guia 1o secundaria matematicas

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 1

CO N T E N I D O

Números naturales.Divisibilidad

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INTRODUCCIÓNDurante su etapa anterior, los alumnos han utilizado los números naturales y han aprendido las operaciones básicasde suma, resta, multiplicación y división, además del significado y cálculo de potencias de base y exponente naturales.En esta unidad, tras recordar el sistema de numeración decimal y el uso de los números naturales, se repasan las pro-piedades de las operaciones y se amplían los conocimientos en torno a estos números, estudiando la divisibilidad y losconceptos asociados a ella: divisor, múltiplo, número primo, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

Es muy importante que entiendan y utilicen correctamente los conceptos de múltiplo y divisor, y que sepan calcular múlti-plos y divisores de un número. Para ello conviene relacionar el concepto de divisor y múltiplo de un número identificandoque cuando un número es divisor de otro número dado, también se cumple que el número dado es múltiplo del divisor.

La comprensión de los criterios de divisibilidad, en concreto los del 2, 3, 5 y 11, es esencial, ya que facilitan la des-composición en factores primos de un número cualquiera.

El cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números debe realizarse utilizando los algo-ritmos de cálculo que se dan en la unidad. Hasta el momento, muchos alumnos vienen haciéndolo calculando todos los divi-sores y los primeros múltiplos de los números dados, y seleccionando después el mayor y el menor, respectivamente, de loscomunes a todos ellos. Por ello es preciso que previamente dominen la descomposición factorial de un número natural.

• Números naturales.• El sistema de numeración decimal.• Interpretación de códigos numéricos presentes en la vida

cotidiana.• Propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la

división.• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma.• Elaboración y uso de estrategias personales de cálculo

mental.

• Múltiplos de un número.• Divisores de un número.• Cálculo de los múltiplos de un número natural.• Cálculo de todos los divisores de un número natural.• Criterios de divisibilidad: 2, 3, 4, 5, 10, 25, 100 y 11. • Números primos y números compuestos.• Descomposición de un número en factores primos.• Máximo común divisor de dos o más números.• Mínimo común múltiplo de dos o más números.

Unidad 1 Números naturales. Divisibilidad

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Utilizar correctamente los núme-ros naturales con el fin de repre-sentar la realidad de maneraclara, concisa, precisa y rigurosa.

1.1. Utilizar números naturales pararesolver actividades relaciona-das con la vida cotidiana.

1.2. Estimar y calcular el valor deexpresiones numéricas senci-llas de números naturalesbasadas en las cuatro operacio-nes elementales y sus propie-dades.

• Matemática

• Interacción con el mundo físico

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

• Aprender a aprender

2. Identificar múltiplos y divisores deun número, si un número es pri-mo o compuesto, y obtener la des-composición en factores primosde un conjunto de números, parapoder calcular el máximo comúndivisor y el mínimo común múlti-plo en la resolución de problemasde la vida real en los que aparez-can conceptos de divisibilidad.

2.1. Utilizar adecuadamente los con-ceptos de divisibilidad pararesolver problemas de múlti-plos y divisores de un número,y distinguir números primos ycompuestos.

2.2. Emplear el algoritmo de cálcu-lo del máximo común divisor yel mínimo común múltiplo dedos números en la resoluciónde problemas sencillos.


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLos alumnos deben dominar la lectura y escritura de los números naturales y manejar con soltura el sistema de nume-ración decimal.

2. Previsión de dificultadesEl concepto de múltiplo y divisor de un número ya es conocido de cursos anteriores, pero los alumnos presentarán difi-cultades a la hora de relacionarlos entre sí. Para que asimilen la reciprocidad existente entre ambos conceptos con-viene hacer múltiples ejemplos del tipo “a múltiplo de b, entonces b divisor de a”.

A la hora de calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, los alumnos no suelen aplicar el métodoóptimo, por lo que conviene poner ejemplos en los que aprecien la utilidad del algoritmo a la hora de aligerar el tiem-po empleado en el cálculo.

3. Vinculación con otras áreasConviene insistir en la importancia del cálculo numérico en todos los campos de la ciencia, la técnica y la sociedad engeneral.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza con un repaso del sistema métrico decimal y de la utilización de los números naturales para crearcódigos, a la vez que se recuerdan las propiedades de las operaciones.

Más tarde se introducen los primeros conceptos de divisi-bilidad, múltiplos y divisores de un número, y se calculantodos los divisores de un número natural. Para facilitareste cálculo se estudian algunos criterios de divisibilidad:por 2, 5 y 10; por 4, 25 y 100; por 3 y 9, y por 11.

Se definen entonces los números primos y compuestos, yse explica la forma de expresar un número como produc-to de factores primos.

Con todo ello ya es posible estudiar los múltiplos y diviso-res comunes a varios números y aprender el método quepermite calcular el máximo común divisor y el mínimocomún múltiplo de varios números a partir de su des-composición en factores primos.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en12 sesiones:

1.ª Sistema de numeración decimal y los números como códigos.

2.ª Operaciones y propiedades de las operaciones de números naturales.

3.ª Múltiplos y divisores.

4.ª Divisores. Criterios de divisibilidad.

5.ª Números primos y compuestos.

6.ª Descomposición factorial.

7.ª Máximo común divisor.

8.ª Mínimo común múltiplo.

9.ª Algoritmo para el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

10.ª Resolución de problemas de máximo común divisor y de mínimo común múltiplo.

11.ª Actividades de repaso y consolidación.

12.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

Números naturales. Divisibilidad Unidad 1

NÚMEROS NATURALES.DIVISIBILIDAD

Múltiplos y divisoresSistema denumeración decimal

Criterios de divisibilidad

Descomposición enfactores primos

Máximo común divisorMínimo común múltiplo

Propiedades de lasoperaciones de

números naturales

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En particular, la comprensión del sistema de numeración deci-mal contribuye al desarrollo de los descriptores de la subcompetencia oral.

Asimismo, los problemas con enunciado contextualizado y el texto de entrada, junto con las actividades, desarrollan deforma específica los descriptores de la comunicación escrita y la reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores. Sin embargo, dos subcompetencias destacan:

– La del razonamiento y argumentación, con el planteamiento y resolución de problemas de divisibilidad.

– El uso de elementos y herramientas matemáticos, en la utilización de los números naturales como códigos y enla realización de operaciones con números naturales.

Competencia para la interacción con el mundo físicoHay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones yproblemas de la vida real.

Competencia social y ciudadanaEl texto inicial y las actividades sobre competencias básicas del final de la unidad, sobre los sistemas de numeraciónde otras civilizaciones, permiten que los alumnos valoren y aprecien el progreso científico desarrollando de forma másespecífica el descriptor “conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo” de lasubcompetencia desarrollo personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalEsta competencia se desarrolla en todas las unidades del libro, en especial, la subcompetencia del uso de herramien-tas tecnológicas, con la resolución de actividades interactivas que aparecen en LIBROSVIVOS.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de apren-dizaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críti-co del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo ycrítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.



COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

LingüísticaComunicaciónescrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollodel pensamiento crítico.

– Obtiene información numérica de un texto.

Desarrolla tus competencias: II

Matemática

Razonamiento yargumentación.

Poner en práctica procesos derazonamiento que llevan a la soluciónde los problemas o a la obtención de lainformación.

– Extrae información de un texto y aplicarla a labúsqueda de regularidades.

En toda la unidad

Uso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

– Utiliza los números naturales como códigos.

– Opera con rigor y precisión con los númerosnaturales.

En toda la unidad

Interaccióncon el mundo físico

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Comprender la influencia de laspersonas en el medioambiente a travésde las diferentes actividades y valorarlos paisajes resultantes.

– Muestra interés por las diferentes formas dereciclar.Actividad 100

– Conoce las diferentes energías sostenibles.Actividad 101

Socialy ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Sitúa hechos y períodos históricos relevantespara el progreso científico-técnico.Actividad 107Desarrolla tus competencias: IIIPon a prueba tus competencias: Analiza y deduce

– Aprecia la sencillez del sistema decimal.Actividades 3, 4, 66 y 68

Participación cívica,convivencia yresolución deconflictos.

Practicar la ciudadanía democrática através del ejercicio de los derechos ydeberes propios y ajenos.

– Conoce el código de barras y sus utilidad para elconsumidor.

Pon a prueba tus competencias: Calcula y reflexiona

Culturaly artística

Habilidades y actitudesinterculturales.Sensibilización parainteractuar con lasdiversas culturasaceptando lasdiferencias.

Reconocer la diversidad cultural.

Mantener una actitud abierta y derespeto hacia otras culturas.

– Aprecia los conocimientos matemáticos dediferentes culturas.

Desarrolla tus competencias

Tratamientode la información

y competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en páginas de internet para complementarla información.Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensarEn la red.

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.Investiga en la red, organiza tus ideas, autoevaluaciónActividades 6, 14, 24, 44 y 60

Uso de lasherramientastecnológicas.

Hacer uso habitual de los recursostecnológicos disponibles paraaplicarlos en diferentes entornos ypara resolver problemas reales.

– Utiliza la calculadora para averiguar si unnúmero es primo.

Actividad 39

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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nospermiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación medioambiental y desarrollo sostenible: actividades 100 y 101.

• Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la edu-cación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y per-miten trabajar la diversidad del alumnado.

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el gradode asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados asituaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuaderno de matemáticas básicas.

– Unidad 1. Números naturales.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidades 1 y 3.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– Unidades 1, 2 y 3.

• Cuaderno de resolución de problemas I.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Múltiplos y divisores en la página del proyecto Descartes, educación digital a distanciadel Ministerio de Educación.

www.e-sm.net/1esomatprd01

• Cartas, cromos, fichas, monedas, etc., para agruparlos en montones de igual cantidad sin que sobre nifalte ninguno.

• Juegos de dominó con operaciones combinadas con el mismo resultado.

• Calculadora.

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Sugerencias didácticas


1. El sistema de numeración

3. Propiedades de las operacionescon números naturales

Para que los alumnos calculen cuántos segundos han trans-currido desde que han nacido, les guiamos indicándoles que,una vez calculados los segundos que tiene un día, calcu lenlos segundos que tiene un mes, distinguiendo entre mesesde 28, 29, 30 y 31 días. Posteriormente les recordamos queun año bisiesto es aquel en el que febrero tiene 29 días y quecada cuatro años hay un año bisiesto. Para finalizar les indi-camos que el año 2000 fue bisiesto.

Los resultados que obtendrán serán números de 9 cifras.Aprovecharemos esto para hacer ver a los alumnos que lossistemas de numeración surgen por la necesidad de expre-sar de una forma concisa los números naturales.

Podemos pedir a los alumnos que busquen informaciónsobre la aportación de diferentes civilizaciones a la ciencia,centrándose en los diversos sistemas de numeración queaparecen a lo largo de la unidad, y en la importancia que hatenido el sistema indo-arábigo, universalmente extendido.

De esta forma se pueden desarrollar todos los desempe-ños de las competencias básicas establecidos en la tabla:búsqueda en internet, utilización de algoritmos, apreciarlas diferentes culturas, uso de calculadora, etc.

2. Los números naturales como códigos

3, 4, 66 y 68. Con estas actividades, los alumnos puedenapreciar lo fácil que es escribir un número con ayudadel sistema decimal, comparándolo con el romano.Podemos sugerir, por ejemplo, que traten de escribirlos números de la actividad 65 en romanos:

a) 9502 = b) 8413 =

107. Esta actividad, junto con el primer epígrafe de siste-mas de numeración y la actividad sobre el sistema denumeración egipcio de las páginas finales de compe-tencias básicas, puede servirnos para que los alumnosvaloren y aprecien las aportaciones de diferentes cul-turas al desarrollo de las matemáticas.

IXDII VIIICDXIII

• Es interesante que, además de los códigos postales, losprefijos telefónicos, las matrículas de los coches y lascuentas bancarias, los alumnos encuentren otras situa-ciones en las que los números naturales se utilizan comocódigos y que intenten averiguar el significado de algu-nas cifras. Por ejemplo: el código de barras, identifican-do algunos productos españoles y descubriendo quécifras tienen en común; el dígito control…, enlazándolocon la actividad 71.

• Aunque los alumnos ya conocen el sistema de numera-ción y su significado, no está de más recordar que unadecena son 10 unidades, una centena equivale a 10 dece-nas o 100 unidades… y la importancia del valor posicio-nal de las cifras.

• En las actividades en las que se proponga escribir elnúmero indicando cuáles son sus unidades, decenas,centenas, etc., se pueden intercambiar los lugares paraque se fijen en las posiciones de las cifras y no traba-jen de forma mecánica. Por ejemplo, escribir el núme-ro 3 C + 8 U + 0 D + 1 M.

• A la hora de repasar el sistema de numeración romanoconviene hacerlo estableciendo las diferencias que tie-ne con el decimal. Además, sería bueno que se diesencuenta de que con las normas que conocen solo puedenescribir hasta el 3999. Como contenido de ampliaciónpodríamos indicar que para escribir números mayoresque 3999, es preciso ampliar las reglas:

Una raya horizontal encima de un símbolo multiplicapor mil el valor del símbolo. Dos rayas horizontalesencima de un símbolo multiplican por un millón el valordel símbolo:

= 4000 = 2 500 000

• Podemos pedir a los alumnos que indiquen situacionesen las que todavía se emplean los números romanos,como en los relojes, para señalar siglos, en las reseñashistóricas.

IV MMD

• Es conveniente que, además de estudiar las propiedades,se recuerden las operaciones básicas de suma, resta,multiplicación, división y potencias de números naturales.

• Para que entiendan la propiedad conmutativa se puedehacer referencia al dibujo del margen indicando que dalo mismo contar primero los jerséis rojos y después losverdes, que primero los verdes y después los rojos, queen total son 8 jerséis.

• Es importante que conozcan y utilicen las propiedades delas operaciones, puesto que resultan muy útiles para elcálculo mental. Por ello, además de repasarlas y reali-zar actividades en las que tengan que reconocer la pro-piedad que se aplica, conviene que se propongantambién otras como las siguientes:

– Cálculo de sumas del tipo: 18 + 32 como descomposi-ción en 10 + 30 + 8 + 2, en la que se aplica la propie-dad asociativa.

– Cálculo de productos como 23 · 7 en los que la propie-dad distributiva facilita su cálculo: 20 · 7 + 3 · 7.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 1 a 3 y 63 a 68

Medio 4 y 5

Alto 107 y 109


Básico 10 a 12, 72 a 75, 94 y 95

Medio 13 y 76

Alto 86, 87 y 122


Básico 8, 9 y 69 a 71


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7. Descomposición de un númeroen factores primos

6. Números primos y compuestos4. Múltiplos y divisores de un número• Aunque es un recurso muy utilizado, resulta interesante

realizar en clase la “criba de Eratóstenes” para obtener losnúmeros primos del 1 al 100. Con ella se vuelven a traba-jar los conceptos de múltiplos y divisores, se repasan denuevo los criterios de divisibilidad y es un recurso que pue-de ayudar a los alumnos a encontrar en cualquier momen-to (si no los recuerdan) los primeros números primos.

• Un buen método para averiguar cuándo un número esprimo es el descrito en el ejercicio resuelto 36. Cuandose trate de averiguar si un número grande es primo ocompuesto, se hará empleando este método, pero conayuda de la calculadora.

• A veces, los nombres de los conceptos ayudan a enten-derlos y recordarlos. En este caso es fácil asociar los múl-tiplos de un número con aquellos números naturales quese obtienen multiplicando ese número por cualquier otro.

• Los divisores los asociarán rápidamente con la división.De modo que para hallar los divisores de un número hayque plantear una división en la que el dividendo sea esenúmero y en la que haya que encontrar el divisor con lacondición de que el resto sea cero.

• Una vez que hayan recordado los conceptos de múltiploy divisor de un número, conviene que identifiquen la rela-ción que hay entre ambos. Es interesante que, a partirde una división exacta, y después de haber aplicado lapropiedad fundamental, se establezcan todas las rela-ciones posibles.

D = d · c

D es múltiplo de d y también de c.

d y C son divisores de D.

D es divisible por d y también por c.

• Es conveniente que, mediante ejemplos y actividadesorientadas, los alumnos observen que los divisores de unnúmero se pueden obtener de dos en dos en la mayoríade las ocasiones, ya que eso simplifica el cálculo de losmismos

• También es interesante que descubran que un númerosiempre tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo. Esotra forma de agilizar el cálculo de divisores.

• Y por último, indicarles que sigan un orden creciente enla búsqueda: empezar por el 2 (el 1 ya saben que es divi-sor); luego, el 3, el 4… y que continúen hasta que empie-cen a repetirse.

• Conviene empezar por explicar el significado de “des-composición de un número en factores”, expresandovarios números naturales como producto de otros, dedistintas formas. Entre ellas se puede escribir la des-composición en factores primos con el fin de que, una vezcomprendida la factorización de un número y mediantelas preguntas oportunas, consigan descubrir que hayuna en la que todos los factores son números primos.

• Debe quedar claro al alumno que la descomposición enfactores primos de un número es única, independiente-mente del orden que se utilice en ella.


Básico 37 y 88

Medio 38 y 39

Alto 110


Básico 40 a 43 y 89

Alto 112 a 114

8. Máximo común divisor de variosnúmeros

• Es importante que los alumnos comprendan el signifi-cado de esas tres palabras: el mayor de todos los divi-sores comunes a varios números. Por eso convieneponer ejemplos en los que primero haya que obtenertodos los divisores de varios números; luego, señalar losdivisores comunes a ellos, y por último, indicar el mayorde esos divisores comunes.

101. Este problema puede servirnos para introducir unpequeño debate sobre los beneficios de las energías sos-tenibles frente a las energías fósiles. Podemos pedir a losalumnos que busquen información sobre las diferentesenergías sostenibles que se producen en España.


Básico 46 y 47

Medio 48 a 50 y 101



Básico 15 a 22, 77 a 79 y 96

Medio 23, 80 a 82 y 90

Alto 115

5. Criterios de divisibilidad

• Los criterios de divisibilidad se aprenden a base de repe-tirlos. Por tanto, conviene realizar muchas actividades enlas que, sin hacer la división, deduzcan si un número esdivisible por alguno de los estudiados aplicando el cri-terio correspondiente. Para que los aprendan con mayorfacilidad conviene exponerlos uno a uno.

• La actividad 32 indica un criterio para deducir cuándo unnúmero es múltiplo de 15. Podemos utilizarla como apo-yo para tratar de que los alumnos razonen por sí mis-mos el criterio de divisibilidad del 6.


Básico 26, 83 a 87, 97 y 98

Medio 27 a 32 y 91

Alto 33, 34 y 111

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9. Mínimo común múltiplo de variosnúmeros

Pon a prueba tus competencias

Organiza tus ideas

CALCULA Y REFLEXIONA: LOS CÓDIGOS DE BARRASEn esta actividad se desarrolla otro uso de los númerosnaturales como códigos.

Las actividades 1, 2, 3, 4, 5 y 7 son meramente matemáti-cas, donde los alumnos deben aplicar de forma sistemá-tica un algoritmo nuevo.

La actividad 6 puede abrir un debate interesante sobre lanecesidad del dígito de control para evitar las falsificacio-nes de productos. Esta actividad puede enlazarse con la 9.Para realizarla podemos dividir la clase en grupos de treso cuatro alumnos. Cada uno de los miembros del grupodeberá aportar los códigos de barras de dos productos,habiendo alterado el dígito de control en uno de ellos. Elresto de los miembros del grupo debe adivinar cuál es elcódigo correcto.

La actividad 10 requiere el uso de internet. Una vez que losalumnos hayan buscado la construcción del NIF a partirdel DNI, pueden comprobar que la letra que figura en suDNI es la correcta.

ANALIZA Y DEDUCE: LA NUMERACIÓN EGIPCIAEsta actividad desarrolla el sistema de numeración egip-cio. Se explica brevemente en qué consiste y, a través delos ejemplos, los alumnos pueden responder fácilmente alas actividades 1, 2 y 3.

Para la realización de la actividad 4 conviene dividirlos enparejas.

Para la actividad 5 podemos establecer una lluvia de ideas,para luego contrastar las aportaciones de los alumnos conla realidad.

APRENDE A PENSAR: NÚMEROS PERFECTOSEsta actividad permite mostrar a los alumnos que lasmatemáticas están presentes en la literatura actual. Conlas actividades se contribuye a la adquisición de la com-petencia aprender a aprender.

• Es importante que comprendan el significado de mínimocomún múltiplo. Para ello se pueden proponer ejemplosen los que primero calculen algunos múltiplos de variosnúmeros; luego, indiquen los múltiplos comunes aellos, y por último, señalen el más pequeño de todos,observando que no sería posible obtener el mayor.

100. A partir de este problema se puede hacer una refle-xión sobre las consecuencias de la fabricación de papelpara la naturaleza, concienciando a los alumnos de laimportancia del reciclaje, no solo del papel, sino tam-bién del vidrio y del plástico.

• Los alumnos deben comprender la importancia de unesquema y aprender a elaborarlo.

Se les pueden plantear preguntas relativas a la unidadque deben responder solo mirando esta página:– ¿Qué valor tiene el 2 y qué lugar ocupa en el número 1282?– ¿Es 15 múltiplo de 5? ¿Y de 7?– ¿Es 6 divisor de 30?– Clasifica en primo o compuesto: 32, 47, 55 y 20.

La finalidad de estas preguntas es que los alumnos valo-ren la utilidad de un esquema.

En cuanto a su elaboración, en lugar de pedirles que rea-licen uno, les daremos orientaciones que les hagan refle-xionar sobre los contenidos del mismo.

• Primero se les pedirá que lean el título de la unidad y escri-ban en dos columnas las dos partes que aparecen clara-mente diferenciadas: números naturales y divisibilidad.

Actividades de ampliación

Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema,decidiendo cuáles son los más apropiados para resolvercada una de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados nise ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, loque puede resultarles muy estimulante, aunque al comien-zo les asuste un poco.

• Después escribirán debajo de los números naturales losepígrafes que están relacionados con ellos. Y harán lomismo con los epígrafes que se refieren a la divisibilidad.

• Por último, comprobarán que lo que ellos han hecho endos columnas es lo mismo que aparece en esta página.Si no es así, escribirán debajo las diferencias.

El objetivo es que comprendan que en un esquema sólo de -ben aparecer los contenidos más destacados de la unidad.



Básico 52 y 53

Medio 54 a 57 y 100

Alto 102

10. Cálculo del m.c.d. y del m.c.m.por descomposición factorial

• Una vez que los alumnos ya han asimilado los concep-tos de máximo común divisor y mínimo común múltiplode varios números, podemos pasar a especificar cómocalcularlos a partir de la descomposición factorial.

• Conviene marcar las diferencias entre máximo común di -vi sor y mínimo común múltiplo. Y quizá en algún caso hayaque dar una forma menos rigurosa de recordar esa diferen-cia, indicando que, como los múltiplos han de ser mayoresque los números, siempre hay que poner todas las bases,comunes y no comunes, y el mayor de los exponentes.


Básico 58 a 60

Medio 61

Alto 103 a 106 y 108

10

Actividades de refuerzo

Unidad 1 Números naturales. DivisibilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Durante la etapa anterior, los alumnos han utilizado los números naturales para contar y ordenar, han estudiado elsistema de numeración decimal y han realizado operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencias. Sinembargo, conviene recordar de nuevo todos los conceptos y procedimientos aprendidos antes de introducirse en eltema de la divisibilidad. Es suficiente que conozcan los conceptos de múltiplo y divisor y sepan calcular múltiplos ydivisores de un número natural; aprender y utilizar los criterios de divisibilidad por al menos 2, 3, 4 y 5; clasificar losnúmeros en primos y compuestos; descomponer en factores primos números naturales sencillos y calcular el máxi-mo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números.

• Relacionar los términos de múltiplo y divisor con las operaciones de multiplicación y división, respectivamente, paraque resulte más fácil recordar qué son y cómo se obtienen.

• Utilizar cromos, monedas, cartas, fichas… repartidos en montones iguales para facilitar la comprensión del con-cepto de divisor de un número.

• Cuando calculen los divisores de un número natural es conveniente que escriban la división y anoten la relación entresus términos para que observen que en una división se obtienen dos divisores.

• Es importante que se acostumbren a seguir un orden tanto en la búsqueda de divisores de un número natural comoen su descomposición en factores primos

• Escribir ejemplos para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números (sin utilizarsu descomposición en factores primos) hasta que comprendan el significado de estos términos.

1. a) Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. c) Los divisores comunes a 30 y 24 son 1, 2, 3 y 6.b) Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. d) El máximo común divisor de 30 y 24 es 6.

2. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36 y 60. Divisores de 36: 1, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

3.

4. Tachar en vertical: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 y 30, y en horizontal: 10, 20 y 30.a) 10, 20 y 30 b) 20

7223 · 32502 · 523632 · 22

302 · 3 · 54532 · 52022 · 5

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Elaborando un juego de cartas. Los alumnos se organizan en grupos de cuatro personas. Cada grupo construirá car-tas con un mismo tipo de preguntas y respuestas: tantas como sean necesarias para tener varias barajas de 40 cartascada una y poder jugar todos a la vez. Las cartas deben asociarse por parejas: una con una pregunta y otra con la res-puesta a esa pregunta.

• En una carta: “¿Cuál es la descomposición en factores primos de 84?”, y en su pareja: “22 ⋅ 3 ⋅ 7”.• En una carta: “El m.c.d.(18, 9) es”, y en su pareja: “9”.• En una carta: “¿Cuáles son los divisores de 20?”, y en su pareja: “1, 2, 4, 5, 10 y 20”.• En una carta: “Entre los siguientes números: 2, 5, 8, 12, 17, ¿cuáles son primos?”, y en su pareja: “2, 5 y 17”.• En una carta: “De los números: 105, 30, 47, 125 y 99, ¿cuáles son divisibles por 5?”, y en su pareja: “105, 30 y 125”.

Una vez preparado el material, el juego puede realizarse de varias formas. Una de ellas es la siguiente:

Un jugador elegido al azar reparte todas las cartas entre los demás. Cada uno debe buscar de entre sus cartas susparejas y apartarlas en la mesa. Luego, el que esté a la derecha del que repartió las cartas cogerá una de este sin mirar-la y la unirá a las suyas para ver si ha conseguido otra pareja. El proceso se repite hacia la derecha hasta que esténformadas todas las parejas. Gana el que al terminar el juego haya conseguido formar más parejas.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


11

1. Trabaja con tu compañero. Uno de vosotros coge 30 fichas de color rojo, y el otro, 24 de color amarillo.

1. Cada uno tiene que agrupar sus fichas en montones de manera que todos tengan el mismo númerode fichas sin que sobre ni falte ninguna. Debéis conseguir todas las agrupaciones posibles.

2. Comparad los resultados que tenéis en la segunda fila (número de fichas de un montón) con los devuestro compañero y rodead con un círculo los que son iguales.

3. Escribid en vuestro cuaderno y completad las siguientes frases:

a) Los divisores de 30 son .............................................

b) Los divisores de 24 son .............................................

c) Los divisores comunes a 30 y 24 son ........................

d) El máximo común divisor de 30 y 24 es ....................

2. Rodea con una circunferencia los múltiplos de 4, y con un cuadrado los divisores de 36.

3. Las cajas de la izquierda contienen la descomposición en factores primos del número que está en lascajas de la derecha. Completa los números que faltan.

4. El siguiente cuadro es un mes del calendario con 31 días. Tacha con una línea vertical los múltiplos de2 y con una horizontal los múltiplos de 10.

a) ¿Cuáles son los múltiplos comunes a 2 y 10?

b) El más pequeño de todos ellos es el mínimo común múltiplo.¿Cuál es el m.c.m. de 4 y 10?

L M X J V S D1 2 3 4 5

6 7 8 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 2527 28 29 30 31

9

26

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32 · 52022 · 5

N.º totalde fichas

N.º de fichasde un montón


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ACTIVIDADES de REFUERZO


42

9

6 18

208

60

3

243612

4 128 16

59

722 · 32

30· 3 · 5

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Unidad 1 Números naturales. DivisibilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los alumnos que ya han aprendido los contenidos básicos deben ampliarlos de forma que apliquen correctamentetodas las propiedades de las operaciones con números naturales y las utilicen en el cálculo mental. También debenconocer los criterios de divisibilidad por 9, 10, 11, 25 y 100, y utilizarlos para agilizar el cálculo de múltiplos y diviso-res de un número natural, clasificar los números en primos y compuestos, y descomponerlos en factores primos. Ypor último, deben obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de más de dos números y resolverproblemas a partir del cálculo de los mismos.

1. a) 42 − 27 = 40 − 25 = 15

b) 23 · 7 = (20 + 3) · 7 = 20 · 7 + 3 · 7 = 140 + 21 = 161

2. a) (1 + 1) · (1 + 1) − 1 = 3

b) 3 · 3 · 3 − 3 = 24

c) 5 · 5 : 5 + 5 = 10

d) 3 − 2 · 1 = 1

3. a) 3230, 3232, 3236, 3238

b) 3231, 3237

c) 3230, 3234, 3238

d) 3234

4. n = abcdeedcba

(a + c + e + d + b) − (b + d + e + c + a) = 0

5. a) m.c.d.(104, 504, 252) = 4

m.c.m.(104, 504, 252) = 6552

b) m.c.d.(300, 108, 240) = 12

m.c.m.(300, 108, 240) = 10 800

6. Utilizando A · B = m.c.d.(A, B) · m.c.m.(A, B) se obtie-ne que el número es 600.

7. D = d · c + r → D − r = d · c

El número buscado debe ser divisor de 853 − 13 y de269 − 17, y además, el mayor.

m.c.d.(840, 252) = 84

8. m.c.m.(4, 6, 9, 11) = 396

Buscamos un múltiplo de 396 entre 1300 y 1800. Portanto, Eva tiene 1584 sellos.

9. n − 3 debe ser múltiplo de 4, 6, 8 y 9.

n − 3 = m.c.m.(4, 6, 8, 9) = 72

n = 75

10. Después de 60 días, el 9 de septiembre

11. Deben poner 15 bombones en cada caja.

Necesitan: 4 cajas del tipo A.5 cajas del tipo B.6 cajas del tipo C.


La criptografía y los números primos

Organizados los alumnos en grupos de cuatro personas, se puede iniciar la actividad con un trabajo de investigaciónacerca de la criptografía: qué es, métodos para cifrar y descifrar mensajes, cómo y dónde se utiliza en la actualidad, yla importancia de los números primos en este campo.

Antes de iniciar esta actividad tal y como se propone, se puede trabajar con ejemplos sencillos para que comprendany manejen el cifrado y descifrado de mensajes.

Después les pediremos que elaboren un código para encriptar mensajes con las condiciones siguientes:

• Con las letras del abecedario ordenadas, asigna a la a un número de dos cifras y, de forma consecutiva, numera el resto.

• Elige dos números primos de una sola cifra y multiplícalos entre sí. Sea k el número obtenido.

• Ahora, multiplica el número asignado a cada letra por k y tendrás tu código secreto.

Primero escribirán con su código algunas frases y tratarán a su vez de descifrarlas para entender el mecanismo decifrado y descifrado. Y luego, uno de los componentes del grupo encriptará una frase y los demás tratarán de encon-trar su significado.

ACTIVIDAD DE GRUPO


En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. Explica cómo se puede calcular mentalmente cada una de las operaciones y da el resultado.

a) 42 − 27 b) 23 · 7

2. Utiliza las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división, para escribir:

a) El número 3, empleando cinco veces el 1.

b) El número 24, empleando cuatro veces el 3.

c) El número 10, empleando cuatro veces el 5.

d) El número 1, empleando un 1, un 2 y un 3.

3. Calcula el valor que debe tener a para que el número 323a sea:

a) Divisible por 2, pero no por 3.

b) Divisible por 3, pero no por 2.

c) Divisible por 2, pero no por 4.

d) Divisible por 6.

4. Demuestra que cualquier número capicúa de 10 cifras es divisible entre 11.

5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números natu-rales.

a) 104, 504 y 252 b) 300, 108 y 240

6. El máximo común divisor de dos números es 150, y el mínimo común múltiplo, 1800. Uno de los núme-ros es el 450. ¿Cuál es el otro?

7. ¿Cuál es el mayor número por el que se tienen que dividir los números 853 y 269 para que los restosde las divisiones sean 13 y 17, respectivamente?

8. El número de sellos de la colección de Eva es una cantidad comprendida entre 1300 y 1800. Los pue-de colocar en las páginas de un álbum de 4 en 4, de 6 en 6, de 9 en 9 y de 11 en 11 sin que sobre ni fal-te ninguno. ¿Cuántos sellos forman la colección de Eva?

9. Calcula el número más pequeño que dividido entre 4, 6, 8 y 9 da de resto 3.

10. El camión que recoge los envases de vidrio pasa cada 15 días; el de los envases de plástico, cada 12días, y el de recogida de papel, cada 5 días.

El día 10 de julio se produjo la recogida del vidrio, plástico y papel. ¿Cuándo volverá a producirse estacoincidencia?

11. A fin de recaudar dinero para una excursión, los alumnos de un centro han comprado bombones de trestipos que van a repartir en cajas. En total tienen: 60 bombones de tipo A, 75 de tipo B y 90 de tipo C.

Los quieren colocar en el menor número de cajas posible de forma que todas tengan el mismo núme-ro de bombones. ¿Cuántos bombones deben poner y cuántas cajas necesitan?


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. En el número 42 809:

a) ¿Qué posición ocupa el 2?

b) ¿Cuántas centenas completas hay?

c) ¿Cuántas unidades hay que restar al número para que tenga una centena menos?

2. Observa la siguiente cuenta bancaria e indica el banco y el número de oficina

2830 − 1152 − 36 − 2009754401

3. Completa las siguientes igualdades indicando qué propiedad se aplica en cada caso.

a) 8 · (9 · ) = ( · 9) · 5 =

b) 7 + = 4 +

4. Escribe las propiedades que utilizas y sustituye cada cuadrado por el número correspondiente.

a) 345 − 108 = → 350 − = 237

b) 6 · ( + 5) = · 9 + 6 ·

5. Calcula los cuatro primeros múltiplos y todos los divisores de cada uno de los números siguientes.

a) 45 b) 29 c) 57 d) 30

6. Dados los números 316, 5328, 7250, 600, 914 y 475:

a) ¿Cuáles son múltiplos de 4?

b) ¿Cuáles son múltiplos de 25?

c) ¿Hay alguno que sea a la vez múltiplo de 4 y de 25? ¿Por qué otro número son divisibles todos los múl-tiplos de 4 y 25 a la vez?

d) ¿Cuántos son primos?

7. Escribe la descomposición en factores primos de los números:

a) 240 b) 405 c) 94 d) 375

8. Halla el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números:

a) 60 y 225

b) 28 y 105

c) 135, 63 y 99

d) 300, 72 y 120

9. Julio tiene entre 200 y 300 monedas de 2 €. Las ha contado haciendo montones de 10, 15 y 20 mone-das cada uno y no ha sobrado ninguna. ¿Cuánto dinero tiene Julio?

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


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1. a) Unidades de millar b) 428 c) 100

2. El banco es el 2830, y la oficina, la 1152.

3. a) 8 · (9 · 5) = (8 · 9) · 5. Propiedad asociativa del producto

b) 7 + 4 = 4 + 7. Propiedad conmutativa de la suma

4. a) 345 − 108 = (345 + 5) − (108 + 5) = 350 − 113 = 237. Propiedad de la resta

b) 6 · (9 + 5) = 6 · 9 + 6 · 5 = 54 + 30 = 84. Propiedad distributiva

5. a) Múltiplos de 45: {45, 90, 135, 180} Divisores de 45: {1, 3, 5, 9, 15, 45}

b) Múltiplos de 29: {29, 58, 87, 116} Divisores de 29: {1, 29}

c) Múltiplos de 57: {57, 114, 171, 228} Divisores de 57: {1, 3, 19, 57}

d) Múltiplos de 30: {30, 60, 90, 120} Divisores de 30: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

6. a) 316, 5328, 600

b) 7250, 600, 975

c) Sí, 600. Por 100.

d) Ninguno es primo, todos son compuestos.

7. a) 240 = 24 · 3 · 5 b) 405 = 34 · 5 c) 94 = 2 · 47 d) 735 = 3 · 5 · 72

8. a) 60 = 22 · 3 · 5 225 = 32 · 52

m.c.d.(60, 225) = 3 · 5 = 15 m.c.m.(60, 225) = 22 · 32 · 52 = 900

b) 28 = 22 · 7 105 = 3 · 5 · 7

m.c.d.(28, 105) = 7 m.c.m.(28, 105) = 22 · 5 · 7 = 140

c) 135 = 33 · 5 63 = 32 · 7 99 = 32 · 11

m.c.d.(135, 63, 99) = 32 = 9 m.c.m.(135, 63, 99) = 33 · 5 · 7 · 11 = 3465

d) 300 = 22 · 32 · 52 72 = 23 · 32 120 = 23 · 3 · 5

m.c.d.(300, 72, 120) = 22 · 3 = 12 m.c.m.(300, 72, 120) = 23 · 32 · 52 = 1800

9. El número de monedas es múltiplo de 10, 15 y 20.

Múltiplos de 10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70…}

Múltiplos de 15: {15, 30, 45, 60, 75, 90…}

Múltiplos de 20: {20, 40, 60…}

m.c.m.(10, 15, 20 ) = 60

Como el número de monedas está comprendido entre 200 y 300, Julio tiene 240 monedas de 2 €. Por tanto, tiene480 €.

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






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4

5

3

2

1

1 ES

O


Números enteros

CO N T E N I D O

2 Unidad 2 Números enteros

En esta unidad se amplía el concepto de número introduciendo los números enteros a partir de los números naturales,ya conocidos. Es conveniente justificar esta ampliación con ejemplos de situaciones de la vida cotidiana que no puedanrepresentarse con los números naturales, utilizando para ello los números negativos.

En el momento en que los alumnos comprendan el significado de los números negativos se podrá introducir el conjun-to de los números enteros.

Para que los alumnos comprendan el orden en los números enteros es importante que manejen con soltura el concep-to de valor absoluto de un número entero y la representación de los números enteros en la recta numérica.

Es importante que los alumnos aprendan a operar correctamente con los números enteros. La multiplicación y la divi-sión resultan sencillas porque la única dificultad que presentan, el signo del resultado, es fácil de recordar con la reglade los signos. Pero no es tan fácil interpretar la suma y la resta, ya que en estos casos deben distinguir el significado delos signos + y −, si expresan una operación o si son una cualidad de un número.

La realización de operaciones combinadas con números enteros en el orden concreto, así como la interpretación de lapropiedad distributiva, se puede introducir recordando la jerarquía de las operaciones con números naturales y obser-vando que es la misma para estos nuevos números.

• Interpretación de situaciones reales mediante númerosenteros.

• Números enteros como ampliación de los naturales.• Representación gráfica de números enteros.• Valor absoluto de un número entero.• Opuesto de un número entero.• Ordenación y comparación de números enteros.• Suma de números enteros.• Resta de números enteros.

• Utilización del signo menos en diferentes contextos.• Multiplicación de números enteros. Regla de los signos.

Propiedades.• División de números enteros.• Propiedad distributiva.• Extracción de factor común.• Jerarquía de las operaciones.• Valoración de la utilidad de los números enteros para repre-

sentar e interpretar situaciones de la vida cotidiana.

Unidad 2 Números enteros

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Cuantificar aspectos de la reali-dad que permitan interpretarlamejor, utilizando los númerosenteros y realizando los cálculosapropiados en cada situación.

1.1 Relacionar, representar y orde-nar números enteros.

1.2 Operar correctamente con núme-ros enteros y utilizar sus propie-dades.

1.3 Estimar y calcular el valor de ex -presiones numéricas sencillas denúmeros enteros basadas en lascuatro operaciones elementales,aplicando correctamente la jerar-quía de las operaciones con y sinparéntesis.

