les sections coniques les sections coniques les translations les translations compléter le carré...

Les sections coniquesLes sections coniques

Les translationsLes translations

Compléter le carréCompléter le carré

Classification des sections coniquesClassification des sections coniques

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Les coniquesLes coniquesParabolParabolee

CercleCercle

EllipseEllipse

HyperbolHyperbolee

Cliquer sur Cliquer sur une Photoune Photo

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La ParaboleLa Parabole

Une parabole est Une parabole est formée par formée par

l’intersection l’intersection d’un plan et d’un plan et

d’une cône de d’une cône de manière manière

oblique (par oblique (par rapport à la rapport à la

base) base)

Les ParabolesLes Paraboles

On peut décrire une parabole comme étant On peut décrire une parabole comme étant tous les points qui se trouvent à égale tous les points qui se trouvent à égale distance d’une droite et d’un point fixedistance d’une droite et d’un point fixe

Le point fixe est appelé Le point fixe est appelé foyerfoyer..

La droite est appelée La droite est appelée directricedirectrice..– Fais une construction: (carte d’index)Fais une construction: (carte d’index)

Quelques parabolesQuelques paraboles

ParabolesParaboles

FOYERFOYER

DirectriceDirectrice

ParaboleParabole

Forme standard de Forme standard de l’équation d’une parabola l’équation d’une parabola

avec le sommet (0,0)avec le sommet (0,0)

équatioéquationn

foyerfoyer directricdirectricee

Axe de Axe de symmétsymmét

rierie

xx22=4p=4pyy

(0,p)(0,p) y = -py = -p

yy22=4p=4pxx

(p,0)(p,0) x = px = p

Pour trouver pPour trouver p4p = le terme devant la variable 4p = le terme devant la variable (x ou y). Résous.(x ou y). Résous.

Exemple:Exemple:

xx22=24y=24y

4p=244p=24

p=6p=6

Exemples: les parabolesExemples: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice

Exemple 1Exemple 1

y = 4xy = 4x22

xx22= (= (11//44)y)y

4p = 4p = 11//44

p = p = 11//1616

FOYERFOYER

(0, (0, 11//1616))

DirectriceDirectrice

Y = - Y = - 11//1616

Exemple 2: les parabolesExemple 2: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice

x = -3yx = -3y22

yy22= (= (-1-1//33)x)x

4p = 4p = -1-1//33

p = p = -1-1//1212

FOYERFOYER

((-1-1//1212, 0), 0)

DirectriceDirectrice

x = -x = -11//1212

Exemple 3: les parabolesExemple 3: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice

À toi À toi maintenanmaintenant…t…

y = -6xy = -6x22

FOYERFOYER

????????

DirectriceDirectrice

????????

FOYERFOYER

(0, -(0, -11//2424))

DirectriceDirectrice

y = y = 11//2424

Exemple 4: les parabolesExemple 4: les parabolesTrouve le foyer et la directriceTrouve le foyer et la directrice

x = 8yx = 8y22 FOYERFOYER

????????

DirectriceDirectrice

????????

(1/32, 0)(1/32, 0)

x = 1/32x = 1/32

Écrire des équations de Écrire des équations de paraboles:paraboles:

Forme standard Forme standard sommet à (0,0)sommet à (0,0)

Exemple 1Exemple 1Foyer à (-4,0)Foyer à (-4,0)

Pour écrire l’équationPour écrire l’équationyy2 2 =4px p = -4=4px p = -4yy2 2 = 4(-4)x= 4(-4)xyy2 2 = -16x= -16x

Forme standard (2)Forme standard (2)

la directrice est y = 6la directrice est y = 6Pour écrire l’équation:Pour écrire l’équation:xx2 2 =4py p = -6=4py p = -6xx2 2 = 4(-6)y= 4(-6)yxx2 2 = -24y= -24y

Forme standard (3)Forme standard (3)

Avec une directrice de x = -1Avec une directrice de x = -1

yy2 2 = 4px= 4px

Forme standard (4)Forme standard (4)

Foyer à (0,3)Foyer à (0,3)

xx2 2 = 4py= 4py

Retour au menu Retour au menu

CerclesCerclesUn Cercle est formé par Un Cercle est formé par

l’intersection d’un plan et l’intersection d’un plan et d’une cône (parallèle à la d’une cône (parallèle à la

base)base)

Équation en forme Équation en forme standard d’un cercle ayant standard d’un cercle ayant son centre à l’origine (0,0)son centre à l’origine (0,0)

x2 +y2 =r2

Les cercles et les points Les cercles et les points d’intersectiond’intersection

On peut utiliser la On peut utiliser la formule de la distance formule de la distance

pour déterminer le pour déterminer le rayonrayon

€

(x1 −x2)2 +(y1 −y2)

2 =r

CerclesCerclesExemple 1Exemple 1

Écris l’équation d’un cercle qui contient Écris l’équation d’un cercle qui contient le point (4,5) et qui a son centre à le point (4,5) et qui a son centre à l’origine.l’origine.

