i semestre algebra

I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA============================================================

AL JWARIZMI

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al – Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acera de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento Al. Jwarizmi vivió del año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y está en Uzbekistán.

Vivió en la corte del califa Abdulá al – Mamún quien había fundado una academia de ciencias que se llamaba “La Casa de la Sabiduría”, en la que trabajaban los mejores científicos y matemáticos, entre ellos, por supuesto, Al – Jwarizmi. De esta academia salió la primera expedición que realizaron los árabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de navegación y observaciones astronómicas. Al – Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedición.

En la “Casa de la Sabiduría” se desempeñó como bibliotecario, matemático y astrónomo y escribió varios textos, fundamentalmente de matemáticas.

El más importante de todos ellos es, sin duda, “Al – jabar wa´l Muqabala, que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así:

“Este interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al Mamún, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene todo lo que es más fácil y útil en Aritmética, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada de agrimensura, la excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más.

Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de Al – Jwarizmi, era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín, que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época.

Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al – Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra.

¿Qué observan?; ¿Cómo son los lados de las figuras?, ¿Cuál es el área de cada figura? Determina el área en cada caso:

Expresión AlgebraicaEs un conjunto de números (constantes) y letras (variables) separados por los signos de las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación); los exponentes son racionales y fijos.

TERMINO ALGEBRAICOEs una expresión algebraica cuyas bases no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.

Elementos de un Término Algebraico

GRADO DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

GRADO ABSOLUTOSe calcula sumando el exponente de sus variables.

Ejemplo:

6 x5 y9 z4

GA = 5 + 9 + 4 = 18

GRADO RELATIVOEstá dado por el exponente de la variable referida. Del Ejemplo anterior:

GRx = 5, GR y = 9, GRz = 4

TERMINOS ALGEBRAICOS SEMEJANTES

Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal.

Ejemplo:

1. -2x4 ;

2. 5m; 2m; -m; 10m

3. 6xy2; - 3xy2;

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se clasifica en racionales e irracionales (sólo trabajaremos las primeras).

Expresiones algebraicas racionalesCuando no aparece variables bajo el signo radical.Ejemplo:

Puede ser de dos tipos:

a) Expresiones algebraicas enteras(no aparecen variables en los denominadores, es decir las variables están afectadas sólo de exponentes enteros NO NEGATIVOS)

Ejemplo:

1) 2x7y2

3) a4 -

b) Expresiones algebraicas fraccionarias

Cuando aparece alguna variable en los denominadores, es decir al menos una de las variables está afectada de exponente entero NEGATIVO.

Ejemplo:

1) 3x –5

2) 5x2y3z-1

3) 2x2 +

4) 6a4 + 5b2 - 3c-3

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1) ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?

a) x b) x

Atotal = x2+x2+ Atotal = xy+xy+ xy+

x2+x2+x2 = 5x2 xy+xy = 5xy

c) b d) a b

b a a- 4 -

As= a2 – (b2+b2+ As= ab+ab+

b2+b2)= a2-4b2 ab +ab= 4ab

2) Determinar el número de términos que tiene la respectiva expresión algebraica.

Expresión Algebraica N° de Términos

15xy5z 1

x2 + xy – 10 3

6x5 + 9x2 - x – 12 4

3) Dada la siguiente expresión algebraica, determina el grado absoluto y relativo.

Expres. Algebraica GA GRX GRY GRZ

-12X2YZ 4 2 1 1

X3Y5Z 9 3 5 1

½ X9Y11 20 9 11 –

-15X4Z5 9 4 - 5

4) Reduce las siguientes expresiones:

a) 3x + 2x – 5x + 10x = 10x

b) + - - +10 – 5x +12 – 3x2 – 11x + 22

c) - + + - = 42m2n – 2mn2

5) Identifica el COEFICIENTE y la PARTE LITERAL en cada uno de los siguientes términos.

Término coeficiente Parte Literal

Algebraico

-12x9y7 -12 x9y7

m5n7 1 m5n7

- x4yz5 - x4yz5

-16p2q4 -16 p2q4

1/2m2n5 ½ m2n5

CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOS

I.E.P “SAN AGUSTÍN” ALGEBRA 1° AÑO SECUNDARIA============================================================ - 0,32 x4 y7 - o,32 x4y7

c) -b–

---------- a --------

2) Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios:

TERMINOALGEBRAIC

OCOEFICIENT

PARTELITERAL

9X 7Y9

- 0,2ab4C5

125 x34Z

0,249 a3bc2

3) Identifica los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes:

b) ab2 – 2xy2 + 3ab2 + xy2 – 7ab2

c) 5x2a – 2xz2 + 3ac + 3x2z+ 7xz2 - ac

d) 10x2y3z – 6x2y2z – 8x2y3z + 3x2y2z

e) 16a3b – 9ab3 + 3a3b - 16a3b – ab3

4) ¿De qué grado es cada una de la siguientes expresiones algebraicas.

a) 4 x2y3 - - - - - - - - - - - - - - - -

b) – 12a3 b4 - - - - - - - - - - - - - - - -

c) - 8x3yz6 - - - - - - - - - - - - - - - -

d) x7y4 z2 - - - - - - - - - - - - - - - -

e) 0,6x2yz4 - - - - - - - - - - - - - - - -

f) 2,4x4y6z - - - - - - - - - - - - - - - -

g) -6x3y3z6 - - - - - - - - - - - - - - - -

5) Halla el grado absoluto y relativo con respecto a la variable k, y, z de cada una de los siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIÓNALGEBRAIC

AGA GRx GRy GRz

9x3yz4

-0,3x2y9

10xy4z5

9x3y2z3

REFORZANDOMIS CAPACIDADES

1) Identifica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los siguientes monomios.

TERMINOALGEBRAIC

COEFICIENTE

PARTELITERAL

- 6z2y

0,028 x3y2z

- 0,83xy4z5

2) Identifica los términos semejantes en cada uno de los siguientes polinomios.

a) x4y + 2xy4 – 3x4y + 5xy4 – x4y

b) 8xy3 – 5a2c – 11ky3 + 16a2c

d) 3a2b2–3a3b2 –5z3–6a3b2+9z3 – 4a2b3

e) 15mn2 – 6m2n+13mn2 – 9m2n + mn2

3) Determina el grado en cada uno de las siguientes expresiones algebraicas.

a) 4x3y7 - - - - - - - - - - - - - - -

b) 6x4y2z - - - - - - - - - - - - - - -

c) - - - - - - - - - - - - - - -

d) 0,6x2yz4 - - - - - - - - - - - - - - -

e) 0,83ab3c2 - - - - - - - - - - - - - - -

f) 4xy8 - - - - - - - - - - - - - - -

g) 25xy4z - - - - - - - - - - - - - - -

4) Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIÓNALGEBRAICA

GA GRx GRy GRz

-2x3z4

0,3x3y9z5

0,3x9y10

0,9x4y8

16x4y8z3

-3x3y2z10

13x9y11

1,3y4z5

0,52y10

-8x9yz12

21x4y7

6y10 z10

-7x4 y4z4

12x3y2z10

- 10 -

REDUCCIÓN DE TERMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes, se suman los coeficientes, y se pone la misma parte literal.

Ejemplo:

1) Reducir:7x5 + 9x5 = (7+9)x5= 16x5

2) Reducir:

3) Reduce el polinomio:

12xy3 – 5xy3 + 4xy3

Solución:

12xy3 – 5xy3 + 4xy3=(12 – 5 + 4) xy3

= 11xy3

4) Reducir:

1,3xy2 + 0,2x2y – 3,3xy2+ x2y

Solución:

= 1,3xy2 + 0,2x2y – 3,3 x y2 + x2 y

= (1,3 – 3,3) xy2 + (0,2 + 1) x2 y

= - 2xy2 + 1,2 x2y

Reducir:

1) x + 2

2) 8a + 9a

3) 11b + 9b – 10b + 5b – 3b

4) 4ax + 5ax + 10ax

5) – 14xy + 32xy – 10xy + 20xy

6) 40x3y – 51x3y+ 25x3y + 8x3y

7) – 15xy + 40xy – 20xy + 16xy

8) 7ab – 11ab + 20ab – 31ab

9) a + 6a – 20a + 150a – 80a + 31a

10)-a2b+15a2b+a2b–85a2b–131a2b+39a2b

11)7a – 9b + 6a –4b

12)5x –11y – 9 + 20x –1-y

13)–6m + 8n + 5 –m – n – 6 m – 11

16) – a + b - c + 8 + 2a + 2b – 19

– 2c – 3a –3 – 3b + 3c

18) 5pq2 + 3p2q – 3pq2 – 2pq2

14)– 81 x+ 19y–30z+6y+80y + x – 25y

15) – 3a+4b – 6ª+81b–114b+31a- a – b

19) – 1,025p2q + 1,025pq2 +2,9p2q– 3,1p2q

Reducir:

