planos en el espacio algebra lineal (ing.sist.) cálculo iv(g,b) algebra lineal (ing.sist.) cálculo...
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PLANOS EN EL ESPACIOPLANOS EN EL ESPACIO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)Semestre 99-00 BSemestre 99-00 B
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioTres puntos no alineados P, Q, R
Eje X
Eje Y
Eje Z
P R
Q
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
v
u
Un punto P y direcciones no paralelas u, v
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
Un punto P y un vector ortogonal
Eje X
Eje Y
Eje Z
P
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano que
pasa por P0 y es ortogonal a ?
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
P0
P (x,y,z)
Eje X
Eje Y
Eje Z
P-Po
P(x,y,z) si y sólo
si P-Po
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEcuación del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a
=(a,b,c)
El punto P(x,y,z) si y sólo si P-Po, es decir si .(P-Po)=0 (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-
zo)=0.a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ax+by+cz=axo+byo+czo
Si d= axo+byo+czo
ax+by+cz=d Ecuación normal del
plano
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eb
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ineal Planos en el
espacio¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las
direcciones no paralelas u, v y el punto P0?
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eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
Po
P
u
Eje X
Eje Y
Eje Z
v
tu
sv
tu+sv
vsutOPOP o
O
vsutPPo
PoP
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eb
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ineal Planos en el
espacioEcuación del plano que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores
directores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) P(x,y,z) si y sólo
si(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)
Ecuaciones paramétricas del plano
vsutOPOP o
33o
22o
11o
svtuzz
svtuyy
svtuxx
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eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
¿Cuál es la condición geométrica que debe
satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no
alineados P,Q, R?
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
P R
Q
Pasa por P con normal =(Q-
P)x(R-P)Pasa por P con vectores
directores u=(Q-P) y v=(R-P)
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEcuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
ax+by+cz=d Ecuación normal
(a,b,c)= 332211
332211
prprpr
pqpqpq
kji
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eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEcuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
)pr(s)pq(tpz
)pr(s)pq(tpy
)pr(s)pq(tpx
33333
22222
11111
Ecuaciones paramétricas
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eb
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ineal Planos en el
espacioEjercicio Nº1
Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEjercicio Nº2
Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEjercicio Nº3
Sea L: 42z
2y1
6x39 y : 3x-2y+6z=-
5
Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen.
Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioEjercicio Nº4
Sea L: y : x-y+z=1
Hallar la distancia de la recta L al plano .
t3z
t22y
t1x
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)
025
121
kji
=(2,5,8
)
2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.12x+5y+8z=12
Solución Nº1:
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Alg
eb
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ineal Planos en el
espacio
u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)
Ecuaciones paramétricas
t1z
s2t2y
s5t2x
Vectores directores del
plano:
Solución Nº1:
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioPasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación
normal
z1t
ys2t2
x2s5t
t1z
s2t2y
s5t2x
12z8y5x200
10
z101
z101
y22
x251
2z22y
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
0dcb2a3
0dc0b2a
0dcb0a2
0dczbyax
Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0
Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir:
Sistema homogéneo en la variables
a,b,c,d que debe tener infinitas
soluciones.
Solución Nº1:
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio0
1123
1021
1102
1zyx
Por lo tanto, el
determinante de la matriz del sistema
debe ser nulo
123
021
102
)1(
123
121
102
z
113
101
112
y
112
102
110
x
1123
1021
1102
1zyx
2x+5y+8z-12=0
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
El vector director de la recta es el vector normal al plano.
Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
Su vector director es: (4,-4,1)=(4,-4,1)
4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0
Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0
Solución Nº2:
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eb
ra l
ineal Planos en el
espacioSolución Nº3:
El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-
2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:
t ,
t6z
t2y
t3x
t60z
t20y
t30x
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioSolución Nº3:
Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y
como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera
sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v
=(1,-1,6)
uv
611
213
kji
=(8,-16,-4)
Ecuación normal: 2x-4y-z=0
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioSolución Nº3:
Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas
uv
Ecuación paramétricas del Plano
s6t2z
sty
st3x
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioSolución Nº4:
Vector director de la recta u=(1,2,1)
Sustituimos las ecuaciones de L en la del
plano y obtenemos:
Vector normal del plano =(1,-1,1)(1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos
d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?
21
La recta y el plano no se cortan
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioSolución Nº4:
Un punto de la recta Q=(1,2,3)Un punto del plano P=(1,1,1)
PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)
d
P
Q
31
)1,1,1(
)2,1,0).(1,1,1(d
PQoyPrd
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacioPOSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS
Paralelos:
Sus vectores normales son paralelos
Ortogonales:
Sus vectores normales son ortogonales
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
Un plano
Son paralelos
Una recta:
Son secantes
El conjunto vacío
Son paralelos
La intersección de dos planos puede ser:
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
Una recta La recta está incluida en el plano
Un punto: Son secantes
El conjunto vacío El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano
La intersección de un plano y una recta puede ser:
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Alg
eb
ra l
ineal Planos en el
espacio
El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores
El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales
El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano
ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS