kartezyen Çarpim

HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR

www.muratguner.net

MURAT GÜNERKELKİT- 2011

ÖRNEK

Türkiye A Milli Futbol Takımında oynayan Nihat, Emre ve Sabri 9, 10, 11 numaralı formaları giyebilirler.Bu oyuncuların giyebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazınız.

ÇÖZÜM

Futbolcular F = { Nihat, Emre, Sabri }

Forma Numaraları N = { 9, 10, 11 }

( Emre, 9 ), ( Emre, 10 ), ( Emre, 11 )

( Sabri, 9 ), ( Sabri, 10 ), ( Sabri, 11) }

Oluşacak ikililer; {( Nihat, 9 ), ( Nihat, 10 ), ( Nihat, 11 )

www.muratguner.net

TANIM

AXB = { (x,y) l x A Λ y B } dir.

A ve B boş olmayan iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AXB biçiminde gösterilir.

Futbolcular ile forma numaralarının oluşturduğu bu ikililer kümesi F ile N kümelerinin kartezyen çarpımıdır.

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { a, b } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri için AXB ve BXA kümelerini yazınız.

ÇÖZÜM:

AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( b, 3 ) }

BXA = { ( 1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b ) }

A = { a , b } B = { 1 , 2 , 3 }

Benzer düşünceyle BXA kümesi aşağıdaki gibi yazılır.

www.muratguner.net

A = { x : 2 ≤ x < 5, xN } ve B = { y : – 2 ≤ x ≤ 1, y Z } kümeleri veriliyor. Buna göre AXB ’yi yazınız.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A= { 2, 3, 4 }

AXB = { ( 2, –2 ), ( 2, –1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, – 2 ), ( 3, –1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 4, – 2 ), ( 4, – 1 ) , ( 4, 0 ), ( 4, 1 ) }

B= { – 2, – 1, 0, 1 }

www.muratguner.net

ÖRNEK

Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;

ÇÖZÜM

A∩B = { 0, 1 } Buna göre;

AXB = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 2, 1) } ise A∩B kümesini bulunuz.

A = { 0,1, 2 }

B = { 0, 1 }

www.muratguner.net

ÖRNEK

AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3), ( b, 1), ( b, 2), ( b, 3) } BXC = { ( 1, x ), ( 1, y ), ( 2, x), ( 2, y), ( 3, x), ( 3, y) } olduğuna göre AXC kümesini yazınız.

ÇÖZÜMKartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;

A = { a , b }

B = { 1, 2, 3 }Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri B kümesinden, ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;

C = { x, y }

AXC = { ( a, x ), ( a, y ), ( b, x ), ( b, y) }

www.muratguner.net

UYARI

AXA = { (x,y) : x A Λ y A } dır.

ÖRNEK

A X A = { ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } şeklinde yazılır.

A={ 2, 3 } ise AXA kümesini liste şeklinde yazınız.

ÇÖZÜM

Kartezyen çarpımının kolayca yapılabilmesi için, A kümesi yan yana iki kez yazılır.

A X A = { 2 , 3 } X { 2 , 3 } tür.

www.muratguner.net

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ

AXB grafikle gösterilirken A kümesinin elemanları x ekseninde B kümesinin elemanları da y ekseninde alınır ve bu noktalardan eksenlere dikmeler çizilir. Bu dikmelerin düzlemdeki kesişim noktalarının kümesi AXB ’nin grafiğini verir.

www.muratguner.net

A = { a, b, c } ve B = { 1, 2 } kümeleri veriliyor. AXB ’nin ve BXA’nın grafiğini çiziniz.

ÖRNEK

ÇÖZÜMAXB = { ( a,1 ), (a, 2 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( c, 1 ), ( c, 2 ) }

( AXB ’nın grafiği )

BXA = { ( 1, a ), (1, b ), ( 1, c ), ( 2, a ), ( 2, b ) , ( 2, c ) }

x

y

B

a cb

1

2

A

x

y

1 2

B

a

b

c

A

( BXA ’nın grafiği )

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { x : 1 x 3, x bir doğal sayı }B = { x : 1 x 3, x bir gerçek sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

x

y

B

1 32

1

A

3

A = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme ) B = [ 1,3 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme )

Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu

oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur.

