11 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣(a) Izracunajte M23, M33, A23, A33.

(b) Koristeci svojstva izracunajte D.

19 / 40

Zadatak

Izracunajte: (a)

∣∣∣∣∣∣∣∣3 −2 1 40 −1 0 20 0 2 50 0 0 4

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣6 0 0 04 3 0 0−3 2 2 0

5 1 4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣Zadatak

Izracunajte: (a)

∣∣∣∣∣∣∣∣4 0 3 73 2 0 0−5 −1 5 8

2 0 4 2

∣∣∣∣∣∣∣∣, (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 0 12 3 −1 00 −1 2 4−1 0 4 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

20 / 40

Elementarne transformacije matrice

Elementarne transformacije nad retcima (stupcima):

1 Zamjena dva retka (stupca)

2 Mnozenje retka (stupca) skalarom razlicitim od nule

3 Dodavanje nekog retka (stupca) nekom drugom retku (stupcu)

Napomena

Posljedica uzastopne primjene transformacije (3) je dodavanje nekomretku (stupcu) linearne kombinacije ostalih redaka (stupaca), sto cemotakoder smatrati elementarnom transformacijom.

21 / 40

Rang matrice

Matrica A reda n je regularna ako je det(A) 6= 0.Ako je det(A) = 0 kazemo da je A singularna.

Rang matrice A ∈Mm,n jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnihredaka (stupaca) matrice A.

Posljedica: r(A) = r(AT )

Nul-matrica ima rang 0.

Za A ∈Mm,n je r(A) ≤ min{m, n}.Ako je A ∈Mn i det(A) 6= 0, onda je r(A) = n.

22 / 40

Ekvivalentne matrice

Za dvije matrice istog tipa kazemo da su ekvivalentne ako imaju isti rang,to jest

A,B ∈Mm,n : A ∼ B ⇔ r(A) = r(B).

Teorem

Ako su A i B ekvivalentne, onda se matrica B moze dobiti pomocuelementarnih transformacija matrice A.

Primjenom elementarnih transformacija zadane matrice, matricu mozemosvesti na trapezoidni ili na trokutasti oblik. Iz tih oblika se lako odredujerang matrice.

23 / 40

Zadaci

Zadatak

Dokazite da su matrice A =

[2 −13 0

]i B =

1 −1 00 1 20 0 5

regularne i

odredite njihov rang.

Zadatak

Dokazite da su matrice A =

[1 −22 −4

]i B =

1 −1 −12 0 −23 3 −3

singularne i odredite njihov rang.

24 / 40

Zadaci

Zadatak

Odredite rang matrice A =

1 2 3 3−2 0 1 −2

1 2 −1 3−1 2 12 1

.

Zadatak

Odredite rang matrica:

(a) A =

1 2 −1 3 22 −1 3 0 13 1 2 3 31 2 3 1 1

, (b) B =

2 1 3 −2 44 2 5 1 72 1 1 8 2

.

25 / 40

Definicija i svojstva inverzne matrice

Matrica A−1 je inverzna matrica kvadratne matrice A ako jeA · A−1 = A−1 · A = I , gdje je I jedinicna matrica.

Teorem

Inverzna matrica A−1 postoji ako i samo ako je matrica A regularna(det(A) 6= 0).

Svojstva inverzne matrice:

1 (AB)−1 = B−1A−1

2 (A−1)−1 = A

3 (kA)−1 = 1kA

−1, k 6= 0

4 det(A−1) = 1det(A)

26 / 40

Odredivanje inverzne matrice

Inverznu matricu mozemo odrediti na dva nacina:

(I) (Gaussov postupak) pomocu elementarnih transformacija samo nadretcima

[A|I ] ∼ · · · ∼ [I |A−1]

(II) (Kramerovo pravilo)

A−1 =1

det(A)· A∗ =

1

det(A)·

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

.... . .

...An1 An2 . . . Ann

T

gdje je A∗ adjungirana matrica, Aij algebarski komplement matrice.

27 / 40

Zadaci

Inverz za opcu matricu drugog reda:[a bc d

]−1

=1

ad − cb

[d −b−c a

], ad − cb 6= 0

Zadatak

Neka je A =

1 0 10 0 2−1 3 1

. Odredite A−1 na oba nacina.

Zadatak

Neka je A =

2 5 3−2 1 −3

2 7 5

. Odredite A−1.

28 / 40

Matricne jednadzbe

Matricne jednadzbe su jednadzbe oblika A ·X = B ili X ·A = B, gdje su Ai B zadane, poznate matrice, a X je matrica nepoznanica.

Rijesavamo ih mnozenjem s desna ili lijeva inverznom matricom A−1, akoje A regularna matrica.

Ako A nije regularna (det(A) = 0), onda jednadzba ili nema rjesenja iliima beskonacno mnogo rjesenja.

OPREZ!

Mnozenje matrica nije komutativno.

Vazno je da li se mnozi s desna ili s lijeva!