1) - 8m - m + 6m – 3 m

2) - 9m - 7m - 5m + 12 m

3) 6ax+1 + 8ax+1 - 3ax+1

4) - mx+1 – 5mx+1

6) - a –

7) – 25x2y + 32x2y –20x2y + 16x2y

8) – m2n + 6m2 - 9m2n + 15m2n

9) 55a3b2 – 81a3b2 + 42a3b2

10) 25x2 - 50x2 + 11x2 + 14x2

11) a + b – c – b – c + 2c – a

12) 5x - 11y – 9 + 16x – 30y +15

13) - a + b + 2b – 2c + 3a + 2c – 3b

14) 15a2 –6ab - 8a2+20 – 5ab – 31+a2- ab

15) - 71a3b - 84a4b2 + 50a3b + 84a4b2

- 45a3b + 18a3b

16) - 0,5p3q - 2,7p3q +0,1p3q - 3,2p3q

19) - 9b+3ab2 + 12b - 15ab2+6b

21) - 7c + 21c + 14c – 30c + 82c

22) -mn + 14mn - 31mn – mn + 20mn

23) a2y – 7a2y – 93a2y + 51a2y+48a2y

24) – a + a - a + a – 3a + 6a

25) – 7ax - 30ax - 41ax – 9ax + 73ax

26) -9b – 11b - 17b -81b – b + 110b

27) 84m2 x – 50/m2 x – 604m2x

28) 40a – 81a + 130a + 41a – 83a – 91a

29) -21ab+52ab- 60ab + 84ab – 31ab – ab – 23ab

30) 0,3a + 0,4b + 0,5c - 0,6a – 07b – 0,9c + 3a 3b – 3c

VALOR NUMÉRICO

Observa la siguiente figura:

¿Cuál es el volumen del cubo?

Hallar V, si a = 2; 3; 4; 5

El valor numérico de una expresión Algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números.

1) Hallar EL V.N de:

9xz para x = 2 y z = 3

SOLUCION :

Sustituimos x por su valor 2 y Z por su valor 3. Luego multiplicamos

9(2) (3) = 54

El valor numérico es 54

2) Encuentra el valor numérico de:

3x3 – 5x2 + 2x – 1 para x = -1

SOLUCION:

Reemplazamos x por su valor (-1)

3 (-1)3 - 5(-1)2 + 2(-1) - 1

Efectuamos las potencias

3 (-1) - 5(1) + 2(-1) - 1

Multiplicamos y hallamos la suma

- 3 - 5 - 2 – 1 = - 11

El valor numérico es - 11

3) Hallar el valor numérico de:

S = (2X – 1)2 + (2Y –1)2 + 2(Z – 1)2

Para x = - 2 y = -1 z= 3

SOLUCION :

Reemplazamos los valores dados x, y, z en S

Operando al interior de los corchetes

Efectuando las potencias indicadas

S = 25 + 9 + 49

Sumando : S = 83

El V.N de S para los valores dados es 83.

4) Reduce los términos semejantes y halla el valor numérico de 3m – 5n – 9m + 10n,

para m = - ; n=

SOLUCION :

Reducimos los términos semejantes

3m – 5n – 9m + 10n =

(3 – 9)m + (-5 + 10)n = -6m + 5n

Se reemplazan los valores de m y n en 5n – 6m =

5 - 6 = 2 + 2 = 4

El valor numérico es 4.

5) Si se sabe que:

P(x) = 3x4 – 2x3 + x2 – x – 2

Hallar P (-2)

SOLUCION :

Asignamos a x el valor de –2

P (-2)= 3(-2)4 – 2(-2)3 + (-2)2 – (- 2) - 2

Operando P(-2) = 68 Respuesta

1) El volumen de un cilindro de radio r y la altura h, se calcula usando la siguiente fórmula.

Halla el volumen de un cilindro cuyo radio mide 4m. y cuya altura mide 6m.

2) Halla el valor numérico del polinomio siguiente : 5x3 – 3x2 + 2x + 1 cuando:

a) x = 1

b) x = - 2

c) x =

d) x = 2

e) x = 3

3) Sabiendo que x = 2; y=-1; a=2; c=-2; hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

a) 3xy2 + 8x – 7

b) 3ac2 – cy

c) – 3x + 5y + a2 – c2

d) x2 y3 – 7y + xy

e) 5c3 – 3xy + y2

4) Hallar el V.N de mn

Para a = 1, b=2 m= ; n=

5) Encontrar la energía potencial (Ep) de un farol situado a 5m de altura, si su masa “m” es de 12 Kg.

Dato: Ep = m x g x h

g = 10m/s2

1) Si a = -2, b=1; c= 3; d= ,

x = - 2; y = - 1; z = - 4

Calcula el V.N de las siguientes expresiones

a) A = a + b + c

b) M = 2d – x2 – y3

c) F = X2 – 2y + z

d) G = 2acd - x2 y3 z

2) Efectúa los siguientes cálculos de V.N

a) Si P(x) = x3 – x + 2

Hallar P(1)

b) Si P(x) = 3x2 + x - 2

Hallar P(2)

c) Si P(x) = x2 + x - 1

Hallar P(-1)

d) Si P(x) = 5x3 – 3x + 6

Hallar P(-3)

3) Hallar el V.N de la expresión siguiente:

para m = n; =

4) Sabiendo que x = 2; y= -1; a = 2; c = -2. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones.

a) 5ac – 3ac2 + xy2

b) 6ª - 3c2 + 5xy

c) 4x y2 – 5yx2 + ac2

d) 5ax – 3c2 + 2xy

g) 10ac2 - 3xy2 + 2c

h) -9x2y + 2a2 c – 9ac

i) 2 axy – 3xy + 9xc

j) –10x2y + 12ac – 15xy

5) Hallar la velocidad “v” de un móvil que se desplaza 5 km en 10 h.

5 km en 10 h.

6) Hallar el V.N de la expresión

x = 2; y= -1

7) Sea a=2; b= x =

Hallar el valor numérico de:

8) Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

Si x = 4; y = 81; z= 64; a= 3

b = -2 y c = 4

MONOMIOS

¿Cuál es el área de las figuras (1) y (2)?

Las expresiones algebraicas en las que se operan productos y potencias, pero no sumas ni restas, se llaman monomios.

De la Fig (1) x2 + x2 + x2 + x2 + x2 = 5x2

Fig (2) xy + xy + xy + xy = 4xy

GRADO DE UN MONOMIOEl grado absoluto se obtiene sumando los exponentes de los factores de la parte literal.

Ejemplo: 15x4y4z GA = 10

2a3bc GA = 5

VALOR NUMERICO DE UN MONOMIO

Valor numérico de un monomio M(x) para x = a, se obtiene al sustituir x por a:

Ejemplo:

M (x=2) = 2x3 = 2(2)3 = 16

M (x=4) = -10x2 = -10(4)2 = -160

MONOMIOS SEMEJANTESLos que tienen la misma parte literal y por tanto el mismo grado.

Ejemplo:

- 3x2; 2x2; -4x2

3xy3; ; - 2xy3

1. ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?

Solución :Atotal(a)=x2 + x2 + x2+ x2 + x2 + x2 = 6x2

Btotal(b)= xy + xy + xy + xy = 4xy

2. Determina el grado absoluto y el grado relativo de las siguientes expresiones algebraicas-

EXPRESIONESALGEBRAICAS

GA GRx GRy GRz

- 7xyz 3 1 1 1

-2 4 3 1 -

3x3y4z 8 3 4 1

7x7y8z10 25 7 8 10

3. En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numérico.

a) 7xy5; x=2; y = -1

Solución :

7(2) (-1)5 = 7(2) (-1) = 14

Respuesta: El valor numérico es -14 y el GA = 1 + 1 + 5 = 7

b) -3a3b2; a =3; b = 2

Solución :

-3(3)2 (2)2 = -3(9) (4) = 108

Respuesta: El valor numérico es 108 y el GA = 3 + 2 = 5

c) -9abc2; a=2; b = 1; c=1

Solución :

-9(2) (1) (-1)2 = 18

Respuesta: El valor numérico es 18 y el GA = 1 + 1 + 2 = 4

4. Calcular el valor numérico de la expresión E para x = -3 y = -2; m = -1

a) 0 b) –1 c) –2 d) e)

Solución :

5. Hallar “m” si el siguiente monomio es de 2° grado.- 7

a) 5 b) 4 c) 3 d) -2 e) –5Solución:Por dato el exponente de la variable x es 2.

m – 3 = 2Luego: m = 5

Rpta. (a)

6. ¿Cuál es el grado del término:4x-1; y-1

a) -1 b) -2 c) 1 d) 2e) No tiene grado

Solución :El grado es un número relacionado con los exponentes de un polinomio, por lo tanto tal número siempre es natural.

