guia matematicas 2014
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ORIENTACIONES
PEDAGÓGICAS PARA EL
DESARROLLO DEL
PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
El curso taller Orientaciones Pedagógicas para Desarrollar el Pensamiento Matemático
fue diseñado por la Coordinación Estatal de Asesoría y Seguimiento para la Reforma
Curricular de la Educación Primaria–Hidalgo, Dirección de Educación Primaria, Dirección
General de la Educación Básica, Subsecretaría de Educación Básica y la Secretaría de
Educación Pública de Hidalgo.
D IRECTORIO
Lic. J. Francisco Olvera Ruiz GOBERNADOR CONSTITUCIONAL DEL ESTADO DE HIDALGO Profr. Joel Guerrero Juárez SECRETARIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA DE HIDALGO Profra. María Luisa Pérez Perusquia SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA Mtro. Fernando Cuatepotzo Costeira SUBSECRETARIO DE PLANEACIÓN Y EVALUACIÓN SECTORIAL DE POLÍTICAS EDUCATIVAS Profra. María Elena Núñez Soto DIRECTORA GENERAL DE EDUCACIÓN BÁSICA Profra. Flora Cervantes Reyes DIRECTORA DE EDUCACIÓN PRIMARIA Profr. Juan Lara Sánchez DIRECTOR DE EDUCACIÓN INDÍGENA Mtra. Gisela Escamilla Lorenzo COORDINADORA ESTATAL DE ASESORÍA Y SEGUIMIENTO EN PRIMARIA
ELABORACIÓN
Mtro. Andrés Dimas Ríos COORDINACIÓN ACADÉMICA
Mtro. Gabriel Espino Pallares L.E.P. Valente Sánchez Simón
L.E.M. Gabriel Espino Salinas Profra. Rosa María Segovia Bernal
Mtra. Jaqueline Peña Sánchez L.E.P. David Soria Garnica
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
ÍNDICE
CONTENIDO Pág.
PRESENTACIÓN .............................................................................................................. 5
TABLA DE CONTENIDOS .................................................................................................. 8
PROPÓSITO .................................................................................................................. 10
TEMA 1. MATEMÁTICAS Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO
1. Matemáticas y Pensamiento Matemático............................................................ 11
2. Recuperando la experiencia del aprendizaje en matemáticas ............................ 12
3. Movilizando el pensamiento matemático ............................................................ 14
4. Revisando a los especialistas ............................................................................. 16
5. Revisando nuestros programas .......................................................................... 45
TEMA 2. MODELOS DE ENSEÑANZA EN LA MATEMÁTICA
1. Reflexionando el modelo didáctico del trabajo matemático................................. 50
2. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos ...................................................... 51
TEMA 3. METODOLOGÍA Y ENFOQUE DE TRABAJO DE LA MATEMÁTICA EN EL PLAN Y
PROGRAMA 2011
1. ¿Qué del enfoque didáctico? ............................................................................. 64
2. La renovación de la práctica escolar y docente de la matemática ...................... 65
3. Analizando una experiencia de docencia en Matemáticas ................................. 75
4. El enfoque didáctico de las matemáticas en el Plan y Programas de Estudio .... 76
5. ¿Por qué la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas...... 80
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
TEMA 4. ANÁLISIS CURRICULAR. VISIÓN GLOBAL Y ESPECÍFICA DE LOS PROGRAMAS
DE MATEMÁTICAS.
1. ¿Qué conoce el docente de los Programas de Estudio 2011 ............................. 92
2. Reconociendo los propósitos de la asignatura de matemáticas ......................... 94
3. Reconociendo los Estándares de Educación Básica .......................................... 95
4. Reconociendo las competencias matemáticas ................................................. 106
5. El pensamiento matemático de la Educación Básica ........................................ 108
6. La aplicación de la geometría en la vida cotidiana ............................................ 112
7. La gradualidad y complejidad de los aprendizajes esperados en la Primaria ... 115
8. Nuestros conocimientos, experiencias y aportaciones cuentan ........................ 118
9. Situaciones Didácticas en el Aula ..................................................................... 121
TEMA 5. LO QUE DEBES SABER DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICAS
1. Matemática Básica ............................................................................................ 125
2. Lo que conozco de una Noción Matemática ..................................................... 127
3. Explorando las Nociones .................................................................................. 128
4. Las actividades permanentes ........................................................................... 135
5. Algunas ideas, actividades y problemas ........................................................... 136
6. Para compartir y cerrar ..................................................................................... 138
7. Otras actividades para el Diario ........................................................................ 147
8. Sugerencias de Organización del Aula de Clases ............................................ 148
TEMA 6. HERRAMIENTAS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
1. ¿Qué contiene el saber matemático? .............................................................. 149
2. Un poco de historia en la formación docente .................................................... 150
3. Las Herramientas Digitales ............................................................................... 154
4. Consultando Bibliografía. ................................................................................. 176
5. Juegos de patio y mesa .................................................................................... 188
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 198
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
PRESENTACIÓN
“Lo que el proceso creativo de la Matemática implica es: andar a tientas, conjeturar, hacer hipótesis. A fin de comprender un concepto clave, a fin de formular una conjetura y de encontrar una demostración es preciso emplear imaginación, intuición, adivinación, percepción profunda, experimentación, asociación fortuita de ideas, suerte, trabajo duro y paciencia inmensa”
Morris Klein
En el contexto del tiempo histórico que nos ha tocado vivir, donde el fenómeno sociopolítico,
cultural y económico de la Globalización y de la llamada Sociedad del Conocimiento,
demanda ser actores de la trasformación positiva y cuidadosa del mundo que habitamos, se
hace necesario el desarrollo consciente y decidido de las competencias para la vida que le
permitan al sujeto hacer frente a los retos y problemas que la dinámica social día a día va
tejiendo.
Así, la Escuela afronta la necesidad de transitar del modelo de enseñanza tradicional; que si
bien no deja de tener vigencia y funcionalidad carece de muchos elementos, a uno que cubra
los requerimientos de desarrollar en el alumno un pensamiento complejo, critico, científico y
matemático hasta conformarse en lo que Zemelman designa como Pensamiento epistémico1
el cual no tiene como finalidad la reproducción del conocimiento sino la construcción de otro
nuevo, de pensar lo no pensado.
El presente curso taller denominado: Orientaciones Pedagógicas para desarrollar el
Pensamiento Matemático tiene como propósito principal abonar, en una parte, a la cimiente
de dicho pensamiento epistémico a través de generar, al interior de los colectivos escolares,
un espacio de análisis, reflexión e innovación de la práctica docente con respecto a la
enseñanza y aprendizaje de la Matemática.
La Coordinación Estatal de Asesoría y Seguimiento (CEAS) de la Reforma Integral para la
Educación Básica (RIEB), favorece como principio de innovación docente, la apertura de
espacios analíticos y reflexivos de la propia práctica y de la escolar principalmente; debido a
que la experiencia obtenida durante el periodo de la Reforma Integral nos ha permitido
reconocer que los esfuerzos conjuntos del colectivo escolar en la tarea de innovar su práctica
tienen mayores alcances e impacto que los que se realizan de forma individua, aislada o
1 Hugo Zemelman Merino. (2001). Pensar teórico y pensar epistémico. Los retos de las ciencias sociales Latinoamericanas. Conferencia Magistral, Universidad de la Ciudad de México. 10 de noviembre de 2001. “… es precisamente el de construir el conocimiento de aquello que no se conoce, no de aquello que se conoce. Este es el fundamento de la principal función del pensamiento epistémico: este funciona con categorías sin contenidos precisos y, en el quehacer concreto de la persona, se traduce en la capacidad de plantearse problemas…”
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
esporádica. Cuestionarnos de forma crítica ¿Qué tipo de Matemáticas enseñamos en la
escuela? ¿Cómo enseñamos la matemática? ¿Qué y cómo aprenden matemáticas nuestros
alumnos? Requiere de un esfuerzo profesional serio y sistemático, por lo que recomendamos
el trabajo del presente curso taller a nivel del Consejo Técnico Escolar en condiciones
espacio-temporales exprofeso para dicha tarea.
Convencidos de que el desarrollo del Pensamiento Matemático va más allá de reproducir el
contenido matemático, el enfoque del presente curso busca conducir al colectivo escolar a
reflexionar y analizar a profundidad en torno a las intenciones de los planteamientos
curriculares, mismas que permitan al colectivo escolar dar mejor sentido y argumento a la
generación de situaciones didácticas para el aprendizaje de las matemáticas en la escuela
primaria.
El curso se presenta para su desarrollo en cinco sesiones en las que se desarrollarán 6
temas. La primera sesión aborda a profundidad la distinción y caracterización de dos
conceptos muy importantes como lo es Matemáticas y Pensamiento Matemático con la
intención de reconocer los elementos que los integran y con ello, orientar las acciones
didácticas cotidianas del trabajo docente, que, si bien son dos elementos íntimamente
relacionados tienen distintos aspectos en los que el docente debe tener claridad en su
tratamiento. Se complementa esta sesión con el tema dos, referido a los modelos de
enseñanza y aprendizaje de la matemática, con la intención de provocar un espacio de
autorreflexión y al interior del colectivo escolar que permita reconocer ¿Qué y cómo se
enseña Matemáticas en mi escuela? ¿Hacia dónde tenemos que transitar en dicha tarea?
La sesión 2 hace referencia a un conjunto de actividades que tienen la intención de
profundizar en el conocimiento del Enfoque Didáctico que marca el Plan y Programas para el
abordaje de la asignatura de Matemáticas. Que si bien es conocido de la mayoría de los
docentes nos parece necesario seguir reflexionando en torno a ¿Por qué “el problema”
orienta la construcción del conocimiento matemático y su didáctica? En dicha sesión también
se hace un llamado al colectivo docente a repensar la práctica docente con respecto a la
enseñanza de la matemática y focalizamos la atención en el concepto de “innovación”; pues
la CEAS tiene claro que los cambios y mejoras de la educación tiene que partir del interior de
las escuelas.
En la sesión 3 se trabaja un interesante ejercicio de Análisis Curricular, cuyas actividades
ofrecen algunas herramientas para fortalecer los elementos que integran la planificación
didáctica de esta asignatura; se hace una revisión minuciosa de las competencias, los
aprendizajes esperados, las lecciones del libro del alumno y los materiales que se requieren,
todo ello con la intención de tener un panorama global y especifico de los elementos
conceptuales y metodológicos que propone el currículo.
Dos de los componentes esenciales del desarrollo del Pensamiento y la construcción del
conocimiento matemático como son las nociones y habilidades matemáticas se plantean en
las actividades de la sesión 4 con el tema 5. Este espacio del taller, que se desarrolla
mayormente de forma práctica, orienta su intención a dimensionar la importancia y forma de
fortalecerlas o desarrollarlas a través de actividades permanentes.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
Por último, la sesión 5 presenta, a lo largo de sus actividades, un conjunto importante de
estrategias y materiales didácticos que recuperan otro de los principios fundamentales que
dan sentido al presente curso taller, el cual refiere a la recuperación del saber didáctico que
se ha venido construyendo desde la reforma de 1993, pues reconocemos que existen
materiales muy valiosos que siguen teniendo vigencia en la generación de situaciones
didácticas, en el tratamiento de los contenidos matemáticos y en el desarrollo de muchos
aprendizajes esperados. En esta parte existe una riqueza importante, mucha de la cual
ponemos a su disposición bajo la premisa de que el docente y el colectivo escolar sabrán
adaptar, adecuar o modificar con la intención de diversificar e innovar la práctica docente y
escolar de la asignatura de matemáticas.
El trabajo de este curso taller se ha pensado en sesiones y tareas que pueden ser
autoadministrables a nivel escolar, así mismo, si bien los contenidos de las temáticas tienen
una lógica de presentación es posible que dichas sesiones puedan trabajarse de forma
independiente; sin embargo, si son complementarias.
La Coordinación de Asesoría y Seguimiento de la Reforma Integral de la Educación Básica-
Primaria realmente espera que este curso taller constituya una herramienta teórico-
metodológica que apoye la innovación de la práctica docente y escolar de la didáctica de la
matemática para el beneficio del alumnado hidalguense.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
TABLA DE CONTENIDOS
SESIÓN TEMAS TIEMPOS ACTIVIDADES
1 1. Matemáticas y pensamiento matemático
5 H
OR
AS
Matemáticas y Pensamiento
Matemático
Recuperando la experiencia del
aprendizaje en matemáticas
Movilizando el pensamiento
matemático
Revisando a los especialistas
Revisando nuestros programas
2. Modelos de enseñanza en la matemática
Reflexionando el modelo didáctico del
trabajo matemático.
El aprendizaje de las matemáticas.
Modelos
2 3. Metodología y Enfoque de trabajo de la matemática en el Plan y Programa 2011
5 H
OR
AS
¿Qué del enfoque didáctico?
La renovación de la práctica escolar y
docente de la matemática.
Analizando una experiencia de
docencia en Matemáticas.
El enfoque didáctico de las
matemáticas en el Plan y Programas
de Estudio.
¿Por qué la resolución de problemas
en el aprendizaje de las matemáticas?
3 4. Análisis Curricular. Visión global y específica de los programas de Matemáticas
5 H
OR
AS
¿Qué conoce el docente de los
Programas de Estudio 2011?
Reconociendo los propósitos de la
asignatura de matemáticas
Reconociendo los Estándares de
Educación Básica.
Reconociendo las competencias
matemáticas.
El pensamiento matemático de la
Educación Básica.
La aplicación de la geometría en la vida
cotidiana.
La gradualidad y complejidad de los
aprendizajes esperado en la Primaria.
Nuestros conocimientos, experiencias y
aportaciones cuentan.
Situaciones Didácticas en el Aula.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
SESIÓN TEMAS TIEMPOS ACTIVIDADES
4 5. Lo que debes saber de enseñar y aprender Matemáticas
5 H
OR
AS
Matemática Básica
Lo que conozco de una Noción
Matemática.
Explorando las Nociones.
Las actividades permanentes
Algunas ideas, actividades y problemas
Para compartir y cerrar
Otras actividades para el Diario.
Sugerencias de organización del Aula
de Clases.
5 6. Herramientas para el aprendizaje de las Matemáticas
5 H
OR
AS
¿Qué contiene el saber matemático?
Un poco de historia en la formación
docente.
Las Herramientas Digitales.
Consultando Bibliografía.
Juegos de patio y mesa.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
PROPÓSITO :
GENERAR UN ESPACIO DE ANÁLISIS, REFLEXIÓN E INNOVACIÓN
DE LA PRÁCTICA DOCENTE Y ESCOLAR EN TORNO A LOS
ELEMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS DE LA DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA EN EL MARCO DEL PLAN Y PROGRAMAS 2011.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
11
TEMA 1: Matemáticas y pensamiento matemático
El ejercicio de repensar los conceptos relacionados con las áreas o disciplinas del
conocimiento qué, como docentes, hemos construido a lo largo de nuestra formación
académica y profesional constituye una tarea permanente en el desarrollo de nuestro
quehacer educativo, por lo que implica generar espacios de análisis y reflexión a
nivel personal y escolar. Este es el propósito de la presente sesión que orienta sus
actividades primordialmente a la reflexión y la problematización del propio marco
conceptual con respecto al saber y a la didáctica de la matemática.
ACTIVIDAD 1 Matemáticas y Pensamiento Matemático
De manera individual dé respuesta a las siguientes preguntas:
Con base en la experiencia personal para Ud.
¿QUÉ ES MATEMÁTICAS? ¿QUÉ ES PENSAMIENTO MATEMÁTICO?
Con apoyo del coordinador expresen en plenaria sus respuestas a manera de
recuperar las diferencias o semejanzas de los conceptos del colectivo escolar:
CONCENTRADO COLECTIVO DE LOS CONCEPTOS DE:
30 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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¿QUÉ ES MATEMÁTICAS? ¿QUÉ ES PENSAMIENTO MATEMÁTICO?
En plenaria comenten brevemente a qué se deben esas diferencias o
semejanzas de conceptos y cómo inciden en el trabajo escolar y áulico con
respecto a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, escriba sus
notas con respecto a este análisis.
Recupere la experiencia personal y describa brevemente cómo fueron los
procesos de aprendizaje y enseñanza que tuvo en su formación académica en
el área de matemáticas a través de los distintos niveles educativos.
Mi experiencia de aprendizaje y cómo me enseñaron las matemáticas en:
ACTIVIDAD 2. Recuperando la experiencia del aprendizaje en
Matemáticas. 30 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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ACCIÓN PRIMARIA SECUNDARIA BACHILLERATO O
EQUIVALENTE SUPERIOR U
OTROS ESTUDIOS
YO COMO
ALUMNO
PAPEL DEL
MAESTRO
MATERIALES
QUE
UTILIZABA
CÓMO SE
EVALUABA
En plenaria intercambien 3 ó 4 experiencias, las que dé oportunidad de
presentar, bajo la idea de recuperar si existe una cultura o tradición de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a nivel escolar o institucional y,
derivado de ello enuncien las acciones o los motivos que inciden en el rechazo
o gusto por esta asignatura.
ACCIÓN O MOTIVO QUE IMPLICAN RECHAZO
POR LA MATEMÁTICA ACCIONES O MOTIVOS QUE IMPLICAN GUSTO
POR LA MATEMÁTICA.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
14
ACCIÓN O MOTIVO QUE IMPLICAN RECHAZO
POR LA MATEMÁTICA ACCIONES O MOTIVOS QUE IMPLICAN GUSTO
POR LA MATEMÁTICA.
En plenaria, concluyan cómo han sido los modelos de enseñanza y
aprendizaje de la matemática en las pasadas 2 ó 3 décadas.
En binas resuelvan el siguiente reto matemático y vayan haciendo
anotaciones sobre los procesos, estrategias y elementos que ponen en juego
para poderlo resolver.
ACTIVIDAD 3: Movilizando el pensamiento matemático.
40 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
15
En plenaria compartan las notas que se generaron al resolver el reto
matemático.
¿Qué procesos mentales se pusieron en juego?
¿Qué estrategias utilizaron?
¿Cuáles fueron los conocimientos matemáticos que puso en juego?
¿Qué sentimientos o emociones surgieron en Ud.?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
16
Con base en el análisis anterior enuncie alguna diferencia entre Matemáticas y
Pensamiento Matemático.
En plenaria organicen 4 equipos y cada equipo lea uno de los textos
incorporados que se presentan a continuación y elaboren algún instrumento
de procesamiento de la información para recuperar las ideas o conceptos
principales para compartir.
COURANT, Richard y HERBERT Robbins. (1979).
Introducción en ¿Qué es la Matemática?. Una
exposición elemental de sus ideas y métodos. Trad.
De Luis Bravo Gala. México: FCE, 2002
ACTIVIDAD 4. Revisando a los especialistas
70 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
17
INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES LA MATEMÁTICA?
La matemática, como una expresión de la mente humana, refleja la voluntad activa,
la razón contemplativa y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos son:
lógica e intuición, análisis y construcción, generalidad y particularidad. Aunque diversas
tradiciones han destacado aspectos diferentes, es únicamente el juego de estas fuerzas
opuestas y la lucha por su síntesis lo que constituye la vida, la utilidad y el supremo valor
de la ciencia matemática.
Sin duda, todo el desarrollo matemático ha tenido sus raíces psicológicas en
necesidades más o menos prácticas. Pero una vez en marcha, bajo la presión de las
aplicaciones necesarias, dicho desarrollo gana impulso en sí mismo y trasciende los
confines de una utilidad inmediata. Esta tendencia de la ciencia aplicada hacia la teórica
aparece tanto en la historia antigua como en muchas de las contribuciones a la
matemática moderna debida a ingenieros y físicos.
La historia de las matemáticas comienza en Oriente, donde, hacia el año 2000 a. de
J.C., los babilonios poseían ya una gran cantidad de material que podría ser clasificado
hoy como perteneciente al álgebra elemental. Pero como ciencia, en el sentido moderno,
la matemática aparece más tarde, en Grecia, entre los siglos V y IV antes de J.C. El
contacto creciente entre el Oriente y los griegos, que comienza en los tiempos del
imperio persa y culmina en el período que sigue a las expediciones de Alejandro, puso a
los griegos al corriente de los conocimientos de los babilonios en matemática y
astronomía. La matemática fue sometida entonces a las discusiones filosóficas que
florecieron en las ciudades griegas. Los pensadores griegos se dieron pronto cuenta de
las grandes dificultades inherentes a los conceptos matemáticos de continuidad,
movimiento e infinitud, así como al problema de medir magnitudes arbitrarias con
unidades prefijadas. Entonces fue llevado a cabo un admirable esfuerzo para vencerlas
y el resultado, la teoría de Eudoxio del continuo geométrico, fue tal la perfección, que
para encontrar algo que pueda comparársele es necesario que, dos milenios más tarde,
aparezca la teoría moderna de los números irracionales. La tendencia axiomático-
deductiva en matemáticas tuvo su origen en tiempos de Eudoxio y cristalizó en los
Elementos de Euclides.
Sin embargo, aunque la tendencia teórica y axiomática de la matemática griega es
una de sus más importantes características y ha ejercido una influencia enorme, nunca
se insistirá demasiado en que las aplicaciones y conexiones con la realidad física
desempeñaron un papel importante como parte de la matemática de la antigüedad, y
que en muchas ocasiones fue preferido un modo de exposición menos rígido que el de
Euclides.
Es muy posible que el descubrimiento de las dificultades relacionadas con las
cantidades inconmensurables desviara a los griegos del desarrollo del cálculo numérico,
alcanzado con anterioridad en Oriente. En su lugar, se abrieron camino a través de
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
18
la geometría axiomática pura. Y así comenzó un extraño rodeo en la historia de la
ciencia, y quizá se perdió una gran oportunidad. Durante casi dos mil años, el peso de la
tradición geométrica griega retrasó la inevitable evolución del concepto de número y el
desarrollo del cálculo algebraico, que más tarde habían de ser la base de la ciencia
moderna.
Después de un período de preparación lenta, la revolución en la matemática y en la
ciencia comenzó su fase vigorosa en el siglo XVII, con la geometría analítica y el cálculo
diferencial e integral. Mientras la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral, la
geometría griega conserva aún un lugar destacado, el ideal griego de cristalización
axiomática y de deducción sistemática desaparece durante los siglos XVII y XVIII.
Razonamientos lógicos y rigurosos, a partir de definiciones claras y no contradictorias,
axiomas evidentes, fueron cuestiones sin importancia para los nuevos exploradores de
la ciencia matemática. En una verdadera orgía de conjeturas intuitivas, de
razonamientos convincentes entrelazados con un misticismo sin sentido, con una
confianza ciega en el poder sobrehumano de los procesos formales, conquistaron un
mundo matemático de inmensas riquezas. Luego, gradualmente, la exaltación del
progreso dejó el paso a un espíritu de autocrítica. En el siglo XIX la necesidad
inmanente de consolidar, y el deseo de una mayor seguridad en la extensión de la
enseñanza superior, que había impulsado la Revolución francesa, condujo
inevitablemente a una revisión de los fundamentos de la nueva matemática, en particular
del cálculo diferencial e integral, así como del concepto fundamental de límite. Así, el
siglo XIX constituyó no sólo un período de nuevos avances, sino además puede
caracterizarse por un afortunado retorno al ideal clásico de precisión y demostraciones
rigurosas. Y en este sentido llegó a superar al modelo de ciencia griega. Una vez más el
péndulo se inclinó del lado de la pureza lógica y de la abstracción. Actualmente vivimos
aún en este período, aunque es de esperar que la desafortunada separación entre la
matemática pura y las aplicaciones a la vida, quizá inevitable en tiempos de revisión
crítica, venga seguida de una era de íntima unidad.
La renovación solidez interna, y sobre todo la simplificación enorme alcanzada sobre
la base de una comprensión más clara, hacen posible hoy poder dominar la teoría
matemática sin perder de vista las aplicaciones. Establecer de nuevo una unión orgánica
entre ciencia pura y aplicada y un equilibrio estable entre la generalidad abstracta y la
individual concreta puede ser muy bien la tarea universal de la matemática en el futuro
inmediato.
No es éste el lugar para un análisis filosófico o psicológico detallado de la
matemática. Únicamente podemos destacar algunos puntos. Parece existir un grave
peligro en el excesivo predominio de carácter axiomático-deductivo de las matemáticas.
Ciertamente, el elemento de intervención constructiva, de intuición directora, escapa a
una simple formulación filosófica; sin embargo, continúa siendo el núcleo de todo
resultado matemático, aun en los campos más abstractos. Si la forma deductiva
cristalizada es la meta, la intuición y la construcción son, cuando menos, las fuerzas
directrices. Una amenaza sería para la verdadera vida de la ciencia aparece contenida
en la afirmación de que la matemática no es más que un sistema de conclusiones
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
19
derivadas de definiciones y postulados que deben ser compatibles, pero que, por lo
demás, pueden ser creación de la libre voluntad del matemático. Si esta descripción
fuera exacta, las matemáticas no podrían interesar a ninguna persona inteligente. Sería
un juego con definiciones, reglas y silogismos, sin meta ni motivo alguno. La noción de
que el intelecto puede crear sistemas de postulados plenos de significado de modo
arbitrario en una verdad –a medias- decepcionante. Únicamente bajo una disciplina de
responsabilidad frente a un todo orgánico, guiada sólo por necesidades intrínsecas,
puede la mente libre obtener resultados de valor científico.
Aunque la tendencia pasiva del análisis lógico no puede representar toda la
matemática, ha conducido, sin embargo, a una comprensión más profunda de los
hechos matemáticos y de su interdependencia, y también a una mayor penetración en la
esencia de los conceptos matemáticos. A partir de ella se ha desarrollado un punto de
vista moderno en las matemáticas que es característico de una actitud científica
universal.
Cualquiera que sea el punto de vista filosófico, para todos los propósitos de
observación científica, un objeto agota en sí la totalidad de relaciones posibles respecto
del observador o del instrumento. Naturalmente, la simple percepción no constituye
conocimiento; debe ser coordinada e interpretada con referencia a alguna entidad
subyacente, una «cosa en sí», que no es un objeto de la observación física directa, sino
que pertenece a la metafísica. Sin embargo, en el proceso científico es importante
descartar los elementos de carácter metafísico y considerar los hechos observables
como la última fuente de nociones y construcciones. Renunciar a la meta de comprender
la «cosa en sí», de conocer la «realidad última», de desentrañar la esencia más íntima
del mundo, puede ser psicológicamente penoso para entusiastas ingenuos, pero de
hecho es uno de los sacrificios de consecuencias más fecundas en el pensamiento
moderno.
Algunos de los mayores avances en la física han sido el premio a una adhesión
decidida al principio de eliminar la metafísica. Cuando Einstein consiguió reducir la
noción de «sucesos simultáneos que ocurren en lugares distintos» a fenómenos
observables; cuando señaló como prejuicio metafísico la creencia de que este concepto
debe tener un significado científico en sí mismo, encontró la clave de su teoría de la
relatividad. Cuando Niels Bohr y sus discípulos analizaron el hecho de que toda
observación física va acompañada de un efecto del instrumento observador en el objeto
observado, se hizo claro que el intento de fijar simultáneamente la posición y la
velocidad de una partícula no es posible en el sentido de la física. Las consecuencias
trascendentes de este descubrimiento, contenidas en la teoría moderna de la mecánica
cuántica, son hoy familiares a todo físico. En el siglo pasado prevaleció la idea de que
las fuerzas mecánicas y los movimientos de partículas en el espacio eran cosas en sí
mismas, mientras que electricidad, luz y magnetismo debían ser reducidos o explicados
como fenómenos mecánicos, de la misma manera que se hacía con el calor. El éter fue
inventado como medio hipotético capaz de los movimientos mecánicos no explicados
satisfactoriamente y que aparecían bajo las formas de luz y electricidad. Poco a poco se
comprendió que el éter era necesariamente inobservable; por consiguiente, no
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
20
pertenecía a la física, sino a la metafísica. Con pena por algunos y con satisfacción por
otros, las explicaciones mecánicas de la luz y la electricidad, y con ellas el éter, debieron
ser finamente abandonadas.
Una situación análoga, quizá más acentuada, existe en la matemática. A través de
los tiempos, los matemáticos consideraron sus objetos, tales como números, puntos,
etc., como cosas sustanciales en sí. Pero en vista de que estos entes desafiaban
siempre los intentos para una descripción adecuada, los matemáticos del siglo pasado
llegaron paulatinamente a la convicción de que el problema de la significación de dichos
objetos como cosas sustanciales no tenía, en modo alguno, sentido dentro de las
matemáticas.
Las únicas proposiciones relativas a ellos que pueden importar no se refieren a su
realidad sustancial; representan únicamente las relaciones mutuas entre <objetos
indefinidos> y las reglas que rigen las operaciones con ellos. Lo que <realmente> son
los puntos, las rectas y los números ni se puede ni es necesario discutirlo en la ciencia
matemática. Lo que interesa y lo que corresponde a hechos comprobables en su
estructura y relación: que dos puntos determinan una recta, que los números se
combinan según ciertas reglas para formar números, etc. La percepción clara de la
necesidad de una desustanciación de los conceptos elementales matemáticos ha sido
uno de los resultados más importantes y fecundos del desarrollo axiomático moderno.
Por suerte, las mentes creadoras olvidan las ciencias filosóficas dogmáticas cuando
la persistencia entre ellas podría impedir resultados constructivos. Tanto para
entendidos como para profanos no es la filosofía, y únicamente la experiencia activa en
matemáticas, la que puede responder a la pregunta: ¿Qué es la matemática?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
21
DEVLIN, Keith (1998). PROLOGO, en El lenguaje de las
Matemáticas. Un fascinante y clarificador viaje por la historia
y el sentido actual de las matemáticas. Barcelona, Ed.
Manontroppo. Pp. 11-24
Prólogo
…¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS?
No sólo números
¿Qué son las matemáticas? Si hacemos esta pregunta a un grupo de personas
elegidas de forma aleatoria, es muy probable que recibamos la respuesta “Las
matemáticas son el estudio de los números”. Pero no conseguiremos ir más allá. Y con
ello habremos obtenido una descripción de las matemáticas que dejó de ser exacta hará
2,500 años.
Ante tan tremendo error conceptual, apenas hay razón para sorprenderse de que las
personas así elegidas tengan dificultad para percatarse de que la investigación
matemática es una actividad próspera y de amplitud mundial, o de que acepten la idea
de que las matemáticas impregnan, con frecuencia en una proporción considerable, la
mayor parte de las formas de vida de la sociedad actual.
De hecho, la respuesta a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” ha cambiado
varias veces en el curso de la historia.
Hasta las proximidades del 500 a.C., las matemáticas consistían realmente en el
estudio de los números. Fue en el período de los matemáticos egipcios y babilonios. En
esas civilizaciones, las matemáticas radicaban casi de manera exclusiva en la aritmética.
Era principalmente utilitaria, y en gran medida tenía naturaleza de una especie de “libro
de cocina” (“Haced tal cosa y tal otra con un número y se obtendrá la respuesta”).
El período que va aproximadamente del año 500 a.C. hasta el 300 d.C. fue la era de las
matemáticas griegas. Los matemáticos de la antigua Grecia se ocuparon
preferentemente de la geometría. En realidad, contemplaron los números al estilo
geométrico, como medidas de longitud, y cuando descubrieron que había longitudes
para las cuales sus números no tenían correspondencia (las longitudes irracionales), su
estudio de los números se paralizó casi del todo. Para los griegos las matemáticas
consistieron en el estudio de los números y de la forma.
De hecho, las matemáticas se convirtieron por vez primera con los griegos en un área
de estudio, y dejaron de ser un conjunto de técnicas para medir, contar, y llevar la
contabilidad. El interés de los griegos por las matemáticas no era meramente utilitario:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
22
las consideraban una ocupación intelectual que poseía elementos a un tiempo estéticos y
religiosos. Tales de Mileto introdujo la idea de que las afirmaciones matemáticas
expresadas de forma precisa podían ser demostradas lógicamente mediante una
argumentación formal. Esta innovación señaló el nacimiento del teorema, ahora el
fundamento de las matemáticas. Para los griegos, este enfoque culminó con la
publicación de Los Elementos de Euclides, reputado como el libro de mayor circulación
de todos los tiempos después de la Biblia.
Matemáticas en movimiento
No hubo ningún cambio de importancia capital en el carácter global de las
matemáticas, ni ningún avance significativo en su contenido, hasta mediado el siglo
XVII, cuando Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania inventaron
independientemente el cálculo. El cálculo es en esencia el estudio del movimiento y del
cambio. Las matemáticas precedentes habían estado en gran parte restringidas a las
cuestiones estáticas de contar, medir y describir la forma. Con la introducción de
técnicas para tratar el movimiento y el cambio, los matemáticos fueron capaces de
estudiar el movimiento de los planetas y la caída de los cuerpos sobre la Tierra, los
trabajos de las máquinas, el fluir de los líquidos, la expansión de los gases, las fuerzas
físicas como el magnetismo y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y de
los animales, la difusión de las epidemias, la fluctuación de los beneficios económicos, y
tantos otros fenómenos. Después de Newton y Leibniz, las matemáticas se convirtieron
en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio y del espacio.
La mayor parte del trabajo inicial relacionado con el cálculo se dirigió hacia el estudio
de la física; de hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época son considerados
también físicos. Pero a partir de mediados del siglo XVIII aproximadamente, surgió un
interés creciente por las matemáticas en sí mismas, y no sólo por sus aplicaciones, a
medida que los matemáticos deseaban comprender lo que permanecía detrás de la
enorme potencia que el cálculo proporcionaba a la humanidad. Aquí la antigua tradición
griega de la demostración final cobró prevalencia, a medida que se desarrolló gran parte
de las matemáticas puras del presente. A finales del siglo XIX. Las matemáticas se
habían convertido en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio y el
espacio, y de las herramientas matemáticas empleadas en su estudio.
La explosión de la actividad matemática que tuvo lugar en el siglo XX fue sensacional.
En el año 1900, todo el conocimiento del mundo matemático hubiera cabido en unos
ochenta libros. Hoy se necesitarían posiblemente unos cien mil volúmenes para contener
todas las matemáticas conocidas. Este extraordinario crecimiento no ha consistido
solamente en una continuación de las matemáticas previas; han nacido muchas ramas
del todo nuevas. En 1900 se podía considerar razonablemente que las matemáticas
constaban de unos doce temas distintos: aritmética, geometría, cálculo, etc.
Actualmente, un número apropiado estaría entre sesenta y setenta categorías diferentes.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
23
Algunos temas, como el álgebra y la topología, se han escindido en varios campos; en
otros casos, como sucede con los de la teoría de la complejidad o de la de los sistemas
dinámicos, se trata por completo de nuevas áreas de estudio.
La ciencia de las estructuras
Dado este crecimiento tremendo en la actividad matemática, pareció durante un
tiempo que la única respuesta sencilla a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” fuera
decir de modo algo fatuo “Es lo que hacen los matemáticos para ganarse la vida”. Un
determinado estudio se clasificaba como matemático no tanto por lo que se estudiaba
sino por el modo como se estudiaba, es decir, por la metodología utilizada. Hasta los
últimos treinta años más o menos, no emergió la definición con la que la mayoría de los
matemáticos está de acuerdo con la actualidad: las matemáticas son la ciencia de las
estructuras. Lo que hace el matemático es examinar “estructuras” abstractas –
estructuras numéricas, estructuras de formas, de movimiento, de comportamiento, del
modo según el cual se llevan a cabo las votaciones por parte de una población, las
estructuras con las que se repiten los sucesos aleatorios, etc.-. Tales estructuras pueden
ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o
cuantitativas, puramente utilitarias o de algo más que un interés recreativo. Pueden
tener su origen en el mundo que nos rodea, o en las profundidades del espacio y del
tiempo, o provenir de la actividad mental de la mente humana. Distintos tipos de
estructuras dan lugar a ramas distintas de las matemáticas. Tenemos por ejemplo que:
1. La aritmética y la teoría de números estudian las estructuras de los números y del
proceso de contar.
2. La geometría estudia las estructuras de las formas.
3. El cálculo nos permite tratar las estructuras del movimiento.
4. La lógica estudia las estructuras del razonamiento.
5. La teoría de la probabilidad trata de las estructuras del azar.
6. La topología estudia las estructuras de la proximidad y de la posición.
Para dar a conocer algo de esta concepción moderna de las matemáticas, este libro
examina ocho temas generales, que cubren las estructuras de contar las del
razonamiento y la comunicación, las estructuras del movimiento y del cambio, las de la
forma, la simetría y la regularidad, las de la posición, las del azar y las estructuras
fundamentales del Universo. A pesar de que esta selección omite varias áreas principales
de las matemáticas, debería proporcionar una buena percepción de la naturaleza de las
matemáticas contemporáneas.
Un aspecto de las matemáticas modernas resulta obvio incluso para el observador
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
24
ocasional es el uso de la notación abstracta: expresiones algebraicas, fórmulas de
aspecto complicado, y diagramas geométricos. La confianza de los matemáticos en la
notación abstracta es un reflejo de la igualmente abstracta naturaleza de las estructuras
que estudian.
Distintos aspectos de la realidad requieren modos diferentes de descripción. Así por
ejemplo, el método más apropiado para estudiar la extensión de un terreno o para
indicar a alguien cómo encontrar el camino en una ciudad que no le es familiar, consiste
en dibujar un mapa; el texto es menos adecuado. Análogamente, el trazado de líneas a
modo de anteproyecto es el modo más conveniente de especificar la construcción de un
edificio. Y la notación musical es el sistema más adecuado de comunicar la música,
aparte quizá el de tocar realmente la pieza.