• Matemática




• Aprender a aprender2. Aplicar con soltura y adecuada-mente las herramientas mate-máticas adquiridas a situacionesde la vida diaria.

2.1 Utilizar de forma adecuada losnú meros enteros para expresary entender información en acti-vidades relacionadas con la vidacotidiana.

2.2 Utilizar los números enteros y lasoperaciones entre ellos para resol-ver problemas y actividades rela-cionados con la vida cotidiana.

3Números enteros Unidad 2



1. Conocimientos previosPara que los alumnos puedan realizar con soltura las operaciones combinadas con números enteros deben dominar lajerarquía de las mismas en el conjunto de los números naturales.

2. Previsión de dificultadesLa mayor dificultad la vamos a encontrar en la suma y resta de números enteros, debido al doble papel que puedenjugar los signos. Hasta el momento, los signos + y − expresaban una operación matemática; con los números enterossignifican, además, una cualidad del número.

3. Vinculación con otras áreasEn los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar quelos números enteros y el cálculo numérico con ellos están presentes en todos los campos de la ciencia, la economía, latécnica y la sociedad.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza mostrando la necesidad de expresar con números negativos situaciones de la vida cotidiana, lo quepermite la introducción del concepto de número entero.

Posteriormente se estudia la forma de representarlos en la recta numérica y, a partir de ello, se define valor absoluto yopuesto de un número entero, y se indica cómo se comparan y ordenan números enteros.

A continuación se indica cómo se suman númerosenteros, utilizando la representación en la recta, y seintroduce el algoritmo de la resta como la suma a unnúmero del opuesto del otro.

Luego, se dan los algoritmos de la multiplicación y ladivisión exacta como producto y división de los valo-res absolutos de los números a los que se añade el sig-no que se obtiene al aplicar la “regla de los signos”.

Se explica la propiedad distributiva de la multiplica-ción respecto de la suma de enteros y se utiliza parasacar factor común.

Y por último se realizan operaciones combinadasrecordando la jerarquía de las operaciones, que es lamisma que la de los números naturales.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 12 sesiones:

1.ª Números enteros. Representación.

2.ª Valor absoluto. Opuesto. Ordenación y comparación.

3.ª Suma de números enteros.

4.ª Resta de números enteros.

5.ª Sumas y restas combinadas de números enteros.

6.ª Multiplicación. Propiedades.

7.ª División exacta.

8.ª Propiedad distributiva y extracción de factor común.

9.ª y 10.ª Operaciones combinadas.


12.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad.



Valor absoluto

NÚMEROS ENTEROS

Operaciones connúmeros enteros

Propiedades

Representación

Ordenación ycomparación Opuesto



Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los proble-mas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemáticaCon la interpretación y el uso de los números enteros, así como con la adquisición de los algoritmos de las operaciones,se contribuye al desarrollo de los descriptores de las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resoluciónde problemas y uso de elementos y herramientas matemáticas.

Competencia para la interacción con el mundo físicoLa gran mayoría de los problemas contextualizados hacen referencia a la aplicación de los números enteros a situacio-nes del mundo que nos rodea.

Competencia social y ciudadanaCon el texto de entrada y acudiendo al vídeo que viene indicado, se potencia el descriptor conocer y comprender la rea-lidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo, de la subcompetencia desarrollo personal y social.

Además, la utilización de los números enteros en economía y su aplicación a problemas contextualizados contribuyen adesarrollar la subcompetencia participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciadel uso de herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprenderCon la introducción de los números negativos se contribuye a desarrollar el descriptor relacionar la información e inte-grarla con los conocimientos previos y con la propia experiencia de la subcompetencia construcción del conocimiento.

Algunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de estacompetencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propioaprendizaje.


Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta uni-dad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han selecciona-do descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.







Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizarla información contenida en un texto paracontribuir al desarrollo del pensamientocrítico.

– Obtiene información numérica de un texto yextrae conclusiones.


Matemática


Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos de información,datos y argumentación, utilizandovocabulario matemático.

– Aplica los números enteros para representarsituaciones de la vida cotidiana.

En toda la unidad

Resolución deproblemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio ycomprensión de situaciones cotidianas.

Aplicar estrategias de resolución deproblemas adecuadas a cada situación.

– Interpreta y resuelve problemas con ayuda delos números enteros.

En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementos matemáticosbásicos (distintos tipos de números,medidas, símbolos, elementos geométricos,etc.) en situaciones reales o simuladas de lavida cotidiana.

– Opera con rigor y precisión con los númerosnaturales.

En toda la unidad

Interacción con elmundo físico

Aplicación delmétodo científico endiferentes contextos.

Formular hipótesis y prevenirconsecuencias sobre los problemasrelevantes en situaciones reales osimuladas.

– Muestra interés por el ahorro del agua.

Actividad 114

Realizar predicciones con los datos que seposeen, obtener conclusiones basadas enpruebas y contrastar las solucionesobtenidas.

– Calcula la diferencia horaria entre doslugares del planeta.

Pon a prueba tus competencias: Relaciona los datos

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico ytecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la Ciencia y la Tecnología ala sociedad.

– Entiende el concepto de curva de nivel.

Pon a prueba tus competencias:Interpreta un mapa


Adquirir un compromiso activo en laconservación de los recursos y ladiversidad natural.

– Valora la biodiversidad del planeta.

Desarrolla tus competencias: III

Social y ciudadanaDesarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidad históricay social del mundo y su carácter evolutivo.

– Sitúa hechos y períodos históricos relevantespara el progreso científico-técnico.Actividad 109

Tratamiento de lainformación y

competencia digital



– Busca en páginas de internet paracomplementar la información.En la red

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.Actividades 16, 33, 45 y 61, organiza tusideas, autoevaluación

Uso de herramientastecnológicas.

Conocer los diferentes recursostecnológicos y utilizar los programasinformáticos más comunes.

– Realiza un gráfico, ayudándose de una hojade cálculo.Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Aprender a aprenderConstrucción delconocimiento.

Relacionar la información e integrarla conlos conocimientos previos y con la propiaexperiencia.

Mostrar curiosidad y deseo de aprendizaje.

– Resuelve actividades que implicanrazonamiento deductivo

Actividades 94 y 95


EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para el consumo: actividad 117.

• Educación ambiental: actividad 31.


ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.



• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el gradode asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.



SM


• Cuaderno de refuerzo. “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 2. Números enteros.


• Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 3. “Números y ecuaciones”.

– Unidad I. Los números enteros.


– Unidad 10.


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Otros

Números enteros en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia delMinisterio de Educación.


• Recortes de prensa en los que aparezcan números negativos: temperaturas máximas y mínimas en unaregión, clasificaciones deportivas, cotizaciones de bolsa, etc.

• Juegos de dominó con operaciones combinadas con el mismo resultado.

• Termómetro de laboratorio.

Otr

os

mat

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Inte

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os




1. De los números negativos a los números enteros

3. Comparación de números enteros

recta numérica e interpretaremos los opuestos comosimétricos, es decir, que tienen la misma distancia alorigen.

• Es conveniente que los alumnos utilicen correctamentelos símbolos < y >. Si es necesario, se les puede ense-ñar algún pequeño truco, como que el número que estáen el vértice es el más pequeño.

• Para introducir la ordenación de los números enteros, sepueden comparar en primer lugar dos números natura-les y ver que el que uno sea mayor se traduce, en la rec-ta numérica, en que está situado más a la derecha. Acontinuación se extiende está situación a la recta numé-rica completada con los enteros y se realizan varios ejem-plos; pues a los alumnos les cuesta asimilar la idea de queentre dos números enteros negativos es mayor el quemenor valor absoluto tiene.

4. Suma de números enteros• La suma de dos números enteros positivos no va a cau-

sar mayor problema a los alumnos, el problema vendrácuando se trate de un número negativo y otro positivo, ode dos números negativos.

• Para no explicar exclusivamente las reglas de cómo sesuma, se pueden introducir los diferentes casos inter-pretándolos como desplazamientos de un ascensor.

– Se dibuja una recta numérica, que representará lospisos de un edificio, incluidas las plantas del apar-camiento. El número 0 indicará la posición inicialdel ascensor.

– Si el ascensor sube, consideraremos desplaza-mientos positivos, hacia la derecha.

– Si el ascensor baja, consideraremos desplaza-mientos negativos, hacia la izquierda.

Haremos diversos ejemplos de dos movimientos enca-denados del ascensor, combinando todas las posibilida-des, y se anotará la posición final del ascensor.

• Suele resultar muy útil la asociación del signo más con“tener” una cantidad de euros y del signo menos con“deber” una cantidad. Con preguntas del tipo “Si tienes5 euros y debes 7, ¿qué puedes hacer con la deuda?” yescribiendo la situación con enteros no suelen equivo-carse.

La medición de la profundidad de los océanos es un ejem-plo adecuado para introducir los números negativos, comocontraposición a la medición de las altitudes de las ciuda-des.

A la vista del texto se puede establecer un debate en la cla-se sobre las consecuencias, tanto positivas como negativas,de la acción del hombre sobre la Tierra. Podemos pedir alos alumnos que indiquen soluciones que estén a su alcan-ce para subsanar, en la medida de lo posible, las conse-cuencias negativas.

• Introducir los números enteros a partir de la tempera-tura, de la situación del lugar respecto del nivel del mar,de las variaciones de gastos e ingresos o de la planta enla que se encuentra un ascensor son formas muy útilespara comprender sin esfuerzo las situaciones en las quese utilizan estos números y, sobre todo, la necesidad deampliar el conjunto de los números naturales.

• En todos los casos, los números enteros se muestran alos alumnos mucho antes de que empiecen a estudiarlosy ya hayan pasado a formar parte de sus actividades dia-rias.

• Es un buen momento para sugerir a los alumnos que lle-ven al aula recortes de prensa en los que aparezcan noti-cias de cotizaciones de bolsa, de temperaturas máximasy mínimas y de clasificación de deportistas en diferentescompeticiones deportivas.


Básico 4 a 7, 63 a 65 y 67 a 69

Medio 8 y 69


Básico 10 a 13, 70 a 74

Medio 14, 15 y 75 a 77


Básico 1 a 3 y 62

Medio 111 a)

2. Representación de números enteros.Valor absoluto. Opuesto

• La representación en la recta numérica no es difícil, peroconviene que se aprenda bien. Las actividades en las quetienen que adivinar los números que están representa-dos en la recta con letras dando como dato otro que nosea el cero son muy interesantes para lograr este obje-tivo.

• Utilizaremos la representación sobre la recta numéricapara introducir los conceptos de valor absoluto y opues-to de un número entero:

– El valor absoluto lo relacionaremos con la distancia deun número al cero. Para ello podemos valernos de ejem-plos como el siguiente: Andrés y Marta entran en unedificio. Marta sube hasta la planta 3, y Andrés baja has-ta la planta −3. Los tramos de escalera que han subidoy bajado Marta y Andrés son, respectivamente, 3.

– Para comprender el significado de opuesto de un núme-ro utilizaremos la noción de simetría implícita en la



• Cuando haya dos signos seguidos, uno de la operaciónsuma y otro del signo del número, conviene poner parén-tesis.

94 y 95. Estas actividades potencian el razonamiento de-ductivo de los alumnos, ya que los conocimientos adqui-ridos hasta el momento les permitirán determinar losnúmeros solicitados, haciendo que estos cumplan lascaracterísticas indicadas.

7. División exacta de números enteros

5. Resta de números enteros• Como la división es muy parecida a la multiplicación, la

dificultad es la misma: la regla de los signos. Pero comoya se ha trabajado antes, ahora solo hay que repasar unpoco para afianzarla. Para ello se pueden proponer ejer-cicios para completar los signos o números que faltan,ejercicios de verdadero o falso, etc.

8. Propiedad distributiva• La propiedad distributiva ya la conocen por los números

naturales, pero sigue presentando dificultad sobre todocuando se aplica para convertir una multiplicación ensuma. En estos casos, como en la mayoría, conviene rea-lizar muchas y variadas actividades.

• Sin embargo, una buena forma de que aprendan a utilizarlay conozcan sus ventajas es su aplicación al cálculo men-tal. Por ejemplo, para multiplicar un número de una cifrapor 13 descomponiendo este en la suma de 10 más 3.

9. Extraer factor común• Es una técnica difícil para los alumnos. Conviene empe-

zar por actividades sencillas en las que se vea claramenteel factor común, y pedirles que apliquen la propiedad dis-tributiva en sentido inverso al habitual. Para ello es impor-tante que hayan comprendido y practicado la propiedaddistributiva. Una vez les haya quedado claro lo que signi-fica sacar factor común, se podrían complicar las activi-dades donde no se vea a primera vista el factor común ytengan que descomponer ellos los números.

• Se puede introducir la resta como la suma de un núme-ro más el opuesto del otro, utilizando el mismo ejemplográfico de la suma, comentando que restar es hacer locontrario. Si la resta es (+3) − (−2), se traduce a que elascensor primero sube 3 pisos y luego hace lo contrariode bajar 2 pisos, es decir, sube 2 pisos.

(+3) − (−2) = (+3) + (+2) = +5

• Hay que tener mucho cuidado con los signos porque yaempiezan a confundir el menos de la resta con el menosdel entero negativo. Intentar que se fijen y los diferen-cien preguntando el tipo de signo que es el menos queaparece en las operaciones.

• Es importante hacer notar a los alumnos que a partir deahora podremos realizar cualquier resta, ya que tendrásignificado en los números enteros.

• Haremos ver a los alumnos que las sumas y restas enca-denadas pueden hacerse de dos formas:– Realizándolas en el orden que aparecen.– Agrupando por un lado los positivos y por otro los negativos.

109. Una vez que los alumnos hayan comprobado la exten-sa vida del Imperio romano, podemos pedirles querealicen una pequeña labor de investigación, buscan-do matemáticos que vivieron durante el Imperio roma-no e indicando los descubrimientos que realizaron.


Medio 47 a 52, 96 a 98 y 104


Básico 17, 18 y 78

Medio 19 a 21 y 107


Básico 40, 84

Medio 41 a 43, 87, 88, 89 a) y 114

Alto 44


Básico 23 a 26 y 79 a 81

Medio28 a 32, 85, 86, 91, 93, 105, 108 a 110,111 b y 112

Alto 117

6. Multiplicación de números enteros

• Los alumnos en general no tienen dificultades para mul-tiplicar números enteros. El único inconveniente que pre-senta la multiplicación es que a veces no aprenden bienla regla de los signos, y eso se resuelve con la práctica.Aunque también se pueden proponer actividades en lasque tengan que completar los signos que faltan o el núme-ro que falta, o bien del tipo verdadero/falso, donde loimportante sean los signos.


Básico 35, 36, 66, 82 y 83

Medio 37, 38, 88, 89 a), 92 y 113

Alto 94, 95, 118, 120 y 121

114. Podemos aprovechar esta actividad para hacer unapequeña reflexión sobre la cantidad de agua que sedesperdicia en cualquier hogar a lo largo de un día.A continuación trataremos de realizar un decálogode 10 actuaciones básicas que supongan ahorro deagua.


Medio 54 a 56 y 99 a 101



Organiza tus ideas

• Es importante que el alumno realice sus propios esque-mas. Pero para empezar se le puede pedir que comple-te el que aparece en esta página.

• En el apartado de “NÚMEROS ENTEROS” debe anotartres situaciones en las que aparezcan números enterosy los números que las representan, de tal forma que unosea positivo; otro, negativo, y otro, el cero.

• Dentro de ese mismo apartado, para que la recta numé-rica les quede clara, conviene dibujarla en la pizarra porparejas, un número natural positivo y su opuesto, paraque vean clara la simetría. También se puede dibujar enun papel y doblar por el cero, con el fin de que vean quese superponen los números opuestos y les quede claro deeste modo el concepto de valor absoluto y opuesto.

• Para completar los siguientes apartados se deben bus-car ejemplos relativos a cada uno de los contenidos queaparecen: suma de números enteros del mismo signo yde distinto signo, resta, opuesto, multiplicación en todoslos casos posibles, división, etc.

• En sucesivos esquemas, el alumno decidirá si convieneponer un ejemplo para comprender lo que ha escrito oincluso si es suficiente el ejemplo para recordar el con-cepto. Los alumnos deben comprender la importanciade un esquema y aprender a elaborarlo.


INTERPRETA UN MAPA: LAS CURVAS DE NIVEL

En esta actividad se ve un claro ejemplo de la utilizaciónde los números enteros para representar la realidad que nosrodea.

Para que los alumnos se familiaricen con las curvas denivel sería interesante realizar la actividad 1 en común contoda la clase. Se producirán opiniones diferentes a la horade establecer las distintas asociaciones, lo que permitiráentablar pequeños debates, contribuyendo a desarrollar laargumentación.

Una vez concretada la actividad 1, los alumnos no presen-tarán problemas para realizar las otras actividades.

RELACIONA LOS DATOS: HUSOS HORARIOS

Esta actividad requiere que los alumnos sitúen sobre elplaneta algunas ciudades, por lo que deberíamos indicár-selo previamente.

Con esta actividad fortalecemos la subcompetencia apli-cación del método científico en diferentes contextos, yaque los alumnos deben responder a las preguntas indica-das solo con los datos que aparecen en el mapa.

APRENDE A PENSAR: TEMPERATURAS

Para realizar el gráfico que pide la actividad, deberíamosdar a los alumnos unas nociones previas sobre cómo uti-lizar el Excel para realizar un gráfico. Convendría hacerloen el aula de informática.

Los pasos a seguir para la realización del gráfico son:

1) Realizar una tabla de datos:

2) Seleccionar la tabla y marcar el icono de gráfico.

3) Seleccionar gráficos personalizados y elegir “apila-do en colores”.

Kabul La Paz ... Tallín

Máximas 37 25 33

Mínimas −26 −3 −32


10. Operaciones combinadas con números negativos

• A pesar de que la jerarquía de las operaciones con núme-ros enteros es la misma que con números naturales, sonpocos los alumnos que las realizan en el orden correcto.Es necesario realizar muchos ejercicios para conseguirque operen sin pensar en el orden en que deben hacerlo.

• Es conveniente empezar por ejercicios cortos y sencillos.Suelen ser interesantes aquellos en los que la operaciónque está en primer lugar no es la primera que se debehacer:

(−7) + 3 · 2; 10 − (−4) : 2 + 1


Básico 57

Medio 58 a 60, 102 y 103

Alto 115, 116 y 119


Con estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.



Unidad 2 Números enterosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos comprendan la necesidad de otros números distintos de los naturales para expresarsituaciones de la vida diaria de una forma sencilla. Deben aprender a representarlos y a compararlos, así como a rea-lizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, y a aplicar correctamente la jerarquía ope-rativa en casos sencillos con y sin paréntesis. También conviene que manejen la propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la suma para transformar un producto en suma.

• Buscar situaciones del entorno del alumno para que aprendan a sumar números enteros asociando conceptos a lossignos + o −: tener – deber, ganar – perder, subir – bajar…

• Realizar actividades de comparación y ordenación de números enteros negativos.

• No empezar a multiplicar y dividir hasta que no hayan aprendido correctamente a sumar y restar enteros.

• Insistir en la correcta utilización de los paréntesis y de las igualdades.

1. a) +50 b) −9 c) −35 d) +90

2. a) Puede ser −4, −3, −2 o −1. c) Solo puede ser +2.b) Puede ser +1 o +2. d) Solo puede ser +1.

3.

4. 8 · (5 − 4) = 40 − 32 = 8 −36 + 5 · 6 = 6 · (−6 + 5) = −6 8 · (−2) + 7 · (−2) = (8 + 7) · (−2) = −30 10 − 8 = 2 · (5 − 4) = 2 3 · (−9) − 5 · 3 = 3 · (−9 − 5) = −42 (−7 + 1) · (−3) = 21 − 3 = 18

−18 −6 −2 −5 2

−1 4 −2 −6 −4

−24 10 10 10 11


Jugando con los números enteros

Los alumnos se distribuyen en grupos de cuatro personas. A cada grupo se le da un dado blancoy unas pegatinas para poner en cada una de las caras del dado. Después anotarán, en caras dife-rentes, tres números positivos distintos, y en la cara opuesta a cada uno de ellos, su opuesto corres-pondiente. Y por último se les da una hoja con un cuadrado en el que hay nueve números enteroscomo en la figura.

Cada componente debe tirar el dado tres veces y, con las operaciones de suma, resta, multiplica-ción y división, tiene que conseguir alguno de los números que hay en el cuadrado. Una vez con-seguido, pone su nombre en el número.

El ganador es el que más números del cuadrado consiga hacer de esa forma.

Como utilizan operaciones combinadas, deben escribir aquellas con las que han calculado el número, así aprenden a escri-bir las operaciones en el orden correcto y a usar adecuadamente los paréntesis.

Cuando no consiguen ningún número del cuadrado, pasa el turno al siguiente.

Conviene establecer unas reglas y es interesante que en ellas participen los alumnos: quién empieza, cuánto tiempo tie-nen para pensar el número, qué hacer cuando solo queda un número en el cuadrado y nadie consigue obtenerlo…

ACTIVIDAD DE GRUPO



−2 +4 −10

−1 +15 −8

+3 −12 +7


1. Escribe con números enteros las siguientes situaciones.

a) b) c) d)

2. Sitúa en la recta el número entero con la condición que se indica en cada caso.

a) Un negativo mayor que −5.

b) Un positivo con el valor absoluto menor que 3.

c) Un número cuyo opuesto sea −2.

d) Un número tres unidades mayor que −2.

3. Compite con tu compañero. Escribe debajo de cada operación su resultado. Después, suma 3 puntos porcada acierto y �2 por cada fallo.

4. Une con una flecha las operaciones de la izquierda con las que dan el mismo resultado a la derecha.

0 +1

0 +1

0 +1

0 +1

90 cm

35 a

Recibo de la luz...9 m50 m

8 · (5 − 4) •

8 · (−2) + 7 · (−2) •

3 · (−9) − 5 · 3 •

−36 + 5 · 6 •

10 − 8 •

(−7 + 1) · (−3) •

• 21 − 3

• 3 · (−9 − 5)

• 2 · (5 − 4)

• 40 − 32

• 6 · (−6 + 5)

• (8 + 7) · (−2)


Pági

na

foto

cop

iab

le


2 − 5 · 4 (7 − 4) · (1 − 3) (20 − 8) : (−6) −2 + (5 − 6) · 3 [7 + 2 · (−3)] + 1

−3 · 2 − 5 · (−1) −16 : (4 − 8) 14 : 7 · (−2) + 2 (6 − 9) · (−8 + 10) 9 + 15 : (−5) − 10

3 · (−4) − 6 · 2 (10 − 15) · (−3 + 1) −4 + 2 · 7 8 − 10 : (−5) 6 − (4 − 9)



Unidad 2 Números enterosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos utilizan adecuadamente los números enteros, los representan y ordenan, y manejan con soltura lasoperaciones básicas. Por tanto, deben conseguir aplicar la propiedad distributiva para sacar factor común, realizaroperaciones combinadas más complicadas con y sin paréntesis, y resolver problemas de mayor dificultad en cuya solu-ción intervienen los números enteros.

1. −22

2. a) (−6) · [7 + (−2)] c) (−6) · (−3 + 7)b) (−2) · (−1 − 3) d) (−1) · (18 − 5)

3. a)

b)

4. a) 7 c) 23 b) −11 d) −10

5. a) 6 · (3 − 5) · 2 = −24 c) (8 · (−3) + 10) : 2 = −7b) 7 − 10 : (5 − 3) = 2 d) (2 − 5) · (−4) − 16 = −4

6. a) 16 c) −19 e) 10 g) 26b) 4 d) −16 f) 15 h) 0

7. a)

b) Julia y Javier están en el mismo punto, en el −1.

8. Paga: +1200 Recibo comunidad: −74Extra: +250 Recibo luz: −35

Móvil: −24Banco: −8

Ingresos: 1450 Gastos: −1412386 − (1450 − 141) = 1077 €

9. Diferencia de temperatura entre suelo y globo:18 − (−90) = 108 °C

Saltos térmicos:108 : 9 = 12

Altura del globo:12 · 300 = 3600 m

+5013

PabloJavierJulia Ana

−5 2 −5 −4

−10 1 −6 3

−1 −6 −1 −4

4 −9 0 −7

2 −8 −6

−12 −4 4

−2 0 −10


El juego del acercarse (con calculadora)

Los alumnos se distribuyen en grupos de 4 personas. Cada alumno tendrá un lápiz, una calculadora y un folio, y cadagrupo tendrá un folio en el que anotar las puntuaciones. Además, antes de empezar se fija el número de puntos que hayque conseguir para ganar el juego o el número de partidas que se van a jugar.

Uno de los componentes del grupo dirá un número de dos cifras (en cada partida se irán alternando positivo y negativo,y se irá cambiando el componente que elige ese número). Luego, él y cada uno de los otros dirá un número de una solacifra (uno positivo y otro negativo).

El juego consiste en conseguir el número de dos cifras combinando con sumas, restas, multiplicaciones y divisiones losnúmeros de una cifra.

Todos los componentes del grupo lo intentarán a la vez durante un tiempo que ellos establecerán. Para conseguirlo seayudarán de la calculadora, que hace las operaciones más rápidamente, pero no se dará por válida la operación que nohaya sido anotada en el folio que tiene cada uno y que no haya respetado la prioridad de las operaciones.

Cada jugador obtendrá una puntuación que dependerá de la aproximación conseguida:

Si consigue el exacto, 10 puntos; si el resultado obtenido difiere en 5 unidades o menos, 6 puntos; si la diferencia estáentre 6 y 10 unidades, 3 puntos, y si la diferencia es mayor de 10 unidades, (−2) puntos.

ACTIVIDAD DE GRUPO




1. ¿Cuál es el número entero que sumado a 13 da �9?

2. Descompón cada uno de los números siguientes en el producto de un entero negativo por la suma o dife-rencia de otros dos.

a) −30 b) 8 c) −24 d) −13

3. En un cuadrado mágico, la suma de los números colocados en cada fila, en cada columna y en cada dia-gonal da el mismo resultado. Completa los huecos de los siguientes cuadrados mágicos.

4. Calcula las siguientes operaciones.

a) ⎢8 + 5 · (−3)⎢ c) ⎢54 : (−6)⎢ + ⎢2 · (−7)⎢b) (−9) − ⎢16 : (−8)⎢ d) ⎢−12 + 10⎢ − 4 · ⎢−3⎢

5. Pon paréntesis donde corresponda para que las siguientes igualdades sean ciertas.

a) 6 · 3 − 5 · 2 = −24 c) 8 · (−3) + 10 : 2 = −7

b) 7 − 10 : 5 − 3 = 2 d) 2 − 5 · (−4) − 16 = −4

6. Realiza en el orden adecuado las siguientes operaciones con números enteros.

a) 3 · (−12) : 6 − 36 : (−2) + 4 e) (−6) + 4 · [3 − 16 : (−2) − 7]

b) (−12) − 40 : (−10) + (−2) · 9 + 30 f) (−15) − [39 : (−2 − 1) − 17]

c) 8 + 15 : (−5) · 7 − 6 g) 14 − [5 − (17 − 3) : (−2) − 15] · 4

d) 32 : (−3 + 11) · (9 − 13) h) [(−2) · (6 − 8) − 4 ] : (−15)

7. Ana, Julia, Pablo y Javier han colocado una piedra en el suelo y se van a situar a dos lados de ella: dere-cha e izquierda. Ana se coloca 5 metros a la derecha; Pablo, 3 metros a la izquierda; Julia, 2 metros a laderecha de Pablo, y Javier, 6 metros a la izquierda de Ana.

a) Representa esta situación.

b) ¿Se han colocado algunos amigos en el mismo punto?

8. Los movimientos de la cuenta corriente de Eva durante el mes pasado fueron los siguientes: un ingre-so de 1200 euros de su paga mensual; cobraron dos recibos: uno de 74 euros de comunidad y otro de35 euros de la luz; un ingreso de un trabajo extra de 250 euros; pagó 24 euros por el móvil y el bancole cobró 8 euros por el mantenimiento de su cuenta.

Al finalizar el mes tenía en su cuenta 2386 euros. ¿Cuál era el saldo al principio de mes?

9. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera a razón de 9 °C por cada 300 metros, apro-ximadamente. Un globo sonda mide una temperatura de �90 °C en cierto momento de un día en el quela temperatura a nivel del suelo es de 18 °C. ¿A qué altura se encuentra el globo sonda?

−5 2 −5

1 −6 3

−6 −1

4 −7

2 −8 −6

−4 4

−2



Pági

na

foto

cop

iab

le


APELLIDOS: NOMBRE:


1. Expresa las siguientes situaciones con números enteros y representa después los valores obtenidos paracada una de ellas en la recta numérica.

a) La profundidad de una zanja es de 3 metros.

b) La cometa se elevó a 2 metros de altura.

c) No tengo ni un euro.

d) La temperatura ha descendido 5 grados.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes números.

a) +9, +7, +12, 0, +3, +6

b) −5, −8, 0, −10, −1, −3

c) +2, −6, −4, −8, +5, 0

3. Escribe los números que faltan.

a) +5 − (op (op )) = −2 b) −7 + (op (op (op ))) + 2 = 5

4. Realiza las siguientes operaciones con números enteros.

a) 18 + (−9) + (−2) e) 6 · (−4) · (−3)

b) (−7) + (−12) + 5 f) (−8) · 5 · 2

c) 3 − (−15) g) 84 : (−4)

d) (−19) − (−13) h) (−45) : (−5)

5. Saca factor común en las siguientes sumas y después calcula el resultado.

a) 7 · (−3) + (−9) · (−3) c) (−6) · 7 + (−18)

b) 2 · 5 + (−2) · 4 d) (−24) + 32

6. Calcula el resultado de las siguientes operaciones con números enteros.

a) (−3) − 5 · 2 − 18 : (−9) c) (−40) : 10 − (−5) · 9 − 25

b) 10 − 28 : (−7) · (−2) + 6 d) (−56) − 30 : (−2) − 8 : (−4)

7. Realiza las siguientes operaciones.

a) 16 − 3 · [5 + (−4) − 6]

b) (−80) : (10 · 2) + (8 − 11) · 6

c) −9 − 4 · [12 − (7 − 2)] + 23

d) −24 : (19 − 3 · 5) + (−2) · [(−8) + 4 · 7]

8. A principios del mes pasado, Sara tenía 48 € en su libreta de ahorros. La primera semana, sus padresle ingresaron 30 €, y sus abuelos, 50 €. La segunda semana, Sara sacó 25 € para comprar un libro, yla última sacó 12 € más para un regalo.

a) Expresa con números enteros los cambios producidos en la libreta de Sara durante el mes pasado.

b) Utilizando operaciones con números enteros, calcula cuánto dinero le queda al finalizar el mes.

Pági

na

foto

cop

iab

le




Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) −3 b) +2 c) 0 d) −5

2. a) 0 < +3 < +6 < +7 < +9 < +12

b) −10 < −8 < −5 < −3 < −1 < 0

c) −8 < −6 < −4 < 0 < +2 < +5

3. a) +5 − (op (op (+ 7))) = −2

b) −7 + (op (op (op (−10)))) + 2 = 5

4. a) 18 + (−9) + (−2) = 18 − 9 − 2 = 18 − 11 = 7

b) (−7) + (−12) + 5 = −7 − 12 + 5 = −19 + 5 = −14

c) 3 − (−15) = 3 + 15 = 18

d) (−19) − (−13) = −19 + 13 = −6

e) 6 · (−4) · (−3) = −72

f) (−8) · 5 · 2 = −80

g) 84 : (−4) = −21

h) (−45) : (−5) = 9

5. a) 7 · (−3) + (−9) · (−3) = [7 + (−9)] · (−3) = (−2) · (−3) = 6

b) 2 · 5 + (−2) · 4 = 2 · [5 + (− 4)] = 2 · 1 = 2

c) (−6) · 7 + (−18) = (−6) · (7 + 3) = −60

d) (−24) + 32 = 8 · [(−3) + 4] = 8 · 1 = 8

6. a) (−3) − 5 · 2 − 18 : (−9) = −3 − 10 + 2 = −13 + 2 = −11

b) 10 − 28 : (−7) · (−2) + 6 = 10 + 4 · (−2) + 6 = 10 − 8 + 6 = 16 − 8 = 8

c) (−40) : 10 − (−5) · 9 − 25 = −4 − (−45) − 25 = −4 + 45 − 25 = 45 − 29 = 16

d) (−56) − 30 : (−2) − 8 : (−4) = −56 + 15 + 2 = −56 + 17 = −39

7. a) 16 − 3 · [5 + (−4) − 6] = 16 − 3 · [5 − 4 − 6 ] = 16 − 3 · (−5) = 16 + 15 = 31

b) (−80) : (10 · 2) + (8 − 11) · 6 = (− 80) : 20 + (−3) · 6 = (−4) − 18 = −22

c) −9 − 4 · [12 − (7 − 2)] + 23 = −9 − 4 · [12 − 5] + 23 = −9 − 4 · 7 + 23 = −9 − 28 + 23 = −37 + 23 = −14

d) −24 : (19 − 3 · 5) + (−2) · [(−8) + 4 · 7] = −24 : (19 − 15) + (−2) · [(−8) + 28] = −24 : 4 + (−2) · 20 = −6 − 40 = −46

8. a) + 48 + 30 + 50 − 25 − 12

b) + 48 + 30 + 50 − 25 − 12 = 128 − 37 = 91

Le quedan 91 € a final de mes.




Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2





Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación

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4

5

3

2

1

1 ES

O


Potencias yraíz cuadrada

CO N T E N I D O

2 Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada

INTRODUCCIÓNLos contenidos de este tema se deben dar una vez que los alumnos dominen las operaciones básicas (suma, resta, mul-tiplicación y división) con los números enteros. Las potencias y las raíces cuadradas son conceptos instrumentales quese van a utilizar profusamente en toda la secundaria, por lo que conviene que se capten correctamente.

El concepto de potencia se puede introducir como una forma abreviada de escribir multiplicaciones de un mismo ente-ro. Conviene relacionar el estudio de las potencias con la geometría, las potencias de exponente 2 con los cuadrados ylas de exponente 3 con los cubos.

La aplicación de la definición de potencia para las potencias de base negativa, junto con las reglas de los signos, debellevarnos a la relación del signo de la potencia con la paridad del exponente.

El concepto de raíz no es nuevo para los alumnos. En esta unidad no se explica el algoritmo para su cálculo, lo que sepretende es que las calculen por tanteo, entendiendo la raíz cuadrada como la operación inversa de elevar al cuadrado.Conviene empezar con el cálculo de raíces cuadradas exactas, y una vez dominado, pasar al cálculo de raíces cuadra-das enteras mediante aproximación de cuadrados, calculando el resto.

• Potencia de exponente natural. Base y exponente.

• Potencias de exponentes 2 y 3: cuadrados y cubos.

• Potencias de base de un número negativo.

• Calcular el signo de potencias de base negativa.

• Potencia de un producto y de un cociente.

• Producto y cociente de potencias de igual base.

• Base y exponente de productos y cocientes de potenciasde la misma base.

• Potencias de exponente 1 y 0.

• Potencia de una potencia, base y exponente.

• Reducción de expresiones sencillas a una sola potencia.

• Reducción de expresiones complejas a una sola potencia.

• Cuadrados perfectos.

• Raíz cuadrada exacta.

• Cálculo de raíces exactas.

• Raíz cuadrada entera, resto de la raíz.

• Cálculo de raíz cuadrada entera y su resto.

• Resolución de problemas que impliquen el uso de poten-cias y raíces.

Unidad 3 Potencias y raíz cuadrada

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Entender los conceptos de poten-cia y raíz cuadrada, así como uti-lizar e interpretar las potencias yraíces cuadradas en expresionesmatemáticas sencillas, manipu-lando los algoritmos de cálculonecesarios.

1.1 Distinguir la base y el expo-nente de una potencia entera.

1.2 Operar con potencias de pro-ductos y cocientes, con produc-tos y cocientes de potencias dela misma base o con potenciasde potencias.

1.3 Calcular la raíz exacta de unnúmero.

1.4 Calcular la raíz cuadra enterade un número y su resto.

• Lingüística• Matemática• Interacción con el mundo físico• Social y ciudadana• Tratamiento de la información y

competencia digital• Aprender a aprender2. Resolver problemas relacionados

con la vida cotidiana describiendoverbalmente el proceso elegido ylas soluciones obtenidas, y utili-zando correctamente las poten-cias y las raíces cuadradas.

2.1 Plantear y resolver problemasutilizando potencias y/o raícescuadradas.

3Potencias y raíz cuadrada Unidad 3



1. Conocimientos previosLos alumnos deben dominar todo lo relativo a las operaciones con números naturales y números enteros para com-prender el concepto de potencia.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad que van a encontrar los alumnos es la aplicación simultánea, en un mismo ejercicio, de dos o máspropiedades de las potencias. Para evitarlo sería conveniente dedicar una sesión a realizar las actividades 28, 34, 37 y65 a 68.

3. Vinculación con otras áreasEn los epígrafes se detallará de una forma más concreta la vinculación con otras áreas, aunque podemos afirmar quelas potencias y la aplicación de sus propiedades para el cálculo están presentes en todos los campos de la ciencia, la eco-nomía, la técnica y la sociedad.

4. Esquema general de la unidadEsta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la etapa. Captar correctamente los conceptos de poten-cias y raíz cuadrada evita posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una multiplicación abreviada, y laraíz cuadrada, como la operación inversa de la potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad está dividi-da en dos partes, una relacionada con potencias y otra con raíces cuadradas.

Comienza la unidad con la definición de poten-cia como una expresión abreviada de una mul-tiplicación de factores iguales, definiendo labase y el exponente de la potencia. Se resaltanlas potencias de exponentes 2 y 3, los cuadra-dos y cubos, y las potencias de base negativa.

A continuación se expone cómo operar con laspotencias de un producto y de un cocienteexpandiéndolas a productos y cocientes depotencias.

Seguidamente se enseña a trabajar con el pro-ducto y el cociente de potencias de la mismabase y a pasarlos a una única potencia de la mis-ma base. Como caso particular aparecen laspotencias de exponente 1 y 0. Las potencias depotencias permiten obtener una única potencia.

Una vez terminada la parte de potencias se pasaa definir cuadrado perfecto y la raíz cuadradaexacta como la base de un cuadrado perfecto.Si el radicando no es un cuadrado perfecto, sepuede definir la raíz cuadrada entera y el res-to de la raíz.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones:

1.ª Introducción. Potencias de exponente natural.

2.ª Potencia de un producto y de un cociente. Producto y cociente de potencias de la misma base.

3.ª Potencia de potencia. Reducción de expresiones a una sola potencia.

4.ª Cuadrado perfecto. Raíz cuadrada exacta.

5.ª Raíz cuadrada entera. Resto.

6.ª y 7.ª Actividades de consolidación.

8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.



Potencias deexponente natural

POTENCIAS Y RAÍZCUADRADA

Operacionescon potenciasde la misma

base

Potencia deun producto

Potencia deun cociente

Potencia deuna potencia

Raíz cuadrada enteraResto

Cuadrados perfectosRaíz cuadrada exacta

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Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad. En especial, con el texto de entrada, el epígrafe 1 y los proble-mas contextualizados se desarrolla de una forma más concreta la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias e indicadores.

Como la unidad está dedicada a las potencias y sus propiedades, se trabaja sobre todo la subcompetencia uso de ele-mentos y herramientas matemáticas.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn la unidad hay varias actividades que hacen referencia a la aplicación de las potencias y las raíces a situaciones con-cretas de la vida real.

Competencia social y ciudadanaA partir del texto de entrada podremos hacer una reflexión que nos ayude a desarrollar la subcompetencia desarrollopersonal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalA lo largo de la unidad aparecen en LIBROSVIVOS y EN LA RED varias referencias para realizar actividades interactivasy buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetenciadel uso de herramientas tecnológicas.

