kapitel 4 sandsynlighed og statistiske modellertil fordelingsfunktionen, der er en slags kummuleret...

Indledning Binomialfordelingen Normalfordelingen Modelkontrol Excel Opsamling

Kapitel 4Sandsynlighed og statistiske modeller

Peter Tibert Stoltzestat@peterstoltze.dk

Elementær statistikF2011

1 Indledning

2 Sandsynlighed i binomialfordelingen

3 Normalfordelingen

4 Modelkontrol med normalfordelingen

5 Normalfordeling med Excel

6 Opsamling

1 Indledning

3 Normalfordelingen

6 Opsamling

Generalisering fra stikprøve til population

Ide: Opstil en model for populationen og estimer modellensparametre pa baggrund af stikprøven

Kontroller at stikprøven ikke er i modstrid med modellen

Eksempel: 95% konfidensinterval for middelværdien i ennormalfordeling

Generalisering fra stikprøve til population

Ide: Opstil en model for populationen og estimer modellensparametre pa baggrund af stikprøven

Kontroller at stikprøven ikke er i modstrid med modellen

Eksempel: 95% konfidensinterval for middelværdien i ennormalfordeling

1 Indledning

3 Normalfordelingen

6 Opsamling

Binomialfordelingen - uformelt

Lyttetest: En person har i tre ud af tre sætninger korrekt hørtforskel pa bas og pas - kan det være tilfældigt?

Vi gentager et eksperiment tre gange, hvor der hver gang er50% sandsynlighed for at fa succes ved en tilfældighed (fx. fakrone)

Hvad er sandsynligheden for at fa krone tre gange i træk?

Og hvorfor er det interessant?

Uformelt. . . fortsat

Der er otte mulige udfald ved tre kast: KKK, KKP, KPK,PKK, KPP, PKP, PPK, PPP

Alle otte udfald er lige sandsynlige og netop et udfald svarertil tre gange krone

Laplaces lov: Sandsynlighed er antal gunstige divideret medantal mulige

Sandsynligheden for netop tre gange krone er saledes 1/8 =0,125 = 12,5%

Uformelt. . . fortsat

Tilbage til lyttetest: Der er altsa en sandsynlighed (risiko) pa12,5% for, at personen ikke kan høre forskel pa bas og passelvom der blev svaret rigtigt i 3 ud af 3 tilfælde.

Er dette acceptabelt og hvis ikke: Hvordan kan man sa laveeksperimentet bedre?

Binomialfordelingen — formelt

n Bernoulli-forsøg med sandsynligheden p for sandt (ogfølgeligt sandsynligheden 1− p for falsk)

Punktsandsynligheder er givet ved

f (x) =

)pn(1− p)n−1 , x = 0, 1, . . . , n

hvor K(n,x) er binomialkoefficienten(n

n · (n − 1) · . . . · (n − x + 1)

x · (x − 1) · . . . · 1=

x!(n − x)!

Binomialfordelingen — formelt og grafisk

0 1 2 3

X ~ Bin(3,0.5)

Opgave 3

1 Indledning

3 Normalfordelingen

6 Opsamling

Normalfordelingen

Normalfordelingen er en kontinuert fordeling mensbinomialfordelingen er en diskret fordeling

−3 −2 −1 0 1 2 3

Tæthedsfunktion

ϕϕ((x))

Histogrammet for en binomialfordeling med p = 0, 5 og megethøjt n ligner tæthedsfunktionen for en normalfordeling

Normalfordelingen

Normalfordelingen er en kontinuert fordeling mensbinomialfordelingen er en diskret fordeling

−3 −2 −1 0 1 2 3

Tæthedsfunktion

ϕϕ((x))

Histogrammet for en binomialfordeling med p = 0, 5 og megethøjt n ligner tæthedsfunktionen for en normalfordeling

Normalfordelingen som grænsefordeling forbinomialfordelingen med p = 0, 5

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15 20

0 10 20 30 40 50

Normalfordelingen

Der findes uendeligt mange normalfordelinger, der hver især erkarakteriseret ved deres middelværdi µ og deres spredning σ

Middelværdi µ og spredning σ er parametre inormalfordelingen, og vi skriver N(µ, σ2)

Tæthedsfunktionen er en klokkeformet kurve:

f (x ;µ, σ) =1

2πexp

(−(x − µ)2

)(vi bruger heldigvis næsten altid tabeller)

Kurven har toppunkt for x = µ

Større spredning giver fladere tæthedsfunktion

Tæthedsfunktion for 3 forskellige normalfordelinger

−10 0 10 20 30

N((10,, 22))N((10,, 42))N((20,, 22))

Fordelingsfunktion og standardnormalfordeling

Ved bestemt integration af tæthedsfunktionen kommer vi fremtil fordelingsfunktionen, der er en slags kummuleretfrekvensfordeling

Fraktiler i en normalfordeling er nyttige ifm udsagn af typen:

50% af eleverne kan forventes at score mellem 22 og 87 i denforelagte prøve5% af eleverne forventes at score mindre end 12

Fordelingsfunktionen gar gennem (µ, 0.5)

Lavere spredning giver stejlere fordelingsfunktion

Fordelingsfunktion for 3 forskellige normalfordelinger

−10 0 10 20 30

N((10,, 22))N((10,, 42))N((20,, 22))

Standardnormalfordelingen

Der findes uendeligt mange normalfordelinger, men vi kan ipraksis klare os med en, nemlig standardnormalfordelingenN(0, 1)

Fordelingsfunktionen Φ(x) fremkommer ved integration aftæthedsfunktionen ϕ(x)

−3 −2 −1 0 1 2 3

Tæthedsfunktion

ϕϕ((x))

−3 −2 −1 0 1 2 3

Fordelingsfunktion

ΦΦ((x

Eksempel pa brug af Φ

Antag at vi har lavet en undersøgelse, hvor gennemsnittet afscorene er 17 og standardafvigelsen er 3. Vi antager desuden,at scorene følger en normalfordeling.

Vi vil nu gerne kende sandsynligheden for, at en tilfældig scoreer mindre end 14.

Vi normaliserer ved at beregne den sakaldte z-værdi:

z =x − X

14− 17

3= −1

Ved opslag i Tabel A kan vi nu se at