identification des syst Èmes

IDENTIFICATIONDES SYSTÈMESIDENTIFICATIONDES SYSTÈMES

Akram GhorayebAkram Ghorayeb

I. INTRODUCTION

1. DÉFINITIONS

SystèmeSystème

Entréesou actions

Sortiesou réponses

• Système

Exemple (missile)

u = (u1, …, up)’ y = (y1, …, yq)’

21 1 y

32 2 z

43 3 x

54 4 y

yu q v

yu q v;

• Modèle entrée-sortie

Débits

Vitesse de translation

Vitesse de rotation

( , , ,..., , ,...) h y y y u u 0

Exemple (accéléromètre) y

Entrée: u = accélération du véhicule

Sortie: y = déplacement relatif de m

m(y u) ky cy y (c / m)y (k / m)y u (1)

(1) h(y, y, y,u) 0

avec h fonction linéaire

(1) est un modèle linéaire

Exemple (missile dans un plan vertical)

Entrée: u = (F, ) = force de propulsion

Sortie: y = (vx, vy, ) = vitesse et inclinaison

Résistance de l’air: R = (a.|vx|vx, b.|vy|vy)’ + e(e = effet du vent = perturbation)

Mouvement selon i

x x x xmv Fcos mgcos a | v | v e (2)

Mouvement selon j

y y y ymv Fsin mgsin b | v | v e (3)

Mouvement de rotation

y y yJ (AG)Fsin (CG)(b | v | v e ) (4)

Modèle de la forme:

h(y,y,y,u,e) = 0

h Non-linéaireperturbé

• Equations d’état d’un modèle

Elles sont de la forme

n p n n p n

q q n p q

, , , :

x = f(x,u) + w x u w f

y = g(x,u) + v y v g

x: vecteur d’état, y: sortie, u: entrée, w et v: perturbations

Supposons que y = (on s’intéresse seulement à l’inclinaison)

En posant 1 x 2 y 3 4 1 2x v , x v , x , x , u F, u ,

le modèle (2), (3), (4) s’écrit sous la forme

x1 1 2 3 1 1

y2 1 2 3 2 2

y4 1 2 2 2

1 ex u cosu mgcos x a | x | x (2')

x u sin u mgsin x b | x | x (3')m m

(CG)e1x (AG)u sin u (CG)b | x | x (4')

J Jy x

Le modèle est linéaire ssi f et g sont des applications linéaires

Dans ce cas,, : (n,n), : (n,p)

, : (q,n), : (q,p)

x = A.x + B.u + w A B

y = C.x + D.u + v C D

Exemple (accéléromètre)

y (c / m)y (k / m)y u (1) Equation entrée-sortie:

En posant 1 2x y, x y

(1) sera équivalente aux équations d’état:

x x0 1 0u

x xk / m c / m 1

xy 1 0 0 .u

2. LINÉARISATION

Soit k k0f : et , . x x Si x est voisin de x0

0 i 0ii 1 i

ff ( ) f ( ) (x x )

Si chaque variable d’un modèle reste voisine d’une valeur fixe, on peut linéariser ce modèle en appliquant (5) à chaque terme de ses équations.

Taylor d’ordre 1

ii 1 i

avec 0 i i 0if f ( ) f ( ) et x x x x x

x x x xmv Fcos mgcos a | v | v e

y y y ymv Fsin mgsin b | v | v e

y y yJ (AG)Fsin (CG)(b | v | v e )

Modèle:

En régime stationnaire, les dérivées sont nulles. D’où, dans l’absence des perturbations (pas de vent), (2), (3) et (4) impliquent

On désire un vol stationnaire

d’inclinaison 0 >0 et de vitesse selon i vx0 > 0

Déterminons d’abord la propulsion F0 et son angle 0 correspondants

0 0 0 x x0

0 0 0 y y0

0 0 y y0

x x0 0

0 F cos mgcos a | v | v (6)

0 F sin mgsin b | v | v (7)

0 (AG)F sin (CG)b | v | v (8)