Es el caso de varios tipos de estructuras y de patrones “formales” abstractos, los
modos más apropiados para su descripción y su análisis son los matemáticos, empleando
la notación, los conceptos y los procedimientos de esta disciplina. La notación simbólica
del álgebra, por ejemplo, es el modo más adecuado de describir y analizar las
propiedades del comportamiento general de la adición y de la multiplicación. La ley
conmutativa de la adición, por ejemplo, podría escribirse de esta forma:
Cuando se suman dos números, no importa su orden.
Usualmente, sin embargo, se escribe del modo simbólico:
m + n = n + m
Tales son la complejidad y el grado de abstracción de la mayoría de las estructuras
matemáticas que el uso de otra cosa que no sea la notación simbólica sería
prohibitivamente engorroso. Es por ello por lo que el desarrollo de las matemáticas ha
implicado un incesante crecimiento del uso de la notación abstracta.
Símbolos de progreso
El primer uso sistemático de una notación algebraica reconocible parece haber sido
efectuado por Diofanto, que vivió en Alejandría alrededor del año 250 d.C. Su tratado
Aritmética (véase la figura 0.1) del cual se conservan solamente seis de los trece
volúmenes originales, es tenido generalmente como el primer “libro de texto del
álgebra”. En particular, Diofanto utilizó símbolos especiales para denotar las incógnitas y
empleó símbolos para la sustracción y para la igualdad.
En aquellos tiempos, los libros de matemáticas tendían a estar inundados de
símbolos, pero la notación matemática no son las matemáticas, del mismo modo que la
notación musical no es la música (véase figura 0.2). Una partitura musical impresa
representa una pieza de música; la música en sí misma es lo que se obtiene cuando las
notas de sus páginas se cantan o se interpretan con instrumentos musicales. La música
cobra vida en su interpretación y se convierte en parte de nuestra experiencia; la música
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
25
existe no en la partitura impresa, sino en nuestras mentes. Lo mismo es cierto para las
matemáticas los símbolos de una página son solamente una representación de las
matemáticas. Cuando son leídas por un intérprete competente (en este caso, alguien
formado en matemáticas), los símbolos de la página impresa cobran vida. Las
matemáticas viven y palpitan en la mente del lector al estilo de una sinfonía abstracta.
Dada la intensa semejanza entre las matemáticas y la música, ambas con sus propias
notaciones sumamente abstractas y gobernadas por sus propias reglas estructurales, no
resulta sorprendente que muchos matemáticos, la mayoría de ellos posiblemente,
posean también talento musical.
De hecho, durante la mayor parte de los dos milenios y medio de la civilización
occidental que comienza con los antiguos griegos, las matemáticas y la música fueron
consideradas como las dos caras de una misma moneda: de ambas se pensaba que
proporcionaban la comprensión del orden del Universo. Solamente con el auge del
método científico en el siglo XVII las dos disciplinas comenzaron a discurrir por caminos
separados.
Debido, sin embargo, a todas sus conexiones históricas hubo, hasta tiempos
recientes, una diferencia muy obvia entre las matemáticas y la música. Si bien alguien
instruido en música puede leer una partitura musical y escuchar la música en su cabeza,
si esa misma pieza de música se ejecuta por un músico competente, cualquiera capaz de
oír puede apreciar el resultado.
Figura 0.1. Portada de una traducción
latina del siglo XVII del cásico teto de la
Aritmética de Diofanto.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
26
No se necesita formación musical para experimentar y gozar de la música cuando se
la escucha.
Durante la mayor parte de su historia, no obstante, el único modo de apreciar las
matemáticas fue aprender a “leer” sus símbolos. Aunque la estructura y los patrones de
las matemáticas reflejan la estructura de la mente humana y resuenan con ella, tanto
como lo hacen las estructuras y las pautas de la música, los seres humanos no han
desarrollado el equivalente matemático de lo que el oído representa para la música. Las
matemáticas solamente se pueden “ver” con los “ojos de la mente”. Es como si no
tuviéramos sentido del oído y que solamente alguien capaz de leer la notación musical
fuera capaz de apreciar las pautas musicales.
En los años recientes, sin embargo, el desarrollo del ordenador y de las técnicas del
video ha hecho accesibles, hasta cierto punto, las matemáticas al no formado en ellas.
En las manos de un usuario hábil, el ordenador se puede utilizar para “ejecutar”
matemáticas, y el resultado se puede presentar visualmente en la pantalla al alcance de
todos. Aunque tan sólo una parte relativamente pequeña de las matemáticas se prestan
por sí mismas a tal representación “visual”, ahora es posible comunicar al lego al menos
algo de la belleza y de la armonía que el matemático “ve” y experimenta cuando hace
matemáticas.
Cuando ver es descubrir
A veces el empleo de gráficos de ordenador puede resultar significativo para el
matemático, y también para proporcionar al lego una visión del mundo interior de las
matemáticas. El estudio de los sistemas dinámicos complejos, por ejemplo, fue iniciado
en 1920 por los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gastón Julia, pero hubo que
esperar hasta finales de la década de los setenta y comienzos de la de los ochenta para
que el rápido desarrollo de las técnicas de gráficos de ordenador permitiera a Benoit
Mandelbrot y a otros matemáticos visualizar algunas de las estructuras con las que
habían trabajado Fatou y Julia. Las figuras increíblemente bellas que surgieron de este
estudio se convirtieron desde entonces en una especie de forma de arte por derecho
Figura 0.2. Al
igual que las
matemáticas, la
música tiene una
notación abstracta,
utilizada para
representar
estructuras
abstractas.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
27
propio. En honor de uno de los dos pioneros del tema, algunas de tales estructuras
reciben actualmente el nombre de conjuntos de Julia (véase figura0.3).
Otro ejemplo del uso de los gráficos de ordenador que condujo a un profundo
descubrimiento en matemáticas tuvo lugar en 1983, cuando los matemáticos David
Hoffman y William Meeks III descubrieron una superficie minimal de una clase nueva
(véase la ilustración 1), Unas superficie minimal es el equivalente matemático de una
película de jabón infinita. Las películas de jabón reales que se estiran a lo largo de una
trama forman siempre una superficie que ocupa la menor área posible. Los matemáticos
consideran análogos abstractos de las películas de jabón que se estiran hasta el infinito.
Tales superficies han sido estudiadas a lo largo de doscientos años pero, hasta que
Hoffman y Meeks hicieron su descubrimiento, solamente se conocían tres de tales
superficies. Hoy en día, como resultado de las técnicas de visualización por ordenador,
los matemáticos han descubierto muchas de tales superficies. Gran parte de lo que se
conoce acerca de las superficies minimales ha sido establecida mediante técnicas
matemáticas más tradicionales, que implican una suma considerable de álgebra y de
cálculo. Pero, tal como Hoffman y Meeks mostraron, los gráficos de ordenador pueden
proporcionar al matemático la intuición necesaria para hallar la correcta combinación de
esas técnicas tradicionales.
Sin sus símbolos algebraicos, gran parte de las matemáticas simplemente no existiría.
La cuestión es ciertamente profunda, y está relacionada con las capacidades cognitivas
humanas. El reconocimiento de conceptos abstractos y el desarrollo de un lenguaje
apropiado para representarlos son en realidad los dos lados de una misma moneda.
El uso de un símbolo tal como una letra, una palabra o un dibujo para denotar una
entidad abstracta va de la mano con el reconocimiento de esa entidad como tal. El uso
Figura 0.3. Un
conjunto de Julia.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
28
del guarismo “7” para denotar al número 7 exige que el número 7 esté reconocido como
una entidad; el uso de la letra m para indicar un número entero arbitrario requiere que
el concepto de número entero sea reconocido. Disponer del símbolo hace posible pensar
y manipular el concepto.
Este aspecto lingüístico de las matemáticas se pasa frecuentemente por alto, en
especial en nuestra cultura moderna, con su énfasis en los aspectos de procedimiento y
computacional de las matemáticas. En realidad, uno escucha con frecuencia la queja de
que las matemáticas serían mucho más fáciles si no fuera por su notación tan abstracta,
lo cual es como decir que la obra de Shakespeare sería mucho más fácil entender si
estuviese escrita en un lenguaje más llano.
Desgraciadamente, el nivel de abstracción en las matemáticas, y la necesidad
consecuente de una notación que pueda manejar esa abstracción, significa que una gran
parte, casi su totalidad quizá, de las mismas permanecerá por siempre oculta a los que
no son matemáticos; e incluso las partes más accesibles –las descritas en libros como
éste- podrán ser como mucho apenas percibidas, con la mayor parte de su belleza
interna oculta de la vista. A pesar de ello, eso no es excusa para que aquellos de
nosotros que parece que hemos sido bendecidos con la capacidad para apreciar esa
belleza interna no intentemos comunicar a otros alguna percepción de lo que
experimentamos –cierta sensación de la sencillez, la precisión, la pureza y la elegancia
que otorga a los patrones matemáticos su valor estético.
La belleza oculta en los símbolos
En su libro de 1940, A Mathematicians Apology (Apología de un matemático), el
competente matemático inglés G. H. Hardy escribió:
Las estructuras del matemático, como las del pintor o las del poeta, deben ser
bellas: las ideas, como los colores o las palabras, deben acoplarse de forma
armoniosa. La belleza es la prueba primera: no hay lugar permanente en el
mundo para matemáticas feas… Sería muy difícil definir la belleza matemática,
pero eso es igualmente cierto para la belleza de cualquier tipo –podemos no
saber del todo lo que queremos significar al referirnos a un poema como bello,
pero eso no nos impide reconocer uno cuando lo leemos.
La belleza a la cual se refiere Hardy es en muchos casos sumamente abstracta, una
belleza interior, una belleza de una forma abstracta y de una estructura lógica, una
belleza que puede ser observada y apreciada tan sólo por aquellos suficientemente bien
formados en la disciplina. Es una belleza “fría y austera” según Bertrand Russell, famoso
matemático y filósofo inglés, que escribió en su libro Mysticism and Logic (Misticismo y
Lógica) de 1918.
Las matemáticas, consideradas correctamente, poseen no sólo verdad sino
belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de una escultura,
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
29
apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin las trampas
primorosas de la pintura o de la música, aunque sublimemente pura y capaz de
una rigurosa perfección como sólo puede mostrar el arte más supremo.
Las matemáticas, ciencia de las estructuras, constituyen una forma de mirar al
mundo, tanto al físico como al biológico y al sociológico que habitamos, así como
también al mundo interior de nuestras mentes y pensamientos. Los mayores éxitos
matemáticos se han realizado sin duda en el área de lo físico, donde esa disciplina ha
sido calificada correctamente como la reina a la vez que el sirviente de las ciencias
naturales. Además, como creación enteramente nueva, el estudio de las matemáticas es
en definitiva el de la humanidad en sí misma. Puesto que ninguna de las entidades que
forman el sustrato de las matemáticas existe el mundo físico, los números, los puntos,
las líneas y los planos, las superficies, las figuras geométricas, las funciones y demás
entidades son puras abstracciones que existen solamente en la mente colectiva de la
humanidad. La certeza absoluta de una demostración matemática y la naturaleza de
indefinida permanencia de la verdad son reflejo del estatus profundo y fundamental de
las estructuras del matemático tanto en la mente humana como en el mundo físico.
En una época en la que el estudio de los cielos dominaba el pensamiento científico,
Galileo escribió:
El gran libro de la naturaleza puede ser leído solamente por aquellos que
conocen el lenguaje en el cual está escrito. Y ese lenguaje es el de las
matemáticas.
Acuñado una nota similar en una era posterior, cuando el estudio de los procesos
internos del átomo había ocupado las mentes de muchos científicos durante una
generación, el físico de Cambridge John Polkinhorne escribió en 1986:
Las matemáticas son la llave abstracta que abre la cerradura del mundo físico.
En la época actual, dominada por la información, la comunicación y el cómputo, las
matemáticas tratan de hallar nuevas cerraduras que abrir. Hay escasamente pocos
aspectos de nuestras vidas que no estén afectados en mayor o menor medida por las
matemáticas, puesto que las estructuras abstractas son la esencia primaria del
pensamiento, la comunicación, del cálculo, de la sociedad y de la propia vida.
Haciendo visible lo invisible
Hemos contestado a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” con el eslogan “Las
matemáticas son la ciencia de las estructuras”. Hay otra cuestión fundamental relativa a
las matemáticas que también puede responderse mediante una frase capciosa: “¿Qué es
lo que hacen las matemáticas?”, o en otras palabras, “¿Qué proporcionan exactamente
las matemáticas cuando se las aplica al estudio de un fenómeno?”. La respuesta es “Las
matemáticas convierten lo invisible en visible”.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
30
Permítanme que ofrezca algunos ejemplos de lo que esta respuesta significa.
Sin matemáticas no hay modo de entender qué es lo que mantiene a un avión a
reacción de gran tamaño en el aire. Como todos sabemos muy bien, los objetos
metálicos de gran tamaño no se mantienen por encima del suelo sin algo que los
soporte. Pero cuando se mira a una aeronave a reacción volando sobre nuestras
cabezas, no se ve nada que la sostenga. Se necesitan las matemáticas para “ver” lo
invisible es una ecuación descubierta por el matemático Daniel Bernoulli a comienzos del
siglo XVIII.
Y ya que hablamos de volar, ¿cuál es la causa de que otros objetos, dejando aparte los
aviones, caigan al suelo cuando los soltamos? “La gravedad”, responderán ustedes. Pero
eso no es más que dar un nombre al fenómeno, y no nos ayuda a entenderlo. Se trata
de algo invisible, y hasta podríamos llamarlo “mágico”. Para comprender la gravedad,
hace falta “verla”. Eso es exactamente lo que hizo Newton en el siglo XVII con sus
ecuaciones del movimiento y de la mecánica. Las matemáticas de Newton nos permiten
“ver” las fuerzas invisibles que mantienen a la Tierra en su giro alrededor del Sol y que
provocan que una manzana se precipite al suelo desde el árbol.
Tanto las ecuaciones de Bernoulli como las de Newton utilizan el cálculo. El cálculo
opera haciendo visible lo infinitamente pequeño. Se trata de otro ejemplo de cómo lo
invisible se convierte en visible.
He aquí otro: dos mil años antes de que pudiéramos enviar naves al espacio exterior
para obtener imágenes de nuestro planeta, el matemático griego Eratóstenes se valió de
las matemáticas para demostrar que la Tierra era redonda. En realidad, calculó su
diámetro y por ende su curvatura con una precisión del 99%.
Actualmente, podríamos estar cerca de repetir la hazaña de Eratóstenes habiendo
descubierto que el Universo es curvo. Con el auxilio de las matemáticas y de potentes
telescopios podemos “ver” en las proximidades de los límites exteriores del Universo. De
acuerdo con algunos astrónomos, pronto veremos lo bastante lejos como para ser
capaces de detectar y de medir alguna muestra de curvatura del espacio.
Conociendo la curvatura del espacio, podemos utilizar las matemáticas para ver el futuro
hasta el día en que el Universo se acerque a su fin empleando las matemáticas, ya
hemos sido capaces de ver en el pasado distante, haciendo visibles los de otro modo
invisibles momentos de la creación del Universo, lo que llamamos el Big Bang.
Volviendo a la Tierra y al momento presente ¿cómo “vemos” lo que hace que las
imágenes y los sonidos de un partido de fútbol aparezcan milagrosamente en la pantalla
de un televisor distante? Una respuesta es que las imágenes y los sonidos se transmiten
mediante ondas de radio, un caso especial de lo que llamamos radiación
electromagnética. Pero, al igual que la gravedad, esta respuesta no hace más que dar un
nombre al fenómeno; no nos ayuda a “verlo”. Para “ver” las ondas de radio, hay que
recurrir a las matemáticas. Las ecuaciones de Maxwell, descubiertas en el siglo XIX, nos
hacen visibles las de otro modo invisibles ondas de radio.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
31
He aquí algunas estructuras humanas que podemos “ver” mediante las matemáticas:
Aristóteles empleó las matemáticas para tratar de “ver” los patrones invisibles del
sonido que reconocemos como música.
Empleó también las matemáticas para intentar describir la estructura invisible de
una representación teatral.
En la década de 1950, el lingüista Noam Chomsky empleó la matemáticas para
“ver” y describir los patrones invisibles y abstractos de las palabras que
reconocemos como sentencias gramaticales. Convirtió la lingüística, que era una
rama bastante oscura de la antropología, en una próspera ciencia matemática.
Finalmente, mediante las matemáticas somos capaces de indagar el futuro.
La teoría de la probabilidad y la estadística matemática nos permite predecir los
resultados de unas elecciones, frecuentemente con una precisión notable.
Empleamos el cálculo para predecir el clima de mañana o de los próximos días.
El análisis del mercado de valores utiliza diversas teorías matemáticas para
intentar predecir el comportamiento del mismo.
Las compañías de seguros usan la estadística y la teoría de la probabilidad para
predecir la posibilidad de accidentes en el curso del próximo año, y establecer en
concordancia sus cuotas.
Cuando se trata de mirar al futuro, las matemáticas nos permiten hacer visible otro
aspecto invisible: lo que todavía no ha sucedido. En tal caso, nuestra visión matemática
no es perfecta, y nuestras predicciones son a veces erróneas. Pero sin las matemáticas
no podríamos indagar el futuro ni siquiera de modo deficiente.
El universo invisible
En la actualidad vivimos en una sociedad técnicamente desarrollada. Quedan cada
vez menos lugares sobre la faz de la Tierra en los que, al mirar alrededor hasta donde
alcanza el horizonte, no veamos productos de nuestra técnica: altos edificios, puentes,
líneas de potencia, cables telefónicos, automóviles rodando por las carreteras, aeronaves
en el cielo. En los casos en que la comunicación necesitaba en su día de la proximidad
física, está hoy mediatizada por las matemáticas, transmitida de forma digitalizada a lo
largo de cables o de fibras ópticas, o a través del éter. Los ordenadores –máquinas que
elaboran matemáticas- no se hallan solamente en las mesas de nuestros despachos, sino
en todas partes: desde los hornos de microondas hasta los automóviles y desde los
juguetes de los niños hasta los marcapasos de aquellos que sufren problemas de
corazón. Bajo la forma de estadísticas, las matemáticas se utilizan para decidir los
alimentos que comemos, los productos que vamos a comprar, los programas de
televisión que podremos ver, y los políticos a los que se nos permitirá votar. Así como la
sociedad quemó combustibles fósiles para propulsar las máquinas de la era industrial, en
nuestra era actual de la información el combustible principal que quemamos son las
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
32
matemáticas.
Y, sin embargo, a medida que el papel de las matemáticas crece más y más
significativamente en relación con el pasado, se oculta cada vez más de la vista,
formando un universo invisible que soporta gran parte de nuestras vidas. Así como
ocurre que cada uno de nuestros actos está gobernado por las fuerzas invisibles de la
naturaleza, como la gravedad, vivimos ahora en el universo invisible creado por las
matemáticas, sujeto a las leyes asimismo invisibles.
Este libro ofrece una travesía por ese universo invisible. Mostrará cómo podemos
utilizar las matemáticas para percibir algo de su oculta estructura. Algunas de las vistas
que encuentre en esa excursión le parecerán extrañas y poco familiares, como las de
una tierra muy lejana. Pero a pesar de su falta de familiaridad, no vamos a viajar a
través de un universo distante: se trata del mundo en que vivimos.
carlosyampufe.blogspot.com/2009/.../apuntes-acerca-
del-pensamiento.html
APUNTES ACERCA DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
“Así como el atleta, además de su especialidad deportiva, estudia anatomía, o el piloto,
además de entrenarse en conducción conoce mecánica del automóvil, el profesor, además
del trabajo pedagógico, debería tener unas nociones sobre funciones intelectuales y rasgos
del pensamiento asociados a los hemisferios cerebrales
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
33
En los últimos años, los nuevos planteamientos de la educación matemática, han
originado cambios profundos en las concepciones acerca de esta. Ha sido importante en
este cambio de concepción, el reconocer que el conocimiento matemático, así como
todas las formas de conocimiento matemático, así como todas las formas del
conocimiento, representan las experiencias de personas que interactúan en entornos,
culturas y períodos históricos particulares y que, además, es en la escuela donde tiene
lugar gran parte de la formación matemática de las nuevas generaciones.
El pensamiento matemático es aquella capacidad que nos permite comprender las
relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y
formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. Consecuentemente, esta
forma de pensamiento se traduce en el uso y manejo de procesos cognitivos tales como:
razonar, demostrar, argumentar, interpretar, identificar, relacionar, graficar, calcular,
inferir, efectuar algoritmos y modelizar en general y, al igual que cualquier otra forma de
desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace, por ejemplo, con
la capacidad de razonar y demostrar, de comunicarse matemáticamente o de resolver
problemas. Todo eso se aprende. Sin embargo, este aprendizaje puede ser un proceso
fácil o difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas.
Es importante dejar establecido que el pensamiento matemático se construye
siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para su desarrollo en forma histórica,
existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en
matemática es de tipo INTUITIVO CONCRETO; el pensamiento racional que es
GRÁFICO REPRESENTATIVO en matemática y el pensamiento lógico, que es de
naturaleza CONCEPTUAL O SIMBÓLICA.
Así pues el desarrollo del pensamiento matemático ha dado un salto cualitativo de la
sociedad industrial a la sociedad del conocimiento: ha pasado de la recopilación de
información y contenido (aprendizaje conductista) manifestado en conductas
observables, medibles y cuantificables, al desarrollo de herramientas para aprender y
seguir aprendiendo (aprendizaje sociocognitivo); estas herramientas han de ser el dotar
a nuestros aprendices de:
Estrategias cognitivas
Estrategias metacognitivas
Modelos conceptuales
En consecuencia el pensamiento matemático, al igual que cualquier otra forma de
pensamiento, es susceptible de aprendizaje, aun cuando resulta más adecuado decir que
“el pensamiento matemático no solo se aprende, se hace”.
En la actualidad la acumulación del conocimiento (incluido el matemático) es tal, que
resultaría literalmente imposible aprenderlo todo, de la forma hasta hoy conocida.
DESARROLLO DE CAPACIDADES MATEMÁTICAS
El desarrollo de las capacidades en el pensamiento matemático responde a
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
34
preguntas: ¿para qué?, ¿cómo? y ¿por qué? del pensamiento matemático; estas se
responden:
¿PARA QUÉ APRENDEMOS MATEMÁTICA?
Para entender el mundo en el que nos desenvolvemos
Para comunicarnos con los demás
Para plantear y resolver problemas
Para desarrollar capacidades superiores
¿CÓMO SE PROMUEVE EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO?
Mediante los procesos del pensamiento como:
Redescubrir y reconstruir conocimientos matemáticos en diversos contextos
Aplicar conocimientos matemáticos al resolver problemas
¿POR QUÉ DESARROLLAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO?
Porque tiene un valor necesario es indispensable frente a los retos de la vida:
Valor Formativo: radica en la forma de razonamiento que tenemos y vamos
formando con la mediación del aprendizaje; se desarrolla mediante la capacidad de
área Razonamiento y Demostración.
Valor Social: que permite dar a conocer a los demás nuestra forma de
pensamiento ya que es un medio de comunicación, se desarrolla mediante la
capacidad de área Comunicación Matemática.
Valor Instrumental: por su ut i l idad para resolver s i tuaciones
problemáticas, se desarrolla mediante la capacidad de área.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La resolución de problemas forma parte de la actividad cotidiana, el ser humano tiene
que desarrollar estas capacidades desde temprana edad, para que de adulto le sea fácil
enfrentar y resolver múltiples situaciones problemáticas que le tocará enfrentar.
Desarrollar un pensamiento lógico, significa el desarrollo de actividades
secuenciadas y relacionadas hasta llegar a dar respuesta coherente a una situación
problemática planteada.
De esta forma, la matemática es un lenguaje que todos debemos aprender para
desenvolvernos y comunicarnos con el mundo, y que no se trata pues solo de resolver
operaciones aritméticas. Se trata de desarrollar el pensamiento lógico- matemático para
llevar a un nivel más alto de la actividad humana que llamamos razonar.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
35
RESOLVIENDO PROBLEMAS UTILIZANDO LOS HEMISFERIOS IZQUIERDO Y
DERECHO
Pues bien, no todos resolvemos problemas de la misma forma, o planteamos la solución
de una manera rígida, algunos necesitamos saber los pasos pormenorizados y la
secuencia lógica que debemos seguir para resolver un problema, sin embargo otros
tratan de imaginarse y “Dibujan el problema” para poder entenderlo y darle solución
“intuitiva”; según la teoría de los hemisferios cerebrales nosotros tenemos la facultad de
poder pensar de manera analítica y de manera creativa, sin que estos se conviertan en
pensamientos antagónicos. La idea fundamental es que al momento de resolver
problemas, sepamos utilizar la creatividad y el “insigth” o el llamado “chispazo”,
“prendió el foco”, nuestra imaginación en la comprensión de los problemas
matemáticos, o sea el uso de nuestro hemisferio derecho; y el análisis, la racionalidad,
secuencialidad, lógica, uso de algoritmos que demuestren nuestra forma de resolver
problemas, o sea el uso de nuestro hemisferio izquierdo
Unidas estas dos formas de resolución de problemas fomentaremos en la
persona una fluidez de pensamiento y conectividad de los dos hemisferios que son
indispensables en nuestro proceso de aprendizaje. A continuación muestro algunos
problemas matemáticos que todo docente debe saber resolver, pero utilizando el
“Cerebro Total”:
lapaginadelprofe.cl/.../componentesdelpensamientologicomat.docx
Adaptado de: Natalia Castellón, Componentes del Pensamiento Lógico-Matemático,
http://matematicas.conocimientos.com.ve/2010/01/componentes-del-pensamiento-logico.html Leído junio
2012.
COMPONENTES DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO.
Un proceso que se destaca en la construcción del conocimiento en
el niño es el Conocimiento Lógico-Matemático, que se desprende
de las relaciones entre los objetos y procede de la propia
elaboración del individuo, es decir, el niño construye el
conocimiento lógico matemático coordinando las relaciones
simples que previamente ha creado entre los objetos (Piaget,
1975).
Las diferencias o semejanzas entre los objetos sólo existen en las mentes de
aquellos que puedan crearlas. Por tanto, el conocimiento lógico-matemático presenta
tres características básicas:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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a. no es directamente enseñable porque está construido a partir de las relaciones
que el propio sujeto ha creado entre los objetos, en donde cada relación sirve de
base para la siguiente relación;
b. se desarrolla en la medida en que el niño interactúa con el medio ambiente;
y
c. se construye una vez y nunca se olvida.
El conocimiento lógico-matemático está consolidado por distintas nociones que se
desprenden según el tipo de relación que se establece entre los objetos.
Estas nociones o componentes son:
Autorregulación,
Concepto de Número,
Comparación,
Asumiendo Roles,
Clasificación,
Secuencia y Patrón, y
Distinción de Símbolos.
Cada uno de estos componentes desarrollan en el niño determinadas funciones
cognitivas que van a derivar en la adquisición de conceptos básicos para la
escolarización.
1. AUTORREGULACIÓN.
La autorregulación se ha definido de múltiples y diferentes maneras:
como la habilidad de obedecer una petición;
de iniciar y cesar actividades de acuerdo con exigencias de la situación;
de modular la intensidad, la frecuencia y duración de actos verbales y
motores en escenarios sociales y educacionales;
de postergar el actuar con relación a un objeto o meta deseada; o bien de
generar comportamientos socialmente aprobados en la ausencia de monitores
externos
A pesar de estas diferencias de enfoque, existe acuerdo general en que la
autorregulación exige una consciencia de comportamiento socialmente aprobado.
Por ello representa un aspecto significativo de la socialización de los niños.
El proceso de desarrollo de la autorregulación va de lo simple a lo complejo. Parte del
control del propio cuerpo hasta el entendimiento, conocimiento y aplicación de las
normas o reglas, relacionándolas con sus experiencias pasadas y futuras para lograr
integrarse sin dificultades en las actividades.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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El proceso de autorregulación es el siguiente:
1. La persona escucha y entiende instrucciones y reglas.
2. la persona sigue las normas.
3. La persona compara y diferencia normas.
4. La persona clasifica e incluye normas.
5. La persona conoce la consecuencia de una o varias normas.
6. La persona soluciona problemas.
El que la autorregulación exija una consciencia de comportamiento social en la
persona significa que están inmersos en este concepto los procesos cognitivos que van a
permitir que toda persona entienda y siga las normas, relacionándose en su convivencia
diaria con adultos y niños y con el mundo.
Las funciones cognitivas presentes son:
1. Escuchando y entendiendo instrucciones.
2. Relacionando experiencias pasadas con las futuras.
3. Estableciendo cantidad de reglas y normas.
4. Comparando normas.
5. Diferenciando normas.
6. Clasificando las reglas (incluyendo normas).
7. Consecuenciando una norma.
8. Solucionando un problema.
Estas funciones cognitivas permiten hacer que las personas comprendan,
concienticen y reflexionen sobre aquellos procesos necesarios para la autorregulación,
orientando su comportamiento hacia la adopción de reglas de conducta social, y por
tanto, desarrollando un sentido crítico y teniendo diferentes puntos de vista en el ámbito
cognoscitivo.
Como se puede apreciar, aunque no se trate de una función que aparezca
directamente relacionada con las matemáticas, es crucial que el estudiante haya
interiorizado la necesidad de obedecer las reglas, ya que en ellas hay numerosas reglas
que deben ser cumplidas para hacer matemáticas. Justamente una de las fuentes de
fracaso de muchos estudiantes es el no respeto de esas reglas.
2. NÚMERO
El concepto de número, indica que los objetos, personas y acontecimientos pueden
estar relacionados unos con otros de muchas maneras diferentes, lo cual puede implicar
números, relaciones ordinales y medidas.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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Aquí se introduce el concepto de correspondencia, empezando con la
correspondencia “uno a uno”, donde contar no constituye en sí mismo un fin, sino una
estrategia.
Es importante distinguir los conceptos de comprender y estrategia.
Las estrategias son vías para llegar a hacer una cosa y deberían ser
eventualmente generadas y seleccionadas por las propias personas.
Comprender supone una reorganización fundamental del conocimiento que
llevará a la persona a un nuevo plano del desarrollo y le abrirá nuevas
posibilidades de ver su mundo con una lógica creciente y de manera organizada.
Por tanto, es esencial que las personas relacionen los conceptos y estrategias con
los acontecimientos de sus experiencias diarias.
Los procesos internos (funciones cognitivas) que se contemplan en este componente
son:
1. Nombrar los procesos “uno a uno”.
2. Utilizar una aproximación sistemática.
3. Contar siguiendo un orden.
4. Correspondiendo objetos.
5. Comprender el número cardinal.
6. Usar exactitud en el número.
7. Utilizar comparaciones.
8. Relacionar experiencias familiares.
9. Usar el contar como estrategia.
10. Utilizar los conceptos más y menos.
11. Ser preciso y exacto.
12. Comprender la conservación del número.
13. Comprender la constancia.
14. Seguir un orden.
3. ASUMIR ROLES.
La representación como operación cognitiva abarca dimensiones físicas, psicológicas
y sociales.
- En su dimensión física la percepción depende de la propia perspectiva del
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- individuo, como por ejemplo: cuando se mira una flor se ven cosas diferentes
si se sitúa en lados opuestos.
- En su dimensión psicológica, la percepción depende de la actitud y de las
creencias, incluso el aprendizaje puede depender de los sentimientos
personales y de las experiencias anteriores.
- En su dimensión social, es necesario conocer especialmente las
perspectivas de otra persona y ponerse en su lugar.
Lo observado depende la posición de lo que se esté mirando, y por ello que las
personas tienen distintos puntos de vista o perspectivas; lo que se ve, se siente o se
piensa no necesariamente coincide con lo que las otras personas ven, piensan y sienten.
De allí que:
1. Es importante examinar situaciones y problemas desde diferentes puntos de
vista.
2. Considerar los sentimientos y puntos de vista de otras personas.
3. Ser capaces de ajustar su propia conducta para considerar diferentes puntos de
vista.
Las funciones cognitivas que se destacan aquí:
1. Comparar.
2. Mirar cuidadosamente con precisión y exactitud.
3. Conocer las referencias espaciales.
4. Tomar nuevas perspectivas.
5. Clasificar.
6. Comprender las referencias espaciales.
7. Explorar sistemáticamente.
8. Tomar decisiones.
9. Comprender el punto de vista de otras personas.
10. Tomar posiciones.
11. Hacer hipótesis.
12. Atender indicaciones relevantes.
4. CLASIFICACIÓN.
La noción de clasificación es una operación lógica-matemática que consiste en la
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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realización de englobamientos jerárquicos de clase, haciendo coincidir las características
cualitativas y cuantitativas de los elementos.
La noción de clasificación sirve de base fundamental para el desarrollo de los
conceptos lógico-matemáticos, ya que las nociones de clase tienen que ver con la
relación de pertenencia a un grupo.
A partir de estas relaciones se forman clases y éstas son fundamentales para
organizar el mundo.
Resultaría difícil imaginarse el pensamiento y el lenguaje si no hubiera clases.
Sin ellas se tendría que manejar cada elemento aisladamente, lo que resultaría
mucho menos rápido y eficaz.
De hecho, la información que se maneja está siempre categorizada en clases.
Desde el comienzo de su desarrollo, los niños van percibiendo semejanzas y
diferencia entre los objetos y estableciendo en función de ellas clases, que, al principio,
son muy amplias y que luego van discriminando en categorías cada vez más
específicas.
Ahora bien, dentro de la noción de clasificación se encuentran las operaciones lógicas
de composición, reversibilidad y asociación, que juegan un papel fundamental en la
adquisición de la noción de clasificación.
La composición está referida a la coordinación de dos esquemas mentales, los
cuales originan que dos o más clases distintas pueden agruparse en una sola
clase que las englobe.
Con relación a la reversibilidad, Piaget (1975) plantea que las operaciones
mentales son acciones reversibles cuyas estructuras tienen como base las
acciones físicas interiorizadas.
Las operaciones asociativas, por último, se refieren a la formación de
colecciones o conjuntos que los engloba, generalmente denominada propiedad
asociativa de englobamiento.
La noción de clasificación, radica en tres habilidades cognitivas:
- la agrupación,
- la comparación y
- la inclusión de clase.
Cada una de estas habilidades cognitivas está conformada por funciones cognitivas,
a saber:
La habilidad cognitiva agrupación incluye las siguientes funciones cognitivas:
a. la agrupación según un criterio,
b. la agrupación según dos criterios,
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c. la agrupación según tres criterios o más criterios y
d. la asignación de nombres a cada grupo.
La habilidad cognitiva comparación incluye las siguientes funciones cognitivas:
a. verbalizando semejanzas,
b. verbalizando diferencias,
c. comparando dos objetos y
d. comparando tres objetos o más.
La habilidad cognitiva inclusión de clase incluye las siguientes funciones cognitivas:
a. nombrando al grupo al cual pertenece,
b. nombrando varios elementos que corresponden al mismo grupo, y
c. nombrando objetos de una categoría que pertenece a una categoría
mayor.
5. SECUENCIA Y PATRÓN.
El concepto de patrón se define como una serie ordenada de elementos que se
repiten conforme a la regla de alternar los mismos uno por uno, tomando turnos y
variando una de sus dimensiones (forma, color o tamaño).
El concepto de secuencia se refiere a ordenar un conjunto de objetos o eventos
que ocurren a través del tiempo en forma sucesiva o lineal, es decir, una cosa
viene después de la otra, siguiendo un orden estable y predecible.
Como se puede observar, tanto para el concepto de patrón como para el concepto de
secuencia es necesario el descubrimiento de las reglas que rigen el orden; estas
reglas juegan un papel importante, ya que le dan al individuo las pautas a seguir para
lograr el orden adecuado de los objetos o eventos.
Por tanto, para alcanzar el concepto de patrón, es importante el descubrimiento de
la regla que rige el orden, es decir, lo que indica la selección y colocación de los
elementos es la repetición de un modelo inicial de la serie ordenada; la regla que
rige el orden a seguir dentro de una secuencia dada está determinada por la progresión
de los elementos, bien sea por tamaño, color o cantidad, o, en el caso de series
temporales (como la rutina diaria) es la sucesión en el tiempo de un determinado evento
que viene seguido por otro.
Los conceptos de patrón y secuencia guardan una relación directa, de forma que
ambos aspectos son descritos por diversos autores de forma simultánea.
Los conceptos de patrón y secuencia guardan una estrecha relación con otros
conceptos propuestos por Piaget para el desarrollo del proceso lógico matemático,
ya que los ordenamientos que se requieren para realizar patrones y secuencias
fomentan en los niños: la habilidad de fijar su atención en los atributos de los elementos
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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para luego organizarlos en una forma secuencial (clasificación), la capacidad de tomar
en cuenta la posición que ocupa cada elemento dentro de la serie según sus
características (seriación), y la habilidad de reconocer que cada elemento debe seguir
un orden determinado y cómo ese patrón se repite en el momento de contar los
elementos de una serie (número). De este planteamiento se desprende la posición de
los patrones y las secuencias como conceptos esenciales para el adecuado
razonamiento numérico.
En cuanto a patrones:
1. Patrones de alternación simple: consisten en una serie ordenada de
elementos que se repiten conforme a la regla de alternar los mismos uno por
uno, tomando turnos y variando una de sus dimensiones (forma, color o
tamaño) (A-B-A-B).
2. Patrones de alternación doble: consiste en una serie ordenada de
elementos que se repiten conforme a la regla de alternar los mismos de dos en
dos, tomando turno y variando alguna de sus dimensiones (forma, color o
tamaño) (AA-BB-AA-BB).