AXB = { ( 1,1.1 ), (1, 1.2 ), (1, 1.3 ), ( 1, 1.4 ), ….. ( 1, 3 ), ( 2, 1.1 ), (2, 1.2 ), (2, 1.3 ), ... ( 2, 3 ), ( 3, 1.1 ),…..( 3,3 } }

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { x : 2 x 4, x bir gerçek sayı }B = { x : 1 x 3, x bir doğal sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜM

x

y

B

2 4

1

A

3

A = [ 2, 4 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme )

AXB = { (2 , 1 ), ( 2.1, 1 ), (2.2, 1 ), ( 2.3, 1 ), ….. ( 3, 1 ), ( 3.1, 1 ), (3.2, 1 ), (3.3, 1 ), ... ( 3.9, 1 ), ( 4, 1 )…………..........}

2

Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu

oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur.

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { x : 2 x < 4 , xR }B = { x : 1 x < 3, xR } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme )

ÇÖZÜM

x

y

B

2 4

1

A

3

Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan

grafik bir alan belirtir.

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { x : 2 x < 4, x R }B = { x : 1 x < 3, x R } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme )

ÇÖZÜM

x

y

B

2 4

1

A

32 dahil olduğu için düz çizgi4 dahil olmadığı için kesikli çizgi

1 dahil olduğu için düz çizgi

3 dahil olmadığı için kesikli çizgi

Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan

grafik bir alan belirtir.

Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir.

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = [ 3,4), B = ( 2, 5 ] ise AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.

ÇÖZÜMSonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir.

x

y

B

3 4

2

A

53 dahil olduğu için düz çizgi4 dahil olmadığı için kesikli çizgi

2 dahil olmadığı için kesikli çizgi

5 dahil oduğuı için düz çizgi

Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan

grafik bir alan belirtir.

www.muratguner.net

A = ( – 1, 3 ), B = ( –2, 3 ) olduğuna göre AXB kümesininelemanlarını analitik düzlemde gösteriniz.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

x

y

– 1 3

3

– 2

– 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi

3 dahil olmadığı için kesikli çizgi

– 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi

3 dahil olmadığı için kesikli çizgi

Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan

grafik bir alan belirtir.

www.muratguner.net

A=(–2,1 ), B=[1, 3 ] olduğuna göre AXB’nın grafiğini çiziniz.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

x

y

– 2 1

3

1

– 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi

1 dahil olmadığı için kesikli çizgi

– 2 dahil olduğu için düz çizgi

3 dahil olduğu için düz çizgi

Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan

grafik bir alan belirtir.

www.muratguner.net

ÖRNEK

x

y

1 5

2

6Şekilde AXB nin grafiği verilmiştir.Buna göre A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?

A= [ – 1,5 ) A= [1,5 ) A= [1, 2 )

B= [ 2, 5 ) B= [2,6 ) B= [ 5, 6 ]

A= ( 1,5 ) A= (1, 5 ]

B= ( 2,6 ) B= [ 2, 6 )

A) B) C)

D) E)

www.muratguner.net

1988ÖRNEK

A = { – 2 , – 1 , 0 }, B = { 1 , 2 , 3 } kümelerinin AXB ( kartezyen çarpımı ) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?

ÇÖZÜMAXB = { ( – 2, 1 ), ( – 2, 2 ), ( – 2, 3 ), ( –1, 1 ), ( – 1, 2 ), ( – 1, 3 ), ( 0, 1), ( 0, 2 ), ( 0, 3 ) }

22 + 22 = ( 2r )2

8 = 4r2

2 = r2

3

1

2

– 1–2 2r =

( Pisagor Teoremi )r

r

www.muratguner.net

KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI

Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir; yani,

s( AXB ) = s( A ).s( B )

s(A X B ) = 56 ve s( A ) = 7 ise s( B X B ) = ?

ÖRNEK

ÇÖZÜM

s( A X B )

56 7 . s( B )=

= s( B ) s( B ) = 8

s( B X B ) = s( B ) . s( B )

= 8 . 8

= 64

= s ( A ).s( B )

7

56

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { a, b, c }BXC = { ( x, 1 ), ( x, 2 ), ( y, 1 ), ( y, 2 ), ( z, 1 ), ( z, 2 ) } olduğuna göre s( AXC ) kaçtır?

ÇÖZÜM

A = { a, b, c }

C = { 1, 2 }

s( A ) = 3

s( C ) = 2 s( AXC ) = s( A ).s( C )

= 3.2

= 6

Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;

www.muratguner.net

Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;

AXB = { ( a, b ), ( b, b ), ( a, c ), ( b, c ) } ve s[ (A U B ) X C ] = 18 ise s( C ) = ?