(AG)mgsin(7) et (8) | v | v 0

mgsin CG / AC(6) et (7) Arctg 0,

a | v | v mgcos

(CG)mgsin(8) F

(vx0, vy0, 0, F0, 0) = point de fonctionnement

A cause des perturbations, la réponse y s’écarte de y0 = (vx0, vy0, 0)’

Un régulateur écarte l’entrée de (F0, 0) de sorte à ramener y vers y0

Ainsi, (vx, vy, , F, ) fluctue autour de (vx0, vy0, 0, F0, 0) et les dérivées des variables fluctuent autour de 0.

vx et vy étant voisins de vx0 et vy0, sont positives d’où

|vx|vx = vx2 et |vy|vy = vy

En appliquant (5) à chaque terme des équations (2), (3) et (4), on obtient:

x 0 0 0 0 x x x

y 0 0 0 0 y y y

0 0 0 y y y

mv (cos )F (F sin ) (mgsin ) (2av )v e

mv (sin )F (F cos ) (mgcos ) (2bv )v e

J (AGsin )F (AG.F cos ) (2CG.bv )v (CG).e

Ce sont des équations linéaires reliant les fluctuations des entrées aux fluctuations des sorties

• Propriété essentielle des systèmes linéaires

La réponse y à une combinaison linéaire d’entrées u1, …, uk est égale à la même combinaison linéaire des réponses y1, …, yk à ces entrées prises séparément.

Cette propriété n’est pas vraies pour des systèmes non linéaires.

3. DISCRETISATION

Pour une période T suffisamment petite,

z(t) z(t T)z(t)

Tz(t) z(t T) z(t) 2z(t T) z(t 2T)

z(t)T T

z(t) 3z(t T) 3z(t 2T) z(t 3T)z(t) ,...

La discrétisation d’un modèle entrée-sortie ou d’état s’obtient en remplaçant les dérivées par les approximations précédentes.

Dans la suite on choisit T comme l’unité du temps (T = 1).

Exemple

Modèle continu : 1 0 1 0y a .y a .y b .u b .u

Pour T = 1, (9) et (10) impliquent

y(t) 2y(t 1) y(t 2) a [y(t) y(t 1)] a y(t)

= b [u(t) u(t 1)] b u(t)

D’où le modèle discrétisé

1 2 0 1

y(t) y(t 1) y(t 2) u(t) u(t 1)

ou y(t) . (t)

avec (t) [y(t 1), y(t 2),u(t),u(t 1)]', [ , , , ]'

• Forme générale d’un modèle discrétisé 1/1

y(t) = g[(t), ] + v(t)

ut = [u(0), …, u(t)]’, yt = [y(0), …, y(t)]’

et = [1, …, m]’ un vecteur de paramètres

En général, pour un système 1/1 (à une entrée et une sortie), posons

avec (t) = (ut, yt-1) k et g(, ) : k

v(t) : effet aléatoire des perturbations sur la sortie

(ut, yt-1)

y(t)v(t)

Espace des données Espace du régresseur Espace de la sortie

car si [v(t)] = m 0, on fait : v(t) v(t) – m et g(, ) g(, ) + m

=> [y(t)] = g[(t), ] = y(t) Prédiction de y(t)

On admettra que [v(t)] = 0 ( : espérance mathématique)

4. OBJECTIF DE L’IDENTIFICATION

• Critique de la modélisation analytique

Avantage : - Explique physiquement le fonctionnement du système.

Inconvénients :- Nécessite des hypothèses simplificatrices.- Le système peut être physiquement complexe- Certaines lois physiques régissant le fonctionnement du système peuvent être mal connues.

Dans tous les cas l’expérience est nécessaire pour valider le modèle et déterminer ses paramètres.