El texto de entrada, junto con la primera actividad de “Pon a prueba tus competencias”, contribuye de forma especial adesarrollar la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprenderAlgunas de las actividades propuestas, y con mayor carácter las de ampliación, permiten averiguar la adquisición de estacompetencia, en especial la subcompetencia conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propioaprendizaje.



En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate.



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias que prescribe el currículo. Para esta unidad, en con-creto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptorescompetenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.







Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenidaen un texto para contribuir aldesarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información de varias lecturas,determina cuál es relevante y la emplea en laresolución de problemas reales.

Pon a prueba tus competencias.

Matemática


Interpretar y expresar con claridady precisión distintos tipos deinformación, datos yargumentación, utilizandovocabulario matemático.

– Aplica las potencias para representarsituaciones de la vida cotidiana.

En toda la unidad.


Utilizar las matemáticas para elestudio y comprensión desituaciones cotidianas.

Aplicar estrategias de resoluciónde problemas adecuadas a cadasituación.

– Interpreta y resuelve problemas con ayuda de laspotencias y las raíces.

En toda la unidad.


Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintostipos de números, medidas,símbolos, elementos geométricos,etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.

– Opera con rigor y precisión con potencias parareducir expresiones.

En toda la unidad.


Aplicación delmétodo científico endiferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguajecientífico para interpretarsituaciones en diversos contextos(académico, personal y social).

– Aplica las potencias para calcular cantidades.

Actividades 6, 83 y 84.

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y latecnología a la sociedad.

– Conoce en qué consiste la prueba del carbono 14.Pon a prueba tus competencias. Analiza y deduce.

– Conoce las unidades de capacidad de memoriaelectrónica.

Actividad 22.

Competencia socialy ciudadana


Conocerse, valorarse y aprender acomunicarse en diferentescontextos.

– Es crítico con el uso de las redes sociales.

Desarrolla tus competencias.


competencia digital


Buscar y seleccionar informacióncon distintas técnicas según lafuente o el soporte, valorando sufiabilidad.

– Busca en páginas de internet para complementar lainformación.

En la red

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.

Actividades 7, 15, 38, 44 y 51, organiza tusideas, autoevaluación.

Uso de herramientastecnológicas.

Identificar y utilizar lastecnologías de la información ycomunicación como herramientade aprendizaje, trabajo y ocio.

– Conoce cómo usar las redes sociales.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.

Potencias y raíz cuadrada Unidad 3

6


• Educación ambiental: actividad “Carbono 14” de “Pon a prueba tus competencias”.


ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permi-ten trabajar la diversidad del alumnado.



• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.




SM


• Cuaderno de Matemáticas básicas.

– Unidad 3. Potencias.


• Cuaderno de refuerzo de matemáticas “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 1. Números naturales.

• Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales”.

– Unidad 2. Potencias y raíces.

• Cuaderno de resolución de problemas I. 1.º de ESO.


www.librosvivos.net

Otros

Potencias en la página del proyecto Descartes, educación digital a distancia del Ministe-rio de Educación.


Potencias y raíces en la página del proyecto Averroes.


Otros materiales

• Juegos de dominó en los que intervengan potencias, raíces cuadradas y sus soluciones.

• Tablas de cuadrados perfectos y cubos.

• La calculadora científica permite la simplificación de los cálculos numéricos y la obtención de las poten-cias cuyos resultados son de varias cifras.

Otr

os

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os


7



Entrada

1. Potencias de exponente mayor que 1

2. Potencia de un producto y deun cociente

I. Podemos realizar esta actividad a la vez que vamosexplicando la teoría de los seis grados de separación ycomprobar así si los alumnos la han comprendido.

II. Esta actividad nos servirá para comprobar cuántosalumnos utilizan redes sociales y para qué las utilizan,facilitando el trabajo para la actividad III.

III. La puesta en común de la actividad III puede ser el pun-to de partida para establecer un debate sobre el usoadecuado de las redes sociales, pidiendo a los alum-nos que expongan situaciones concretas, tanto perju-diciales como ventajosas.

Algunas de las situaciones ventajosas serían:

– Las redes pueden permitir el intercambio de infor-mación entre los alumnos, la comunicación entre ellospara explicarse dudas, el préstamo de apuntes.

– Potencian las relaciones socioafectivas.

El principal inconveniente del uso de las redes es que losalumnos no son conscientes de que lo que en ellas regis-tran puede ser visto por muchas personas, siempre y cuan-do no hayan configurado bien las opciones de privacidad.

Para comprender la teoría de los seis grados de separaciónpodemos proponer ejemplos sencillos como el de que elnúmero de intermediarios entre cualquiera de ellos y elpadre o la madre de un compañero es 2.

• Conviene detenerse en el concepto de potencia de basey exponente natural, entendido como una forma abrevia-da de escribir un producto de factores iguales. Con nume-rosos ejemplos, los alumnos deben identificar como baseel factor y como exponente el número de veces que serepite dicho factor, ya que es muy frecuente que multi-pliquen la base por el exponente.

• Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de basenegativa e insistir en el signo de la potencia según sea elexponente par o impar. Un error común es no utilizar losparéntesis cuando la base de la potencia es negativa.

6, 83 y 84. Estos tres problemas contextualizados permitenver de una forma concreta cómo el lenguaje matemá-tico sirve para expresar situaciones del mundo que nosrodea.

• Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o deun cociente. Cada ejemplo se puede realizar de dos for-mas distintas, primero operando el paréntesis o prime-ro desarrollando el paréntesis.

• Es conveniente realizar también ejemplos como los dela actividad resuelta, en los que se apliquen estas pro-piedades en el sentido inverso, es decir:

(an · bn) = (a · b)n

(an : bn) (a : b)n

• Hay que tener cuidado en que la potencia solo se puedeaplicar si se tiene un producto o un cociente. No se pue-de aplicar el desarrollo a la potencia de una suma o de unaresta.

3. Producto y cociente de potenciasde la misma base

• Los alumnos deben conseguir averiguar la regla del pro-ducto mediante ejemplos en los que se desarrollen laspotencias para luego comprimir el producto como unaúnica potencia.

• Hacer hincapié en el orden de prioridad de las operacio-nes cuando haya sumas y restas de potencias de la mis-ma base.

• La regla del cociente la demostraremos mediante ejem-plos en los que se desarrollen las potencias, posterior-mente se simplifique el cociente y se escriba la potenciaresultante.

• Hacer observar que al dividir potencias del mismo expo-nente resultan potencias de exponente 0, y relacionarlocon que el cociente de dos números iguales es la unidad.

• Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor nosea mayor que el exponente del dividendo. A alumnosavanzados se les pueden explicar las potencias de expo-nente negativo.


Básico 2, 3, 52 a 55, 61 y 82 a 84

Medio 4 a 6, 56, 57 y 85


Básico 17 a 19, 23, 24 y 62

Medio 20 a 22, 25 a 29, 63 y 64


Básico 9 a 11 y 58

Medio 8, 69.12, 13 y 14


8


5. Raíz cuadrada exacta y cuadradosperfectos

6. Raíz cuadrada entera• La raíz cuadrada entera es una generalización de la raíz

cuadrada exacta. Algunos alumnos creen que solo exis-ten raíces cuadradas exactas.

• El concepto de resto de la raíz es complicado. Se puedever como los puntos que sobran para formar el mayorcuadrado posible, como se muestra en el margen y enlas actividades de refuerzo.

• Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile elconcepto de raíz cuadrada entera y su resto.

• Para calcular raíces de números superiores a 100, si elalumno no está familiarizado con los cuadrados perfec-tos mayores que 100, es bueno seguir estos pasos:

1. Determinamos el número de cifras de la raíz. Paraello hacemos grupos de dos cifras empezando por laderecha, teniendo en cuenta que el grupo de laizquierda puede tener una cifra o dos. La raíz cua-drada tendrá tantas cifras como grupos se hayanformado.

2. Se calcula la raíz del primer grupo: = 3. La primeracifra de la raíz de 1357 es 3.

3. Vamos probando hasta obtener el mayor númeroque elevado al cuadrado es menor que el radicando.

302 = 900

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369 > 1357

La raíz cuadrada entera es 36

4. Calculamos el resto: 1357 − 1296 = 61

13

1357

Organiza tus ideasEn esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se empieza por las potencias, dando ladefinición de potencia y las operaciones con potencias. Acontinuación se da la definición de raíz cuadrada exacta,cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera.

• Es importante que el alumno realice sus propios esque-mas. Pero para empezar se le puede pedir que comple-te el que aparece en esta página, con los conceptos yejemplos que a su juicio falten, o que le sirvan para com-prender mejor lo estudiado.

• El concepto de raíz cuadrada se puede explicar como elcálculo de la base de un cuadrado perfecto.

• La palabra cuadrada hace referencia al objeto geométri-co. Se puede explicar dibujando cuadrados de puntos,siendo la raíz cuadrada el número de puntos del lado delcuadrado.

• Puede ser útil construir una tabla con los 25 primeroscuadrados perfectos, para el posterior cálculo de raícescuadradas.

• Una vez que hayan elaborado la tabla con los primeros 25cuadrados perfectos, sería un buen momento para rea-lizar la actividad 78.

• Como ampliación, y de forma análoga a la raíz cuadrada,puede introducirse la raíz cúbica como operación inver-sa a la potencia cubo.


Básico 32, 33 y 35

Medio 34, 36, 37 y 65

Alto 66 a 68, 103 y 107


Básico 40, 69, 70, 72 y 73

Medio 41 a 43, 71, 74 a 76, 86, 87, 92, 93 y 96

Alto 81, 97, 100 a 102, 105 y 107


Básico 46 a 48, 77 y 78

Medio 49, 50, 79, 80, 88 a 91, 94 y 95

Alto 98 y 99


4. Potencia de potencia• Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una

potencia es un caso particular de productos de potenciasde la misma base.

• Hay que tener cuidado si la base de la potencia es nega-tiva para escribir correctamente los paréntesis.

• Al finalizar este epígrafe conviene detenerse en realizarejercicios en los que haya que expresar diversas expre-siones en una sola potencia, siendo necesario para elloaplicar las cinco propiedades de las potencias.

22. Podemos utilizar este ejercicio para hacer una refle-xión sobre la aportación del desarrollo tecnológico a lasociedad, con la evolución que han sufrido las unida-des de memoria y las repercusiones que esto suponepara el medio ambiente, con menos gasto de papel. Unejemplo para ilustrar este fenómeno es la presentaciónen el Congreso de los Presupuestos Generales del Esta-do. Antiguamente eran cajas y cajas de folios, poste-riormente se utilizaron DVD, y por último, un pendrive.

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APRENDE A PENSAR: EL PODER DE LAS REDES SOCIALES

Para que los alumnos respondan a las actividades 1, 2 y 3deberemos guiarles para que sean capaces de deducirlaspor sí mismos.

Para ello partiremos de supuestos más sencillos, supo-niendo que la información la transmite una persona a 2, 3y 5 personas que no la han recibido anteriormente, y com-pletaremos en la pizarra una tabla como la siguiente:

Al ver las secuencias que aparecen en las diferentescolumnas, no les costará deducir que a las 10.00 la infor-mación la saben 1 + 20 personas, a las 11.00 ha llegado a1 + 20 + 20 · 102; y así sucesivamente.

Velocidad de transmisión 2 3 5

Antes de las 10.00 1 1 1

10.00 2 3 5

11.00 22 32 52

12.00 23 33 53

Total 15 40 156



Para responder a las preguntas 2 y 3 deberán encontrar, conayuda de la calculadora, cuál es el número n que verifica que:

1 + 20 + 20 · 10 + 20 · 102 + ... + 20 · 10n

sea igual a 2000 o 6000 millones.

La última actividad es una extensión de las actividades dela entrada de la unidad.

Una vez que los alumnos hayan comprobado lo vertigino-so que es el ritmo de crecimiento de las personas que reci-ben la información, valorarán la importancia que tiene el sercríticos con la información que cuelgan en la red.

ANALIZA Y DEDUCE: LA PRUEBA DEL CARBONO 14Esta actividad muestra la utilidad de las potencias paraescribir números grandes.

Puede servirnos de pie para introducir, como contenido deampliación, la notación científica, para lo que primera-mente tendríamos que repasar las potencias de 10 y losnúmeros decimales.

Para completar la tabla los alumnos tienen que darse cuentade que mientras los años transcurridos se duplican, la can-tidad de unidades de carbono 14 queda dividida por 2, porlo que habrá un momento en el que el fósil ya no contengamás unidades y sea imposible datarlo.

CREA UN JUEGO: MAGIA CON LAS POTENCIASEsta actividad se realizará de forma individual. Tiene carác-ter lúdico y permite a los alumnos ver el lado divertido delas matemáticas.

Al calcular los diferentes números, los alumnos se daráncuenta de que podemos escribir cualquier número comosuma de potencias de 2.

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Unidad 3 Potencias y raíz cuadradaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: distinguir la base y el exponente de una potencia yoperar con potencias de forma básica.

• Hay que insistir en la diferencia entre una potencia y un producto. A veces, los alumnos creen que es una multipli-cación; por ejemplo, 24 = 16 lo confunden con 2 · 4 = 8.

• Es importante recalcar el uso correcto de los paréntesis. Un error común ocurre con las potencias de base negati-va. Confunden con , siendo cierto si n es impar, pero no si es par.

• También es fundamental el cálculo de raíces cuadradas enteras por aproximaciones de números de pocas cifras para asi-milar el concepto, ya que las raíces de un gran número de cifras se pueden calcular con la ayuda de una calculadora.

A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esque-mas o dibujos.

−xn( )−x n

1. a) 35 = 243 b) 73 = 343 c) 83 = 5122.

3. a) Raíz, 5. Resto, 2 b) Raíz, 7. Resto, 7 c) Raíz, 7. Resto, 144. 22 · 23 = 25 = 32

24 : 2 = 23 = 8(10 : 5)4 = 24 = 16(24)0 = 20 = 122 · 22 · 22 = 26 = 64

A B C D E

1 2 2 5 1

2 8 2 5 6

3 9 9

4 3 6 4

5 1 0 2 4


Dominó de potencias

Vamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y enotro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado es el número entero escrito. Divididla pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.

Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominócon un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid lasoperaciones y los números.

Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.

Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas.Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de losextremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga ponertodas sus fichas.

Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete elcírculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

ACTIVIDAD DE GRUPO




11

1. Relaciona cada piloto con su moto.

2. Completa el crucigrama.

Horizontales1. 152; 20

2. 23; (2 · 8)2

3. (−3)2; 32

4. 3; 82

5. 45

VerticalesA) 174 : 172; 1B) 21; C) 232; 2D) 53 : 52; 26

E) 24; (−2)2

900

3. Las raíces cuadradas enteras de un número y el resto pueden calcularse gráficamente con ayuda de unacuadrícula. Fíjate en el ejemplo y calcula con ayuda de la cuadrícula las raíces y restos de los númerosindicados.

Para calcular la raíz cuadrada entera de 18, pintamos 18 cuadrados en la cuadrícula, for-mando cuadrados. El lado del mayor cuadrado que podamos formar es la raíz, y los cua-drados que quedan sueltos indican el resto.

a) 27 b) 56 c) 63


Pági

na

foto

cop

iab

le



243 343 512

4. Une con flechas cada expresión con la potencia correspondiente, y cada potencia con su valor.

22 · 23 24 8

24 : 2 23 16

(10 : 5)4 25 32

(24)0 26 1

22 · 22 · 22 20 64

8 3 3 5 7 3

A B C D E

1

2

3

4

5

a) b) c)

12


Unidad 3 Potencias y raíz cuadradaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Se proponen diversas actividades, unas son de ampliación y otras son curiosidades matemáticas.

Para algunas actividades sería conveniente enseñar el uso de la calculadora. La calculadora es una herramienta quesirve para comprobar los resultados o para operar números con muchas cifras decimales. Las calculadoras simplesrealizan sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Para la mayoría de las actividades de la unidad es suficiente coneste tipo de calculadoras.

1. Depende de la factorización de la base y del exponente.a) 42

b) 26 u 82

c) 56 ó 1252

d) 493 ó 3432

2. 1 vez: 21 mm 2 veces: 22 = 4 mm3 veces: 23 = 8 mm 4 veces: 24 = 16 mm5 veces: 25 = 32 mm 100 veces: 2100 mm

3. 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 personas

4. a) 24 · ( − 2)3 = 24 · 23 = 27

b) : 23 = (11 − 9)5 : 23 = 25 : 23 = 22

c) = · 53 = 5 · 53 = 54

d) = (9 − 6)5 : 9 = 35 : 32 = 33

5. No es posible. La raíz cuadrada entera de 450 es 21, yel resto es 9.

6. Si acaba en 5, su raíz acaba en 5.Si acaba en 6, su raíz acaba en 4 ó 6.Un cuadrado perfecto no puede acabar en 3.

7. Se puede formar un cuadrado de lado 223 fichas ysobran 271 fichas.Para el cuadrado de lado 224 faltan 176 fichas.

8. El método no es correcto. Por ejemplo, no se cumplepara 2116.

9. 263 = 17 576 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26273 = 19 683 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27

10. 12 = 22 + 22 + 22

16 = 42

23 = 32 + 32 + 22 + 12

238 = 152 + 32 + 22

239 = 152 + 32 + 22 + 12

3 36 925

−( ) :

253 4 52 2 3+( )⋅121 81

5

−( )16


Dominó de potenciasVamos a construir un dominó de potencias. Para realizar las fichas deben escribir en un papel un número entero, y enotro, diversas operaciones con potencias y raíces cuadradas exactas cuyo resultado sea el número entero escrito. Divi-did la pizarra en dos partes, poned en una las potencias, y en la otra, los resultados.Comprobad que no coinciden dos operaciones o números. Cada uno de los alumnos fabricará varias piezas de dominócon un número en uno de los extremos de la pieza y una de las operaciones en el otro extremo; para ello, repartid lasoperaciones y los números.Una vez terminadas las fichas se puede jugar de varias formas.Una forma sería repartir las fichas entre todos los alumnos de modo que cada uno tenga el mismo número de fichas.Se juega por turnos, el primero sitúa una pieza, el siguiente intenta poner una de las suyas a continuación en uno de losextremos de forma que coincidan la operación y el número, y así sucesivamente. Gana el primer alumno que consiga ponertodas sus fichas.Otra forma puede ser intentar poner todas las fichas, una tras otra como en el anterior juego, hasta que se complete elcírculo. Hay que intentar situar todas las fichas, lo cual puede resultar imposible.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Escribe las siguientes potencias como otra potencia distinta de exponente distinto de 1. ¿Existen variasformas? ¿De qué depende?

a) 24 b) 43 c) 253 d) 76

2. Un folio mide 1 milímetro de grueso. Calcula el grosor si lo doblas 1 vez por la mitad. ¿Y si lo doblas 2,3, 4 ó 5 veces? ¿Es posible doblarlo 100 veces? ¿Cuál será su grosor?

3. Gonzalo cuenta un secreto a tres amigos. A su vez, cada amigo les cuenta el secreto a tres de sus ami-gos, y así sucesivamente.

¿Cuántas personas saben el secreto si se repite otras dos veces?

4. Expresa como una sola potencia.

a) 24 · = c) =

b) : 23 = d)

5. Ana le dice a Belén que su padre tiene una parcela cuadrangular de lado un número entero de metrosy de superficie 450 metros cuadrados. ¿Son posibles estos datos de la parcela?

6. Un número de 10 cifras acaba en 5 y es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es la última cifra de su raíz cua-drada? ¿Y si el número de 10 cifras acabara en 6? ¿Y si acabara en 3?

7. ¿Cuál es el cuadrado mayor que se puede formar con 50 000 fichas iguales? ¿Cuántas fichas sobran?¿Cuántas fichas más serán necesarias para obtener el cuadrado inmediato superior?

8. Fíjate en el siguiente método para calcular la raíz cuadrada de un número de 4 cifras:

Queremos calcular la raíz cuadrada de 2025.

a) Dividimos el número en 2 grupos de 2 cifras, 20 y 25.

b) Sumamos ambos números, 20 + 25 = 45.

c) El cuadrado de este número es igual al dado, 452 = 2025.

La raíz cuadrada de 2025 es 45.

Comprueba que también se cumple para 3025 y 9801.

¿Es este método correcto?

9. El número 17 tiene una curiosa propiedad. Si lo elevamos al cubo, 173 � 4913, y sumamos sus cifras, 4 � 9 � 1 � 3 � 17, el resultado es el número inicial. Comprueba que ocurre lo mismo con 18.

Encuentra dos números con la misma propiedad en la siguiente decena.

10. Hay un teorema de matemáticas que afirma: “Todo entero positivo es una suma de un máximo de cua-tro cuadrados perfectos”. Por ejemplo: 215 � 142 � 32 � 32 � 12. A veces hace falta usar menos cua-drados: 430 � 152 � 142 � 32.

Escribe los siguientes números como suma de cuadrados: 12, 16, 23, 238 y 239.

16 23

−( )

3 36 925

−( ) =:121 815

−( )

3 4 52 2 3+( )⋅



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Calcula el resultado de las siguientes potencias.

a) 25 c) (−3)4 e) (−2)7 g) 54

b) 103 d) 70 f) 81 h) (−7)3

2. Expresa las siguientes potencias como producto o cociente de potencias.

a) (3 · 5)4 c) (4 : 9)3 e) [(−3) : 5]7

b) (7 · 2 · 5)6 d) [(−2) · 11]10 f) [(−5) · 3 · (−13)]21

3. Calcula las siguientes operaciones con potencias.

a) (25)2 c) 5 · 54 : 52 e) [23 · (22)2 · (24)3]0

b) ((−2)3)2 · 23 d) (((−1)3)5)4 f) (73)4 : (75)2

4. Expresa como una sola potencia y calcula su valor.

a) (252 : 53) · 52 c) (247 : 67) : 45

b) 43 : (22 · 24) d) (92 : 27)2 : 32

5. Completa la siguiente tabla.

6. Escribe entre qué cuadrados se encuentran los siguientes números e indica cuál es la raíz cuadrada ente-ra y el resto de cada número.

a) 1001 b) 1550 c) 5103

7. Una empresa quiere realizar una mudanza y necesita nueve camiones. Cada camión contiene nuevecajas. Cada caja contiene nueve mesas. ¿Cuántas mesas posee la empresa?

8. Un campo en forma de cuadrado tiene 8100 metros cuadrados de superficie. Calcula cuánto mide su lado.

9. Halla el número cuya raíz cuadrada entera es 35, y el resto, 12.

10. La finca de Luis tiene la forma de la figura. Cada parcela pequeña tiene una superficie de 9 metros cua-drados. ¿Cuántos metros cuadrados tendría que añadir Luis para que su finca tuviera forma de cuadrado?

Raíz cuadrada exacta 200 21

Cuadrados perfectos 121 49 144

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) 25 = 32 c) (−3)4 = 81 e) (−2)7 = −256 g) 54 = 625

b) 103 = 1000 d) 70 = 1 f) 81 = 8 h) (−7)3 = −343

2. a) (3 · 5)4 = 34 · 54 c) (4 : 9)3 = 43 : 93 e) [(−3) : 5]7 = (−3)7 : 57

b) (7 · 2 · 5)6 = 76 · 26 · 56 d) [(−2) · 11]10= (−2)10 · 1110 f) [(−5) · 3 · (−13)]21 = (−5)21 · 321 · (−13)21

3. a) (25)2 = 210 c) 5 · 54 : 52 = 53 e) [23 · (22)2 · (24)3]0 = 20

b) ((−2)3)2 · 23 = 29 d) (((−1)3)5)4 = 160 f) (73)4 : (75)2 = 712 : 710 = 72

4. a) (252 : 53) · 52 = ((52)2 : 53) · 52 = (54 : 53) · 52 = 5 · 52 = 53 = 125

b) 43 : (22 · 24) = (22)3 : 26 = 26 : 26 = 20 = 1

c) (247 : 67) : 45 = 47 : 45 = 42 = 16

d) (92 : 27)2 : 32 = ((32)2 : 33)2 : 32 = (34 : 33)2 : 32 = 32 : 32 = 30 = 1

5.

6. a) 312 < 1001 < 322

b) 392 < 1550 < 402

c) 712 < 5103 < 722

7. 9 · 9 · 9 = 93 = 729

8. El lado mide m.

9. El número es 352 + 12 = 1225 + 12 = 1237.

10. Tendría que añadir 15 parcelas; en total, 15 · 9 = 135 m2.

8100 90=

Raíz cuadrada exacta 11 200 7 21 12

Cuadrados perfectos 121 40 000 49 441 144





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Fracciones

CO N T E N I D O

2 Unidad 4 Fracciones

Esta unidad continúa la ampliación de los conjuntos numéricos. Después de estudiar los números naturales y los ente-ros, ahora introducimos el concepto de fracción y la forma de operar con ellas.

El concepto de fracción debe ir ligado a las diferentes interpretaciones que puede tener: como partes de la unidad, comooperador y como cociente indicado de dos números, esta última imprescindible para la relación de las fracciones con losnúmeros decimales.

La relación de equivalencia entre fracciones y la obtención de fracciones equivalentes es necesaria para abordar con sen-cillez aspectos tales como la comparación y ordenación de fracciones y la suma y resta de fracciones con distinto deno-minador.

Es importante conseguir que los alumnos operen correctamente con fracciones, ya que va a ser habitual en la mayoríade los cálculos de este curso y los siguientes. Se debe empezar con operaciones de fracciones sencillas e ir complicán-dolo progresivamente según vayan mejorando en los cálculos, En operaciones combinadas con fracciones conviene habi-tuar a los alumnos a simplificar las fracciones siempre que puedan, para conseguir cálculos más sencillos.

Además de operar correctamente con fracciones, es también importante aplicarlas a la resolución de problemas rea-les, en particular, aquellos relacionados con repartos o proporciones. De ahí la importancia de entender una fracción comoun operador.

• Fracción. Términos de una fracción: numerador y deno-minador.

• Fracción como partes de la unidad.• Fracción como cociente indicado de dos números.• Fracción como un operador.• Fracciones equivalentes.• Obtención de fracciones equivalentes.• Simplificación de fracciones.• Fracciones irreducibles.• Reducción de fracciones a común denominador.• Mínimo común denominador.

• Comparación y ordenación de fracciones.• Suma y resta de fracciones.• Fracciones propias e impropias.• Número mixto.• Multiplicación de fracciones.• Fracción inversa de una dada.• Cociente de fracciones.• Operaciones combinadas de fracciones, respetando la

jerarquía.• Valoración de la utilidad de las fracciones para interpre-

tar situaciones de la vida cotidiana.

Unidad 4 Fracciones

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Utilizar las fracciones, sus ope-raciones y propiedades, para reco-ger e intercambiar información.

1.1 Reconocer fracciones equiva-lentes.

1.2 Reducir fracciones a comúndenominador.

1.3 Comparar y ordenar fracciones.1.4 Realizar operaciones con frac-

ciones, respetando la jerarquíade las operaciones.

• Lingüística

• Matemática




2. Resolver problemas para los quese precise la utilización de lascuatro operaciones con fraccio-nes, utilizando la forma de cálcu-lo apropiada y valorando la ade-cuación del resultado al contexto.

2.1 Plantear y resolver problemasutilizando la suma, resta, mul-tiplicación y/o división de frac-ciones siguiendo un procedi-miento adecuado.

3Fracciones Unidad 4



1. Conocimientos previosPara poder realizar las operaciones combinadas con fracciones es necesario que los alumnos dominen las operacionescon números enteros.

Los conceptos de divisibilidad, múltiplo y divisor, así como el cálculo del mínimo común múltiplo, son precisos paraobtener fracciones equivalentes y reducir fracciones a común denominador.

2. Previsión de dificultadesLa reducción de fracciones a mínimo común denominador será uno de los procedimientos en los que encontraremos mayordificultad, ya que los alumnos están acostumbrados a considerar como denominador común a varias fracciones el producto de los denominadores. Conviene hacer numerosos ejemplos para que los alumnos se acostumbren al nuevo método.

3. Vinculación con otras áreasLas diferentes interpretaciones de fracciones, así como el cálculo numérico con ellas, están presentes en todos los cam-pos de la ciencia, la tecnología, el arte y la sociedad. En particular, podemos destacar la relación existente entre la esca-la musical y las fracciones. Ya Pitágoras descubrió que la nota musical que se obtiene al pulsar una cuerda depende desu longitud. Para ilustrar esta relación podemos utilizar la película Donald en el país de las Matemágicas.

4. Esquema general de la unidadAl comienzo de esta unidad se pretende que los alumnosentiendan el concepto de fracción y sus distintas interpre-taciones para poder resolver problemas sencillos, comocalcular partes de una cantidad. A continuación se definenlas fracciones equivalentes y se explican procedimientosde cómo obtenerlas, deteniéndose en la simplificación defracciones, para terminar introduciendo el concepto defracción irreducible. Posteriormente se indica cómo redu-cir fracciones a común denominador, dedicando especialinterés a la reducción a mínimo común denominador.

Para terminar esta primera parte de la unidad se utiliza lareducción a mínimo común denominador para comparar yordenar fracciones.

La segunda parte de la unidad muestra las operacionesbásicas que se pueden realizar con las fracciones. Empie-za con la suma y la resta de fracciones reduciéndolas pre-viamente a mínimo común denominador. Después se ense-ña el manejo de fracciones con el numerador mayor que eldenominador pasándolos a números mixtos. Más tarde vie-nen la multiplicación y la división de fracciones. Previa-mente a la división se introducen las fracciones inversas.


1.ª Introducción. Fracciones. Interpretación.

2.ª Fracciones equivalentes.

3.ª Simplificación. Fracción irreducible.

4.ª Reducción a común denominador. Reducción a mínimo común denominador.

5.ª Ordenación y comparación de fracciones.

6.ª Suma y resta de fracciones.

7.ª Fracciones propias e impropias. Números mixtos.

8.ª Multiplicación y división. Fracción inversa.

9.ª Operaciones combinadas con fracciones.

10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación.

12.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir a acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Definición OperacionesFracciónequivalente

InterpretaciónSimplificación

Reducción acomún

denominador

Ordenación

Comparación

FRACCIONES

4


Competencia lingüísticaPuesto que la comprensión del texto es necesaria para la adquisición de las destrezas desarrolladas en la unidad, la com-petencia lingüística se trabaja a lo largo de toda la unidad. En particular, el texto de entrada, los problemas contextua-lizados y la última actividad de “Pon a prueba tus competencias” desarrollan alguno de los descriptores de las sub-competencias comunicación oral y comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia está presente en todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajantodas las subcompetencias y descriptores.

Sin embargo, como en la unidad se desarrollan las fracciones, su interpretación y las operaciones con fracciones, sonlas subcompetencias resolución de problemas y relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad y uso delos elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn la unidad hay varias referencias a la aplicación de la interpretación de las fracciones y las operaciones con fraccio-nes a situaciones y problemas del entorno que nos rodea. Estas referencias van a permitir que los alumnos desarrollenel pensamiento científico para predecir situaciones y que se conciencien sobre el uso responsable de los recursos natu-rales.

Competencia social y ciudadanaEl tema de entrada de la unidad y la actividad de “Pon a prueba tus competencias” ¡Peligro. Iceberg a la vista! permitendesarrollar la subcompetencia desarrollo personal y social a través del descriptor conocer y comprender la realidad his-tórica y social del mundo y su carácter evolutivo, ya que los alumnos valorarán el avance tecnológico y científico al ser-vicio de la sociedad.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalEn la unidad aparecen varias referencias a la búsqueda en la red de páginas que permiten completar y ampliar los con-tenidos y a las actividades interactivas en la página librosvivos.net.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Las últimas actividades de ampliación favorecen también la adquisición de la subcompetencia construcción del conoci-miento, en concreto el descriptor admitir diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar dife-rentes enfoques metodológicos para solventarlo.

Competencia de autonomía e iniciativa personalEn las actividades de “Pon a prueba tus competencias” se impulsan las dotes para el liderazgo, especialmente la valo-ración de las ideas de los demás, la facilidad para el diálogo y la cooperación, la organización del trabajo en equipo, etc.


Competencia para aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.


Unidad 4 Fracciones

5



Fracciones Unidad 4





Lingüística

Comunicación oral.

Aplicar de forma efectiva las reglasdel sistema lingüístico y lasestrategias no lingüísticas paraproducir textos orales adecuados a lasituación comunicativa.

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saber aceptarlas críticas de los demás.

– Introduce en el lenguaje cotidiano lasfracciones.

Actividades 3 y 27, y ejemplo 11

– Acepta y aprovecha las informacionesdadas por otros compañeros.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollodel pensamiento crítico.

– Extrae información relevante de un texto.

En toda la unidad

– Responde a unas preguntas, a partir de lainformación que contiene un texto.

Pon a prueba tus competencias: Lee y comprende

Matemática

Resolución de problemas.

Utilizar las matemáticas para elestudio de situaciones cotidianas.

Aplicar estrategias de resolución deproblemas adecuadas a cadasituación.

– Plantea y resuelve problemas.

En toda la unidad


Conocer y aplicar herramientasmatemáticas para interpretar yproducir distintos tipos deinformación.

– Opera con rigor y precisión con lasfracciones

En toda la unidad

Interacción con el mundo físico

Aplicación del métodocientífico en diferentescontextos.

Realizar predicciones con los datosque se poseen, obtener conclusionesbasadas en pruebas y contrastar lassoluciones obtenidas.

– Calcula distancias y predice posiciones.

Pon a prueba tus competencias:Interpreta un mapa

Conocimiento del cuerpohumano y disposiciónpara una vida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado yrespeto hacia el cuerpo humano,partiendo de su conocimiento.

– Crea hábitos de sueño saludables.

Actividad 7

Medio natural y desarrollosostenible.

Adquirir un compromiso activo en laconservación de los recursos y ladiversidad natural.

– Conoce y valora los diferentes métodosde obtención de energía.


Social y ciudadana

Compromiso solidario conla realidad personal ysocial.

Mantener una actitud constructiva,solidaria y responsable ante losproblemas sociales.

– Fomenta la solidaridad.

Actividad 28



– Aprecia el progreso humano.


Tratamiento de la información ycompetencia digital

Obtención, transformacióny comunicación de lainformación.


– Busca en páginas de internet paracomplementar la información.

En la red

– Visita la página librosvivos.net

Actividades 12, 29, 35 y 52, organiza tusideas, autoevaluación

6


Unidad 4 Fracciones


• Educación ambiental: actividad resuelta 1.









SM


Cuaderno de matemáticas básicas.

– Unidad II. Fracciones


Cuaderno de refuerzo de matemáticas Aprende y aprueba. 1.° de ESO

– Unidad 3. Fracciones y decimales

Cuaderno de matemáticas. 1.° de ESO. N.° 2. Fracciones y decimales

– Unidad I. Números fraccionarios

Cuaderno de resolución de problemas I. 1.° y 2.° de ESO

Doble o mitad y No hay 2 sin 3.

Cuaderno Matemáticas para la vida. 1.° de ESO

– Unidades 5 y 6


www.librosvivos.net

Otros

Unidad didáctica de la página del MEC:


Unidad didáctica del proyecto Descartes:


Película Donald en el país de las Matemágicas.

Artículos de prensa donde aparezcan fracciones.

La calculadora científica permite operar con fracciones.

Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


La foto de entrada junto con el texto permite que los alum-nos aprecien el progreso de la tecnología y el uso que hacede ella el hombre para su desarrollo.

Para ilustrarlo, podemos proyectar la secuencia de la recrea-ción de la colisión del Titanic a la que hace referencia el texto.

Además podemos pedir a los alumnos que busquen infor-mación sobre cómo se podría haber evitado la colisión.

2. Fracciones equivalentes

– Jugar al ordenador.

– Realizar algún deporte.

En primer lugar les diremos que indiquen las horas quededican a cada actividad, para posteriormente calcular lafracción correspondiente.

Una vez que tengan la fracción del tiempo que dedican a dor-mir, les pediremos que calculen el tiempo que dedicarán adormir a lo largo de su vida, suponiendo que su esperan-za de vida sea de 84 años, y que lo comparen con el de lasmujeres españolas.

Finalmente les haremos notar que existe una estrecha rela-ción entre la cantidad y calidad de horas de sueño y la espe-ranza de vida.

3 y 27. En estas actividades encontramos varios ejemplosde cómo se utilizan las fracciones en el lenguaje coti-diano para representar situaciones.

7. Pediremos a los alumnos que elaboren una tabla en la queindiquen la distribución de su tiempo diario, realizandolas diferentes actividades:

– Dormir.

– Comer.

– Estudiar.

– Ver la televisión.

• Las fracciones equivalentes son un concepto complica-do, pues es la primera vez que ven que un número pue-de escribirse de infinitas formas. Conviene detenerse enla definición y en poner bastantes ejemplos tanto gráfi-cos como numéricos.

• El método de los productos cruzados para comprobar sidos fracciones dadas son o no equivalentes no debe intro-ducirse hasta que los alumnos hayan asimilado bien elconcepto de fracciones equivalentes. Hay una tendenciageneralizada a confundir la definición de fracciones equi-valentes con el método para comprobar cuándo dos frac-ciones son equivalentes. Tendremos, pues, que andarcon cuidado.

• Insistir en que siempre podemos obtener una fracciónequivalente a una dada multiplicando numerador y deno-minador por el mismo número distinto de cero; sin embar-go, no va a ocurrir lo mismo cuando tratemos de dividirnumerador y denominador por un mismo número.

3. Simplificación de fracciones• Insistir en que simplificar al máximo una fracción es con-

seguir fracciones reducidas hasta llegar a la fracciónirreducible.

• Mostrar que la fracción irreducible se puede conseguirsimplificando en un único paso o en varios. Les puedeser más cómodo ir simplificando paso a paso, viendo siel numerador y el denominador son divisibles por 2, 3,5… Conviene repasar las reglas de divisibilidad.

1. Interpretación de una fracción• Para explicar el concepto de fracción es conveniente

representar esta de forma gráfica como una parte de untotal o al revés.

• Hay que insistir en la nomenclatura de numerador y deno-minador, pues a veces los confunden.

• Conviene realizar ejercicios con las distintas interpreta-ciones de las fracciones, para que queden claras las tresque se presentan en este epígrafe.

• Se deben presentar a los alumnos situaciones de la vidadiaria en las que aparezcan fracciones, para que vean laimportancia que tiene el manejo de las mismas.

I. Con esta actividad, los alumnos ya empiezan a familia-rizarse con las fracciones, en especial con la interpre-tación de la fracción como partes de un todo.

II. Al realizar esta actividad, los alumnos se darán cuentade que el principal factor que desencadenó la colisión delTitanic fue que se avistó muy tarde el iceberg. En la épo-ca actual, esto no sucedería, ya que los satélites permi-ten detectar los icebergs con la antelación suficientepara cambiar la maniobra de navegación y evitar el cho-que.

III. Esta actividad ayudará a que los alumnos enriquezcansu vocabulario.

Fracciones Unidad 4


Básico 2 a 5, 93 y 95

Medio 6, 7 y 93

Alto 101 y 104


Básico 8 a 10, 55 a 58 y 60

Medio 11, 61 y 62

Alto 103


Básico 14, 15 y 59

Medio 63 a 65

8


5. Reducción de fracciones a mínimocomún denominador

6. Comparación de fracciones

9. Multiplicación de fracciones• Al enseñar a operar con fracciones hay que practicar

mucho, complicándolas según se vayan dominando.

• Seguir insistiendo en que se debe simplificar siempreque se pueda para conseguir operaciones más sencillas.

• Explicar el sentido de la multiplicación de fracciones.

Por ejemplo, equivale a calcular 3 quintas partes

de 2 séptimos.