ÖRNEK

ÇÖZÜM

s[ (A U B ) X C ] = s(AUB) . s(C)

18 = 3 . s( C )

A={ a, b } B={ b, c }

Buradan AUB = { a,b,c } elde edilir. O halde s(A U B ) = 3 tür.

s( C ) = 6

www.muratguner.net

KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

A X A = A2 A X A X A = A3

A X B ≠ B X A

s (A X B ) = s( B X A ) = s ( A ). S ( B )

A X B X C = ( A X B ) X C = A X ( B X C )(Birleşme özelliği vardır)

( Değişme özelliği yoktur.)

www.muratguner.net

ÖRNEK

A = { 1, 2 }, B = { a, b }, C = { , } ise AXBXC’yi yazınız.

ÇÖZÜM:

AXBXC = { ( 1, a, ), ( 1, a , ), ( 1, b, ), ( 1, b, ), ( 2, a, ), ( 2, a, ), ( 2 , b , ), ( 2, b, ) }

A X (B U C ) = ( A X B ) U ( A X C )

A X (B ∩ C ) = ( A X B ) ∩ ( A X C )

(Kartezyen çarpımın U üzerine dağılma özelliği vardır)

(Kartezyen çarpımın ∩ üzerine dağılma özelliği vardır)

www.muratguner.net

ÖRNEK

s(A) = 5, s( BUC ) = 7olduğuna göre s[ ( BXA ) U ( CXA ) ] kaçtır?

ÇÖZÜM

s[ ( B X A ) U ( C X A ) ] = s[ ( B U C ) X A]

= s( B U C ).s( A )

= 7.5 = 35

A X = X A =

A X B = ise A = veya B =

www.muratguner.net

ANALİTİK DÜZLEM

Sıfır sayısının karşılık geldiği O noktasından,birbirine dik olan biri yatay diğeri dikey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi, bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir.

Dik koordinat sistemini oluşturan sayı eksenlerinden ;

Yatay olanına apsisler ekseni,

Düşey olanına ordinatlar ekseni,

Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin ( başlangıç noktası) denir.

y

xApsisler ekseniO

rdin

atla

r ek

sen

i

Orjin

www.muratguner.net

( a, b ) sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı A ile gösterirsek, A noktasını A(a , b ) biçiminde yazarız. a’ya A noktasının apsisi, b ’ye A noktasının ordinatı, ( a ,b ) ikilisine de A noktasının koordinatları denir.

A( a , b )

A(a, b ) noktasını koordinat ekseninde gösterirken; x ekseninden a kadar alıp buradan y eksenine paralel çizeriz. y ekseninden b kadar alıp buradan x eksenine bir paralel çizeriz.Bu paralellerin kesim noktası A(a, b ) noktasını verir.

y

x

a

b

www.muratguner.net

ÖRNEK

Yandaki koordinat sisteminde verilen A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını bulunuz.

x

y

1

2

– 1

– 2

–1– 2 1 2

3

3

– 3

A ( , )

C ( , )D ( , )

–3

B ( , )

3 1

– 3 – 2 1 – 3

– 2 3

www.muratguner.net

Koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. a, bR+ olmak üzere A( a, b ) noktasının bu bölgelerdeki konumları aşağıdaki şekilde belirtilmiştir.

x

y

bA ( a , b )

–a a

B ( – a , b )

C ( – a , – b )–b

D ( a , – b )

1.B

ölge

2.B

ölge

3.B

ölge

4.B

ölge

www.muratguner.net

ÖRNEK

a ve b reel sayıları için A( – a, b/a ) noktası analitik düzlemin 3.bölgesinde olacak biçimde seçilmiştir.Buna göre B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesinde olur?

a

b

x

y

–a

3.B

ölge

ÇÖZÜM– a < 0 a > 0

ba < 0 b < 0

Buna göre – ab > 0 ve –b > 0 olacağından,

B( – ab, –b ) noktasıanalitik düzlemin 1.bölgesindedir.

www.muratguner.net

UYARI

Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır.

x

y

A ( 3 , 0 )B ( – 2 , 0 )

– 2 3

www.muratguner.net

Koordinat sisteminde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır.

UYARI

x

y

C ( 0 , – 3 )

D ( 0 , 4 )

– 3

4

www.muratguner.net