• Cas d’un système p/q

En posant ut = [u1(0), …, up(0), …, u1(t), …, up(t)]’

j = [j1, …, jmj]’ et j(t) = j(ut,yt-1) k

on a : yj(t) = gj[j(t), j] + vj(t) j = 1, …, q

q équations de même forme que 1/1

yt = [y1(0), …, yq(0), …, y1(t), …, yq(t)]’

L’identification d’un système est la détermination d’un modèle directement à partir de l’expérience sans le recours obligatoire à une analyse physique.

Il s’agit de déterminer des fonctions(t) = (ut, yt-1) et g(, ) telles que

t ˆt, {u(0),...,u(t)},on a : [y(t)] g[ (t), ] y(t) u θE[

où y(t) = la sortie mesurée à l’instant t

• Plan du coursI. Systèmes linéaires - Fonction de transfert - Réponse à un processus aléatoire - Identification non paramétrique - Modèles linéaires - Observation de l’état (filtre de Kalman)II. Identification paramétrique des systèmes linéaires - Moindres carrés récursifs - Méthodes récursives d’identification :

• de la prédiction de l’erreur• du maximum de vraisemblance• de la variable instrumentale

- Validation du modèleIII. Identification des systèmes non linéaires - Par gradient ajusté - Par ondelettes - Par logique flou

(k n)tZh f (t n)z f (k)zt n k 0

nZh z .Zf

II. SYSTEMES LINEAIRES

1. FONCTION DE TRANSFERT

• Transformée-z d’une fonction Pour f(t), t = 0, 1, 2,…

tZf (z) f (t)z z C,

Soit0 si t n

h(t)f (t n) si t n

f(t) h(t)

Syst.0 0

g(t)t• Réponse impulsionnelle = la réponse g(t) à (t) d’un syst. initialement inerte

Système stable si tt 0

g(t) g(t) 0

• Stabilité

t 0Or G(p) g(t) p syst. stable | p | 1 p

• Fonction de transfert (FT)

t 0 tG(z) Zg(z) g(t)z g(t)z

Pôle de G : est un point p de tel que G(p) =

Car, pour t < 0,g(t) = 0.

• Réponse d’un syst. linéaire à une entrée quelconque

ty(t) g *u g( ).u(t )

tt-1t-2t-3

g(1)u(t-1)

g(2)u(t-2)

(* = produit de convolution)

on a par superposition (cf. fig)

Remarque: comme pour > t, u(t – ) = 0, y(t) g( ).u(t )

Pour u(t), t = 0, 1, 2, …., (u(t) = 0 si t < 0),

t (t )

t 0 t 0Zy g( )u(t ) .z u(t )z g( )z

Donc Zy = G(z).Zu

Pour u(t) = ejt

j (t ) j j t j jy(t) g( ).e g( ).e e G(e ).e

j t j te epour u(t) Asin t A

2jy(t) A | G(e ) | sin( t ),

jarg[G(e )].

jG(e ) = Réponse fréquentielle.= fonction de Bode

• Réponse fréquentielle

A|G(ej)|

• Equivalence entre équation et FT d’un système linéaire

Forme de l’équation :n m

i ji 0 j 0

a y(t i) b u(t j)

Par transformée z :n m

i ji j

i 0 j 0a z Zy b z Zu

1 m0 1 m

1 n0 1 n

Zy b b z b .zG(z)

Zu a a z a z

Si a0 = 0 et b0 0, y(t – 1) serait affecté par u(t). Impossible (principe de causalité)

>> n = [1 0 2];>> d = [1 0.5 0.6];>> sys = tf(n,d,1,'variable','z^-1') Transfer function: 1 + 2 z^-2-----------------------1 + 0.5 z^-1 + 0.6 z^-2

>> u = 1 - exp(-2*t);>> y = lsim(sys,u);>> plot(t,[u', y]);

Sampling time: 1

>> impulse (sys)>> step(sys)>> bode(sys)

• Exemple sur Matlab

>> t = 1:20;

2. REPONSE A UN PROCESSUS ALEATOIRE

• Rappels

Déf. 1 :[u() processus aléatoire] [ t, u(t) est une variable aléatoire].