35

27⋅

Ejemplo 11. Al igual que las actividades 3 y 27, este es unclaro ejemplo de cómo estamos habituados a utilizar ellenguaje de las fracciones en nuestra vida diaria.

8. Fracciones propias e impropias• Reiterar que un número mixto es una forma abreviada

de expresar una suma de un número entero con una frac-ción, y no es una multiplicación.

• La utilidad de los números mixtos es averiguar entre quénúmeros enteros está la fracción.

• Cuando las fracciones que vamos a comparar tienen losmismos numeradores o los mismos denominadores, esrecomendable que los alumnos realicen la representacióngráfica de las mismas para que de este modo lleguenpor sí solos a las conclusiones que les permitan enunciarla regla general.

• Para comparar fracciones con distinto denominador,insistiremos en que deben reducirlas a denominadorcomún por alguno de los métodos estudiados, no siendonecesario el mínimo.

• Conviene ordenar tanto de mayor a menor como al revés.

28. Podemos aprovechar esta actividad llevando a clasenoticias de los medios de comunicación que describancatástrofes naturales y en las que se reflejen las terri-bles pérdidas que sufren los países subdesarrollados.Con ello fomentaremos su espíritu solidario.

• Conviene repasar el mínimo común múltiplo de variosnúmeros.

• Explicar que mientras existen varios comunes denomi-nadores, solo hay un mínimo común denominador.

• La ventaja del mínimo común denominador se verá alsumar las fracciones consiguiendo numeradores y deno-minadores más pequeños.


Básico 39

Medio 40 a 43, 86, 89, 90, 96 y 98


Básico 17

Medio 18, 19 y 66


Básico 21

Medio 22 y 67


Básico 37 y 83

Medio 38, 84 y 85

Alto 75 y 76

Unidad 4 Fracciones

4. Reducción de fracciones a común denominador

• Explicar que reducir fracciones a común denominadores ampliar fracciones hasta que todas tengan el mismodenominador.

• Mostrar que el común denominador no es único. El epí-grafe muestra una de las formas multiplicando los deno-minadores de las fracciones involucradas.


Básico 23, 24, 68 a 71 y 94

Medio 25 a 28 y 72 a 74

Alto 75 y 76

7. Suma y resta de fracciones• Insistir en que para sumar y restar fracciones no hace

falta pasar al mínimo común denominador, pero su ven-taja es que el resultado nos da una fracción que habrá quesimplificar menos.

• Se debe tener cuidado en las restas mezcladas con sumas,pues los alumnos pueden cambiar los signos.

• Al enseñar a operar con fracciones hay que practicarmucho, complicándolas según se vayan dominando.

• Recalcar que se debe simplificar siempre que se puedapara conseguir operaciones más sencillas.

• Para poder sumar y restar fracciones con un número,primero es necesario pasar el número a una fracción conel denominador de la fracción con la cual queremos ope-rar. Para ello, previamente consideraremos el númeroentero como una fracción de denominador 1.


Básico 31, 32, 77 y 78

Medio 33, 34, 79 a 82, 97 y 99

9


Organiza tus ideas

En esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se empieza por la definición de fracción jun-to con sus diferentes interpretaciones, fracciones equiva-lentes, simplificación de fracciones, reducción a un comúny al mínimo denominador, y comparación de fracciones. Acontinuación se explica cómo se realizan las diversas ope-raciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y divi-sión.

Para completar este esquema se pueden escribir ejemplosy realizar dibujos en cada cuestión para que el alumno veade forma práctica y visual los conceptos tratados.




APRENDE A PENSAR:DE DÓNDE VIENE NUESTRA ENERGÍA

Antes de realizar esta actividad debemos pedir a los alum-nos que busquen información sobre las diferentes formasde obtener energía, indicándoles que se centren sobre todoen cómo cada una de ellas actúa sobre la naturaleza.

Una vez buscada la información, realizaremos un pequeñodebate en clase, donde pediremos a los alumnos que argu-menten sus posturas con los datos obtenidos.

INTERPRETA UN MAPA:¡PELIGRO! ¡ICEBERG A LA VISTA!

Esta actividad complementa las propuestas en “Desarro-lla tus competencias”, ya que los alumnos podrán apreciarla evolución de la tecnología. Con el temprano aviso de laexistencia de icebergs en la zona, el Capitán Garfio podrácambiar la ruta y no colisionará.

Para responder a las actividades, los alumnos deberán vol-ver a leer el texto y anotar los contenidos matemáticos queen él aparecen:

– “En la mitad”

– “cada centímetro equivale a 350 km"

No es necesario que los alumnos marquen sobre el dibu-jo la nueva ruta, basta con que la describan verbalmente ytomen las medidas con una regla para calcular la distan-cia total de la nueva ruta.

LEE Y COMPRENDE: EL TÉ DE LOS CINCO

Con esta actividad vamos a desarrollar la competencia lin-güística, extrayendo la información contenida en el textopara responder a las actividades 1 y 2.

Además nos permitirá fomentar el gusto por la lectura.

Con la actividad 2 comprobaremos si los alumnos han enten-dido el concepto de fracción equivalente, logrando ademásque aprecien cómo las fracciones aparecen constantementeen el lenguaje cotidiano.


Fracciones Unidad 4

11. Operaciones combinadas con fracciones

• En las operaciones combinadas con fracciones hay la mis-ma jerarquía que teníamos en los otros conjuntos numé-ricos; por tanto, no será algo nuevo para los alumnos.

• Conviene empezar con ejemplos sencillos y simplifican-do siempre que se pueda, para ahorrar cálculos engo-rrosos.


Medio 49 a 51, 53, 54, 91 y 92

Alto 100 y 102

10. División de fracciones• Se consigue la fracción inversa intercambiando el nume-

rador con el denominador. Los alumnos lo ven fácil deforma gráfica, como si se diera la vuelta a la fracción.

• Subrayar que, en matemáticas, un número por su inver-so da como resultado la unidad.

• Se debe alternar los dos métodos de dividir fracciones,unas veces multiplicando por la fracción inversa y otrasrealizando los productos cruzados.

• Seguir insistiendo en que se debe simplificar siempreque se pueda con el objetivo de conseguir operacionesmás sencillas.


Básico 45

Medio 46 a 48, 87 y 88

10


Unidad 4 FraccionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Esta unidad es fundamentalmente práctica. Los alumnos deberían terminarla sabiendo operar con fracciones correc-tamente. Para practicar se les proponen operaciones sencillas y con pocas fracciones.

• Hay que acostumbrar a los alumnos a simplificar las fracciones siempre que sea posible. Así salen operaciones mássencillas y la probabilidad de error disminuye.

• Este tipo de alumnado tiene dificultades con el concepto de fracción como parte de un total. Por ejemplo, creen erró-neamente que para calcular un tercio de una cantidad hay que dividir esta entre la fracción.

A este tipo de alumnado se le deben plantear problemas sencillos, ayudándoles a comprenderlos mediante esquemaso dibujos para visualizar la parte o fracción.

1. A: E:

B: F:

C: G:

D: H:

2.

3. a) b)

4. a) El c b)9

1234

=

34

57

>56

34

>

23

712

≠12

612

=

116

116

416

116

116

216

216

416


Dominó de fracciones equivalentes

Vamos a construir varios dominós de fracciones equivalentes a 1,

Los alumnos se organizan en grupos de tres. A cada grupo le entregaremos una hoja conuna cuadrícula con 56 cuadrados de lado 2 y de tal manera que en 8 de esos cuadradosesté escrito el número 1, tal y como muestra la imagen.

Recortarán la cuadrícula y cada miembro del grupo se quedará con 16 cuadrados.

A continuación, cada uno de los componentes del grupo deberá anotar en 8 cuadrados una fracción equivalente a

distinta, y en los otros ocho cuadrados escribirá una fracción equivalente a . Lo mismo harán los otros dos alumnos,

pero uno con , y el otro con y . Una vez que hayan completado los 48 cuadrados comprobaremos que las frac-

ciones son correctas.

Por último, mezclarán los 48 cuadrados con las fracciones que hayan escrito junto con los ocho cuadrados del 1 e iránformando las fichas del dominó, pegando dos cuadrados en fichas de cartulina de 4 centímetros de ancho por 2 de alto.Cada grupo utilizará un color diferente.

Una vez que estén formados todos los dominós, los recogeremos e iremos entregando a cada grupo uno de ellos, dife-rente del que hayan construido, para que jueguen.

12

13

14

15

16

, , , , y

16

17

y14

15

y

13

12

17

y .

ACTIVIDAD DE GRUPO



Unidad 4 Fracciones

1 1 1 1 1 1 1 1

11

1. Observa el siguiente tangram chino y responde a la pregunta: ¿qué fracción, respecto del tangram, le corres-ponde a cada pieza?

2. El siguiente dibujo se llama diagrama de Freudenthal y lo vamosa utilizar para las dos actividades que vienen a continuación.

Vamos a ver si son equivalentes. Observa el siguiente proceso.

1.° Coloreamos en el diagrama (gris oscuro).

2.° Ahora hacemos lo mismo con (gris claro).

3.° Trazamos una línea horizontal por .

4.° Si la línea coincide con , es que las fracciones son equiva-

lentes, como pasa en nuestro caso.

Utilizando el diagrama anterior, ¿sabrías decir si son equivalentes ? ¿Qué pasa con ?

3. Ahora lo utilizaremos para comparar fracciones.

¿Qué fracción es mayor, ó ?

Procedemos como en el ejercicio anterior y nos damos cuenta de

que es mayor que .

Ahora tú: ¿ es mayor que ? ¿ es mayor que ?

4. Observa las partes que hemos coloreado en el rectángulo.

¿Sabrías decir cuál de los círculos tiene coloreada la misma parte que el rectángulo?

¿Qué fracción representa esa parte?

A

B CD

E

FG

H

a) b)

c) d)

57

34

56

34

35

23

35

23

23

712

y12

612

y

46

23

46

23

23

46

y

Te daremos una pista:

1. Fíjate bien en los cuadrados en los que está dividido el tangram.

2. Por ejemplo, a la pieza A le corresponde .4

16

Unidad 4 Fracciones

Pági

na

foto

cop

iab

le


Fracciones Unidad 4

12


Unidad 4 FraccionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los ejercicios propuestos para los alumnos avanzados son un adelanto de la complicación que se encontrarán en elsiguiente curso.

Hay ejercicios de operaciones combinadas con fracciones, es decir, operaciones con fracciones en las que intervienensumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Sería conveniente repasar la prioridad de las operaciones. Es normalque, antes que las multiplicaciones o divisiones, realicen las sumas o restas. Además, esta prioridad de operacionespuede quedar alterada por medio de paréntesis.

También hay problemas más avanzados. Es recomendable insistir en que la resolución de problemas se debe realizarde forma ordenada. Primero, identificar los datos y realizar esquemas para resolverlos. Por último, hay que compro-bar si la solución es el dato que pide el enunciado y si cumple dicho enunciado.

1. a) 3 b) 2

2. Ana es la que más pesa; a continuación, Carmen, y finalmente, Blanca.

3. de hora = 1 hora 52 minutos 30 segundos.

4. En acabar la pared tardan de hora = 1 hora 37 minu-

tos 12 segundos.

5. Inicialmente tenía 130 €.

6. El coste total son 1375 €.

7. La fracción mayor es la de la segunda pizza.

8.

9. de son , y de 28 no es un número entero.

10. Se ve muy fácil cuando se dibuja,

A una persona le corresponden 3 vasos llenos, 1 mediolleno y 3 vacíos.

A las otras dos personas les corresponden 2 vasos lle-nos, 3 medio llenos y 2 vacíos.

De este modo, cada una tiene 7 vasos.

La fracción de litro que recibe cada una es:

11. 1575 m

314

18

78

⋅ + =

635

635

37

25

aa3

13

=

6037

158


Las proporciones de mi clase

Vamos a calcular las diversas proporciones que ocurren en tu clase y las vamos a poner en una cartulina colgada en elaula para que las vean todos.

• Por ejemplo: ¿qué parte de los alumnos son chicas? Se cuenta el número de chicas en la clase y se divide por el núme-ro total de alumnos. Se simplifica la fracción a la fracción irreducible, así se tiene la proporción de chicas en el totalde la clase.

• Mira a ver si se te ocurren más proporciones. Sería conveniente que cada uno de vosotros consiguierais al menos tresproporciones distintas. Así se llena un mural con todas las proporciones que ocurren en tu clase.

Estos resultados se pueden cotejar con los de otras clases mostrando una de las utilidades de las fracciones, una for-ma de indicar el número de partes de un total.

ACTIVIDAD DE GRUPO



Unidad 4 Fracciones

13

1. Teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones y simplificando siempre que sea posible, calcula:

a)

b)

2. Ana pesa del peso de Blanca, y Blanca, del de Carmen. ¿Cuál de las tres pesa más?

3. Un grifo llena un depósito en 5 horas, y otro, en 3 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito si se abrenlos dos grifos a la vez?

4. Un pintor tarda 6 horas en pintar una pared; otro pintor, 5 horas, y un tercero, 4 horas. ¿Cuánto tarda-rán en pintar la pared los tres a la vez?

5. María gasta de su dinero en comprar un pantalón y de lo que le queda en un libro. Al final le que-

dan 52 €. ¿Qué dinero tenía inicialmente?

6. Queremos plantar 300 árboles en un huerto. Un cuarto van a ser naranjos; del resto, serán limoneros,

y los demás, ciruelos. Plantar cada naranjo cuesta 5 €; cada limonero, 6 €, y cada ciruelo, 4 €. Calcu-la el coste total.

7. Tenemos cuatro pizzas redondas iguales. De la primera, un quinto que queda se corta en 3 porciones igua-les. De la segunda, un sexto que queda se corta en 2 porciones iguales. De la tercera, dos séptimos secortan en 4 porciones iguales. Y de la última, un tercio se corta en 5 porciones iguales. ¿De qué pizzadeberemos tomar un trozo si queremos coger una de las porciones más grandes?

8. El denominador de una fracción es el triple del numerador. Calcula su fracción irreducible.

9. Javier le dice a Gonzalo que en su clase, de 28 alumnos, han suspendido Lengua, y de estos, son chicas.

Gonzalo cree que eso no es posible. ¿Podrías explicar por qué?

10. ¿Cómo repartirías 21 vasos de agua entre tres personas, sabiendo que 7 están llenos, 7 medio llenos y7 vacíos, de tal manera que cada una reciba la misma cantidad de agua y el mismo número de vasos.

Si la capacidad de cada vaso es de de litro, ¿qué fracción de litro recibe cada una?

11. Si los dos quintos de un recorrido son 840 metros, ¿cuántos metros son los tres cuartos?

14

25

37

29

13

25

79

43

313

45

235

16

13

2

+ ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟−

+ + −778

74

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⎥

:

134

113

45

25

1112

+ ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟− − +:

338

29

232

78

18

⋅−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟+ ⋅ + −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

Unidad 4 Fracciones


Pági

na

foto

cop

iab

le

Fracciones Unidad 4

14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Escribe los números que faltan en estas igualdades.

a) b) c) d)

2. Escribe las fracciones irreducibles equivalentes a los siguientes puntos.

3. Simplifica las siguientes fracciones.

a) b) c) d)

4. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor.

5. Las siguientes fracciones tienen el numerador mayor que el denominador. Escribe el número entero yla fracción equivalente a cada una de ellas.

a) b) c) d)

6. Calcula el resultado de las siguientes sumas y restas.

a) b) c) d)


a) b) c)

8. En un grupo de 1.° de ESO hay 28 alumnos. Si son chicos, ¿cuántos chicos y chicas hay en el grupo?

9. Luis tiene 500 euros de presupuesto para sus vacaciones. La primera semana gasta , y la segunda,

de lo que le queda. ¿Cuánto dinero le queda al final de las dos semanas?

10. Las raíces de un árbol miden de su altura total. La altura del árbol sobre el suelo es de 12 metros.

¿Cuánto miden sus raíces?

38

13

25

37

53

247

12

323

27

+ ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟− ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

54

12

12

53

⋅ − :13

54

58

12

⋅ + :

315

310

+ −23

12

56

− −32

56

−25

134

+ +

224

256

97

1310

35

34

12

56

23

44143

4254

2436

2210

0 1 B 2 C 3A

4 2050�

=�6

742

=79

14=�

25 15=�

Pági

na

foto

cop

iab

le

Unidad 4 Fracciones


Unidad 4 Fracciones

15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) b) c) d)

2. A: B: C:

3. a) b) c) d)

4.

5. a) b) c) d)

6. a) c)

b) d)

7. a)

b)

c)

8. Los chicos son , y las chicas, 28 − 12 = 16.

9. La primera semana gasta €, y le quedan €.

La segunda semana gasta €. Al final le quedan €.

10. La altura del árbol sobre el suelo equivale a del total.

Una octava parte mide m. Luego las raíces miden m.

53

21

143

821

53

17

87

35 3+ ⋅ − ⋅ = + − =

+ −−= =

2421

1421

23

300 100 200− =30013

100⋅ =

138

58

− =

12 5 2 4: = , 2 4 3 7 2, ,× =

500 200 300− =50025

200⋅ =

2837

12⋅ =

58

310

25 1240

1340

− =−

=

512

54

512

2012

53

15+ =

+= =

30 2 310

2910

+ −=

9 56

43

23

−= =

4 3 56

46

23

− −=

−= −

8 20 1520

4320

+ +=

224

524

512

= =256

416

=97

127

=1310

13

10=

12

35

23

34

56

< < < <35

3660

=34

4560

=12

3060

=56

5060

=23

4060

=

44143

1113

=4254

79

=2436

23

=2210

115

=

73

32

34

410

2050

=16

742

=79

1418

=25

615

=



Unidad 4 Fracciones

Fracciones Unidad 4

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Números decimales

CO N T E N I D O

2 Unidad 5 Números decimales

En esta unidad se explica el concepto de número decimal y la forma de operar con estos.

Para introducir los números decimales es necesario hacer ver a los alumnos que con los números naturales y los núme-ros enteros no podemos resolver todas las situaciones que se nos pueden presentar en la vida cotidiana. Existen muchosejemplos que muestran la utilidad y el manejo diario de los números decimales: nota media de una evaluación, titula-res de prensa con marcas deportivas…

Trataremos de que los alumnos lean, escriban e identifiquen los números decimales, pudiendo aparecer de forma direc-ta o mediante el resultado de dividir el numerador de una fracción entre el denominador.

Es importante que quede claro el concepto de número decimal con sus distintas partes: entera y decimal. Intentaremosque los alumnos sean capaces de descomponer números decimales en sus órdenes de unidades para posteriormenteordenarlos.

No menos importante es conseguir operar correctamente y aplicarlos a la resolución de problemas, ya que va a serhabitual en la mayoría de los cálculos de este curso y de los siguientes. Se debe empezar con operaciones de númerosdecimales sencillas e ir complicándolas progresivamente según vayan mejorando los cálculos.

Para ver la utilidad del redondeo podemos pedir a los alumnos que lleven al aula tiques de compra o facturas para quesobre ellos realicen una aproximación.

• Unidades decimales.• Números decimales. Parte entera y parte decimal.• Órdenes de unidades.• Descomposición de un número decimal.• Decimal exacto. Fracción decimal.• Decimal periódico: puro y mixto.• Período de un número decimal. Anteperíodo.• Ordenación y comparación de números decimales.• Ordenación y comparación de números decimales y frac-

ciones.• Suma y resta de números decimales.

• Multiplicación de números decimales.• División de números decimales.• Multiplicación y división de números decimales por la

unidad seguida de ceros.• Multiplicación y división de números decimales por 0,1,

0,01, 0,001…• Aproximación de un número decimal a un orden indica-

do. Truncamiento y redondeo.

Unidad 5 Números decimales

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Utilizar de forma adecuada losnúmeros decimales y producirinformación en actividades rela-cionadas con la vida cotidiana.

1.1 Leer, escribir y descomponernúmeros decimales, teniendo encuenta el valor posicional decada una de sus cifras.

1.2 Relacionar fracciones con núme-ros decimales.

1.3 Comparar y ordenar númerosdecimales.

1.4 Realizar redondeos de númerosdecimales para aproximarlos a lasunidades, décimas, centésimas…

1.5 Realizar sumas, restas, multipli-caciones y divisiones de núme-ros decimales.

• Lingüística

• Matemática




• Autonomía e iniciativa personal

2. Resolver problemas relacionadoscon la vida cotidiana en los queintervengan los números deci-males, utilizando las cuatro ope-raciones.

2.1 Plantear y resolver problemasutilizando la suma, resta, mul-tiplicación y/o división de núme-ros decimales siguiendo un pro-cedimiento adecuado.

3Números decimales Unidad 5



1. Conocimientos previosLas diferentes interpretaciones de las fracciones, como cociente indicado de dos números y como operador, así comolas operaciones con fracciones, son necesarias para desarrollar los contenidos de esta unidad.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad la encontraremos en la comprensión del valor posicional de las cifras, lo que llevará a que secometan errores en la ordenación y comparación, y en la colocación de los números que intervienen en sumas y restas.Para evitar estos errores, podemos indicar a los alumnos que siempre que tengan que ordenar o sumar números deci-males completen con ceros a la derecha para que todos los números que intervengan tengan el mismo número de cifrasdecimales.

3. Vinculación con otras áreasEl cálculo con números decimales está presente en todos los campos de la ciencia, la técnica y la sociedad.

Las aproximaciones por redondeo son muy útiles a la hora de realizar cálculos en las ciencias experimentales y en latecnología.

4. Esquema general de la unidadEn esta unidad se introducen los conceptos básicos paraque los alumnos puedan utilizar e interpretar los númerosdecimales en cualquier situación que lo requiera.

Se tratan las diferentes formas de escribir un número deci-mal, así como la descomposición en su parte entera y suparte decimal, y la distinción entre el valor posicional decada cifra, imprescindible para introducir los procedimientosque permitirán ordenar un conjunto de números decima-les y representar cada uno de ellos en la recta numérica.

A continuación se ve la relación entre las fracciones y losnúmeros decimales, tanto exactos como periódicos, indi-cando que para ordenar decimales y fracciones es precisopasar la fracción a su expresión decimal.

Después se desarrollan las técnicas para realizar opera-ciones con números decimales mediante dos procedi-mientos: convertir el número decimal en fracción, o utili-zando los algoritmos según el tipo de operación que sedesee efectuar tanto para el caso de la suma y la restacomo para la multiplicación y la división. En estas dos últi-mas se presta especial atención a la multiplicación y divi-sión por 10, 100, 1000… y por 0,1, 0,01, 0,001…

Para finalizar, se explica cómo aproximar números deci-males por dos procedimientos: truncamiento y redondeo.


1.ª Introducción. Números decimales. Órdenes. Parte entera y parte decimal.

2.ª Decimales y fracciones. Ordenación y representación.

3.ª Suma y resta de decimales. Multiplicación de números decimales.

4.ª División de números decimales.

5.ª Aproximación. Truncamiento y redondeo.

6.ª y 7.ª Actividades de consolidación y aplicación.

8.ª Pon a prueba tus competencias.


Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias paradesarrollar la unidad.

Parte enteray parte decimal

Fracción decimal

Descomposición

Representación

Ordenación y comparación

Aproximación

NÚMEROS DECIMALES

División

Multiplicación

Suma y resta

Operaciones

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en las subcompetencias comunicación oral y comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

No obstante, al estar dedicada esta unidad a los números reales y sus operaciones, son las subcompetencias razona-miento y argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En concreto, en la sección “Pon a prueba tus competencias”, en la actividad “Tutiempo de reacción” se indica una experiencia en la que se aplica el método científico. También el texto de entrada y lasactividades 98 y “Nuevo récord de �” de “Pon a prueba a tus competencias” permiten desarrollar la subcompetencia cono-cimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadanaA través de alguno de los problemas contextualizados podemos desarrollar la subcompetencia compromiso solidario conla realidad personal y social, en concreto, el descriptor mantener una actitud constructiva, solidaria y responsable antelos problemas sociales.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia de autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente en las actividades de ampliación de respuesta múltiple, donde las actividades no son guiadasy requieren aplicar la subcompetencia de planificación y realización de proyectos.



En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y deba-te.



5



Números decimales Unidad 5





Lingüística

Comunicación oral.

Expresar oralmente pensamientos,emociones, vivencias y opiniones deforma coherente y adecuada adiversos contextos.

– Argumenta con rigor y con conocimientosobre un tema.

Pon a prueba tus competencias:Relaciona los datos, analiza y deduce


Aplicar de forma efectivahabilidades lingüísticas yestrategias no lingüísticas parainteractuar y producir textosescritos adecuados a la situacióncomunicativa.

– Transcribe al lenguaje escrito númerosdecimales y viceversa.

Actividades 4 y 65

Matemática


Poner en práctica procesos derazonamiento que llevan a lasolución de los problemas o a laobtención de la información.

– Conoce los distintos tipos de números ylas relaciones entre ellos.

– Opera con rigor y precisión con losnúmeros decimales.

– Aplica los números decimales asituaciones reales.

En toda la unidad





Realizar predicciones con los datosque se poseen, obtenerconclusiones en pruebas ycontrastar las soluciones obtenidas.

– Calcula tiempos experimentalmente.


Conocimiento yvaloración del desarrollocientífico-tecnológico.


– Aprecia el desarrollo tecnológico alservicio de la sociedad.

Actividad 98

Pon a prueba tus competencias: Relaciona los datos

Social y ciudadanaCompromiso solidariocon la realidad personaly social.

Mantener una actitud constructiva yresponsable ante los problemassociales.

– Fomenta un espíritu solidario.

Actividad 92


competencia digital



– Busca en diferentes páginas de internetpara complementar la información.

En la red


Pon a prueba tus competencias: Calcula e investiga


Actividades 6, 13, 22, 30, 43, 57 y 62,organiza tus ideas, autoevaluación

Autonomía e iniciativapersonal

Planificación yrealización de proyectos.

Afrontar los problemas de formacreativa, aprender de los errores,reelaborar los planteamientos previos,elaborar nuevas ideas, buscarsoluciones y llevarlas a la práctica.

– Resuelve problemas con respuestamúltiple.


6




• Educación para el medio ambiente: actividad 103

• Educación para el consumo: actividad 56








SM


• Cuadernos de Matemáticas básicas.

– Unidad III. Números decimales.



– Unidad 3. Fracciones y decimales.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 2: “Fracciones y decimales”.

– Unidad II. Números decimales.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

De compras y Cartas y sellos.


www.librosvivos.net

Otros

Página del proyecto mr2 del Gobierno de Canarias:


Números decimales en la página de educación digital de educastur:


• Juegos de dominó en los que se haga corresponder una multiplicación o división de números decimalespor la unidad seguida de ceros o por 0,1, 0,01… con su valor.

• Materiales de dibujo: reglas milimetradas y papel cuadriculado.

• Calculadoras para realizar operaciones con decimales.

• Herramientas informáticas como WIRIS.

• Prensa diaria. Recibos, facturas…

Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


La entrada permite ver la importancia de los números deci-males en el deporte. En muchos deportes como la nata-ción, el esquí, el atletismo o la fórmula 1, el ganador sedecide por milésimas de segundo.

Podemos aprovechar el tema de entrada para indicar larelevancia que ha tenido la técnica en la evolución del cro-nometraje a lo largo de la historia de los JJ. OO.

Explicaremos a los alumnos que en un principio los cro-nómetros eran de mano y tenían una precisión de décimas.Posteriormente aparecieron cronómetros no manualescuya precisión era de centésimas. En la actualidad, los sis-temas de cronometraje están mejorando en precisión yencontramos muchos deportes cuyos tiempos se miden enmilésimas de segundo.

2. Fracciones y decimales

4 y 65. Con estas actividades, los alumnos desarrollaránla competencia lingüística, en especial la subcompe-tencia escrita, ya que deberán aprender a escribir losnúmeros decimales desde cualquier contexto.

• Debe quedar claro que toda fracción se puede escribircomo un número decimal y que significa lo mismo.

• Si se eligen fracciones al azar, puede ocurrir que el perí-odo tenga muchas cifras y el alumno no sea capaz dedescubrirlo. Es bueno poner un ejemplo de este tipo.

• Todos los alumnos deben ser capaces de pasar un núme-ro decimal exacto a fracción y simplificarla a la fracciónirreducible. El proceso de convertir un número decimalperiódico en fracción se verá en el siguiente curso, sepodría explicar a los alumnos avanzados el paso de deci-mal periódico puro a fracción.

• Algún alumno avanzado puede descubrir que hay núme-ros decimales no periódicos.

3. Ordenación de decimales y fracciones• Si los dos números decimales a comparar no tienen las

mismas cifras decimales, a veces se ve mejor si se aña-den ceros a la parte decimal para que los dos númerostengan las mismas cifras decimales.

• Las fracciones se pueden comparar pasándolas a núme-ros decimales o directamente como se realizó en la uni-dad anterior. El primer caso es recomendable cuandohay que comparar fracciones y decimales.

1. Órdenes decimales• Hay que insistir en los órdenes de unidades y en la sepa-

ración de la parte entera y decimal por la coma.

• Se deben acostumbrar a escribir y leer un número deci-mal con palabras.

• Explicar que los números decimales pueden tener infinitascifras decimales.

• Conviene hacer la descomposición de un mismo núme-ro decimal de más de una manera.

I. Esta actividad nos permitirá trabajar la competencialingüística, ya que la información que aparece en el tex-to, junto con los conocimientos que ya poseen los alum-nos sobre números decimales de cursos anteriores,permite contestar a esta pregunta.

II. Previamente a esta actividad, podemos pedir a los alum-nos que busquen información sobre el sistema photofinish, en qué consiste su funcionamiento y cuándo serecurre a él. Esta búsqueda también servirá para queencuentren los diferentes deportes donde se emplea.

III. Para realizar esta actividad, los alumnos deberán recu-rrir de nuevo a internet.

IV. El ojo de halcón es otro ejemplo de cómo el desarrollode la tecnología está al servicio de la actividad humna.

V. Con esta actividad podremos establecer un pequeñodebate en clase, pero debemos tener cuidado en que lasargumentaciones que den los alumnos sean críticas yno se vean influenciadas por sus intereses futbolísticos.



Básico 8 a 10 y 67

Medio 11, 12 y 68


Básico 2, 3, 63 y 64

Medio 4, 5, 65 y 66


Básico 15, 16, 69, 74 y 91

Medio 17 a 21, 70 a 73, 75, 76 y 101

Alto 104, 105 y 109

4. Suma y resta de números decimales• Fundamentalmente debemos hacer hincapié en dos aspec-

tos importantes a tener en cuenta antes de operar:

– La necesidad de añadir ceros (completar con ceros) laparte decimal para que los dos términos de la opera-ción tengan el mismo número de cifras decimales.

– La importancia de colocar los términos de la ope-ración uno debajo de otro con las comas alineadas.

Si ambos aspectos se ilustran convenientemente conejemplos concretos que muestren la importancia dehacerlo correctamente, los alumnos se darán cuenta, deun modo práctico, del error que se comete cuando estono se tiene en cuenta.


Básico 24, 25, 77, 78 y 93

Medio 26 a 29, 79 y 80

Alto 81

8


5. Multiplicación con números decimales inversa, como las fracciones inversas de , , …

son 10, 100, 1000…, tendremos resuelto el problema.Pues cuando dividimos entre 0,1; 0,01; 0,001… hacemosexactamente lo mismo que cuando multiplicamos por10, 100, 1000…

• Insistiremos en que en la división entre dos númerosdecimales, el divisor no debe tener cifras decimales, ypara ello multiplicaremos el dividendo y el divisor por launidad seguida de tantos ceros como decimales tenga eldivisor.

• Si la división no es exacta, indicaremos a los alumnospreviamente el número de cifras decimales que debetener el cociente.

11000

110

1100

6. División con números decimales• En el epígrafe anterior se estudió la multiplicación por 0,1;

0,01; 0,001… y por 10, 100, 1000… Si los alumnos inte-riorizaron qué se hacía en cada caso, tendremos prepa-rado el terreno para trabajar la división entre 0,1; 0,01;0,001… y entre 10, 100, 1000…

• Los alumnos entenderán por qué en estas divisiones sedebe desplazar la coma de forma inversa a la multipli-cación por los mismos números si han asimilado que:

0,1 = 0,01 = 0,001 =

Puesto que entonces comprenderán que cuando multi-plicamos por 0,1; 0,01; 0,001… hacemos lo mismo quecuando dividimos entre 10, 100, 1000…

• Del mismo modo, si han comprendido que dividir entreuna fracción es lo mismo que multiplicar por una fracción

11000

1100

110

7. Aproximación de números decimales• Insistir en que al redondear aumentamos la cifra si la

siguiente es mayor o igual que 5. Deberemos hacer mul-titud de ejemplos, ya que los alumnos tienden a truncaren vez de a redondear.

• Hay que explicar que al redondear se obtiene un error,pero que es la única forma de trabajar con números deci-males, ya que pueden tener infinitos decimales.

Organiza tus ideasEn esta página se presentan, resumidos de forma esque-mática y gráfica, los contenidos de la unidad.

Es interesante pedir a los alumnos que confeccionen supropio esquema-resumen para luego contrastarlo con elque se presenta en esta página. De este modo pueden com-probar si han olvidado algún concepto o detalle importan-te.

También podemos pedirles que completen el resumen deesta página, por ejemplo, añadiendo a la primera parte laforma en que se leen los números decimales y su des-composición en los distintos órdenes de unidades.

Incidir en el algoritmo para multiplicar y dividir por 10, 100,1000…; 0,1; 0,01; 0,001, que les puede servir para realizaroperaciones de forma rápida y eficaz, y que también lesresultará muy útil en la unidad que estudia los distintossistemas de medida. Sería interesante que completaseneste apartado con ejemplos. Realizar con un mismo núme-ro decimal la multiplicación por 100 y 0,01 y la división entre100 y 0,01.

Por último, incidiremos en que marquen o subrayen bien laparte que recuerda que para dividir dos números decima-

• Si los alumnos multiplican bien números enteros, la mul-tiplicación de números decimales no les resulta compli-cada si siguen el proceso explicado en el texto. La reali-zarán como si fueran números naturales y pondrán lacoma en el producto, teniendo en cuenta que las cifrasdecimales son la suma del número de cifras decimalesde los factores del producto.

• Se debe tener cuidado al plantear ejercicios para que nosalgan multiplicaciones muy largas.

• Insistir en que multiplicar por potencia de 10 es despla-zar la coma hacia la derecha, mientras que multiplicar por0,1, 0,01, 0,001… es desplazar la coma a la izquierda. Enestas multiplicaciones hay que indicar que cuando notenemos suficientes dígitos es preciso completar conceros.

92. Al hilo de esta actividad, podemos organizar con losalumnos una operación kilo en el instituto. Les pedire-mos que hagan carteles para anunciar la “operaciónkilo” y durante los recreos de una semana harán turnospara la recogida de alimentos.

Los alumnos verán que organizar una actividad de estetipo requiere de su esfuerzo, y de esta manera des-arrollarán su espíritu solidario. Lo primero que ten-drán que decidir es el tipo de alimentos que van a pedir,y posteriormente elegirán la ONG a la que se los dona-rán. Por último, deberán preocuparse ellos mismos deorganizar, siempre bajo nuestra supervisión, los tur-nos de recogida de alimentos.

98. Esta actividad permite valorar el desarrollo de la cien-cia y la tecnología en beneficio de los transportes. Gra-cias a la construcción de túneles y puentes, las comu-nicaciones entre los diferentes lugares son más fluidas,lo que facilita la movilidad.


Básico 58, 59, 88 y 89

Medio 60, 61 y 90


Básico 42 a 50, 85 y 94

Medio 51 a 56, 86, 97 y 100

Alto 87, 102, 107 y 108


Básico 32 a 36, 82, 83 y 92

Medio 37 a 40, 84, 95, 96, 98 y 99

Alto 103 y 106


9


les es necesario conseguir que el divisor sea un númeroentero, para que aprecien la importancia de este hecho ala hora de realizar dicho tipo de operaciones.





RELACIONA LOS DATOS: LOS RÉCORDS DE 100 Y 200 METROS LISOS

Esta actividad puede considerarse como una continuacióndel tema de entrada de la unidad, ya que hace referencia ala presencia de los números decimales en el mundo deldeporte, en concreto en el atletismo.

Además aplicarán los conocimientos adquiridos en el tema,puesto que para contestar a las actividades deberán reali-zar cálculos con números decimales.

APRENDE A PENSAR: TU TIEMPO DE REACCIÓN

Con esta actividad, los alumnos aplicarán el método cien-tífico y comprobarán que no todo el mundo tiene el mismotiempo de reacción.

La actividad 4 nos permitirá concienciarles sobre los pro-blemas que el alcohol puede ocasionar en la salud, ade-más de aumentar el tiempo de reacción.

ANALIZA Y DEDUCE: DECIMALES EN LA PRENSA

Los titulares que aparecen en el texto son reales, apareci-dos en los medios de comunicación indicados.

Todos ellos servirán para demostrar la importancia y lapresencia de los decimales en la vida cotidiana.

CALCULA E INVESTIGA: NUEVO RECORD DE �

El número � ya lo han usado los alumnos en cursos ante-riores. Si les preguntamos previamente, nos dirán su apro-ximación más común: 3,14.

Utilizaremos esta actividad para ilustrar la existencia denúmeros decimales no periódicos con infinitas cifras deci-males.


10


Unidad 5 Números decimalesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En esta unidad se explican los números decimales. Un alumno de refuerzo debería terminar la unidad sabiendo dis-tinguir las distintas cifras de un número decimal, las operaciones básicas, y siendo capaz de resolver problemas sen-cillos en los que intervengan estas operaciones.

Estos alumnos a veces creen que las fracciones y los números decimales exactos o periódicos son conceptos distin-tos, y no ven que son formas distintas de representar las mismas cantidades. Por ello trabajaremos el paso de una frac-ción a su forma decimal.

Incidiremos en la utilidad del redondeo para aproximar un número decimal por otro con menos cifras decimales.


El ahorro

Formaremos grupos de tres o cuatro alumnos y pediremos que cada miembro del grupo lleve a clase un catálogo conlas ofertas del supermercado en el que su familia haga la compra o del que se encuentre más próximo a su domicilio.

• La primera actividad consistirá en comparar precios.

Después de examinar y comparar los catálogos, los alumnos seleccionarán (y recortarán) los artículos que aparezcan enmás de un folleto. De este modo conseguirán reunir una cantidad suficiente de productos acompañados de dos en dos (eincluso en algunos casos de tres) precios distintos. A continuación propondremos que calculen el valor de una misma com-pra en la que figuren los artículos que han seleccionado y hallen cuánto dinero pueden ahorrarse simplemente compa-rando los precios de los productos. Es muy importante que comprendan que, para poder comparar precios, han de com-probar que en la etiqueta figuren exactamente las mismas características: igual marca, modelo, cantidad… Los alumnosse darán cuenta de que el precio de un mismo producto puede oscilar a veces más de lo que sospechan.

• La segunda actividad consiste en agudizar el sentido crítico.

Muchas veces supone un ahorro considerable comprar un tamaño mayor de envase o un lote de varias unidades…, perootras veces no. En este caso se trata de calcular cuánto dinero nos ahorramos en cada unidad cuando compramos lotesde varias unidades o cuánto nos ahorramos en cada litro o kilogramo cuando compramos envases de mayor tamaño.Nos sorprenderá comprobar que en muchas ocasiones, no solo el precio es el mismo, sino que pagamos más dineroen cada unidad por llevarnos más unidades.

Con estas actividades, los alumnos se darán cuenta de que manejando con soltura las operaciones matemáticas elementalespueden ahorrar mucho dinero al ir de compras y, sobre todo, agudizarán su sentido crítico al comprobar los peligros dela publicidad engañosa.

ACTIVIDAD DE GRUPO




1. a) = 0,31 b)

2.