Rpta. (e)

7. Dar el grado del siguiente término

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) No tiene grado

Rpta. (e)

8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I) El grado de un monomio puede ser negativo.II) Todo término algebraico tiene grado.III) El grado de un monomio puede ser una fracción.IV) En un monomio el grado está dado por el mayor exponente de todas sus letras.

a) I y II b) I y III c) sólo I d) sólo III e) Todas

Rpta. (e)

1) ¿Cuál es el grado del siguiente término?

P(x,y,z) = - xywzt

a) 1 b) 4 c) 5 d) –5

e) No tiene grado

2) Hallar el valor de “m” si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y”, y de sexto grado respecto a “x”.

- m + t y t + 7

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 0

3) Calcula a – b en el siguiente monomio si además se sabe que GRx = 15; GRy = 10

a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 15

4) Hallar “t” en el siguiente monomio si se sabe que es de 7° grado respecto a “x” y que su grado absoluto es 12.

M (x;y) = + 3

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5) Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado.

M (x;y) = 15 a2 xa+1. y2

a) 175 b) 215 c) 225d) 255 e) 375

2) Determina el grado absoluto y relativo de las siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIÓNALGEBRAICA

GA GRx GRy GRz

0,7x10z4

3) En cada caso indica el grado absoluto del monomio e indica el valor numérico.

a) -7ab2c2a=2; b=1; c= -1

b) 15m2n3p ;m=2; n=-2; p=1

c) 8a3b2 a = 5 ; b = 1

d) 6a3b2c4 a = 3; b= -1 c= 2

4) Encontrar el coeficiente del siguiente monomio si GRx = 9; Gry = 8.

M(x;y) = m3xm+t y 2t

a) b) c)

5) Hallar el grado absoluto del siguiente término.

a) 5 b) 10 c) 12d) 15 e) No tiene grado

6) Hallar el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de 8° grado.

M (x;y;z) = -3a2xyz2+a

a) –48 b) –12 c) -9 d) –6 e) –3

7) Deducir

3,2ab5 + 6,8b5a – 3,7 (ab)5 + 3,7a5b5

a) ab5 b) –ab5 c) 9ab5 d) 10ab5 e) 10a5b5

8) ¿Cuál es el triple de m si los siguientes términos son semejantes?4x2m+3; -2

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18

9) Calcular el valor de a + 2b, si los tres términos siguientes son semejantes.2ya+b ; 0,5 y 7+b ; 2 y9

a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

10) Cuál es el término de mayor coeficiente si todos son semejantes con variable x?

T1 = 6m xm+1 t2 = 3m2xm+1

T3 = 13m x9 t4 = 18mx 1+m

a) 101x9 b) 104x9 c) 172x9

d) 144x9 e) 166x9

ADICION Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS SEMEJANTES

¿Cuál es la suma de las áreas de los rectángulos?

a1= ( 2x) (x) = 2x2

a2 = (4x) (x) = 4x2

a3= ( 2x) (x) = 2x2

S = A1+ A2 + A3 = 2x2 + 4x2 + 2x2= 8x2

La adición y la sustracción de monomios semejantes se realiza sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal.

REDUCCIÓN DE UN POLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES

Para reducir un polinomio que contiene términos semejantes se indica cada clase con marcas distintas y se reduce separadamente cada una de ellas.

Ejemplo 1: Reducir el polinomio

4x2 – 8x + 6x2 + 5x – 3x2 + 7x

Resolución :En el polinomio dado, marcamos los términos semejantes de la manera siguiente

= (4 + 6 - 3)x2 +(5+7-8)x

= 7x2 + 4x

Ejemplo 2:Deducir el polinomio

13a2 – 5b2 + 13ab + 8a2 – 10b2 – 2ab + 6b2 – 8ab

Resolución :

- -10b

= (13+8)a2 +(-5-10+6)b2 + (13-2-8)ab

= 21a2 + (-9)b2 + 3ab

Ejemplo 3:Reducir el polinomio

X2y3 – 10x3y2 + 6xy2 + 5x2y3 – 8x3y2 – 12xy

+ 7x3y2 – 11xy2 + 7xy

Resolución :

1x2y3 - 10x3y2+6xy2+3x2y3-8x3y2 - + 7x3y2 – 11xy2 + 7xy

= (1+5) x2y3 + (-10 – 8+7)x3 y2

+ (6 – 11)xy2 + (-12 + 7)xy

= 6x2y3 – 11x3y2 – 5xy2 – 5xy

4) De: Resta

a) 7 + a 5 - a

Resolución :

7 + a – (5 –a) = 7 + a – 5 +a

= 2 + 2a

b) 6 + x ; 3 – x

Resolución :

6 + x – (3 –x) = 6 + x – 3 +x = 3 + 2x

c) 2m + 1 ; 2m

Resolución :

2m + 1 – 2m = 1

d) 6a + 4 ; 3b + 3

Resolución :

6a + 4 –(3b + 3) = 6a + 4 – 3b – 3 = 6a – 3b + 1

1) Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

a) x3 + 5x3 – 3x3 + 2x3

b) 2xyz + 9xyz – 4xyz + 6xyz

c) 5an – 4an + 11an

d) axq – 6axq – 3axq

2) Reducir los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes.

a) 6x + 7a - 10x + 3x – 8a

b) 15ay + 13a - 7z + 6a - 13ay + 4z

c) xy – 5x2 + 8y2 + 11xy – 25x2 – 30y2

d) 12x3 + 5xy2 – 8xyz3 - 7xy2 z - 6x3+ 2xyz3

3) Reducir los términos semejantes en cada uno de los polinomios siguientes.

a) 8y2 - 5x2 + xy - 25x2 – 30y2 + 11xy + 14x2

+ 26y2 + 6x2 + 13xy

b) – 5n + 8yn – 10zn + 15xn – 16yn + 20zn +

48xn – 15zn - 14xn + 12yn

4) De ; Resta

a) 7 + 3a ; 5 – 9ª

b) 6 + 10m ; 5m – 3

c) 15 + pq ; 6 – qp

d) 10 - ab ; -5 ab + 10

5) Si los términos :

t1 = (a + 1) xb+2 y4

t2 = (2 – a) x4 y0

Son semejantes, hallar la suma t1 + t2

a) x4y4 b) 3x4y4 c) –3xy

d) -3x4y4 e) Imposible

1. Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios

a) 3x2 + 8x2

b) 11ac – 7ac

c) – 3ab – 5ab + 4ab

d) 7x2y + 3x2y - 8x2y

e) 13xm + 7xm – 16xm

f) 7xy4 + 2xy4 – 6xy4

g) 8yz3 - 3yz3 – 4yz3

h) xyn – 3xyn + 5xyn

2. Reducir los términos semejantes en cada uno de uno de los polinomios siguientes.

a) 5a + 3y + 9y – 11ª + 8y

b) 23mx + 18my + 5mx – 7ny + 4mx – 20ny

c) 4b2 – 6xyz – 2a2 + 3b2 + 8xyz – a2

d) 3axn – 5xan + a2x – 2axn +8xan - 4a2x

3. Reducir los términos semejantes en los siguientes polinomios

a) 2ab3 – 3a2b2 + 9a2b - 8a3 – 10a2b2 – 9a2b + 15a3 - 7ab3 + 13a2b2

b) 2xy - 3x2y + 5xy2+ 8x2y - 4xy2- 6xy

- 4xy2 + 10xy - 6x2y

c) 6xyz3 – 3xy3z – 2x3yz +7x3yz - 9xy3z

– 12xyz3

4. Resta ; De

a) 6ab ; 7abb) 12a + 4 ; 15a + 2c) 6a + 3 ; 6b + 3d) 10a – m ; 10a + n

5. Resta ; De

a) 5x + y ; 3x + y

b) 10a – m ; 13a – 2m

c) 12a + 3 ; 13 – 10a

d) 15pq – 3 ; pq + 15

6. Si los términos:

t1 = (5 - b)x m+3 y6

t2 = (3 + b) x8 yn

Son semejantes, hallar la suma t1 + t2

a) (-8 + a)x6y8 b) (8-a)x8y6 c) x8y6

d) - 8x8y6 e) 8x8y6

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

¿Cuál es el volumen del paralelípedo de la figura?

Vp = Abase x h

= (3x) (x) (2x)

La multiplicación de monomios se realiza multiplicando los coeficientes y luego la parte literal aplicando la ley de exponentes.

An xam = a n+m

EJEMPLOS DE APLICACION

Efectúa:

(a) (2xy2) (-3xy5)

Solución :

(2xy2) (-3xy5) = -6x2 y7

(b) (-3x3y) (-2x2yz)

Solución :

(-3x3y) (-2x2yz) = 6 x5y2z

c) (-3x2z) (-2x3y2z) (-4xyz)

Solución :

(-3x3y) (-2x2 yz) (-4xyz) = -24x6 y3 z3

= 24x6y3z3

d) (10abc) (-3a2b) (abc3)

Solución :

(10 abc) (-3a2b) (abc3)

= 30a4b3c4

PRODUCTO DE MAS DE DOS MONOMIOS

Para obtener el producto de más de dos monomios se aplica la propiedad asociativa: se halla el producto de los dos primeros y luego el producto de este resultado con el tercer factor y así sucesivamente, hasta el último.