Soit ft1,…tn() la densité de probabilité de [u(t1),…,u(tn)].

Déf. 2 : [u() est stationnaire] [ft1,…tn() indép. de l’origine du temps]

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

t et t , t tq | t t |

[u(t)] x.f (x)dx m

Cov[u(t ),u(t )] (x m)(x m)f (x ,x )dx dx R( )

Var[u(t)] R(0 puissa) : [ de u(c ]n e )

Déf. 3

Densité spectrale : j( ) R( ).e d

[R()] : Tf. de Fourier

j1R( ) ( ).e d

Pour u() échantillonné de période T,

j(n T)( ) R(nT).en

/T j(k T)TR(kT) ( ).e .d2 /T

Déf. 4

[u() est blanc] [u() stationnaire et ft1,…,tn () = [f()]n]

R() = 2.() et 2( )

L2 2 2

1m [u(t)] lim . u(t)dt p.s

1{[u(t) m] } lim . [u(t) m] dt p.s,

R( ) {[u(t) m][u(t ) m]}

1 lim . [u(t) m][u(t ) m]dt p.s.

Déf. 5

[u() est ergodique] [u() stat et ] ps L

1{g[u(t)]} lim g[u(t)]dt

Pour u() échantillonné, les intégrales deviennent des sommes.

N1E[e(t)] e(i) 0,Ni 0

0 si 0N1R( ) E[e(t).e(t )] e(i).e(i )2N si 0i 0

j 2 e e( ) R( ).e R(0) , .e 2 2

Pour bruit blanc échantillonne (T=1 et t entier relatif)

y(t) u(t) G(z)

• Propriétés de la réponse à une entrée stochastique

y(t) g( ).u(t )

1) u(t) stationnaire => y(t) stationnaire

car y(t k) g( ).u(t k )0

2) u(t) ergodique => y(t) ergodique

b) Par un calcul semblable, on démontre que

y y y y

p.s 1E{[y(t) m ].[y(t )] m ]} [y(t) m ].[y(t ) m ]N t 0

Comme la distribution de probabilité de u(t + k – n) est égale à celle de u(t – n), les distributions de y(t + k) et de y(t) sont égales.

p.s N1E[y(t)] E[u(n)].g(t n) lim u(t) .g(t n)NNn n t N

N N1 1 lim u(t).g(t n) lim y(t) mN NN Nnt N t N

u 2 12 1

siR ( )

R ( ) g(n).g(n )

car m E[y(t)] E[u(t )]g( ) E[u(t)]. g( ) m G(1).y ut 0 t 0

my = G(1).mu

R ( ) E[y(t).y(t )]y

g( ) E[u(t ).u(t )].g( )1 1 2 21 2

g( ) R ( ).g( ).1 u 2 1 21 2

Dans le cas où u est blanc,

Autocorrélation (on supposera que mu = 0 (=> my = 0))

j jj n 1 2R (n).e g( )e g( )eu 1 2n 1 2

Donc ( ) ( ) G(z).G(z )y u

( ). G(e )u

j( ) R ( ).ey y

jg( ) R ( ).g( ). e1 u 2 1 21 2

En posant – 2 + 1 = n, on obtient:

5) Spectre de y

Si u est blanc, uMais

y y1 jR ( ) ( ).e d

En posant z = ej, on a d = (z 1/j)dz et tenant compte de (1), on a :

21 1R ( ) . G(z).G(z ).z dzy 2 j C1

[résidus aux pôles de G(z).z-1]

Si G(z) est stable, les pôles de G(z-1) sont extérieurs à C1

Si u est blanc,

u yusi

R ( ) R ( ) .g( )0 si

R ( ) E[y(t).u(t )]

g( )E[u(t ).u(t )] g( )R ( )