3. Patrones de uno más: consisten en una serie ordenada de elementos que
se repiten conforme a la regla de añadir un elemento más dentro de la
progresión tomando turnos (A-AA-A-AA).
4. Patrones de uno menos: consiste en una serie ordenada de elementos que
se repiten conforme a la regla de eliminar un elemento menos dentro de la
progresión tomando turnos (AA-A-AA-A).
Cada uno de los tipos de patrón son desarrollados a través de las siguientes
actividades: actividades con patrones visuales, actividades con patrones auditivos
(rítmicos) y actividades con patrones táctiles.
En cuanto a la secuencia:
1. Secuencia de elementos: consiste en ordenar un conjunto de objetos en
forma sucesiva, creciendo o decreciendo en tamaño.
2. Secuencia de eventos: consiste en ordenar un conjunto de eventos en
forma sucesiva con una secuencia lógica.
Dentro de estos tipos de secuencia están las siguientes actividades:
secuencias con figuras,
secuencia con progresiones de elementos y
secuencias con eventos.
El enriquecimiento de la adquisición de los conceptos de patrón y secuencia
requiere:
1. Identificar.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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2. Escuchar atentamente.
3. Utilizar referencias temporales.
4. Secuenciar.
5. Tomar información.
6. Comparar una secuencia.
7. Utilizar precisión y exactitud.
8. Establecer información completa y clara.
9. Utilizar una imagen mental.
10. Indagar sistemáticamente.
11. Descubrir una regla o patrón.
12. Utilizar la ordinalidad.
13. Utilizar una regla de alternación simple.
14. Utilizar alternación doble.
15. Categorizar información.
16. Relatar experiencias pasadas y futuras.
17. Coordinar tiempo y espacio.
6. DISTINCIÓN DE SÍMBOLOS.
Este componente del pensamiento lógico-matemático introduce la idea de la
identificación y clasificación de objetos y eventos de acuerdo a ciertas características
sobresalientes, requisito previo para el reconocimiento de las letras del alfabeto.
Establece las diferencias entre las letras y otras formas significantes, por medio de
sus características distintivas.
Las características distintivas o la distinción de símbolos son útiles en múltiples
aspectos, tales como:
la forma, y
los sonidos.
Este componente presenta principalmente cuatro funciones cognitivas que facilitan el
proceso de pensamiento en la persona para la distinción de símbolos, las cuales son:
1. Comparar. Se refiere a “...la capacidad que muestran algunos individuos para
organizar y planificar la información cuando se les presenta, bien en la vida
ordinaria o bien en el aprendizaje sistematizado” (Prieto, 1989).
2. Establecer una imagen mental. Es “la capacidad para establecer relaciones
entre sucesos y objetos situados en el espacio”, es decir, “la topografía corporal y
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
44
las relaciones de izquierda/derecha, arriba/abajo, delante/detrás y dentro/fuera”
(Prieto, 1989).
3. Memorizar visualmente. Se refiere a “...la capacidad de combinar elementos
de los campos visuales presentes y pasados en un solo campo de atención visual.
La memoria del niño no sólo hace que los fragmentos del pasado sean válidos,
sino que acaba convirtiéndose en un nuevo método de unir elementos de la
experiencia pasada con la presente” (Vygotsky, 1979).
4. Atender al contexto. Es la “capacidad para utilizar diferentes fuentes de
información a la vez. Esta función es la base para establecer relaciones entre
objetos y sucesos. (...) Este proceso cognitivo implica una selección cuidadosa y
esmerada de todos los datos que llevarán a la respuesta correcta” (Prieto, 1989).
7. TIEMPO.
Para Piaget e Inhelder (1968), el concepto de tiempo se desarrolla paralela y
conjuntamente con otras nociones del conocimiento lógico-matemático, tales como el
“movimiento, la velocidad y el espacio”. Estas nociones son literalmente consideradas
como construcciones que no se encuentran “a priori” en la mente de la persona, sino que
requieren de una construcción ontogénica, lenta y gradual.
La construcción del concepto de tiempo implica la elaboración de un sistema de
relaciones. La noción de secuencia constituye uno de sus puntos de origen, el cual se va
especializando y haciéndose cada vez más objetivo.
La noción de tiempo no suele estar explícitamente como fenómeno, pero si está
presente de manera implícita en todas específicamente en las funciones cognitivas, tales
como:
1. Conocer la secuencia de una o varias normas.
2. Relacionar experiencias pasadas con las futuras.
3. Consecuenciar una norma.
4. Relacionar experiencias cotidianas.
5. Seguir un orden.
6. Utilizar referencias temporales.
7. Secuenciar.
8. Relatar experiencias pasadas y futuras.
9. Coordinar tiempo y espacio.
8. ESPACIO.
Para Piaget (1975), la noción de espacio se comprende, en un principio, en función
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
45
Organicen equipos y revisen en cualquier programa de educación primaria en
el apartado de Guía para el Maestro, Campo de formación: Pensamiento
Matemático, en el subapartado: “Hacia una situación de aprendizaje” 4º grado,
pp. 342-347
de la construcción de los objetos: sólo el grado de objetivación que la persona atribuye a
las cosas permite ver el grado de exterioridad que puede conceder al espacio.
Es considerada manifestándose en las siguientes funciones cognitivas:
1. Seguir un orden.
2. Conocer las referencias espaciales.
3. Tomar nuevas perspectivas.
4. Comprender las referencias espaciales.
5. Tomar posiciones.
6. Relatar experiencias pasadas y futuras.
7. Coordinar tiempo y espacio
ACTIVIDAD 5. Revisando nuestros Programas
30 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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HACIA UNA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE
Los procesos del pensamiento matemático se llevan a cabo en el curso de una
relación social, con la intención de producir aprendizajes, es decir, una relación que trata
de aquello que las y los profesores se proponen enseñar en matemáticas y que
efectivamente sus estudiantes son susceptibles de aprender en ambientes específicos.
Una situación de aprendizaje debe entenderse como el diseño didáctico intencional que
logre involucrar al estudiante en la construcción de conocimiento. No toda actividad
representa en sí, una situación de aprendizaje, lo será sólo en la medida que permita al
estudiante encarar un desafío con sus propios medios. El desafío habrá de ser para el
alumno una actividad que le permita movilizar sus conocimientos de base, previamente
adquiridos, así como construir un discurso para el intercambio que favorezca la acción.
El reto del diseño didáctico consiste en lograr que el estudiante enfrente el problema o el
desafío y pueda producir una solución, en la que confíe, pero –y esto es lo fino del
diseño– que su solución sea errónea. Sólo en ese momento, el niño y la niña estarán en
condiciones de aprender.
Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria, de la
abstracción o más ampliamente de los procesos mentales, dirigimos nuestra mirada
hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para los psicólogos las
preguntas: ¿cómo piensan las personas?, ¿cómo se desarrollan los procesos del
pensamiento?, o ¿en qué medida la acción humana adquiere habilidad en la resolución
de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia cotidiana. De manera
que el pensamiento como una de las funciones mentales superiores, se estudia
sistemática y cotidianamente en diversos escenarios profesionales.
¿De qué podría tratar entonces el pensamiento matemático? Sabemos por ejemplo
que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente, cómo realiza diversas
tareas o cómo se desempeña en sus diferentes actividades. De este modo, el término
pensamiento matemático se utiliza para referirse a las formas en que las personas
piensan a las matemáticas.
Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo se
piensa un contenido específico, en nuestro caso, las matemáticas. Se interesan por
caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos
propiamente matemáticos.
Es, ante un fracaso controlado, que el alumno se plantea la pregunta ¿por
qué?, ¿qué falló? Esto significa que el diseño conducido por el docente
debe permitir al estudiante un proceso de “recorrido a la inversa”, un
proceso de reflexión sobre sus propias producciones. El pensamiento
humano opera de este modo cuando el estudiante aprende.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
47
Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento y factores de
experiencia cuando se desempeñan cualquier clase de funciones, resulta de interés que
al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente en el sentido de la
actividad matemática como una forma especial de actividad humana, dentro y fuera del
aula, esto es lo que propicia el desarrollo de competencias. De modo que debemos
interesarnos por entender las razones, los procedimientos, las explicaciones, las
escrituras o las formulaciones verbales que el alumno construye para responder a una
tarea matemática, del mismo modo que nos ocupamos por descifrar los mecanismos
mediante los cuales la cultura y el medio contribuyen en la formación de los
pensamientos matemáticos. Nos interesa entender, aun en el caso de que su respuesta
a una pregunta no corresponda con nuestro conocimiento, las razones por las que su
pensamiento matemático opera como lo hace. De este modo, habremos de explicar con
base en modelos mentales y didácticos, las razones por las que persistentemente los
alumnos consideran que, por ejemplo, 0.3 x 0.3 es erróneamente 0.9, aunque su
profesor insistentemente les diga que es 0.09.
Aunque esos hallazgos sobre el desarrollo del pensamiento matemático han jugado
un papel fundamental en el terreno de la investigación contemporánea, la currícula en
matemáticas y los métodos de enseñanza se han inspirado durante mucho tiempo sólo
por ideas que provienen de la estructura de las matemáticas formales organizadas en
contenidos escolares y por métodos didácticos fuertemente apoyados en la memoria y
en la algoritmia, donde con frecuencia el estudiante se encuentra imposibilitado para
percibir los vínculos que tienen los procedimientos con las aplicaciones más cercanas a
su vida cotidiana y se priva entonces de experimentar sus propios aprendizajes en otros
escenarios distintos a los que le provee su salón de clase.
Si quisiéramos describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático
tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de distintas formas, por un lado
se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la
naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e
invención en matemáticas. Por otro, se entiende al pensamiento matemático como parte
de un ambiente creativo en donde los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se
desarrollan en la resolución de tareas.
Finalmente, una tercera visión considera que el pensamiento matemático se
desarrolla en todos los seres humanos, en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.
He aquí la idea de competencia que nos interesa desarrollar con estas orientaciones:
debemos mirar a la matemática un poco más allá de sus contenidos temáticos, explorar
el conocimiento mediante su uso en la vida diaria.
Desde esta última perspectiva, el pensamiento matemático no está enraizado ni en
los fundamentos de la matemática ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino
que trata de todas las formas posibles de construir ideas matemáticas, incluidas aquellas
que provienen de la vida cotidiana. Por tanto, se asume que la construcción del
conocimiento matemático tiene muchos niveles y profundidades, por citar un ejemplo,
elijamos al concepto de volumen, el cual es formado por diferentes propiedades y
distintas relaciones con otros conceptos matemáticos; los niños de entre seis y siete
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
48
años suelen ocuparse de comparar recipientes, quitar y agregar líquido de dichos
recipientes y medir de algún modo el efecto de sus acciones sobre el volumen, aunque la
idea de volumen no esté plenamente construida en su pensamiento. En tanto que
algunas propiedades tridimensionales del volumen de los paralelepípedos rectos o los
prismas, como por ejemplo el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes son tratados en
la escuela cuando los niños y las niñas son mayores, de manera que el pensamiento
matemático sobre la noción de volumen se desarrolla a lo largo de la vida de los
individuos, por tanto, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela
debería de tomar en cuenta dicha evolución.
Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemáticas no puede ser
reducida a la mera copia del exterior, o digamos que a su duplicado, sino más bien es el
resultado de sucesivas construcciones cuyo objetivo es garantizar el éxito de nuestra
actuación ante una cierta situación. Una implicación educativa de este principio, consiste
en reconocer que todavía hay mucho que aprender al analizar los procesos de
aprendizaje de nuestros alumnos. Nos debe importar, por ejemplo, saber cómo los niños
y las niñas operan con los números, cómo entienden la noción de ángulo o de recta,
cómo construyen y comparten significados relativos a la noción de suma o resta o cómo
ellos se explican a sí mismos la noción espontánea de azar.
Esta visión rompe con el esquema clásico de enseñanza según el cual, el maestro
enseña y el alumno aprende. Estos métodos permiten explorar las formas naturales o
espontáneas en que los estudiantes piensan matemáticas, con miras a una enseñanza
renovada. El papel del profesor es, en esta perspectiva, mucho más activo, pues a
diferencia de lo que podría creerse, sobre él recae mucho más la responsabilidad del
diseño y coordinación de las situaciones de aprendizaje.
En esas actividades, los alumnos usan “teoremas” como herramientas, aunque no
sean conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de cuánto es
11 por 11 un joven da una respuesta menor que 110. Otro alumno dice: esa respuesta no
puede ser correcta, pues 11 por 10 es 110 y él ha obtenido algo menor que 110. Este
argumento exhibe el uso del teorema si c>0 y a<b, entonces ac<bc. En este momento el
saber opera al nivel de herramienta, pues no se ha constituido como un resultado general
aceptado socialmente entre los estudiantes en su clase. En otro momento, ellos lograrán
escribir y organizar sus hallazgos y en esa medida reconocer resultados a un nivel más
general. En este sentido, la evolución de lo oral a lo escrito es un medio para la
construcción del significado y para el aprendizaje matemático.
Dado que para un profesor enseñar significa la creación de las
condiciones que producirá la apropiación del conocimiento por parte
de los estudiantes, para un estudiante aprender significa involucrarse
en una actividad intelectual cuya consecuencia final es la
disponibilidad de un conocimiento.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
49
En plenaria comparta con sus compañeros los elementos esenciales que
distinguen y caracterizan al Pensamiento Matemático y la Matemática.
PENSAMIENTO MATEMÁTICO MATEMÁTICAS
Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la
planificación, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de
aula, se presenta para potenciar los aprendizajes que lograrán las y los
estudiantes, es decir, para tener control de la actividad didáctica y del
conocimiento que se construye (Alanís et,al,2008)
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
50
TEMA 2: Modelos de enseñanza en la matemática
A lo largo del recorrido histórico que se ha construido con respecto a la didáctica de
la matemática han existido modelos didácticos que caracterizan de forma global la
forma de enseñar y aprender dicha disciplina, la transposición didáctica que enuncia
Brousseau se ve mediada por múltiples referentes de interdisciplinariedad como es la
Psicología educativa, la matemática, la epistemología, la didáctica, etc. y
consecuentemente la práctica docente.
El propósito de este apartado es poner en tela de juicio y análisis las formas de
¿Cómo se enseña y cómo se aprende matemáticas de forma cotidiana en el aula? A
la luz de un referente bibliográfico que permita autodiagnosticar el propio modelo de
enseñanza al que se adscribe, fortalecer o transitar al que tiene mejor argumento
epistemológico o didáctico.
En equipo comenten y recuperen los resultados de la actividad 2 y 3 del tema
anterior y; describan cuáles serían los elementos que integran un modelo de
enseñanza de la matemática con el que la mayoría de los integrantes aprendió
esta asignatura.
ELEMENTOS
DIDÁCTICOS EPISTEMOLÓGICOS MATEMÁTICOS
ACTIVIDAD 1. Reflexionando el modelo didáctico del trabajo
matemático 40 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
51
De manera individual describa honestamente cómo trabaja, de manera regular
la asignatura de Matemáticas con su grupo de alumnos.
Compare con los integrantes de su equipo que semejanzas o diferencias
metodológicas encuentran, argumenten el porqué de dichas diferencias,
registre sus conclusiones.
Organizados en equipos dividan la lectura del texto 3: “El aprendizaje de las
matemáticas. Modelos” de Ma. del Carmen Chamorro en dos partes. El
equipo 1 leen el apartado 3.1, y el equipo 2 el apartado 3.2, ubicando los
elementos esenciales del texto en la siguiente tabla:
ACTIVIDAD 2. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos
60 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
52
CHAMORRO, Ma. del Carmen (2003). Aprendizaje y Matemáticas,
en Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Madrid, Ed.
Pearson. Pp. 37-47
CAPÍTULO 2
APRENDIZAJE Y MATEMÁTICAS
3. El aprendizaje de las matemáticas. Modelos
La gran mayoría de los trabajos de investigación que se llevan a cabo en el área de
didáctica de las matemáticas versan sobre el aprendizaje matemático de los alumnos,
esto muestra su enorme relevancia para este dominio de conocimiento científico.
Los modelos teóricos que presentaremos no tienen más objeto que servirnos como un
conjunto de principios que explican el fenómeno del aprendizaje matemático, nos
ofrecerán marcos de referencia para interpretar los comportamientos de los alumnos, así
como las intervenciones y decisiones del profesor, permitiéndonos dar respuesta a la
pregunta básica: ¿Cómo ocurre el aprendizaje matemático?
Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje de los alumnos,
se establece una relación de complementariedad entre la didáctica de las matemáticas y
el dominio de la psicología, ya que “la aproximación psicológica, es un instrumento
indispensable para esclarecer el modelo del funcionamiento cognitivo del sujeto en
relación con el saber y para poner así en entredicho las tesis empiristas que sustentan las
prácticas de los enseñantes” (Ricco2, 1995, p. 159).
Con el riesgo de simplificar los modelos teóricos de las diversas concepciones que
existen sobre el aprendizaje matemático de los alumnos, nos centraremos en las dos
modelizaciones más relevantes: empirismo y constructivismo.
3.1. Empirismo
Esta concepción de aprendizaje toma su fundamento en una concepción espontánea
que está presente en la mayoría del profesorado: “el alumno aprende lo que el profesor
explica en clase y no aprende nada de aquello que no explica”. Es una concepción que
apenas se hace explícita, pero que está muy extendida entre los profesores de
matemáticas y, en general, en toda la comunidad educativa. Piaget la denominó
2 RICCO, G. (1995): Psycologic cognitive et didactique des mathematiques. En NOIRFALISE, R. (Ed.)
Actes VIII Ecole d’ETE (pp. 159-174) DIDREM. París VII.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
53
“empirista” 3, basándose en la concepción filosófica del mismo nombre que sostiene que
la experiencia es la única forma de conocimiento.
Bajo esta concepción, el discurso del maestro se registra en el alumno, a quien no se
considera capaz de crear conocimientos. Su aprendizaje es considerado como un
“transvase” de los saberes que le proporciona el maestro, se limita a recibir bien los
contenidos. Así, el saber matemático, enunciado y explicado por el profesor, se imprime
de un modo directo e inmediato en el alumno y, si existiese alguna intervención distinta
de la palabra del profesor, los objetos matemáticos los “verá” o los “tocará”. Como
consecuencia, bajo este modelo, existe un gran abuso de las presentaciones ostensivas
en la enseñanza. “La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción
precoz de las nociones matemáticas” (Brousseau, 1994, p.112) 4. Así, por ejemplo, en la
Escuela Primaria, las figuras geométricas tales como el triángulo, el círculo, el cuadrado,
el rectángulo, etc., se suelen presentar a los alumnos en forma ostensiva.
En el ideal empirista, profesor y alumno no deben equivocarse: el error está
relacionado con el fracaso, le impide llegar al éxito en su tarea. Por ello, los errores
pueden crear malos hábitos en los alumnos, pueden ocupar el lugar de la buena
respuesta. Las causas del error las suelen plantear los maestros en términos de lagunas,
faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumno tenga las
menores ocasiones de encontrarse con el error. “Se intenta hacer una especie de barrera
al error. Aceptar los errores para canalizarlos y posteriormente evacuarlos pondría en
duda, de forma profunda, el sistema de enseñanza” (Margolinas, 1993, p. 179)5.
3 “Llamamos empirismo epistemológico a la doctrina según la cual todo conocimiento proviene de la
experiencia externa o interna, experiencia concebida como una lectura o un registro de propiedades totalmente organizadas, bien sea en los objetos, bien en el sujeto.” (PIAGET, 1967, p. 37). Las dos corrientes filosóficas: empirismo y racionalismo y las teorías del aprendizaje (conductismo y cognitivismo) no coinciden exactamente; de cualquier forma, las teorías conductuales suelen ser en general empiristas, mientras que las teorías cognoscitivas incorporan posturas más racionalistas. 4 BROUSSEAU, G. (1994): La mémoire du systéme éducatif et la mémoire de l’enseignant. En Documents pour la formation des professeurs d’école en Didactique des Mathématiques, Tome III, (p. 101-115). COPILEREM. París VII. 5 MARGOLINAS, C. (1993) Ibidem.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
54
Bajo esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un “curso” donde el maestro no
cometa ningún error, seguido de una prueba donde el alumno tenga la ocasión de
responder correctamente, ratificando, de este modo, que ha comprendido perfectamente.
Sin embargo, si aceptamos que para “hacer matemáticas”, el alumno debe resolver
problemas, debemos considerar normal que conviva con la Incertidumbre: el
desconcierto, la duda y los tanteos están en el corazón mismo del aprendizaje de las
matemáticas. Los alumnos deben superar muchas dificultades, pero sobre todo muchos
errores. El profesorado tiene que entenderlos como algo necesario, porque sólo
detectándolo y siendo consciente de su origen pondrá medios para superarlos.
“Quien practica la ciencia sabe bien que su fuerza no proviene de ninguna
infabilidad intrínseca, sino bien al contrario de su capacidad de autocorrección
incesante” (Levy, cit. Margolinas, 1993. p. 170)6.
3.2. Aprendizaje constructivista
Todos sabemos que muchos conocimientos pueden transmitirse de una
generación a otra sin mucho esfuerzo, sin apenas ser conscientes de su
6 MARGOLINAS, C. (1993) Ibídem.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
55
adquisición, como si nos impregnáramos de ellos, por simple imitación,
mientras que para otros hemos necesitado una verdadera construcción y
una determinada y decidida intención de aprender. Considerar que el
aprendizaje de ciertos conocimientos supone una actividad propia del
sujeto es aproximarse a la corriente constructivista.
En los últimos años hemos estado en el desarrollo y aplicación de la
teoría constructivista. En todo su desarrollo existe una idea fundamental
que la preside: aprender matemáticas significa construir matemáticas.
Las hipótesis fundamentales sobre las que se apoya esta teoría, extraída
de la psicología genética y de la psicología social, las podemos resumir
como sigue:
1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. Idea fundamental en la obra
de Piaget: es de la acción de la que procede el pensamiento en su mecanismo esencial,
constituido por el sistema de operaciones lógicas y matemáticas (Piaget, 1973, p. 26)7.
Conviene señalar que el término “acción” se utiliza con mucha frecuencia en dominios
pedagógicos y didácticos, asignándole el significado de “llevar a cabo manipulaciones”
sobre determinados materiales. Sin embargo, el término “acción” en matemáticas va más
allá, se trata de anticipar la acción concreta, es decir de construir una solución que nos
puede dispensar incluso de la manipulación de los objetos reales, bien sea porque los
objetos no están disponibles, bien porque son demasiado numerosos y sería costosísima
su manipulación. Las “acciones” a las que nos referimos en esta primera hipótesis, si bien
pueden tener su origen en manipulaciones reales previas, que podría evocar
mentalmente o incluso verbalmente el sujeto, no tienen necesidad de identificarse
siempre con manipulaciones reales efectivas. En cualquier caso, la solución matemática
(la acción matemática) se opone a la solución práctica (la acción sobre lo real): la acción
sobre los objetos reales conduce frecuentemente a llevar a cabo una constatación,
mientras que la acción matemática, incluso si no utiliza un procedimiento experto, se sitúa
al nivel de una anticipación.
En el ejemplo 2 figuran dos secuencias8 de enseñanza, proponemos leerlas
detenidamente, porque sobre ellas analizaremos el sentido que adquiere la noción de
anticipación en el aprendizaje de las matemáticas.
7 PIAGET, J. (1973): Introduction á l’épistemologie genetique. PUF: París. 8 Situación propuesta en BRIAND, J y CHEVALIER, M. C. (1995): Les enjeux didactiques dans l’enseignement des mathématiques. París: Hatier, (p.66). Original de H. Péanult. IUFM d’Angers
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
56
En la primera situación el profesor interviene muy rápidamente pidiendo a sus
alumnos que efectúen la división por 4 y que constaten cuál es el cociente y el resto. Por
el contrario, en la segunda secuencia, el profesor no habla nunca de división, son los
alumnos, a través del problema propuesto, quienes tienen necesidad de desarrollar
estrategias, desde la más costosa: escribir sucesivamente los números uno tras otro en la
tabla, hasta la más económica: dividir por 4 y observar el resto. Este “saber” no es
mencionado en ningún momento por el profesor. El alumno tiene bajo su propia
responsabilidad los conocimientos que él moviliza.
La elección por el profesor de los números para clasificar no es arbitraria, sino muy
premeditada y controlada, ya que permite que los alumnos pasen de una estrategia de
base: necesidad de ubicar efectivamente los números en la tabla para conocer su
posición, a una verdadera anticipación: sin necesidad de ubicarlos materialmente en la
tabla, buscar el conocimiento matemático necesario (dividir por 4 y observar el resto y,
1ª Secuencia de enseñanza: 2ª Secuencia de enseñanza:
1ª fase: Los alumnos se organizan en grupos de 4. Reciben un juego formado por 32 cartas numeradas de 0 a 31.
Consigna: Distribuir las cartas sin mezclarlas, una a una. Siempre en el mismo orden. Anoten en una tabla los números que cada miembro del grupo obtenga.
Material: Una hoja que contiene una tabla en la que pueden poner los nombres de cada uno del equipo.
María Carlos Antonio Lola
0 1 2 3
4 5 6 7
-
El maestro muestra cómo debe rellenar cada grupo sus tablas, va revisando y corrigiendo los errores eventuales que los alumnos pueden cometer en esta tarea. 2ª fase: Interiorización de las propiedades de la tabla. El profesor indica a los alumnos: <<Cada número de la tabla debes dividirlo en 4 y anotar el cociente obtenido en royo y el resto en verde, ¿qué relaciones observas?>>
Se hace una puesta en común entre todos los grupos y el profesor va remarcando las propiedades de la tabla.
3ª fase: Ejercicios de aplicación.
¿En qué línea y en qué columna deberíamos situar el número 123 si continuásemos la tabla?
¿Qué número escribiríamos en la fila 67 y en la 3ª columna?
1ª fase: El profesor comienza a escribir en el pizarrón los primeros números del siguiente modo
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 …
¿quién quiere continuar? Varios alumnos colaboran voluntarios, en la construcción de la tabla hasta que el profesor decide que se paren, por ejemplo en el 22, y formula algunas cuestiones del tipo:
¿En qué fila está el número 10?, ¿en qué columna está el número 17?
2ª fase: Resolución de problemas del tipo ¿dónde estará el número
El profesor anuncia que se va a seguir construyendo la tabla, pero antes quiere hacer algunas previsiones del tipo: <<¿En qué fila y en qué columna estará el número 35?, ¿y el 40?, ¿y el 47?...>>
Los alumnos deben, cada uno individualmente, aportar soluciones. Se pasa luego a un inventario colectivo de soluciones y a una discusión y validación de los resultados y de las estrategias de búsqueda de la solución.
El profesor sigue proponiendo diversos problemas de este tipo hasta que la discusión entre las diversas estrategias hace que emerja la más económica (<<dividir por 4 y observar el resto>>).
Se propone ahora encontrar el lugar de números tales como 473, 517…
El profesor anima a los alumnos a que validen y prueben los resultados obtenidos.
3ª fase: Ejercicios de aplicación.
Fase idéntica a la situación anterior
Ejemplo 2. La acción de los alumnos como anticipación
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
57
en función del resto, conocer la columna correcta y, por medio del cociente, saber la fila
idónea, para determinar correctamente su lugar).
“El conocimiento debe manifestarse como instrumento de decisión anticipada.”
(Brousseau, 2000, p.8)9
Cuando la estrategia de base se hace costosísima, los alumnos se ven obligados a
buscar otra, más económica, mejor adaptada a la situación propuesta. Esta estrategia
constituye el conocimiento matemático (objetivo de aprendizaje) de la situación de
enseñanza. Cuando el alumno pasa de la estrategia de base a la nueva decimos que ha
construido un nuevo conocimiento: ha llevado a cabo un aprendizaje.
Margolinas (1993)10 asegura que una de las funciones de las matemáticas es la de
permitir la anticipación de los resultados de una acción. El término anticipación comporta
un doble sentido: la predicción y la garantía de validez de esta predicción. Para que los
alumnos puedan anticipar con garantía de validez su predicción deben ser capaces de
establecer pruebas de tipo intelectual, es decir, aquellas en las que se excluye la acción
efectiva sobre los objetos.
El que entienda la acción en el sentido de una verdadera anticipación no quiere decir que,
en muchas ocasiones, las manipulaciones no tengan su lugar en el aprendizaje
matemático del alumno, todo lo contrario, le permiten, de entrada, apropiarse del
problema, comprender la naturaleza de la cuestión, hacerse una buena imagen de la
situación. La manipulación, la acción efectiva sobre los objetos reales de la situación,
facilita la construcción de representaciones que posteriormente en situaciones análogas,
podrán formularse o evocarse mentalmente y permitirán llevar a cabo “acciones” en el
sentido matemático del término: construcción de esquemas, cálculos, etc. Además, la
manipulación es un medio con el cual el sujeto puede validar sus soluciones, confirmar su
anticipación sobre una determinada acción, verificar la pertinencia de una respuesta
aunque con el tiempo, sus conocimientos matemáticos le facilitarán llegar a
constataciones que no precisará hacerlas efectivas sobre los objetos reales.
2ª Hipótesis: La adquisición, organización e integración de los conocimientos del
alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los
cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. Si este desequilibrio es superado,
esto implica que hay una reorganización de los conocimientos; los nuevos conocimientos
se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y
acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la de la teoría de la equilibración
de Piaget.
“En el curso de acción sobre determinado medio, las contradicciones
aparecen en el sujeto como producto de los desequilibrios, y debe modificar
sus representaciones, se produce lo que Piaget ha denominado
9 BROUSSEAU, G. (2000): Les grandeurs dans l’escolarité obligatoire. Cour pour la XI Edición d’Eté.
Université Bordeaux 2.
10 MARGOLINAS, C. (1993) Ibídem.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
58
acomodación, que supone, básicamente, una modificación en el sujeto
causada por el medio (perturbación). De manera recíproca, las
transformaciones realizadas por el sujeto para dar respuesta a las
perturbaciones modifican su organización del medio, produciéndose entonces
un proceso de asimilación. El doble juego acomodación/asimilación está en el
centro de los mecanismos de los procesos de equilibración.” (Chamorro,
1991, p. 58)11
El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización, a una yuxtaposición
de “saber hacer” o a un condicionamiento, aprendemos raramente de una sola vez:
aprender supone volver a empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo
que se hace y por qué se hace.
Veamos el siguiente ejemplo:
A partir de esta constatación surgen las preguntas, las incertidumbres, la formulación
de nuevas hipótesis, los debates entre los miembros de cada grupo, y va emergiendo el
conocimiento matemático. El error es, pues, necesario para producir desequilibrios, si no
hacemos emerger las estrategias de base erróneas y comprobamos su invalidez
funcionalmente, no las rechazaremos nunca y volverán a manifestarse sistemáticamente.
El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio
11 CHAMORRO, C. (1991): El aprendizaje significativo. En el área de matemáticas. Madrid. Alhambra -
Logman 12 Situación propuesta por BROUSSEAU (1998, p. 237) para la construcción del factor de proporcionalidad
racional, dentro del bloque de situaciones didácticas para la enseñanza de los números racionales.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
59
entre el sujeto y el medio (situación problema), por ello la didáctica de las matemáticas se
interesa en las perturbaciones provocadas deliberadamente en un determinado medio
con intención de suscitar un aprendizaje.
En el problema anterior, apenas se hubiesen producido errores entre los alumnos si la
consigna de ampliación del puzzle hubiera sido: “Debéis ampliar las piezas, de tal modo,
que el lado que mide 4 unidades se transforme en 8 unidades”. Los alumnos hubiesen
calculado el doble de la longitud de los lados de todas las piezas y el éxito estaría
asegurado. No habría existido el fuerte desequilibrio provocado por la transformación
“ampliar de 4 a 7 unidades” y los alumnos no hubiesen tenido la ocasión de poner en
funcionamiento la estrategia aditiva: “sumar 3 unidades a la longitud de todas las piezas”,
con lo cual no habrían constatado su invalidez y no habrían podido construir con sentido
la estrategia óptima:
Este cambio de estrategia, devuelve el equilibrio perdido al subsistema sujeto medio,
y es precisamente el conocimiento que se pretendía que los alumnos construyesen: factor
de proporcionalidad racional.
3ª Hipótesis: Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se trata de
una idea fundamental de la epistemología de Bachelard12 (1983) sobre el conocimiento
científico, tomada por Brousseau para explicar la formación de obstáculos en el
aprendizaje de las matemáticas: la utilización y la destrucción de los conocimientos
precedentes forman parte del acto de aprender (Brosseau, 1998, p. 120)14.
Los aprendizajes previos de los alumnos se deben tener en cuenta para construir
13 BACHELARD, G. (1983) La formación del espíritu científico. Siglo XXI: Buenos Aires.
14 BROSSEAU, G. (1998) Ibídem.
Actividad 4: Determina los posibles desequilibrios que los
alumnos pueden encontrar en la resolución del problema de
“construcción de la gran ciudad” (ejemplo 1ª – 2ª secuencia).
¿Qué respuestas obtienen del medio?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
60
nuevos conocimientos, ya que éstos no se producen a partir de la nada, su elaboración
está sometida a adaptaciones, rupturas y a reestructuraciones, a veces radicales, de los
conocimientos anteriores. Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya
sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden hacerse más que modificando los
precedentes y no por simple acumulación de los últimos sobre los ya existentes. Así, por
ejemplo, errores cometidos por los alumnos, tales como:
El siguiente de 1,78 es 1,79 porque 79 es el siguiente de 78
2,6 es menor 2,358 porque 6 < 358
0,2 x 0,3 = 0,6 porque 0 –x 0 = 0 y 2 x 3 = 6
Son consecuencia de sus conocimientos previos sobre los números naturales. Los
alumnos aplican al dominio de los números decimales propiedades válidas sólo en N.
Esto es debido a que consideran un número decimal como una pareja de números
naturales separados por una coma.
Dado que la noción de obstáculo es de suma importancia para el aprendizaje de las
matemáticas, dedicaremos más adelante, en este capítulo un apartado específico para su
estudio.
4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social
pueden facilitar la adquisición de conocimientos. Idea básica de la psicología social
apoyada en la obra de Vygotsky15,quien consideraba preciso tener en cuenta lo que un
individuo puede hacer con la ayuda de otros, ya que el aprendizaje se produce en un
medio social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño-niño) como
verticales (niño-adulto).
La eficacidad de los conflictos socio-cognitivos se justifica, según Blaye16 (1994),
puesto que:
a) Permiten al alumno tomar conciencia de otras respuestas diferentes a la suya, lo
que le obliga a descentrar su respuesta inicial.
b) La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso,
implica que el alumno sea más activo cognitivamente.
c) La respuesta diferente de los otros es portadora de información y llama la atención
del sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.
15 Zona de Desarrollo Próxima (ZDP) es la distancia entre el nivel de desarrollo actual, que podemos
determinar a través de la forma en que un niño resuelve sus problemas él solo, y el nivel de desarrollo potencial, tal como lo podemos determinar a través de la forma en la que un niño resuelve sus problemas cuando está asistido por un adulto o en colaboración con otros niños más avanzados (VYGOTSKY., 1978, p.
86; CIRADE, P. 153).
16 BLAYE, A. (1994) “Interacctions sociales et constructions cognitives”, En BERNANZ, N., GARNIER, C
Construction des saviors, (p. 183-195) Quebec: CIRADE
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
61
17 GUILLY, M. (1994): Á propos de la théorie du conflit socio-cognitif el des mecánisenes psycho-socieux, en
BERNANZ, N.,GARNIER, C. Construction des savoirs, (p.162-183) Quebec. CIRADE
Así, los conflictos socio-cognitivos provocan un doble desequilibrio: “desequilibrio
interindividual, debido a las diferentes respuestas de los sujetos; desequilibrio
intraindividual, debido a la toma de conciencia de respuestas diferentes, lo que invita al
sujeto a dudar de su propia respuesta” (Guilly, 1994)17.
Cabe señalar también la función de mediador que, en los conflictos socio-cognitivos,
lleva a cabo el maestro a través de las puestas en común entre los alumnos. Si la
situación propuesta en clase ha sido una situación abierta, de interacción con un medio,
se espera que los alumnos se comprometan en procedimientos muy variados, será el
momento de organizar el intercambio, el debate, la argumentación, la confrontación, la
validación, etc.
Esta fase es primordial para el aprendizaje matemático, “poner en común es hacer
público” y en ella el lenguaje, como medio de comunicación social, es primordial. El
lenguaje permitirá a los alumnos estructurar la acción, apropiarse de significaciones
nuevas, identificar nociones y requiere una expresión verbal (o escrita o, incluso,
representativa). El lenguaje jugará una función determinante para la elucidación de sus
conocimientos: es al tratar de responder a los “por qué” y a los “cómo” de los otros
alumnos y del maestro cómo cada uno es capaz de volver sobre sus propias
La situación de ampliación del puzzle (ejemplo 3) pone en evidencia un
conflicto socio-cognitivo. Cada alumno del grupo tiene que construir una
pieza diferente y, al final, cuando todos han concluido su tarea, las piezas
no encajan. Esto provoca que entre ellos emitan diferentes
interpretaciones de la “respuesta que han obtenido del medio”,
conduciéndoles a formular nuevas hipótesis, debatir entre ellos, probar,
rechazar, argumentar, etc.