EJEMPLOS DE APLICACION

Ejemplo 1: Hallar el producto de: 8x2 por 5x4 por 3x5

Resolución:

8x2 . 5x4 . 3x5 = (8x2 . 5x4) . 3x5

8x2 . 5x4 . 3x5 = (40x2+4 ) 3x5 = (40x6) 3x5

= 40.3x6+5 )

8x2 . 5x4 . 3x5 = 120x11

Ejemplo 2: Hallar el producto de: (3ab2c)

(-4a3b2) (5cd3)

Resolución:

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)=

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 601+3. b2+2.c 1+1 .d3

(3ab2c)(-4a3b2)(5cd3)= 60a4.b4.c2.d3

Ejemplo 3: Hallar el producto de: (-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4)

Resolución:

(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) =

(-5a3bc3) (-2abc3) (3ac4) = 30a 3+1+1

.b1+1.c3+3+4

(-5a3bc3)(-2abc3)(3ac4) = 305 b2 c10

1) Halla el producto de cada operación

a) x2.x5 =

b) (3x) (7x2)

c) (-5a3 bc3) (-8a2b3)

d) (9ab2m) (-3ab3m)

2) Efectúa :

a) (6xy5) (-3x2yz3)

b) (-10bc) (-6a2b) (- 2abc)

c) (-5mn)(2m2) (- 3n3)

d) (0,2p2q) (0,1pq2) (-3p4 q)

a) (2a3) (5a2b) (a3 b3)

b) (8a3bm) (-9a2 b2) (a3m2n) (6bn3)

c) (9a3b4) (-7a4 m7) (-11m2n) (5x3b)

4) En cada espacio libre, escribe el factor que falta.

a) 3x = 15x3

b) 4xy2 = 12x3 y6

c) 25xy3z2 = 50x2y4z3

b) 18x4 = 72x4 y2

a) x3 . x8

b) (-6a3 b) (9a2 b4)

c) (-3x2 yz4) (-7xy3 z6)

d) (-5x3 y2w) (18x3 w4y )

e) (7ab2yc)(-7aby3c2)

f) (8m3n2y) (-3mn4z5)

g) (-12a5m2yx - 6ab3 my4)

h) (16x3y2) (9x4 y6)

a) (4am2) (-6a2m) (-2a2m2)b) (-3b2m4) (7m2n) (-5a3m)c) (12x4 yz3) (-8y3xz2) (2xy)

d) (6xn z) (8a3x2) (-4a2x3) (-3xn)

e) (-11x3 y) (-7xz4) (2w3y4) (-w2z4)

3) Efectúa:

a) (10x y3z) (-3xyx) (-30x3y5 z4)

b) (0,3m4n5) (0,1m5n4)

4) En cada espacio libre, escribe el factor que falta:

a) 2x2 = 6x4

b) -7a2x4 = 21a3x6

c) 18a3bc2d4 = 54a5b3c3d6

d) 45x4y2 = 225x10 y8

e) -13x3yz6 = 169x8y5 z8

f) 4mnx4y3 = -60m3n5x7y5

Ejemplo: (-3xy2z)4 = +81 x12 y8 z4

Sea el exponente natural se eleva el coeficiente a dicho exponente y cada variable al producto del exponente por el de la potencia.

1. Calcula las potencias indicadas:

a) (17x3y5z)2

Solución :

(17x3y5z)2 = 289x6y10z2

b) (-2abc4)3 =

Solución :

(-2abc4)3 = 8a3b3c12

2. Hallar el valor “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 10.

a) 2 b) 4 c) –2 d) 6 e) 10

Solución :

El grado absoluto

GA = 2a + 4 +2 = 10

= 2a + 6 = 10

2a = 4

Rpta. (a)

CONSTRUYENDOMIS CONOCIMIENTOS1. Halla el resultado de:

a) (x3)2

b) (2xy2)4

c) (-4m2n2p3)3

d) (-2a3bz2)4

2. Calcula las potencias indicadas

a) (- 12a3b2c4)2

b) (- 8b4b5cd3)3

c) (- 9m4n3c2)2

d) (10x10y9z8)3

3. Hallar el valor de “m” para que el grado del siguiente monomio sea 16.

a) 10 b) 7 c) 14 d) 6 e) 8

4. Halla el resultado de:

a) (x3)2. (8x4)2

b) x2y. (3x2y4)4

c) a4. (-2ab3)2 (-3a)3

d) 4x2b(-2xb)6

e) (5x2y)2. (2xy2) 3

f) 5a3. (2ab3)4

1) Halla el resultado de:

a) (a2b)3

b) (2a3x)3

c) (7x2y)3

d) (3am2n3)4

e) (xy2z4)5

f) (-3y2 z4)5

g) (- 6a2b3c)2

h) (25xy2zt2)2

i) (12x3yz4)2

j) (5a8b4c2)4

k) (- 7x2yz4)3

l) (- 3x4y2w5)5

2) Halla el resultado de:

a) 6a3y5 (2a2y2)

b) (3ab3)2(2ab)3

c) (2x3)4 . (x3y)2

d) (-3ab2)2. (-3ax) 2

e) (-7xy3)3. (-3ax) 2

f) (8abc3)2. (5a2bc) 2

3) Calcula las potencias indicadas:

a) (16xy7z5)3

b) (-3a4b3c2)4

c) (-4m4n7)9

d) (16 a5bc7)2

4) Hallar el valor de “a” para que el grado del siguiente monomio sea igual a 20.

a) 2 b) 5 c) 3 d) 1 e) 0

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir:

16x4 : 8x2

Resolución :

24x6 : (-4x3)

Resolución :

= - 6x3

(- 28x4y6) : (7x3y2)

Resolución :

Recuerda que:

am : an = = am

Recuerda que:

am : an = = am

= - 4xy4

(- 45x5y6z3) : (-9x3y4 z)

Resolución :

= 5x2y2z2

(60am+2bn+3) : (4a2b5)

Resolución :

= 15am . bn-2

1. Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (12x5y2) (3x2y)

b) (22x8y4) (2x5y3)

c) (30x8y3z) (-6x3yz)

d) (-42a3b4 c2) (7a3b2c)

2. Efectuar las operaciones y hallar la reducción

3) Simplificar:

4) Reducir:

a) 2xy b) xy c) –xyd) 0 e) –2xy

5) Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) abc e) ab

1) Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (–56a5b6z) : (– 86abz) = ..............

b) (-48x6b7 xn) : (-12x4b3 xn)..............

c) (55x6y7z4t8) : (-5x4y2 zt3)...............

d) (-72xm+3yn+4) : (-6xmy4)............…..

2) Halla el cociente de las divisiones siguientes:

a) (-144xn+8ym+4z4+p) : (-6x6+ny2-nz3+p)

b) (-625a3x+yb2x+3yc3n+5):(-5ay+2xb2y+xc3+2n)

c) (128x3+ay5+bz6+4c):(16xa+1yb+3z4c+5)

d) (224x3m+n+pym+3n+q):(7x2m+n+py2n+m+q)

3) Si A = 3x(2y)

B = (3y) (2z)

Hallar : AB Z – 36xy2

a) o b) 12x2y c) 18xy

d) 18x2y e) 2xy2

4) Si P = x (x+1)

Q = x (x -1)

Halla el valor de

a) 1 b) 0 c) x d) 2x e) –1

5) Simplificar:

P = x + 1 y Q = x – 1

a) 0 b) 1 c) x d) 2x e) 3x

6) Efectuar las operaciones y hallar la reducción:

Carla tiene un terreno rectangular.Una parte será construida para vivienda y el resto para el jardín exterior. Este tendrá forma de letra ele y uno de sus anchos será el doble del otro. Como muestra la figura.

2j a-j

Casa a

J Jardín

a) ¿Cuál es el perímetro del jardín y de la casa?

Pj= + a + 2j + (a-j) + ( -2j) j

Pc= ( -2j) + ( -2j) + (a –j) + (a –j)

b) ¿Cuál es el área de la casa y del jardín?

Aj = .a – ( -2j) (a-j)

a) Ac= ( -2j) (a-j)

Con dichos enunciados en lenguaje matemático resolvemos las operaciones con polinomios.

POLINOMIOS

Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos. Si los coeficientes de sus términos son números reales, se dice que es un polinomio en R.

NOTACIÓN POLINOMICA:

Un polinomio cuya única variable es “x”.

P(x)= a0x0 + a1x1 + a2x2 +....+ anxn

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO

1) Cantidad finita de términos

2) Los exponentes de las variables deben ser ENTEROS POSITIVOS O CERO.