6) Corrélation entre u et y

7) Spectre couplé entre y et u

j jyu yu u

j n ju

( ) R ( ).e g( )R ( ) .e

R (n).e g( ).e (en posant + =n)

yu u( ) ( ).G(e )

et si u est blanc, 2 j

yu ( ) .G(e )

• Modélisation d’une perturbation

Si b(t) est un signal ergodique (par exple une perturbation), on peut le voir comme la réponse à un bruit blanc d’un système linéaire

1 n1 n

b 1 n1 n

1 c z c z

1 d z d zG (z)

Noter que les coefficients c0 et d0 de zn et zm dans Gb(z) sont choisis égaux à 1 puisque le choix de 2 dans (1) est arbitraire. En désignant par i et j les pôles et les zeros de Gb(z), on a:

vérifiant j2 1

b b b z e( ) [G (z).G (z )]

1j j j

b1 2i i

(z )(z ) 1 ( ), z e(z )(z )

Comme ||i|| >1 <=> ||i-1|| <1 => on peut toujours choisir pour

Gb(z) des pôles stables (à l’intérieur du cercle unité). Idem pour les zeros j.

1 .Zb G(z).Ze Ze cz Ze b(t) e(t) c.e(t 1)

Rb(0) = 2.(1+c2), Rb(1) = Rb(-1) = 2.c, et Rb() = 0 0 et 1

Rb() et b() ?

a) R g n g nbn

( ) . ( ). ( )

c/(1+c2)1R’b

-3 -2 -1

c/(1+c2)

R’b() = Rb()/Rb(0)

• Exemples

1z cG(z) 1 c.z , c 0.

2c c 0

2 j 2 2b

j( ) (1 c.e ).(1 c.e ) (1 c 2c.cos ) b)

’b() = b()/e() = b()/2

( )(1 a.e ).(1 a.e )

(1 a 2a.cos )

1/(1-a)2

1/(1+a)2

2) , 0 a 1z 1G(z) z a 11 az

z a a z

p C( ) Re

( )( . ).( )

2 221 11

Rb(-) = Rb()et

Vérification:

2R ( ) g(n)g(n ). Orb n 0

1 1 2 2 3 3G (z) 1 a.z a .z a .zb 11 a.z

ng(n) ( a)2 2n 2 2R ( ) .( a) a .( a) /(1 a ).

3. IDENTIFICATION NON PARAMETRIQUE

u(t) & G(z)Analyse

y(t), R(), Exemplesprécédents

u(t) & y(t) G(z)Identification La suite du

On sait que pour un système linéaire, G(z) est de la forme

1 k0 1 k

1 n0 1 n

Zy z .zG(z)

Zu z z

Si 0 = 1 = … = r-1 = 0, r < k, on peut écrire:

r 1 m0 1 m

1 n1 n

Zy z [b b z b .z ]G(z)

Zu 1 a z a z

Dans ce cas, le système a un retard pur de r périodes.

Identification paramétrique : détermination des ai, bj, n, m et r

(Chapitre suivant)

Identification non paramétrique : détermination de g(t) et de G(ej)

Soit y(t) g(k)u(t k) v(t), t 0,1, 2, ...k 0

l’équation générale d’un système linéaire d’entrée u et de sortie y perturbée par le signal v.

• Réponse impulsionnelle : g(t)

R ( ) [y(t).u(t )]

g(k) [u(t k).u(t )] [v(t).u(t )]

On a :

Or [u non corrélé avec v] [v(t).u(t – )] = 0

2 si k[u(t k).u(t )] ,0 si k

Eet si [u blanc]

12R ( ) g( ) g( ) R ( )uy uy Donc

1R ( ) y(t)u(t )

N Numériquement : N grand

Si l’entrée u(t) n’est pas un bruit blanc, [u coloré],

• on détermine un filtre, dit de blanchiment, ayant la forme

1 1 2 r1 2 rF(z ) 1 f .z f .z .... f .z

tel que 1F(z ).Zu Ze e = bruit blanc

c.à.d vérifiant

u(t) f .u(t 1) ... f .u(t r) e(t)r1

Les paramètres fi de ce processus peuvent être déterminés par la méthode des moindres carrés qui sera donnée au chapitre suivant.