€

(x1 −x2)2 +(y1 −y2)

2 =r

€

(4−0)2 +(5−0)2 =r

€

16+25=r

€

41=r

€

x2 +y2 =41

Exemple 2: CerclesExemple 2: CerclesTrouve tous les points d’intersection entre Trouve tous les points d’intersection entre ses deux fonctions (un cercle et une droite)ses deux fonctions (un cercle et une droite)

€

x2 +y2 =25

€

y=2x+2

€

x2 +(2x+2)2 =25

€

x2 +4x2 +8x+4=25

€

5x2 +8x+4=25

€

5x2 +8x−21=0

€

(5x−7)(x+3)=0

€

(5x−7)=0

€

(x+3)=0

€

x=−3

€

x=75

Quoi Quoi maintenant??!!??!!??maintenant??!!??!!??

€

x2 +y2 =25

€

y=2x+2

€

x=−3

€

x=75

Substitue Substitue pour xpour x.

Exemple 2 (suite)Exemple 2 (suite)

€

x2 +y2 =25

€

y=2x+2

€

y=2(75)+2

€

y=245

€

75,245

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

x=75

€

x=−3

€

y=2(−3)+2

€

y=−4

€

−3,−4( )

Retour au menuRetour au menu

Les ÉllipsesLes Éllipses

Exemples d’ÉllipsesExemples d’Éllipses

Fais une constructionFais une construction

EllipsesEllipses

Grand axe horizontalGrand axe horizontal

FOYERSFOYERS(-c,0) & (c,0)(-c,0) & (c,0)

Points sur le petit axe Points sur le petit axe (0,b)& (0,-b)(0,b)& (0,-b)

CENTRE (0,0)CENTRE (0,0) Points sur le grand axePoints sur le grand axe(-a,0) & (a,0)(-a,0) & (a,0)x2

a2+

y2

b2 = 1

EllipsesEllipses

Grand axe vertical Grand axe vertical (parallèle à l’axe des y)(parallèle à l’axe des y)

FOYERSFOYERS(0,-c) & (0,c)(0,-c) & (0,c) Points sur le petit axePoints sur le petit axe

(b, 0)& (-b,0)(b, 0)& (-b,0)

Points sur le grand axePoints sur le grand axe(0,-a) & (0, a)(0,-a) & (0, a)

CENTRE (0,0)CENTRE (0,0)

€

x2

b2 +y2

a2 =1

L’ellipse: NotesL’ellipse: Notes

Longueur du grand axe = 2a Longueur du grand axe = 2a Longueur du petit axe= 2b Longueur du petit axe= 2b Pour trouver les foyers (c) utilise: Pour trouver les foyers (c) utilise:

cc22 = a = a2 -2 - b b2 2

€

x 2

a2 +y 2

b2 =1

€

x 2

b2 +y 2

a2 =1

L’ellipse: Exemple 1L’ellipse: Exemple 1Trouve les foyers et les Trouve les foyers et les

sommetssommets

€

x 2

144+y 2

169=1

€

a=±13

€

sommets = (0,13),(0,−13)

€

c2 =a2 −b2

€

c2 =169−144

€

c2 =25

€

c=±5

€

foyers = (0,5),(0,−5)

a = distance aux a = distance aux sommetssommets

c = distance du centre aux c = distance du centre aux foyersfoyers

L’ellipse: exemple 2L’ellipse: exemple 2Trouve les foyers et les Trouve les foyers et les

sommetssommets

€

x 2

81+y 2

9=1

€

a=±9

€

sommets = (9,0),(−9,0)

€

c2 =a2 −b2

€

c2 =81−9

€

c2 =72

€

c=± 72

€

foyers = ( 72,0),(− 72,0)

a = distance aux a = distance aux sommetssommets

c = distance du centre aux c = distance du centre aux foyersfoyers

Écris l’équation d’une ellipse qui Écris l’équation d’une ellipse qui a des sommets du grand axe à (-a des sommets du grand axe à (-5,0) et (5,0) et des sommets du 5,0) et (5,0) et des sommets du petit axe à (0,-3) à (0,3). Trouve petit axe à (0,-3) à (0,3). Trouve

les foyers. les foyers.