3) Los denominadores no deben tener variables.

Ejemplos :

1) 4x2 - 5x+ Si es polinomio

2) 5m5- m3- m+2-2 m2

Si es polinomio

3) 6z3 - 2 z4 - -

Si es polinomio

4) 8x3 + 5x2 – 6 + xNo es polinomio

5) 5x4 + 2x2 – +

No es polinomio

7) 1 + x + x2 + x3 + x4 +.........

No es polinomio

TERMINOS DE UN POLINOMIO

Los monomios o sumandos de un polinomio son los términos de un polinomio.

Con 1 sólo término recibe el nombre de MONOMIO. Con 2 términos recibe el nombre de BINOMIO. Con 3 términos recibe el nombre de TRIMONIO.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN:

1) ¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos y son semejantes?

a) 6 b) 12 c) 9d) 2 e) 3

Solución :

Si son términos semejantes, los exponentes de sus variables son iguales, es decir:

xa+3 = x12 a + 3 = 12 a = 9

Rpta. ( c )

2) Calcular m + 1m sabiendo que t1 y t2 son términos semejantes:

t1 = 0,2 ym+2 ; t2 = - 5

a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9

Solución :

Sean t1 y t2 términos semejantes:

y m+2 = m+2 = 8

Luego: m + 1 = 8 + 1 = 9

Rpta. ( e)

3) Calcular la suma de coeficientes de los siguientes términos semejantes, sabiendo que la única variable es “x”.

3axa+5 ; - 7ax8

a) -10 b) -8 c) -12d) 12 e) 6

Solución :

Si son términos semejantes

xa + 5 = x8 a + 5 = 8

a = 3Reemplazamos el valor de “a” en los coeficientes de los términos y sumamos

3(3) + - 7(3) = 9 – 21 = -12

Rpta. ( c )

4) Calcular el valor de a + 2b si los tres términos siguientes son semejantes:

2y a+b ; -0,32y 7+b ; 7

a) 9 b)11 c) 5d) 7 e) 2

Solución :

y a+b = y 7+b = y9

a + b = 9 ....... ( 1 )7 + b = b = 2 .... ( 2 )

Si b = 2 Reemplazando (2) en ( 1)

a + 2 = 9

Luego: a + 2b = 7 + 2(2) = 7 + 4 = 11

Rpta. ( b)

5) Dar la suma de los coeficientes de los siguientes tres términos semejantes que tiene a x como única variable:

3,2mxm+a ; - 0,2m2x2+a ; 0,5mx6

a) 3,3 b) 5,8c) 5,6d) 5,2 e) 6,6

Solución :

x m+a = x 2+a = x6

m+a = 6 ........... ( 1)

2 + a = 6 a + 4 .... ( 2 )

Reemplazando (2) en ( 1)

m + 4 = 6

Luego la suma de los coeficientes de los términos semejantes será

3,2 ( 2) + - 0,2 ( 2)2 + 0,5 (2)

= 6,4 – 0,2 (4) + 1,0

= 6,4 – 0,8 + 1,0 = 7,4 – 0,8 = 6,6

Rpta. ( e)

1. Hallar el menor coeficiente si los términos dados son semejantes, de variable “y”.

- cy c+5 ; 2 c2y 5+c ; - 3 c3y3

a) 2 b) -2 c) 8d) -3 e) -

Rpta. ( )

2. Escribe (P) en caso que la expresión sea un polinomio y (H) en caso que no lo sea.

a) 2x-5x2+6x5 ( )

b) 3x-2 + 3x-1 – 4 + 3x ( )

c) 6 -6x-2 + 3x ( )

d) 3x-2y3z4 ( )

e) ( )

3. Escribe (M), (B) ó (T) si la expresión es un monomio, binomio o trinomio respectivamente.

a) 4x+3x2+2x2 ( )

b) 5xy - 5xy2 + 5x ( )

c) (2+3+51x ( )

d) 2xy – 3x2y2 ( )

e) 6x + 8x3 - 2x 5 ( )

4. Calcular b-a sabiendo que t1 y t2 son semejantes de variables x e y.

t1 = a3bx-3y2 ; t2 = ab3xay a+b+1

a) 1 b) –1 c) 7d) -7 e) 5

5. De los dos términos del problema anterior, ¿Cuál es el menor coeficiente?

a) -108 b) –192 c) 108d) 192 e) 111

Rpta. ( )

6. Reducir a un solo término:

3x2 + 5x + 2

a) 10x2 b) 30x c) 30x3

d) 10x3 e) Imposible

Rpta. ( )

1. Reducir a un solo término

7xy4 - 9xy + 2y4x

a) 6xy4 b) 9xy4 c) 0d) –9xy4 e) imposible

2. Escribe (P) en caso que la expresión sea un polinomio y (N) en caso que no lo sea.

a) 2x2+6x2 - 3x2 ( )

b) ( )

c) x + 22x2 - 30x3 ( )

d) 4x0 + 3x0 + 4x1 ( )

e) x-2 + x-1 +x0+ 3x1 ( )

3. Reducir los siguientes términos semejantes:

- 11 a2b5 + 7 a2b5 + 3 b5a2

a) - a2b5 b) 0 c) -2 a2b5

d) a2 b5 e) Imposible

4. El siguiente polinomio es reducible a un solo término ¿Cuál es el coeficiente de dicho término?P(x) = (a - c) x a+1 - 3acx7+(a+c)x 5 - c

a) 40x7 b) 25x7 c) 48 x7

d) 17x7 e) x7

5. Si todos los términos del siguiente polinomio son semejantes ¿Cuál es el polinomio reducido?

P(y) = (m + t) y m+ t + y8 - (m - t) y t + 7

a) y8 b) 6y8 c) 15y8

d) 3y8 e) 9y8

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. X7 + X3 = X10

II. 6y2 + 4y3 = 10y5

III. Un monomio siempre es una expresión racional entera.

IV. Un término algebraico cualquiera puede ser racional entero o racional fraccionario e inclusive irracional.

7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. es un monomio de grado 3.

II. P(x) = x + Es un polinomio.

III. P(x) =

Un polinomio en R.

IV. P(x)=

polinomio en R.

a) Sólo II. b) Sólo I. c) Todasd) I y III e) Sólo III

8. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas?

I. 3X3 - 10X + es un POLINOMIO

II. No es un POLINOMIOIII. 1 + y2 + y3 + ........ No es un POLINOMIOIV. 10X-1 + 6X2 + 2 es un POLINOMIO

a) Sólo I. b) Sólo I y II. c) Sólo IIId) Sólo IV. e) Todas

9. ¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos son semejantes?

a) 8 b) 10 c) 11d) 9 e) -10

10. Calcular m2 – 3 sabiendo que t1 y t2 son términos semejantes.

t1 = 0,23ym+12 t2 = -6,2 2m+10

a) 4 b) 3 c) 0d) 1 e) 5

GRADO DE UN POLINOMIO

a) GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (GA)

Esta dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos.

Ejemplo:

El mayor es 8, luego GA = 8

b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (GR)

Esta dado por el mayor de los exponentes de la variable referida.

Ejemplo :

P = (x,y) = 3x4y - 5x3y7 + 2x5y - y4

GRx = 5 GRy = 7

1) Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESIÓN GA GRx GRy GRz GRt

-5x7yz4 12 7 1 4 -

-2 6 2 3 1 -

xy8t 10 1 8 - 1

X + y 1 1 1 - -

2x2+x+y 2 2 1 - -

2) ¿Cuál es el grado de la siguiente expresión?

P (x) = 1 + x +2x2 + 3x3 + 4x4 +……

a) 4 b) 10 c) 6d) 8 e) No tiene grado

Solución :

Es una expresión de infinitos términos por lo tanto no es polinomio y no tiene grado.

Respuesta (e)

3) Dar el grado del siguiente polinomio

P(x) = 6 + xm - 3 xm+7 + xm+3

a) m b) 6 c) 10d) m+7 e) 12

Solución :

El grado o grado absoluto, está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos.El polinomio es un trinomio de grado m+7.

Respuesta ( d )

4. Hallar m si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 +5xm+6 - 3xm+7

a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) 2Solución :

En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es “m+7”,

m + 7 = 10

Respuesta ( c )

5. Calcular “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado.

P(x) = 3

a) 7 b) 2 c) 4d) 6 e) 5Solución :

En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es a - 3

a - 3 = 4 , a = 7

Respuesta ( a )

1) Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESIÓN GA GRx GRy GRz GRt 6x3yz4

X3 +xy - t5

M(x)= 9m4x

P(x;y)=

2) Hallar m+n si el siguiente polinomio es de grado 8 respecto a “y” y de 3° grado respecto a “x”.