29 / 40

Zadaci

Zadatak

Rijesite matricne jednadzbe:

(a) A · X = B, ako je A =

[2 13 2

], B =

[35

](b) X · A = B, ako je A =

[2 13 2

], B =

[35

](c) A ·X ·B = C , ako je A =

[2 13 2

], B =

[−3 2

5 −3

], C =

[−2 4

3 −1

]

(d) A · X · (B − I ) = C , ako je A =

1 0 10 2 1−1 1 0

, B =

[2 −32 −1

],

C =

−2 12 12 3

30 / 40

Uvod

Primjer

U nekom kavezu su zecevi i patke. Ako znamo da u kavezu ima 35 glava i94 noge, odredite broj zeceva u kavezu.

Metode rjesavanja:

1 Metoda suprotnih koeficijenata

2 Metoda komparacije

3 Metoda supstitucije

4 Graficka metoda

31 / 40

Matricni zapis sustava linearnih jednadzbi

Sustav od m jednadzbi s n nepoznanica

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

Uvodenjem matrice sustava A ∈ Rm×n, vektora rjesenja x ∈ Rn i vektoradesne strane sustava b ∈ Rm sustav prelazi u matricni problem

Ax = b, to jest

a11 . . . a1na21 . . . a2n

......

...am1 . . . amn

x1x2...xn

=

b1b2...bm

32 / 40

Rjesenja linearnih sustava

Rjesenje sustava je svaka n−torka koja zadovoljava svaku jednadzbusustava.

Sustav linearnih jednadzbi je:

nerjesiv (nema rjesenje)

rjesiv:

ima jedinstveno rjesenje (odreden sustav)ima beskonacno mnogo rjesenja (neodreden sustav)

33 / 40

Kronecker-Capellijev teorem

Teorem (Kronecker-Capellijev teorem)

Sustav ima rjesenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak ranguprosirene matrice, tj. r(A) = r(A|b), gdje je

[A|b] =

a11 . . . a1n | b1a21 . . . a2n | b2

......

......

...am1 . . . amn | bm

Ako je r(A) = r(A|b) = n, (n je broj nepoznanica), onda sustav imajedinstveno rjesenje.

34 / 40

Homogeni i nehomogeni sustavi

Sustav cija je matricna jednadzba oblika Ax = b, b razlicit odnul-vektora, zove se nehomogen sustav.

Sustav kod kojeg je vektor desne strane nul-vektor, to jest cija jematricna jednadzba oblika Ax = 0, zove se homogen sustav.

Za homogen sustav vrijedi:

Kako je r(A) = r(A|b) sustav uvijek ima rjesenja.

Ako je r(A) = n, sustav ima samo trivijalno rjesenje.

Ako je r(A) < n, sustav ima ∞ rjesenja.

x1 = x2 = · · · = xn = 0 je trivijalno ili nul-rjesenje.

Ako je matrica A regularna (to jest det(A) 6= 0) sustav ima samotrivijalno rjesenje.

35 / 40

Metode rjesavanja

Opci postupak za rjesavanje sustava je Gaussov postupak (koristenjeelementarnih transformacija matrice samo nad retcima).

Ako je matrica sustava regularna (to jest, det(A) 6= 0), onda se sustavmoze rjesiti

tzv. Cramerovim pravilom: xi = Di

D , gdje je D = det(A), Di

determinanta koja se dobiva iz D kada se i-ti stupac zamijeni stupcem

desne strane tj.

b1...bn

.

mnozenjem sa inverznom matricom A−1 pa dobijemo matricnujednadzbu X = A−1b.

36 / 40

Zadaci

Zadatak

Rijesite sustave linearnih jednadzbi:

(a)x + 2y = 3

2x − y = 1(b)

x − 2y + 3z = 0x + y − 4z = 10

3x − 3y − z = 13

(c)x − 2y + z = 1

2x − y + z = 23x − 3y + 2z = 3

(d)

x + 2y + 3z = 3−2x + z = −2x + 2y − z = 3−x + 2y + 12z = 1

37 / 40

Zadaci

Zadatak

Rijesite sustave linearnih jednadzbi:

(a)2x − y − z = 13x + y + 2z = 2x + 2y + 3z = 1

(b)2x − y = 0−x + y = 0

(c)x + y + z = 6

2x − y + z = 33x + y − z = 2

(d)x + y + 3z = 1x + y + z = 5

(e)2x − y + 3z = 0x + 2y − 5z = 0

3x + y − 2z = 0

38 / 40

Zadatak

Rijesite sustave linearnih jednadzbi:

(a)3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 15x1 − x2 + 3x3 − x4 = 32x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 4

(b)3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 15x1 − x2 + 3x3 − x4 = 52x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 4

(c)

2x1 − x2 + x3 − x4 = 02x1 − x2 − 3x4 = 03x1 − x3 + x4 = 02x1 + 2x2 − 2x3 + 5x4 = 0

39 / 40

Zadatak

U ovisnosti o parametru a ∈ R rijesiti sustave:

(a)x + y − z = 0

2x − y + z = 12x + ay − 2z = 2

(b)2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 1x1 − x2 + 2x3 − x4 = a

3x1 + 2x2 + x3 = 4

40 / 40