3. a) 2,8 + 3,2 = 6 A d) 2,3 · 10 = 23 O

b) = 0,2 V e) 20 · 0,1 = 2 N

c) 17,5 − 10,5 = 7 I En avión

4.

5. Decimal exacto:

Periódico puro: , Periódico mixto:

20100

Calculadora 4,358 4,123 3,605

A las décimas 4,4 4,1 3,6

A las centésimas 4,36 4,12 3,61

19 17 13

Calculadora 7,874 9,591 9,273

A las décimas 7,9 9,6 9,3

A las centésimas 7,87 9,6 9,27

62 92 86

16

29

1033

,

35

38

14

122

35

, , , ,

3,2

4,1

1,9

0,8 1,5 5,4 2,3

3,2

1,3

31100

250100

2 5= ,

11

1. Fíjate en los ejemplos y completa los huecos con los números correspondientes.

a) b)

2. Completa el siguiente dibujo para que las tres líneas sumen 10.

3. Si resuelves las siguientes operaciones y buscas en la tabla la letra asociada a cada resultado, averiguaráscuál es el medio de transporte que va a utilizar Marta para ir a su lugar de vacaciones.

a) 2,8 + 3,2

b)

c) 17,5 − 10,5

d) 2,3 · 10

e) 20 · 0,1

4. Con ayuda de la calculadora, halla el valor de las siguientes raíces cuadradas con tres cifras decimalesy después completa la tabla.

5. Calcula la expresión decimal de cada ficha y colócala en su correspondiente columna.

PERIÓDICOPURO

DECIMALEXACTO

PERIÓDICOMIXTO

Resultado con la calculadora 2,449

Redondeo a las décimas 2,4

Redondeo a las centésimas 2,45

6 19 17 13 62 92 86

3—5

2—9

3—8

1—4

10——33

1—6

12—–2

2—5

20100

3,2

4,1

1,9

1,5 2,3

3,2

——–100

= 2,

parteentera

partedecimal

——–100

= 0,

parteentera

partedecimal

54——–100

= 0,54

parteentera

partedecimal

263——–100

= 2,63

parteentera

partedecimal


Pági

na

foto

cop

iab

le



25H

17M

7I

21R

2N

3,21C

1,5B

0,4U

23O

6A

35K

98Y

10P

3,1J

0,2V

1,2C

58E

11G

12


Unidad 5 Números decimalesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Algunos de los ejercicios propuestos para los alumnos avanzados son un adelanto de lo que se encontrarán en elsiguiente curso, como las actividades 1 y 2, que muestran cómo pasar un número periódico a fracción, excepto el casode número periódico mixto. Podría ser conveniente que a los más avanzados se les muestre que hay números decimalesno periódicos.

También hay ejercicios con operaciones combinadas de números decimales, se debe tener cuidado con la prioridad delas operaciones. Además se les muestra que para poder trabajar con números decimales hay que truncarlos ocu-rriendo un error en la aproximación.

Por otra parte, se les proponen problemas más avanzados. Es recomendable insistir en que se realicen esquemaspara resolverlos y que se compruebe si la solución cumple el enunciado.

1. a) 0,325 =

b) 10,32 =

c) 1,992 =

2. a) b) c)

3. Hay varias soluciones, pues una fracción se puedeescribir de infinitas formas. La menor es la fracciónirreducible.

4. a) 0,8281 b) 533,61 c) 64 059,61

5. El camión puede cargar 7 sacos más.

6. Un litro de refresco pesa 1,1 kg más que un litro deagua.

7. En dar una vuelta completa a la pista tarda 14,8 segun-dos.

8 Cada hijo recibe 7,43 €.

9 Al principio, 1000 € son 1000 · 1,231 = 1231 $.

Al cabo de un mes, 1231 $ son 1231 : 1,156 = 1064,88 €.

Ha ganado 64,88 €.

10 1,1 · 102 = 110 1,1 · 103 = 1100

1,1 · 10−1 = 0,11 1,2 · 102 = 120

1,1 · 103 > 1,2 · 102 > 1,1 · 102 > 1,1 · 10−1

0 4545

1009

20, = =

337699

7133

49

19921000

249125

=

1032100

25825

=

325100

134

=


Crucigramas decimales

Dividimos la clase en grupos de tres o cuatro alumnos. Cada grupo va a construir un crucigrama con números decima-les.

El proceso de fabricación del crucigrama va a ser el contrario del proceso para resolverlo. Para ello se dibuja una cua-drícula de tamaño 8 × 8, numeradas las filas horizontales y las columnas verticales del 1 al 8; de las 64 casillas, cadagrupo puede poner en negro un máximo de 12.

Cada cuadrícula se rellena con una de las 10 cifras (del 0 al 9) o con una coma, esta hoja es la solución del crucigramadecimal. En otra hoja hay que poner las preguntas horizontales y verticales con operaciones con números decimales ofracciones cuyo resultado son los números decimales puestos en las soluciones, teniendo en cuenta que en una fila ocolumna puede haber más de un número si hay una casilla negra y que los números decimales se leen de izquierda aderecha o de arriba abajo.

Una vez terminado el crucigrama, se pasa a otro grupo para que lo resuelva.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Mira el proceso siguiente para convertir un número decimal exacto en fracción.

Expresa los siguientes números decimales exactos como fracciones.

a) 0,325 b) 10,32 c) 1,992

2. Estudia el proceso siguiente para convertir un número decimal periódico puro en fracción.

1.º Consideramos el número formado por la parte entera y el período del número decimal.

2.º Le restamos al número anterior la parte entera del número decimal.

3.º Dividimos el resultado anterior entre 9, si el período tiene una cifra; entre 99, si el período tiene 2 cifras;entre 999, si el período tiene 3 cifras…

Expresa los siguientes números decimales periódicos puros como fracciones.

a) 0,44444… b) 2,151515… c) 34,101010…

3. El cociente de dos números naturales es 0,45. ¿Es la solución única? En el caso de que haya varias solu-ciones, encuentra la que tenga los menores números.


a) (0,12 + 0,9)2 b) (2,31 : 0,1)2 c) (2,56 : 0,12 − 2,9)2

5. Un camión lleva dos cajas de 325,2 kilogramos y 4 sacos de 31 kilogramos. Si el peso máximo que pue-de cargar el camión es de 1000 kilogramos, ¿cuántos sacos podemos añadir?

6. Una botella vacía pesa 0,34 kilogramos. Llena de un refresco pesa 2,1 kilogramos, y llena de agua, 1,94.¿Cuántas veces más pesa un litro de refresco que de agua?

7. Un ciclista ha tardado 12 minutos y 22 segundos en recorrer 15 kilómetros dando 50 vueltas a una pis-ta. ¿Cuánto ha tardado de media en dar una vuelta completa a la pista?

8. Una madre compra 3 kilogramos de tomates a 2,42 euros cada kilogramo y una sandía de 4,3 kilogra-mos a 1,30 euros cada kilogramo. Paga con un billete de 50 euros y reparte las vueltas entre sus cincohijos. ¿Cuánto dinero recibe cada hijo?

9. Un hombre cambia 1000 euros en dólares cuando un euro equivale a 1,231 dólares. Al cabo de un mescambia los dólares porque el euro baja a 1,156 dólares. ¿Cuánto dinero ha ganado?

10. Trabajar con números muy grandes o muy pequeños es muy engorroso; para abreviar se utiliza la nota-ción científica: cifras seguidas de potencia de 10. El exponente de la potencia de 10 indica cómo se des-plaza la coma.

Ejemplos: 1,23 · 103 = 1230, se desplaza tres lugares a la derecha la coma.

1,234 · 10−2 = 0,01234, se desplaza dos lugares a la izquierda la coma.

Ordena de mayor a menor los siguientes números en notación científica.

1,1 · 102 1,1 · 103 1,1 · 10−1 1,2 · 102

16 2424241624 16

991608

9953633

, … =−

= =

23 42223 422 1000

100023 4221000

1171,

, ·= = =

11500



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Completa la siguiente tabla.

2. Convierte las siguientes fracciones en números decimales indicando si son exactos o periódicos.

3. Ordena de mayor a menor los siguientes números.

a) 5,324 5,325 5,315 b) 4,32


a) 2,89 · 10 000 c) 72,13 · 0,00001

b) 3,05 : 100 d) 2,7 : 0,0001


a) 34,5324 + 4,2494 c) 7,234 + 15,03 − 8,0157

b) 12,3456 − 8,2571 d) 3,05 − 1,1234 + 2,13

6. Haz las siguientes operaciones y redondea el resultado al orden que se indica.

a) 061 · 6,02 Redondea a las centésimas. b) 17,6 : 0,24 Redondea a las milésimas.


a) 0,73 · 2,3 + 3,15 c) 2,31 · (12 − 0,34)

b) 10,21 − 1,1 · 2,52 d) 17,12 · 4,01 − 2,9302 : 0,7

8. La casa de Juan está a 2,12 kilómetros del colegio. Juan recorre esta distancia dos veces al día de lunesa viernes. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana?

9. El caudal de un grifo de agua es de 12,3 litros por minuto, y el de otro, 0,31 litros por segundo. ¿Cuán-tos litros de agua salen de los dos grifos a la vez en un día?

10. Un comerciante compra 325 camisas a 23,25 euros cada una. ¿A cuánto debe vender cada camisa siquiere ganar 2080 euros en total?≤

133

8720

Número decimal Lectura del número decimal

150,23 Ciento cincuenta unidades y veintitrés centésimas

Treinta y siete unidades y quinientas once milésimas

1220,5

Ocho decenas y 4 milésimas

215

28325

13733

652

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1.

2. , exacto

, periódico

, exacto

, periódico

3. a) 5,325 > 5,324 > 5,315

b)

4. a) 2,89 · 10 000 = 28 900 b) 3,05 : 100 = 0,0305 c) 72,13 · 0,00001 = 0,0007213 d) 2,7 : 0,0001= 27 000

5. a) 34,5324 + 4,2494 = 38,7818 c) 7,234 + 15, 03 − 8,0157 = 14,2483

b) 12,3456 − 8,2571 = 4,0885 d) 3,05 − 1,1234 + 2,13 = 4,0566

6. a) 0,61 · 6,02 = 3,6722 3,67 b) 1,76 : 0,24 = 7,3333…. 7,333

7. a) 0,73 · 2,3 + 3,15 = 1,679 + 3,15 = 4,829

b) 10,21 − 1,1 · 2,52 = 10,21 − 2,772 = 7,438

c) 2,31 · (12 − 0,34) = 2,31 · 11,66 = 26,9346

d) 17,12 · 4,01 − 2,9302 : 0,7 = 68,6512 − 4,186 = 64,4652

8. 2,12 · 2 · 5 = 2,12 · 10 = 21,2 km recorre Juan a la semana.

9. Los dos grifos a la vez echan 12,3 + 60 · 0,31 = 30,9 litros por minuto.

En un día salen de los dos grifos 30,9 · 60 · 24 = 44 496 litros.

10. Las 325 camisas le cuestan 325 · 23,25 = 7556,25 €.

Al vender todas las camisas ingresa 7556,25 + 2080 = 9636,25 €.

Cada camisa la vende a 9636,25 : 325 = 29,65 €.

8720

4 35133

4 333 4 32= > = >, , ,…

215

01333= , …

28325

1132= ,

13733

4151515= , …

652

32 5= ,

Número decimal Lectura del número decimal

150,23 Ciento cincuenta unidades y veintitrés centésimas

37,511 Treinta y siete unidades y quinientas once milésimas

1220,5 Mil doscientas veinte unidades y 5 décimas

80,004 Ocho decenas y 4 milésimas





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Magnitudes proporcionales.

Porcentajes

CO N T E N I D O

2 Unidad 6 Magnitudes proporcionales. Porcentajes

En esta unidad se trata el concepto de proporcionalidad desde el punto de vista numérico.

Aunque muchos de los contenidos de esta unidad no son nuevos para los alumnos, es importante que los manejen consoltura, ya que son vitales para que se desenvuelvan adecuadamente en la sociedad actual. Por ello intentaremos quese produzca un aprendizaje significativo, para que todos los conceptos queden bien afianzados.

Es conveniente que los alumnos tengan presente la gran cantidad de situaciones reales en las que se aplica la propor-cionalidad: compras, repartos, planos, rectas…

Partiremos de distintas situaciones y ejemplos, sencillos y cercanos a los alumnos para formar relaciones que expre-saremos en forma de fracciones y que darán lugar a las razones y posteriormente a las proporciones.

Dentro del marco de la proporcionalidad y la razón de proporción numérica se introduce el porcentaje de una cantidad.

Expondremos el concepto de porcentaje y las tres formas de calcular el porcentaje de una cantidad: multiplicando porel número decimal, multiplicando por la fracción decimal o planteando una regla de tres. Esta última será muy útil paracalcular el total de una cantidad conociendo la parte correspondiente a un porcentaje.

• Razón entre dos números• Proporción• Términos de una proporción• Propiedad fundamental de las proporciones• Magnitudes directamente proporcionales• Razón de proporcionalidad• Construcción de tablas de magnitudes directamente pro-

porcionales• Método de reducción a la unidad• Regla de tres simple directa• Porcentajes

• Relación entre tanto por ciento, razón y número decimal• Cálculo de la parte• Cálculo del porcentaje de una cantidad• Cálculo de la cantidad total a la que corresponde un por-

centaje• Relación entre porcentaje y regla de tres simple directa• Aumentos porcentuales• Disminuciones porcentuales• Valoración crítica de informaciones que podamos ver en

los medios de comunicación relacionadas con los por-centajes

Unidad 6 Magnitudes proporcionales. Porcentajes

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Identificar relaciones de propor-cionalidad a través del análisis deinformación numérica o algebrai-ca, utilizando procedimientosbásicos de proporcionalidadnumérica.

1.1 Distinguir si dos razones formanuna proporción y reconocer sustérminos.

1.2 Identificar si dos magnitudes sondirectamente proporcionales.

1.3 Plantear y resolver problemasen los que intervenga la propor-cionalidad, utilizando la regla detres simple y la reducción a launidad.

• Lingüística

• Matemática




• Aprender a aprender2. Saber relacionar el porcentaje con

su razón y con su número deci-mal y con la regla de tres simpledirecta.

2.1 Cálculo y aplicación de porcen-tajes.

2.2 Resolver problemas en los queintervengan porcentajes.


1. Conocimientos previosPara entender el concepto de razón y que sepan calcular los términos desconocidos es preciso que los alumnos domi-nen el concepto de fracción equivalente.

A la hora de aplicar la regla de tres es importante que los alumnos manejen con soltura la descomposición factorial denúmeros naturales para que puedan simplificar con facilidad las fracciones obtenidas y se eviten hacer operaciones connúmeros grandes.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad que podemos encontrar es la utilización mecánica y automática de la regla de tres, sin que los alum-nos comprendan realmente lo que están haciendo. Por ello conviene resolver los problemas por reducción a la unidad ycon regla de tres.

3. Vinculación con otras áreasLa relación de proporcionalidad directa entre magnitudes está presente en algunos fenómenos de las ciencias y la tec-nología, como la masa y el peso; el espacio recorrido por un cuerpo durante un tiempo a velocidad constante.

4. Esquema general de la unidadEl concepto fracción equivalente, visto con anterio-ridad, puede servir de ayuda en el desarrollo de estaunidad, que comienza definiendo el concepto de razóny proporción numérica, para pasar después a enun-ciar la propiedad fundamental de las proporciones:“el producto de los extremos es igual al producto delos medios”.

Teniendo en cuenta lo anterior, mediante un ejem-plo, se introduce el concepto de magnitudes directa-mente proporcionales y se calcula la razón de pro-porcionalidad, que más tarde servirá para distinguirsi dos magnitudes son directas o no.

Una vez conocido el concepto de magnitudes direc-tamente proporcionales, se pasa a resolver algunosproblemas utilizando dos métodos básicos: reduccióna la unidad y regla de tres simple directa.

El tanto por ciento permite relacionar los conceptosde razón, porcentaje y expresión decimal, y el cálcu-lo de porcentajes con la regla de tres simple directa.

Por otra parte, se presentan algunos problemas de aumentos y disminuciones porcentuales en distintos contextos.


1.ª Introducción. Razón y proporción.

2.ª Magnitudes directamente proporcionales.

3.ª Reducción a la unidad.

4.ª Regla de tres simple directa.

5.ª Porcentajes.

6.ª Aumentos y disminuciones.

7.ª Actividades de consolidación.




3Magnitudes proporcionales. Porcentajes Unidad 6


Razóny

proporción

Magnitudesdirectamente

proporcionales

Razón deproporcionalidad

PORCENTAJES

PROPORCIONALIDAD

Cálculo

Aumentos

Disminuciones

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en la subcompetencia comunicación escrita.


No obstante, al estar dedicada esta unidad a la proporcionalidad y los porcentajes, son las subcompetencias razonamientoy argumentación y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla como poder desarrollar las subcom-petencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natural y sostenible.

Competencia social y ciudadanaA través de alguno de los problemas contextualizados podemos desarrollar la subcompetencia participación cívica, con-vivencia y resolución de conflictos, en concreto, el descriptor ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y debe-res cívicos, desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.


Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competen-cia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y deconstrucción del conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente en las actividades de ampliación de respuesta múltiple, donde las actividades no son guiadasy requieren aplicar la subcompetencia de planificación y realización de proyectos.






5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado des-criptores competenciales y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


Magnitudes proporcionales. Porcentajes Unidad 6





Lingüística Comunicación escrita.

Conocer y comprender diferentestipos de textos con distintasintenciones comunicativas.

– Aplica los contenidos matemáticos queaparecen en un texto a la resolución deproblemas.

Desarrolla tus competencias: II y III

Problemas

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo.

– Analiza diversas informaciones sobre unhecho y elege la más adecuada.

Pon a prueba tus competencias: III

Matemática


Interpretar y expresar con claridady precisión distintos tipos deinformación, datos yargumentaciones, utilizandovocabulario matemático.

– Interpreta facturas.

En toda la unidad



– Identifica relaciones de proporcionalidaddirecta.

– Resuelve problemas de proporcionalidad.

– Aplica los porcentajes.

En toda la unidad



Ser conscientes de lasimplicaciones éticas de laaplicación científica y tecnológicaen diferentes ámbitos y suslimitaciones.

– Se interesa por la composición de losproductos alimenticios y apreciar elcorrecto etiquetado.

Actividad 27


Adquirir un compromiso activo enla conservación de recursos y ladiversidad natural.

– Conoce los espacios naturales protegidosen España.

Actividad 70

Social y ciudadanaParticipación cívica,convivencia y resoluciónde conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades,responsabilidades y deberescívicos, desarrollar actitudes decooperación y defender losderechos de los demás.

– Interpreta los resultados de unaselecciones.

Actividad 91


competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación



En la red

– Visita la página librosvivos.net pararealizar distintas actividades.

Actividades: 10, 15, 33 y 36

Autonomía einiciativa personal

Planificación yrealización de proyectos.

Afrontar los problemas de formacreativa, aprender de los errores,reelaborar los planteamientosprevios, elaborar nuevas ideas,buscar soluciones y llevarlas a lapráctica.

– Resuelve problemas con respuestamúltiple.


6


• Educación para el medio ambiente: actividad 82

• Educación para el consumo: la gran mayoría de los problemas contextualizados sobre porcentajes.









SM


• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO.

– Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.° de ESO: N.° 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadísti-ca”.

– Unidad I: Proporcionalidad.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.° de ESO.

– Medidas a ojo y Ofertas musicales

OTROS FIOL, Mª L, FORTUNY, J. Proporcionalidad directa. Madrid. Síntesis 1990.


www.librosvivos.net

Otros

Páginas del proyecto Descartes del MEC



Porcentajes en el proyecto Descartes


• La calculadora, para que se vayan familiarizando con la función porcentaje (%), así como su aplicación alos problemas de aumentos y disminuciones porcentuales.

• Prensa diaria. Recibos, facturas…

• Regla y cinta métrica.

Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os


7


Entrada


La foto de entrada permite que los alumnos entiendan elconcepto de proporción, aplicándolo a las escalas.

La lectura detallada del texto les permitirá comprender einterpretar las escalas que tanto aparecen en el mundoque nos rodea.

70. Podemos aprovechar esta actividad para que los alumnosinvestiguen sobre cuántos parques nacionales hay enEspaña, cuáles son las condiciones que debe cumplir unespacio natural para ser calificado como parque nacional…

Asimismo puede servir para abrir un pequeño debatesobre la conservación de los espacios naturales y lainfluencia de la acción del hombre sobre los mismos,contribuyendo a fomentar en los alumnos el respeto porel medioambiente.

1. Razón y proporción numérica• Teniendo en cuenta que los alumnos conocen las frac-

ciones equivalentes, se puede explicar el concepto deproporción como la igualdad entre dos razones o frac-ciones equivalentes.

• Los alumnos ya han utilizado “producto de medios iguala producto de extremos”. Sería interesante hacerles verque esto es una forma de comprobar si cuatro númerosforman una proporción y no una definición. Para ello, con-viene insistir en que las razones y proporciones nos sir-ven para comparar datos. Se puede utilizar el ejemploque acompaña el dibujo de la presentación.

• Se debe insistir en que aprendan a diferenciar los térmi-nos de una proporción y a calcular algún término desco-nocido de la misma.

I. Esta actividad permite que trabajemos la competencialingüística a través de la subcompetencia comunica-ción escrita, ya que en el texto viene descrito de unaforma coloquial lo que significa escala 1 : 25.

II. En esta actividad, los alumnos encontrarán una apli-cación directa de la proporcionalidad, al tener que rela-cionar su altura real con la que deberían tener paravivir en Madurodam. Utilizarán desde un primer momen-to la regla de tres simple directa.

III. Al igual que con la actividad II, los alumnos calcularánlos valores correspondientes a magnitudes proporcio-nales.

IV. Por último, esta actividad nos servirá para comprobarsi los alumnos han entendido el concepto de escala,calculando la escala existente entre los habitantes deLiliput y la realidad. Para poder obtener la escala debe-rán interpretar correctamente los datos que figuran enel enunciado, lo que permite trabajar de nuevo la sub-competencia comprensión escrita.

Es interesante que busquen otras situaciones en lasque se utilizan escalas, como en los mapas de la clasede Ciencias Sociales.


Básico 7, 8 y 52 a 54

Medio 9


Básico 71, 72 y 74

Medio 12 a 14 y 79



Básico 2, 3, 39 a 44 y 70

Medio 4, 5, 45 a 51 y 77

2. Magnitudes directamente proporcionales

• Para que los alumnos distingan las magnitudes directa-mente proporcionales es bueno utilizar las palabras doble,triple o mitad, en lugar de más y menos, para que no hayalugar a confusiones

• Sería interesante que los alumnos manejasen, con lamayor soltura posible, el concepto de razón de propor-cionalidad y lo utilizaran para reconocer y comprobar sidos magnitudes son directamente proporcionales.

• A partir de la razón, deben ser capaces de completartablas de proporcionalidad directa.

• Es interesante proponer distintas situaciones para quelos alumnos razonen si corresponden a magnitudes direc-tamente proporcionales, de este modo comprobarán quehay magnitudes que no guardan ninguna proporción ytambién podremos preparar el camino para las magni-tudes inversamente proporcionales.

3. Cálculo con magnitudes directamenteproporcionales. Reducción a la unidad

• Debido a que todos los problemas de este epígrafe sepueden resolver usando la regla de tres, sería bueno rea-lizar los ejercicios antes de pasar a otros conceptos, conel fin de que entendiesen y dominasen el método de reduc-ción a la unidad.

• Es interesante hacer ver a los alumnos que el método dereducción a la unidad es útil cuando los cálculos a reali-zar son sencillos y pueden hacerse mentalmente.

• Se puede utilizar el esquema que aparece en el margende la página para explicar de forma sencilla en qué con-siste el método de reducción a la unidad.

8


6. Problemas de porcentajes4. Regla de tres simple directa• Este epígrafe se centra en problemas sobre disminucio-

nes y aumentos porcentuales.

• Los alumnos están acostumbrados a realizar estos pro-blemas calculando primero la cantidad correspondienteal tanto por ciento de disminución o de aumento, paraluego restárselo o sumárselo a la cantidad inicial, segúnsea el caso. Pero al haber introducido en el epígrafe ante-rior la regla de tres simple para el cálculo con porcenta-jes, debemos insistir en realizar los problemas calcu-lando directamente la cantidad final, comparando cantidadinicial con cantidad final y situando en uno de los térmi-nos 100, y en el otro, (100 − r) o (100 + r), según corres-ponda.

• Podemos plantear multitud de problemas sobre porcen-tajes basados en contextos cotidianos sin más que pedira los alumnos que lleven al aula:

– Folletos y catálogos con las ofertas de los super-mercados de la zona. La mayoría de las veces anun-cian que un tanto por ciento del producto es gratis.Los alumnos tendrán la oportunidad de comprobarsi es cierto, y de este modo fomentaremos su espí-ritu crítico como consumidores.

– Facturas de teléfono, de luz, de gas, para que com-prueben que las cantidades correspondientes al IVAson correctas.

• Los problemas de aumentos o disminuciones encade-nadas, como el 85, los haremos multiplicando por lafracción decimal correspondiente a (100 − r)% si se tra-ta de una disminución o a (100 + r)% si se trata de unaumento. Iremos multiplicando sucesivamente según setrate de aumento o disminución por su fracción corres-pondiente.

27. Este problema puede servir para indicar a los alumnoslo importante que es leer el etiquetado de los alimen-tos para saber su composición.

Podemos pedirles que traigan etiquetas de algunosproductos de casa para que vean que toda la informa-ción que aparece debe expresarse, por ley, por cada100 gramos o 100 mililitros.

Les haremos ver que en todas las etiquetas deben apa-recer por lo menos cuatro datos:

– Valor energético. – Hidratos de carbono.

– Proteínas. – Grasas.

Además, cuando la cantidad de vitaminas y sales mine-rales que contenga el alimento supere por cada 100 go 100 ml en un 15% la cantidad diaria recomendada(CDR), el porcentaje debe incluirse en el etiquetado.

A través de las etiquetas podemos elaborar una tablaindicando la CDR de los principales nutrientes y, a par-tir de ella, intentar que los alumnos sean más equili-brados en su alimentación.

Organiza tus ideasSe debe aprovechar esta página para que los alumnos ten-gan una idea global del tema.

El objetivo es que vean de forma clara las magnitudes direc-tamente proporcionales.

Conviene que planteemos problemas en los que utilicen laregla de tres y la reducción a la unidad conjuntamente, paraque se den cuenta de que los dos métodos son válidos, yaque, realmente, la reducción a la unidad no es más que uncaso particular de la regla de tres.

Algo parecido puede suceder con los porcentajes, ya quecualquier problema de porcentajes se puede resolver plan-teándolo como una regla de tres simple directa.

• Es preciso intentar que, antes de mecanizar cálculos, losalumnos vean que resolver un problema utilizando laregla de tres simple directa es lo mismo que utilizar pro-porciones, insistiendo en que formen primero la propor-ción para después despejar.

• Es conveniente que los alumnos acompañen los esque-mas típicos de la regla de tres con algunas palabras quepuedan ayudar a identificar cada uno de los conceptosque intervienen en el problema.

5. Porcentaje o tanto por ciento

• Podemos empezar este epígrafe escribiendo el tanto porciento como una fracción en la que el denominador es100.

• Se debe intentar que los alumnos vean de forma clara larelación que hay entre porcentaje, razón y número deci-mal.

• Como un porcentaje representa una proporción, aplica-remos la regla de tres simple directa en la resolución deproblemas, comparando siempre las magnitudes parte ytotal, y situando en una de ellas el término 100. Estemétodo va a permitir calcular la parte, el porcentaje o eltotal conociendo la parte y el porcentaje.


Básico 75 y 76

Medio 85, 86

Alto 90, 92, y 95



Básico 17, 18 y 73

Medio 19 y 20

Alto 94


Básico 21, 22, 26, 27 y 56 a 68

Medio 23 a 25, 28 a 32, 78 y 80 a 84

Alto 87, 89, 91 y 93

90. Podemos aprovechar esta actividad para resaltar laresponsabilidad que implica el que un ciudadano ejer-cite su derecho a votar, indicando que además de underecho, debe considerarse un deber ciudadano.

9



JUGUETES Y REALIDAD

Esta actividad puede considerarse como una continuacióndel tema de entrada de la unidad y sirve para comprobar sihan comprendido el concepto de escala y saben aplicarlocorrectamente.

Para poder realizar las actividades 3 y 6 deberemos indi-car a los alumnos que traigan de casa una cinta métrica.

A la hora de realizar la actividad 6 sería interesante quedividiéramos la clase en parejas para hacerlo de una mane-ra organizada.

LA FACTURA DEL GAS

Esta actividad es muy útil para que los alumnos apliquenlos contenidos sobre porcentajes que han aprendido en launidad.

Además, con ella aprenderán a interpretar la informacióncontenida en una factura, distinguiendo los diferentes con-ceptos que en ella aparecen, lo que les permitirá aplicar-los a otras facturas.

APROVECHA LAS OFERTAS

Con esta actividad vamos a desarrollar la competencia lin-güística, extrayendo la información contenida en cada unade las diferentes ofertas e interpretándola, para que, conayuda de los contenidos desarrollados en la unidad, poda-mos elegir la más conveniente.

De esta manera podremos defender con rigor los motivospor los que nos decantamos por una u otra oferta.

Además, también puede servir para que realicemos unareflexión con los alumnos sobre lo engañosa que es a vecesla publicidad.


Actividades de ampliaciónCon estas actividades desarrollamos las competencias deaprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, deci-diendo cuáles son los más apropiados para resolver cadauna de las actividades.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajus-tan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzoles asuste un poco.

10


Unidad 6 Magnitudes proporcionales. PorcentajesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. a) . b) . Usando productos cruzados se ve que son

proporcionales.

2. x = 24; y = 36; r = 0,25

3. Necesitará 24 días para fabricar 7200 pares.

4. El 10% de 1150 es 115. El 42% de 1150 es 483.

5. a) 13 euros b) 52 euros

410

25





En esta unidad se pretende que los alumnos dominen los conceptos básicos de proporcionalidad directa, cuándo dosrazones forman una proporción y la utilización de la regla de tres simple directa para la aplicación a problemas sen-cillos. Deben comprender el método de reducción a la unidad, ya que es muy práctico a la hora de calcular proporcio-nes en la vida cotidiana.

También es conveniente que sepan calcular el tanto por ciento de una cantidad.

• Hay que tener en cuenta que ya conocen las fracciones, pero no estaría de más repasar el concepto de fracciones equi-valentes.

• Deben saber identificar si dos magnitudes son directamente proporcionales (si la primera magnitud crece, la segun-da también, y en la misma proporción, y viceversa).

• Puede resultar útil calcular razones de proporcionalidad con tablas de datos numéricos.

• Es conveniente realizar problemas sencillos en los que utilicen la regla de tres simple directa.

• Debemos proponerles problemas sencillos en los que tengan que aplicar cálculos con porcentajes.

• Insistiremos en que los alumnos vean si el resultado que han obtenido es lógico o no.

Juego de mesa

Formamos grupos de un máximo de 4alumnos. Cada grupo debe fabricar untablero como el de la figura.

• Cada grupo necesitará un dado yfichas de colores para cada jugador.

• Comienza el jugador que mayor pun-tuación obtenga al lanzar el dado.

• En cada turno se avanzan tantascasillas como indica la puntuaciónobtenida en el lanzamiento deldado.

• Cuando un jugador caiga en unacasilla con pregunta, deberá locali-zar la casilla con la respuesta corres-pondiente y situar en ella su ficha.

• Si un jugador falla o no conoce larespuesta, retrocederá tres casillasy pasará el turno al siguiente juga-dor.

• Gana el jugador que antes llega a lameta.

ACTIVIDAD DE GRUPO

INICIO 28 x% de 40 = 12 29 30 30

127 100

480

=X

31 35

2 20% de 200 26 3,232

¿ ?32

1312

=

3 4 25 32 33

4 3 1854x

= 24 0,32 34 SÍ

5 23 23 35 0 23, %= �

6 4022 32

100= �% 36

7 162 21 37 NO

8¿ ?

23

812

=20 37

10038 2,3

9 9 19 39 515 3

=x

10¿ ?

24

46

=18 370

10040 9

11 NO 17 8% de 25 41 2312

37%??

= 16 2 42 1

13 SÍ 14 25 15 4 META

11

1. Indica si las partes coloreadas en los dibujos forman razones proporcionales.

a) b)

2. Completa la siguiente tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales y encuentra la razónde proporcionalidad.

3. Rafael utiliza mucho un parking. En la última semana pagó 9 euros por 15 horas. ¿Cuánto pagará el pró-ximo mes si ha previsto que necesitará aparcar su coche durante 62 horas?

Método de reducción a la unidad

Fijándote en el ejemplo anterior, resuelve el ejercicio siguiente.

Un fabricante de calzado deportivo realiza 600 pares de zapatillas en 2 días. ¿Cuántos días necesitarápara fabricar 7200 pares?

Resuélvelo también mediante una regla de tres simple directa. ¿Obtienes el mismo resultado?

4. La máquina que ves nos sirve para calcular el porcentaje de cualquier cantidad. Veamos su funcionamientocon un ejemplo:

Calcula el 23% de 1150.

¿Sabrías utilizar la máquina para calcular el 10% y el 42% de 1150?

5. Unos pantalones cuestan 65 euros, pero en rebajas hacen un descuento del 20%.

a) ¿En cuántos euros consiste la rebaja?

b) ¿Cuál es el precio de los pantalones rebajados?

1150 0,23 264,5=

0

7 8 9

4 5 6

1 2 3

%

•

,

0

7 8 9

4 5 6

1 2 3

%

,

0

7 8 9

4 5 6

1 2 3

%

,

Introducimos la cantidad inicial.

Multiplicamos por el porcentaje dividido entre 100.

El resultado de esta operación es el porcentaje.

Horas Euros

9 18

: 9 : 9

1 2

· 62 · 62

62 124

Magnitud A 4 6 7 9 10

Magnitud B 16 x 28 y 40


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 6 Magnitudes proporcionales. PorcentajesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la uni-dad y que tienen necesidad de avanzar un poco más.

• Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor y también otros en los que aparezcan másde dos magnitudes, puesto que les pueden servir para tener alguna base en temas que se estudiarán en años pos-teriores.

• Se pueden añadir problemas de repartos directamente proporcionales, cuya resolución se puede llevar a cabo median-te la regla de tres simple directa.

• También podemos usar cantidades escritas con letra, ya que los alumnos tienden a extraer los datos de los proble-mas de los números que aparecen. Con esto favorecemos la lectura pausada y reflexiva de los problemas.

• Conviene realizar más problemas de aumentos y disminuciones porcentuales, bien contextualizados, que obliguenal alumno a extraer los datos necesarios del texto y comprender correctamente el enunciado.

1. El segundo debe cobrar 2 000 euros.

2. 928 minutos, es decir, 15 horas y 28 minutos.

3. a) 450 g b) 75 g c) 3750 g

4. a) 32 L b) 72 € c) 67,80 €

5. a = 1, b = 3 y c = 2

6. La barra de pan pesa 250 gramos.

7. El número es 3775.

8. 120 km/h

9. Al primer camarero le corresponden 800 euros.

Al segundo, 600.

Al tercero, 700.

10. El primero puso 40 000 €.

El segundo, 48 000.

El tercero, 52 000.

11. 60 segundos.


Razón áurea

Podemos hacer grupos de cuatro o cinco alumnos para buscar una de las razones de proporcionalidad más bellas de lahistoria de la humanidad. Propondremos a cada uno de los grupos que trate de buscar dicha razón. Para ello les pode-mos dar las siguientes pistas:

• Partenón de Grecia.

• El hombre de Vitrubio, de Leonardo da Vinci.

• DNI.

• Estrella de cinco puntas.

• En la mano…

Tratarán de buscar el mayor número posible de proporciones áureas. Para ello, además de las pistas dadas, les resul-taría de gran ayuda utilizar internet.

Podríamos realizar una competición en la que los alumnos reciban algún tipo de compensación, para ver cuál de los gru-pos es capaz de encontrar más razones áureas.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. La razón entre los sueldos de dos trabajadores de una determinada empresa es . Si el primero per-cibe 1200 € mensuales, ¿cuánto debe cobrar el segundo?

2. Un grifo tarda en llenar un depósito de 250 litros de agua 32 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar otro depó-sito de 7250 litros de capacidad?

3. Seis gallinas consumen en cuatro días 1800 gramos de pienso. Calcula:

a) Cuánto pienso consumen seis gallinas en un día.

b) Cuánto consume una gallina en un día.

c) Cuántos kilogramos consumen diez gallinas en cinco días.

4. Almudena e Iván se van de vacaciones en su coche. El depósito tiene capacidad para 40 litros de gasoil,con los que pueden hacer 600 kilómetros. Les cuesta llenar el depósito 45 euros.

a) Si tienen que recorrer 480 km, ¿cuántos litros de gasoil necesitan?

b) ¿Cuánto les va a costar el combustible de la ida y la vuelta?

c) Cuando van a volver se dan cuenta de que el gasoil es más barato y les cuesta 0,95 euros el litro.¿Cuánto les cuesta ahora la ida y la vuelta?

5. Calcula a, b y c en las razones , sabiendo que la razón de proporcionalidad es .

6. En una barra de pan, un 30% es agua; , harina, y los 25 gramos restantes están compuestos por leva-

dura. ¿Cuánto pesa la barra de pan?

7. El 20% de un número más 25 es igual a 780. ¿De qué número estamos hablando?

8. El velocímetro de mi coche marca un 10% más de la velocidad que realmente llevo. Si en un determi-nado momento marca 132 km/h, ¿a qué velocidad voy realmente?

9. Tres camareros han conseguido un bote de 2100 € durante el mes de junio. El primer camarero ha tra-bajado 160 horas; el segundo, 120, y el tercero, 140. ¿Cuántos euros del bote le corresponden a cada uno?

10. Tres amigos deciden comprar una tienda de zapatos que les cuesta 140 000 €. Al cabo de un año deci-den repartirse los beneficios obtenidos por las ventas realizadas y les corresponden 20 000, 24 000 y26 000 euros, respectivamente. ¿Cuánto dinero aportó cada uno en la compra de la tienda?

11. Antonio tarda 15 segundos en bajar corriendo por las escaleras mecánicas del metro. Ayer, que esta-ban estropeadas, tardó 20 segundos en bajar corriendo. ¿Cuántos segundos tardaría si se estuviesequietecito mientras baja por las escaleras mecánicas en funcionamiento?

35

rb

=3

a b c21 63 42= =

35



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Comprueba si las siguientes razones forman una proporción utilizando la propiedad fundamental de lasproporciones.

a) b) c)

2. Calcula el valor de las incógnitas para que los números dados formen una proporción.

a) b) c) d) 2, 5, 6, z

3. Di si las siguientes magnitudes son directamente proporcionales.

a) La duración de una llamada de móvil y su precio.

b) El tiempo que tarda un atleta en correr los 100 metros lisos y la velocidad a la que los recorre.

c) El peso de un depósito de gasolina y la cantidad de litros de combustible que contiene.

d) El número de personas que realizan un trabajo y el tiempo que tardan en hacerlo.

4. Completa la siguiente tabla que relaciona magnitudes directamente proporcionales, calculando la razónde proporcionalidad.

5. Completa las siguientes expresiones.

a) b) La razón equivale a un n c)

6. Calcula los siguientes porcentajes.

a) 25% de 25 000 b) 3% de 999 c) 60% de 9500

7. Hemos encontrado dos ofertas de un mismo producto en dos supermercados distintos. La primera deellas decía: “7 maquinillas de afeitar por 2,10 €”, y la segunda: “Oferta: 9 maquinillas de afeitar por3 €, y le regalamos 3”. ¿Dónde estaríamos haciendo la mejor compra?