P(x,y)= 1 +

a) 9 b) 12 c) 15d) 11 e) 17

3) Del siguiente polinomio se conocen los siguientes datos:

GRx = 7 ; GRy = 8

P(x,y)=

¿Cuál es el GA de P(x,y)?

a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 11

4) Hallar “m” si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 14.

a) 23 b) 6 c) 14d) -9 e) 8

5. Hallar la suma de coeficientes de:P(x) si este polinomio es grado 7

a) b) c)

1. Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas.

EXPRESIÓNGA GRx GRy GRz GRt

0,35tz

1-9ytz

3x2y-2M(x,y)=

E(y,t)= 2y2 – 3t3

2. ¿Cuál es el grado absoluto de la siguiente expresión?

P = (x,y) = 6x4y5 - 0,2x9y + 18xy20

a) 9 b) 21 c) 40d) 20 e) 10

3. ¿Cuál es el grado absoluto de la siguiente expresión?

P(x,y) = 2

a) 8 b) 5 c) 18d) No tiene grado e) 10

4. Dar el grado del siguiente polinomio.

P(x,y)=0,3

5. Dar el grado del siguiente polinomio.

M(x) = 10 +xm-5 - 2

a) m b) m+2 c) m-5d) No tiene grado e) 1

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I. Un polinomio es una expresión algebraica racional entera.II. El grado es una característica sólo de los polinomios.III. Si los coeficientes de un polinomio son números reales, entonces se trata de un

polinomio en R.IV.Al establecer el grado de un polinomio sólo se toman en cuenta los exponentes de

las variables.

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo IIId) I y II e) Todas

7. Calcular “a” si el siguiente polinomio es de 8° grado.

P(x) = 6

8. Hallar la suma de coeficientes de P(x) si este polinomio es de grado 10.

P(x) = 2mxm -

a) 14 b) 28 c)

d) e) 7

9. Hallar la suma de coeficientes de P(x) sabiendo que es de GA =12.

P = (x) = 2a2xa+1 - 3axa+5 + 7axa+10

a) 14 b) 12 c) 8d) 6 e) 16

10. Hallar el valor de m si el polinomio.

P(x,y) = es de GRx = 10

P(x,y)=

a) 1 b) 5 c) 3d) 7 e) 6

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Ejemplo:

P (x)= 2x3 + 3x2 + 3; x = 2

Hallar V.N

P (2)= 2(23) + 3(22) + 3

= 16 + 12 + 3 = 31

El V.N de un polinomio es el resultado de sustituir x por a.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

1) Hallar el V.N de 3xy2 + 3x2y para x = 6; y = -2

a) -144 b) -188 c) -288d) -88 e) -44

Solución :

3(6) (2)2 + 3 (-6)2 (-2)

= -18(4) – 6(36)= -72 – 216= -288

Rpta. ( c )

2) Calcular el V.N de la expresión E para x = -3, y = -2 y m = 1

a) b) c) +

d) 19 e) 0

Solución :

Rpta. ( b )

3) Calcular el V.N de S para a= y b = -2.

a) -2 b) c)

d) -1 e)

Rpta. ( d )

4) El V.N. de F es 7 para x = 1, y = 2 ¿Cuál es el valor de a?

F = ax2 + y2

a) 6 b) 7 c) 3d) 4 e) 5

Solución :

F = a (1)2 + (2)2 = 7

a + 4 = 7

a = 3 Rpta. ( c )

5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?I. El valor numérico (V.N) de una expresión algebraica es siempre un número entero.

II. Dado P (x) = x2 + 2x + a2 las únicas variables son a y x.

III. M(a,x)=3 a2x7 es un monomio cuya única variable es x.

IV. En el monomio M(x) = -7 el coeficiente es -7

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo IIId) I y II e) Todas

Rpta. ( e )

1. Dado P(x) = 3x3+2x2+x+4; Hallar P(2) - P(1)

Rpta. 28

2. Dado Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 3, hallar Q (3) - Q (4)

Rpta. 58

3. Si P(x;y) = x2 + 2xy –y2 . Hallar P(2;1) + P(1;2)

Rpta. 84. Si Q(x;y) = 3x3 – 2x2 y + 3xy2 – 2y3 ; hallar

Q (3;2) - 2Q (2;3)

Rpta. 655. El V.N de x2 + xmy + y2 para x = e y = es 50. Calcular el valor que se le debió

haber dado a m.

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 10

6. Si P(x+1) = 3x – 2Calcular

a) 15 b) -13 c) 0d) 12 e) -10

1. Si P(x) = 3x-1, calcular P (1) P(0)

2. Si P(x) = 2x+1,

calcular

3. Sea P(x) = 3x+1; Q(x) = 2x-3

Calcular:

4. Si P(x) = y Q(x) =

Calcular:

5. Si P(x) = x2+2x+1 y Q(x) = 2x-1 halla

6. Si P(x) = x2+2x+1,halla

7. Si P(x) = 2x + 4, Q(x) = P(x+1). Calcula Q(1)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8. Si P(x) = 3x + 1

Q(x) = P(X+1) .Calcular

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

9. Si el polinomio P(x) = x2 - 6x +9 determinar el valor de

a) b) 1 c)

10. Sabiendo que:f(x-1) = (1 + x) (1 + x2) (1 +x3)(1 + x4)(1 + x5)

Calcule f(o)

a) 1 b) 0 c) -1d) 2 e) 32

ADICION Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Estas operaciones se resuelven eliminando los paréntesis de cada polinomio (tomando en cuenta la regla de los signos) y reduciendo los términos semejantes.

Ejemplo:

Efectuemos la operación :

(5x2 + 3) + (3zx2 + 2x2y) – (7z2+ 4x2y - 8)

= 5x2y + 3 + 3z2 - 2x2y – 7z2 - 4x2y + 8

= x2y – 4z2 + 11

1. Efectúa las siguientes operaciones con polinomios.

a) (7a2 + 6) + (4a2 - 9)

Solución :

7a2 + 6 + 4a2 – 9 = 11a2 - 3

b) - (2p3 – 4pq) - (pq - qp3)

Solución :

-2p3 – 4pq - pq - p3q

= -2p + 3pq + p3q

c) (4a2 + 5b2) + (7a2 – 9b2)

Solución :

4a2 + 5b2 + 7a2 – 9b2

= 11a2 – 4b2

d) (3pq2 – 4p2q) - (8p2q - 4pq2)

SOLUCIÓN:

3pq2 + 4p2q – 8p2q + 4 pq2

= 7pq2 – 4 p2q

2. Efectúa E + F si :

E = 1 + x – x2

F = x2 - x – 1a) 0 b) 2 c) xd) 1 e) 2 + 2x + 2x2

Solución : Ordenando

E = x2 + x + 1

Rpta. ( a )

3. Efectuar M = 3a2 – b - c2

S = b + c2 - 3a2

a) 0 b) 2 c) a2

d) 2a e) 6a2 – 2b – 2c2

Solución :

Ordenando

M = 3a2 – b - c2 +

Rpta. ( e )

4. Reducir: pq5 + 3p2q4 + 6pq5

- 2 p2q4 + 3pq5

a) - 8pq5 b) 9pq5 +5p2q4c c) 0d) 8pq5 + p2q4 e) p2q4

Solución :- pq5 + 3p2q4 + 6pq5 - 2 p2q4 + 3pq5

= 8pq5 + 2 p2q4

Rpta. ( d )

1. ¿Cuántos términos tiene el polinomio que resulta de P( x) + Q(x)

Si P( x) = x5 + x3 + 2xQ= x4 + x2 – 2 ?

a) 7 b) 6 c) 3d) 4 e) 5

2) Sean los polinomiosP( x) = 3x5 + 2x4 + 6x3 - 2x2

P( x) = 2x3 + 2x + 3

El coeficiente de x3 que resulta en P( x) = -2Q( x) es :

a) 3 b) 2 c) -2d) -3 e) 4

3. Si P( x) = 3x4 + 2x3 + 3x2

N( x) = 6x2 - 2x3 + 2x4

El resultado de P( x) – N( x) es:

a) x4 + 4x3 – 3x2

b) x4 – 4x3 + 3x2

c) 3x4 – 3x3

d) 2x4 – 4x3

e) x4 – 4x3 + 3x2

4. Si P( x) = ax2 - bxQ( x) = 2ax2 - 3bx

El coeficiente de x que resulta en P( x) - Q( x)

a) a - b b) –3b c) –4bd) 2b e) 4b

5. Sean P( x) = (3a –1)x2 + 3x + 2 Q( x) = 4x2 - bx - 2 Y P( x) + Q( x) = 0, halla a + b

a) a b) 2 c) 3d) -1 e) -2

1. Dado los polinomios:

P( x) = 2x2 + 3x - 5

Q( x) = x2 - x + 7

R( x) = 3x2 + 8x - 10

Hallar

a) P( x) + Q( x)

b) R( x) ) + P( x)

c) Q( x) ) - P( x)

d) R( x) ) - Q( x)

e) P( x) + Q( x) - R( x)

2. Las adiciones se pueden ordenar verticalmente. Halla el resultado de cada adición de polinomios.

a) P( x) : 13x3 – 3x2 + 5x – 64 +

Q( x) ) : 24x3 – 8x2 - 7x – 48

R( x) ) : 17x2 - 13x – 50

P( x) + Q( x) ) + R( x) :

b) R( y) ) :

Q( y) :

R(y) + Q( y) :

3. Dado el polinomio R( x) : 30x3 - 7x2 - 0,5x + 7,8 determinar un polinomio T( x) para que la suma

R( x) :T( x) :R( x) + T( x) :

4. De a2 + b + 1 restar la suma de a2 – 2b con 3b + 1

a) a2 + b b) 2 a2 + b c) 2a2 +bd) a2 b e) 0

5. Cuánto le falta a 1 – x para ser igual 1 + x?

a) 3x b) 2x c) 2d) 1 e) –2x

6. Si P( x) = 1 - x2 + x Q( x) = 2 – x R( x) = x2 + 2

¿Cuánto le falta a la resta de Q menos R para ser igual a la suma de P más Q?

a) 3 + xb) 2x2 – x - 2

c) x2 – x + 1

d) x - 3x2 + 1

e) 1 – 3x + x2

7. ¿Cuánto le falta a B para que sumado con C dé A?