Actividad 5: Dadas las siguientes proposiciones:
Si aumentamos cada uno de los lados de un triángulo doble, su área queda entonces multiplicada por:
2, 3, 4
Si el radio de un círculo aumenta el doble, su área queda multiplicada por:
2, 3, 4
Describa las posibles respuestas que podrían dar los alumnos. ¿Sobre qué argumentos las podrían validar? ¿La discusión de las respuestas aportadas podría provocar un conflicto socio-cognitivo entre los alumnos de una clase de la escuela primaria?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
62
RASGOS CARACTERÍSTICOS
MODELO EMPIRISTA MODELO
CONSTRUCTIVISTA
CONCEPTO DE
APRENDIZAJE
PAPEL DEL DOCENTE
PAPEL DEL ALUMNO
CONCEPTO DE ERROR
TÉRMINOS
CARACTERÍSTICOS
acciones, a describirlas, a defenderlas, a tomar conciencia de su pertinencia y validez. Y,
recíprocamente, es al interrogar sobre las soluciones aportadas por los otros cómo cada
uno puede conocer un nuevo procedimiento, medir el grado de dominio adquirido,
reconocer lo que no logra hacer solo, en suma, ampliar su campo de conocimientos.
Actividad 6: El dueño de una cuadra de caballos compra un pura sangre por
6 000 euros, lo vende por 7 000 euros. Más tarde, compra de nuevo este caballo
por 8 000 euros y lo revende por 9 000 euros. ¿Cuánto ha ganado?
Entre las respuestas siguientes, determine la que crea correcta:
Ha perdido 1 000 euros.
Ha ganado 1 000 euros.
Ha ganado 2 000 euros.
Ni ha perdido, ni ha ganado.
¿La resolución de este ejercicio podría provocar un conflicto socio-cognitivo entre
los alumnos de la escuela Primaria? Describa y analice las posibles respuestas y
los argumentos que las justifican.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
63
En plenaria compartan los elementos que recuperaron en el cuadro y
expongan sus comentarios.
De manera individual reflexione:
¿EN QUÉ MODELO DE ENSEÑANZA ESTOY
INSCRITO? ¿QUÉ TENGO QUE HACER
PARA MEJORAR?
En plenaria comenten: ¿Qué les hizo reflexionar la revisión de los modelos de
aprendizaje y enseñanza de la matemática? ¿Cuáles serían los cambios o
ajustes que estarían realizando a su práctica docente y escolar para mejorar la
enseñanza y el aprendizaje de la Matemática? Realicen sus anotaciones.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
64
TEMA 3: Metodología y Enfoque de trabajo de la matemática en el Plan y Programa 2011
En el proceso de repensar cómo estamos desarrollando nuestro trabajo, los
referentes establecidos en el plan y programas de estudio 2011, son aspectos
importantes en los cuales de manera permanente debemos estar reflexionando, el
enfoque, es un elemento que debe estar dando dirección a nuestras actividades, así
como el diseño y la elaboración de propuestas innovadoras, desde una perspectiva
crítica de cambio, que generen el desarrollo de una práctica creativa.
De manera individual reflexione sobre los siguientes cuestionamientos,
relacionados con la aplicación del enfoque de las matemáticas, en el
desarrollo de su práctica docente. En plenaria comparta sus reflexiones.
¿Cómo aplica en su práctica, el enfoque de la asignatura de las Matemáticas?
¿Qué fortalezas y debilidades ubica en torno a la aplicación del enfoque de las matemáticas?
¿Conoce cuál es la idea central de lo que pretende el enfoque de la asignatura de
las Matemáticas?
¿La metodología didáctica que utilizas en la enseñanza de las Matemáticas permite enfrentar con éxito, los problemas de la vida cotidiana de los alumnos? Si, No, ¿Por qué?
ACTIVIDAD 1. ¿Qué del enfoque didáctico? 30 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
65
De manera individual realicen la lectura del texto “La Investigación e
Innovación Educativa” de María Guadalupe Moreno Bayardo y en equipos
socializar las siguientes preguntas.
ACTIVIDAD 2. La Innovación de la Práctica Escolar y Docente
INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVA.
MARÍA GUADALUPE MORENO BAYARDO*
* Miembro del Sistema Nacional de Investigadores y
coordinadora de la Maestría en Investigación Educativa del Centro de Investigaciones Pedagógicas y Sociales (CIPS).
La investigación y la innovación educativas constituyen quizá las alternativas de
mayor consistencia para la sustentación de las tareas propias de un sistema educativo y
de las transformaciones mediante las cuales, dicho sistema pretende alcanzar, de mejor
manera, los objetivos que se ha propuesto.
Ambas pueden contribuir a favorecer el desarrollo del sistema educativo y la calidad
de la educación que éste ofrece, sin embargo, no puede afirmarse que lo hagan
exactamente de la misma manera, de allí que en este trabajo se pretendan establecer
vínculos y diferencias entre una y otra.
a). CONCEPTOS FUNDAMENTALES: INNOVACIÓN, CAMBIO, MEJORA
Hablar de innovación supone, en primer lugar, la necesidad de establecer con
claridad los diversos significados que se dan al término y su relación con conceptos
como el de cambio y el de mejora que, en muchas ocasiones se utilizan como
sinónimos, pero que no son tales, aunque su significado pueda estar estrechamente
vinculado con la innovación.
Con base en la etimología del término, se puede hablar de innovación en el
sentido de la mera introducción de algo nuevo y diferente; sin embargo, esto deja
abierta la posibilidad de que ese "algo nuevo" sea o no, motivo de una mejora; tan
nuevo sería un método que facilita un aumento de la comprensión lectora, como
uno que la inhibe.
Algunas veces, el término innovación es utilizado para designar una mejora con
100 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
66
relación a métodos, materiales, formas de trabajo, etc., utilizados con anterioridad, pero
la mejora por sí sola puede, o no, ser innovación; por ejemplo, un método puede mejorar
porque se aplica con más conocimiento de causa o con más experiencia, y en este caso
no hay una innovación, mientras que si el método mejora por la introducción de
elementos nuevos, la mejoría puede ser asociada entonces a una innovación.
Así, un primer acercamiento al concepto de innovación puede ser el de
"introducción de algo nuevo que produce mejora".
Un análisis más tiene que realizarse para examinar la relación entre innovación y
cambio. Si se establece que la innovación significa la introducción de algo nuevo que
produce mejora, el hecho de pasar de lo que se tenía antes, a un estado de mejoría,
supone la presencia de un cambio. Sin embargo, no puede afirmarse que todo cambio
sea una innovación, un cambio puede ocurrir incluso de manera no deliberada como
consecuencia de la intervención de múltiples factores en una situación determinada.
Así, puede establecerse que la innovación es algo más planeado, más
deliberado, más sistematizado y más obra de nuestro deseo que el cambio, el cual
es generalmente más espontáneo.
Aun coincidiendo en que el término innovación esté asociado al significado de la
introducción de algo nuevo que produce mejora, y que por lo tanto trae consigo un
cambio, surge luego la discusión de qué será entendido por "nuevo". En un sentido
estricto, lo nuevo es asociado a lo que nunca antes había sido inventado, conocido o
realizado, que se genera, se instituye o se presenta por primera vez; utilizando este
significado de lo nuevo, las innovaciones serían realmente escasas, no es común que
surja algo nuevo en el sentido antes mencionado.
La reflexión anterior conduce al planteamiento de lo nuevo en otra dimensión,
asociado sobre todo a formas o maneras nuevas de hacer o utilizar algo. En este
sentido, se admite como nuevo algo que ya ha sido conocido o utilizado en otros tiempos
o situaciones, pero que ahora se utiliza en nuevas circunstancias, con diferentes
finalidades, en diversas combinaciones o formas de organización, etc.
Los planteamientos anteriores permiten una plena coincidencia con la definición
que Richland da de innovación: "la innovación es la selección, organización y
utilización creativas de recursos humanos y materiales de maneras nuevas y
propias que den como resultado la conquista de un nivel más alto con respecto a
las metas y objetivos previamente marcados".
El hecho de que en la definición de innovación que acaba de mencionarse se hable
de la conquista de un nivel más alto con respecto a ciertos objetivos, alude a una
característica que, en la innovación educativa, resulta fundamental: las innovaciones
tienen que ser evaluadas y sólo pueden valorarse en relación con las metas y objetivos
de un determinado sistema educativo, no son transferibles, sin más, de un sistema a
otro.
Por otra parte, una innovación para ser considerada como tal, necesita ser duradera,
tener un alto índice de utilización y estar relacionada con mejoras sustanciales, esto
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
67
establecerá la diferencia entre simples novedades (cambios superficiales) y la auténtica
innovación.
b). LA INNOVACIÓN COMO PROCESO
Una característica más de la innovación resulta fundamental; la innovación no es un
acto que produce de manera directa determinadas consecuencias, la innovación es un
proceso, y como tal, supone la conjunción de hechos, personas, situaciones e
instituciones, actuando en un período de tiempo en el que se suceden diversas acciones,
no necesariamente en un orden determinado, para hacer posible el logro de la finalidad
propuesta.
La innovación como proceso:
Está asociada a hechos que se dan en el tiempo, si bien son hechos que ocurren
orientados por una planeación y un proceso de reflexión previos, incluso con
sustento en algunas teorías, la innovación no se identifica usualmente con lo que
ocurre en el nivel de las ideas, de la reflexión o de la teoría, sino que se refleja en
acciones que producen cambios en las prácticas de las que estas acciones forman
parte. Así por ejemplo, será de esperar que una innovación en educación se
refleje en alguna práctica educativa: la docencia, la administración, la
supervisión escolar, etc., aunque la dimensión de la innovación involucre
solamente algún aspecto de dichas prácticas.
Involucra a persona e instituciones en diversos planos: como creadores, como
tomadores de decisiones, como realizadores, como usuarios, como evaluadores,
pudiendo recaer en las mismas personas o instituciones una función múltiple; por
ejemplo la de creadores, realizadores y evaluadores de determinada innovación.
Las personas e instituciones que se involucran en un proceso de innovación
pueden encontrarse vinculados por intereses y actividades comunes desde antes
de iniciar el proceso de innovación, o constituirse como grupo temporal a propósito
de la misma; lo fundamental es que, tanto las personas como las instituciones
involucradas en cualquiera de los planos mencionados, realmente compartan, de
manera sustancial, el interés por la innovación y el convencimiento de que puede
dar lugar a una transformación importante. La innovación más valiosa podrá no
ser efectiva si, por ejemplo, los usuarios de la misma, no desarrollan
actitudes positivas hacia ella por haberla recibido como una imposición por
parte de las autoridades de una institución.
Implica transformaciones en las prácticas, mismas que habrán de manifestarse
(hacerse reconocibles) en diversos ámbitos: los materiales de trabajo, los hábitos,
las actitudes, la efectividad de las acciones, la dinámica institucional, etc. Como
se estableció inicialmente, la innovación que realmente es tal, genera cambios de
importancia.
Está referida a solución de problemas, ya sea que el problema se entienda en
términos de necesidades que demandan una solución, o de intención de tener
acceso a mejores niveles de desarrollo propiciando un acercamiento cada vez
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
68
mayor a los objetivos propuestos.
En conjunto constituye un sistema en el que se integran diversos elementos para
originar una dinámica que haga operativo y eficaz el proceso de generación,
introducción, seguimiento y evaluación de la innovación.
Ciertamente, a medida que se reflexiona más profundamente sobre el proceso de
innovación y sus características, se va descubriendo que la innovación no es algo
fácil, ni instantáneo, que no puede ocurrir al azar o por decreto, y que si así ocurre,
sus resultados, en lugar de constituir una mejora, producen reacciones de
rechazo, que perjudican más que favorecen el logro de los objetivos propuestos.
c). LA INNOVACIÓN EDUCATIVA
En educación, el proceso de innovación se caracteriza además por la complejidad
que supone introducir cambios sustanciales en los sistemas educativos, dado que la
mayoría de dichos cambios involucra también nuevas formas de comportamiento y un
acercamiento diferente a los estudiantes. Aun cuando la innovación estuviera
referida a materiales, como por ejemplo un nuevo tipo de libro de texto, ésta tiene
que ir acompañada de una actitud favorable por parte de los docentes que se
encargarán de manera directa de su utilización, de la comprensión de los
supuestos teóricos y metodológicos que orientaron su elaboración, de la
disposición a sustituirlos por otros que ya les eran ampliamente conocidos, etc.
Así, las innovaciones en educación tienen ante sí, como principal reto, los procesos
de adopción por parte de las personas, los grupos y las instituciones; las cosas
materiales y la información son desde luego más fáciles de manejar y de introducir, que
los cambios en actitudes, prácticas y valores humanos.
Según Wesley, en la innovación educativa se dan tres procesos que son, de alguna
manera, fuentes de la misma:
En primer lugar, las innovaciones ocurren generalmente mediante la
acumulación de una variedad de cambios: algunos muy pequeños, como la
introducción de un nuevo tipo de material didáctico, otros de mayor amplitud,
como la transformación de los sistemas de formación de docentes; los diversos
cambios se van desarrollando lentamente, pero por lo general, el efecto total es
una mejora continua del sistema educativo en su conjunto.
En segundo lugar, existen los cambios que se desarrollan desde la base, esto
es, la generación constante de nuevas ideas por parte de los involucrados en el
sistema educativo, algunas de esas ideas, especialmente las que el sistema está
preparado para asimilar, son transformadas e incorporadas en consonancia con
sus propias normas y prácticas.
En tercer lugar, los cambios ocurren a través de decisiones emanadas de una
política adoptada: una autoridad del gobierno central, regional o local, decide
adoptar una idea nueva y dicta los reglamentos e instrucciones necesarias para
llevarlas a efecto.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
69
Cabe en este momento analizar que los planteamientos de Wesley necesitan
relativizarse con base en las características de la innovación, establecidas en párrafos
anteriores.
Cuando se presenta la innovación como acumulación de una variedad de
cambios, cuyo efecto total es una mejora del sistema educativo en su conjunto,
habrá que considerar que, la mera acumulación de cambios, difícilmente traerá
como consecuencia una innovación; se requeriría en todo caso, que cada uno de
los cambios introduzca elementos nuevos que produzcan mejoras, y además, que
los diversos cambios que están ocurriendo, apunten hacia objetivos comunes o
complementarios.
Cuando se explica que la innovación puede ocurrir como asimilación de las nuevas
ideas que van surgiendo "desde la base", se corre el riesgo de asumir que no es
necesario un proceso de sistematización, formalización, seguimiento y evaluación de lo
que ocurre cuando dichas ideas se convierten en el sustento de determinadas acciones
dentro del sistema, o de creer que las innovaciones se asimilan prácticamente de
manera espontánea y natural.
Finalmente, cuando se identifican como fuente de innovación decisiones emanadas
de la política educativa, la experiencia ha mostrado que la historia de la educación hace
referencia a múltiples ejemplos de cambios que jamás impactaron favorablemente a los
sistemas educativos, por haberse introducido unilateralmente, como decisión de
autoridades en turno, sin un profundo análisis de las condiciones y necesidades del
sistema para el que fueron propuestos.
La innovación es “un proceso que se construye a partir de las iniciativas y de
la actitud de los profesores en su misma docencia” que les lleva a tener mejores
condiciones para desarrollar procesos de construcción y reconstrucción del
conocimiento en el aula, para generar nuevas prácticas de acción docente y/o para
revitalizar la actividad de gestión en la escuela.
Así, resulta difícil establecer que la innovación pueda presentarse, de manera
segura, por alguna de las vías señaladas, aunque cualquiera de ellas podría favorecerla,
siempre y cuando se den condiciones que eviten los riesgos que acaban de
mencionarse.
d). MODELOS DE PROCESOS PARA GENERAR LA INNOVACIÓN EDUCATIVA
Partiendo de que la innovación es generalmente un proceso intencional y sistemático,
como se ha venido afirmando a lo largo de este trabajo, pero que puede ocurrir de
diversas maneras, los teóricos de la innovación han realizado cuidadosos análisis de
experiencias de innovación ya ocurridas, identificando, a partir de estas, tres modelos de
proceso que Havelock presenta de la siguiente manera:
1. Modelo de investigación y desarrollo
2. Modelo de interacción social
3. Modelo de resolución de problemas
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
70
El modelo de investigación y desarrollo ve el proceso como una secuencia racional
de fases, por la cual una invención se descubre, se desarrolla, se produce y se disemina
entre el usuario o consumidor. La innovación no se analiza desde el punto de vista del
usuario, quien se supone que es pasivo; ni tampoco la investigación comienza como un
conjunto de respuestas exactas a problemas humanos específicos, sino como un
conjunto de datos y teorías que son luego transformados en ideas para productos y
servicios útiles en la fase de desarrollo. El conocimiento se produce, por último,
masivamente, y se procura por todos los medios difundirlo entre aquellos a los que
pueda ser de utilidad.
El proceso se concreta así, en etapas que van del conocimiento científico básico, a
su transformación en investigación aplicada y desarrollo, que a su vez es transformada
en conocimiento práctico y que finalmente se transforma en las aplicaciones que le da el
usuario.
Este modelo presenta pues, un enfoque lógico y racional de la innovación; como tal
está sustentado en diversos supuestos, algunos de los cuales son cuestionables, dado
que:
- Muchas innovaciones no ocurren como producto final de un cuidadoso proceso
de planificación que conduzca de la teoría a la práctica.
- La innovación no siempre es generada por expertos que saben lo que hay que
hacer para "recetarlo" a quienes ejercen las diferentes prácticas educativas.
Sin embargo, sí ha ocurrido que algunas innovaciones valiosas hayan surgido por
una vía como la propuesta en este modelo.
En el modelo de interacción social, se hace hincapié en el aspecto de difusión de la
innovación, en el movimiento de mensajes de individuo a individuo y de sistema a
sistema; se subraya la importancia de las redes interpersonales de información, de
liderazgo, de opinión, de contacto personal y de integración social. La idea general
es la de que cada miembro del sistema recorra el ciclo o tome conciencia mediante
un proceso de comunicación social con sus compañeros. En algunos sistemas, la
forma que adopta esta estrategia consiste, por ejemplo, en convencer a un
profesor, directivo o administrador respetados, de la utilidad de las nuevas
prácticas o procedimientos, y en facilitar el proceso mediante el cual otros
profesores puedan ponerse en contacto con aquella persona que ya esté
utilizando la innovación.
En este modelo, la unidad de análisis es el receptor individual, se centra la atención
en la percepción por parte del receptor del conocimiento exterior, y en su respuesta al
mismo. Los estudios realizados en esta área concreta han revelado que el medio más
eficaz para la difusión de una innovación es la interacción entre miembros del grupo
adoptante. En general, los investigadores concentran sus esfuerzos en una innovación
presentada bajo forma concreta y difundible (un libro de texto, un material didáctico, un
procedimiento para facilitar el aprendizaje, etc.) y siguen su pista a través del grupo
social de los adoptadores; en particular, realizan un estudio de los efectos de la
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
71
estructura social y de las relaciones sociales, sobre las innovaciones y su desarrollo.
Los investigadores de este modelo han identificado con precisión la forma en que la
mayoría de los individuos pasa por un proceso de adopción de la innovación:
La toma de conciencia, en la que el individuo se ve expuesto a la innovación,
pero carece de información completa sobre ella.
El interés, fase en la que el individuo busca información sobre la innovación, pero
todavía no ha juzgado su utilidad con respecto a su propia situación.
La evaluación, en la que el individuo hace un examen mental de lo que supondrá
en su momento y en el futuro la aplicación de la innovación y decide si la va a
experimentar o no.
El ensayo, en el que el individuo, si su examen mental resultó favorable, aplica la
innovación a escala limitada para descubrir si, en su situación, tiene una utilidad
real.
La adopción, en esta fase, los resultados del ensayo de la innovación, o incluso
alguna modificación de la misma, analizados con detenimiento, servirán para
determinar si finalmente se toma la decisión de adoptar o rechazar la innovación.
Como se habrá notado, el énfasis en este modelo no está en la fuente de donde
surgió la innovación, sino en el proceso de difusión de la misma.
La principal crítica que se hace al modelo de interacción social es la de que
fácilmente puede convertirse en un modelo manipulador al perder de vista, en el afán de
difundir la innovación eficazmente, las necesidades o circunstancias reales del usuario, o
la posibilidad de que la innovación misma carezca de sentido o pueda resultar perjudicial.
El modelo de resolución de problemas tiene como centro al usuario de la innovación.
Parte del supuesto de que éste tiene una necesidad definida y de que la innovación va a
satisfacerla. En consecuencia, el proceso va desde el problema al diagnóstico, luego a
una prueba y finalmente a la adopción. Con frecuencia es necesaria la intervención de un
agente externo de cambio que aconseje a los individuos sobre posibles soluciones y
sobre estrategias de puesta en vigor, pero lo que se considera principal es la
colaboración centrada en el usuario de la innovación y no en la manipulación desde
fuera. Es pues un enfoque participativo.
Las características básicas del enfoque o método de resolución de problemas pueden
sintetizarse en los cinco puntos siguientes:
1. El usuario constituye el punto de partida.
2. El diagnóstico precede a la identificación de soluciones.
3. La ayuda del exterior no asume un papel de dirección, sino de asesoría y
orientación.
4. Se reconoce la importancia de los recursos internos para la solución de los
problemas.
5. Se asume que el cambio más sólido es el que inicia e interioriza el propio usuario.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
72
Quizá la principal bondad del modelo de resolución de problemas sea precisamente
su enfoque participativo y su interés en que las innovaciones respondan a las
necesidades reales de los usuarios y sean generadas por éstos.
e). EL CONCEPTO DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA
Con la intención de identificar cómo se vinculan, y a su vez, cómo se diferencian (si
es que lo hacen) la investigación y la innovación educativas, conviene analizar algunas
formas de conceptualizar la investigación educativa.
La definición contenida en el diagnóstico de la investigación educativa
realizado por la Secretaría de Educación Pública en 1989, establece que:
investigación educativa es el conjunto de acciones sistemáticas con objetivos
propios, que, apoyados en un marco teórico o en uno de referencia, en un
esquema de trabajo apropiado y con un horizonte definido, describen, interpretan
o actúan sobre la realidad educativa, organizando nuevos conocimientos, teorías,
métodos, medios, sistemas, modelos, patrones de conducta y/o procedimientos
educativos o modificando los existentes.
Por su parte, Jean Pierre Vielle (1989) explicita el concepto afirmando que: la
investigación se entiende como todo proceso de búsqueda sistemática de algo
nuevo; se trata de actividades intencionales y sistemáticas de búsqueda que llevan
al descubrimiento y a la invención de algo nuevo. Este "algo" producto de la
investigación, no es solamente del orden de las ideas y del conocimiento, la investigación
educativa genera resultados diversos y muy diferentes; nuevas ideas, conceptos, teorías;
nuevos diseños, modelos, prototipos; nuevos valores, comportamientos y actitudes;
nuevos productos, artefactos o máquinas, etcétera.
Pablo Latapí (1981), se refiere a la investigación educativa describiéndola como: el
conjunto de acciones sistemáticas y deliberadas que llevan a la formación, diseño
y producción de nuevos valores, teorías, modelos, sistemas, medios,
evaluaciones... se considera investigación educativa no cualquier esfuerzo de
búsqueda de conocimientos o reflexión acerca de los hechos o problemas
educativos, sino sólo las actitudes que persiguen la innovación educativa
intencionadamente y en forma sistemática.
Sin duda que estas tres formas de definir la investigación educativa no agotan las
posibilidades de conceptualización de la misma, ni pueden ser consideradas como de
aceptación universal; incluso podrían ser objeto de debate entre quienes conciben de
manera diferente la investigación educativa, sin embargo, para efectos del análisis a
realizar, se han considerado como un buen punto de partida.
El análisis de dichas definiciones permite detectar algunos elementos en las
que todas insisten:
- La presencia de acciones intencionales y sistemáticas.
- Realizadas con apoyo en un marco teórico o uno de referencia.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
73
- Que conducen al descubrimiento de algo nuevo.
- Que pueden ser de diversa naturaleza: conocimientos, teorías, ideas, conceptos,
modelos, productos, artefactos, máquinas, medios, pero también valores,
comportamientos y actitudes.
Llama la atención especialmente, que en la definición de Pablo Latapí se
precise que se considera investigación educativa no cualquier esfuerzo de
búsqueda de conocimientos o reflexión acerca de los hechos o problemas
educativos, sino sólo las actitudes que persiguen la innovación educativa
intencionalmente y en forma sistemática.
Con base en esta definición y la coincidencia de las tres analizadas en referirse a la
investigación educativa insistiendo en la producción de algo nuevo, pareciera posible
afirmar prácticamente que la innovación es condición esencial que caracteriza a la
investigación educativa, lo cual conduce necesariamente al análisis que es centro de
interés en este trabajo.
f). INVESTIGACIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVAS ¿UNA SOLA TAREA?
En el intento de generar una respuesta para esta pregunta, puede procederse a
retomar algunas de las características con las que se describió, por una parte a la
innovación, y por otra a la investigación, el análisis de dichas características permitirá
puntualizar sus diferencias, sus coincidencias o su complementariedad.
De la innovación se estableció que se sustenta en la teoría, en la reflexión, que se
introduce desde un trabajo de planeación, pero fundamentalmente se refleja en
acciones que producen cambios en las prácticas, implica pues, transformación de las
prácticas educativas.
En la investigación educativa, según se conceptualizó en el apartado anterior, se
puede llegar, o no, hasta la transformación de la práctica, su finalidad es la generación
de conocimiento, pero esto puede ocurrir en diferentes modalidades; en la investigación
denominada básica o pura, se genera conocimiento entendido como aportación a la
teoría, independientemente de la preocupación por su aplicación inmediata; mientras
que en la investigación-acción, por ejemplo, se genera conocimiento entendido como el
análisis sistemático de los diversos factores que inciden en una práctica o en una
situación para modificarla favorablemente a través de dichas acciones.
Se estableció también que la innovación está referida a solución de problemas, en
este sentido se encuentra plena coincidencia con la investigación, en tanto que ésta,
parte precisamente del planteamiento de un problema para el que se pretende generar
una respuesta. Sin embargo, el ámbito en que una y otra aportan a la solución de
problemas puede ser de naturaleza diversa.
Estos elementos posibilitan que la práctica docente se convierta en objeto de
reflexión, análisis, conocimiento y comprensión, reconociendo que dicha práctica
está condicionada histórica, social e institucionalmente y que es compleja,
dinámica, conflictiva, impredecible y singular; en donde los principales actores
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
74
están involucrados en el proceso y como tal participan activamente en las
acciones propositivas e innovadoras que superen prácticas y hábitos obsoletos.
Al ser un proceso de construcción, la innovación se construye mediante un ir y
venir entre lo construido y lo por construir para ampliar, profundizar, confirmar o
consolidar lo ya construido. Cada momento o fase se construye por
“aproximaciones sucesivas con acciones, datos y reflexiones que nos hacen tener
una primera aproximación, después avanzamos, pero seguimos madurando las
ideas anteriores… es un proceso integrado, organizado, con un plan dinámico que
relaciona los momentos entre sí”
En la innovación se responde a problemas entendidos como necesidades de
transformación de las prácticas para un mejor logro de los objetivos de las mismas; en
tanto que en la investigación, la respuesta al problema implica la generación de
conocimientos, la cual puede concretarse en multiplicidad de productos: teorías,
modelos, ideas, materiales, transformación en las prácticas, etc.
Los planteamientos anteriores parecen ubicar los procesos de innovación en
educación como una de las múltiples formas en que la investigación educativa puede
realizarse, de tal manera que la investigación aparece como la forma natural y
deseable de llegar a la innovación. Así, puede afirmarse que la innovación es un
proceso que se sustenta en la investigación; pero que no todo proceso de investigación
culmina necesariamente en una innovación educativa.
Se antoja difícil concebir un proceso de innovación educativa relevante que surja de la
mera intuición y que en su aplicación no tenga un cuidadoso procedimiento de
evaluación y seguimiento. De allí la gran importancia de la vinculación de la innovación
con la investigación educativa; la investigación será pues la mediación por excelencia
para el surgimiento, aplicación y validación de las innovaciones en educación.
Queda por considerar la afirmación de Pablo Latapí en la que establece que,
sólo las actitudes que persigan la innovación educativa intencionalmente y en
forma sistemática, podrán considerarse como investigación educativa; esto
pareciera invertir la relación antes establecida, quedando la innovación como
condición para que exista la investigación educativa, y no la investigación
educativa como sustento de la innovación.
Ciertamente, se trata de una afirmación que requiere de análisis, éste permite
considerar que, desde un punto de vista, el investigador en educación está siempre
interesado por que las prácticas educativas ocurran cada vez de mejor manera; si las
analiza, si las describe, si las explica, si las representa a través de modelos, en el fondo
tiene la intención de que un mayor conocimiento acerca de ellas conduzca, tarde o
temprano, a una transformación positiva en las mismas; esto pudiera ser el sentido de lo
que Latapí denomina como actitud de innovación educativa, una especie de fin último
con el cual se realiza la investigación en educación, aunque no cada investigación
realizada culmine de manera inmediata en una innovación.
Si la investigación se convierte realmente en el sustento natural de las innovaciones
en educación, nuestro sistema educativo encontrará en la vinculación investigación-
innovación, una de las fuerzas transformadoras que tanto necesita.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
75
PREGUNTAS:
En plenaria observen y analicen el video “Aprendiendo juntos Matemáticas”
que contiene una experiencia de trabajo en Matemáticas del Japón.
De manera individual, en su cuaderno tomar notas sobre los siguientes
aspectos:
ACTIVIDAD 3. Una experiencia de docencia en Matemáticas
- La preparación de una clase de matemáticas para compartir con los
compañeros docentes.
- El análisis y evaluación colectiva de los trabajos realizados en clase.
- El intercambio de clases entre maestros más allá de los límites escolares.
- La planificación del contenido a abordar en la clase.
- Los resultados de la aplicación de la planificación abordando el contenido
que se presentó (Situación didáctica y tipo de problema)
- ¿Qué sugerencias propondría hacer en el caso de su escuela o en su
práctica docente?
¿En qué consiste la Innovación y la Investigación Educativa?
¿Qué implica la Innovación y la Investigación Educativa?
¿En dónde se debe ver reflejada la Innovación Educativa?
¿Qué nos dice la lectura sobre el modelo de Interacción Social?
90 Min.
Aprendiendo Juntos...
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
76
Organizar 2 equipos (1 y 2). Los integrantes del equipo 1, lean el texto
“Enfoque didáctico de la enseñanza de las matemáticas”, y los integrantes
del equipo 2, el texto: “Enfoque del campo de formación”. Recuperen las
notas con las ideas principales respecto a las características, conceptos o
componentes esenciales del enfoque didáctico de las matemáticas.
En plenaria esquematicen dichos elementos para su análisis y reflexión.
ACTIVIDAD 4. El Enfoque Didáctico de las Matemáticas en el Plan y
Programas de Estudio.
ENFOQUE DIDÁCTICO DE LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
La formación matemática que permite a los individuos enfrentar con éxito los problemas
de la vida cotidiana depende, en gran parte, de los conocimientos adquiridos y de las
habilidades y actitudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que
vivan los niños y adolescentes al estudiar matemáticas en la escuela, puede traer como
consecuencias: el gusto o rechazo, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad
para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los
resultados o la supeditación de éstos al criterio del maestro.
El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el
estudio de las matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas
que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes
formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Al
mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos
y habilidades que se quieren desarrollar.
Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años
dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como la
situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las
herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen
los alumnos para construir nuevos conocimientos y superar las dificultades que surgen
en el proceso de aprendizaje. Toda situación problemática presenta obstáculos, sin
embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil
que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe ser
construida, en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar
al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos
previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío se encuentra en
reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, para ampliarlo, para rechazarlo o
para volver a aplicarlo en una nueva situación.
90 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
77
El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la
medida en que los alumnos lo puedan usar, hábilmente, para solucionar problemas y que
los puedan reconstruir en caso de olvido. De ahí que su construcción amerite procesos
de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en
relación con el lenguaje, como con las representaciones y procedimientos. La actividad
intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la
memorización. Sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o el uso de la
memoria para guardar ciertos datos como la transformación de fracciones a su expresión
decimal o los productos y cocientes de dos números enteros no se recomienden, al
contrario, estas fases de los procesos de estudio son necesarias para que los alumnos
puedan invertir en problemas más complejos.
A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos
retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas
diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestro
busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga
problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo
que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces.
Posiblemente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas con
base en actividades de estudio basadas en situaciones problemáticas cuidadosamente
seleccionadas resultará extraño para muchos maestros compenetrados con la idea de
que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la
pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente
del salón de clases, se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés
y aprenden, mientras que el maestro revalora su trabajo como docente. Este escenario
no se halla exento de contrariedades y para llegar a él hay que estar dispuesto a superar
grandes desafíos como los siguientes:
a. Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de
resolver los problemas que se les plantean, mientras el maestro observa y
cuestiona localmente en los equipos de trabajo, tanto para conocer los
procedimientos y argumentos que se ponen en juego, como para aclarar ciertas
dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos puedan avanzar. Aunque
habrá desconcierto al principio, tanto de los alumnos como del maestro, vale la
pena insistir en que sean los estudiantes quienes encuentren las soluciones.
Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases, esto es, los
alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con
libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que tratan de
resolver.
b. Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin
entender es una deficiencia muy común cuya solución no corresponde únicamente
a la comprensión lectora de la asignatura de español. Muchas veces los alumnos
resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden a una
interpretación distinta del problema, de manera que es necesario averiguar cómo
interpretan los alumnos la información que reciben de manera oral o escrita.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
78
c. Lograr que los alumnos aprendan a trabajar en equipo. El trabajo en equipo es
importante porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de
enriquecerlas con las opiniones de los demás, porque desarrollan la actitud de
colaboración y la habilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la
puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud
para trabajar en equipo debe ser fomentada por el maestro, quien debe insistir en
que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver,
no de manera individual sino colectiva. Por ejemplo, si la tarea consiste en resolver
un problema, cualquier miembro del equipo debe estar en posibilidad de explicar el
procedimiento que se utilizó.
d. Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en práctica
el enfoque didáctico que consiste en plantear problemas a los alumnos para que
los resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y
resultados, no alcanza el tiempo para concluir el programa. Por lo tanto se decide
continuar con el esquema tradicional en el que el maestro “da la clase” mientras los
alumnos escuchan aunque no comprendan. La experiencia muestra que esta
decisión conduce a tener que repetir, en cada grado, mucho de lo que
aparentemente se había aprendido. De manera que es más provechoso dedicar el
tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y
desarrollen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir
aprendiendo.
e. Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el maestro
explica cómo se resuelven los problemas y los alumnos tratan de reproducir las
explicaciones al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está
bajo control. Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo que el maestro ha
explicado, incluso, hay que decirlo, muchas veces los alumnos manifiestan cierto
temor de hacer algo diferente a lo que hizo el maestro. Sin embargo, cuando el
maestro plantea un problema y lo deja en manos de los alumnos, sin explicación
previa de cómo se resuelve, usualmente surgen procedimientos y resultados
diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnos y de lo que saben
hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los profesores consiste en ayudarlos a
analizar y socializar lo que ellos mismos produjeron.
Este rol del maestro es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación
en la enseñanza de las matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento profundo de
la didáctica de la asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puede
convertir a la clase en un espacio social de construcción de conocimiento.
Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan
conocimientos y habilidades con sentido y significado, tales como saber calcular el
enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan conocimientos y
habilidades con sentido y significado, tales como saber calcular el volumen de cilindros o
resolver problemas que implican el uso de ecuaciones; pero además, un ambiente de
trabajo que brinda a los alumnos, por ejemplo, la oportunidad de aprender a enfrentar
diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, a usar diferentes técnicas en
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
79
función del problema que se trata de resolver, a usar el lenguaje matemático para
comunicar o interpretar ideas
Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independientemente
de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se puede esperar que
los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabilidad
de averiguar si los procedimientos o resultados, propios y de otros, son correctos o
incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos y siendo coherentes
con la definición de competencia que se plantea en el Plan de estudios, en los
programas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para
designar cada uno de los aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se
hace uso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y
los valores, como aprenderá escuchar a los demás y respetar sus ideas.
ENFOQUE DEL CAMPO DE FORMACIÓN
El tratamiento escolar de las matemáticas en los Planes y Programas de Estudio 2011,
se ubica en el campo de formación pensamiento matemático, con la consigna de
desarrollar el pensamiento basado en el uso intencionado del conocimiento,
favoreciendo la diversidad de enfoques, el apoyo de los contextos sociales, culturales y
lingüísticos, en el abordaje de situaciones de aprendizaje para encarar y plantear retos
adecuados al desarrollo y de fomentar el interés y gusto por la matemática en un sentido
amplio a lo largo de la vida de los ciudadanos. En esta dirección buscamos que las
orientaciones pedagógicas y didácticas que ahora presentamos destaquen estas formas
de pensamiento matemático en estrecha relación con el desarrollo de competencias, el
cumplimiento de estándares y la adopción del enfoque didáctico propuesto. Las y los
profesores podrán, con base en su experiencia mejorar y enriquecer las orientaciones
propuestas.
Como se viene haciendo desde hace unos años en el nivel de educación secundaria y
en aras de articular los distintos niveles, se ha introducido en la educación primaria la
organización de la asignatura de matemáticas a través de tres ejes: sentido numérico y
pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, y manejo de la información, los cuales
se caracterizan por los temas, enfoques y expectativas a desarrollar. Dada la naturaleza
transversal del saber matemático, resulta significativo destacar que, debido a ello, habrá
nociones y procesos matemáticos que se presenten en varios ejes y en distintas
temáticas. Las diferencias de tratamiento se podrán reconocer a través del uso que se
hace de ellas mediante las representaciones y contextos de aplicación.
