limitkekontinuan stt-b (versi 2)
Post on 16-Apr-2017
208 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
2
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik
Pengertian limit secara intuisiPerhatikan fungsi
11)(
2
xxxf
Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut
xf(x)
0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011?1.9 1.99 1.9991.9999 2.00012.001 2.01 2.1
3
1
º2
x x
f(x)
f(x)
Secara grafik
Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut
211lim
2
1
xx
x
Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1
12
xx
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa
Lxfcx
)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L
4
853lim1
xx
Contoh
1.
2. 2)2)(12(lim
2232lim
2
2
2
x
xxx
xxxx
512lim2
xx
33
39lim
39lim
99
xx
xx
xx
xx 9)3)(9(lim
9
x
xxx
63lim9
xx
3.
4. )/1sin(lim0
xx
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut
x)/1sin( x
/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2
1 0 -1 0 1 0 -1 00?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
5
Lxfcx
)(lim |)(|||00,0 Lxfcx
Definisi limit
jika
c
º
Untuk setiap 0
L
c
ºL
L
L
Terdapat sedemikian sehingga 0
c
ºL
||0 cx |)(| Lxf
c c c
ºL
6
)(lim xfcx
Limit Kiri dan Limit Kanan
cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,
)(lim xfcx
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,
c x
LxfLxfLxfcxcxcx
)(limdan)(lim)(lim
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
notasi
notasi
Jika )(lim xfcx
)(lim xfcx
maka tidak ada )(lim xfcx
7
1,210,0,
)(2
2
xxxxxx
xf
)(lim0
xfx
)(lim1
xfx
Contoh Diketahui
a. Hitung
)(lim2
xfx
d. Gambarkan grafik f(x)Jawab
a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
c. Hitungb. Hitung Jika ada
1.
8
)(lim0
xfx
0lim 2
0
x
x
)(lim0
xfx
0lim0
xx
0)(lim0
xfx
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
)(lim1
xfx
1lim1
xx
)(lim1
xfx
32lim 2
1
x
x
11lim)(limxx
xf )(lim1
xfx
)(lim2
xfx
62lim 2
2
x
x
Karena Tidak ada
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
9
d.
Untuk x 02)( xxf
Grafik: parabola
Untuk 0<x<1f(x)=x
Grafik:garis lurus
Untuk 1 22)( xxf
Grafik: parabola
1
3
º
di x=1 limit tidakada
10
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
1,1,3
)( 2 xcxxcx
xf
mempunyai limit di x=-1Jawab
Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan
)(lim1
xfx
ccxx
33lim1
)(lim1
xfx
ccxx
1lim 2
1
Agar limit ada 3+1c=1-c
C=-1
11
)(lim3
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
)(lim1
xfx
A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f(-3)f(-1)f(1)
1.
2.
3.
4.
5.6.7.8.
Soal Latihan
12
Soal Latihan
1,2
1,1)(
2
2
xxxxx
xf
)(lim1
xfx x
f x 1lim ( )
xf x
1lim ( )
xxxg 32)(
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
xg x
2lim ( )
22
)(
xx
xf
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
xf x
2lim ( )
1. Diketahui :
a.Hitung dan
b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya
2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :
3. Diketahui , hitung ( bila
ada )
a. b. c.
a. b. c.
B.
13
GxgLxfaxax
)(limdan)(lim
GLxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
Sifat limit fungsiMisal
(limit dari f , g ada dan berhingga)maka
LGxgxfxgxfaxaxax
)(lim)(lim)()(lim
0,)(lim
)(lim
)()(lim
Gbila
GL
xg
xf
xgxf
ax
ax
ax
2.
3.
4. nn
ax
n
axLxfxf
))(lim())((lim ,n bilangan bulat positif
nnax
nax
Lxfxf
)(lim)(lim5. bila n genap L harus positif
1.
14
222 )1(1
1sin)1()1(
xx
xx
)()()( xhxgxf
LxhLxfcxcx
)(limserta)(lim
Lxgcx
)(lim
1
1sin)1(lim 2
1
xx
x
Prinsip ApitMisal untuk x disekitar c dan
maka
Contoh Hitung
Karena 1)1
1sin(1
x
dan 0)1(lim 2
1
x
x0)1(lim, 2
1
x
x
01
1sin)1(lim 2
1
xx
x
maka
15
Limit Fungsi Trigonometri
1sinlim.10
x
xx
1coslim.20
xx
1tanlim.30
x
xx
Contoh
2.2
2tan5
4.4
4sin3limlim
2tan54sin3lim
02tan5
4sin3
00
xx
xx
xxxx
xx
xxx
xx
xx
2.
22tanlim5
4.4
4sinlim3
0
0
xx
xx
x
x
37
2.2
2tanlim5
4.4
4sinlim3
02
04
xx
xx
x
x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
16
Soal Latihan
tt
t sin1coslim
2
0
ttt
t sec2sincotlim
0
tt
t 23tanlim
2
0
tttt
t sec43sinlim
0
Hitung
1.
2.
3.
4.
xx
x 2sintanlim
05.