A = x + ; B = 2x - ; c = 1 -

a) x -

b) + 6

c) x +

d) - x-

e) 1 -

8. ¿Cuánto hay que restar de –7x2 + 6x + 1 para obtener 6x – 7x2 - 7

a) 8 b) – x2 + x - 2 c) 2x-3d) x - x2 – 5 e) x - 7

9. Restar de A, lo que queda de quitarle c a b.

a = 5x2 + x + 3

b = 3x2 – 5x2 – 1

c = 3x2 + 2x – 7

d = 3x2 + x – 1

e = 13x2 – 5

f = 2x - x2 + 2

g = 11x2 – 5x + 1

h = 8x2 – x + 8

10. Efectuar

6 + (x2 + x – 1) (x + 2) -x(x2 3x + 1)

a) 5 b) 2x c) 4d) x -1 e) x + 1

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Se resuelve aplicando, la propiedad distributiva una o mas veces según sea necesario.

Ejemplo:

- 6x2y (4x3y2 – 3yz4)= (-6x2y) (4x3y2) + (-6x2y) (-3yz4)= -24x5y3 + 18x2y2z4)

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones.

a) -3(5x4y + 8x2y)

Solución :

b) -5abc2(4ac3 + 1,2ab2)

Solución :

-20a4bc5 – 6,0a4b3c2

Solución :

4x2 - 10x + 10x – 25= 4x2 - 25

Solución :

= 2x3y6+

2. Efectuar

(x – 2) (2 + x) + 4

a) 2x2 b) x + 5 c) x2

d) x2 + 1 e) 2x2 - 3

Solución :

(x – 2) (2 + x) + 4

2x + x2 - 4– 2x + 4 = x2

Rpta. ( c )

3. (x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

a) x2 + 1 b) -2x2 c) x2- 1

d) x + 1 e) 2x2

Solución :

(x2 –1) (x2 + 2) - (1+ x2) (x2 - 2)

= x4 + 2x2 - x2 – 2 – (x2 – 2+ x4 - 2x2)

= x4 + x2 - 2 – (-x2 – 2+ x4)

= x4 + x2 - 2 + x2 + 2- x4 = 2x2

Rpta. ( e )

4. Efectuar:(x + a) (a + b) + (a - b) (x - b)

- (a + b) (a - b) – 2b2

a) 2ax b) ax + b c) ax - b2

d) ax + 2b e) –2ax

Solución :

(x+a)(a+b)+(a - b)(x - b)–(a+b)(a - b)–2b2

Rpta. ( a )

5. Efectuar:

(32x2 - 20x3)+

a) 11x-6 b) 12x + 3 c) 13x-1

d) 17x - 1 e) 6x + 2

Solución :

(32x2 - 20x3)+

32x2- 20x3+10x + 20x3 –30x2 – 1 - 2x2 + 3x

= 13x –1

Rpta. ( c )

1. Si R(x) = 6x(2x – 1) + x (3x –2) Q(x) = x(2x – 1) + 3(x2 –2x+1)

Hallar N(x) = R(x) + Q(x)

2. Si P(x) = 3x (1+2x-x2) – 6x + x2

Q(x) = x (1+x) – 3x(1 + x)Hallar A(x) = Q(x) - P(x)

3. Escribir El resultado de las siguientes multiplicaciones

a) (2x +y) (x –2y)

b) (xy -1) (2x –2)

c) (2 + x2) (3x –1)

d) (x -1) (x +1)

4. Hallar el área de la figura

5. Si P(x;y) = 2xy (x + y) + 3(3x2y+2y2x)

Q(x;y) = (x + y) x + y – 2xy (4-3) (x+y)

El número de términos de:

A(x;y) = P(x;y) + Q (x;y) es

a) 0 b) 1 c) 2 d)3 e)4

1) Dado los polinomios:

P(x) = 5x2 – 6x + 4

Q(x) = 8x2 – 5x + 3

R(x) = x3 – 2x2 – 5x + 4

Hallar el resultado de las siguientes operaciones

a) 4 P(x)

b) 7x2 Q(x)

c) – 8 R(x)

d) –5x2y P(x)

e) – 10xy2Q(x)

f) -7x2y3 R(x)

2) Efectuar ls siguientes multiplicaciones y hallar el resultado reducido.

a) (x+5) (x + 2)

b) (2x + 3) (x + 1)

c) (3x - 2y) (5x + 3y)

d) (x - 3) (x - 3)

e) (x + 7) (x - 7)

f) (x - y) (x + y)

3) Hallar el área de la siguiente figura.

a) 36xy b) 12xz c) 36zyd) 12zy e) 12x(3y + z)

4) Efectúa la siguiente operación combinada.

a) 4a2 – 2a (3a + 5b2)b) 3a (b + 2c) – 4ab

5) Efectúa

2x (3y - x) + y (x + 2y)

6) Halla el área de la región sombreada

a) 3x2 b) x2 – 4 c) 3x2 + 8xd) 3x – 2 e) 2x2 – 2

7. Halla el área de la región sombreada:

a) 12x2 + 3x

b) 15x2 - x

c) 11x2 + 22x

d) 30x - 4x2

e) 15x2 – 8x

8. Efectúa

- 3n (5m3 – n) – 1,5m (-2m2n – 7n)

a) - 12m3n + 10,5 mn

b) –15m3 n + 3 n2

c) 18m3 + 3n2 + 10,5mn

d) 22m3 + 10,5mn

e) 3m3 n + 3 n2

9. Efectúa

- 6xy (3x2 + 2xy)+ 3x2 (9x + y2)+ 4x2y2

10. Halla el área de la región sombreada.

POTENCIACION DE POLINOMIOS

Recordemos que:

an = a x a x a x a x …. a = P

n veces

Es decir: la potencia P es el resultado de multiplicar por si mismo n veces una base a. Si esta base es un POLINOMIO, entonces tendremos POTENCIACION DE POLINOMIOS.

Ejemplo:

(5x+3)2 = (5x+3) (5x+3)

= 25x2= + 15x + 15x + 9

= 25x2= + 30x + 9

1. Efectuar:

a) ( x - 1) 2

Solución :

( x - 1)2= ( x - 1) ( x - 1) = x2 - x – x + 1 = x2 - 2x + 1

b) (3x2 + 6) 2

Solución:

= (3x2 + 6) 2 = (3x2 + 6) (3x2 + 6)

= 9x4 + 18x2 + 18x2+ 36

= 9x4 + 36x2 + 36

Solución :

2. Efectuar:

( x + 1) 2 - ( x - 1) 2

a) 2x – 1 b) x + 1 c) 6x – 3d) 7x + 3 e) 2x

Solución :

(x + 1)2 - ( x - 1) 2

= (x + 1) (x + 1) - ( x - 2) ( x - 2)

= x2 + x + x + 1 – (x2 - 2x – 2x + 4)

= x2 + 2x + 1 – (x2 - 4x + 4)= x2 + 2x + 1 – x2 + 4x - 4)= 6x – 3

Rpta. ( c )

3. Efectuar:

= 7 ( x – 7 )2 - 7 ( x + 7 )2

a) 196 b) 196x c)-196x

d) 192x e) -192x

SOLUCIÓN:

= 7 (x - 7) (x - 7)- 7 (x + 7) (x + 7)

=7(x2–7x-7x+49)–7(x2 +7x+7x+49)

=7( x2–14x+49 ) – 7( x2 +14x+49 )

=7x2 – 7(14x)+7(49)–7x2– 7(14x)-7(49)

- 2.7 (14x)

= - 14 (14x) = -196x

RPTA ( C )

4. Efectuar:

( x3 - 3x) 2 -

a) 1 b) 5 c) 7 d) 4 e) 8

Solución :

( x3 - 3x) ( x3 - 3x) -

x6 - 3x4 - 3x4 + 9x2 – (x2 - 1) (x2 -1) (x2 - 4)

x6 - 6x4 + 9x2 – (x4 – 2x2 + 1) (x2 -4)

x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 2x4 + x2 –4x4 + 8x2 -4)

= x6 - 6x4 + 9x2 – (x6 – 6x2 + 9x2 –4)

= x6 - 6x4 + 9x2 – x6 – 6x2 + 9x2 –4

Rpta (d)

1. Ðe que grado es el siguiente polinomio?