Otro punto a señalar, relacionado con el manejo de temas y contenidos, es que aún
dentro de un mismo eje es posible reconocer el tipo de pensamiento matemático que
demanda la actividad a tratar, ya que de esto dependerá el significado que adquieran las
herramientas matemáticas construidas. Por ejemplo, el eje de manejo de la información
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
80
¿En qué consiste la consigna de desarrollar el pensamiento matemático, basado en el
uso intencionado del conocimiento, favoreciendo la diversidad de enfoques?
¿Cómo aprender a problematizar la realidad?
Ante el reto de solucionar problemas en equipos analizar la lectura “EL
ENFOQUE PROBLEMATIZADOR, UNA METODOLOGÍA GLOBALIZADORA”, respondan a
las preguntas y reflexiones que atañen tanto a los problemas presentados así
como aprender a problematizar la realidad. Compartan sus conclusiones al
grupo de trabajo.
incluye temas y contenidos relacionados con la organización de la información en
gráficas, el registro de frecuencias de aparición de los eventos estudiados, situaciones
cuyo estudio se asocia al desarrollo del pensamiento variacional y estocástico.
Estas dos ideas respecto a la matemática escolar (su naturaleza como herramienta
situada) y sus consecuentes efectos en el aprendizaje (el tipo de pensamiento
matemático que demanda) serán parámetros a considerar en la planeación, en la
organización del ambiente de aprendizaje, en las consideraciones didácticas y en la
evaluación. (Cantoral y Farfán 2003).
ACTIVIDAD 5. ¿Por qué la resolución de problemas en el aprendizaje
de las matemáticas? 90 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
81
Probemos con algunos planteamientos que nos permitan focalizar el análisis en la
resolución de problemas. Busque la solución a los siguientes problemas, en la forma
y estrategia que usted diseñe, sin necesariamente esforzarse por alguna de orden
formal o convencional.
PROBLEMA 1. Tres cuartas partes de hombre18
“A un capataz le preguntaron cuántos hombres tenía su cuadrilla. El respondió de un
modo bastante confuso: -Los hombres no son muchos: tres cuartos de los que
somos más tres cuartos de hombre, esa es toda nuestra gente” ¿Podría usted decir
cuántos hombres había en esta cuadrilla?
PROBLEMA 2. Geometría19.
•“El área lateral de un cilindro de altura 5 cm es 188.4 cm2, calcule su radio y
volumen”.
PROBLEMA 3. La deuda de un joyero20.
“…-¿Cuál es finalmente el origen de la duda? preguntó Beremiz.
El viejo Salim contestó:
18 UPN: Problemario UPN. “Conjunto de problemas seleccionados”, en: Matemáticas I. Sistema de
Educación a Distancia, México, UPN, SEP, 1987, pp. 21-40.
19 SEP. Curso Estatal “El desarrollo del pensamiento matemático en los alumnos de 1er. Grado”.
México, 2009, sesión 8, p. 100.
20 MALBA TAHAM, Julio César de Melo e Souza. Capítulo V en “El hombre que calculaba”
EL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR, UNA METODOLOGÍA GLOBALIZADORA
El trabajo de las Matemáticas ha adoptado por tradición y naturaleza la resolución de
problemas como fuente de construcción de pensamiento y saber matemático así como
estrategia de enseñanza y aprendizaje de dicho conocimiento.
Observar los problemas como un apartado que habrá que estudiar a profundidad en
sus características y cualidades para apropiarse del enfoque que plantea el Plan y los
Programas 2011, es una tarea prioritaria para el docente en este proceso de
actualización.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
82
-Ese hombre –y señaló al joyero- vino de Siria para vender joyas en Bagdad. Me
prometió que pagaría por el hospedaje 20 dinares si vendía todas las joyas por 100
dinares, y 35 dinares si las vendía por 200.
Al cabo de varios días, tras andar de acá para allá, acabó vendiéndolas todas por
140 dinares. ¿Cuánto debe pagar de acuerdo con nuestro trato por el hospedaje?
• ¡Veinticuatro dinares y medio! ¡Es lógico!, replicó el sirio. Si vendiéndolas en 200
tenía que pagar 35, al venderlas en 140 he de pagar 24 y medio… y quiero
demostrártelo:
• Si al venderlas en 200 dinares debía pagarte 35, de haberlas vendido en 20, -diez
veces menos- lógico es que solo te hubiera pagado 3 dinares y medio.
• Mas, como bien sabes, las he vendido por 140 dinares. Veamos cuántas veces 140
contiene a 20. Creo que, si es cierto mi cálculo. Luego, si vendiendo las joyas en 20
debía pagarte tres dinares y medio, al haberlas vendido en 140, he de pagarte un
importe equivalente a siete veces tres dinares y medio, o sea, 24 dinares y medio.
• Proporción establecida por el joyero:
200 : 35 : : 140 : x 35 x 140 x = ------------ = 24 ‘5 200
- Estás equivocado, le contradijo irritado el viejo Salim; según mis cuentas son
veintiocho. Fíjate: si por 100 tenía que recibir 20, por 140 he de recibir 28.
¡Está muy claro! Y te lo demostraré.
Y el viejo Salim razonó del siguiente modo:
- Si por 100 iba a recibir 20, por 10 –que es la décima parte de 100- me
correspondería la décima parte de 20. ¿Cuál es la décima parte de 20? La
décima parte de 20 es 2. Luego, por 10 tendría que recibir 2. ¿Cuántos 10
contiene 140? el 140 contiene 14 veces 10.
Luego para 140 debo recibir 14 veces 2, que es igual a 28 como ya dije
anteriormente.
Proporción establecida por el viejo Salim
100 : 20 : : 140 : x 20 x 140 x = ------------ = 28 100
Y el viejo Salim, después de todos aquellos cálculos exclamó enérgico:
- ¡He de recibir 28! ¡Esta es la cuenta correcta!
¿Cuál es la cantidad correcta, 24.5, 28 u otra?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
83
Con respecto a los problemas anteriores:
Integrados en equipos lean el siguiente texto que corresponde al apartado de
MATEMÁTICAS de la Caja de Herramientas de 3º y 4º grados que se generó en
el ciclo escolar 2011-2012 y den respuesta a las siguientes preguntas y en
plenaria socialicen sus respuestas o comentarios.
ALGUNOS REFERENTES TEÓRICOS DEL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR
Esquematizando de una forma muy sencilla algunos de los elementos que intervienen
en los proceso de Aprendizaje y Enseñanza, sin pretender ser exhaustivos en la
enunciación y sólo con la intención de observar los elementos sustanciales para
contextualizar la idea.
Como podemos apreciar, una parte muy importante se encuentra en la forma de
apropiarse del objeto de conocimiento para el alumno y de la forma de mediar para el
docente; es decir, cómo se abordan, al interior del grupo las tareas de enseñanza y
aprendizaje. De ello habrá que puntualizar que cada asignatura, debido a la naturaleza
de su campo de conocimiento, considera algunas particularidades didácticas,
¿Qué implicaciones conceptuales y/o procedimentales requirió para comprender
el problema y luego para resolverlo?
¿De qué forma se movilizaron mis saberes y cómo le hice para adquirir los que
no tenía para resolver?
En cuanto a la parte emocional, ¿Cómo se desencadenan los estados de ánimo
para enfrentar o no el problema?
¿Soy consciente de lo que pasa en mi persona al enfrentar el problema? ¿Cuál
fue la aportación del trabajo de resolución de problemas para el desarrollo de
las competencias matemáticas?
¿Por qué el problema como estrategia de enseñanza y aprendizaje en la
Matemática?
¿Qué tipo de problemas se deben de abordar en la Escuela Primaria?
¿Cuáles son las consideraciones que el docente debe tener presente en el
trabajo de la Matemática bajo el enfoque problematizador?
¿Cómo integrar el problema a los proyectos educativos escolares?
¿De dónde surgen los problemas matemáticos que se utilizan en la escuela?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
84
específicas a la asignatura. Y que en términos generales el programa plantea
estrategias globalizadoras de enseñanza-aprendizaje.
EL ENFOQUE PROBLEMATIZADOR EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE
DE LA MATEMÁTICA.
¿QUÉ ES UN PROBLEMA?
Considerar un problema como una actividad donde intervienen tareas múltiples,
conduce a pensar que esta actividad requiere una carga de trabajo mucho más
elevada que en general el maestro no sospecha… (ERMEL del INRP).
El problema no es una estrategia privativa del enfoque didáctico de las Matemáticas,
constituye una de las fuentes de la construcción de conocimiento en general y bajo la
cual se desencadenan múltiples competencias como las siguientes:
Aprender a capturar la realidad y la esencia de los objetos y/o fenómenos que la
integran.
Ello implica el desarrollo de un espíritu científico (Bachelar) y del desarrollo de
competencias investigadoras.
Transitar de un pensamiento de sentido común a uno sistemático y de
autorregulación en el deseo de aprender a aprender a nivel de lo individual y lo
colectivo.
ALGUNOS RECURSOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
“… algoritmo, consiste en una prescripción efectuada paso a paso para alcanzar un
objetivo particular. Un algoritmo, por definición, garantiza la consecución de aquello
que se trata de conseguir. Un heurístico, en cambio, constituye sólo –una buena
apuesta-, un procedimiento que creemos que nos ofrece una probabilidad razonable de
solución, o al menos, de acercarnos a una solución” Raymond Nickerson.
“ En)… Los métodos heurísticos se ubican las estrategias generales que pueden ser
útiles para avanzar en la resolución de un problema… por ejemplo, en la resolución de
un problema un individuo puede explotar analogías, introducir elementos auxiliares en
el problema o trabajar problemas auxiliares, descomponer o combinar algunos
elementos del problema, dibujar figuras, variar el problema o trabajar con casos
específicos.” Luz Manuel Santos Trigo
“… cuando la explicitación de los heurísticos (estrategia directiva) surge de una toma
de conciencia derivada de una auto-reflexión acerca del proceso de cognición o de
solución del problema, entonces se está ante lo que algunos autores llaman
“metacognición”… Los componentes esenciales de la ésta, son una habilidad para
comprender y pensar acerca de las propias experiencias cognitivas y ser conscientes
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
85
de las circunstancias (acontecimientos sociales, tareas y personas) para invocarlas y
desplegarlas”. Raymond Nickerson
APRENDER A PROBLEMATIZAR LA REALIDAD
Trascender a trabajar más allá de los problemas clásicos escolares, de fórmulas y
procedimientos fijos implica el desencadenar un conjunto importante de competencias
tanto para el maestro como para el alumno, tomar como objeto de conocimiento las
situaciones de la vida diaria u objetos de interés personal y colectivo. A menudo es
necesario comenzar por la problemática: clarificar la esencia del objeto o fenómeno,
buscar información, organizarla, tratarla son objetivos indisociables de la resolución de
problemas.
La incesante búsqueda de conocimiento de los objetos y los fenómenos sociales y
naturales constituyen la materia prima para la construcción de conocimiento
matemático que le permita al alumno desarrollar un pensamiento crítico y propositivo
con respecto de su entorno y su propio papel.
“El pensamiento productivo se caracteriza por la capacidad del hombre para
apropiarse de lo nuevo, de lo desconocido, por lo tanto, desarrollar este tipo de
pensamiento implica lograr un aprendizaje basado en la búsqueda, en la
resolución de problemas…” “La capacidad para plantear y resolver problemas
es la característica más clara del pensamiento creador”
Asela de los Santos Tamayo.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
86
MOMENTOS CLAVE DE LA PROBLEMATIZACIÓN DE LA REALIDAD
TAREAS DEL DOCENTE TAREAS DEL ALUMNO
MOTIVOS DE LA INVESTIGACIÓN: El
maestro indaga en los intereses del alumno,
sugiere con base en referentes curriculares,
retoma del contexto inmediato o informativo
temas u objetos de orden Natural o Social
que impliquen un reto de conocimiento para el
grupo, incluido el maestro.
Cultiva el espíritu de búsqueda, de
asombro y de necesidad de aprender.
Observa con atención y sentido indagador
los objetos y fenómenos de la Naturaleza y
Sociedad. Participa en la definición de los
motivos de la investigación.
PROBLEMATIZACIÓN: Se da a la tarea de
investigar y leer con respecto al tema elegido
que le permita orientar la sesión de
preguntas. Abre un espacio de intercambio
entre el grupo acerca de lo que se sabe y se
ignora e impulsa a ser exhaustivo en el
cuestionamiento.
Registra de forma sistemática el panorama de
indagación en la mayoría de sus elementos.
Aporta al grupo los saberes que tiene con
respecto del tema y sobre todo realiza el
ejercicio de la pregunta. Primer
acercamiento a oralizar y escribir de forma
concreta y sustancial inquietudes de
investigación.
BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN: Coordina
con el grupo estrategias de investigación,
sugiere fuentes de consulta (bibliográfica,
hemerográfica, televisiva, especialistas, etc.).
Busca y procura las condiciones de acceso a
las fuentes. Orienta y sugiere sobre las
formas de recuperar la información (Cuadros,
mapas, gráficas, textos, grabaciones,
antologías, tablas de datos, etc.)
Se da a la tarea de buscar y recuperar
información, ello implica el diseñar y
ejecutar estrategias que orienten las
acciones de investigación, el intercambio y
socialización de los hallazgos. La
autorreflexión sobre el desempeño y logros
investigativos.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: Con
base en todos los elementos recuperados
hasta este momento, apoyar al alumno a
formular distintos planteamientos
problemáticos que orienten a conocer,
ampliar, o profundizar en el objeto o
fenómeno. Aquí, la tarea fundamental es
organizar el pensamiento en estructuras
lingüísticas y simbólicas (lenguaje
matemático) que expresen la esencia y el
motivo de conocimiento de los objetos.
Distinguir entre Causa- Problema-
Consecuencia
Sistematizar los esfuerzos de concretar en
expresiones lingüísticas y simbólicas que
expresen objetos concretos a resolver e
investigar; plantear problemas que
involucren la diversidad de referentes
recuperados en el proceso de búsqueda y
que generen mayor conocimiento.
Ejercicio exhaustivo de manejo en las
distintas variables que involucra el
problema.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
87
TAREAS DEL DOCENTE TAREAS DEL ALUMNO
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: Acompañar al alumno y al grupo en: Discriminar y seleccionar datos e información necesarios para la resolución del problema, planteamiento y uso de estrategias, cuidar los procesos resolución, impulsar a utilizar múltiples recursos. Abrir espacios de intercambio, comunicación y comparación de resultados y procesos.
Diseñar y ejecutar estrategias de resolución, utilizando los distintos instrumentos y herramientas matemáticas (heurísticos, algoritmos, nociones, habilidades de estimación y cálculo mental, diseño de modelos y gráficos que objetiven las cualidades, condiciones o características del objeto). Objetivar los procesos de pensamiento a través de la expresión oral y la escritura. Poner en juego la metacognición con respecto a los procesos y resultados obtenidos. Verificar la factibilidad y certeza de los resultados, buscar formas de comprobación.
COMUNICACIÓN DE RESULTADOS: Abrir un espacio de intercambio y comunicación de resultados que se puede focalizar en dos sentidos: en cuanto a los procesos y su eficacia, y, en cuanto a los resultados y el conocimiento que permitió adquirir. El espacio en un primer término es a nivel grupal y se puede proyectar a nivel escolar en el periódico escolar o, breves culturales o informativas, gaceta escolar.
Desarrollar la actitud de Intercambio, escucha y cuestionamiento para mejorar.
Dar muestra de los procesos realizados y de sistematicidad.
Mostrar los resultados contextualizados en el marco de la problematización y de la adquisición de conocimiento con respecto al objeto o fenómeno estudiado.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE QUE AYUDAN A LOS ESTUDIANTES A
DESARROLLAR SU DISPOSICIÓN HACIA EL ESTUDIO DE LAS
MATEMÁTICAS
Los alumnos pueden transferir el conocimiento y las habilidades adquiridos de una
disciplina a otra, y también a una gran variedad de contextos fuera del ámbito escolar,
siempre y cuando la enseñanza establezca las condiciones necesarias para que se
produzca la transferencia.
“Aprendizaje centrado en un problema”. Con esta técnica los alumnos adquieren un
cuerpo de conocimientos trabajando en un problema en el que requieren de
conocimientos que no tienen de antemano y que deban buscar a medida que los
necesitan. Esta técnica permite aplicar posteriormente el conocimiento de una manera
más flexible e imaginativa. El secreto es delimitar, ya que los estudiantes adquirieron el
conocimiento en el marco de las tareas relativas a la resolución de problemas, dicho
conocimiento estará mejor organizado en sus mentes y, por lo tanto los habilita para
resolver futuros problemas.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
88
Buscando proponer algún objeto de estudio que desencadene la construcción, el uso y
la aplicación del conocimiento matemático, así como la integración de las asignaturas
podríamos sugerir el tratamiento de LA OBESIDAD como problema de salud pública
en general e infantil en particular y pudiera desencadenar el tratamiento siguiente, sólo
para bosquejarlo
ASIGNATURA TRATAMIENTO
MATEMÁTICAS
Búsqueda de información sobre el problema a nivel local, estatal y nacional, elaboración de tablas de pesos y medidas en grupo, grado, escuela. Planteamiento de problemas matemáticos con respecto a los distintos datos de Índice de Masa Corporal IMC, etc.
ESPAÑOL
Investigación lectura y escritura de distintos textos que desarrollen la temática, como artículos de difusión científica, noticias, planteamientos políticos, documentales, etc. Abrir espacios de diálogo, análisis y reflexión para abordar el problema.
CIENCIAS NATURALES
Estudio de los sistemas y órganos que intervienen en la asimilación de alimentos. Los alimentos y los hábitos de comer. Prevención de enfermedades que tienen relación con la Obesidad o el sentido inverso. Como mantener la salud.
GEOGRAFÍA
Diseño de mapas de distribución de la obesidad en lo local, estatal o nacional. Análisis de la diversidad de factores geográficos que implican la producción de alimentos diversos y sus nutrientes, reflexión sobre las costumbres alimenticias por tradición y contextual. Geografía social de la enfermedad de la obesidad, etc.
FORMACIÓN CÍVICA Y
ÉTICA
Tomando como eje de trabajo la competencia conocimiento y cuidado de sí mismo. Desarrollar espacios que lleven a la reflexión de los hábitos y costumbres que se adoptan a nivel de familia y personal con respecto al cuidado de la salud y de las enfermedades como lo es la obesidad.
EDUCACIÓN FÍSICA
Como resultado de todos los trabajos de estudio en las demás asignaturas y darle sentido al cuidado de la salud y combatir la Obesidad a través del movimiento y la mejora en las formas de alimentación. En el desarrollo de las 3 competencias y promoviendo a nivel de grupo y escuela transformar los malos
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
89
hábitos alimenticios de productos chatarra a alimentos nutritivos y de los hábitos sedentarios a la actividad física organizada a través del JUEGO.
Habrá que hacer notar que si bien el trabajo de un objeto de estudio, en este caso la
obesidad, no sigue en estricto la secuencialidad de los programas, pues la naturaleza de
los requerimientos de estudio nos llevan a trabajar contenidos de los distintos bloques,
hay que hacer relevante que en este caso se privilegia la visión holística del objeto de
estudio y que lleva claras intenciones con respecto a trabajar un problema real, cercano
y de índole social y personal.
Así, en cada una de las secuencias que el docente plantee, se hacen manifiestos
problemas y cálculos matemáticos que tendrán como referente las competencias
matemáticas, los aprendizajes esperados y los conocimientos y habilidades. Ello implica
el conocimiento amplio del docente de los programas para adaptar la gradualidad o
profundidad de los apartados a considerar.
Recuperar las verdaderas intenciones del conocimiento matemático y su naturaleza es
llevarlas a la construcción de un conocimiento real de la Naturaleza, la sociedad y el
papel del propio individuo en su crecimiento. Que el conocimiento y aprendizaje sean
fuentes de construcción de pensamiento matemático y, a la vez, éste sea fuente de
aprendizaje y conocimiento, no sólo en un sentido utilitario sino también estético y de
profundo análisis crítico.
Derivado de la primera propuesta del estudio de la Obesidad, el nivel de estudio no sólo
quedaría en el reconocimiento del problema sino en la intervención y propuesta de
solución como se mencionó anteriormente y se propondría un proyecto que contribuya
el ejercicio físico y movimiento de los alumnos, buscar otras formas de emplear el ocio
más allá de fomentar el sedentarismo por lo que una de las alternativas puede ser EL
JUEGO EN LA ESCUELA, pues dentro de esta problemática de la Obesidad qué puede
hacer la escuela para apoyar a la solución? Bosquejamos:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
90
ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL PROYECTO DE “EL JUEGO”
1. RECUPERACIÓN DE LOS
JUEGOS QUE JUEGAN LOS
ALUMNOS EN EL PRESENTE
2. INVESTIGACIÓN Y
CLASIFICACIÓN DE JUEGOS 3. ENTREVISTA A PERSONAS
MAYORES SOBRE LOS JUEGOS
DE SU INFANCIA.
Investigación en la colonia y localidad: Elaboración de encuesta
Selección de la muestra
Aplicación de la encuesta
Procesamiento de los datos obtenidos
Representación de los datos a través de tablas y gráficas.
Análisis de la información, debate colectivo.
Elaboración y presentación de informe.
Búsqueda de criterios para la clasificación:
Temporal: antiguos, recientes, modernos
Geográficos: locales, por región, por cultura-país
Por lugar de ejecución: de patio, de mesa.
Por número de integrantes: individuales, de equipo, colectivos
Uso de material: con juguete- sin juguete
Organización de la información
Representación de los datos a través de tablas y gráficas.
Elaboración y presentación de informe
Elaboración del plan de entrevista:
Propósito
Diseño de actividades:
Diseño del guión de entrevista
Selección de personas a entrevistar
Diseño del oficio de invitación y hacerlo llegar al destinatario
Realización de la entrevista
Elaboración y presentación del informe
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
91
ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL PROYECTO DE “EL JUEGO”
4. TALLER DE
ELABORACIÓN DE
JUGUETES
5. JORNADAS DE JUEGO Y
TORNEOS 6. MUSEO DEL JUGUETE
Selección de 4 o 5 modelos de juguete Organización del taller:
Invitación de algún tallerista: Padre de familia, experto
Organización del grupo en equipos
Programación de sesiones
Preparación de materiales
Jornadas de trabajo, elaboración del juguete
Presentación de los productos realizados a la comunidad escolar.
Organización de un torneo de juegos.
• Organización de torneo. Características y condiciones.
• Publicación de convocatoria de participación
• Inscripción y registro. Tabulación de frecuencia y representación en gráficas
• Clasificación de participantes por categoría, juego y grado o ciclo escolar. Organización de jornadas de juego, calendarización y publicación de roll.
• Desarrollo de las jornadas de juego. Establecimiento de jurado, convocatoria a asistentes para presenciar los juegos. Eliminatorias
• Registro de eventos realizados en el torneo y escritura de crónicas deportivas.
• Presentación de jugadores y equipos finalistas a la comunidad. Ceremonia de premiación. Clausura del torneo
Planeación y creación de un museo del juego y juguete.
• Planeación: Investigación de las características de un museo. Elaboración de un proyecto de museo que será presentado a la autoridad inmediata superior. Director, supervisor, etc.
• Gestión de espacios y mobiliario.
• Elaboración de convocatoria para recabar, construir o adquirir juguetes en la comunidad escolar. Adquisición, restauración o construcción de juguetes.
• Elaboración de fichas descriptivas de juguetes y juegos.
• Montaje del museo.
• Calendarización de exposiciones y visitas por grado o grupos, al público en general.
• Recuperación de testimonios de todo el proceso, elaboración de álbum testimonial e informe de trabajo
¿Y cómo se trabajan las matemáticas en cada una de las actividades?, ¿Se usan las
matemáticas en el juego?, ¿Qué habilidades, destrezas, nociones, conceptos matemáticos
desarrolla el juego en el individuo?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
92
TEMA 4: Análisis curricular. Visión global y específica de los programas de Matemáticas
Una de las herramientas esenciales para que el docente mejore de forma sustancial
la planificación didáctica de la asignatura de matemáticas es, sin lugar a dudas, el
análisis curricular. El desarrollo de este tema. tiene el propósito de construir una
mirada global y a la vez especifica del conjunto de elementos curriculares que
integran los programas educativos, pudiendo dar cuenta de la gradualidad y
complejidad de aprendizajes esperados y estándares curriculares, que, a la vez
contribuya a ser un elemento de diagnóstico para ubicar los avances o
requerimientos de los alumnos que atiende.
Con el propósito de que el docente de Educación Primaria reconozca e
identifique los apartados de la estructura del programa de estudios y libro de
texto 2011 de la asignatura de matemáticas y en un recuento de sus saberes a
cerca de la conformación de éste, de manera individual enliste los apartados
y elementos del programa que usted conoce.
PROGRAMA 2011 LIBRO DE TEXTO
ACTIVIDAD 1. ¿Qué conoce el docente de los Programas de
Estudio 2011? 20 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
93
¿Qué importancia tiene que el docente conozca e
identifique la estructura de programa de estudios y libro
de texto de los alumnos?
En plenaria organicen equipos de trabajo, por grado o por ciclo, revisen e
identifiquen los apartados de la estructura del programa de estudio y libro de
texto de la asignatura de matemáticas y elaboren un esquema de los
elementos y apartados que los constituyen.
PROGRAMA 2011 LIBRO DE TEXTO
De manera individual, compare los registros de sus dos esquemas y reflexione
a cerca de los apartados y elementos que le faltaron por incluir en el primero y
anótelos. (Anexo 1: “Análisis Curricular 2011”, “Plan y Programas 2011”)
Los propósitos de estudio de las matemáticas para la Educación Básica y los
ACTIVIDAD 2 Reconociendo los propósitos de la asignatura de
matemáticas. 20 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
94
PROPÓSITOS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS PARA LA EDUCACIÓN BÁSICA
Mediante el estudio de las matemáticas en la educación básica se pretende que los
niños y adolescentes:
Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos
para resolver problemas, así como elaborar explicaciones para ciertos hechos
numéricos o geométricos.
Utilicen diferentes técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos
de resolución.
Muestren disposición hacia el estudio de la matemática, así como al trabajo
autónomo y colaborativo.
PROPÓSITOS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA
Conozcan y usen las propiedades del sistema decimal de numeración para
interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Expliquen las similitudes y
diferencias entre las propiedades del sistema decimal de numeración y las de otros
sistemas, tanto posicionales como no posicionales.
Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con
números naturales, así como la suma y resta con números fraccionarios y decimales
para resolver problemas aditivos y multiplicativos.
Conozcan y usen las propiedades básicas de ángulos y diferentes tipos de rectas,
así como del círculo, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares,
prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera al realizar algunas construcciones y
calcular medidas.
Usen e interpreten diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetos o
lugares.
Expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad, para calcular
perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares e irregulares.
Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos
contenidos en imágenes, textos, tablas, gráficas de barras y otros portadores para
comunicar información o responder preguntas planteadas por sí mismos u otros.
Representen información mediante tablas y gráficas de barras.
propósitos de estudio de las matemáticas en educación primaria que se
plantean a continuación, son extraídos del Programa de Estudio 2011. Léalos
de manera individual con la intención de identificar los alcances que se
pretenden en la asignatura al término de la educación básica.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
95
Identifiquen conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calculen
valores faltantes y porcentajes, y apliquen el factor constante de proporcionalidad
(con números naturales) en casos sencillos.
De manera individual en su cuaderno de notas, dé respuesta al siguiente
cuestionamiento.
En plenaria, argumente la respuesta al siguiente cuestionamiento con base a
su experiencia y conocimiento.
Estos conocimientos y habilidades que poseen los alumnos que egresan de
preescolar, ¿tienen congruencia y utilidad con los contenidos establecidos para el
primer ciclo de primaria?, ¿Por qué?
En equipo revisen los Estándares Curriculares de la asignatura de
matemáticas. Primer periodo escolar, (al concluir el tercer grado de preescolar,
entre 5 y 6 años de edad.), mismos que podrán consultar en el programa de
estudios de preescolar 2011. Con base en la revisión y con la finalidad de
enriquecer el diagnóstico individual y grupal de los alumnos para el caso del
primer ciclo; identifique en términos generales los conocimientos y habilidades
ACTIVIDAD 3 Reconociendo los Estándares de Educación Básica
¿Cuál es la importancia y relación que guardan ambos para el
cumplimiento del currículo y desarrollo del pensamiento matemático al
término del cuarto periodo?
Los alumnos que egresan de preescolar, ¿qué saben con relación a los
conocimientos y las habilidades matemáticas’
60 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
96
ESTÁNDARES DE MATEMÁTICAS
Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que
sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes
que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos
niveles de alfabetización matemática.
Se organizan en:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico.
2. Forma, espacio y medida.
3. Manejo de la información.
4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas.
Su progresión debe entenderse como:
Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados.
Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.
Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo autónomo.
En este periodo los Estándares Curriculares se organizan en dos aspectos: número, y
Forma, espacio y medida.
En relación con los conocimientos y las habilidades matemáticas, al término de este
periodo (tercero de preescolar), los estudiantes saben utilizar números naturales hasta
de dos cifras para interpretar o comunicar cantidades; resuelven problemas aditivos
simples, mediante representaciones gráficas o el cálculo mental; identifican las
características generales de figuras y cuerpos, y saben ubicarlos en el espacio.
Con base en la metodología didáctica que se propone para el desarrollo de las
actividades, se espera que los alumnos desarrollen, además de los conocimientos y
habilidades matemáticos, actitudes y valores que les permitan transitar hacia la
construcción de la competencia matemática.
1. NÚMERO
1.1. Conteo y uso de números.
1.2. Solución de problemas numéricos.
matemáticas en los aspectos de Número y Forma, Espacio y Medida;
concentrándolos en el esquema que se presenta al final del texto de manera
que analice y sistematice en términos generales la progresión cognitiva que
establece.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
97
1.3. Representación de información numérica.
1.4. Patrones y relaciones numéricas.
Los Estándares Curriculares para este rubro son los siguientes. EL NIÑO:
1.1. Conteo y uso de números
1.1.1. Comprende relaciones de igualdad y desigualdad; esto es: más que, menos
que, y la misma cantidad que.
1.1.2. Comprende los principios del conteo.
1.1.3. Observa que los números se utilizan para diversos propósitos.
1.1.4. Reconoce los números que ve a su alrededor y forma numerales.
1.1.5. Usa estrategias para contar; por ejemplo, organiza una fila de personas o añade
objetos.
1.2. Solución de problemas numéricos
1.2.1. Forma conjuntos de objetos.
1.2.2. Resuelve problemas numéricos elementales en situaciones cotidianas.
1.2.3. Comprende problemas numéricos elementales y estima resultados.
1.2.4. Explica su proceder para resolver un problema numérico.
1.3. Representación de información numérica
1.3.1. Agrupa conjuntos de objetos de acuerdo con diferentes criterios y compara el
tamaño de los conjuntos.
1.3.2. Reúne información de situaciones familiares y las representa por medio de
objetos, dibujos, números o cuadros sencillos y tablas.
1.3.3. Agrupa objetos según sus atributos cualitativos y cuantitativos; por ejemplo,
forma, color, textura, utilidad, cantidad y tamaño.
1.3.4. Recopila datos del ambiente y los expresa en una tabla de frecuencias.
1.4. Patrones y relaciones numéricas
1.4.1. Enuncia una serie elemental de números en orden ascendente y descendente.
1.4.2. Identifica el lugar que ocupa un objeto dentro de una serie ordenada (primero,
tercero, etcétera).
1.4.3. Identifica algunos usos de los números en la vida cotidiana; por ejemplo, la
identificación de casas, números telefónicos o las tallas de la ropa.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
98
1.4.4. Identifica cómo se utilizan los números en una variedad de textos, como
revistas, cuentos, recetas de cocina, publicidad y otros.
1.4.5. Anticipa lo que sigue en un patrón e identifica elementos faltantes.
1.4.6. Identifica patrones en una serie usando criterios de repetición e incremento.
2. FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Este rubro puede ser visto como cuatro conjuntos de ideas que se superponen:
2.1. Nombres y propiedades de las figuras.
2.2. Ubicación.
2.3. Comparación y unidades no convencionales.
2.4. Uso de instrumentos de medición.
Los Estándares Curriculares para este rubro son los siguientes. EL NIÑO:
2.1. Nombres y propiedades de las figuras
2.1.1. Identifica los nombres y las propiedades de algunos objetos bidimensionales
comunes; por ejemplo, un cuadrado.
2.1.2. Usa algunos términos elementales para describir y comparar características
medibles de algunos objetos comunes; por ejemplo, grande, largo, pequeño, frío,
caliente, alto, lleno y vacío.
Los Estándares Curriculares para este rubro son los siguientes. EL NIÑO:
2.1. Nombres y propiedades de las figuras
2.1.1. Identifica los nombres y las propiedades de algunos objetos bidimensionales
comunes; por ejemplo, un cuadrado.
2.1.2. Usa algunos términos elementales para describir y comparar características
medibles de algunos objetos comunes; por ejemplo, grande, largo, pequeño, frío,
caliente, alto, lleno y vacío.
2.2. Ubicación
2.2.1. Identifica y usa expresiones elementales que denotan desplazamientos y
posiciones.
2.2.2. Identifica algunas figuras comunes en el medio ambiente y describe sus
propiedades.
Identifica y utiliza expresiones elementales que se relacionan con propiedades de dos
y tres dimensiones.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
99
2.2.3. Reconoce y describe figuras geométricas elementales y cuerpos desde distintas
perspectivas.
2.3. Comparación y unidades no convencionales
2.3.1. Identifica y usa expresiones elementales para referirse a medidas.
2.3.2. Identifica y usa expresiones elementales para denotar comparación.
2.3.3. Identifica y usa expresiones elementales para indicar secuencia temporal.
2.3.4. Categoriza objetos según su tamaño, masa y capacidad.
2.3.5. Identifica y usa expresiones elementales para denotar objetos no
convencionales y sus características.
2.4. Uso de instrumentos de medición
2.4.1. Identifica los nombres y uso particular de algunos instrumentos de medición
comunes.
2.4.2. Verifica sus estimaciones de longitud, capacidad y peso, mediante un
intermediario.
3. ACTITUDES HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
3.1. Expresa curiosidad por las propiedades matemáticas de los seres vivos, así como
de los entornos naturales y humanos en diversos contextos.
3.2. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como ser humano matemático; el
deseo y la tendencia para comprender y usar la notación matemática, y desarrolla
gusto e interés en entender y aplicar vocabularios y procedimientos matemáticos.
3.3. Aplica el razonamiento matemático para resolver problemas sociales y naturales,
y acepta el principio de que los problemas particulares tienen soluciones alternativas.
3.4. Aplica el razonamiento matemático a su estilo de vida personal y a las decisiones
de su vida, incluyendo las relacionadas con la salud.
3.5. Tiene una actitud favorable hacia la conservación del ambiente y su
sustentabilidad, usando notaciones y métodos científicos y matemáticos.
3.6. Desarrolla hábitos de pensamiento racional y utiliza evidencias de naturaleza
matemática.
3.7. Comparte e intercambia ideas sobre aplicaciones matemáticas teóricas y prácticas
en el mundo.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
100
NÚMERO FORMA, ESPACIO Y
MEDIDA ACTITUD HACIA EL ESTUDIO DE
LAS MATEMÁTICAS
En plenaria compartan sus producciones y construyan respuestas a los
siguientes cuestionamientos:
Respecto a los conocimientos, habilidades, actitudes y valores para el estudio
de las matemáticas:
ESTÁNDARES CURRICULARES. SEGUNDO Y TERCER PERIODO DE EDUCACIÓN BÁSICA.
Organizados en binas, Identifiquen los estándares curriculares que a
continuación se presentan, comprenden el segundo periodo (1º a 3º ) y tercer
1. ¿Qué deberían aprender los alumnos según los estándares del primer período
de Educación Básica?
2. ¿Qué elementos toma en cuenta usted para identificar y valorar lo que saben
los alumnos en la asignatura de matemáticas al iniciar el segundo periodo de
educación básica?
3. ¿Qué conocimientos resultan necesarios como parte de sus competencias
profesionales para valorar a los alumnos de primer grado respecto a sus
saberes en matemáticas?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
101
Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que
sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes
que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos
niveles de alfabetización matemática.
Se organizan en:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
2. Forma, espacio y medida
3. Manejo de la información
4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas
Su progresión debe entenderse como:
Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar
procedimientos y resultados.
Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la
comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.
Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo
autónomo.
SEGUNDO PERIODO ESCOLAR: AL CONCLUIR EL TERCER GRADO DE PRIMARIA,
ENTRE 8 Y 9 AÑOS DE EDAD.
Los Estándares Curriculares de este periodo corresponden a dos ejes temáticos:
Sentido numérico y pensamiento algebraico, y Forma, espacio y medida.
Al término del segundo periodo (tercero de primaria), los estudiantes saben resolver
problemas aditivos con diferente estructura, utilizan los algoritmos convencionales, así
como problemas multiplicativos simples. Saben calcular e interpretar medidas de longitud
y tiempo, e identifican características particulares de figuras geométricas; asimismo, leen
información en pictogramas, gráficas de barras y otros portadores.
Además de los conocimientos y habilidades matemáticas descritos anteriormente, los
estudiantes desarrollarán, con base en la metodología didáctica que se sugiere para el
estudio, un conjunto de actitudes y valores que son esenciales en la construcción de la
competencia matemática.
periodo (4º a 6º grados ) de educación básica en los programas 2011,
complementen los esquemas que al término se presentan, compare la relación
que presentan los ejes temáticos en ambos periodos.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
102
1. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:
1.1. Números y sistemas de numeración.
1.2. Problemas aditivos.
1.3. Problemas multiplicativos.
Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. El alumno:
1.1.1. Lee, escribe y compara números naturales de hasta cuatro cifras.
1.1.2. Resuelve problemas de reparto en los que el resultado es una fracción de
la forma m/2n.