• En multipliant les deux membres de l’équation du système, Zy = G(z).Zu + Zv, par F(z-1), on obtient:

F(z-1).Zy = G(z). F(z-1).Zu + F(z-1).Zv

ou f f fk 0

y (t) g(k)u (t k) v (t)

F(z-1) F(z-1)

uf, yf et vf sont les filtrages de u, y, et v par F avec uf blanc.

f f2t 0

1g( ) y (t).u (t )

• Réponse fréquentielle

y (t) g(k)u(t k).

L’équation du système peut s’écrire sous la forme

0y(t) y (t) v(t)

avec v(t) une perturbation et

Spectre de y.

0 0y y v y y vR ( ) R ( ) R ( ) ( ) ( ) ( )

2jy u( ) G(e ) . ( )

2jy u v( ) G(e ) . ( ) ( )

Couplage entre u et y

0yu y u vuR ( ) R ( ) R ( )

[v et u non corrélés] [Rvu() = 0

jyu y u u( ) ( ) G(e ). ( )

(1) et (2) 2

yuyujv y

( )( )G(e ) et ( ) ( )

( ) ( )

(y0 ind de v)

Calcul numérique de yu(), y() et u().

yu yuj( ) R ( ).e

Meilleure résolution

1R ( ) y(t)u(t )

Val de y

Val de u

Si grand estimation de Ryu moins précise

Remède : on donne moins d’importance (un poids plus faible) aux grandes valeurs de

Fenêtre de Hamming

j( ) R ( ).w ( ).eyu yu

1avec w ( ) 1 cos

(formules semblables pour u et y)

( )Var[| G(e ) |] 0.7. .

Calcul de la variance de G(ejw)

Remarque :généralement, v()/u() avec Var[G(ej)] avec

• Exemple de MATLAB

Taper « iddemo » pour apprendre à utiliser le Toolbox« system identification ».

>> load dryer2>> dry = iddata(y2, u2, 0.08);>> ze = dry(100 : 300);>> ze = dtrend(ze);>> plot(ze)

dryer2 = tableau de y2 et u2

Données pour identificationToutes les données, 0.08 = T

Pour supprimer les moyennes

>> impulse(ze, 'sd', 3, 'fill') Estimation de la rép. impul.

>> step(ze)

>> gs = spa(ze);

>> bode(gs)

Réponse à un échelon unité

Analyse spectrale de ze

Amplitude et phase de G(ej)

4. MODELES LINEAIRES

• Modèles entrée-sortie

y0 = réponse propre y = réponse mesuréev = perturbation e = bruit blanc (bb)

Zy G(z).Zu H(z).Ze

En posant

n10 1 n

b b z ... b zB(z)G(z)

F(z) 1 f z ... f z

1 c z ... c zC(z)H(z)

D(z) 1 d z ... d z

Forme générale d’une FT

Les racines de C et de D sont de modules < 1 (stables)

Système

Modèle de la perturbation

B(z) C(z)(1) Zy Zu Ze

F(z) D(z) Modèle Box-Jenkens (B-J)

Si F et D ont des racines communes, on pose :

F(z) = A(z).F(z) et D(z) = A(z).D(z)

et B-J B(z) C(z)

A(z)Zy Zu ZeF(z) D(z)

La forme la plus générale

• Modèles particuliers

1) Si F(z) = D(z) = 1, on a :

n11 navec A(z) 1 a z ... a z

A(z)Zy B(z)Zu C(z)Ze

ou, en forme temporelle,

0 1 n b

y(t) a y(t 1) ... a y(t n )

c e(t 1) ... c e(t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

Autorégressif (AR)