€

a=±5

€

a2 =25

€

b=±3

€

b2 =9

€

x2

25+y2

9=1

€

c2 =a2 −b2

€

c2 =25−9

€

c2 =16

€

c=4

€

foyers = (4,0),(−4,0)

Réécris l’équation en forme Réécris l’équation en forme standard, puis trouve les standard, puis trouve les

sommets du grand axe et les sommets du grand axe et les foyers foyers

€

49x2 +64y2 =3136

€

c2 =a2 −b2

€

c2 =64−49

€

c2 =15

€

c=± 15

€

foyers = ( 15,0),(− 15,0)

€

49x2

3136+

64y2

3136=

31363136

€

x2

64+y2

49=1

€

sommets = (8,0),(−8,0)

RetourRetour

L’hyperboleL’hyperbole

Hyperboles: ExemplesHyperboles: Exemples

L’hyperbole: NotesL’hyperbole: NotesAxe transversal horizontalAxe transversal horizontal

Centre Centre (0,0)(0,0)

Sommets (a,0) Sommets (a,0) && (-a,0)(-a,0)

Foyers (c,0) &Foyers (c,0) & (-c, 0)(-c, 0)

AsymptotAsymptoteses

L’hyperbole: Notes (2)L’hyperbole: Notes (2)Axe transversal horizontalAxe transversal horizontal

ÉquationÉquation::

€

x2

a2 −y2

b2 =1

€

Foyers : c 2 = a2 +b2

L’hyperbole: Notes (3)L’hyperbole: Notes (3)

Pour trouver les Pour trouver les asymptotesasymptotes

€

y=bax

€

y=−bax

L’hyperbole: Notes (4)L’hyperbole: Notes (4)Axe transversal verticalAxe transversal vertical

Centre Centre (0,0)(0,0)Sommets (a,0) Sommets (a,0) && (-a,0)(-a,0)

Foyers (c,0) &Foyers (c,0) & (-c, 0)(-c, 0)

AsymptotAsymptoteses

L’hyperbole: Notes (5)L’hyperbole: Notes (5)Axe transversal verticalAxe transversal vertical

équationéquation

€

y2

a2 −x2

b2 =1

€

Foyers : c 2 = a2 +b2

L’hyperbole (6)L’hyperbole (6)Axe transversal verticalAxe transversal vertical

Pour trouver les Pour trouver les asymptotesasymptotes

€

y=abx

€

y=−abx

Écris l’équation d’une hyperbole Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (-5,0) et (5,0) ayant ses foyers à (-5,0) et (5,0) et les sommets à (-3,0) et (3,0)et les sommets à (-3,0) et (3,0)

€

c2 =a2 +b2

€

52 =32 +b2

€

25=9+b2

€

b2 =16

€

x2

9−y2

16=1

a = 3 c = 5a = 3 c = 5

Écris l’équation d’une hyperbole Écris l’équation d’une hyperbole ayant ses foyers à (0,-5) et (0,5) ayant ses foyers à (0,-5) et (0,5) et ses sommets à (0,-4) et (0,4)et ses sommets à (0,-4) et (0,4)

€

c2 =a2 +b2

€

52 = 42 +b2

€

25 =16 +b2 €

b2 = 9

€

y 2

16−x 2

9=1

a = 4 c = 5a = 4 c = 5

À partir de l’équation d’une À partir de l’équation d’une hyperbole, trouve les hyperbole, trouve les

asymptotes et puis trace le asymptotes et puis trace le graphique. graphique.

€

y = ±a

bx

€

y =4

3x

y = −4

3x

€

y 2

16−x 2

9=1

a = 4 b = 3a = 4 b = 3

Au menuAu menu

Les translationsLes translations

Qu’est-ce qui se passe si Qu’est-ce qui se passe si la section conique n’a la section conique n’a pas son centre à pas son centre à l’origine (0,0)?l’origine (0,0)?

Les translationsLes translationsle cerclele cercle

€

(x−h)2 +(y−k)2 =r2

Les translationsLes translationsla parabolela parabole

ouou

axe de symmétrie horizontalaxe de symmétrie horizontal

Axe de symmétrie verticalAxe de symmétrie vertical

€

(y−k)2 =4p(x−h)

€

(x−h)2 =4p(y−k)

Les translationsLes translationsl’l’ellipseellipse

ouou

€

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 =1

€

(x−h)2

b2 +(y−k)2

a2 =1

Les translationsLes translationsl’l’hyperbolehyperbole

ouou

(x−h)2

a2 −(y−k)2

b2 =1

€

(y − k)2

a2 −(x − h)2

b2 =1

Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et

trace son graphique.trace son graphique.

(x−1)2 +(y+2)2 =32

r=r= 33 centrecentre::

(1,-2)(1,-2)

Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et

trace son graphique.trace son graphique.

(x−2)2

32 +(y−1)2

22 =1

Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et

trace son graphique.trace son graphique.

(x−3)2

12 −(y−2)2

32 =1

centrcentreeasymptotasymptoteses

sommetssommets

Les translationsLes translationsIdentifie la section conique et Identifie la section conique et

trace son graphiquetrace son graphique

(x−2)2 =4(−1)(y−3)

centrcentree

ConiqConiqueue

Retour au menuRetour au menu

Compléter le carré (1)Compléter le carré (1)Voici les étapes pour compléter le Voici les étapes pour compléter le carrécarré1) Regroupe les termes pour 1) Regroupe les termes pour

rassembler les variables xrassembler les variables x22 + x, + x, yy22+y,et isoler le terme constant.+y,et isoler le terme constant.