1.2.1. Resuelve problemas que impliquen sumar o restar números naturales,
utilizando los algoritmos convencionales.
1.3.1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números naturales
utilizando procedimientos informales.
2. FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:
2.1. Figuras y cuerpos geométricos.
2.2. Medida.
El Estándar Curricular para este eje es el siguiente. EL ALUMNO:
2.2.1. Mide y compara longitudes utilizando unidades no convencionales y
algunas convencionales comunes (m, cm).
3. ACTITUDES HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
3.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas,
el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y
los procesos matemáticos.
3.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,
sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos
procedimientos para resolver los problemas particulares.
3.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate
matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.
3.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver
problemas matemáticos.
Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población
que sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de
aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para
conducirlos a altos niveles de alfabetización matemática.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
103
Se organizan en:
1. Sentido numérico y pensamiento algebraico
2. Forma, espacio y medida
3. Manejo de la información
4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas
Su progresión debe entenderse como:
• Transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar
procedimientos y resultados.
• Ampliar y profundizar los conocimientos, de manera que se favorezca la
comprensión y el uso eficiente de las herramientas matemáticas.
• Avanzar desde el requerimiento de ayuda al resolver problemas hacia el trabajo
autónomo.
TERCER PERIODO ESCOLAR: AL CONCLUIR EL SEXTO GRADO DE PRIMARIA,
ENTRE 11 Y 12 AÑOS DE EDAD.
En este periodo los Estándares Curriculares corresponden a tres ejes temáticos:
Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la
información.
Al cabo del tercer periodo, los estudiantes saben comunicar e interpretar cantidades
con números naturales, fraccionarios o decimales, así como resolver problemas aditivos
y multiplicativos mediante los algoritmos convencionales. Calculan perímetros y áreas y
saben describir, y construir figuras y cuerpos geométricos. Utilizan sistemas de
referencia para ubicar puntos en el plano o para interpretar mapas. Asimismo, llevan a
cabo procesos de recopilación, organización, análisis y presentación de datos.
Con base en la metodología didáctica propuesta para su estudio en esta asignatura,
se espera que los alumnos, además de adquirir conocimientos y habilidades
matemáticas, desarrollen actitudes y valores que son esenciales en la construcción de
la competencia matemática.
1. SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:
1.1. Números y sistemas de numeración.
1.2. Problemas aditivos.
1.3. Problemas multiplicativos.
Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. El alumno:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
104
1.1.1. Lee, escribe y compara números naturales, fraccionarios y decimales.
1.2.1. Resuelve problemas aditivos con números fraccionarios o decimales,
empleando los algoritmos convencionales.
1.3.1. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números naturales
empleando los algoritmos convencionales.
1.3.2. Resuelve problemas que impliquen multiplicar o dividir números
fraccionarios o decimales entre números naturales, utilizando los
algoritmos convencionales.
2. FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:
2.1. Figuras y cuerpos geométricos.
2.2. Ubicación espacial.
2.3. Medida.
Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. EL ALUMNO:
2.1.1. Explica las características de diferentes tipos de rectas, ángulos,
polígonos y cuerpos geométricos.
2.2.1. Utiliza sistemas de referencia convencionales para ubicar puntos o
describir su ubicación en planos, mapas y en el primer cuadrante del
plano cartesiano.
2.3.1. Establece relaciones entre las unidades del Sistema Internacional de
Medidas, entre las unidades del Sistema Inglés, así como entre las
unidades de ambos sistemas.
2.3.2. Usa fórmulas para calcular perímetros y áreas de triángulos y
cuadriláteros.
2.3.3. Utiliza y relaciona unidades de tiempo (milenios, siglos, décadas, años,
meses, semanas, días, horas y minutos) para establecer la duración de
diversos sucesos.
3. MANEJO DE LA INFORMACIÓN
Durante este periodo el eje incluye los siguientes temas:
3.1. Proporcionalidad y funciones.
3.2. Análisis y representación de datos.
Los Estándares Curriculares para este eje son los siguientes. El alumno:
3.1.1. Calcula porcentajes y utiliza esta herramienta en la resolución de otros
problemas, como la comparación de razones.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
105
3.2.1. Resuelve problemas utilizando la información representada en tablas,
pictogramas o gráficas de barras e identifica las medidas de tendencia
central de un conjunto de datos.
4. ACTITUDES HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS
4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas,
el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y
los procesos matemáticos.
4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales,
sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos
procedimientos para resolver los problemas particulares.
4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate
matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones.
4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver
problemas.
SEGUNDO PERIODO.
EJES
TEMÁTICOS TEMAS
ESTÁNDARES CURRICULARES
PRIMERO SEGUNDO TERCERO
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
106
TERCER PERIODO.
EJES TEMÁTICOS
TEMAS ESTÁNDARES CURRICULARES
CUARTO QUINTO SEXTO
Después de la revisión y análisis de los estándares curriculares, distinga la
correspondencia en los ejes temáticos en ambos periodos.
En plenaria compartan sus productos, construyan sus opiniones y conclusiones. (Anexo 2: “Articulación de la Educación Básica”)
MANOS A LA OBRA…
Integrados en cuatro equipos, revisen las competencias matemáticas que se
presentan extraídas del programa 2011; (una por equipo) profundicen en su
contenido y a la vez ejemplifique con algún ejercicio en el que se manifieste el
desarrollo de dicha competencia.
ACTIVIDAD 4. Recordando las competencias matemáticas
45 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
107
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
RESOLVER PROBLEMAS DE MANERA AUTÓNOMA. Implica que los alumnos sepan
identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo,
problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas
en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos
quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un
problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más
eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más
valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de
resolución.
COMUNICAR INFORMACIÓN MATEMÁTICA. Comprende la posibilidad de que los alumnos
expresen, representen e interpreten información matemática contenida en una situación o
en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de
representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se
establezcan relaciones entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas
matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones, y
se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno
representado.
VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS. Consiste en que los alumnos adquieran la
confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones
encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el
razonamiento deductivo y la demostración formal.
MANEJAR TÉCNICAS EFICIENTEMENTE. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y
formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin
apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas
establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y
quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se
limita a usar mecánicamente las operaciones aritméticas; apunta principalmente al
desarrollo del significado y uso de los números y las operaciones, que se
manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al
resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el
empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se
requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para
lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan
a prueba en muchos problemas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la
podrán adaptar a nuevos problemas.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
108
En plenaria socialice sus ejercicios y elabore sus conclusiones con base en
las siguientes reflexiones.
De manera individual, revise la lectura de la información que se presenta en
relación al “pensamiento matemático” en educación básica, subraye las ideas
que le sean más relevantes y comparta su información al resto del grupo.
PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN PREESCOLAR
PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA
PENSAMIENTO MATEMÁTICO EN SECUNDARIA
Los niños cuando llegan al preescolar ya tienen conocimientos matemáticos y son capaces de resolver algunos problemas sencillos. Hacen correspondencia uno a uno, establecen comparaciones, cambian e involucran nociones de espacio y medida. Los aspectos referidos usualmente al pensamiento matemático considerados en el preescolar son: número, espacio, forma y medida,
Una forma de pensamiento que les permite interpretar y comunicar las matemáticas son las técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas de diferentes tipos, utilizando más de un procedimiento reconociendo cual o cuales son más eficaces. Es necesario que los alumnos adquieran la confianza para expresar sus procedimientos y defender sus aseveraciones como pruebas empíricas y
En este nivel los alumnos conocen diferentes técnicas para la resolución de un problema matemático y se convierten en estudiantes analíticos y expresivos. El nivel de secundaria trabaja con tres ejes temáticos que son: sentido numérico y pensamiento algebraico, forma, espacio y medida y manejo de la información. Dentro del pensamiento algebraico se estudia la aritmética y el álgebra donde
ACTIVIDAD 5 El pensamiento matemático en Educación Básica
¿Por qué es importante identificar la integralidad, desarrollo y fortalecimiento de
estas cuatro competencias matemáticas?
¿Cuál es la finalidad de que el alumno argumente de acuerdo a su alcance los
procesos de solución de problemas en el nivel primaria?
¿Qué implicaciones tiene para el docente reconocer estos procesos? y ¿Cómo
consolidarlos en el alumno?
40 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
109
dichos aspectos implican que los niños sepan para qué sirven los números, que tipo de problemas resuelven y como se representa, como usar en el conteo agrupamiento y desagrupamiento. Es importante que los niños identifiquen para que sirven algunos instrumentos de medición convencional como el reloj, calendario el metro etc. No olvides que el pensamiento matemático es el razonamiento lógico del alumno y es una herramienta básica en cálculo mental.
con argumentos a su alcance.
Manejar técnicas eficientemente se refiere a que el niño utilice procedimientos que él conoce de acuerdo al contexto en que se desarrolla, es importante que el docente retome los conocimientos previos del alumno y partir desde ese punto para llevar a cabo el proceso de enseñanza-aprendizaje.
los alumnos desarrollan su gran capacidad intelectual a través del razonamiento. En el espacio y medida se estudia la geometría y la medición. El manejo de la información se da cuando el alumno se siente capaz de formular preguntas y recabar información, organizar, interpretar y representar la información de un problema matemático.
En plenaria identifiquen las características del pensamiento matemático y la
gradualidad que se da en los tres niveles de educación básica. Plasme sus
conclusiones en el siguiente recuadro. (Anexo 3. “El Pensamiento
Matemático”).
En forma grupal, distinga en el apartado que se presenta “Organización de
los aprendizajes” del Programa de Estudio 2011, la estructura que se
establece y destaque los ámbitos de estudio para su tratamiento.
Conclusiones:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
110
La asignatura de Matemáticas se organiza, para su estudio, en tres niveles de
desglose.
El primer nivel corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los
contenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes; éstos son: Sentido
numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la
información.
Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del
estudio de la aritmética y el álgebra:
• La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje aritmético.
• La exploración de propiedades aritméticas que en la secundaria podrán ser
generalizadas con el álgebra.
• La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos.
Forma, espacio y medida integra los tres aspectos esenciales alrededor de los
cuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación primaria:
• La exploración de las características y propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos.
• La generación de condiciones para el tránsito a un trabajo con características
deductivas.
• El conocimiento de los principios básicos de la ubicación espacial y el cálculo
geométrico.
Manejo de la información incluye aspectos relacionados con el análisis de la
información que proviene de distintas fuentes y su uso para la toma de decisiones
informadas, de manera que se orienta hacia:
• La búsqueda, organización y análisis de información para responder preguntas.
• El uso eficiente de la herramienta aritmética que se vincula de manera directa con
el manejo de la información.
• La vinculación con el estudio de otras asignaturas.
En este eje se incluye la proporcionalidad porque provee de nociones y técnicas que
constituyen herramientas útiles para interpretar y comunicar información, como el
porcentaje y la razón.
¿Por qué ejes y no ámbitos en el caso de Matemáticas? Porque un eje se refiere,
entre otras cosas, a la dirección o rumbo de una acción. Al decir sentido numérico y
pensamiento algebraico, por ejemplo, se quiere destacar que lo que dirige el estudio de
aritmética y álgebra (que son ámbitos de la matemática) es el desarrollo del sentido
numérico y del pensamiento algebraico, lo cual implica que los alumnos sepan utilizar los
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
111
números y las operaciones en distintos contextos, así como tener la posibilidad de
modelizar situaciones y resolverlas, es decir, de expresarlas en lenguaje matemático,
efectuar los cálculos necesarios y obtener un resultado que cumpla con las condiciones
establecidas
De cada uno de los ejes se desprenden varios temas, y para cada uno de éstos hay
una secuencia de contenidos que van de menor a mayor dificultad.
Los temas son grandes ideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más
fino (los contenidos), y varios grados o incluso niveles de escolaridad. En el caso de la
educación primaria se consideran ocho temas, con la salvedad de que no todos inician en
primer grado y la mayoría continúa en el nivel de secundaria. Dichos temas son:
Números y sistemas de numeración, Problemas aditivos, Problemas multiplicativos,
Figuras y cuerpos, Ubicación espacial, Medida, Proporcionalidad y funciones, y Análisis y
representación de datos.
Los contenidos son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyo
estudio requiere entre dos y cinco sesiones de clase. El tiempo de estudio hace
referencia a la fase de reflexión, análisis, aplicación y construcción del conocimiento en
cuestión, pero hay un tiempo más largo en el que dicho conocimiento se usa, se
relaciona con otros conocimientos, y se consolida para constituirse en saber o saber
hacer.
Además de los ejes, temas y contenidos, un elemento más que forma parte de la
estructura de los programas son los aprendizajes esperados, que se enuncian en la
primera columna de cada bloque temático. Estos enunciados señalan de manera sintética
los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como
resultados del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión.
Podrá notarse que los aprendizajes esperados no corresponden uno a uno con los
contenidos del bloque, debido a que éstos constituyen procesos de estudio que en
algunos casos trascienden el bloque e incluso el grado, mientras que los aprendizajes
esperados son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio
mencionados. Ejemplos claros de esta explicación son los aprendizajes esperados que
se refieren al uso de los algoritmos convencionales de las operaciones, que tienen como
sustrato el estudio de varios contenidos que no se reflejan como aprendizajes esperados.
Aunque no todos los contenidos se reflejan como aprendizajes esperados, es muy
importante estudiarlos todos para garantizar que los alumnos vayan encontrando sentido
a lo que aprenden y puedan emplear diferentes recursos; de lo contrario se corre el
riesgo de que lleguen a utilizar técnicas sin saber por qué o para qué sirven.
A lo largo de los cinco bloques que comprende cada programa, los contenidos se
organizaron de tal manera que los alumnos vayan accediendo a ideas y recursos
matemáticos cada vez más complejos, a la vez que puedan relacionar lo que ya saben
con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios para
establecer la secuenciación; por lo tanto, no se trata de un orden rígido.
Como se observa a continuación, en algunos bloques se incluyen contenidos de los
tres ejes. Esto tiene dos finalidades importantes; la primera, que los temas se estudien
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
112
simultáneamente a lo largo del curso, evitando así que algunos temas sólo aparezcan al
final del programa, con alta probabilidad de que no se estudien. La segunda es que
pueda vincularse el estudio de temas que corresponden a diferentes ejes, para lograr que
los alumnos tengan una visión global de la matemática.
¿Cuál es el conocimiento y experiencia que tiene usted, respecto al tratamiento
didáctico en los ámbitos de la aritmética, el álgebra, la geometría y la medición
que se da actualmente en la escuela primaria? (Anexo. 4 “Ejes Temáticos”)
De manera individual, escriba en su cuaderno ejemplos de figuras o relaciones
geométricas que están en su entorno. Piense en algún oficio o profesión que
haga uso de la Geometría, escriba cómo usan la Geometría quienes se
dedican a ese oficio o profesión.
Responda por escrito, lo más ampliamente posible, las siguientes preguntas:
ACTIVIDAD 6. La aplicación de la geometría en la vida cotidiana
¿Qué ideas le vienen a la mente cuando escucha la palabra Geometría?
¿Cuáles son los objetos de estudio de la Geometría?
45 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
113
Iniciar un viaje a través del mundo de la Geometría representa una interesante
aventura alrededor de la ciencia que modela el espacio que percibimos: cuadrados,
rectángulos, círculos, paralelas y perpendiculares son modelos teóricos de objetos y
relaciones que encontramos en nuestro entorno.
El propósito es invitar al docente a reflexionar acerca de toda la riqueza que gira
alrededor de la enseñanza de la Geometría, a que tome conciencia de que su tratamiento
en el aula no consiste sólo en la transmisión de los contenidos geométricos sino en
adentrar al alumno en todo un mundo de experiencias en el conocimiento del espacio que
percibe y en formas de pensamiento propias de la Geometría.
Las personas construyen de manera intuitiva algunas relaciones y conceptos
geométricos, producto de su interacción con el espacio; la enseñanza de la Geometría
debe permitir avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, de tal manera
que en un momento dado pueda prescindir de él y manejar mentalmente imágenes de
figuras y relaciones geométricas, es decir, hacer uso de su capacidad de abstracción.
De manera individual, en el siguiente espacio describa una situación didáctica
en la que muestre ¿cómo ha trabajado con sus alumnos una tarea de
conceptualización geométrica?
Comparta al resto del grupo su experiencia y la manera en que abordo la
actividad.
Socialice el siguiente texto que nos permite reflexionar sobre la importancia y
razones para llevar acabo la enseñanza de la Geometría. (La enseñanza de la
Geometría. Colección: Materiales para apoyar la práctica educativa. Pp. 16 a
21 y 33 a 36 Silvia García Peña, Olga Leticia López Escudero.)
¿Qué destaca de la actividad como relevante en la conceptualización del tema
tratado?
¿Cuáles fueron las evidencias o resultados que constataron la apropiación del
conocimiento en dicha actividad?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
114
El estudio de la Geometría permite al alumno estar en interacción con relaciones que
ya no son el espacio físico sino un espacio conceptualizado y, por lo tanto, en
determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras
geométricas ya no se comprobarán empíricamente sino que tendrán que apoyarse en
razonamientos que obedecen a las reglas de argumentación en Matemáticas, en
particular, la deducción de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen.
Considérese, por ejemplo, que un maestro, para enseñar lo que es un triángulo
isósceles, lo haga solamente dibujando a sus alumnos la siguiente figura:
Es muy importante tener claro que la figura anterior es sólo una representación de un
concepto: el triángulo isósceles. No se está viendo el concepto de triángulo isósceles sino
un representante (y sólo uno) de un conjunto de figuras que comparten una
característica: dos lados iguales. Si la imagen conceptual de un triángulo isósceles fuera
sólo la anterior, se tendría una idea muy limitada de este concepto (posición, material,
color, tamaño). Para enriquecer la imagen conceptual de cualquier figura es necesario
trabajarla y explorarla de diferentes maneras conservando sus características esenciales
y por medio de diferentes situaciones que funcionalicen el concepto.
De manera individual y con base en sus conocimientos y saberes, represente
otras formas de triángulos isósceles.
Describa las causas de los errores que cometen los alumnos al tener imágenes
conceptuales pobres.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
115
¿Cómo promover en el aula una cultura geométrica, con conocimientos
geométricos que modelicen, creen o resuelvan problemas reales y usen
diferentes lenguajes y representaciones?
¿Qué tipo de entorno influye a temprana edad en los alumnos para favorecer el
desarrollo del pensamiento matemático? (Anexo 5. “La Geometría y su
Aplicación”)
Organizados en seis equipos y por grado escolar, revisen los aprendizajes
esperados correspondientes a cada bloque de estudio en la asignatura de
matemáticas (programa 2011), regístrenlos en el siguiente recuadro.
Posteriormente reflexionen en torno a los cuestionamientos que se proponen.
ACTIVIDAD 7. La gradualidad y complejidad de los aprendizajes
esperados en la Primaria
60 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
116
GRADO APRENDIZAJES ESPERADOS
BLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
PRIMERO
SEGUNDO
TERCERO
PERÍODO:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
117
GRADO APRENDIZAJES ESPERADOS
BLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
CUARTO
QUINTO
SEXTO
Elijan al interior del equipo a un compañero que concentre la información en el
papel bond que se destinará en dicha actividad y de apoyo para identificar a
PERÍODO:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
118
nivel grupal la organización de los aprendizajes del segundo y tercer periodo
de Educación Básica.
Visualicen en forma horizontal y vertical el concentrado y respondan:
Utilizando la actividad anterior, indique ¿Cuáles son los aportes que nos
brinda para mejorar la práctica docente respecto a la didáctica de la
matemática? (Anexo 6. “Concentrado A-E”; 6.1. Concentrado Gradual A-E)
Con la finalidad de fortalecer la práctica docente, poner en juego los
conocimientos y habilidades matemáticas; es necesario desarrollar actitudes y
valores esenciales en los procesos de construcción de las competencias.
Organizados en equipos, y con base en la conjugación de los aspectos ya
mencionados; a manera de ejercicio, planifiquen una situación didáctica.
Apóyese y haga uso de las herramientas adquiridas en el presente curso-
taller. Contribuya en el enriquecimiento de las actividades.
ACTIVIDAD 8. Nuestros conocimientos, experiencias y
aportaciones cuentan.
¿Qué gradualidad y secuenciación encuentra en los aprendizajes esperados
entre los bloques de cada grado de la asignatura?
¿En qué términos de complejidad se aprecia la gradualidad en los aprendizajes
esperados entre cada uno de los grados?
60 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
119
COMENCEMOS…
a) Definan el grado escolar para la actividad
b) Ubiquen el bloque elegido por el equipo
c) Seleccione el aprendizaje esperado y la (s) competencia (s) que se favorece (n).
d) Revise los ejes temáticos
e) Identifique el o los temas
f) Determinen el ámbito
g) Revise y seleccione los contenidos
h) Diseñen el formato y aspectos a considerar
i) Proponga actividades
j) Propuesta de evaluación
k) Revise materiales de la biblioteca escolar y de aula que apoyen la actividad
l) Incorpore herramientas que encontrará en los anexos del curso-taller
m) Defina el uso y utilidad del libro de texto en esta actividad
SITUACIÓN DIDÁCTICA
La teoría desarrollada por Guy Brousseau representa una referencia para el proceso
de aprendizaje de la matemática en la sala de clases, que envuelve al profesor, al
alumno y al conocimiento matemático, con el fin de realizar una educación matemática
más significativa para el alumno. Este significado consiste, básicamente en
proporcionar al alumno un conocimiento que esté realmente vinculado al proceso de su
promoción existencial. Este es el principio básico que debe conducir todo el análisis
didáctico. La búsqueda de ese significado nos lleva a reflexionar sobre la forma cómo
debemos concebir y presentar al alumno el contenido matemático escolar. Es sobre
todo en la especificidad del saber matemático donde reside el centro del desafío.
LA NOCIÓN DE SITUACIÓN DIDÁCTICA.
El significado del saber matemático del alumno está fuertemente influenciado por la
forma didáctica con que el contenido le es presentado. El desarrollo del alumno
dependerá de la estructuración de las diferentes actividades de aprendizaje a través de
una situación didáctica.
SEGÚN LA DEFINICIÓN DE BROUSSEAU (1986):
Una situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidas explícitamente y/o
implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, en un cierto medio,
comprendiendo, eventualmente, instrumentos y objetos y, un sistema educativo (el
profesor) con la finalidad de posibilitar a estos alumnos un saber constituido o en vías
de constitución... el trabajo del alumno debería, al menos en parte, reproducir las
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
120
características del trabajo científico propiamente dicho, como garantía de una
construcción efectiva de conocimientos pertinente.
Al término de la actividad, socialice en plenaria sus producciones y realice sus
conclusiones bajo los siguientes ejes de análisis:
1. ¿Qué competencias docentes y del alumno se movilizaron en la
actividad?
2. ¿Qué dificultades enfrentó durante el desarrollo de la actividad?
3. ¿Cómo puede el docente verificar que los objetivos de aprendizaje se
cumplieron?
4. ¿En qué momentos el docente pudo hacer una evaluación? y ¿De qué
tipo?
5. ¿Qué reflexiones podría realizar sobre las formas de evaluar el
desempeño de los alumnos? ¿Qué instrumentos utilizaría? Y ¿Qué
evidencias recopilaría?
6. ¿Qué elementos considera indispensables tener presente en la
organización de las actividades de planificación?
En la idea de profundizar en la noción de situación didáctica, consulte la
información que se presenta en la carpeta de anexos. “La modelización de las
situaciones didácticas” por Guy Brousseau.
Conclusiones:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
121
Para fortalecer su planificación didáctica en el aspecto de “Evaluación”,
incorpore algunas sugerencias, instrumentos o herramientas de evaluación
que apoyen a valorar el desempeño de los alumnos y de los aprendizajes
esperados. (Anexo 7. Evaluación)
En plenaria, revise y contraste la siguiente actividad con la actividad 8:
“Planificación Didáctica”
Formar 3 equipos para desarrollar la actividad planteada, y al término de la
misma, realice aportaciones o incorporaciones didácticas que considere
pertinentes.
1. Organincense en tres equipos para llevar a cabo
una campaña en la que el alumnado conozca las
ventajas y desventajas del consumo de productos
chatarra.
Distribúyanse las tareas como sigue:
Equipo 1:
En los libros de ciencias naturales, revisen el tema de
la nutricion. Elaboren dibujos que ilustren las ventajas y
desventajas de llevar una dieta basada en productos
chatarra y otra, balanceada.
Equipo 2:
Con los siguientes datos elaboren una gráfica para
mostrar los productos preferidos por los niños.
Equipo 3:
Comparen los datos de la siguiente tabla y expliquen por
escrito las ventajas de llevar una dieta balanceada.
ACTIVIDAD 9. Situaciones Didácticas en el Aula
60 Min.
Frituras de distintas marcas:
De cada 100 niños 90 las
consumen.
Refrescos: De cada 100 niños
85 los consumen.
Sopas precocidas: De cada 100
niños 95 las consumen.
Chicles: De cada 100 niños 50
los consumen.
Caramelos enchilados: De
cada 100 niños 60 los consumen.
DESDE EL COLECTIVO DOCENTE
DESDE EL COLECTIVO DOCENTE
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
122
COMPARACIÓN DE PRECIOS
ARTÍCULO PRECIO ARTÍCULO PRECIO
Bolsa de papas fritas $6.00 1 blanquillo $2.50
Refresco $7.00 1 L. de leche $11.50
1 paquete de galletas $8.00 ¼ K. de tortilla $3.50
TOTAL: $21.00 TOTAL: $17.50
2. En plenaria lean y analicen el párrafo que aparece a continuación y reflexionen
sobre las siguientes cuestiones: ¿Qué relación encuentran entre la información
de los libros de ciencias naturales sobre la nutrición y los dibujos que
elaboraron? ¿Cómo organizaron la gráfica? ¿Cómo interpretaron la tabla de
precios?
3. Listen las diferencias entre presentar al alumnado la información (como algo
dado) y darles la oportunidad de que la interpreten y expresen por medio de
distintos recursos.
4. Intercambien sus puntos de vista sobre lo siguiente: ¿qué habilidades
desarrollan niños y niñas cuando interpretan las ilustraciones de una lección?
¿Por qué es importante aprender los códigos que se utilizan en mapas, planos,
escalas, fórmulas, etcétera? ¿Qué papel juega la interpretación en estos
procesos?
5. Por último, compartan la experiencia en la realización de las actividades,
valoren la importancia y utilidad de las distintas formas de presentar la
información.
La interpretacion de la informacion se refiere a los procedimientos de
decodificacion, es decir, a la traduccion de la informacion a un nuevo formato
o código, por ejemplo, cuando se representa un problema con un algoritmo
matemático, se interpretan fotografías, planos y mapas, se representan datos en
gráficas, f´rmulas químicas, etc., se puede hablar de múltiples casos porque se
trata de procedimientos imprescindibles para la solución de problemas.
Pozo, Juan Ignacio, et al., La solución de problemas, México, Santillana, 1999
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
123
PROPÓSITO:
Que los alumnos y las alumnas interpreten información como parte de los
procedimientos en la solución de problemas y reconozcan que pueden registrarla y
conservarla de diferentes formas.
MATERIAL: Libros de ciencias naturales.
ACTIVIDADES:
1. Organice a los niños y las niñas en cuatro equipos para llevar a cabo una campaña
de información, encaminada a que todo el alumnado de la escuela se entere de las
ventajas y desventajas del consumo de productos chatarra.
Solicite a los equipos que realicen las siguientes actividades:
Equipo 1:
Realicen una encuesta a los compañeros del plantel sobre el orden de preferencia de
cinco productos chatarra. (Indique, según su criterio, a cuántos niños encuestar). Con la
información obtenida elaboren una gráfica de frecuencia.
Equipo 2:
Elaboren dibujos alusivos a una dieta balanceada; para ello pueden revisar en los libros de
ciencias naturales, el tema de la nutrición.
Equipo 3:
Realicen un registro en tabla de los diez productos chatarra màs anunciados en la
publicidad de distintos medios de comunicaciòn.
Equipo 4:
Elaboren un cartel invitando a sus compañeros a mejorar su dieta diaria.
2. Revise con el grupo los materiales elaborados y converse con los alumnos sobre lo
siguiente: ¿qué importancia y utilidad tienen las gráficas, los dibujos y los carteles
para lograr informar sobre una dieta balanceada? ¿Conocían ya esa información?
¿Encontraron algo nuevo?
3. Oriente las conclusiones de los niños con las siguientes preguntas: ¿qué tuvieron que
hacer para poder elaborar los materiales? ¿Qué ventajas tiene utilizar diversos
recursos para difundir la información? ¿Qué aprendieron?
4. En el grupo, decidan en qué lugares colocarán los materiales para su difusión.
DESDE EL AULA
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
124
RECUPERANDO LA EXPERIENCIA
¿Cómo se desarrolló la sesión?
¿Qué dificultades se presentaron para la elaboración de los materiales?
¿Qué sucedió en la actividad del colectivo docente?
¿Fue difícil centrarse en la interpretación de la información? ¿Por qué?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
125
TEMA 5: Lo que debes saber de enseñar y aprender Matemáticas
En este apartado se plantean referentes teóricos y prácticos analizados en los
apartados anteriores que permiten orientar el trabajo en el aula, considerando la
importancia de diversificar las actividades y la puesta en práctica de las actividades
permanentes para propiciar en los alumnos el desarrollo de habilidades y nociones
Matemáticas; en donde el componente lúdico es fundamental, y la posibilidad de
aprovechar elementos que favorezcan el desarrollo de ambientes propicios de
aprendizaje.
Se plantea de forma inicial cuestionamientos y actividades prácticas que permitan al
docente diseñar estrategias de apoyo a la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.
De manera individual dé respuesta a la siguiente pregunta:
¿Qué es la Matemática Básica?
ACTIVIDAD 1. Matemática Básica
20 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
126
Preguntas, respuestas y algo más…
¿Qué voy a enseñar? Campo matemático.
¿A quién le voy a enseñar? Campo psicológico.
¿En qué contexto lo voy a enseñar? Campo socio-cultural.
¿Para qué lo voy a enseñar? Campo filosófico.
¿Cómo lo voy a enseñar? Campo pedagógico-didáctico.
¿CÓMO LO VOY A ENSEÑAR?
La esencia del trabajo docente, la sugerencia es el uso de recursos didácticos básicos:
Actividades permanentes
El juego
La vida cotidiana del niño.
El uso de nuevas tecnologías.
La expresión y el manejo corporal.
La investigación bibliográfica.
El planteamiento y la resolución de problemas.
Otros recursos.
¿Qué se requiere para la Enseñanza de la Matemática Básica?
Para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática básica (preescolar, primaria, secundaria y educación especial), considera que para que un(a) docente tenga mayores probabilidades de éxito en sus clases, debe tener conocimientos, habilidades y competencias, en al menos 5 campos del conocimiento humano, mismos que se presentan por medio de preguntas:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
127
En binas comenten y anoten lo que consideren que es una Noción Matemática
DESARROLLO DE LAS NOCIONES BÁSICAS EN LOS NIÑOS
La principal función de las nociones matemáticas básicas es desarrollar el pensamiento
lógico, interpretación, razonamiento y la comprensión del número, espacio, formas
geométricas y la medida.
Es importante que el niño construya por sí mismo los conceptos matemáticos básicos y
de acuerdo a sus posibilidades y tomando en cuenta sus conocimientos previos y que
llegue a utilizar los diversos conocimientos que ha adquirido a lo largo de su desarrollo.
El desarrollo de las nociones matemáticas básicas, es un proceso paulatino que
construye el niño a partir de las experiencias que le brinda la interacción con los
objetos físicos, su entorno y situaciones de su diario vivir. Esta interacción le permite
crear mentalmente relaciones, comparaciones estableciendo semejanzas y diferencias
de sus características para poder clasificarlos, seriarlos y compararlos.
Los aprendizajes iniciales de las nociones matemáticas son decisivos porque estimulan
al desarrollo cognitivo, además de que las habilidades mentales se enriquecen y sirven
como un fundamento para la vida, propias del nivel inicial.
NOCIÓN MATEMÁTICA
ACTIVIDAD 2. Lo que conozco de una NOCIÓN MATEMÁTICA
20 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
128
Por equipo analiza la información de las nociones matemáticas básicas y resuelve los
cuestionamientos que se plantean.
El número.
ACTIVIDAD 3. Explorando las Nociones
¿EN QUÉ CONSISTE LA NOCIÓN DE
NÚMERO?
Lo conocemos como un símbolo de
representación gráfica de una cantidad,
los niños llegan a conocer el número
incluso antes de ir al jardín debido a que
lo encuentran en el medio que los rodea,
además se encuentra en constante
contacto con él, en la monedas, las
casas, su edad, y cosas que forman
parte de su vida.
60 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
129
Ejemplo:
Imaginemos que, ante un conjunto de animales como el que se nos presenta en el
cuadro siguiente, se nos hiciera esta pregunta de cuantificación: «¿Qué hay más,
animales o perros?».
CLASIFICACIÓN
En el sentido teórico, clasificar se resume como la acción de reunir por
semejanzas y/o separar por diferencias, dicha acción es realizada de manera
concreta primero y abstracta despues, de manera mental estableciendo las
relaciones sin contar el material u objetos a clasificar formando
interiorizandamente conjuntos y subconjuntos. La clasificación se genera bajo un
criterio clasificatorio, pero a medida que se conoce el objeto mayores serán las
posibilidades de incluirlo en grupos o subgrupos clasificatorios utilizando esta
clasificación en nuestra vida diaria (Ropa, alimentos etc.). Pero además estos
actos clasificatorios se vinculan directamente con el desarrollo del proceso de
construccion del concepto de número en el niño. Al clasificar se consideran
además aspectos adjuntos a las semejanzas y las diferencias, la pertenencia e
inclusión. En donde la pertenencia se fundamenta en el principio de semejanza
y se define como la relación o relaciones establecidos entre el objeto y el conunto
del que forma parte. Y la inclusión se define como la relación existente entre una
subclase y la clase de la que forma parte permitiendole al clasificador detreminar
que conjunto es mayor.
La Clasificación y la Seriación son elementos esenciales en
esta construcción de noción de número
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
130
En el momento en que procesamos la información que tenemos ante nosotros
(cuadro y texto) sabemos que lo que tenemos que hacer es cuantificar, por
comparación (“qué hay más”), un conjunto de animales (de los cuáles algunos son
perros y otros son palomas), con una de sus partes (el subconjunto de los perros).
La acomodación más eficiente es realizada por la estructura de clasificación
(mediante la utilización de un esquema de inclusión (el conjunto de los perros está
incluido en el de los animales). La respuesta a la cuestión planteada al inicio es que
hay más animales que perros
Imaginemos ahora que ante este conjunto que sigue la pregunta es: «¿Qué hay más,
perros o palomas?».
En esta nueva situación lo que se pide es la comparación de las partes entre sí, por
lo que el proceso de cuantificación intensiva se torna inútil y sólo puede funcionar en
el caso de la comparación del todo con las partes.
La solución más eficiente al problema planteado es, sin lugar a dudas y dada la
disposición espacial de los elementos en nuestro ejemplo, el esquema de
correspondencia uno-a-uno: como hay algunos elementos del segundo conjunto
(palomas) que no tienen imagen en el primer conjunto (perros) podemos concluir que
hay más palomas que perros.
Imaginemos, finalmente, que nuestros perros y nuestras palomas se distribuyen de la
siguiente manera:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
131
Si la pregunta vuelve a ser ahora, «¿qué hay más, perros o palomas?», al tener que
comparar las partes entre sí, debemos recurrir a un proceso de cuantificación, el
esquema de conteo es el más adecuado para darle solución al problema. Ahora
bien, el esquema de conteo supone, tanto la utilización de un esquema de
correspondencia biunívoca (objetos-numerales), como el establecimiento de un
orden estable en los numerales (primero el 1, luego el 2, luego el 3, etc.)
Realiza la siguiente consigna
En plenaria comenta.
¿Qué estrategia utilizaste para
resolver el problema?
¿Para qué ciclo escolar esta
propuesta?
¿Qué cambios realizarías para
implementarla en tercer ciclo?
LA SERIACIÓN
Se concibe como la relación existente entre elementos con alguna diferencia y
ordenarlos por esta. Al seriar se ordena un conjunto de elementos manteniendo
siempre el orden entre los elementos mayor que o menor que en donde la posición
de dichos elementos no puede intercambiarse debido a que las relaciones
comparativas se establecen bajo un sistema de referencia que determina el lugar
que debe ocupar la serie, tomando como base criterios cualitativos, espaciales o
temporales aparecen en una relación cuantitativa que permite ordenar dos o más
conjuntos en función de su cardinalidad.
Consigna No.1
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
132
Realiza la siguiente consigna.
NOCIÓN DE ESPACIO
Realiza la siguiente consigna:
Necesitamos: 5 equipos, 4 cajas de colores y objetos de diferente tamaño, color y
forma
En equipo:
- Desordena los siguientes objetos
- Coloca los objetos nuevamente conforme estaban colocados antes de iniciar
la actividad
- Algo de ayuda.
En plenaria comenta.
¿Qué estrategia utilizaste para
resolver el problema?
¿Para qué ciclo escolar esta
propuesta?
¿Qué cambios realizarías para
implementarla en tercer ciclo?
¿Cómo se define la Noción de Espacio?