8. Marcial ha visto en una tienda que 9 videojuegos cuestan 45,36 euros. Si tiene 25 €, ¿cuántos podrácomprar?

9. Para asfaltar una carretera de 10 kilómetros de longitud se han utilizado 12 toneladas de alquitrán.

a) ¿Cuántas toneladas se necesitarán para asfaltar 23 kilómetros de carretera?

b) Si cada kilogramo de alquitrán cuesta 25 euros, ¿cuál será el importe de los 2 tramos asfaltados?

10. Una magdalena contiene 25 gramos de harina, que representan el 40% del peso total. ¿Cuánto pesaráuna bolsa de una docena?

25% = 0,��%45

0 23100

, %= =� �

Magnitud 1.ª 2 4 6 8 10

Magnitud 2.ª 1 4

353

210a−

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2346

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y22530

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y

Pági

na

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iab

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15

1. Utilizando productos cruzados:

a) Sí forman proporción, ya que: 6 ⋅ 9 = 27 ⋅ 2 = 54.

b) Sí forman proporción, ya que: 225 ⋅ 10 = 30 ⋅ 75 = 2250.

c) No forman proporción, ya que: 23 ⋅ 39 = 897, y 46 ⋅ 13 = 598.

2. Utilizando productos cruzados:

a) 3x = 6 ⋅ 12 ⇒ x = 24 c) ⇒ 35 ⋅ 10 = 2(a − 3) ⇒ a = 178

b) ⇒ 121 ⋅ 5 = b ⋅ 11 ⇒ b = 55 d) ⇒ 2z = 6 ⋅ 5 ⇒ z = 15

3. a) Verdadera c) Falsa

b) Falsa d) Verdadera

4. Razón de proporcionalidad 2.

5. a) c) 25% = 0,25

b) La razón equivale a un 80%.

6. a) 25% de 25 000 = ⋅ 25 000 = 6250 c) 60% de 9500 = ⋅ 9500 = 5700

b) 3% de 999 = ⋅ 999 = 29,97

7. En la primera oferta, el precio de cada unidad es: 2,10 : 7 = 0,30 €.

En la segunda oferta, el precio de cada unidad es: 3 : 12 = 0,25 €.

Por tanto, estaríamos haciendo la mejor compra en el segundo supermercado.

8. Cada uno de los videojuegos cuesta: 45,36 : 9 = 5,04 €.

Si dispone de 25 €, podrá comprar: 25 : 5,04 = 4,9 videojuegos.

Es decir, en realidad podrá comprar 4 videojuegos.

9. a) Utilizamos una regla de tres simple directa: toneladas.

Se necesitan 27,6 toneladas de alquitrán.

b) Cantidad de alquitrán para los dos tramos asfaltados: 27,6 + 12 = 39,6 t = 39 600 kg

Coste de las dos carreteras: 25 ⋅ 39 600 = 990 000 €

10. Utilizando una regla de tres simple directa: g pesa una magdalena.

62,5 g ⋅ 12 unidades = 750 g

Una bolsa de una docena pesará 750 gramos.

40 25100

25 10040

62 5%%

,−−

⇒ =⋅

=ggx

x

10 1223

23 1210

27 6km tkm

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⇒ =⋅

=x

x ,

3100

60100

25100

45

0 2323

10023, %= =

Magnitud 1.ª 2 4 6 8 10

Magnitud 2.ª 1 2 3 4 5

121 115b

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z

353

210a−

=x6

123

= ⇒





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Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Ecuaciones

CO N T E N I D O

2 Unidad 7 Ecuaciones

En esta unidad se produce el primer encuentro de los alumnos con el álgebra, rama de la matemática que será de vitalimportancia en su futura formación.

Trataremos de llamar la atención sobre la gran utilidad que tienen las ecuaciones para resolver problemas de la vida coti-diana. Podemos plantear algunos problemas sencillos del entorno habitual que sean fáciles de resolver mediante ecua-ciones y que no lo sean tanto sin la ayuda de estas. De modo que inicialmente los alumnos intenten resolverlos pormétodos aritméticos y que posteriormente se resuelvan con métodos algebraicos, mostrando así como se puede redu-cir y simplificar el lenguaje ordinario a través del algebraico.

En primer lugar se distingue entre lo que son expresiones numéricas y algebraicas, dando importancia a la traducciónde una situación del lenguaje ordinario al algebraico mediante ejemplos de contextos cercanos al alumno, para des-pués mostrarle las reglas básicas para poder operar en este nuevo terreno.

Un objetivo de la unidad es resolver ecuaciones de primer grado. Antes de empezar es necesario que distingan con todaclaridad los conceptos de términos y miembros. Nos podemos apoyar en la utilización de las balanzas, un buen recur-so para que entiendan la resolución de ecuaciones como búsqueda del equilibrio en los dos miembros. Se debe comen-zar con ecuaciones sencillas e ir complicándolas poco a poco, siguiendo metódicamente los pasos que se indican en elúltimo epígrafe de la unidad. La resolución de otro tipo de ecuaciones en el futuro resultará más fácil si se aprendecorrectamente la resolución de las de primer grado.

No menos importante es la resolución de problemas. Conviene empezar con problemas sencillos y aplicados a la realidad.

• Lenguaje algebraico• Expresión algebraica• Traducción del lenguaje ordinario al lenguaje algebrai-

co• Monomio• Partes de un monomio: coeficiente y parte literal• Valor numérico de una expresión algebraica• Monomios semejantes• Suma y resta de monomios• Igualdad algebraica

• Identidad algebraica• Ecuación• Incógnitas de una ecuación• Soluciones de una ecuación• Ecuación de primer grado con una incógnita• Ecuaciones equivalentes• Regla de la suma• Regla del producto• Planteamiento y resolución de problemas mediante ecua-

ciones de primer grado

Unidad 7 Ecuaciones

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Expresar situaciones de la vidacotidiana utilizando formas sen-cillas del lenguaje matemático, enespecial el lenguaje algebraico.

1.1 Expresar situaciones de la vidareal en lenguaje algebraico.

1.2 Calcular el valor numérico deuna expresión algebraica.

1.3 Operaciones con monomios.1.4 Resolver ecuaciones de primer

grado con una incógnita.

• Lingüística

• Matemática





2. Resolver ejercicios y problemasde la vida cotidiana mediante laformulación de expresiones alge-braicas sencillas y ecuaciones deprimer grado con una incógnita.

2.1 Resolver problemas relacionadoscon la vida cotidiana en los queintervengan números naturales,enteros y racionales, mediante ellenguaje algebraico, describiendoverbalmente el proceso elegido ylas soluciones obtenidas.

3Ecuaciones Unidad 7



1. Conocimientos previosEs fundamental que los alumnos tengan un dominio adecuado de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplica-ción y división de números fraccionarios y que utilicen con soltura los paréntesis.

2. Previsión de dificultadesEs una de las primeras veces que los alumnos se enfrentan en matemáticas al trabajo con letras. No cabe duda de queel paso de la aritmética al álgebra, de lo concreto a lo abstracto, puede entrañar serias dificultades en algunos alum-nos, así que conviene dar mucha importancia a la traducción de una situación del lenguaje ordinario al lenguaje alge-braico.

3. Vinculación con otras áreasEn los campos de la ciencia, la técnica, la economía y la sociedad en general aparecen fórmulas que relacionan diferentesdatos, y estas fórmulas son ejemplos claros de expresiones algebraicas.

4. Esquema general de la unidadEn esta unidad se ve la utilización del lenguaje algebraicoy su uso en igualdades, fórmulas y ecuaciones. A lo largode la etapa se verá la resolución de diversos tipos de ecua-ciones, en este curso se trata solamente de las ecuacio-nes de primer grado con una incógnita.

La unidad comienza explicando la utilización del lenguajealgebraico mediante expresiones algebraicas como unacombinación de letras y números. Se aprende a calcular elvalor numérico de distintas expresiones algebraicas, asícomo a sumar y restar monomios.

A continuación se utilizan las expresiones algebraicas paradefinir relaciones, fórmulas, igualdades, identidades yecuaciones.

La última parte de la unidad trata sobre las ecuaciones. Seve cómo simplificar ecuaciones mediante las reglas de lasuma y del producto, la definición de solución de una ecua-ción y de ecuaciones equivalentes. En el último epígrafe seexplican los distintos pasos que se deben seguir para resol-ver las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en doce sesiones:

1.ª Introducción. Lenguaje algebraico

2.ª Expresiones algebraicas. Monomios

3.ª Valor numérico de una expresión algebraica

4.ª Suma y resta de monomios

5.ª Igualdades e identidades

6.ª Ecuaciones. Soluciones. Ecuaciones equivalentes

7.ª Regla de la suma

8.ª Regla del producto

9.ª Método general para la resolución de un ecuación de primer grado

10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación




EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Valor numérico de unaexpresión algebraica

Monomios

Suma y restade monomios

Ecuaciones

Soluciones

Ecuacionesequivalentes

Regla de la sumaRegla del producto

Resolución deecuaciones

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.


Al estar dedicada esta unidad al lenguaje algebraico y resolución de ecuaciones de primer grado se trabajan descripto-res de las tres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas, relacionar y aplicar el cono-cimiento matemático a la realidad y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompe-tencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y conocimiento del cuerpo humano y disposiciónpara una vida saludable.

Competencia social y ciudadanaA través del tema de entrada, de las referencias históricas en los márgenes y de la actividad final “Un problema chinomuy antiguo” se trabaja esta competencia en relación con el progreso tecnológico y científico, a través del descriptor cono-cer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.


Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmen-te en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción delconocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” la subcompetencia Planificación y des-arrollo de proyectos.





Unidad 7 Ecuaciones

5







Lingüística


Aplicar de forma efectiva habilidadeslingüísticas y estrategias nolingüísticas para interactuar yproducir textos escritos adecuados ala situación comunicativa.

– Transcribe al lenguaje algebraico.

En toda la unidad

Reflexión sobre ellenguaje.

Conocer y valorar las tradiciones y laslenguas de nuestro país y las otrasculturas que conviven con nosotros yvalorar la diversidad cultural como unhecho de nuestra realidad cotidiana.

– Aprecia la riqueza cultural del lenguaje.


Matemática


Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos deinformación, datos y argumentaciones,utilizando vocabulario matemático.

– Expresa situaciones de la vida real enlenguaje algebraico.

En toda la unidad


Aplicar estrategias de resolución deproblemas adecuadas a cadasituación.

Expresar de forma adecuada la soluciónde un problema y comprobar su validez.

– Plantea y resuelve problemas por medio deecuaciones e interpreta su solución.

En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tiposde números, medidas, símbolos,elementos geométricos, etc.) ensituaciones reales o simuladas de lavida cotidiana.

– Opera con monomios.

– Simplifica ecuaciones.

– Resuelve ecuaciones.

En toda la unidad



Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnologíaa la sociedad.

– Valora las aportaciones matemáticas dediferentes culturas y aprecia su contribuciónal desarrollo de la ciencia.


Pon a prueba tus competencias: Interpretay resuelve, resuelve problemas

Conocimiento delcuerpo humano ydisposición para unavida saludable.

Ser conscientes de la dimensiónindividual y colectiva de la salud, conactitudes de responsabilidad y respetohacia los demás y uno mismo.

– Aprecia el acceso a medicamentos.




– Sitúa hechos científicos en el tiempo

Pon a prueba tus competencias: Interpreta y resuelve


competencia digital




En la red


Actividades: 16, 20, 24, 27 y 42, organizatus ideas, autoevaluación


Planificación yrealización deproyectos.


– Resuelve problemas con respuesta múltiple.

– Resuelve problemas de forma creativa

Actividades de ampliaciónPon a prueba tus competencias: Analiza y calcula

Ecuaciones Unidad 7

6


• Educación para la interculturalidad: texto de entrada.










SM



– Unidad 4. Álgebra.

• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 3: “Números enteros. Ecuaciones”.

– Unidad II: Ecuaciones.

Otros • Ideas para enseñar álgebra. Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis.


www.librosvivos.net

Otros

Página del proyecto Descartes del MEC:



• Balanzas para trabajar la diferencia que existe entre igualdad y ecuación, así como para obtener ecua-ciones equivalentes.

• La calculadora, para comprobar si es correcta la solución obtenida de una ecuación.Otr

os

mat

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Unidad 7 Ecuaciones

7


Entrada


3. Valor numérico de una expresiónalgebraica

La foto de entrada junto con el texto permite apreciar yvalorar las aportaciones que las diferentes culturas antiguashicieron a las matemáticas.

Convendría destacar que el papiro de Ahmes es una impor-tante fuente de información de las matemáticas que habíandesarrollado los egipcios. No solo vienen problemas deecuaciones, también aborda otros temas, tales como:

– Áreas

– Volúmenes

– Progresiones

– Repartos proporcionales

– Regla de tres

– Fracciones

2. Expresiones algebraicas• Los alumnos deben trabajar las expresiones algebraicas

de manera progresiva. Han de entender que se trata debuscar expresiones válidas para muchas situaciones par-ticulares. En este intento conviene pasar por varias fases:identificación y comprensión de expresiones algebraicas;escritura de expresiones algebraicas a partir de situacio-nes reales sencillas; transformación de expresiones alge-braicas en operaciones matemáticas. Para ello es necesariopracticar con actividades donde se traduzcan expresionesdel lenguaje ordinario al algebraico y viceversa.

• Al leer expresiones algebraicas, los alumnos tienen pro-blemas con aquellas en las que aparecen potencias ysumas o restas. Tienden a confundir expresiones del tipo“el cuadrado de una suma” y “la suma de los cuadradosde dos números”.

• Debe quedar clara la identificación de las diferentes par-tes de un monomio, coeficiente y parte literal, para poderrealizar operaciones en epígrafes posteriores.

4. Suma y resta de monomios• Antes de realizar las primeras operaciones con mono-

mios tiene que quedarles claro a los alumnos el concep-to de expresiones algebraicas semejantes, para ello sepodría utilizar algún método más gráfico como asociarun objeto a una letra y comparar diferentes expresiones.

• Una vez conseguido diferenciar si dos monomios sonsemejantes o no, conviene comenzar a operar mono-mios con una letra, para pasar después a monomioscon mayor parte literal y finalizar con operaciones conun mayor número de elementos.

• También es interesante que en algunas actividades no sepueda reducir la expresión algebraica.

1. Letras y números• Los alumnos deben entender que las letras en el len-

guaje algebraico representan valores indeterminados.Para ello es muy útil poner como ejemplo:

– Fórmulas ya conocidas por los alumnos como el áreade un cuadrado o el perímetro de un rectángulo.

– La forma de expresar las propiedades de las opera-ciones de los números naturales.

Verán que en todas estas expresiones aparecen letras ynúmeros, y que las letras pueden tomar cualquier valor.

• Es muy importante que desde el primer momento losalumnos se acostumbren a traducir del lenguaje ordina-rio al lenguaje algebraico. Comenzaremos con ejemplossencillos, tales como: doble de un número, triple de unnúmero, cuádruple de un número, la mitad de un núme-ro, la tercera parte de un número, el cuadrado de unnúmero, el cubo de un número.

I. Con la actividad I, los alumnos podrán comprobar quela solución que daba el escriba, sin aplicar el métodode resolución de ecuaciones, es la correcta. Podemosaprovecharla para indicar que gracias al álgebra, algu-nos problemas que ellos venían resolviendo aritmética-mente pueden resolverse de una manera más sistemá-tica y rápida.

II. La actividad II requerirá que los alumnos busquen infor-mación detallada en internet, aunque la gran mayoríade ellos sabe que uno de los usos de las matemáticasegipcias se produjo en la construcción de las pirámi-des.

III. Con esta actividad trabajaremos la competencia lin-güística, haciendo notar a los alumnos que nuestra len-gua se ha ido enriqueciendo de diversas culturas.

• El concepto de valor numérico de una expresión alge-braica no suele ser difícil para los alumnos, pero sí sepueden presentar dificultades a la hora de calcularlo, porcometer errores en las operaciones aritméticas, sobretodo cuando se sustituyen números negativos.

• Se pueden poner ejemplos en los que distintas expresio-nes tengan siempre el mismo valor numérico.


Básico 7, 8, 45 a 47 y 53

Medio 9, 51 y 52


Básico 48 a 50

Medio 14 y 15


Básico 19 y 54

Medio 55 y 56

Ecuaciones Unidad 7


Básico 3, 43 y 44

Medio 4 y 5

8


8. Regla del producto• Igual que la regla de la suma, la regla del producto es

una forma de encontrar ecuaciones equivalentes mássencillas en el sentido de que es más fácil encontrar lasolución. Aunque se llame regla del producto, tambiénse pueden dividir por un número ambos miembros de laecuación, siempre que no se divida por cero.

9. Resolución de ecuaciones• Hay que acostumbrar a los alumnos a ser ordenados y a

seguir los pasos indicados en la resolución de las ecua-ciones.

• Algunas dificultades que encuentran a la hora de resol-ver las ecuaciones y que habría que trabajar con ellosson:

– Al eliminar los denominadores solo multiplican en unmiembro de la ecuación.

– En cuanto a los signos: un signo menos delante deuna fracción afecta a todos los términos del nume-rador de la fracción, y al cambiar de signo una ecua-ción, hay que cambiarlo en ambos miembros.

• La actividad resuelta 39 es un problema que se resuelvecon ecuaciones. La dificultad al resolver los problemas esla utilización adecuada del lenguaje algebraico, ya quelos alumnos encuentran difícil pasar del lenguaje ordinarioal matemático.

• El punto clave en la traslación de los enunciados al len-guaje algebraico es el de identificar los datos descono-cidos. Una vez identificados, hay que ver la relación entreestos, y así se podrá averiguar a qué dato desconocidose le asigna la incógnita. De este modo se pueden ponertodos los datos desconocidos en función de la incógnitay plantear la ecuación, que una vez resuelta nos permi-te encontrar la solución del problema.

• Los pasos que se debe tener en cuenta al trasladar unenunciado en lenguaje ordinario al algebraico son:

1. Leer detenidamente el enunciado.

2. Identificar los datos conocidos.

3. Identificar los datos desconocidos.

4. Asignar una incógnita a un dato desconocido.

5. Plantear la ecuación.

7. Regla de la suma• Conviene hacerles ver que la regla de la suma es una for-

ma rápida y eficiente de encontrar ecuaciones equiva-lentes más sencillas en el sentido de que es más fácilencontrar la solución. Para ello se puede trabajar con labalanza, donde si se quita o añade el mismo peso a amboslados, se mantiene el equilibrio. Aunque se llame reglade la suma, también se puede restar un número a ambosmiembros de la ecuación.

5. Letras para expresar relaciones: igualdades e identidades

• En este epígrafe, los alumnos podrán darse cuenta, apartir de ejemplos numéricos, concretos y cotidianos(precio – kilogramos, precio – duración de llamada), de laimportancia y utilidad de las expresiones algebraicas.

• Se introducen los conceptos de igualdad y sus distintostipos. Conviene hacerles ver que una identidad se verifi-ca para cualquier valor que tomen las letras.



Medio 65ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 22, 23 y 57 a 59

Alto 60



Medio 33


Básico 40, 66, 67 y 70 a 74

Medio 41, 68, 69 y 75 a 78

Alto 79 a 81 y 83 a 85

Unidad 7 Ecuaciones


Básico 25, 26, 61 y 62

Medio 63

Alto 82, 83 y 87

6. Letras para expresar ecuaciones. Soluciones de una ecuación

• Es interesante que el alumno se haga a la idea, aunquesea de forma intuitiva, de que la ecuación es una situa-ción de igualdad. La balanza matemática servirá parareforzar esta idea de igualdad, de equilibrio.

• También conviene definir cada una de las partes de unaecuación: primero y segundo miembro, términos e incóg-nita. Conviene usar varias letras para la incógnita, nosiempre la x, ya que se acostumbran a esta letra y luegoles cuesta resolver las ecuaciones con otras incógnitas.

• Las ecuaciones de primer grado con las que trabajaremostendrán una única solución, pero se les puede avanzarque hay otro tipo de ecuaciones que pueden tener nin-guna o más de una solución.

• Es importante hacerles entender el concepto de ecua-ción equivalente y la utilidad que tendrá posteriormentea la hora de resolver las ecuaciones.

9



INTERPRETA Y RESUELVE:UN PROBLEMA CHINO MUY ANTIGUO

Al igual que sucedía con el texto de entrada, podremosvalorar y apreciar el legado matemático que nos deja otracultura, esta vez la china.

Ecuaciones Unidad 7


Con estas actividades desarrollamos la competencia parala autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberánaplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son losmás apropiados para resolver cada una de las actividades.


Además trabajaremos la competencia social y ciudadana,ya que la actividad III nos pide realizar un eje cronológicocon los avances matemáticos de las diferentes culturasque han aparecido a lo largo de la unidad.

RESUELVE PROBLEMAS:LA MÁQUINA EXPENDEDORA

Esta actividad es muy útil para que los alumnos desarro-llen la competencia aprender a aprender, ya que deberánelaborar sus propias estrategias para responder a todaslas preguntas sin una guía que les indique el camino aseguir.

ANALIZA Y CALCULA:LA ESCALERA

Para que los alumnos contesten a las actividades 1, 2 y 4debemos guiarles a fin de que construyan una tabla indi-cando el número de peldaños que utilizan para una esca-lera dependiendo del número de escalones. No les costa-rá mucho encontrar la pauta que hay al completar la tablacon ayuda de los cuatro dibujos que aparecen.

APRENDE A PENSAR:EL USO DE LOS MEDICAMENTOS

Podemos aprovechar la actividad 4 para realizar un deba-te en clase sobre cómo puede influir el acceso a los medi-camentos en las tasas de mortalidad infantil en los paísespoco desarrollados, creando en los alumnos un espíritusolidario, concienciándoles para que si al finalizar un tra-tamiento médico les han sobrado medicamentos, los llevena la farmacia o a una ONG y puedan ser remitidos a los paí-ses que los necesiten.

Organiza tus ideas

En esta página se muestran los contenidos vistos a lo lar-go de la unidad. Se dividen en tres partes. Una primeraparte trata sobre el lenguaje algebraico, en el que se vequé es una expresión algebraica, cómo calcular el valornumérico de una expresión algebraica, qué son monomiossemejantes y cómo se suman y restan monomios. En lasegunda parte se ven los conceptos de igualdad algebrai-ca, identidad algebraica y ecuación. Finalmente se indicanlos pasos a seguir para resolver una ecuación de primergrado con una incógnita.

En todos los apartados se muestran los conceptos conejemplos concretos.

10


Unidad 7 EcuacionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En esta unidad se introduce el lenguaje algebraico y, en particular, el planteamiento y resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita. Los alumnos deberán terminar el tema sabiendo resolver ecuaciones de primer gradosencillas y plantearlas en problemas simples.

• Para una mejor comprensión del método de resolución de ecuaciones de primer grado es recomendable que lasoperaciones a realizar sean solo con números enteros, si acaso con fracciones cuyos denominadores sean númerospequeños.

• Se debe prestar especial atención a los signos, sobre todo cuando hay un paréntesis restando, ya que el signo afec-ta a todo el paréntesis.

• Los problemas deben poderse plantear con ecuaciones. Hay que tener en cuenta que a los alumnos les resulta espe-cialmente difícil trasladar del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

1. a) x = 1b) x = 5c) x = 3 d) x = 0 e) x = −1f) x = 3

2. Tres manzanas

3. Manzana, 400 gramos. Naranja, 200 gramos.

4. Al aumentar un balón de baloncesto, pasamos de 22 €a 34 €, por lo que el precio del balón de baloncesto esde 12 €, y el de fútbol, de 10 €.

5.


Dominó de ecuaciones

Para este juego necesitamos fabricar un dominó en el que cada una de las fichas esté formada por una ecuación y porun número, como se puede ver en el ejemplo.

Se puede dividir la clase en grupos de tres o cuatro alumnos y proponer a cada grupo que fabrique su propio dominó,con distintas ecuaciones y sus soluciones correspondientes, para luego intercambiarlo con otro grupo para jugar.

Se reparten las fichas y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, con el mismo número en las dospartes de la ficha (en el ejemplo, la ficha con el 1 es doble).

En cada tirada deberá hacerse corresponder una ecuación con su solución, o viceversa. En caso de quedar en tablas, gana-rá el alumno cuya suma de soluciones sea menor.

1 – x = 3 2

x—2

5x + 1 = 6 –2

2x + 4 = 8 10

–2x + 7 = 1 6

6x –2 = –2 3

x + 3 = 2 4

3x + 2 = 14 0

7x = 14 –4

2x – 1 = 1 1

x + 4 = 0 4

= 3 2

x – 1 = 4 1

6x = 24 1

2 = 5

4x + 1 = 5 –1

x—5

ACTIVIDAD DE GRUPO



Unidad 7 Ecuaciones

S O L U C I Ó N

G R A D O

M O N O M I O

E C U A C I Ó N

C O E F I C I E N T E

I D E N T I D A D

I N C Ó G N I T A S

1

2

3

4

5

6

7

11

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 1 = 4 c) 3x + 5 = 6 + x + 5 e) x − 2(x − 3) = 5 − 2x

b) 2x + 6 = 16 d) −4x + 5 = −7x − 3 + 2x + 8 f)

2. Como ya sabes, las ecuaciones, como las balanzas, buscan el equilibrio. ¿Sabrías encontrarlo en la últi-ma balanza?

3. ¿Sabrías deducir cuánto pesan la manzana y la naranja?

Plantea las ecuaciones correspondientes llamando x al peso de las frutas.

4. Calcula los precios de los balones de fútbol y de baloncesto.

5. Completa el crucigrama y obtendrás la palabra clave en las casillas de color.

1. Igualdad con letras y números que expresa una condición quedeben cumplir las letras.

2. La parte numérica de un monomio se llama …………….

3. El valor que debe tomar la incógnita de una ecuación para que secumpla la igualdad se llama……………… de la ecuación.

4. Si una igualdad es cierta para cualquier valor de las letras, sellama …………….

5. Si el exponente de las letras de una ecuación es 1, decimos quees de primer ……………

6. Las letras de una ecuación se llaman …………….

7. Expresión algebraica formada por el producto de un número yuna o varias letras elevadas a exponentes naturales.

++ = 34 €

+ = 22 €

200 g

200 g

200 g 200 g

200 g 200 g

200 g 200 g200 g

y?

xx

+= −

12

5

Unidad 7 Ecuaciones

Pági

na

foto

cop

iab

le


Ecuaciones Unidad 7

1

2

3

4

5

6

7

12


Unidad 7 EcuacionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

A aquellos alumnos que dominen la resolución de ecuaciones se les pueden proponer otros tres tipos de actividadesdistintos:

• Ecuaciones de primer grado más complicadas, como pueden ser ecuaciones con fracciones que pueden tener laincógnita en el denominador.

• Realización de problemas más elaborados. Se recomienda realizar un gran número de problemas para que plan-teen con soltura las ecuaciones.

• Planteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en los que se puedan apoyar enun dibujo que les ayude a ver la relación entre las incógnitas.

1. a) x = 2

b) x = 5

c) x = 6

d)

2. a) x = 2

b)

3. Es la ecuación b) x + 2 = 2x + 1.

4. El número pedido es 9.


6. Cada niño recibe 6 €, y cada niña, 7 €.


8. Los ángulos miden 58°, 60° y 62°.

9. La altura mide 6 m, y la longitud, 18 m. El área es de 108 m2.

10. Hay 24 conejos.

11. El número inicial es 233.

12. 30 preguntas.

x =12

x =78


Concurso de problemas de ecuaciones

Formad grupos de dos o tres alumnos.

Cada grupo debe desarrollar unas frases que se puedan trasladar al lenguaje algebraico por medio de ecuaciones deprimer grado con una incógnita. Estas frases podrían tratar sobre:

• Edades. Por ejemplo, “La edad de Juan es el doble de la que tenía hace tres años”.

• Precios u objetos. Por ejemplo, “Si regalo tres CD, tengo la mitad de los que tenía”.

• Figuras geométricas. Por ejemplo, “El perímetro de un cuadrado mide 16 centímetros”.

• Animales. Por ejemplo, “En una granja donde hay pollos y vacas, contamos 20 cabezas y 50 patas”.

Además de escribir las frases, los alumnos deben escribir la ecuación correspondiente y su solución. Cuidado, porquedeben plantearse problemas que tengan sentido.

El juego consistirá en ir planteando estas frases a otros grupos para que escriban las ecuaciones y las resuelvan. Ganaquien resuelva más problemas.

ACTIVIDAD DE GRUPO



Unidad 7 Ecuaciones

13


a) c)

b) d)


a) b)

3. ¿Cuál de las ecuaciones corresponde a la frase “Si un número lo aumentamos en 2 unidades, se obtie-ne el doble del número y además una unidad”?

a) b) c)

4. Encuentra un número que al restarle 5 y dividirlo por 4 sea lo mismo que restarle 4 y dividirlo por 5.

5. Halla un número sabiendo que el quíntuplo de ese número más su quinta parte es 182.

6. Reparte 47 euros entre 2 niños y 5 niñas de modo que cada niña reciba un euro más que cada niño.

7. Encuentra un número entero al que si se le suma la mitad, la mitad de la mitad, la mitad de la mitad dela mitad y una unidad, se obtiene el doble del número.

8. Los tres ángulos de un triángulo son tres números pares consecutivos. ¿Cuánto mide cada ángulo?

9. La longitud de un rectángulo es el triple de la altura. Si el perímetro es de 48 metros, ¿cuál es su área?

10. En una granja hay gallinas y conejos. Calcula el número de conejos sabiendo que hay 32 cabezas y 112patas.

11. Se tiene un número de tres cifras con la cifra de las unidades y de las decenas igual. Calcula el núme-ro sabiendo que la suma de las cifras es 8 y que si se invierte el orden de sus cifras, el número aumen-ta en 99 unidades.

12. En un determinado test, todas las preguntas valen lo mismo. Si respondes correctamente nueve de las

diez primeras, pero solamente de las restantes, obtienes como puntuación la mitad del máximo

posible. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

310

2 2 1x x+ = +x x+ = +2 2 1x x+ = +( )2 2 1

14 9

2+ =x x

3 23

116x x

+ =

3 2 258

42

3xx x

xx

− −⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟=

+− +

− 24

x x x5

14

15

10−

−= −

+

2 12

34

2 14

48

x x x x+− =

+−

+x x x++

+−

+=

35

64

13

2

Unidad 7 Ecuaciones


Pági

na

foto

cop

iab

le

Ecuaciones Unidad 7

14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.

b) La diferencia de dos cantidades.

c) El cuadrado de un número menos un tercio del número.

d) El doble de la diferencia de los cuadrados de las dos cantidades.

2. Escribe la ecuación que expresa las siguientes frases usando una única incógnita.

a) La suma de las edades de dos hermanos, que se llevan 5 años, es 25.

b) En un huerto hay 54 manzanos y ciruelos, el número de manzanos es el doble que el de ciruelos.

c) Si a mi dinero le sumasen un tercio de lo que tengo más 5 euros, tendría 34 euros.

3. Comprueba si el número asignado a x es la solución de la ecuación.

a) para b) para

4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes? Indica la solución de cada ecuación.

a) b) c) d)

5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) b)


a) b)


a) c)

b) d)

8. El dinero que tiene Juan es el doble del de Luis más 2 euros. Si entre los dos tienen 107 euros, ¿cuán-to dinero tiene cada uno?

9. Calcula tres números consecutivos que sumen 93.

10. Un tren con 176 pasajeros llega a una estación donde se baja una cantidad desconocida de pasajeros.

En la siguiente estación se bajan de los pasajeros que quedan. Si en el tren todavía quedan 50 pasa-

jeros, ¿cuántos se bajaron en la primera estación?

x xx

x3

34

232

21

3− ⋅

−= + + ⋅

+

23

x x−+

+=

13

12

6

xx

xx

+−− = − +

+2 35

1 3 43

2

x x2

12 3

3+ + =

x x x− = − +( ) +2 2 2 3 65 4 2 3x x x+ = + +( )

3 5 10 32 2a a a a a+ − + + + 2 3 4 3 2x y xy x y xy y− + − + + −

2 1 2x x+ = +x − =1 73 1 4x + =x + =2 7

x = 22 1 2 1x x x−( ) + = −x = 13 4 2 5x x+ = +

Pági

na

foto

cop

iab

le

Unidad 7 Ecuaciones


Unidad 7 Ecuaciones

15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) 3x b) a − b c) d) 2(a2 − b2)

2. a) Si x es la edad del menor, x + (x + 5) = 25.

b) Si t es el número de ciruelos, t + 2t = 54.

c) Si x es el dinero que tengo, .

3. a) , sí es solución. b) , no es solución.

4. a) b) c) d)

Dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma solución. Son equivalentes la b y la d.

5. a) b)

6. a) b) x − 2 = 2x −2(x + 3) + 6

x − 2 = 2x − 2x − 6 + 6

x = 1 x = 2

7. a) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 c) ⇒ m.c.m.(5, 2) = 10

2x + 3 + 2x = 18 ⇒ 5x = 15 14x − 16 = 35x − 25 ⇒ 21x = 9

x = 3

b) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6 d) ⇒ m.c.m.(3, 2) = 6

2(x − 1) + 3(x + 1) = 36 ⇒ 5x = 35 −7x + 36 = 10x + 13 ⇒ 17x = 23

x = 7

8. Dinero de Luis: x

Ecuación: 3x + 2 = 107 ⇒ 3x = 105 ⇒ x = 35. Luis tiene 35 €, y Juan, 72 €.

9. Números: x, x + 1 y x + 2

Ecuación: 3x + 3 = 93 ⇒ 3x = 90 ⇒ x = 30. Los números pedidos son 30, 31 y 32.

10. Pasajeros que se bajan en la 1.ª estación: x

Ecuación: ⇒ 528 − 3x − 352 + 2x = 150 ⇒ x = 26. Se bajaron 26 pasajeros.

2 9 366

6 9 4 46

x x x x− +=

+ + +2 1

2 3

3 1

3 26 6

6

x x−( )⋅

++( )⋅

=·

x xx

x3

34

232

21

3− ⋅

−= + + ⋅

+x x−+

+=

13

12

6

x =37

10 4 6 1010

30 40 5 1510

x x x x+ − −=

− + +

xx

xx

+−

− = − ++2 3

51 3 4

32

22 3

3 13 2

22 3

6 36

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=⋅⋅

x x1

x x3

12 3

3+ + =

5 4 2 6x x x+ = + +

5 4 2 3x x x( )+ = + +

x y xy− + 62 16 32a a+ +

x = 1x = 8x = 1x = 5

2 2 1 2 4 3 2 2 1−( ) + = ≠ = ⋅ −3 1 4 7 2 1 5⋅ + = = ⋅ +

x =2317

x x+ +( ) = ⇒2 2 107

x x x+ +( ) + +( ) = ⇒1 2 93

176 17623

50− − −( ) ⋅ =x x

x x+ + =13

5 34

y y2 13

−



Unidad 7 Ecuaciones

Ecuaciones Unidad 7

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Tablas y gráficas

CO N T E N I D O

2

Debemos ser conscientes de la importancia de los conceptos que se van a trabajar en esta unidad; por tanto, nuestro obje-tivo principal debe ser que los alumnos reconozcan y sepan valorar la presencia de las gráficas y las funciones en la vidaque les rodea. Por ello trataremos de realizar actividades sacadas de contextos reales.

Muchas situaciones del entorno escolar son propicias para la representación gráfica: el registro de la temperatura exte-rior durante un período de tiempo determinado, la relación entre el número de kilos de fruta que compramos y el pre-cio que tenemos que pagar… Tampoco debemos olvidar que la prensa escrita es muy útil para la búsqueda de ejemplosque nos pueden ayudar al desarrollo de todos los contenidos de la unidad.

Intentaremos que representen e identifiquen puntos en el plano mediante sus coordenadas cartesianas, haciéndolesver la importancia de que las coordenadas son pares ordenados.

Pondremos ejemplos de tablas en las que se recoja la relación de dependencia existente entre dos magnitudes. Un ejemploque verán muy claro y cercano a ellos será la relación entre el tiempo de duración de una llamada y el coste de la misma.

Los alumnos deben apreciar la importancia de este tema aplicado a la vida real, aprender que muchas relaciones que venson funciones y ser capaces de escribir estas relaciones mediante fórmulas o de representarlas en los ejes coordenados.

Aprovecharemos los contenidos de proporcionalidad directa de la unidad seis para trabajar con las funciones lineales,intentando que vean la relación que existe entre magnitudes directamente proporcionales.

• Ejes de coordenadas. Eje de abscisas y eje de ordenadas.Origen de ordenadas

• Coordenadas de un punto• Representación en el plano de puntos determinados por

sus coordenadas cartesianas• Relaciones dadas por tablas• Relaciones dadas por gráficas

• Relaciones dadas por fórmulas• Función• Variables dependiente e independiente• Representación gráfica de una función• Función lineal o de proporcionalidad directa• Pendiente

Unidad 8 Tablas y gráficas

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Representar e interpretar puntosen el plano.

1.1 Localizar y representar puntosen el plano a partir de sus coor-denadas cartesianas.

1.2 Representar una situaciónmediante un punto en los ejescoordenados.

• Lingüística

• Matemática





2. Identificar si dos variables estánrelacionadas mediante una fun-ción y distinguir entre variablesdependiente e independiente.

2.1 Diferenciar si dos variables estánrelacionadas o no mediante unafunción, distinguiendo las variablesdependiente e independiente.

2.2 Representar e interpretar unafunción mediante tablas, gráfi-cas o fórmulas, y saber pasar deunas a otras.

2.3 Reconocer e interpretar enun-ciados que correspondan a fun-ciones sencillas de la vida.

3. Reconocer e interpretar funcio-nes lineales sencillas.

3.1 Reconocer, interpretar, repre-sentar y relacionar las funcio-nes lineales con las magnitudesdirectamente proporcionales.


3



1. Conocimientos previosPara poder identificar y representar las funciones lineales o de proporcionalidad directa es necesario que los alumnossepan identificar variables directamente proporcionales y construyan la tabla de valores asociada.

2. Previsión de dificultadesUna de las dificultades que pueden surgir es en la interpretación de gráficas, ya que esta actividad exige que los alum-nos analicen a la vez la evolución de dos variables, lo cual requiere un elevado grado de abstracción.

3. Vinculación con otras áreasLos contenidos desarrollados en la unidad facilitan la interpretación de situaciones relacionadas con las ciencias natu-rales y las ciencias sociales. Respecto a las primeras, es clara la utilidad de las técnicas estudiadas para el manejo dedatos obtenidos a partir de la observación de un fenómeno físico, biológico, meteorológico, etc., y la posterior extracciónde conclusiones a partir de los mismos. La conexión con las ciencias sociales se produce a partir de los numerososfenómenos cuya evolución con el tiempo se describe mediante gráficas.

4. Esquema general de la unidadCada día somos bombardeados con miles de datos: en la prensa, en la radio, en la televisión, etc. Por eso, en este tematrataremos de que el alumno vea y sepa interpretar esa información mediante gráficas o funciones.

Comenzaremos con la representación de puntos en los ejesde coordenadas o cartesianos, para pasar después a lasdistintas relaciones con las que vamos a trabajar: relacio-nes dadas por tablas, por gráficas o por fórmulas. Vere-mos cómo se puede pasar de una relación a otra.

Introduciremos el concepto de función, distinguiendo lasvariables dependiente e independiente. Pondremos ejem-plos de tablas, gráficas e incluso fórmulas que no corres-ponden a funciones, para que los alumnos se vayan fami-liarizando con esta definición.

Representaremos funciones a partir de los siguientes pasos:construcción de una tabla, representación de los puntosobtenidos y estudio del sentido de la unión de los puntos.

Acabaremos con las funciones lineales o de proporciona-lidad directa, caso particular de funciones.