17
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Limit Tak Hingga
maka,0)(limdan0)(limMisal
xgLxfaxax
)(
)(lim
xgxf
ax
atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii
bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv
Ctt :g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.
18
Contoh Hitung
11lim
2
1
xx
xa.
11lim 2
2
1
xx
x xx
x sinlim
b. c.
Jawab
a. 021lim 2
1
x
x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif
Sehingga
11lim
2
1 xx
x
b. 021lim 2
1
x
x akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif
1)( 2 xxg
12 x
Sehingga
11lim 2
2
1 xx
x
19
c.
0lim
xx
danf(x)=sinx
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)
x
xx sinlim
sehingga
Karena
20
Limit di Tak Hingga
Lxfx
)(lima. jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hinggaL
x
Contoh Hitung
4252lim 2
2
xxx
x
Jawab
)2(
)1(lim
2
2
42
522
x
xx
x x
x
4252lim 2
2
xxx
x2
2
42
521lim
x
xxx
= 1/2
21
Lxfx
)(lim jika |)(|00 LxfMxM
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga
b.
L
xContoh Hitung
4252lim 2
x
xx
4252lim 2
x
xx
Jawab
)2()(
lim2
2
42
522
x
xx
x xx
)2(
)(lim
2
2
4
52
x
xx
x
= 0
22
Contoh Hitung xxx
x
3lim 2
Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )
xxxx
3lim 2 )3
3(3lim2
22
xxx
xxxxxxx
xxx
xxxx
33lim
2
22
xxx
xx
3
3lim2
xx
x
xx
x
x
)1(
)1(lim
2312
3||2 xx
xxx
xx
x
x
231
3
1)1(
lim
21
)11(1
lim2
31
3
xx
x
x
23
Soal Latihan
limx
xx
3
33
limx x 2 2
3
4
)1(lim xxx
limx
x
x 1 2
11lim
2
xx
x
limx
x xx
2
1
.
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.
24
Kekontinuan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika(i) f(a) ada
ada)(lim xfax
(ii)
(iii) )()(lim afxfax
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a
a
(i)º f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
25
a
(ii)
1L2L
Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
a
●
º
f(a) f(a) ada)(lim xf
axL ada
Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
26
(iv)
a
f(a)
f(a) ada)(lim xf
axada
)()(lim afxfax
f(x) kontinu di x=2
Ketakkontinuan terhapusKetakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia
º
27
contohPeriksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya
24)(
2
x
xxf
2,3
2,24
)(2
x
xx
xxfa. b.
2,12,1
)( 2 xxxx
xfc.
Jawab :a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinu
di x=2b. - f(2) = 3
42lim)2(
)2)(2(lim24lim
22
2
2
x
xxx
xx
xxx
)2()(lim2
fxfx
--
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2
28
c. 312)2( 2 f-
- 31lim)(lim22
xxfxx
31lim)(lim 2
22
xxf
xx
3)(lim2
xfx
)2()(lim2
fxfx
-
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
29
Kontinu kiri dan kontinu kananFungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
)()(lim afxfax
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=aContoh : Tentukan konstanta a agar fungsi
2,1
2,)( 2 xax
xaxxf
Kontinu di x=2
30
Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2)2()(lim
2fxf
x
aaxxfxx
2lim)(lim22
1412)2( 2 aaf
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a = 1
f kontinu kanan di x=2)2()(lim
2fxf
x
1412)2( 2 aaf
141lim)(lim 2
22
aaxxf
xx
Selalu dipenuhi
31
1. Diketahui
1,221,1
)(2
xxxx
xf
selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1
Soal Latihan
2. Agar fungsi
2,321,
1,1)(
xxxbax
xxxf
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi
2,42
2,2
4)(
2
xx
xx
bxaxxf
kontinu di x = 2
32
Kekontinuan pada interval
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :
1. f(x) kontinu pada ( a,b )
2. f(x) kontinu kanan di x = a
3. f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).
33
Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan , maka
f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.
Contoh : tentukan selang kekontinuan
Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4.
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, )
n xxf )(
4)( xxf
)4(04lim)(lim44
fxxfxx
34
f xx x
x( )
2 33
f xxx
( )
2
348
f xxx
( )| |
22
94
1)(2
x
xxf
24)( xxxf
A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
B. Tentukan dimana f(x) kontinu
Soal Latihan
1.
2.
3.
1.
2.
35
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika dan f(x) kontinu di L, maka
Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di a. Bukti
karena f kontinu di g(a) = f(g(a)) karena g kontinu di a
= (fog)(a)
Lxgax
)(lim
)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax
))(( xgf
))((lim))((lim xgfxgfaxax
))(lim( xgfax
36
4313cos)( 2
4
xxxxxf
))(()( xhgxf
4313)( 2
4
xxxxxh dan g(x) = cos x
Contoh Tentukan dimana fungsi
kontinu
Jawab : Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
dengan
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
37
Soal Latihan
Dimanakah fungsi berikut kontinu? f(x) = cos(x2 – 2x + 1) f(x) = cos((x2 – 1)/(x+1))
top related