Se define como el vacío que hay entre dos cuerpos, existe el espacio físico y el geométrico, el primero es en el que nos ubicamos, el que nos rodea, el que tocamos y percibimos, éste se convierte en geométrico cuando aplicamos en él una situación matemática; esta percepción de espacio los niños la conocen al
desplazarse, al comparar la ubicación de algunos objetos o de sus propios juguetes o
muebles que tenga en casa, el espacio en la escuela lo utilizan como una noción para la
ubicación o direccionalidad. Dichos movimientos están relacionados con él mismo, con
los objetos, personas y situaciones de su medio natural y social. Así como la ubicación
espacial: cerca, lejos, atrás, adelante, derecha, izquierda, (esquemas de acción), etc.
Consigna No.2
Consigna No.3
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
133
NOCIÓN DE MEDIDA
Realiza la siguiente consigna:
VERDE
AZUL
ROJO AMARILLO
¿Qué cosas van en la caja superior derecha?
______________________________________________________
¿Qué cosas van en la caja inferior izquierda?
______________________________________________________
¿Qué cosas van en la caja superior izquierda?
______________________________________________________
¿Qué cosas van en la caja superior izquierda?
______________________________________________________
¿Qué nociones puedes desarrollar con esta actividad?
______________________________________________________
Los niños construyen su conocimiento de
Medida al hacer comparaciones o ver las
diferencias entre distancias, tamaños, los niños
empieza a usar esta noción utilizando partes de
sus cuerpos para medir y después usan
objetos físicos convencionales o no
convencionales.
Consigna No.4
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
134
NOCIÓN DE FORMA
La última noción que los niños desarrollan en el jardín es la Forma, la
cual es definida como la figura que determina cómo son los objetos;
éstas figuras son conocidas como geométricas, en donde los niños
relacionan las cosas de su entorno con éstas figuras básicas, en el
jardín aprenden las formas básicas, analizan sus características
generales y luego empiezan a formar figuras con las mismas, así como
modificar su conceptualización, ejemplo al decir bolita por la palabra
círculo.
Realiza la siguiente consigna y comenten:
¿Tienen el mismo perímetro?
_______________________________________________________________________________
¿Tienen la misma área?
_______________________________________________________________________________
Si tu respuesta es negativa o afirmativa, argumenta el ¿por qué?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
¿Cuántos lados tiene la figura que construiste? _________________________________
¿Cuántos vértices? _________________________________
¿Cuántos puntos tiene en su contorno? __________________________________
¿Cómo se llama la figura que se formó? __________________________________
Consigna No.5
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
135
Considerando los temas anteriores contesta los siguientes cuestionamientos
¿Cuál es la estructura de los libros de Texto?
Estas nociones forman parte de los fundamentos del pensamiento matemático infantil, es importante apoyar en los procesos de desarrollo de las nociones numéricas, espaciales y temporales que les permita a los niños avanzar en la construcción de nociones matemáticas más complejas.
Es por eso que los docentes deben tener la habilidad y disposición al trabajar con las nociones matemáticas donde impliquen el juego y resolución de problemas para que los niños logren construir de manera gradual, el concepto y significado de dichas nociones.
Estas experiencias deben brindar a los niños la oportunidad de conocer, manipular, comparar materiales de diversos tipos, formas y dimensiones, la representación y reproducción de números, formas geométricas y el reconocimiento de sus propiedades.
ACTIVIDAD 4. Las actividades permanentes
¿Cuántos Ejes Temáticos tiene la asignatura de Matemáticas?___________________________________
¿Cuáles son? _______________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
¿Cuántas competencias de Matemáticas se pretende desarrollar en Educación Básica? _______________________________________________
¿Cuáles son? _______________________________________________
30 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
136
¿Cuáles son los apartados de los programas de Estudio?
¿En el Plan, Programa o libro consideran las actividades permanentes para Matemáticas?
__________________________________________________________________________
¿Menciona 5 Actividades permanentes para matemáticas que hayas puesto en práctica en tu aula?
¿Cuál es la utilidad que tienen las actividades permanentes de matemáticas?
De manera individual, revise la lectura de la información que se presenta en
relación al “¿Qué son las Actividades Permanentes?” y las sugerencias de
actividades que se plantean, comenten las ventajas y desventajas de su
puesta en práctica en el aula en plenaria.
1.
2.
3.
4.
5.
ACTIVIDAD 5. Algunas ideas, actividades y problemas
20 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
137
¿QUÉ SON LAS ACTIVIDADES PERMANENTES?
Son actividades breves que buscan el desarrollo de habilidades y nociones matemáticas de
los estudiantes
Las actividades permanentes se desarrollan de manera continua a lo largo del ciclo escolar y
se realizan de forma regular; no obstante, pueden variar durante el ciclo, repetirse, o ser
objeto de reelaboración, en función de las necesidades del grupo.
Durante el desarrollo de las sesiones de clases, el docente debe diseñar actividades
permanentes que le permitan modelar, orientar, revisar y adecuar los procesos de ir
fomentando el desarrollo del pensamiento matemático, propiciando la adquisición de
elementos que le permitan la reflexión sobre las matemáticas y que pueda considerarse de
forma integral.
Las actividades permanentes se desarrollan antes, durante y después de los trabajos que se
realizan dentro del aula, ya que son elementos complementarios que el docente desarrolla
cuando así lo considere necesario, en función del conocimiento que tenga de las
necesidades y desarrollo particular del grupo.
El docente selecciona el momento más adecuado para implementarlas, de acuerdo con las
necesidades de sus alumnos y de la etapa en que se encuentren respecto de la apropiación
del sistema de escritura. El tiempo destinado a una actividad permanente es de 15 a 20
minutos
Contribuyen, dependiendo del grado, a:
Comprender el sistema de numeración.
Generar espacios de reflexión y argumentación de procedimientos.
Incrementar las habilidades y nociones de Matemáticas
Fomentar el gusto por la asignatura La propuesta de matemáticas está basado en la idea de que los niños construyan y
desarrollen nociones y habilidades como resultado de muchas experiencias de aprendizaje
significativo y conectada entre sí. Los niños aprenden mejor matemáticas a través de
actividades prácticas que se basan en sus intereses y están relacionados con sus
experiencias.
ACTIVIDADES PERMANENTES SUGERIDAS:
Calendario matemático: Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)
Estimación y cálculo mental
El registro de asistencia (Habilidad para registrar información en una tabla)
La formación (habilidad para comparar longitudes y ubicación espacial)
Clasificación, comparación, igualación, seriación(figuras, numéricas)
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
138
Patrones
Lógica
Mandala (tapetes)
Tangram (construcción de figuras)
Cuadros mágicos
Juegos de mesa (Memorama, serpientes y escaleras etc.)
Adivina la figura (Descripción de características geométricas de figuras de forma oral)
El Diario de Clase (al final de las sesiones diarias)
.
Ventajas
Desventajas
En plenaria formen equipos de 6 integrantes, revisen y resuelvan las actividades permanentes que se plantean, socialicen sus resultados. Selecciona una y plantea una variante.
Calendario Matemático:
• Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)
ACTIVIDAD 6. Para compartir y cerrar
120 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
139
La Recta Numérica día tras día:
• Planteamiento y resolución de problemas (Noticias, clima, deportes etc.)
El uso de la Recta numérica día tras día permite que los alumnos vayan familiarizándose con
elementos como el orden, mayor que, menor que igual, identificando que los números
pueden representarse como puntos de una recta graduada. Y que esta forma gráfica facilita
la comparación y la resolución de las operaciones. Por ejemplo, los mayores siempre están a
la derecha y, para restar, podemos desplazarnos hacia la izquierda sobre la recta.
Para conocer un poco más sobre el Uso de la Recta Numérica
Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera:
- Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.
- Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios
números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la
derecha del 1, etcétera.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
140
- Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo:
ESTIMACIÓN Y CÁLCULO MENTAL. (¿Sumo, resto, multiplico o divido?)
¿Qué son el cálculo mental y la estimación?
Aunque ambos conceptos se meten a menudo en el
mismo saco, tienen algunas diferencias significativas.
Especialmente, el cálculo mental produce una
respuesta exacta, mientras que pueden existir muchas
estimaciones diferentes pero razonables para un
problema dado. Por ello, todo problema aritmético
puede ser estimado, pero sólo un subconjunto de
problemas cae dentro del campo de la capacidad de
muchos estudiantes para calcular mentalmente
Cálculo mental. El proceso de producir una
respuesta exacta sin ninguna ayuda
calculatoria externa.
Estimación. El proceso de producir una
respuesta suficientemente próxima como
para permitir tomar decisiones.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
141
¿Qué podemos hacer?
Adquirir el compromiso de dedicar tiempo a estos dos temas cada semana.
Hacer una lista de las estrategias de cálculo mental que uno mismo use y decidir
cuáles son más apropiadas para sus estudiantes. Hacer lo mismo con técnicas de
estimación
Animar a la discusión y al intercambio de estrategias. Por ejemplo, ¿cómo estimar el
precio de un lapicero si una caja de 24 cuesta 869 pesos?
Se debe considerar planteamientos de cantidades y medidas entre otros:
MEDIDA:
¿Por qué? ¿Por qué incluir en nuestra enseñanza la estimación de medidas?
Es práctico. Todos los días usamos la estimación para responder a preguntas como estas:
• ¿Cuánto tardaré en acabar este trabajo que tengo que hacer para mañana?
• ¿Cuánta fruta necesitaré comprar para este fin de semana?
RECOMENDACIONES:
1. Emplear cortas sesiones (de cinco a diez minutos) de instrucción y práctica como una
actividad de calentamiento.
2. No deje de lado los resultados más "descabellados". Al contrario, discuta en clase
aquellos que sean menos aproximados y los procedimientos de cálculo mental y
estimación que hayan dado lugar a ellos.
3. Acepte un intervalo como respuesta a las estimaciones. Estimule a que los alumnos
mismos ofrezcan un intervalo en su respuesta; por ejemplo, "esto pesa entre 5 y 8
kilos", "la distancia está entre 300 y 350 kilómetros".
4. Haga una lista de las situaciones cotidianas que requieren una estimación. Si los
estudiantes ven que la estimación es una destreza práctica, reconocerán la
Ventajas:
- El cálculo mental puede propiciar la recuperación de los saberes previos del alumno y
la construcción de una buena aproximación al resultado de un problema.
- Una buena estimación del orden de magnitud del número o números que dan solución
a un problema, puede servir al alumno como un elemento guía que le ayude a juzgar
necesidad de hacerse mejores
estimadores.
5. Los juegos son excelentes ocasiones
para practicar el cálculo mental y la
estimación cuyo desarrollo y cuyo
desenlace dependen de las
capacidades de cálculo y estimación de
los jugadores.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
142
sobre la pertinencia, plausibilidad o validez de los procedimientos o recursos utilizados
durante el proceso de solución del problema planteado.
- Porque es una actividad que agiliza la mente, que despierta los sentidos, que abre
posibilidades y caminos en otras situaciones problemáticas.
CUADROS MÁGICOS
El mundo de los cuadrados mágicos es muy interesante y apasiona a todos los que tenemos
cierta inclinación por lo números. Más allá de una curiosidad matemática, se presenta
también como un desafío para conseguir resolver esta especie de rompecabezas
matemático, obligándonos a pensar y a la vez nos ayuda a desarrollar nuestra capacidad de
razonamiento y abstracción.
El trabajo con cuadrados mágicos es muy adecuado para motivar al alumnado, ya que
proporciona actividades de tanteo, de cálculo mental y de operaciones básicas para resolver
de forma lúdica y divertida. Además, se presta al trabajo en equipo, permite el análisis de
regularidades y patrones, además de reforzar la autoestima de muchos alumnos y su
confianza en la capacidad de resolver problemas.
REGISTRO DE ASISTENCIA. (Habilidad para registrar información en una
tabla)
La lista de asistencia que manejan los
profesores es una herramienta para el reporte de
ausencias en el salón de clases, en Matemáticas
además de control, es de gran utilidad en la
elaboración de gráficas y tablas.
¿Qué es un Cuadrado Mágico?
Es una cuadrilla o cuadricula de forma cuadrada, y
como tal está dividida en celda cuadradas
menores, es decir es una grilla de n celdas
verticales por n celdas horizontales, en donde a n
se le llama Grado del Cuadrado. El cuadrado de
aquí abajo tiene grado 3 porque posee 3 celdas
verticales por 3 celdas horizontales.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
143
Algunos Cuadrados Mágicos
Comprobar si un Cuadrado es o no Mágico.
Completar un Cuadrado Mágico.
Cuadrados Mágicos Multiplicativos.
Confeccionar Cuadrados Mágicos aplicando fórmulas.
JUEGOS (Memoramas, serpientes y escaleras etc.)
3 5 1 0 8
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
144
Regletas
Modelo
Triangular
Cubos
Mágicos
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
145
¿Qué Actividades sugieres para utilizar estos juegos?
SUGERENCIA DE ACTIVIDADES:
“EL TESORO ESCONDIDO”
Los alumnos podrán encontrar un cuerpo geométrico escondido, siguiendo las indicaciones
de un compañero.
¿Cómo se hace?: El docente selecciona cuerpos geométricos que sirvan para ser escondidos. Se elige a tres niños:
- Un niño sale del salón.
- Un segundo niño esconde el objeto en el salón.
- Un tercer niño indica verbalmente que cuerpo geométrico debe encontrar y el recorrido que permita encontrar el objeto escondido.
Se le pide al niño que salió que regrese y se le da la siguiente consigna: “X te indicará un
camino para encontrar el objeto escondido.”
Qué se favorece en los alumnos:
- Comunicación y reproducción de trayectorias.
- Apropiación de un lenguaje que les permita nombrar y comunicar posiciones.
- Localización de puntos de referencia.
“LAS FORMAS GEOMÉTRICAS”
Actividad: “Descubriendo Formas”
Propósito: Reconocimiento de las formas geométricas y exposición de características.
Regletas
o
Modelo Triangular
o
Cubos Mágicos
o
ADIVINA LA FIGURA
¿Qué los hace iguales? ¿Qué los hace diferentes?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
146
Materiales: Formas geométricas, una bolsa, papel y lápices.
Desarrollo:
Se forman grupos de 5 alumnos.
Uno de los integrantes del grupo toma una forma de la bolsa y sin mostrarla expresa
sus características al resto de los grupos que deben adivinar cuál figura es y dibujarla
en un papel. El grupo que adivina gana un punto.
Pasan todos los grupos y gana quien obtuvo más puntos.
“ADIVINA QUIÉN SOY”
Propósito: Reconocer las características de las figuras de una manera divertida
Desarrollo: En el patio, dispersar a los alumnos por todo el espacio, un alumno describirá
una figura la cual los demás equipos formaran en el patio, Si algún niño queda fuera de una
figura el dará la característica de la siguiente figura.
“CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS”
Propósito: Utilización de las formas geométricas para crear y copiar figuras.
Materiales: formas geométricas e imágenes.
Desarrollo: Se entregan por mesa hojas de color. Se les pide a los niños que creen patrones para construir cuerpos geométricos.
“CÓRRELE QUE TE GANO”
Propósito: Reconocer características de figuras geométricas
Materiales: Formas Geométricas en color
Desarrollo:
- Organizar al grupo en equipos de 4 elementos
- Cada equipo dibujara una figura geométrica en color
- Un alumno leerá las características
- Los integrantes del equipo identificaran de qué figura se trata
- Y correrá a pegarla en el lugar que le corresponda
- El que pegue primero es el que obtiene un punto
- El que reúna la mayor cantidad de puntos es el equipo que gana
EL DIARIO DE CLASE (AL FINAL DE LAS SESIONES DIARIAS)
Propósito: Reflexionar sobre lo aprendido en la sesión de matemáticas se puede realizar a
través de un cuaderno individual o grupal, en donde los alumnos pueden ir anotando con
respuestas individuales lo que se trabajó en cada sesión; puede utilizarse también para las
otras asignaturas. El tiempo estimado es de: 10 minutos
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
147
Una guía de cuestionamientos que pueden utilizarse son:
¿Qué he aprendido en esta sesión?
¿Cómo lo he aprendido?
¿Para qué lo puedo utilizar lo que aprendí?
¿Qué ideas o aspectos aun no entiendo bien?
¿Qué me gusto de la sesión?
De manera individual, anota de manera breve en el recuadro una variante de
la actividad permanente que seleccionaste
En plenaria comenten la utilidad que pueden darle a las siguientes actividades.
1. El uso del tiempo en la escuela
2. Juegos tradicionales(Que les ayuden a contar o pensar matematicamente)
3. Recursos en el internet (Juegos y actividades de fortalecimiento)
4. A contar con números:
Contar cada dia de distinta forma y empezando desde un número distinto
Leer, escribir, comparar y representar números (nombres equivalentes para los
números, objetos manipulables, juegos, palabras o dibujos)
5. Operaciones Básicas:
Explorar la suma y la resta mediante la reflexion de su utilidad y a través de
actividades concretas
6. Representación de información
Recopilar, organizar, exhibir y analizar datos de la clase usando temas como;
tiempo, temperatura, encuestas, retoamando la descripcion de probabilidad de
eventos (seguro, imposible o poisble) o patrones y arreglos rectangulares.
ACTIVIDAD 7. Otras actividades para el diario
15 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
148
De manera individual lean las siguientes sugerencias y en plenaria comenten
su importancia para la enseñanza de las Matemáticas.
RINCONES DE TRABAJO
Permiten ser Espacios en el aula donde se cuenta con materiales y
recursos para realizar actividades creativas diversas. Entre los que se pueden
promover, se encuentran los siguientes
RINCÓN DE LA (MATEMÁTICA):
Concentrar regletas, geoplanos, material diverso para contar, para
agrupar, para seriar. Hacer una tiendita en la cual existan diversos artículos
con sus respectivos precios, los cuales se utilicen para vender y comprar y así de
esta manera realizar operaciones mentales, es decir, sumar y restar mediante la
compra de productos. También se pueden tener instrumentos de medición, figuras
geométricas, ábacos y otros materiales para el aprendizaje lúdico y reflexivo de las
matemáticas.
Hay muchas cosas sencillas que los maestros pueden hacer para promover el
desarrollo de las matemáticas en cada niño. El uso de estrategias, actividades y
juegos sencillos nos ofrece una gran oportunidad para que los maestros ayuden
a los niños a construir los conceptos matemáticos básicos. Un entorno
estimulante y un maestro dispuesto a ver la habilidad del niño para construir
conceptos matemáticos son de gran valor en la construcción de las matemáticas
en el niño.
ACTIVIDAD 8. Sugerencias de Organización del Aula de Clase
15 Min.
LA DISTRIBUCIÓN DEL AULA DE CLASE Y LA IMPORTANCIA DE SU AMBIENTACIÓN. La ambientación permite agradar el ambiente y motivar la enseñanza-aprendizaje de
los alumnos. el aula de clase debe ser uno de los espacios más a menos, grato y
cómodo para éstos; gran parte de la motivación y el éxito de un docente no se
representa mediante un discurso en clase, mediante un dictado o una lectura, puede
complementar todos esos elementos y muchos más; y plasmarlos en una buena
ambientación dentro de su aula.
El uso adecuado del espacio es uno de los elementos del mobiliario del aula, algunas
sugerencias de organización.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
149
TEMA 6: Herramientas para el aprendizaje de las Matemáticas
El presente apartado tiene como propósito central: que los docentes identifiquen,
manipulen e incorporen a su práctica docente las herramientas que se tienen a
disposición para facilitar los aprendizajes, desarrollar habilidades y competencias de
sus alumnos.
Este apartado está conformado por las siguientes secciones:
¿Qué contiene el saber matemático?
Un poco de historia en la formación docente
Las herramientas digitales.
Consultando bibliografía.
Juegos de patio y mesa.
Los cuales identificaremos mediante actividades prácticas para diversificar nuestra
práctica docente.
El trabajo que se ha observado a raíz de la instrumentación de RIEB (Reforma
Integral de la Educación Básica) en particular en la asignatura de matemáticas es
aceptable, sin embargo requiere que se fortalezcan saberes en el ámbito de lo
conceptual, metodológico y didáctico en los docentes.
De manera individual, en su cuaderno de notas den respuesta a los siguientes
cuestionamientos
ACTIVIDAD 1. ¿Qué contiene el saber matemático
45 Min.
¿Identificas la totalidad de los aprendizajes esperados en la asignatura de matemáticas?
¿Qué haces cuando alguno de los aprendizajes esperados no te es familiar o no lo
conoces?
¿Los colegas te han preguntado en algún momento cuando no identifica específicamente
los aprendizajes esperados en la asignatura de matemáticas?
¿Cómo afrontan el problema en el no dominio de los aprendizajes esperados en tu
escuela?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
150
En plenaria observen el video, “Amor matemático”, y disfrútalo. (Anexo 1,
sesión 6)
Analicen la letra y subrayen los términos matemáticos que en ella se utilizan y
escoge el que a tu criterio parezca poco común.
De manera individual lean el siguiente texto y en binas comenten su
contenido.
TÉRMINO:
__________________________________
Anota el concepto personal que tengas del
término que elegiste.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
_______________________________
Para concluir confirma o corrige tu concepto
indagando el significado en el glosario que
te proponemos en el anexo 2 de la sesión 6.
:___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
AMOR MATEMÁTICO
De la suma que tengo ante mi, Hago resta si me dices NO, Multiplico si me dices SI, Y divido si dudas mi amor.
Si en quebrados me brindas tus besos, sólo cero al cociente me da, y geométricamente te digo: Nuestras vidas serán paralelas.
El teorema se convierte en pena, y se eleva al cuadrado el dolor, más no olvides que la hipotenusa es la suma en catetos de amor.
Como ves, tengo ya el resultado que es un ciento por ciento el que te amo y sumando hasta los decimales, que me checan total para amarnos.
ACTIVIDAD 2. Un poco de historia en la formación docente
50 Min.
“Es así como la SEP establece un programa para elevar y mejorar la calidad de la
educación en México, ya no sólo haciendo reformas en los planes y programas de
estudio de las escuelas normales, sino también, con los maestros en servicio. Se
emprende en el año de 1995 la creación del Programa Nacional de Actualización
Permanente, (PRONAP), reconociendo que la actualización docente es un elemento
indispensable para mejorar la calidad de la educación, teniendo como componentes
centrales: programas de estudio, paquetes didácticos, centros de maestros, mecanismos
de evaluación y acreditación. Y se fijaron los propósitos que a continuación se
mencionan:
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
151
1. "El dominio de los conocimientos de las distintas disciplinas que son indispensables
para enseñar adecuadamente los contenidos de los planes y programas de estudio.
2. La comprensión de los enfoques y los contenidos de los Planes y programas de
estudio.
3. El dominio de los métodos de enseñanza y de los recursos educativos adecuados
al nivel escolar y los contenidos programáticos.
4. El trabajo colegiado para lograr la innovación y mejoramiento de la práctica
docente".[23]
Con estos puntos se puede notar que el PRONAP se encarga de proporcionar un servicio
de actualización para los profesores, atendiendo su formación continua mediante cursos
y talleres. Tiene como propósito central "atender con calidad, pertinencia y flexibilidad las
necesidades de actualización profesional de los docentes de educación preescolar,
primaria y secundaria y contribuir al mejoramiento de los resultados educativos de los
alumnos".[24] Es decir que en este programa se combinan la educación a distancia, el
aprendizaje en cursos, sesiones colectivas de estudio e intercambio de puntos de vista, y
además acciones individuales de los docentes en donde ponen en práctica las
estrategias aprendidas; funciona con dos modalidades:
1. Los Talleres Generales de Actualización (TGA) dirigidos a los maestros de
educación básica, se llevan a cabo durante todo el ciclo escolar y se sustenta en
guías que recibe cada profesor.
2. Los cursos nacionales de actualización, son una opción que tienen un carácter
voluntario, para que los maestros renueven sus conocimientos disciplinarios,
conozcan los enfoques en que están basados los contenidos, y transformen esos
enfoques en contenidos específicos en clase.
La creación del PRONAP como programa de actualización encuentra su sustento en la
elaboración del Plan Nacional de Desarrollo 1995-2000, siendo Presidente Ernesto
Zedillo Ponce de León, donde se establece que los maestros desarrollen sus
capacidades profesionales, se actualicen en los enfoques y contenidos de los nuevos
programas de estudios, como se establece en el PND, en el punto 3.3, titulado: “La
formación, actualización y superación de maestros y directivos”, en el que se señala:
"La actividad más amplia ha de concentrarse en la operación de un programa de
actualización destinado al personal en servicio de los tres niveles de educación
básica, la función inicial del programa será la de facilitar el conocimiento de los
contenidos y enfoques de los nuevos planes de estudio, así como de promover la
utilización de los nuevos métodos, formas y recursos didácticos congruentes con los
propósitos formativos del currículum." [27]
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos96/actualizacion-docente-mexico-marco-
historico/actualizacion-docente-mexico-marco-historico.shtml#ixzz2qafy0jUq
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
152
De los CURSOS NACIONALES iniciales que se ofertaron fueron dos específicos
para la asignatura:
EXPLOREMOS UN POCO… De los siguientes problemas elige uno y resuélvelo,
comenta: ¿Cómo lo hiciste?, ¿Qué estrategia utilizaste? y descríbelo
brevemente en el espacio de hipótesis.
HIPÓTESIS:
Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2 Pag. 20, SEP
Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2, Pag. 24, SEP
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
153
En el anexo 3 de la sesión 6, encontrarás el folleto “PROBLEMAS MATEMÁTICOS” en el
cual se recuperan los 74 planteamientos que contienen ambos cursos, recuerda que cada
reto implica el desarrollo de las habilidades matemáticas, lo cual nunca perderán vigencia.
En el Curso Nacional se proponen temáticas que enriquecerán tu práctica docente y
mejoraran el tratamiento metodológico de los aprendizajes esperados que hoy en el Plan y
Programas se plantean.
En el apartado de anexos de la sección 6, encontrarás digitalizados los libros y la antología
de lecturas de estos dos Cursos Nacionales.
LOS FICHEROS DIDÁCTICOS
Otro de los materiales que es indispensable revisar para fortalecer la práctica docente
conservando la orientación didáctica del enfoque vigente, son los FICHEROS DIDÁCTICOS de la
asignatura de matemáticas, pues en ellos encontrarás actividades como la siguiente:
de cambio, La predicción y el azar.
Enseñanza de las MATEMÁTICAS en la escuela primaria, parte 2 Pag. 46 SEP
HIPÓTESIS:
Los ficheros están diseñados por grado y los ejes que se desarrollan son: Los números, sus relaciones y sus operaciones, medición, geometría, tratamiento de la información, procesos de cambio, la predicción y el azar.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
154
Estas fichas permitirán que con tu creatividad las incorpores de manera racional y fortalezcan
tu trabajo diario, sobre todo te permitirá diversificar las estrategias para el desarrollo de
habilidades y competencias matemáticas. (Anexo 4, Sesión 6).
Actualmente se cuenta con un sinfín de recursos, sobre todo de carácter electrónico
con los cuales los alumnos tienen contacto a diario, rebasando en mucho a los
docentes por lo cual se requiere que iniciemos con procesos de identificación y el
uso racional de las tecnologías, principalmente tener claridad que sólo son
herramientas que favorecen ciertas habilidades y que el trabajo “informado” de los
docentes en el aula y la interacción con los alumnos, enriquecerán los resultados.
De manera individual en tu cuaderno de notas, da respuesta a los siguientes
cuestionamientos:
Organizados en 7 equipos, realicen la siguiente lectura y comenten su
contenido.
ACTIVIDAD 3. Las Herramientas Digitales
70 Min.
¿Actualmente en qué aspectos de la vida diaria se utilizan las computadoras?
¿Cuál ha sido el impacto del uso de las tecnologías de la comunicación en
nuestra vida diaria?
¿Las calculadoras facilitan o dificultan el razonamiento matemático?
¿De qué manera se han incorporado las nuevas tecnologías en el aula?
LAS NUEVAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y DE LA COMUNICACIÓN
Las nuevas Tecnologías de la Información y de la Comunicación han evolucionado
espectacularmente en los últimos años, debido especialmente a su capacidad de interconexión a través de la Red. Esta nueva fase de desarrollo va a tener gran impacto en la organización de la enseñanza y el proceso de aprendizaje. La acomodación del entorno educativo a este nuevo potencial y la adecuada utilización didáctica del mismo supone un reto sin precedentes. Se han de conocer los límites y los peligros que las nuevas tecnologías plantean a la educación y reflexionar sobre el nuevo modelo de
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
155
sociedad que surge de esta tecnología y sus consecuencias.
1. LA REVOLUCIÓN DIGITAL
Nadie duda ya de que la llegada de las tecnologías de la información y comunicación
ha supuesto una revolución tan importante como la que provocó la invención de la
escritura o de la imprenta. Pero mientras que los grandes descubrimientos que han
marcado la evolución de las civilizaciones se espaciaron en el tiempo, la revolución actual
se ha producido en muy poco espacio de tiempo, ha invadido todos los sectores de la
vida social y está en vías de modificar las bases de la economía.
A la base de la revolución digital se encuentran tres grandes áreas: la electrónica, la
digitalización y las telecomunicaciones. La electrónica propició en una fase preliminar el
desarrollo de aplicaciones analógicas: teléfono, radio, televisión, registros magnéticos de
audio y video, fax, etc. La digitalización ha proporcionado un sistema más abstracto y
artificial de representación de la información, ya sea texto, imagen, audio o vídeo, que
mejora los sistemas de almacenamiento, manipulación y transmisión a la vez que facilita
el desarrollo de soportes lógicos para interactuar con las máquinas. Finalmente las
telecomunicaciones han dado a lo anterior la capacidad de interconexión.
El paradigma de las nuevas tecnologías son las redes informáticas. Los ordenadores,
aislados, nos ofrecen una gran cantidad de posibilidades, pero conectados incrementan
su funcionalidad en varios órdenes de magnitud. Formando redes, los ordenadores no
sólo sirven para procesar información almacenada en soportes físicos (disco duro,
disquetes, CD ROM, etc.) en cualquier formato digital, sino también como herramienta
para acceder a información, a recursos y servicios prestados por ordenadores remotos,
como sistema de publicación y difusión de la información y como medio de comunicación
entre seres humanos. Todo ello ha hecho de Internet un fenómeno con el que es preciso
contar a partir de ahora en todas las esferas de la actividad humana, incluida la
educación.
Las consecuencias de estos avances están provocando continuas transformaciones
en nuestras estructuras económicas, sociales y culturales. Su gran impacto en todos los
ámbitos de nuestra vida hace difícil que podamos actuar eficientemente prescindiendo de
ellas: el mundo laboral, la sanidad, la gestión económica o burocrática, el diseño industrial
o artístico, la comunicación interpersonal, la información, la calidad de vida o la
educación.
2. LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO
Las innovaciones tecnológicas han proporcionado a la humanidad canales nuevos de
comunicación e inmensas fuentes de información que difunden modelos de
comportamiento social, actitudes, valores, formas de organización, etc. Hemos pasado de una situación donde la información era un bien escaso a otra en donde la información es
tremendamente abundante, incluso excesiva. Vivimos inmersos en la llamada “sociedad
de la información”.
El nuevo orden informático se ha convertido en motor del cambio social. La economía
y la cultura se han globalizado. En la sociedad que emerge de la era digital el
conocimiento y la información adquieren un valor creciente. Los trabajadores del
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
156
conocimiento empiezan a dominar el mercado laboral. Los incrementos de productividad
de las organizaciones se basan en la mejora del saber, en la innovación permanente del
conocimiento aplicado utilizando tecnologías, cada vez más potentes. Así, el capital
intelectual se convierte en el nuevo activo para la riqueza de las organizaciones y la
gestión de ese conocimiento en una de sus actividades fundamentales.
Sin embargo no todos participan de los avances económicos y culturales. El acceso a
las tecnologías y a la información está creando una brecha digital entre quienes pueden
acceder y quienes quedan excluidos. El “Libro blanco sobre la educación y formación”
(Comisión Europea, 1995) afirma que la sociedad del futuro será una sociedad del
conocimiento y que, en dicha sociedad, la educación y formación serán, más que nunca,
los principales vectores de identificación, pertenencia y promoción social. A través de la
educación y la formación, adquiridas en el sistema educativo institucional, en la empresa,
o de una manera más informal, los individuos serán dueños de su destino y garantizará
su desarrollo. La cultura de los pueblos determinará su nivel económico.
Partiendo de esta realidad, la Comisión Europea ha elaborado una Estrategia de
Empleo que parte de una concepción de la economía basada en el conocimiento. Las
líneas fundamentales de actuación pretenden digitalizar Europa y desarrollar tecnologías
de futuro. Estos planes de diseño de la futura economía del conocimiento e se han
recogido en los programas e-Europa 2005 y e-Learning.
Las principales actuaciones de eLearning son: equipamiento de banda ancha en las
escuelas, creación de la red de investigación GEANT (mejora del proceso de aprendizaje,
difusión de materiales curriculares, acceso a recursos y servicios, identificación de
nuevos materiales), implantación de las escuelas del futuro mediante la red de escuelas
europeas y la difusión de recursos multimedia entre profesores y otros proyectos
específicos para las universidades como el Metacampus o el proyecto Ariadne. El
proyecto e-Europa tiene como principales elementos: Internet para investigadores y
estudiantes, empleo en la sociedad del conocimiento, alfabetización digital (capacitar,
mediante estos recursos, para el trabajo cooperativo, multidisciplinar, comunicación
intercultural, resolución de problemas), correo electrónico y contenidos europeos de redes
globales.
3. LA SOCIEDAD DEL CONOCIMIENTO Y LA EDUCACIÓN
El impacto de las nuevas tecnologías y las exigencias de la nueva sociedad se están
dejando sentir de manera creciente en el mundo de la educación. La educación está
pasando de ser un servicio secundario a constituirse en la fuerza directiva del desarrollo
económico y social.
La sociedad del conocimiento necesita nuevos trabajadores y ciudadanos. Estos han
de ser autónomos, emprendedores, trabajadores creativos, ciudadanos solidarios y
socialmente activos. Se impone un cambio radical en el mundo de la educación y
formación dado que se exige un mayor papel de los estudiantes individuales. El mercado
laboral necesita cada vez más trabajadores flexibles y autónomos. Todo lo cual está
promoviendo el concepto de “aprendizaje a lo largo de la vida” y la necesidad de
integración entre los sistemas educativos y formativos.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
157
El aprendizaje a lo largo de la vida no solo trata de ofrecer más oportunidades de
formación sino también de generar una conciencia y motivación para aprender. Requiere
de un estudiante que tome parte activa en el aprendizaje, que sepa aprender en
multiplicidad de entornos, que sepa personalizar el aprendizaje y que construya con base
a las necesidades específicas. Educar ya no es empaquetar los contenidos del
aprendizaje y ponerlos al alcance de los alumnos sino capacitarles para la experiencia del
aprendizaje.
Por otro lado hay una tendencia creciente hacia la desinstitucionalización y
comercialización de la educación. La identificación del “e-learning” o aprendizaje a través
de Internet como un área propicia para el desarrollo del mercado está atrayendo nuevos
inversores. Cada vez más se considera el mercado educación-entretenimiento como un
sector prometedor. Nuevas iniciativas educativas dirigidas van apareciendo de la mano
de museos, biblioteca y otras instituciones no propiamente educativas. Finalmente el
mercado se llena de nuevos centros de enseñanza y portales educativos con iniciativas
de formación continuada. La educación está adquiriendo un puesto de gran importancia
en el desarrollo y consolidación de la nueva sociedad.
4. TIC Y EDUCACIÓN
El sistema educativo no puede quedar al margen de los nuevos cambios. Debe
atender a la formación de los nuevos ciudadanos y la incorporación de las nuevas
tecnologías ha de hacerse con la perspectiva de favorecer los aprendizajes y facilitar los
medios que sustenten el desarrollo de los conocimientos y de las competencias
necesarias para la inserción social y profesional de cualidad. Debe también evitar que la
brecha digital genere capas de marginación como resultado de la alfabetización digital.
El saber está omnipresente en la sociedad actual, sin embargo la educación no puede
sucumbir a este abuso. No debe confundirse saber e información. Las nuevas tecnologías
dan acceso a una gran cantidad de información, que no ha de confundirse con el saber.
Para que la información devenga en conocimientos el individuo debe apropiársela y
reconstruir sus conocimientos. Por esta razón lo primero que debe hacerse explícito es
que la incorporación de las nuevas tecnologías en la educación no ha de eludir la noción
de esfuerzo. Los nuevos recursos informáticos pueden contribuir al desarrollo de las
capacidades cognitivas de los ciudadanos, pero nunca en ausencia del esfuerzo
personal.
Las tecnologías constituyen un medio como jamás haya existido que ofrece un acceso
instantáneo a la información. A cada uno le toca enriquecer y construir su saber a partir
de esa información y a la educación proporcionar las bases para que esto se produzca.
Para que estas tecnologías estén verdaderamente al servicio de la enseñanza y del
aprendizaje y contribuyan a la formación de los ciudadanos y los trabajadores que
necesita esta sociedad, tal penetración tecnológica debe estar acompañada de una
evolución pedagógica. Las nuevas tecnologías exigen un cambio de rol en el profesor y
en el alumno. El profesor no puede seguir ejerciendo sus funciones tradicionales
discursivas a la hora de instruir al alumno.