1)1) Divise le coefficient de x par 2, Divise le coefficient de x par 2, prend le carré, ajoute cette valeur prend le carré, ajoute cette valeur aux deux côtés de l’équation.aux deux côtés de l’équation.

2)2) Répéte étape 2 s’il y a un Répéte étape 2 s’il y a un coefficient pour y (au besoin).coefficient pour y (au besoin).

3)3) Récris comme le carré parfait d’un Récris comme le carré parfait d’un binôme. binôme.

Compléter le carré (2)Compléter le carré (2)

Réécris en forme standard et Réécris en forme standard et identifie le centre et le rayon identifie le centre et le rayon d’un cercle.d’un cercle.

Équation: xÉquation: x22+y+y22+10x-6y+18=0+10x-6y+18=0

xx22+10x+____ + y+10x+____ + y22-6y + ____=-18-6y + ____=-18

(x(x22+10x+25) + (y+10x+25) + (y22-6y+9)=--6y+9)=-18+25+918+25+9

(x+5)(x+5)22 + (y-3) + (y-3)22=16 (forme =16 (forme standard)standard)

Centre (-5,3)Centre (-5,3) Rayon = 4Rayon = 4

Compléter le carré (3)Compléter le carré (3)Réécris l’équation en forme Réécris l’équation en forme

standard, identifie la section standard, identifie la section conique, le centre et la conique, le centre et la longueur des axes longueur des axes

Équation: xÉquation: x22+4y+4y22+6x-8y+9=0+6x-8y+9=0

xx22+6x+____ + 4y+6x+____ + 4y22-8y+____=-9-8y+____=-9

(x(x22+6x+9) + 4(y+6x+9) + 4(y22-2y+1)=-9+9+4-2y+1)=-9+9+4

(x+3)(x+3)22 + (y-1) + (y-1)22=4=4

€

(x+3)2

4+

(y−1)2

1=1

centre: (-centre: (-3,1)3,1)

a=2, b=1a=2, b=1

Grand Grand axe=4axe=4

Petit axe=2Petit axe=2Retour au menuRetour au menu

Classification des Classification des sections coniquessections coniques

Classification des Classification des sections coniquessections coniques

La forme générale La forme générale de toute section de toute section conique:conique:

€

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F =0

€

B2 −4AC<0

€

B2 −4AC=0

€

B2 −4AC>0

Hmm… ça Hmm… ça ressemble à ressemble à quelque chose…quelque chose…

Classification des Classification des sections coniques sections coniques

(Exemple #1)(Exemple #1)Classifie la section Classifie la section conique, donnée en conique, donnée en

forme généraleforme générale

€

5x2 +2y2 −20x+4y+24=0

€

A=5

€

B=0

€

C=2€

B2 − 4AC =?

0

€

02 − 4(5)(2) =?

0

€

−40 < 0

ellipsellipsee

Classification des Classification des sections coniques sections coniques

(ex2) (ex2)

€

y2 −8x+12y=0

€

A=0

€

B=0

€

C=1€

B2 − 4AC =?

0

€

02 − 4(0)(1) =?

0

€

0 = 0ParaboParabolele

Classification des Classification des sections coniques (ex3)sections coniques (ex3)

€

−24x2 +18y2 +18=0

€

A=−24

€

B = 0

€

C =18€

B2 − 4AC =?

0

€

02 − 4(−24)(18) =?

0

€

1728 > 0hyperbolhyperbolee

Classification des Classification des sections coniques sections coniques

(ex4)(ex4)

€

4x 2 − y 2 −16x −14y − 34 = 0

€

A = 4

€

B = 0

€

C = −1€

B2 − 4AC =?

0

€

(0)2 − 4(4)(−1) =?

0

€

16 > 0hyperbohyperbolele

Retour au menuRetour au menu

Classification des Classification des sections conique sections conique

Si l’équation est Si l’équation est donnée en forme donnée en forme générale:générale:

A C mais A C mais ils ont le ils ont le même même signe, B=0signe, B=0

EllipsEllipsee

CercleCercle€

≠

A = C, B=0A = C, B=0

Classification des Classification des sections coniquessections coniques

Retour au menuRetour au menu

A ou C = 0 A ou C = 0

€

y = −x 2 − 2x + 3

Classification des Classification des sections coniques en sections coniques en

forme généraleforme générale

hyperbolehyperbole

Retour au menuRetour au menu€

x 2 − 4y 2 − 6x − 8y −11 = 0

A et C ont des A et C ont des signes signes opposésopposés