Pero, como dijimos al principio, lo importante de este temaradica en la capacidad de interpretar y construir gráficas,para lo cual intentaremos que los ejemplos y ejerciciossean más abundantes.


1.ª Introducción. Coordenadas en el plano.

2.ª Relaciones dadas por tablas.

3.ª Relaciones dadas por gráficas.

4.ª Relaciones dadas por fórmulas.

5.ª Función. Representación gráfica.

6.ª Función de proporcionalidad directa.

7.ª Actividades de consolidación.




Tablas y gráficas Unidad 8

TABLAS Y GRÁFICAS

Ejescoordenados

Relacionesde variables

Funciones

Coordenadas Tablas

Gráficas

Fórmulas

Variableindependiente

Variabledependiente

Función de proporcionalidad directa

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enun-ciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunica-ción escrita y comunicación oral.


No obstante, al estar dedicada esta unidad a funciones, tablas y gráficas, son las subcompetencias razonamiento y argu-mentación y uso de elementos y herramientas matemáticos las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcom-petencias aplicación del método científico en diferentes contextos, conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natural y sostenible.

Competencia social y ciudadanaA través del tema de la actividad “Moverse en una cuadrícula” podremos trabajar algunos de los descriptores de la sub-competencia participación cívica, convivencia y resolución de conflictos, valorando la labor de la ONU al servicio de lasociedad.


Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las seccio-nes de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competen-cia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y deconstrucción del conocimiento.






5







Lingüística

Comunicación oral.

Valorar el diálogo como medio pararesolver conflictos, interactuar ymediar de forma adecuada sabiendoescuchar y mostrándose disponible alintercambio de ideas.

– Participa en debates en clase, respetandolas intervenciones de los compañeros.


Comunicación escrita.Conocer y comprender diferentes tiposde textos con distintas intencionescomunicativas.

– Expresa con fórmulas situaciones realesdescritas con lenguaje ordinario.

Actividades 14 y 39

Matemática


Interpretar y expresar con claridad yprecisión distintos tipos deinformación, datos yargumentaciones, utilizandovocabulario matemático.

– Interpreta gráficas que representensituaciones de la realidad.

En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

Conocer y aplicar herramientasmatemáticas para interpretar yproducir distintos tipos deinformación (numeración, gráfica…).

– Identifica relaciones de proporcionalidaddirecta y las expresa mediante una funciónlineal.

– Representa gráficas.

– Identifica puntos en el plano cartesiano.

En toda la unidad

Interacción conel mundo físico


Ser conscientes de las implicacioneséticas de la aplicación científica ytecnológica en diferentes ámbitos y desus limitaciones.

– Entiende la necesidad de la normalizaciónpara el progreso humano.Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, interpreta gráficas


Tomar decisiones sobre el mundo físicoy sobre los cambios que la actividadhumana produce en el medioambientey la calidad de vida de las personas.

– Fomenta el reciclaje y el ahorro de laenergía. Valora los beneficios que aporta.

Actividades 6 y 7

Social y ciudadanaParticipación cívica,convivencia y resoluciónde conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades,responsabilidades y deberes cívicos;desarrollar actitudes de cooperación ydefender los derechos de los demás.

– Valora el papel de la ONU en las relacionesinternacionales y la resolución de conflictos.



competencia digital



– Busca en diferentes páginas de internetpara complementar la información.En la red

– Visita la página librosvivos.netActividades 4 y 22, organiza tus ideas,autoevaluación

Organiza y analiza la información,transformándola en esquemas de fácilcomprensión.

– Interpreta enunciados y los representa enforma gráfica.

Pon a prueba tus competencias: Calcula y resuelve


Planificación yrealización deproyectos.


– Resuelve problemas con respuesta múltiple.



6


• Educación para el medioambiente: actividad 6.


• Educación ciudadana: actividad 53.









SM


• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadística”.

– Unidad II: Gráficas.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– ¿Qué tiempo hace?

• Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.º de ESO.

– Unidades 6 y 7.

Otros • LACASTA, E., y PASCUAL, J. R.: Las funciones en los gráficos cartesianos. Madrid. Síntesis. 1998


www.librosvivos.net

Otros

Páginas de los libros interactivos del MEC sobre coordenadas cartesianas e interpreta-ción de gráficas:



• Utilización de la calculadora para el cálculo de valores de una función conocida su fórmula.

• Prensa, para la interpretación de gráficas que ya están construidas.


Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


La foto que ilustra la entrada permite comprobar cuál es laestructura de una ciudad y apreciar las ventajas que tiene,ya que la podemos interpretar como unos ejes coordena-dos donde la confluencia de dos calles puede considerar-se como un par ordenado de puntos.

2. Relaciones dadas por tablas

la interpretación del par ordenado, podemos indicarles queconsideren el par como unas coordenadas de desplaza-miento sobre un terreno:

– El punto de partida es el origen.

– La primera coordenada indica un desplazamientohorizontal, hacia la izquierda si es negativa, o haciala derecha si es positiva.

– La segunda coordenada indica un desplazamientovertical, hacia arriba si es positiva, o hacia abajo si esnegativa.

• Habrá que hacer hincapié en los puntos que tienen unade sus coordenadas nula, ya que los alumnos tienen difi-cultades a la hora de asimilar su situación en los ejes.Para ello usaremos el mismo símil que antes, indicandoque si, por ejemplo la primera coordenada es nula, norealizamos desplazamiento horizontal, y, por tanto, elpunto quedará situado sobre el eje Y. Por el contrario sila segunda coordenada es nula solo realizamos despla-zamiento horizontal, y, por tanto, el punto quedará situa-do sobre el eje X.

• Es muy útil dibujar en la pizarra unos ejes coordenadosy marcar en ellos diferentes puntos e ir preguntando atodos los alumnos, uno por uno, las coordenadas de unode los puntos.

• También podríamos darles las coordenadas de los pun-tos que forman una figura en el plano, para que los repre-senten, los unan e indiquen la figura que resulta.

• Podemos ir introduciendo la idea de función para com-pletarla en el epígrafe 5 de la unidad más formalmente.

• Es importante que vean desde un primer momento quepara que una relación sea una función, a cada valor de laprimera magnitud le debe corresponder un único valorde la segunda.

• Hacer hincapié en el concepto de dependencia e inde-pendencia a partir de ejemplos cotidianos, y que ellossean capaces de ver cuál es la variable dependiente ycuál la independiente.

1. Coordenadas en el plano• Debemos insistir en la colocación de los números nega-

tivos a la izquierda del eje horizontal, pero también sepueden representar en la parte inferior del vertical.

• Los alumnos suelen confundir los nombres de los ejes,por lo que recordaremos las veces que sea necesario queel eje de abscisas es el horizontal, y el de ordenadas, elvertical.

• Analizaremos detenidamente cómo varían los signos delas coordenadas del par dependiendo del cuadrante en quese encuentre el punto:

– Primer cuadrante: positivo – positivo.

– Segundo cuadrante: negativo – positivo.

– Tercer cuadrante: negativo – negativo.

– Cuarto cuadrante: positivo – negativo.

De este modo será más fácil que entiendan la importan-cia de no cambiar el orden de las coordenadas, puesobtendremos otro punto distinto, en muchas ocasionesperteneciente incluso a otro cuadrante, debido a la dife-rencia de los signos.

• Conviene destacar que al representar un punto, la pri-mera coordenada se hace en el eje de abscisas, y la segun-da, en el eje de ordenadas. Para que les resulte más fácil

1. Con esta actividad, los alumnos ya empiezan a familia-rizarse con los desplazamientos sobre una cuadrícula, yasí resultará más fácil introducir en el epígrafe 1 lascoordenadas cartesianas, tal y como indican las suge-rencias didácticas.

2. Esta actividad nos servirá para que los alumnos inter-preten las manzanas como las regiones que resultan dedividir los ejes en sus marcas de clase.

3. Podemos sugerir a los alumnos que busquen las vistasaéreas de estas ciudades desde Google Maps. Cuandolas localicen verán que lo que tienen en común las cua-tro ciudades es que son circulares.

Les podemos pedir que también busquen la vista aéreade su ciudad y que la comparen con las anteriores.

Entre las ventajas que encontrarán en el diseño circulardestacaremos que pueden ir del centro de la ciudad a laperiferia de una forma más clara y rápida.

4. Se podría enlazar esta actividad con la anterior y deba-tir en clase las ventajas e inconvenientes de cada uno delos tres tipos de ciudades.

La resolución de todas estas actividades permite que losalumnos entiendan la necesidad de normalización en elmundo que nos rodea.


Básico 2, 32 y 33

Medio 33 y 34

Alto 35


Básico 36

Medio 6, 7 y 37


6 y 7. Estos ejemplos de funciones nos servirán para demos-trar que muchos fenómenos del mundo que nos rodea sedescriben mediante las diferentes representaciones delas funciones.

6. Representación gráfica de unafunción

• Para representar gráficamente una función, debemosindicar a los alumnos que lo primero que deben hacer esla tabla de valores.

• Una vez hecha la tabla de valores, harán las divisionesde los ejes. Conviene advertirles que estas divisiones notienen por qué mantener la misma escala. De hecho, enel ejemplo de la teoría se aprecia perfectamente que nohay la misma escala.

• Por último, una vez representados los pares ordenadosde la tabla de valores, se unirán si dentro del contexto dela función tiene sentido o no.

• Es necesario indicar a los alumnos que, aunque cada unode ellos haga la tabla de valores con diferentes datos, elresultado de la gráfica siempre va a ser el mismo.

• Cuando tengan que representar gráficas de funcioneslineales, como la de la actividad 24, hay que advertirlesque tienen que trazar toda la recta, no solo el segmentoque une los pares obtenidos en la tabla de valores.

7. Representación gráfica de laproporcionalidad directa

• Hacer ver al alumno que estas funciones no deben sertratadas de una forma aislada. Son un caso particular delos que hemos visto.

• Sería conveniente volver sobre algunos de los ejerciciosde la unidad 6 para que vean con más claridad la relaciónexistente con la razón de proporcionalidad directa e indi-car que cuando se trata de funciones se denomina pen-diente.

• Mencionar que todas las funciones de proporcionalidaddirecta deben pasar por el origen de coordenadas. Paraello podríamos dibujar en unos mismos ejes un par derectas.

8


• Practicaremos con los alumnos sobre gráficas dibuja-das, para que sepan en cada momento si la pregunta queles hacen se debe responder fijándonos en el eje X o enel eje Y.

• Podemos ayudarnos de las gráficas encontradas en revis-tas o en la prensa diaria para realizar actividades en esteapartado.

• Conviene destacar que no todas las gráficas represen-tan una función. Para ello les pondremos una gráfica enla que un punto x tenga dos valores diferentes. De estemodo preparamos el terreno para el concepto de fun-ción, que se da en el epígrafe siguiente.

4. Relaciones dadas por fórmulas

• Trataremos de que los alumnos distingan situaciones quecorresponden a funciones de otras que no lo son.

• Insistir en que los tres apartados anteriores son tres for-mas distintas de representar lo que se formaliza en esteapartado. Podemos hacer ejercicios en los que el alum-no tenga que pasar de una forma de representación a otra.

• Este apartado completa los dos anteriores. Por tanto,sería bueno volver a tratar los conceptos básicos de lasfunciones, marcándolos sobre la fórmula: y = variabledependiente, x = variable independiente, obtención deun único valor de y con la fórmula…

• Incidir en la traducción al lenguaje algebraico de distin-tas relaciones. Los alumnos ya están familiarizados conél, puesto que se ha desarrollado extensamente en launidad 7.

• Debemos realizar muchos ejercicios de obtención de valo-res antes de hacer representaciones de funciones, insis-tiendo en que se acostumbren a desarrollar todas lasoperaciones, para no poner el resultado directamente.

5. Concepto de función

• Hacer ver al alumno que y = f(x), pudiendo ser utilizadode forma indistinta cualquiera de los dos.

• Realizaremos ejercicios en los que el alumno tenga quedistinguir entre variable dependiente y variable indepen-diente, para que queden claros los conceptos.


Básico 15 y 24

Medio 26, 43, 44 y 56

Alto 45, 46 y 61


Básico 18, 19, 41 y 42

Medio 20 y 21

Alto 58 y 59



Básico 9 y 54

Medio 10, 40, 55 y 57

Alto 60, 64 y 65

14 y 39. Con estas actividades trabajaremos la competen-cia lingüística, ya que los alumnos deberán esforzarse encomprender la descripción verbal que se hace de la fun-ción para luego transcribirla al lenguaje algebraico.


Básico 12 a 14, 38 y 39

Medio 15 y 16

Alto 62 y 63

3. Relaciones dadas por gráficas• Es bueno detenernos en este apartado, ya que a algunos

alumnos les suele costar bastante trabajo la interpreta-ción de las gráficas dibujadas para contestar a determi-nadas preguntas.

9


• Para que interpreten el papel que juega la pendiente enlas funciones de proporcionalidad directa, deberíamosdibujar en unos mismos ejes estas cuatro funciones:

Con estos ejemplos, los alumnos asociarán a cada tipo derecta si su pendiente es negativa, menor que 1…

y x= −12

y x= −2y x=12

y x= 2


APRENDE A PENSAR: MOVERSE EN CUADRÍCULA

Las actividades planteadas en este apartado son conti-nuación de las del texto de entrada. La ciudad de NuevaYork es un claro ejemplo de ciudad cuadriculada. Además,gracias a los nombres que tienen las diferentes calles, yque se aprecian en el plano, los alumnos entenderán mejorel significado de cuadrícula.

Como en el texto se habla sobre la ONU, podemos aprove-char esta información y ampliarla, para desarrollar en losalumnos la competencia social y ciudadana, haciéndoles verla importancia del papel que desempeña la ONU en la reso-lución de los conflictos internacionales y fomentando en ellosun espíritu cívico y de respeto a los ciudadanos del mundo.

INTERPRETA GRÁFICAS: LAS MARGARITAS

En esta actividad, los alumnos deben aplicar los contenidosaprendidos en la interpretación de gráficas y se vuelve aponer de manifiesto cómo las funciones nos sirven parainterpretar situaciones y describir fenómenos del mundoque nos rodea.

CALCULA Y RESUELVE: EL CINE

Esta actividad es muy útil para los alumnos, ya que les per-mite ver cómo las matemáticas pueden ser utilizadas en supropio beneficio para decidir cuál es la solución más ópti-ma ante un problema cotidiano.




Organiza tus ideas

En esta página nos encontramos un esquema de los con-ceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad.Esto nos da una idea general para poder desarrollar loscontenidos de cada uno de los epígrafes y alcanzar los obje-tivos que nos hemos propuesto.

Está dividida en tres núcleos principales:

– Coordenadas en el plano, representación.

– Función y relación de las distintas formas de expresaruna función: tablas, gráficas y fórmulas.

– Estudio de la función de proporcionalidad directa.

Para repasar con los alumnos todos los contenidos de la uni-dad, resulta muy interesante completar con ejemplos losapartados en donde no figuren. Les podemos decir quedibujen unos ejes coordenados y marquen en ellos los pun-tos A(3, 2), B(–2, 3), C(–3, –2), D(2, –3).

También puede ser interesante que con sus palabras inten-ten explicar cómo pasar de una forma de representación aotra, corrigiéndoles nosotros posteriormente.



Básico 28, 29, 47 a 49 y 53

Medio 30, 31 y 50

Alto 51 y 52

10


Unidad 8 Tablas y gráficasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Al finalizar la unidad, el alumno debe saber representar puntos sobre los ejes de coordenadas, obtener valores de lafórmula de una función y dibujar su gráfica. Se debe insistir también en la interpretación de funciones que ya están dibu-jadas.

• Manejar con soltura la representación de puntos en los ejes de coordenadas, para pasar después a las funciones.

• Trabajar el concepto de función: cuándo una gráfica corresponde a una función o no, variable dependiente e inde-pendiente.

• Interpretar gráficas.

• Hay que hacerles ver que este tema es muy importante para el desarrollo posterior de las matemáticas y que los con-ceptos de este tema están relacionados, por ejemplo, con las magnitudes directamente proporcionales.

• Insistir en que las funciones se encuentran en casi todos los ámbitos. Podemos utilizar periódicos, revistas, etc.,para buscar ejemplos reales que lleguen al alumno.

1. A: Marcos; B: Ángel; C: Cristina; D: Rosa; E: Casimiro; F: Marcial.

2. a) A (–4, 1) b) B (–3, –3)C (3, 0)

3. Primera tabla → y = 3x + 1 Segunda tabla → y = –2x + 1 Tercera tabla → y = 3x + 5

4. I c) II a) III b) IV d)

5. a) 210 km b) 800 m c) 125 km

1

1

O

Y

X

DE

G F

H


Hundir la flota

Cada alumno tiene que dibujar unos ejes de coordenadas como losde la figura y tres barquitos que tienen que cubrir una, dos y trescoordenadas en forma horizontal o vertical.

Los alumnos se colocan por parejas y se elige al azar quién empieza.

Por turnos, cada uno debe indicar un punto, el otro deberá decir“tocado” si en la coordenada hay un barco, pero quedan partes de estepor descubrir; “hundido” si se han descubierto todos los puntos deese barco, o “agua” si en ese punto no hay barco.

Gana el jugador que “hunde” todos los barcos del adversario.

ACTIVIDAD DE GRUPO




O 1

1

X

Y

11

1. Te presentamos a la familia Moraga. De izquierda a derecha: el abuelo Marcial, de 65 años y jubilado; elpequeño Marcos, de 2 años y todavía en la guardería; Ángel, de 12 años, estudiante de 1.º de ESO; Rosa,la madre, de 43 años; Casimiro, de 46 años, agente de seguros, y por último, Cristina, la hija mayor,estudiante de universidad, de 19 años. ¿Sabrías asociar cada uno de nuestros personajes con uno de lospuntos de la gráfica?

2. a) Escribe las coordenadas de los vértices del triángulo.

b) Representa en el plano los siguientes puntos.

D(2, 5) E(–1, 4) F(2, –3) G(–2, –3) H(4, 0)

3. Une cada fórmula con su tabla de valores.

y = 3x + 5 y = 3x + 1 y = –2x + 1

4. Encaja las piezas del puzle de forma que coincida la fórmula de la función con su representación gráfica.

I a) III c)

II b) IV d)

5. En la siguiente gráfica se representa el recorrido de una etapa ciclista. Fíjate bien en el dibujo y respondea las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la longitud de la etapa?

b) ¿A cuántos metros de altura está el alto del chiquero?

c) ¿Cuántos kilómetros de bajada tiene la etapa?

C

40 75 120 160 210Distancia (km)

0

Alto

(m

)

400

600

800

537

AB

D

Alto del Chiquero

y = x

y = 2x

y = –3x

y = –x

x 0 1 2

Y 5 8 11

x 0 –1 1

Y 1 3 –1

x –1 0 2

Y –2 1 7

FD

E

B C

A1,00

1,40

1,80

Altu

ra (

m)

0,60

0,20

1,20

1,60

10 20 30 40 50 60 70Edad (años)

00,00

1,001,201,401,601,802,00

0,50

Altu

ra (

m)

O

Y

X

A

B

C1

1


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 8 Tablas y gráficasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que han alcanzado los objetivos propuestos en la uni-dad y que tienen la posibilidad de avanzar un poco más.

Podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, y también otros donde aparezcan varias fun-ciones representadas sobre los mismos ejes.

Nos centraremos en la interpretación gráfica, por ser esta una de las aplicaciones más directas de las funciones.

También les propondremos que representen funciones en las que algunos de sus términos estén compuestos por frac-ciones. Sería interesante que les enseñásemos a probar algunos valores antes de representar, para conseguir que losresultados obtenidos estén formados por números enteros.

1. a) Sí. b) No.

2. a)

b)

3. a)

b) La población que ha tenido un mayor porcentaje decrecimiento es la de los hombres. Dicho porcentajees 4,6.

4. a) Dedicaban menos dinero al ahorro en el tercer tri-mestre de 2007.

Dedicaban más en el tercer trimestre de 2005 y enel cuarto trimestre de 2008.

b) 2%

5. a) Apartamentos: mayo de 2010.

Alojamientos de turismo rural: enero de 2010.

Campamentos: mayo de 2009 y abril de 2010.

b) Agosto de 2009.

6. La función es: y = 1,95 + 0,92x.

A 20 km del aeropuerto: 20,35 €

Pagando 29,55 € habríamos tomado el taxi a 30 km delaeropuerto.

7. La función que nos permite cambiar el dinero es:

y = 1,45x

Por 15 euros nos darían 21,75 dólares.

Es una función lineal, la variable independiente son loseuros, y la dependiente, los dólares.

220

235

250

265

N.º

de

mile

s de

per

sona

s

2006 2007 2008 2009

MujeresHombres

1

1O X

Y

1

1O X

Y


Funciones humanas

Retira los pupitres de la parte central de la clase y, sobre la cuadrícula que forman los azulejos, dibuja unos ejes coor-denados.

Pide a cada alumno que escriba una función y haz una lista con todas. Luego, divide la clase en grupos de tres. Cada gru-po deberá elegir al azar una de las funciones y, cogiéndose de las manos, tendrán que representarla sobre la cuadrícu-la del suelo, de forma que estén encima de uno de los puntos de la función y los brazos imiten una recta.

El grupo que represente mal la recta quedará eliminado.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Di si los siguientes conjuntos de puntos están alineados.

a) A(0, –1), B(1, 2) y C(2, 5). b) D(0, –5), E(1, –3) y F(3, 2).

2. Representa las siguientes funciones.

a) b)

3. La tabla adjunta nos muestra la evolución de la población masculina y femenina de la provincia de Ciu-dad Real.

Se pide:

a) Dibujar en los mismos ejes de coordenadas una gráficaaproximada para el crecimiento de hombres y otra para elcrecimiento de mujeres.

b) ¿Cuál de las dos poblaciones ha experimentado un mayorporcentaje de crecimiento? ¿Cuál es ese porcentaje?

4. La siguiente gráfica muestra el porcentaje destinado al ahorro de una familia.

a) ¿En qué época podían dedicar menos dine-ro al ahorro? ¿Y más?

b) ¿Qué diferencia de porcentaje hay entre eltercer trimestre de 2008 y el primer tri-mestre de 2007?

5. La siguiente gráfica nos muestra la evolución del grado de ocupación por tipo de alojamiento de vaca-ciones.

a) ¿Cuándo se produce la menor ocupación de apartamentos?¿Y de alojamientos de turismo rural? ¿Y de campamentos?

b) ¿En qué fecha habríamos tenido más dificultad para encontraralojamiento?

6. Para ir al aeropuerto de Barajas tomamos un taxi. Nos cobran 1,95 euros por la bajada de bandera y0,92 euros por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál es la función que relaciona el precio del trayecto con loskilómetros recorridos?

a) Si hemos tomado el taxi a 20 kilómetros del aeropuerto, ¿cuánto debemos pagar?

b) Y si hubiéramos pagado 29,55 euros, ¿a cuántos kilómetros del aeropuerto habríamos tomado el taxi?

7. Sabiendo que 1 euro equivale a 1,45 dólares, escribe una función que nos permita cambiar dinero eneuros por dinero en dólares. ¿Cuántos dólares nos darían por 15 euros?

La función que has obtenido, ¿es lineal? ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente?

20092005 2006 2007 2008

34

35

36

37

38

39

40Pueden dedicar dinero al ahorro

Cada división verticalrepresenta un trimestre

May

-09

Jun-

09

Jul-0

9

Ago-

09

Sep

-09

Oct

-09

Nov

-09

Dic

-09

Ene-

10

Feb-

10

Mar

-10

Abr-1

0

May

-10

Alojamientos de turismo ruralApartamentos Acampadas

Evolución del grado de ocupaciónpor tipo de alojamiento

020

40

60

80

Año Mujeres Hombres

2009 264 235 263 038

2008 261 694 260 649

2007 256 649 253 473

2006 255 299 251 565

f x x xx x( ) = −

si es mayor quesi es menor o igual que

00

⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

f xx x( ) = si es mayor o igual quex xsi es menor que4 0

2 00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Escribe las coordenadas de los puntos que aparecen representados en los ejes decoordenadas.

2. Representa en los ejes de coordenadas los siguientes puntos.

A(2, 3) B(3, –1) C(–2, 4) D(2, –3) E(0, –2) F(–3, 0)

3. Indica cuáles de los siguientes enunciados corresponden a una función.

a) El número de personas que trabajan en la pesca y la cantidad de pescado recogida.

b) La cantidad de dinero que obtenemos al vender manzanas a 1,20 €/kg.

c) Hacemos corresponder a cada persona los días de vacaciones que tuvo en navidades y en verano.

4. De los enunciados que corresponden a funciones en el ejercicio 3, indica cuáles son las variables depen-diente e independiente.

5. En la siguiente tabla se muestra la evolución del número de habitantes de Luciana (Ciudad Real) en elsiglo XX.

a) Dibuja la gráfica correspondiente a la tabla.

b) Fijándote en la gráfica, ¿qué población había en 1930 aproximadamente?

6. Dada la fórmula y � 2x � 3, calcula el valor de y para los siguientes valores de x.

a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) –1 f) –3

7. Determina la fórmula que relaciona los valores de la tabla.

8. Copia y completa la tabla de magnitudes directamente proporcionales y escribe la fórmula de la funciónque las relaciona. A continuación represéntala.

9. En una tienda de fotografía digital cobran 20 céntimos por cada fotografía impresa.

a) Escribe la fórmula de la función que se deduce del enunciado anterior.

b) Representa gráficamente la función.

x 2 1 0 –1 –2

y –3 6

x –1 0 1 2

y 1 3 5 7

Año 1900 1920 1950 1960 1980

Habitantes 800 740 650 620 560

Pági

na

foto

cop

iab

le




B

E

1

O 1

A

C

D

F

15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. A(–2, 2), B(2, 5), C(0, 4), D(–1, –2), E(1, –4), F(3, 0)

2.

3. a) Corresponde a una función.

b) Corresponde a una función.

c) No corresponde a una función.

4. a) La variable independiente son los pescadores, y la dependiente, el pescado.

b) La variable independiente son las manzanas, y la dependiente, la cantidad de dinero.

c) No es función.

5. a) b) 700 habitantes aproximadamente.

6. a) y = 3 c) y = –1 e) y = –5

b) y = 1 d) y = –3 f) y = –9

7. y = 2x + 3

8. y = –3x

9. a) y = 0,20 · x b)

0,200,400,600,801,001,20

Prec

io (

€)

0 1 2 3 4 5 6Nº. de fotos

X

Y

1

1

y = _3x

O

x y

2 –6

1 –3

0 0

–1 3

–2 6

200

400

600

800

N.º

de

habi

tant

es

1900 1920 19601950 1980

X

Y

O

A

B

C

DE

F

1

1





Estadística y probabilidad Unidad 9

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


CO N T E N I D O

Estadística y probabilidad

2

Probablemente, la estadística y la probabilidad son las partes de las Matemáticas que menos conocimientos previos nece-sitan para su aprendizaje. Además tienen una fuerte conexión con el mundo real y son menos abstractas que otras partes.

Nuestros alumnos siempre preguntan para qué vale esto. Pues bien, en el presente caso podemos decir que se usapara el cálculo de las primas de los seguros, los riesgos nucleares, los pronósticos económicos, políticos, del tiempo…

En primer lugar, intentaremos crear un ambiente de interés por la estadística y la probabilidad. Por ejemplo, hacien-do encuestas sobre el lugar adonde quieren ir de excursión, el número de hermanos de cada uno, lanzando dados variasveces e intentando calcular la probabilidad de un resultado, etc.

En la parte de estadística, trataremos de agrupar los resultados obtenidos en una tabla, calculando las frecuencias, yharemos ver la importancia de la simplificación de estos datos mediante el cálculo de la media y la moda. Conviene quese familiaricen con la interpretación y la elaboración de gráficos estadísticos más usuales: los diagramas de barras conel polígono de frecuencias asociado y los diagramas de sectores.

En la parte de probabilidad, intentaremos que dominen los conceptos básicos del cálculo de probabilidades: experimentoaleatorio, espacio muestral y suceso.

Debemos conseguir que comprendan la regla de Laplace para el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso.

• Frecuencia absoluta• Frecuencia relativa• Tabla estadística• Diagrama de barras• Polígono de frecuencias• Diagrama de sectores• Media aritmética y ponderada• Moda

• Experimento aleatorio• Experimento determinista• Espacio muestral• Suceso• Suceso seguro. Suceso imposible• Probabilidad de un suceso• Regla de Laplace

Unidad 9 Estadística y probabilidad

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Dado un grupo de datos, saberhacer un recuento, construccióne interpretación de tablas de fre-cuencias, diagramas de barras ysectores. Asimismo deben sabercalcular e interpretar la mediaaritmética, ponderada y moda, yresolver problemas de estadísti-ca relacionados con la vida coti-diana.

1.1 Construir tablas de datos, utili-zando el recuento y el cálculo delas frecuencias absoluta y rela-tiva.

1.2 Dibujar e interpretar diagramasde sectores y de barras, con sucorrespondiente polígono defrecuencias.

1.3 Calcular la media aritmética(simple y ponderada) y la modade un conjunto sencillo de datos.

1.4 Resolver problemas de la vidacotidiana utilizando la estadísti-ca.

• Lingüística

• Matemática



• Aprender a aprender2. Distinguir si los experimentos son

o no aleatorios. Dentro de un ex -perimento aleatorio, definir espa-cio muestral, sucesos, y calcularla probabilidad de un suceso.Resolver problemas de probabili-dad relacionados con nuestro en -torno.

2.1 Escribir el espacio muestral ysucesos de un experimento ale-atorio.

2.2 Hallar la probabilidad de un suce-so utilizando la regla de Laplace.

2.3 Resolver problemas de probabili-dad relacionados con el entorno.


3



1. Conocimientos previosPara que los alumnos asimilen los contenidos de estadística de esta unidad es preciso que dominen el concepto de pro-porcionalidad y que se manejen con soltura en el cálculo con fracciones y porcentajes.

2. Previsión de dificultadesLos alumnos que no hayan adquirido destreza en el cálculo de fracciones y porcentajes presentarán dificultades en laelaboración e interpretación de gráficos.

3. Vinculación con otras áreasComo la estadística es una rama de la matemática que permite extraer conclusiones a partir de una recogida e inter-pretación de datos, para poder tomar decisiones, está presente en todos los campos de la ciencia, la técnica y la socie-dad en general.

4. Esquema general de la unidadEl cálculo de porcentajes, las fracciones, los números decimales y las representaciones gráficas vuelven a aparecer eneste tema. Ahora, aplicados al cálculo de probabilidades y a la estadística.

La unidad comienza con el agrupamiento de los datos en tablas estadísticas, para ordenarlos y resumirlos.

Después se pasa a la representación gráfica de los mismos, utilizando el diagrama de barras, con su correspondientepolígono de frecuencias y el diagrama de sectores, donde volverán a aparecer las magnitudes directamente proporcio-nales, para asignar un cierto número de grados a cada uno de los trozos que componen este diagrama.

Seguidamente se introducen las dos medidas más básicas y sencillas: media aritmética (simple y ponderada) y moda.

Estas dos medidas nos pueden resumir todo el con-junto de datos en uno solo, y bien interpretadas, nosdarán una buena información del estudio que estemosrealizando.

Veremos que los datos ordenados en tablas pueden sermuy útiles para los cálculos anteriores.

Por último, nos introducimos en probabilidad, donde seven cuatro conceptos fundamentales: experimento ale-atorio (no podemos predecir su resultado), espaciomuestral (conjunto formado por los resultados de unexperimento aleatorio), suceso (cualquier parte delespacio muestral) y, por fin, la regla de Laplace (casosfavorables entre casos posibles), para calcular la pro-babilidad de cualquier suceso aleatorio.


1.ª Introducción. Frecuencias. Tabla de frecuencias.

2.ª Diagrama de barras. Polígono de frecuencias.

3.ª Diagrama de sectores.

4.ª Media y moda.

5.ª Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos.

6.ª Probabilidad de un suceso. Ley de Laplace.




Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesariaspara desarrollar la unidad.


ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Estadística

Tablas defrecuencias

Probabilidad

Experimento aleatorio

Espacio muestralSucesos

Regla de Laplace

MediaModa

Gráficos

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores reco-gidos en las subcompetencias comunicación oral y comunicación escrita.


Al estar dedicada esta unidad a la elaboración de tablas estadísticas y a la probabilidad, se trabajan descriptores de lastres subcompetencias: razonamiento y argumentación, resolución de problemas, relacionar y aplicar el conocimien-to matemático a la realidad y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcom-petencias conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y aplicación del método científico en diferentescontextos.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y laresolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las sec-ciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especial-mente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construccióndel conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” la subcompetencia planificación y desarrollode proyectos, en particular el indicador afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborarlos planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.


Aprender a pensarEn el proyecto educativo de SM se incluye una competencia adicional que desarrolla las capacidades filosóficas e inte-lectuales del alumnado. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno unejercicio reflexivo y crítico.




5








Lingüística

Comunicación oral.

Valorar el diálogo como medio para resolverconflictos, interactuar y mediar de formaadecuada sabiendo escuchar y mostrándosedisponible al intercambio de ideas.

– Realiza exposiciones orales en clasedelante de los compañeros.

Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias: I

Comunicación escrita.Conocer y comprender diferentes tipos detextos con distintas intencionescomunicativas.

– Interpreta textos y enunciados paraanalizarlos matemáticamente.

Desarrolla tus competenciasProblemas

Matemática


Interpretar y expresar con claridad y precisióndistintos tipos de información, datos yargumentaciones, utilizando vocabulariomatemático.

– Interpreta gráficos estadísticos.En toda la unidad

Resolución de problemas.Utilizar las matemáticas para el estudio ycomprensión de situaciones cotidianas.

– Plantea y resuelve problemasestadísticos y de cálculo deprobabilidades.

En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementos matemáticosbásicos (distintos tipos de números, medidas,símbolos, elementos geométricos, etc.) ensituaciones reales o simuladas de la vidacotidiana.

– Representa variables estadísticas.– Cálculo de la media y la moda.En toda la unidad



Formular hipótesis y prevenir consecuenciassobre los problemas relevantes en situacionesreales o simuladas.

– Aplica el cálculo de probabilidades a latoma de decisiones.

Pon a prueba tus competencias: III

Conocimiento y valoracióndel desarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollode la ciencia y la tecnología a la sociedad.

– Conoce los diversos instrumentos demedición meteorológica.

Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias: I

Medio natural y desarrollosostenible.

Tener hábitos de consumo responsable en lavida cotidiana.

– Adquiere conciencia de la importanciadel agua para el desarrollo humano

Actividad 53


competencia digital


Buscar y seleccionar información con distintastécnicas según la fuente o el soporte,valorando su fiabilidad.


En la redDesarrolla tus competencias– Visita la página librosvivos.net para

realizar distintas actividades.Actividades 8, 23 y 29


Planificación y realizaciónde proyectos.

Afrontar los problemas de forma creativa,aprender de los errores, reelaborar losplanteamientos previos, elaborar nuevasideas, buscar soluciones y llevarlas a lapráctica.

– Resuelve problemas de forma creativa.Actividades de ampliaciónPon a prueba tus competencias: II y III

6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nospermiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para el desarrollo: actividad 53.



ATENCIÓN A LA DIVERSIDADEn este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y per-miten trabajar la diversidad del alumnado.



• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado deasimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados asituaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.




SM



– Unidad 9. Estadística y probabilidad.

• Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: “Proporcionalidad, gráficas y estadística”.

– Unidad III: Estadística.

• Cuaderno Matemáticas para la vida. 1.º de ESO.

– ¿Lo echamos a suertes?

• Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.º de ESO.

– Unidad 8: Funciones y gráficas.

– Unidad 9: Un estudio local.

• Cuaderno de Resolución de problemas I.


www.librosvivos.net

Otros

Unidad didáctica de estadística y probabilidad de la página de educación digital a distan-cia del proyecto Descartes:


Página de azar y probabilidad de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales:


• Es importante que los alumnos aprendan los contenidos de una forma experimental; para ello se pue-de trabajar con monedas, ruletas, barajas de cartas, dados, bolas de colores y cualquier otro materialque nos sirva par simular un experimento aleatorio.

• Calculadora científica.

• Prensa diaria y revistas.

Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


En la fotografía de la entrada podemos apreciar una tor-menta con fuerte contenido eléctrico.

Con ella conseguiremos captar la atención de los alumnosy hablarles de la importancia que tienen las prediccionesmeteorológicas en la sociedad que nos rodea. Podemospedirles que busquen en la red las predicciones meteoro-lógicas que había para las zonas costeras de España antesde un puente, que lo comparen con el clima que hizo real-mente y con la ocupación hotelera de la zona. Así veráncómo puede influir la información meteorológica en fechasseñaladas y la cautela que tienen los hombres del tiempo.

Para ilustrar que la climatología no es predecible y que losmeteorólogos solo hablan de probabilidades, podemosponer ejemplos reales en los que no se haya producido elfenómeno que con alta probabilidad anunciaban los meteo -rólogos.

2. Diagrama de barras

• Del mismo modo, es necesario que exijamos a los alum-nos que comprueben que la suma de las frecuenciasrelativas es uno. En ocasiones, esta suma no les daráexactamente 1, debido al redondeo, por lo que debemosindicarles que es necesario que ajusten las frecuenciaspara que su suma sea 1.

• Si completan la tabla de frecuencias con los porcenta-jes, conviene recordarles que la suma es 100.

53. Podemos aprovechar esta actividad para que los alum-nos elaboren una tabla en la que figuren 10 actos quesupongan un ahorro de agua, tales como cerrar el gri-fo mientras nos cepillamos los dientes, poner la lava-dora cuando el tambor esté lleno… indicando la cantidadde agua que se ahorra con cada uno de ellos.

Una vez elaborada la tabla, les pediremos que calcu-len cuántos litros diarios ahorra cada uno de ellos paradespués calcular la media de la clase.

• La mayoría de las veces, la información estadística apa-rece en forma de gráficos. Es importante que el alumnoconozca los distintos tipos de gráficas que hay, su cons-trucción e interpretación.

• Aunque el diagrama de barras ya les resulta conocido,conviene insistir en que, antes de comenzar la represen-tación, analicen los valores de las frecuencias para utili-zar la escala adecuada. Es importante que los alumnostengan claro que para la construcción de un diagrama debarras, sobre el eje horizontal se pondrán los datos, y enel eje vertical, la frecuencia absoluta de cada uno de ellos.

• Debemos resaltar que para hallar el diagrama de líneaso polígono de frecuencias, primero debemos obtener elpunto medio de los extremos superiores de cada una delas barras y, posteriormente, unirlos.

• En ocasiones tendrán que elaborar la tabla de frecuen-cias a partir del diagrama de barras. Cuando se trate dedatos con frecuencias pequeñas no tendrán problemas;sin embargo, si la población sobre la que se realiza elestudio es grande y las frecuencias no son números“redondos”, conviene situar la frecuencia en el extremosuperior de cada una de las barras.

• Podemos pedir a los alumnos que lleven al aula diagra-mas de barras que encuentren en los medios de comu-nicación y extraer de ellos la tabla de frecuencias. Conello podrán darse cuenta de que las matemáticas no sonuna ciencia aislada, sino que aparecen a menudo en dife-rentes ámbitos de nuestra vida.

1. Frecuencias• Para un adecuado aprendizaje de los contenidos es pre-

ciso que los alumnos dominen mínimamente la propor-cionalidad, las fracciones y los porcentajes.

• En este primer apartado procuraremos que todos losalumnos sean capaces de organizar y ordenar los datos,recogidos de cualquier estudio, en una tabla estadística.Para ello podemos ayudarnos de tablas aparecidas en laprensa, y así los alumnos verán la importancia de lastablas estadísticas, debido a su aparición continua.

• Es importante que, antes de confeccionar la tabla de fre-cuencias absolutas, los alumnos se acostumbren a ano-tar el recuento de datos, es decir, las veces que cada datoaparece en el conjunto.