Las tecnologías de la información y de la comunicación han sido incorporadas al
proceso educativo desde hace unos años. Aún no existen estudios concluyentes que
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
158
permitan afirmar que la utilización de los medios informáticos en la educación ha servido
para mejorar los resultados académicos, sin embargo a menudo se refieren a las
transformaciones obtenidas en el modo de hacer. Se ha observado que las tecnologías
de la información suscitan la colaboración en los alumnos, les ayuda a centrarse en los
aprendizajes, mejoran la motivación y el interés, favorecen el espíritu de búsqueda,
promueven la integración y estimulan el desarrollo de ciertas habilidades intelectuales
tales como el razonamiento, la resolución de problemas, la creatividad y la capacidad de
aprender a aprender. Para los profesores las tecnologías informáticas han servido hasta
ahora para facilitar la búsqueda de material didáctico, contribuir a la colaboración con
otros enseñantes e incitar a la planificación de las actividades de aprendizaje de acuerdo
con las características de la tecnología utilizada.
Estas transformaciones observadas en los procesos de enseñanza y aprendizaje se
sitúan en la línea de las teorías constructivistas que preconizan estrategias de
aprendizaje que hagan de los alumnos elementos activos y dinámicos en la construcción
del saber.
Las barreras del espacio y del tiempo en la relación profesor-alumno y alumno-
escuela también se están viendo afectadas. La omnipresencia de la información libera la
elección de los tiempos y espacios para el aprendizaje. Aunque una parte de la población
escolar no tiene las facultades necesarias para ejercer esta elección, sin embargo es una
característica que beneficia el desarrollo de formas de aprendizaje en la educación a
distancia, la educación de adultos y en las aulas hospitalarias o asistencia a enfermos.
5. USO DE LAS TIC EN EDUCACIÓN
Las nuevas tecnologías pueden emplearse en el sistema educativo de tres maneras
distintas: como objeto de aprendizaje, como medio para aprender y como apoyo al
aprendizaje.
En el estado actual de cosas es normal considerar las nuevas tecnologías como
objeto de aprendizaje en sí mismo. Permite que los alumnos se familiaricen con el
ordenador y adquieran las competencias necesarias para hacer del mismo un instrumento
útil a lo largo de los estudios, en el mundo del trabajo o en la formación continua cuando
sean adultos.
Se consideran que las tecnologías son utilizadas como un medio de aprendizaje
cuando es una herramienta al servicio de la formación a distancia, no presencial y del
autoaprendizaje o son ejercicios de repetición, cursos en línea a través de Internet, de
videoconferencia, cederoms, programas de simulación o de ejercicios, etc. Este
procedimiento se enmarca dentro de la enseñanza tradicional como complemento o
enriquecimiento de los contenidos presentados.
Pero donde las nuevas tecnologías encuentran su verdadero sitio en la enseñanza es
como apoyo al aprendizaje. Las tecnologías así entendidas se hayan pedagógicamente
integradas en el proceso de aprendizaje, tienen su sitio en el aula, responden a unas
necesidades de formación más proactivas y son empleadas de forma cotidiana. La
integración pedagógica de las tecnologías difiere de la formación en las tecnologías y se
enmarca en una perspectiva de formación continua y de evolución personal y profesional
como un “saber aprender”.
La búsqueda y el tratamiento de la información inherente a estos objetivos de formación
constituyen la piedra angular de tales estrategias y representan actualmente uno de los
componentes de base para una utilización eficaz y clara de Internet ya sea en el medio
escolar como en la vida privada. Para cada uno de estos elementos mencionados, las
nuevas tecnologías, sobre todos las situadas en red, constituyen una fuente que permite
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
159
Conservando los mismos equipos analicen las siguientes fichas y completen
los esquemas que se presentan, y si existe la posibilidad de que accedas a
internet, exploren los sitios propuestos y completen con la información de una
de ellas la siguiente ficha de análisis:
EQUIPO 1:
Podrán utilizarse las nuevas tecnologías, pero se seguirá inmerso en la pedagogía
tradicional si no se ha variado la postura de que el profesor tiene la respuesta y se pide al
alumno que la reproduzca. En una sociedad en la que la información ocupa un lugar tan
importante es preciso cambiar de pedagogía y considerar que el alumno inteligente es el
que sabe hacer preguntas y es capaz de decir cómo se responde a esas cuestiones. La
integración de las tecnologías así entendidas sabe pasar de estrategias de enseñanza a
estrategias de aprendizaje.
José Ramón Gómez, 2004
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
160
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
161
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
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EQUIPO 2
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
163
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
164
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
EQUIPO 3:
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165
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
166
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
167
EQUIPO 4
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
168
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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EQUIPO 5
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
170
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
171
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
EQUIPO 6
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Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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EQUIPO 7
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
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Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
176
DIRECCIÓN ELECTRÓNICA DEL SITIO: CONTENIDO GENERAL DE LA PÁGINA PRINCIPAL:
Información o contenidos específicos: Habilidad matemática o competencia que favorecería.
Grado escolar en que se utilizaría: Aprendizajes esperados que favorece.
¿De qué manera la incorporarías en el aula?
En el anexo 5 de la sesión 6, encontrarás una presentación de Power Point, denominada
“Direcciones electrónicas y ejemplos”, otra más de “Herramientas Digitales” en PDF.
Actualmente se cuenta con un sinfín de recursos, sobre todo de carácter electrónico
¡AVISO!
En los sueños, todo es diferente al colegio o a la ciencia. Cuando
Robert y el diablo de los números hablan, se expresan a veces de
forma bastante extraña.
Tampoco esto es sorprendente, pues El diablo de los números es
precisamente una extraña historia.
ACTIVIDAD 4. Consultando Bibliografía
45 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
177
¡Pero no creáis que todo el mundo entienda las palabras que ambos utilizan! Vuestro
profesor de Matemáticas, por ejemplo, o vuestros padres. Si les decís saltar o rábano, no
entenderán qué quiere decir. Entre los adultos se habla de otra forma: en vez de saltar se
dice elevar al cuadrado o elevar a la potencia y en lugar de rábano escriben raíz en la
pizarra. Los números de primera se llaman en la clase de Matemáticas números primos, y
vuestro profesor jamás dirá ¡Cinco pum!, porque para eso tiene una expresión extranjera que
es facultad de cinco.
En los sueños no existen estas expresiones especializadas. Nadie sueña con palabras
extranjeras. Así que cuando el diablo de los números habla en imágenes y hace saltar los
números en vez de elevarlos a potencias, no es sólo cosa de niños: en sueños, todos
hacemos lo que queremos.
Pero en la clase uno no se duerme, y raras veces sueña. Por eso vuestro profesor tiene
razón cuando se expresa como todos los matemáticos del mundo. Por favor, dejaos orientar
por él, porque de lo contrario podría haber enfados en el colegio.
¿Cuál es tu opinión?
INTRODUCCIÓN
A Robert no le gustan las Matemáticas, como sucede a muchas personas, porque no las
acaba de entender.
Pero una noche él sueña con un diablillo que pretende iniciarle en la ciencia de los
números. Naturalmente, Robert piensa que es otra de sus frecuentes pesadillas, pero en
realidad es el comienzo de un recorrido nuevo y apasionante a través del mundo de las
Matemáticas.
¿No es extraño hallar siempre secuencias numéricas por la simple multiplicación de los
unos?
1 x 1 = 1
11 x 11=121
111111 x 111111 = 12345654321
Y así en adelante.
Y esto es sólo la operación más sencilla. Durante doce noches, Robert sueña sistemas
numéricos cada vez más increíbles.
De pronto, los números cobran vida por sí mismos, una vida misteriosa que ni siquiera el
diablo puede explicar del todo. Nunca las Matemáticas habían sido algo tan fascinante.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
178
Pronto, el diablo le hará abandonar los tópicos escolares y hará que acceda a niveles
superiores: ¡y aun así, los entiende!
Y el joven lector también. Los números, cada página que pasa, se van volviendo cada vez
más absorbentes. Es como magia, y Robert quiere saber más y más hasta que, al fin, el
diablo le hace comprender que algunos problemas y paradojas pertenecen a las altas
esferas de la ciencia.
CAPÍTULO 1
La primera noche
Hacía mucho que Robert estaba harto de soñar.
Se decía: Siempre me toca hacer el papel de tonto.
Por ejemplo, en sueños le ocurría a menudo ser tragado por un pez gigantesco y
desagradable, y cuando estaba a punto de ocurrir llegaba a su nariz un olor terrible.
O se deslizaba cada vez más hondo por un interminable tobogán. Ya podía gritar cuanto
quisiera ¡Alto! o ¡Socorro!, bajaba más y más rápido, hasta despertar bañado en sudor.
A Robert le jugaban otra mala pasada cuando ansiaba mucho algo, por ejemplo una bici
de carreras con por lo menos veintiocho marchas. Entonces soñaba que la bici, pintada
en color lila metálico, estaba esperándolo en el sótano. Era un sueño de increíble
exactitud. Ahí estaba la bici, a la izquierda del botellero, y él sabía incluso la combinación
del candado: 12345. ¡Recordarla era un juego de niños! En mitad de la noche Robert se
despertaba, cogía medio dormido la llave de su estante, bajaba, en pijama y
tambaleándose, los cuatro escalones y... ¿qué encontraba a la izquierda del botellero?
Un ratón muerto. ¡Era una estafa! Un truco de lo más miserable.
Con el tiempo, Robert descubrió cómo defenderse de tales maldades. En cuanto le venía
un mal sueño pensaba a toda prisa, sin despertar: Ahí está otra vez este viejo y
nauseabundo pescado. Sé muy bien qué va a pasar ahora. Quiere engullirme.
Pero está clarísimo que se trata de un pez soñado que, naturalmente, sólo puede
tragarme en sueños, nada más.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
179
O pensaba: Ya vuelvo a escurrirme por el tobogán, no hay nada que hacer, no puedo
parar de ningún modo, pero no estoy bajando de verdad. Y en cuanto aparecía de nuevo
la maravillosa bici de carreras, o un juego para ordenador que quería tener a toda costa -
ahí estaba, bien visible, a su alcance, al lado del teléfono- , Robert sabía que otra vez era
puro engaño. No volvió a prestar atención a la bici.
Simplemente la dejaba allí. Pero, por mucha astucia que le echara, todo aquello seguía
siendo bastante molesto, y por eso no había quien le hablara de sus sueños.
Hasta que un día apareció el diablo de los números.
Robert vio a un señor bastante mayor, más o menos del tamaño de un saltamontes, que
se columpiaba en una hoja de acedera y le miraba con ojos relucientes.
Robert se alegró de no soñar esta vez con un pez hambriento, y de no deslizarse por un
interminable tobogán desde una torre muy alta y muy vacilante.
En su lugar, soñó con una pradera. Lo curioso es que la hierba era altísima, tan alta que a
Robert le llegaba al hombro y a veces hasta la cabeza.
Miró a su alrededor y vio, justo delante de él, a un señor bastante viejo, bastante bajito,
más o menos como un saltamontes, que se mecía sobre una hoja de acedera y le miraba
con ojos brillantes.
-¿Quién eres tú? -preguntó Robert.
El hombre le gritó, sorprendentemente alto: -¡Soy el diablo de los números! Pero Robert
no estaba de humor para aguantarle nada a semejante enano.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
180
-En primer lugar -dijo-, no hay ningún diablo de los números.
-¿Ah, no? ¿Entonces por qué estás hablando conmigo, si ni siquiera existo? -Y en
segundo lugar, odio todo lo que tiene que ver con las matemáticas.
-¿Por qué? -«Si dos panaderos hacen 444 trenzas en seis horas, ¿cuánto tiempo
necesitarán cinco panaderos para hacer 88 trenzas?» Qué idiotez –siguió despotricando
Robert-. Una forma idiota de matar el tiempo. Así que ¡esfúmate!
¡Largo! El diablo de los números se bajó con un elegante salto de su hoja de acedera y se
sentó al lado de Robert, que en protesta se había sentado entre la hierba, alta como un
árbol.
-¿De dónde te has sacado esa historia de las trenzas? Seguro que del colegio.
-¡Y de dónde si no! -dijo Robert-. El señor Bockel, ese principiante que nos da
Matemáticas, siempre tiene hambre, a pesar de estar tan gordo.
Cuando cree que no le vemos porque estamos haciendo los deberes, saca una trenza de
su maletín y se la devora mientras nosotros hacemos cuentas.
-¡Vaya! -exclamó el diablo de los números, sonriendo con sorna-. No quiero decir nada en
contra de tu profesor, pero la verdad es que eso no tiene nada que ver con las
matemáticas. ¿Sabes una cosa? La mayoría de los verdaderos matemáticos no sabe
hacer cuentas. Además, les da pena perder el tiempo haciéndolas, para eso están las
calculadoras. ¿No tienes una? -Sí, pero en el colegio no nos dejan usarla.
-¡Ajá! -dijo el diablo de los números-. No importa.
No hay nada que objetar a un poco de práctica con las tablas. Puede ser muy útil si uno
se queda sin pilas. ¡Pero las Matemáticas, ratoncito, eso es muy diferente! -
Sólo quieres que cambie de idea -dijo Robert-.
No te creo. Si me agobias en sueños con deberes, gritaré. ¡Eso se llama malos tratos a
menores! -Si hubiera sabido que eres tan cobardita -dijo el diablo de los números-, no
habría venido. Al fin y al cabo, no quiero más que charlar contigo un poco. La mayoría de
las veces estoy libre por las noches, así que pensé: Pásate a ver a Robert, seguro que
está harto de bajar siempre el mismo tobogán.
-Cierto.
-¿Lo ves? -Pero no voy a dejar que me tomes el pelo -gritó Robert-. Que no se te olvide.
Pero entonces el diablo de los números se puso en pie de un salto, y de repente ya no
era tan bajito.
-¡Así no se le habla a un diablo! -gritó.
Pateó la hierba hasta que quedó aplastada en el suelo, y sus ojos echaban chispas.
-Perdón -murmuró Robert.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
181
Todo aquello estaba empezando a resultarle un poco inquietante.
-Si es tan sencillo hablar de Matemáticas como de películas o de bicicletas, ¿para qué se
necesita un diablo? -Por eso mismo, querido -respondió el anciano-: Lo diabólico de los
números es lo sencillos que son. En el fondo ni siquiera necesitas una calculadora.
Para empezar, sólo necesitas una cosa: el uno. Con él puedes hacerlo casi todo. Por
ejemplo, si te dan miedo las cifras grandes, digamos...cinco millones setecientos
veintitrés mil ochocientos doce, empieza simplemente así: y sigue hasta que hayas
llegado a los cinco millones etcétera. ¡No dirás que es demasiado complicado para ti! Eso
puede entenderlo hasta el más idiota, ¿no?
-Sí -dijo Robert.
-Y eso aún no es todo -prosiguió el diablo de los números. Ahora tenía en la mano un
bastón de paseo con empuñadura de plata, y lo agitaba delante de las narices de Robert-.
Cuando hayas llegado a cinco millones etcétera, simplemente sigues contando. Verás
que sigues hasta el infinito.
Porque hay infinitos números.
Robert no sabía si creérselo.
-¿Cómo lo sabes? -preguntó-, ¿Has probado a hacerlo? -No, no lo he hecho. En primer
lugar llevaría demasiado tiempo, y en segundo lugar es superfluo.
Robert se quedó igual que estaba.
-O puedo contar hasta llegar allí, y entonces no es infinito -objetó-, o si es infinito no
puedo contar hasta allí.
-¡Mal! -gritó el diablo de los números. Su bigote temblaba, se puso rojo, su cabeza se
hinchó de rabia y se hizo más y más grande.
-¿Mal? ¿Por qué mal? -preguntó Robert.
-¡Necio! ¿Cuántos chicles crees que se han comido hoy en todo el mundo? -No lo sé.
-Más o menos.
-Muchísimos -respondió Robert-. Sólo con Albert, Bettina y Charlie, con los de mi clase,
con los que se han comido en la ciudad, en toda Alemania, en América... miles de
millones.
-Por lo menos -dijo el diablo de los números-.
Bien, supongamos que hemos llegado al último de los chicles. ¿Qué hago entonces?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
182
Sacó otro del bolsillo, y ya tenemos el número de todos los consumidos más uno..., el
siguiente. ¿Comprendes? No hace falta contar los chicles. Simplemente saber cómo
seguir. No necesitas más.
Robert reflexionó un momento. Luego, tuvo que admitir que el diablo de los números
tenía razón.
-También se puede hacer al revés -añadió el anciano.
-¿Al revés? ¿Qué quieres decir con al revés? -Bueno, Robert -el anciano volvía a sonreír-
no sólo hay números infinitamente grandes, sino también infinitamente pequeños. Y
además, infinitos de ellos.
Al decir estas palabras, el tipo agitó su bastón ante el rostro de Robert como si de una
hélice se tratara.
Se marea uno, pensó Robert. Era la misma sensación que en el tobogán por el que con
tanta frecuencia se había deslizado.
-¡Basta! -gritó.
-¿Por qué te pones tan nervioso, Robert? Es algo enteramente inofensivo. Mira, sacaré
otro chicle.
Aquí está...
De hecho, sacó del bolsillo un auténtico chicle.
Sólo que era tan grande como la balda de una estantería, que tenía un aspecto
sospechosamente lila y que estaba duro como una piedra.
-¿Eso es un chicle? -Un chicle soñado -dijo el diablo de los números-.
Lo compartiré contigo. Presta atención. Hasta ahora está entero. Es mi chicle. Una
persona, un chicle.
Puso un trozo de tiza, de aspecto sospechosamente lila, en la punta de su bastón y
prosiguió: -Esto se escribe así:
Dibujó los dos unos directamente en el aire, como hacen los aviones-anuncio que
escriben mensajes en el cielo. La escritura lila flotó sobre el fondo de las nubes blancas, y
sólo poco a poco se fue fundiendo como un helado de mora.
Robert miró hacia lo alto.
-¡Alucinante! -dijo-. Un bastón así me haría falta.
-No es nada especial. Con esto escribo en todas partes: nubes, paredes, pantallas.
No necesito cuadernos ni maletín. ¡Pero no estamos hablando de eso! Mira el chicle.
Ahora lo parto, cada uno de nosotros tiene una mitad. Un chicle, dos personas. El chicle
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
183
va arriba y las personas abajo:
Y ahora, naturalmente, los otros de tu clase también querrán su parte.
-Albert y Bettina -dijo Robert.
-Me da lo mismo. Albert se dirige a ti y Bettina a mí, y ambos tenemos que repartir.
Cada uno recibe un cuarto:
Naturalmente, con esto falta mucho para que hayamos terminado. Cada vez viene más
gente que quiere algo. Primero los de tu clase, luego todo el colegio, toda la ciudad. Cada
uno de nosotros cuatro tiene que dar la mitad de su cuarta parte, y luego la mitad de la
mitad y la mitad de la mitad de la mitad, etcétera.
-Y así hasta el aburrimiento -dijo Robert.
-Hasta que los trozos de chicle se vuelven tan pequeños que ya no se pueden ver a
simple vista.
Pero eso no importa. Seguimos dividiéndolos hasta que cada una de las seis mil millones
de personas que hay en la Tierra tenga su parte. Y luego vienen los seiscientos mil
millones de ratones, que también quieren lo suyo. Te darás cuenta de que de ese modo
nunca llegaríamos al final.
El anciano había escrito en el cielo, con su bastón, cada vez más unos de color lila bajo
una raya lila infinitamente larga.
-¡Vas a pintarrajear el mundo entero! -exclamó Robert.
-¡Ah! -gritó el diablo de los números hinchándose cada vez más-. ¡Sólo lo hago por ti!
Eres tú el que tiene miedo a las matemáticas y quiere que todo sea lo más fácil posible
para no confundirse.
-Pero, a la larga, estar todo el tiempo utilizando unos es una verdadera lata. Además es
bastante trabajoso -se atrevió a objetar Robert.
-¿Ves? -dijo el anciano, borrando descuidadamente el cielo con la mano hasta que
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
184
desaparecieron todos los unos-. Naturalmente, sería mucho más práctico que se nos
ocurriera algo mejor que sólo 1 + 1 + 1 + 1... Por ese motivo inventé todos los demás
números.
-¿Tú? ¿Dices que tú has inventado los números? Perdona, pero eso sí que no me lo
creo.
-Bueno -dijo el anciano-, yo o algunos otros.
Da igual quién fue. ¿Por qué eres tan desconfiado? Si quieres, no me importa enseñarte
cómo se hacen todos los demás números a partir del uno.
-¿Y cómo es eso?
-Muy fácil. Lo hago así:
-El siguiente es:
-Probablemente para esto necesitarás tu calculadora.
-Tonterías -dijo Robert-:
-¿Ves? -dijo el diablo de los números-, ya has hecho un dos, sólo con unos. Y ahora por
favor dime cuánto es:
-Eso es demasiado -protestó Robert-. No puedo calcularlo de memoria.
-Entonces, coge tu calculadora.
-¿Y de dónde la saco? Uno no se trae la calculadora a los sueños.
-Entonces coge ésta -dijo el diablo de los números, y le puso una en la mano. Tenía un
tacto extrañamente blando, como si estuviera hecha de masa de pan. Era de color verde
cardenillo y pegajosa, pero funcionaba. Robert pulsó:
¿Y qué salió?
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
185
-¡Estupendo! -dijo Robert-. Ahora ya tenemos un tres.
-Bueno, pues ahora no tienes más que seguir haciendo lo mismo.
Robert tecleó y tecleó:
-¡Muy bien! -el diablo de los números le dio unas palmadas en la espalda a Robert-.
Esto tiene un truco especial. Seguro que ya te has dado cuenta.
Si sigues adelante no sólo te salen todos los números del dos al nueve, sino que además
puedes leer el resultado de delante atrás y de detrás adelante, igual que en palabras
como ANA, ORO o ALA.
Robert siguió intentándolo, pero al llegar a:
La calculadora entregó su espíritu. Hizo ¡Puf! y se convirtió en una pasta verde cardenillo
que se escurría lentamente.
-¡Maldición! -gritó Robert, quitándose la masa verde de los dedos con el pañuelo.
-Para eso necesitas una calculadora más grande.
Para un ordenador decente una cosa así es un juego de niños.
-¿Seguro? -¡Claro! -dijo el diablo de los números.
-¿Y siempre sigue así? -preguntó Robert-. ¿Hasta que te aburras? -Naturalmente.
-¿Has probado con...?
-No creo que resulte -dijo Robert.
El diablo de los números empezó a hacer la cuenta de memoria. Pero al hacerlo volvió a
hincharse amenazadoramente, primero la cabeza, hasta parecer un globo rojo; de furia,
pensó Robert, o por el esfuerzo.
-Espera -gruñó el anciano-. Sale una verdadera ensalada. ¡Maldición! Tienes razón, no
resulta.
¿Cómo lo has sabido? -No lo sabía -dijo Robert-. Simplemente lo adiviné.
No soy tan tonto como para hacer un cálculo así.
-¡Desvergonzado! En las Matemáticas no se adivina nada, ¿entendido? ¡En las
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
186
De manera individual, da respuesta al siguiente cuestionamiento.
A partir de lo que leíste, ¿qué opinión tienes de la MATEMÁTICA?
matemáticas se procede con exactitud! -Pero tú has dicho que eso era siempre así, hasta
el aburrimiento. ¿Acaso no es eso adivinar? -¿Qué estás diciendo? ¡Quién te has creído
que eres! ¡Un principiante, y nada más! ¿Pretendes enseñarme cuántos son dos y dos? A
cada palabra que decía, el diablo de los números se volvía más grande y más gordo.
Jadeó para coger aire. Robert empezaba a tenerle miedo.
-¡Enano de los números! ¡Cabeza hueca! ¡Montón de mocos! -gritó el anciano, y apenas
había dicho la última frase cuando explotó de rabia, con un fuerte estallido.
Robert se despertó. Se había caído de la cama.
Estaba un poquito mareado, pero aun así no pudo por menos que reírse al pensar cómo
había arrinconado al diablo de los números.
El diablo de los números”, trata diversos temas en cada
una de sus noches, presentados con gran amenidad, de
forma que puedan llegar a los estudiantes, haciéndoles
pasar un rato agradable, aprendiendo Matemáticas y,
sobre todo, desarrollando su interés por esta disciplina.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
187
Para profundizar en la comprensión del texto te proponemos los siguientes
cuestionamientos:
1.- ¿Cuándo se encontró Robert con el diablo?
a. En clase de Matemáticas.
b. Mientras dormía.
c. En el infierno.
d. En el cine.
2.- El autor trata de explicarnos la famosa serie de números descrita por un
matemático llamado Bonatschi. ¿Qué animales utiliza para su ilustración?
a) Liebres.
b) Animales imaginarios que no existen en la realidad.
c) No utiliza animales.
d) Gnomos.
3.- El diablo, para explicar los números triangulares, se subió a una palmera pero,
¿qué tiraba al suelo en su demostración?
a) Dátiles
b) Cocos
c) Palmitos
d) Almendras
4.- ¿Por qué está preocupada la madre de Robert?
a) Porque enfermó de viruela.
b) Está todo el día metido en su cuarto cantando “La Traviata”.
c) Está todo el día encerrado en su cuarto pintando liebres y murmurando
números.
d) Porque no quiere comer.
Y DE MANERA ESPECÍFICA EN LA PRIMERA NOCHE:
EL DIABLO DE LOS NÚMEROS, NOCHE A NOCHE
La primera noche:
Se trata una propuesta de trabajo cuyos objetivos son animar a la lectura
desde el área de Matemáticas, conocer parte de la Historia de las
matemáticas y a sus protagonistas, fomentar la utilización de las nuevas
tecnologías en la búsqueda de información, mejorar la actitud del alumno
hacia las Matemáticas, haciéndole descubrir la magia que hay en ellas e
impulsar la actitud investigadora del alumnado a través de la lectura del libro.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
188
Para continuar retando tus habilidades matemáticas, te invitamos a que leas
el libro y acompañes tus reflexiones con el resto de los cuestionarios que se
proponen en el anexo 6 de la sección 6. En este anexo hallarás algunos
textos digitalizados para enriquecer tus saberes matemáticos.
Los juegos de piso son un excelente medio que permite la socialización, el
acatamiento de reglas, la adopción de conductas y roles, pero sobre todo es el
escenario donde inicialmente el alumno aprende en actos divertidos.
El juego por sí solo, despierta el interés de los participantes pero, este al ser
aprovechado de manera didáctica se transforma en una excelente herramienta de
aprendizaje y que al ser incorporado al trabajo de los docentes, lo enriquece y
favorece los resultados.
Los juegos tradicionales de piso como: stop (declaro la guerra en contra de...), los
quemados, el avión, la botella, el bote pateado, las escondidillas, las corres, los
encantados, estatuas de marfil, el calabaceado, la roña, el salto de cuerda, el trompo,
el yoyo, el balero, las canicas, los volados, la matatena, los gallitos, ponerle la cola al
burro, el burro castigado, carreras de costales, entre otros.
Para su ejecución requieren de habilidades físicas, conocimientos o nociones
matemáticas, actitudes que paulatinamente van dándole forma a los aprendizajes
formales.
Por otra parte los juegos considerados de mesa como: Serpientes y escaleras,
domino, cartas, damas chinas, damas inglesas, ajedrez, el coyote, tangram, parrilla
de cien, la rueda matemática y otros más, aportan elementos y forman nociones de
orden conceptual y actitudinal que debemos aprovechar y fomentar su incorporación
didáctica para responder a los preceptos del Plan y Programas de Estudio vigentes.
1. ¿Por qué hay infinitos números?
2. ¿Por qué se pueden escribir números tan pequeños como se desee?
3. ¿Cómo construirías los números 2, 3, …a partir del uno
4. ¿Qué ocurre cuando haces la operación:
11111111111X11111111111 ?
ACTIVIDAD 5. Juegos de patio y mesa
90 Min.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
189
A continuación te proponemos tres juegos no muy comunes, esperando
motivar tu curiosidad y habilidades de búsqueda para enriquecer tu práctica.
En el anexo 7 de esta sesión, encontrarás algunas propuestas interesantes.
1.1 Centrar la atención en los estudiantes
y en sus procesos de aprendizaje
El centro y el referente fundamental del aprendizaje es el estudiante, porque
desde etapas tempranas se requiere generar su disposición y capacidad de
continuar aprendiendo a lo largo de su vida, desarrollar habilidades superiores del
pensamiento para solucionar problemas, pensar críticamente, comprender y
explicar situaciones desde diversas áreas del saber, manejar información, innovar
y crear en distintos órdenes de la vida.
Los alumnos cuentan con conocimientos, creencias y suposiciones sobre lo que
se espera que aprendan, acerca del mundo que les rodea, las relaciones entre las
personas y las expectativas sobre su comportamiento. En este sentido, es
necesario reconocer la diversidad social, cultural, lingüística, de capacidades,
estilos y ritmos de aprendizaje que tienen; es decir, desde la particularidad de
situaciones y contextos.
Plan y Programas de Estudio 2011. Principios Pedagógicos
PARRILLA DE CIEN Breve descripción:
La parrilla de cien es un casillero en el que, de forma ordenada, aparecen los
números del 1 al 100. En algunos sistemas educativos (por ejemplo, el británico) es
frecuentemente empleada para introducir a los niños en el mundo de las matemáticas
de forma amena. En este caso se le ha dado la connotación de pasatiempo con la
finalidad de estimular algunas capacidades cognitivas, así como de ofrecer una forma
de entretenimiento.
Reglas:
Se deben colorear o marcar determinadas casillas según se indique en el enunciado
de cada parrilla. Las consignas pueden indicar la realización de un diseño, el
seguimiento de una secuencia lógica o la resolución de determinadas operaciones
para obtener un diseño o una respuesta final. Una opción que ofrece este tipo de
actividad es diseñar cada uno sus propios enunciados y consignas, por lo que se
ofrecen (pág. 65-66) algunas parrillas sueltas que pueden fotocopiarse libremente
para crear tantas actividades como se desee.
Habilidades ejercitadas: Atención y concentración. Capacidad visuoperceptiva. Cálculo. Flexibilidad cognitiva.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
190
Ejemplo:
Coloree las casillas que crea necesarias para representar una cara sonriente (ojos y boca).
Ver el ejemplo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Propuesta 1: Con las siguientes indicaciones, ¿qué aparece? Coloree las casillas
correspondientes a los siguientes números:
El 46
Resultado de 3 + 10
El número que es 8 veces 10 y le suma 3
El que es 10 menos que 83
El resultado de 25 - 2
El que es 10 más que 53 El que da 10 más que el número del resultado anterior
El que es 1 menos que 54
El que es 2 más que 43
El 43
El que es 7 x 10, más 7 El que va entre 43 y 45
El que va después del 84
El 84
El 27
Es que es 84 + 2
El 57 El que es 3 veces 10, más 7
El de la casilla de encima del 26
El resultado de 70 menos 3
El resultado de 22 - 7
El número que suma 10 + 4
Propuesta 2: ¿Con qué casillas aparecerá la letra A? Puede haber más de una posibilidad.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
191
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Propuesta 3: Prosiga la serie iniciada. Las casillas rellenadas siguen un orden
lógico, Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Propuesta 4: Prosiga la serie iniciada. Las casillas rellenadas siguen un orden
Lógico. Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final, anotando en la
casilla exterior el último número, siempre que sea mayor que 100.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
192
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Propuesta 5: Prosiga la serie iniciada. Las casillas rellenadas siguen un orden
lógico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Propuesta 6: Trate de dar con la norma y continúe hasta llegar al final, anotando en
la casilla exterior el último número, siempre que sea mayor que 100. Con las
siguientes indicaciones, ¿qué aparece?, Coloree las casillas correspondientes a los
siguientes números:
La mitad del 110 7 x 2
La cifra compuesta por los dos
números siguientes al 3
25 – 9
Cuatro veces 10, más 6
6 + 7 7 x 3, más 2
17 + 16
Tengo 10 años más que
cuando me jubilé (a los 65) 10 más que 17
20 más que el número del
resultado anterior 29 + 8
10 + 5…o la niña bonita 33 x 2, menos 1
5 antes de llegar a 100 6 x 2, más 8, menos 3
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
¿Cuándo acabará esta ficha? Para descubrirlo, coloree las casillas correspondientes a los siguientes números:
Desde este número empezamos a contar
Le faltan 30 para llegar a 100
Por si da mala suerte, diremos 12 + 1
6 x 3, menos 1
Ahora, súmele 10
2 y 2 son 4, 4 y 2 son 6, 6 y dos son 8, y 8… Y 10 más
La mitad de 30
5 veces 10, más 8
11 x 3, más 4
La mitad del número del resultado anterior, más 6 2 docenas más 3
El doble de 18
A la de una, a la de dos y a la de…
Casi 100…menos 1
Dos docenas menos 1
20 x 3
80 – 12
Su doble es 50
Al número del resultado anterior le sumamos 21
90 - 11
Las campanadas de Fin de Año son…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
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194
siendo un recurso muy utilizado en distintas disciplinas como el diseño, la Psicología o la
pedagogía, especialmente en la enseñanza de las Matemáticas por su utilidad en la
adquisición de conceptos de geometría plana y por la promoción del desarrollo de destrezas
psicomotrices e intelectuales, ya que permite integrar el aspecto lúdico con la formación de
ideas abstractas a partir de un material concreto.
El tangram consiste en un cuadrado formado por siete piezas con las que pueden construirse
figuras geométricas y siluetas de personas, animales y cosas. Las figuras chinas originales
eran unos centenares, pero en la actualidad se estima que existen miles de figuras distintas.
Si tuviera interés en diseñar su propio tangram, aquí se muestra cómo hacerlo. Hay que
realizar un cuadrado perfecto sobre cartón u otro material de cierta resistencia, que deberá
luego dividirse en una cuadrícula exacta de 16 casillas. A continuación hay que dibujar las
marcas que darán forma a las distintas piezas del tangram y por donde deberá recortarse
para su obtención.
REGLAS:
El tangram original consiste en formar determinadas siluetas empleando todas las piezas del
rompecabezas. En la mayor parte de casos puede resultar complejo, especialmente si no se
tiene experiencia previa. Por ello, aquí se propone una forma progresiva de familiarizarse con
esta actividad.
En primer lugar, se sugiere familiarizarse con las piezas y las posibilidades que ofrece la
combinación entre ellas. Para ello, tome las piezas del tangram y realice los diseños que a
continuación se presentan y comentan.
Podremos observar y practicar cómo con dos triángulos podemos formar un cuadrado, un
triángulo mayor o un paralelogramo:
TANGRAM
BREVE DESCRIPCIÓN:
El tangram es un juego chino muy antiguo.
Existen distintas teorías acerca de su nombre,
apostando unas porque fue creado durante la
dinastía
Tang, regente en China entre los años 618 y
907, y otras porque fue un inglés quien bautizó
así al juego al unir dos vocablos, el cantonés
tang, que significa ‘chino’, y el latín gram, que
significa ‘escrito’ o ‘gráfico’. Sea como fuere,
este milenario juego que ha sobrepasado sus
dimensiones lúdicas y de entretenimiento,
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
195
También pueden formarse triángulos de mayor tamaño mediante la combinación de otras piezas, como se muestra a continuación:
También existen varias maneras de formar un cuadrado:
distintos modos de formar un rectángulo:
Por último, también hay que, tener en cuenta que una misma figura o parte de una figura puede lograrse con una combinación de distintas piezas, como se observa en este ejemplo:
Para seguir familiarizándose con las piezas y sus posibles combinaciones, propóngase
generar figuras nuevas (con o sin sentido) sin necesidad de emplear todas las piezas cada
vez.
Otra opción es realizar las figuras tomando como modelo directamente las soluciones.
Aunque pueda parecerle banal, le ayudará a comprender las posibilidades de este juego y a
familiarizarse con sus construcciones.
HABILIDADES EJERCITADAS:
Atención y concentración.
Capacidad visuoperceptiva.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
196
Orientación visuoespacial.
Capacidad de abstracción.
Flexibilidad cognitiva.
Creatividad.
Destreza manipulativa.
Siluetas a reproducir usando TODAS las piezas cada vez:
RUEDA MATEMÁTICA BREVE DESCRIPCIÓN:
Esta actividad se basa en unas piezas de cartón que, por su ensamblaje y forma, recuerdan
a una rueda. La superficie inferior de la rueda es fija y en ella aparecen una serie de
operaciones matemáticas. La cubierta superior, que es rotatoria, contiene unas muescas que
permiten mostrar cifras que representan posibles resultados de las operaciones
matemáticas. En función de la rueda de base, las operaciones pueden ser sumas o restas de
unidades o decenas, mientras que la cubierta superior puede tener de 2 a 5 muescas.
En las páginas finales de este cuaderno, se adjunta el material para montarlo. Todas las
ruedas base (las que contienen las operaciones) pueden combinarse con cualquiera de las
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
197
plantillas de muescas. El reto será más o menos difícil en función de la cantidad de muescas
que escoja.
REGLAS:
El objetivo es situar las muescas de la cubierta superior mostrando el resultado correcto de
las operaciones con que se confrontan. Si la cubierta tiene dos muescas, ambas deberán
quedar mostrando soluciones correctas a las dos operaciones matemáticas ante las que se
coloquen; si tiene tres muescas, debe buscarse el resultado correcto simultáneo a tres
operaciones…, y así sucesivamente.
HABILIDADES EJERCITADAS:
Atención y Concentración.
Cálculo mental.
Flexibilidad cognitiva.
Coordinación visuomotora.
En los anexos localiza un texto
denominado “EL JUEGO Y LA
ESCUELA” donde se soporta
teóricamente la importancia del juego en
el desarrollo personal de los alumnos y el
por qué deberán ser incorporados a las
actividades cotidianas de la escuela.
Orientaciones Pedagógicas para el Desarrollo del Pensamiento Matemático
198
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www.lapaginadelprofe.cl/.../componentesdelpensamientologicomat.docx COMPONENTES
DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO.
http://maibirely.blogspot.mx/2010/10/que-es-la-ambientacion-del-aula-de.html
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