P(x) = x3 (x5 – 3)2 + 3x (x8 + 1)2

a) 15 b) 13 c) 17d) 14 e) 8

2. Dar el grado del producto de P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) = (x17 + x2 + 1)2 (x + 5) + x3 - 3

Q(x) = (2x7 - 5x3 + 3)x2 - x – 1

a) 12 b) 15 c) 22d) 44 e) 36

3. ¿Cuál es el término independiente al elevar al cubo el binomio (x + 4)?

a) 4 b) 64 c) 8d) 12 e) -12

4. Dar el término que no depende de “y” al efectuar (2y + 2)3

a) 4 b) 6 c) 8d) 5 e) 7

1. Efectuar:

a) (3m5 + 3)2

b) (3mn2 - 3)2

c) (a – 2b)4

d) (x2 - 1)4

2. Efectuar: (x + 3)2 – (x + 1)

a) 2x + 1

b) 6x + 9

c) 6x + 8

d) 4x + 8

e) 4x + 9

3. Hallar:

(x2 + 3)2 – (x2 - 2)2 (3) + 2x4 – 18x2 – 8

a) 9 b) –12 c) - 8d) - 11 e) 13

4. ¿Cuál es el grado del producto P(x) y Q(x) sabiendo que:

P(x) = (2x10 + 3)2 – x3 + 1

Q(x) = (x18 – 3x12) x2 – x + 3

a) 36 b) 24 c) 56d) 20 e) 44

5. ¿Cuál es el término independiente al elevar al cubo el binomio (3m2 + 6)?

a) 36 b) 12 c) 18d) 216 e) -24

6. Dar el término que no depende de “z” al efectuar (3z + 8)3

a) 24 b) 64 c) 512d) 16 e) -32

7. Efectuar :

(x + 3)2 - (x - 1)2 + (x - 3)2 - (x + 1)2

a) 18 b) - 2 c) 16

d) - 6 e) 10

8. Efectuar :(x + 5)2 - (x + 2)2 - (x - 2)2 - (x - 5)2

a) 50 b) 25 c) 42d) - 8 e) 21

9. Dar el término independiente al efectuar (x + 3)2 - (18x + 32)a) - 32 b) 9 c) - 23d) 41 e) - 9

10. Dar el grado del producto A(x), B(x) y C(x) si se sabe que:

A(x) = (2x3 - 1)2 x4 + x - 6B(x) = (x2 - 3)2 x + 5x2 - 1C(x) = (x - 5)2

a) 10 b) 17 c) 15d) 19 e) 14

SUMA DE COEFICIENTES

Dado un polinomio:

Para hallar la suma de coeficientes de un polinomio basta igualar a 1 sus variables y operar, el resultado nos da la suma de coeficientes del polinomio.

Ejemplos

1. Si P(x) = 3x2 + 5x + 2, hallar la suma de coeficientes de P(x):

Resolución:

P(x) = 3x2 + 5x + 2P(1) = 3(1)2 + 5(1) + 2

P(1) = 3 + 5 + 2 = 10

Suma de coeficientes de P(x) es 10.

2. Si P(x) = (x + 1)3 + (2x – 1)2 + (3x – 2)4 ¿Cuál es la suma de los coeficientes de P(x)?

Resolución:

P(x) = (x + 1)3 + (2x - 1)2 + (3x - 2)4

P(1) = (1 + 1)3 + (2 - 1)2 + (3 - 2)4

= 23 + 12 + 14

= 8 + 1 + 1 = 10

Suma de coeficientes de P(x) es 10.

TERMINO INDEPENDIENTE

Para hallar el término independiente de un polinomio, respecto a unas variables, basta con igualar a cero dichas variables, operar y el resultado nos da el valor del término independiente del polinomio.P(0) = término independiente del polinomio P(x)

Ejemplos

1. Si P(x) = x2 - 5x + 3x + 18 ¿Cuál es el término independiente de P(x)?

Resolución :

a0 + a1 + a2 + …. + an : Suma de

coeficientes

a0 : coeficiente

principal

Vemos que el término independiente es 18. Un modo de obtener este término es haciendo x = 0, esto es:

P(x) = x2 - 5x + 3x + 18

P(0) = (0)2 – 5(0) + 3(0) + 18

P(0) = 18 (Término independiente de P(x).

2. Si Q(x) = (x + 1)2 – 10(x + 3). Hallar el término independiente de Q(x).

Resolución :

Q(x) = (x + 2) 3 + (x + 1) 2 - 10(x + 3)

P(0) = (0 + 2)3 – (0 + 1) 2 - 10(0 + 3) P(0) = 23 +12 - 10(3) = 8 + 1 - 30 = -21

El término independiente de Q(x) es - 21.

1. Hallar la suma de coeficientes en los siguientes polinomios.

a) P(x) = 7x3 + 3x2 - 5x + 2

b) N(x)= (2x–3)4 + (2x – 1)3 + (x + 1)=

c) T(x) = (3x – 2)2 + (4x – 3)3 + 6x5

2. Hallar el término independiente de cada uno de los siguientes polinomios

a) P(x) = 8x3 – 5(x2 + 1) + 7 (x2 – 1)

b) A(x) = 2x4 – 5x3 - 3x2 – 4 (x2 – 10)

c) C(x) = 3x2 (x–2) + 4(x3 – 3) (2x4 + 5)

3. Sean A = x10 - x8 - x4 + 10x2 + 3 B = 3x4 + 2x3 - 5x

Hallar el coeficiente principal de B – A

4. Si f (x) = x2 – 4x – 1 g (x) = x3 – 4x – 1

Hallar el término independiente de P(x) = f (x) g(x)

5. Hallar el término independiente del polinomio

P(x) = (x + 1) (x + 2) + (x - 1) x (x - 2)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

6. ¿De cuál de los polinomios su término independiente es diferente de cero?

a) (2x – 1) (4x – 2) (3x)

b) (2x) (6x) - (3x) (2x3)

c) x4 - 3x3 + 4x2 – 5x

d) (2x - 1) (6x - 2) (4x -2) (3x - 1)

e) (2x - 1) (5x + 2) + (x + 1) (x2 + 2)

1. Halla la suma de coeficientes de cada uno de los siguientes polinomios.

a) Q(x)= 8x3 + 10x2 - 15x - 3

b) P(x)= 8(x2 – 1) + 5(x + 2) - 3

c) M(x)= (x + 1) 3 + (x - 1) 2 + 3(x + 2)

2. Hallar el término independiente de cada uno de los siguientes polinomios.

a) Q(x)= 4x2 – 6(x2 + 1) + 7 (x3 + 2)

b) R(x)= 3(x + 2)3 +(x + 3)2 - 2(x + 10)

c) B(x)= (x2+2)3 - (x3 - 2)3 + (x+2)(x-3)

3. Sean A = x2 + 3x + 2 B = x3 + 3x - 3

Hallar el término independiente de A–B.

4. Sean A = x4 - x3 + 2x2 – 5x- 3 B = 3x4 + 2x3 – 5x

Hallar la suma de coeficientes de A + B

5. Sean P (x)= 3x(x3 – 2x + 3) Q (x) = 2x (x2 – 3x + 1)

Hallar a) P(0) + Q(0)

b) Si N(x) = P (x) + Q(x)

Hallar N (0)

6. Si P (x)= (x – 2) (x + 3) (x2 – 2) Q (x) = (x + 1) (x – 2) (x3 – 1)

Hallar a) P(2) + Q(2) b) Si A(x) = P (x) + Q(x)

Hallar A (2)

7. Si B (x)= A(x) (x3– 3x2 – 3x+2) A (x) = 4x2 – 3x + 8

Hallar el término independiente de B (x)

8. Hallar la suma de coeficientes de:

P(x) = (x4 – 3x2 + 2X – 1) (x5-4x2+2x+1)

9. Si P (x) = 3x2 + 4x – 6 yQ(x) =x3 – 2X2 + 3x-1

Hallar la suma de coeficientes de:A(x) si:

A(x) = P(x) . Q(x)

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10) Hallar el término independiente de P(x) Q(x)

Si: P (x) = 4x3 +3x2 + 2x - 3

Q(x) = x4 – 2X3 - 2x2+3x

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

i semestre algebra

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