Moyenne mobile (MA)

Exogène (X)

Modèle ARMAXB(z) C(z)

Zy .Zu .ZeA(z) A(z)

2) Si F(z) = D(z) = C(z) = 1, on a :

A(z)Zy B(z)Zu Ze

ou, en temporelle,

0 1 n b

y(t) a y(t 1) ... a y(t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

Autorégressif (AR)

Exogène (X)

B(z) 1Zy .Zu .Ze

A(z) A(z) (4) Modèle ARX

3) Si F(z) = D(z) = 1 et C(z) = A(z), on a :

A(z)Zy B(z).Zu A(z).Ze (5)

ou A(z)Zy B(z).Zu avec y y e

ou, en temporelle,

e 1 e n e a

0 1 n b

y (t) a y (t 1) ... a y (t n )

b u(t) b u(t 1) ... b u(t n )

Sortie erronée

(5) B(z)

Zy .Zu ZeA(z)

Modèle OE(output error)

• Modèle d’état discrétisé

x = A .x + B.u + w

y = C.x + D.u + v

En remplaçant dans

par x(t 1) x(t) on obtient : x

1(t 1) . (t) . (t) (t) avec

(t) . (t) . (t) (t)

x A x Β u w A I A

y C x D u v

5. OBSERVATION DE L’ETAT FILTRE DE KALMAN

n q pet , et , x w y v uR R R

On admet que

[w(t)] = 0 et [w(t).wT(t+)] = ().R1

R1: matrice de corrélation (n, n) entre les composantes de w.

[v(t)] = 0 et [v(t).vT(t+)] = ().R2

[w(t).vT(t+)] = ().R12

R2: matrice de corrélation (q, q) entre les composantes de v.

R12 : matrice de corrélation (n, q) entre w et v.

Forme de l’estimateur de x:

x (t+1) = F(t). x (t) + G(t).u(t) + K(t).y(t)

F, G, K sont des matrices à déterminer. Pour cela on pose

(t) = x(t) x (t)

et on minimise

J(t+1) = [T(t+1).(t+1)]

par rapport aux éléments de F, G et K. Or,

ij ij ij ij

ˆ ˆ ˆJ(t 1) (t 1) (t 1) (t 1)ˆ ˆ2 (t 1). . (t 1) (t 1).

f f f f

x x xx x xE

ij jiij ij

ˆ ˆ(t 1) (t 1)ˆ ˆ1 . (t) ou (t). 1

( ) x x ( )Mais

car dF/dfij = (1ij)

J(t+1) = [T(t+1).(t+1)] = {[xT(t+1) T(t+1)]. [x(t+1) (t+1)]} = [ ||x(t+1)||2 2.xT(t+1). (t+1) + T(t+1). (t+1)].

P1(t) = [(t).T(t)]

K(t) = [A.P1(t).CT + R12].[C.P1(t).C

T + R2]-1

P1(t+1) = A.P1(t).AT + R1 K(t).[C.P1(t).A

T + R12T].

Maintenant, en posant:

On démontre que

T T Tij ji ij

T Tij ij

J(t 1)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ 2 (t 1). 1 . (t) (t). 1 . (t 1) (t 1). 1 . (t)],

ˆ ˆ ˆ[ 2 (t 1). 1 . (t) 2 (t 1). 1 . (t)],

ˆ2. [ (t 1). 1 . (t)],

ˆ2. [ (t 1).x (t)] 0

x ( ) x x ( ) x x ( ) x

x ( ) x x ( ) x

ε ( ) x

[(t+1). T(t)] = 0. [(t+1).u T(t)] = 0,

[(t+1).y T(t)] = 0

Equations d’orthogonalité

(t+1) = A. (t) + B.u(t) + K(t).[y(t) - C. ] x x x

Matrice de corrélation de l’erreur (t)

Equations de Ricatti

3 équations matricielles à 3 inconnues F, G et K

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