• Recordar la relación existente entre las frecuencias rela-tivas y los porcentajes.

• Es interesante que asimilen que una buena forma deasegurarse de que no se han dejado ningún dato por con-tabilizar es comprobar que la suma de las frecuenciasabsolutas coincide con el número total de datos.

I. Con la actividad I, los alumnos mejorarán su compren-sión y comunicación oral, ya que deberán explicar a suscompañeros con un lenguaje coloquial, para que todoslo entiendan, las diferencias entre meteorología y cli-matología. Debemos hacer hincapié en que no quere-mos que definan los dos conceptos sin más, sino queanalicen sus diferencias y las describan. Además, paraque vean clara la diferencia, podemos pedir a dos cha-vales que se inventen una situación cotidiana en la quese emplee cada uno de los dos conceptos.

II. Indicaremos a los alumnos que hagan dos tablas diferen-tes, una para la temperatura y otra con la velocidad delviento. En la primera columna pondrán el día; en la segun-da, el valor mínimo, y en la tercera, el valor máximo.

III. Para esta actividad podemos pedir a los profesores deciencias y de física y química que nos presten los ins-trumentos de medida meteorológicos que tengan ensus respectivos laboratorios.


Básico 2, 3 y 30 a 32

Medio 33 y 34



Básico 5, 6 y 37

Medio 7

Alto 53

8


4. Media aritmética simple y ponderada. Moda

Con esta tabla les haremos conscientes de la necesi-dad de ahorrar agua, y les haremos ver que aunquehaya inviernos y primaveras lluviosos que mantienenalto el nivel de los pantanos, siempre hay que ser pre-visores.

5. Experimentos aleatorios. Sucesos• Una vez introducida la diferencia entre experimento ale-

atorio y determinista, podríamos explicar a los alumnosla etimología de la palabra aleatorio, indicando que aleasignifica “suerte” en latín.

• Para que los alumnos puedan describir con facilidad losespacios muestrales de los experimentos compuestosque vienen en la unidad, les enseñaremos a utilizar eldiagrama de árbol. Para ello elaboraremos en clase eldiagrama de árbol que describe el experimento consis-tente en lanzar 3 veces una moneda.

• Les resultará muy difícil comprender los conceptos desuceso seguro y suceso imposible, por ello deberemosponer numerosos ejemplos, siempre referidos a experi-mentos que puedan realizar los alumnos, como el lan-zamiento de un dado.

• Es preciso que el alumno tenga clara la idea de que elazar es imprevisible.

6. Probabilidad• Es importante relacionar la probabilidad con cuantificar

la “posibilidad de que ocurra algo”. Para ello, debemoscomenzar con problemas sencillos en los que se calcu-le la probabilidad de extraer una carta, una bola, etc.

• Es aconsejable, antes de asignar probabilidades a suce-sos, aplicar la idea que ya tienen los alumnos de impo-sible, improbable, probable y seguro a sucesos quepropongan ellos mismos.

• La regla de Laplace se tratará como una fracción dondeel denominador indica las posibilidades totales, y el nume-rador, las favorables a nuestro suceso. Podríamos rela-cionarla con la frecuencia relativa de un dato. Para ellopodemos dividir la clase en 6 grupos y repartir a cada gru-po un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Lespediremos que lo tiren 6 veces y anoten la frecuenciaabsoluta de cada valor. Posteriormente calcularán la fre-cuencia relativa y verán que se aproxima bastante a la pro-babilidad.

3. Diagrama de sectores

• Para construir los diagramas de sectores convienerecordar la proporcionalidad para calcular el número degrados de cada sector. Con ello se empezará a ver laimportancia de la misma.

• También es interesante practicar la medida de ánguloscon el transportador para poder dividir el círculo en lossectores correspondientes a cada una de las frecuenciasabsolutas de los datos.

• Como se decía en la página anterior, sería interesanteque los alumnos observaran la aparición constante enlos medios de comunicación de estos gráficos y practi-car la construcción de tablas de frecuencias a partir deellos.

• Además de insistir en la utilidad de colocar los datos enuna tabla para calcular la media, hay que recordarlesque deben respetar la jerarquía de las operaciones a lahora de calcular las medias para evitar errores, es decir,deben realizar primero las multiplicaciones y despuéslas sumas.

• Conviene hacerles ver que al igual que los gráficos nospermiten sacar conclusiones rápidas e importantes deun grupo de datos, también hay unos valores numéricos,en este caso la media aritmética simple y ponderada, quenos aportan mucha información sobre los datos.

• Asimismo es interesante mostrarles la influencia dedatos extremos o anómalos en el cálculo de la media ysu posterior interpretación.

• Seguir insistiendo en la importancia de los gráficos y larepresentación de los datos en un único valor numérico.En este caso, el propio significado de la palabra modaayudará y dejará claro a los alumnos qué es lo que nosindica este valor y su interpretación.

• Sería conveniente poner un ejemplo donde hubiese másde una moda. Podríamos introducir en estos casos laspalabras bimodal (conjunto de datos con dos modas), tri-modal (conjunto de datos con tres modas), etc., para quelos alumnos se vayan familiarizando con el vocabularioestadístico.

• Resaltar que si en un conjunto de datos todos los ele-mentos tienen la misma moda, entonces decimos queesta no existe.


Básico 10, 11, 35 y 36

Medio 38 y 39



Medio 20 y 21



Básico 13, 40, 41 y 48

Medio 14, 42 y 51

Alto 52 y 54 a 56


Básico 26 a 28, 46, 47 y 49

Medio 44, 45 y 50

Alto 57 y 58

9


Organiza tus ideas

Debemos tener en cuenta que en este tema se pretendehacer una simple introducción a los conceptos más bási-cos del cálculo de probabilidades y de la estadística.

En esta página nos encontramos un esquema de los con-ceptos que se han desarrollado a lo largo de toda la unidad.

Está dividida en dos núcleos principales:

• Estadística y formas de representación de un conjunto dedatos estadísticos.

• Probabilidad de un suceso.

Intentaremos que los alumnos sean capaces de tratar deun modo mecánico un conjunto de datos y de represen-tarlos mediante una tabla estadística, un diagrama debarras o un diagrama de sectores. Para ello se les puedepedir que traigan a clase los resultados de los partidos defútbol de la última jornada y, siguiendo el orden del esque-ma, hagan un estudio completo del número de goles mar-cados por partido, y así comprobar si el esquema escompleto o le falta algo.

Trataremos de que los alumnos aprendan los elementosbásicos de la probabilidad a partir de sencillos experi-mentos.

Es un tema bastante apropiado para que trabajen en gru-po, utilizando juegos para reproducir experimentos alea-torios que les sirvan para asimilar de una forma más fácillos conceptos de la unidad.


EL PARTE METEOROLÓGICOLas actividades que aquí aparecen son interdisciplinares,ya que están claramente relacionadas con la materia deciencias sociales.

Además, también fomentamos la interpretación de gráfi-cos, ya que lo necesitan para contestar a las cuatro pri-meras preguntas.

Podemos pedir a los alumnos que busquen en otras pági-nas de internet, diferente a la de la AEMET (Agencia Espa-ñola de Meteorología), la previsión del tiempo para sulocalidad para los 10 días siguientes. Dividiremos la claseen cuatro o cinco grupos, y cada uno traerá la informaciónde una página diferente. Elaborarán con ella un pequeñoinforme y un miembro lo narrará al resto de la clase. Unavez explicadas las cuatro o cinco predicciones, los alum-nos verán que no son iguales, que incluso son totalmente

opuestas algunas de ellas. De este modo comprenderánque la meteorología no es algo determinista, sino total-mente aleatorio.

Para la realización de la actividad 7 podemos pedir ayudaal profesor de sociales, para que dé a los alumnos unasnociones breves sobre los distintos tipos de clima que hay:continental, tropical, desértico… y que averigüen en cuálde ellos hay cuatro estaciones.

EL TELEFÉRICOLos alumnos deberán leer detenidamente la tabla parapoder deducir cuál es la capacidad máxima del teleférico.Además deberán relacionar la variación de la ocupacióncon el transcurso de la semana y deducir que es mayor ensábado y domingo. Podríamos indicarles que observen elfenómeno que ocurre la primera semana, en la que sealcanza la ocupación máxima el viernes, el sábado y eldomingo, y que traten de deducir las causas.

Lo primero que pensarán los alumnos para realizar la acti-vidad 3 será sumar los 28 datos que vienen en las prime-ras 4 filas y luego dividir entre 28. Muy pocos de ellos sedarán cuenta que si suman los datos de la quinta fila y lue-go dividen entre 7, obtendrán también un valor aproxima-do de la media. Habrá que indicar que la pequeña diferenciaque se obtiene al calcular la media por el segundo méto-do es porque los datos que utilizamos para ello son apro-ximados, ya que para dar la ocupación media de la fila 5hemos redondeado, y ello implica error.

El diagrama de barras de la actividad 4 podemos hacerloconjunto. En el eje horizontal colocaremos los días de lasemana, y a la hora de dibujar las barras para indicar laocupación de cada día, elegiremos un color para cada unade las semanas y las colocaremos juntas.

EL JUEGO DE LAS TAREASEsta actividad supone una aplicación creativa de la proba-bilidad.

Verán que pueden aplicarla a otras facetas de su vida.

Lo más práctico para resolver estas actividades es que losalumnos describan ordenadamente, en forma de tabla, elespacio muestral del experimento que consiste en tirar dosdados. De esta manera solo tendrán que contar los casosposibles de cada uno de los sucesos que se plantean.

Para la actividad 4, teniendo la tabla del espacio muestral,les bastará con dividirla en tres partes de manera que encada una de ellas haya 12 elementos del espacio muestral.Una vez dividida en partes, deberán describir los sucesosasociados a cada una de ellas.


10


Unidad 9 Estadística y probabilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Pretendemos que los alumnos dominen los siguientes conceptos básicos: frecuencia absoluta y relativa, media, moda,diagramas de barras y sectores, y cálculo de la probabilidad de un suceso mediante la regla de Laplace.

• Frecuencia absoluta y relativa: sería interesante que realizasen una encuesta sobre algunos aspectos entre los miem-bros de sus familias, amigos, etc., para después plasmar el resultado en una tabla de datos. Esto les resultará muysugestivo y motivador.

• La media: es un parámetro de centralización que solo se da en conjuntos numéricos. No todos los conjuntos de datostienen media.

• La moda: existe en todos los conjuntos de datos, ya que es el valor que más se repite. Incluso puede haber variasmodas, si varios datos se repiten el mismo número de veces.

• Los gráficos de sectores y barras: sería interesante acabar todas las encuestas y muestreos que hayan realizadoconstruyendo un gráfico de sectores de cada uno de ellos.

• Regla de Laplace: es importante que sepan contar los casos favorables a un suceso y los casos posibles de un expe-rimento aleatorio.

1. N.º de veces que se repite un dato: frecuencia absoluta.Cociente entre la frecuencia absoluta y el n.º total dedatos: frecuencia relativa.Uno: suma de las frecuencias relativas.Media aritmética: valor que representa un conjunto dedatos.N.º total de datos: suma de las frecuencias absolutas.

2. a) b) c) Disminuye.

3. 1.er vagón: 72°2.º vagón: 144°3.º vagón: 108°4.º vagón: 36°

112

18


Vamos a las carreras

Para esta actividad se necesita un tablero como el de la figura, dos dados cúbicos de distinto color y fichas de colores.

Se agrupa a los alumnos en grupos. El número mínimo de alumnos en el grupo debería de ser 5, y el máximo, 10, paracubrir las distintas probabilidades que se pueden asignar a los distintos números.

El juego consiste en que cada miembro del grupo elija una casilla, lanzar sucesivamente los dos dados y avanzar unaposición su ficha el jugador cuyo número que haya elegido la casilla coincida con el resultado de la tirada.

Es aconsejable repetir varias veces el juego para que los alumnos vean que la probabilidad de cada casilla es distinta.También convendría repetir el juego con un tablero con 6 números y utilizar un solo dado, comprobando que en estecaso la probabilidad de cada casilla es la misma.

2

M

E

T

A

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

ACTIVIDAD DE GRUPO




11

1. Relaciona las dos columnas.

2. Cuando resolvemos problemas en los que aparecen dados, suponemos que estos tienen forma cúbicay que sus caras están numeradas del 1 al 6. Si son normales, es decir, si no están trucados, la proba-bilidad de que salga una cara es igual a uno dividido entre el número de caras del dado.

Si embargo, existen muchos tipos de dados: dados con forma de tetraedro, dados de quinielas…

Aquí tienes algunos.

a) Calcula la probabilidad de obtener 8 en el dado con forma de octaedro.

b) Calcula la probabilidad de obtener 8 en el dado con forma de dodecaedro.

c) Observa los dos resultados anteriores. ¿Qué pasa con la probabilidad cuando aumenta el número decaras?

3. Señala cuál de los dos diagramas de sectores representa el modo en que los viajeros se han repartidoentre los cuatro vagones del tren.

Relaciona cada vagón con el sector del gráfico que le corresponde.

1 2 5 6

3 4 7 8

1 2

3 4

127 8

4

5

1

2

3

4 5

67

8

9

11

12

10

112

X

1

1 1 X X

2

1

80 pasajeros40 pasajeros 20 pasajeros60 pasajeros

36 °

144 °108 °

72 °

140 °

40 °70 °

110 °

Número de veces que se repite un dato Frecuencia relativa

Frecuencia absoluta

Suma de las frecuencias absolutas

Suma de las frecuencias relativas

Cociente entre la frecuencia absoluta yel número total de datos

Media aritmética

Valor que representa un conjunto de datosUno

Número total de datos


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 9 Estadística y probabilidadORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos ejercicios nos pueden servir para ese grupo de alumnos que ha alcanzado los objetivos propuestos en la uni-dad y que tiene necesidad de avanzar un poco más.

Además de los que ofrecemos aquí, podemos introducir ejercicios con un grado de dificultad un poco mayor, como,por ejemplo, completar tablas estadísticas. También se pueden utilizar otro tipo de representaciones gráficas comolas pirámides de población, los pictogramas o cualquier gráfico aparecido en periódicos o revistas.

En cuanto a la parte de probabilidad, podemos introducir algunos conceptos sencillos, como suceso seguro o sucesoimposible, para que los alumnos se encarguen después de calcular su probabilidad.

1.

2. a)

b) Media de la clase 1: 5,13. Media de la clase 2: 4,63Tiene mejor media la clase 1.

c) Moda de la clase 1: 5. Moda de la clase 2: 3

3.

a) Media: 9,20 € b) Moda: 8,80 € y 8,90 €

4.

5. Se ha suprimido el 6.

6.

7.

8. 1

1116

328

636

16

=

Datos 1 2 3 4

F. absoluta 10 2 5 3

F. relativa 0,5 0,1 0,25 0,15


Nos familiarizamos con la estadística

Se organizan grupos de seis alumnos. En cada grupo se nombra un moderador que será el encargado de hablar y comen-tar las decisiones de su grupo de compañeros.

• Los alumnos se encargan de traer gráficos y tablas estadísticas que aparezcan en la prensa.

• A partir de las tablas o gráficos, los alumnos calcularán la media y la moda. Después dibujarán un gráfico de barraso de sectores.

Con todos estos datos, nuestros alumnos se van familiarizando con el mundo estadístico de una forma fácil y amena.Al final de la actividad se hará una puesta en común de todos los resultados obtenidos.

ACTIVIDAD DE GRUPO




Clase 2

v f v · f

0 2 0

1 3 3

2 1 2

3 6 18

4 2 8

5 5 25

6 3 18

7 2 14

8 4 32

9 1 9

10 1 10

30 139

Clase 1

v f v · f

0 1 0

1 2 2

2 1 2

3 5 15

4 3 12

5 6 30

6 2 12

7 5 35

8 1 8

9 2 18

10 2 20

30 154

v f f. r. v · f

7,50 1 0,1 7,5

8,50 1 0,1 8,5

8,60 1 0,1 8,6

8,80 2 0,2 17,6

8,90 2 0,2 17,8

10 1 0,1 10

10,60 1 0,1 10,6

11,40 1 0,1 11,4

10 92

13

1. Completa la siguiente tabla estadística que hemos obtenido al preguntar a 20 alumnos de una clase sobreel número de horas que dedican cada día al estudio.

2. Las siguientes gráficas representan las notas obtenidas por dos clases en el último examen de Mate-máticas.

a) Construye una tabla estadística con las frecuencias absolutas.

b) ¿Cuál tiene mejor media?

c) ¿Cuál es la moda de cada una de las clases?

3. Se ha hecho un estudio sobre el precio medio de una entrada de cine en algunos países europeos y sehan obtenido los siguientes datos:

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, la diferencia de sus resultados sea 3?

5. De un conjunto de tres datos cuya media vale 8 se elimina uno de ellos, de tal forma que los dos datosrestantes tienen media 9. ¿Qué dato se ha suprimido?

6. Se extrae al azar una ficha de un dominó normal, compuesto por 28 fichas, y sumamos los puntos desus dos partes. Calcula la probabilidad de que la suma de sus puntos sea 5.

7. Al lanzar una moneda 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de que el número de caras sea mayor o igual alnúmero de cruces?

8. Cuando tiras un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, no puedes ver la cara sobre la que se apoya.¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los números de las caras sea divisible por 6?

Países Precio (€)Suecia 11,40Dinamarca 10,60Reino Unido 10Bélgica 8,90Grecia 8,90Alemania 8,80Francia 8,80Italia 8,60Irlanda 8,50España 7,50

a) Elabora una tabla estadística.

b) Calcula la media.

c) Calcula la moda.

Datos 1 2 3 4

F. absoluta 2 3

F. relativa 0,5 0,25

7Clase 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100123456

Notas

N.°

de

alum

nos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1001234567

Notas

N.°

de

alum

nos

Clase 2



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. La paga semanal en euros que recibe cada uno de los 20 alumnos de una clase de 1.º de ESO es:

a) Con estos datos, construye una tabla estadística.

b) Calcula la media aritmética simple y la moda.

2. Mi profesor de Matemáticas es muy aficionado al flamenco y me ha pedido que haga una encuesta a 30personas, para saber sus preferencias. Obtuve los siguientes resultados:

a) Realiza la tabla estadística.

b) Representa los datos mediante un diagrama de barras.

c) Dibuja su polígono de frecuencias.

3. La liga española de béisbol cerró su temporada con la siguiente clasificación:

Representa los datos mediante un diagrama de sectores.

4. Construye la tabla estadística a partir del siguiente diagrama de barras.

5. En la segunda evaluación de Matemáticas hemos realizado tres exámenes. El primero valía un 20% dela nota; el segundo, un 30%, y el tercero, un 50%. Un alumno ha obtenido las siguientes calificaciones:

Calcula la nota final.

6. Escribe los elementos que componen el espacio muestral del experimento “lanzar un dado y una moneda”.

7. Tenemos un dado cuyas caras hemos coloreado. Del 1 al 4 las pintamos de rojo; el 5 y el 6, de verde.

a) Calcula la probabilidad de obtener un número par.

b) Calcula la probabilidad de que salga una cara pintada de verde.

c) Calcula la probabilidad de que salga un número par pintado de rojo.

Primer examen Segundo examen Tercer examen

Nota 3 5 6

Equipo Tiburones Karbo Helios Gaiteiros

Puntos 6 5 5 2

Artista Camarón Paco de Lucía Enrique Morente Tomatito

N.º de personas 15 5 6 4

2005 2006 2007 2008 2009Años

0

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

F. a

bsol

uta

60 000

18 50324 644

33 475

44 198

53 306

10 9 8 7 6 9 8 9 10 89 7 6 6 7 8 7 6 7 9

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a)

2. a) b) c)

3. Tiburones:

Karbo:

Helios:

Gaiteiros:

4.

5. Para calcular la calificación final debemos usar la media ponderada, puesto que el peso de cada examen es distinto.

Nota final =

6. E = (1, C), (1, X), (2, C), (2, X), (3, C), (3, X), (4, C), (4, X), (5, C), (5, X), (6, C), (6, X)

7. a) b) c)36

12

=36

12

=36

12

=

3 20 5 30 6 50100

60 150 300100

⋅ + ⋅ + ⋅=

+ += =

510100

51,

n 2 40º = =⋅36018

°°

n 100º = =⋅36018

5°

°

n 120º = =⋅36018

6°

°

Año F. absoluta F. relativa

2005 18 503 0,11

2006 24 644 0,14

2007 33 475 0,19

2008 44 198 0,25

2009 53 306 0,31

174 126 1

n 100º = =⋅36018

5°

°

Artista F. absoluta F. relativa

Camarón 15 0,5

Paco de Lucía 5 0,17

Enrique Morente 6 0,2

Tomatito 4 0,13

Datos F. absoluta F. relativa

6 4 0,2

7 5 0,25

8 4 0,2

9 5 0,25

10 2 0,1





6 4 7 5 8 4 9 5 10 2

207,8

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=b) M. aritmética =

Moda = 7 y 9

Paco deLucía

EnriqueMorente

Camarón Tomatito02468

10121416

F. a

bsol

uta

40°

120°

100°

100°

Tiburones (6)

Karbo (5)

Helios (5)

Gaiteiros (2)

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Sistemas de medidas

CO N T E N I D O

2 Unidad 10 Sistemas de medidas

Esta unidad trata sobre el sistema de medidas utilizado para medir longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. Elsistema empleado actualmente es el Sistema Métrico Decimal, incluido en el Sistema Internacional de Unidades, queserá utilizado en este curso y en los sucesivos en matemáticas y otra gran cantidad de asignaturas, así como en la vidareal. No obstante, hay que hacer notar que las unidades del Sistema Internacional no son las únicas utilizadas, por loque sería conveniente mostrar a los alumnos otros sistemas de medida utilizados en la actualidad; por ejemplo, el anglo-sajón. Para ello puede utilizarse el texto de entrada de la unidad.

Es importante hacer notar a los alumnos que las unidades de medida no son algo abstracto, que surgieron de un modonatural por la necesidad que tenía el hombre de cuantificar magnitudes. Sería interesante que viesen que cada magni-tud tiene una unidad establecida y perfectamente determinada con la que se comparan objetos.

Los alumnos deben conocer la estructura del Sistema Métrico Decimal, aprender a deducir por ellos mismos las rela-ciones de equivalencia existentes entre las diferentes unidades de una misma magnitud y ser capaces de ver la relaciónexistente entre las unidades de volumen y de capacidad, pero comprendiendo que son dos conceptos distintos.

Es conveniente plantear y resolver problemas de enunciado sencillo, relacionados con su vida cotidiana, que involucrensimultáneamente varias unidades, en los que haya que hacer operaciones, para que establezcan las relaciones entre ellasy sepan asociar a situaciones concretas las unidades de medida adecuadas.

El cambio de divisa es algo que se ha convertido en algo cotidiano y que constantemente aparece en los medios de comu-nicación. En la unidad se muestra cómo realizar el cambio entre dos monedas diferentes.

• Magnitud. Unidad de medida• Sistema métrico decimal• Unidades de longitud. El metro• Unidades de superficie. El metro cuadrado• Unidades agrarias• Unidades de volumen. El metro cúbico

• Unidades de masa. El kilogramo• Unidades de capacidad. El litro• Relación entre capacidad y volumen• Cambio de unidades• Cambio de divisa

Unidad 10 Sistemas de medidas

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Conocer la singularidad de la Tie-rra en cuanto a la presencia deagua, su origen y distribución.

1.1 Expresar una cantidad de longi-tud, superficie, volumen, masa ocapacidad en la unidad principaldel Sistema Métrico Decimal oen uno de sus múltiplos o sub-múltiplos.

1.2 Manejar con soltura las unida-des agrarias.

1.3 Aplicar la relación existente entrelas unidades de volumen y capa-cidad Aplicar la relación existenteentre las unidades de volumen ycapacidad.

• Lingüística

• Matemática




2. Aplicar correctamente un cambioentre unidades monetarias.

2.1 Conocer las principales propie-dades del agua y sus usos fun-damentales.

3. Utilizar las unidades del SistemaMétrico Decimal en actividadesrelacionadas con la vida cotidianao en la resolución de problemas.

3.1 Plantear y resolver problemasque involucren magnitudes delongitud, superficie, volumen,capacidad y masa.

3Sistemas de medidas Unidad 10



1. Conocimientos previosPara que los alumnos realicen con soltura el cambio de unidades y los cálculos de los problemas es preciso que domi-nen las operaciones con números decimales, en especial la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros.

2. Previsión de dificultadesEn este tema apenas encontraremos dificultades. Tal vez lo que resulte más costoso a los alumnos sea el cambio de uni-dades de superficie y de volumen, porque se les olvida que por cada paso hay que multiplicar o dividir por 100 o 1000,respectivamente.

3. Vinculación con otras áreasEs evidente la conexión con los contenidos propios de otras áreas, como la educación plástica y visual, en las que es fun-damental adquirir una idea estimada de las proporciones; con las ciencias sociales, sobre todo con la geografía, en cuan-to a su labor descriptiva, y con las ciencias naturales, en lo que se refiere al cambio de unidades de medida de diversasmagnitudes: velocidad, densidad, etc.

4. Esquema general de la unidadEn esta unidad se muestran los sistemas de medida que seutilizan para medir algunas magnitudes. Estas magnitu-des se utilizarán en el futuro tanto en matemáticas comoen otras asignaturas, como pueden ser física, cienciassociales…

La unidad comienza mostrando que aquello que se puedemedir es una magnitud, y el valor medido, la cantidad.Como las unidades pueden ser diversas, es necesario uni-ficarlas; para ello se utiliza el Sistema Métrico Decimal,incluido en el Sistema Internacional de Unidades.

A continuación se exponen las unidades utilizadas al medirlas diversas magnitudes: longitud, superficie, volumen,capacidad y masa. Se muestran los múltiplos y submúlti-plos de estas unidades y cómo cambiar de unas a otras.

También se ve la relación existente entre las unidades decapacidad y de volumen, enseñándose a pasar de unas aotras.

Para finalizar la unidad, se explica cómo realizar un cam-bio entre diferentes unidades monetarias.


1.ª Introducción. Sistema Métrico Decimal. Unidades de longitud. El metro.

2.ª Unidades de superficie. El metro cuadrado. Unidades agrarias.

3.ª Unidades de volumen. El metro cúbico.

4.ª Unidades de masa. El kilogramo.

5.ª Unidades de capacidad. El litro. Relación con las unidades de volumen.

6.ª Cambio de divisas.





SIST

EMA

MÉT

RIC

O D

ECIM

AL

CA

MB

IO D

E D

IVIS

AS

Unidades de longitud

Unidades de superficie

Unidades de volumen

Unidades de masa

Unidades de capacidad

MAGNITUDES Y MEDIDAS

4




Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y,en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogi-dos en las subcompetencias comunicación oral y comunicación escrita.


Al estar dedicada esta unidad a las unidades de medida, se desarrollan más detenidamente las subcompetencias reso-lución de problemas, relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad y uso de elementos y herramien-tas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcom-petencias aplicación del método científico, conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y medio natu-ral y desarrollo sostenible.

Competencia social y ciudadanaCon el estudio de la moneda europea y el cambio de divisas se trabaja esta competencia en relación con la idea de ciu-dadanía global, a través de la subcompetencia compromiso solidario con la realidad personal y social.



Competencia para la autonomía e iniciativa personalSe trabaja especialmente la subcompetencia liderazgo en las actividades de exposición al grupo y posterior debate.




5



Sistemas de medidas Unidad 10





Lingüística

Comunicación oral.Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saberaceptar las críticas de los demás.

– Participa en debates.Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Aprende a pensar


Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenidaen un texto para contribuir aldesarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información matemática de untexto y aplicarlo a la defensa de unaposición determinada.Desarrolla tus competencias

Matemática


Utilizar las matemáticas para elestudio y comprensión desituaciones cotidianas.

– Plantea y resuelve problemas en los queintervengan unidades de medida.En toda la unidad



– Conoce el SMD.

– Realiza cambios de unidades.

– Efectúa cambio de divisas.

En toda la unidad



Conocer y manejar el lenguajecientífico para interpretar y comunicarsituaciones en diversos contextos(académico, personal y social).

– Asigna en cada situación la unidad demedida adecuada.

Actividad 1



– Entiende la necesidad de normalizaciónen las medidas.Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Relaciona e investiga


Tomar decisiones sobre el mundofísico y sobre los cambios que laactividad humana produce en elmedioambiente y la calidad de vidade las personas.

Tener hábitos de consumoresponsable en la vida cotidiana.

– Pone en práctica medidas al alcance detodos para ahorrar recursos naturales.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar

– Muestra interés por la composición de losproductos alimentarios y llevar una dietaequilibrada.Actividad 83


competencia digital



– Busca en diferentes páginas de internetpara complementar la información.En la redDesarrolla tus competencias

– Visita la página librosvivos.netActividades 8, 19, 26, 31 y 39, organizatus ideas, autoevaluación

Autonomía e iniciativa personal

Liderazgo.

Desarrollar las habilidades para eldiálogo y la cooperación, resolverconflictos y llegar a acuerdos através de la negociación.

– Participa en debates, siendo crítico conlas ideas expuestas por los demás. Desarrolla tus competenciasPon a prueba tus competencias:Calcula y reflexiona, aprende a pensar

6


• Educación para el consumo: actividades de cambios de divisas.










SM


• Cuaderno de matemáticas básicas.

– Unidad 6. Sistema Métrico Decimal.



– Unidad 7. Medida.

• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 6: “Medida”.

– Unidad I: Sistema Métrico Decimal.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.° de ESO.

– Medidas a ojo.

• Cuaderno de investigaciones matemáticas. 1.° de ESO.

– Unidad 5: Historia de las medidas.


www.librosvivos.net

Otros

Páginas del proyecto Descartes sobre el Sistema Métrico Decimal:



Página que contiene actividades interactivas sobre las diversas unidades del SistemaMétrico Decimal.


• Instrumentos de medida: cinta métrica, balanzas, jarras graduadas.

• Dominós con unidades de medida.Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


3. Unidades de superficie: el metrocuadrado

Lo acontecido con la sonda Mars Climate servirá para inci-dir en la necesidad de indicar cualquier medida en su uni-dad correspondiente. Además pone de manifiesto la nece-sidad de la normalización en el sistema de medidas.

Podemos aprovechar esta situación para hacer ver a losalumnos que en España el sistema legal de unidades demedida vigente es el Sistema Internacional de Unidades, taly como se recoge en el Real Decreto 2032/2009, de 30 dediciembre, por el que se establecen las unidades de medi-da (BOE de 21 de enero de 2010).

Asimismo podríamos entregarles una copia del capítulo I delanexo del citado decreto, donde figura una relación de lasunidades básicas del SI, así como sus definiciones.

1. Magnitudes. Sistema métrico decimal• Es importante recordar el concepto de magnitud y dife-

renciarlo del de la unidad de medida de dicha magnitud.Para ello se puede empezar pidiendo a los alumnos queden ejemplos de magnitudes cercanas a ellos y que digancuál es la unidad con la que las miden, para que se dencuenta de la importancia de asociar a cada situación launidad adecuada.

• Mediante ejemplos, se les debe hacer comprender que elsistema de medidas de una magnitud parte de un patrónllamado unidad de medida.

• Además del sistema métrico decimal, se les pueden mos-trar otras unidades utilizadas a lo largo de la historia, yenseñarles distintos patrones locales, como arroba, vara,onza, etc.

• Se debe hacer comprender a los alumnos que el sistemade medidas utilizado actualmente se llama decimal por-que las unidades aumentan y disminuyen de 10 en 10.

I. Esta actividad no resultará complicada para los alum-nos, pues basta con aplicar una regla de tres simpledirecta.

II. De nuevo basta con aplicar una regla de tres para cal-cular cuántos kilómetros son 10 000 millas.

III. Esta actividad está directamente relacionada con el epí-grafe 7 de la unidad, que trata sobre el euro y el cam-bio de divisas.

IV. Con esta actividad podremos trabajar la competencia lin-güística, en especial la subcompetencia oral, ya querequerirá que los alumnos se expresen con rigor y argu-menten bien las diferentes posturas.

• Es importante que los alumnos comprendan por qué lasunidades de superficie aumentan y disminuyen de 100en 100, a diferencia de las unidades de longitud, que lohacen de 10 en 10.

• Una unidad cuadrada es la superficie que tiene un cua-drado de lado la unidad.

• Las unidades agrarias son muy usadas en la realidadpara medir terrenos, sean o no agrarios.

• Se pueden mostrar otras medidas agrarias que se usa-ron en la Antigüedad, como el celemín o la fanega, quehacían referencia a la medida del terreno a partir de lacantidad de cereal que hay que sembrar para obteneruna cosecha.


Básico 1 y 2

Alto 84


1. Esta actividad servirá para que los alumnos vean la nece-sidad que tiene el hombre de cuantificar y medir dife-rentes magnitudes presentes en el mundo que le rodea,empleando en cada ocasión las unidades adecuadas.

2. Unidades de longitud: el metro• Para establecer el concepto de metro se puede recordar

su origen a finales del siglo XIX, ante la necesidad de uni-ficar medidas, sobre todo, distancias de viajes. En unprincipio se definió como la diezmillonésima parte de ladistancia entre el Polo Norte y el Ecuador, distancia quese calculó en un principio considerando que la Tierra esesférica. Desde que se demostró que esta es achatadapor los polos, se define el metro como la distancia entredos líneas trazadas en una barra de aleación de platinoe iridio que se encuentra en el Museo de Pesas y Medi-das de París.

• Se puede llevar al aula un metro de madera en el queestén marcados los decímetros, centímetros y milíme-tros, para que así los alumnos entiendan el concepto desubmúltiplo.

• Para efectuar los cambios de unidades conviene recordarbrevemente cómo se multiplica y divide por la unidadseguida de ceros.

4. Unidades de volumen: el metro cúbico• Es importante que los alumnos comprendan por qué las

unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1000 en1000.

• Una unidad cúbica es el volumen que tiene un cubo dearista la unidad.


Básico 5, 6, 40 a 42 y 72

Medio 7, 43, 44 y 76

Alto 86


Básico 9 a 12, 45 a 47 y 73

Medio 48, 49 y 77

Alto 87, 88 y 90

Organiza tus ideas

En esta página se muestran las distintas unidades emple-adas para medir las diversas magnitudes que se han idoviendo en la unidad. Aparecen las unidades de longitud,superficie, volumen, capacidad y masa, la relación exis-

8


• Se deben hacer muchos ejercicios, ya que a los alumnosles cuesta asumir que en cada “salto de unidad” hay quemultiplicar o dividir por 1000.

• Podemos mostrarles otras medidas de volumen, como, porejemplo, la pinta y el galón, tanto británicos como esta dou- nidenses, indicándoles que en ambos casos 8 pintas hacenun galón, pero que la equivalencia a litros es diferente:

1 galón (EE. UU.) = 3,7854 L

1 galón (Reino Unido) = 4,546 L

5. Unidades de masa: el kilogramo

los conceptos de volumen y de capacidad son distintos. Unobjeto tiene un volumen fijo, mientras que la capacidadhace referencia a poder contener algo en su interior.

83. Esta actividad nos permitirá realizar una pequeña refle-xión con los alumnos sobre el tipo de alimentación quellevan. Podemos hacerles ver la importancia que tieneel llevar una dieta equilibrada que cumpla con la can-tidad diaria recomendada de cada uno de los nutrien-tes principales.

Les indicaremos que para contribuir a ello, en la actua-lidad se están desarrollando leyes que regulan el correc-to etiquetado de los alimentos.

Les haremos ver que en todas las etiquetas deben apa-recer por lo menos cuatro valores:

– Valor energético.

– Proteínas.

– Hidratos de carbono.

– Grasas.

Además de indicar el contenido de los principales alér-genos, como huevo, leche, frutos secos y gluten.

7. Unidades monetarias: el euro• Podemos comenzar el epígrafe haciendo una reseña his-

tórica de cómo y cuándo nació el euro, indicando queentró en vigor el 1 de enero de 1999 y que no todos los paí-ses de la Unión Europea se acogieron a él.

• El cambio de divisas no les debe resultar extraño, ya queresulta de aplicar una proporción, y los alumnos ya estánfamiliarizados con ello.

• Para que vean que los cambios de divisas varían de undía para otro, podríamos seleccionar a cinco alumnospara que anotasen durante una semana el cambio ofi-cial, respecto del euro, del dólar, la libra esterlina, elpeso mexicano, el yen japonés y el rublo. Con estos datosrecogidos elaborarán una gráfica para cada una de lasdivisas, y a la vista de la misma indicarán qué día de lasemana es el más propicio para realizar el cambio.

• Se puede introducir la masa como la cantidad de mate-ria que contiene un cuerpo.

• Una vez introducido el kilogramo como unidad principalde masa, conviene entretenerse en los múltiplos y sub-múltiplos, ya que varían la estructura que se seguía conel metro, el metro cuadrado y el metro cúbico, detenién-dose en las unidades nuevas: miriagramo, quintal métri-co y tonelada métrica.

• Hay que ser cuidadoso con el lenguaje, ya que no es lomismo la masa que el peso, aunque coloquialmente seusan de forma indistinta. La diferencia entre peso y masase ve en los contenidos de ciencias naturales.


Básico 16, 17 y 50 a 54

Medio 18, 55, 56, 79 y 80


Básico 29, 30, 61, 62, 65, 66 y 75

Medio 28, 63, 64, 67, 68, 81 y 83

Alto 69 y 85



Medio 37, 38 y 71

Alto 84


Básico 22, 23, 57, 58 y 74

Medio 24, 25, 59, 60 y 78

Alto 89

6. Unidades de capacidad: el litro

• Se les pude explicar la capacidad como la propiedad queposee un recipiente de contener una sustancia.

• Se debe hacer notar que aunque en esta unidad se haadoptado el criterio de representar el litro por el símbo-lo L, también resulta igualmente correcto utilizar el sím-bolo que viene dado por la letra minúscula l.

• Una vez establecido el litro como unidad principal demedida de capacidad, así como sus múltiplos y submúl-tiplos, se puede indicar a los alumnos que existen otrasunidades de medida de capacidad, universalmente exten-didas y que en la vida cotidiana se utilizan habitualmen-te: el cuarto de litro y el medio litro. Se les puede hablarde la utilidad que tienen llevando al aula botellas de aguade cuarto de litro y de medio litro.

• Asimismo se puede hablar de otra unidad universalmenteextendida, que es la de 33 cL, capacidad habitual de lamayoría de las latas de refrescos, y que, en contra de loque cree la mayoría de la gente, no es un tercio de litro.

• Aunque las unidades de volumen y de capacidad estánrelacionadas, hay que ser cuidadosos en su uso, ya que


9


tente entre las unidades de volumen y capacidad y los cam-bios de divisas.

Para que sea útil el esquema, se puede ver que la estruc-tura de las unidades de longitud, superficie, volumen ycapacidad es la misma: hay una unidad central, tres múl-tiplos a su izquierda y tres submúltiplos a su derecha, queademás tienen los mismos prefijos.

Para las unidades de masa habrá que resaltar la existen-cia de tres nuevos elementos: el miriagramo, el quintalmétrico y la tonelada métrica.

Además se podría completar con una tabla en la que seexpliquen las distintas abreviaturas usadas en los prefijosde las unidades, su expresión escrita y su significado res-pecto de la unidad fundamental.

El esquema se puede completar con las unidades agrariasde superficie y su relación con las unidades de superficiedel Sistema Internacional de Unidades (SI).

La actividad 3 permitirá establecer un pequeño debate enclase sobre la seguridad en las carreteras, trabajando deeste modo la educación vial.

Una vez que los alumnos hayan buscado la relación entremetros y pulgadas, les pediremos que nos digan a cuántoscentímetros equivale una pulgada.

A pesar de que la pulgada no es una medida del SI, pode-mos hacer ver a los alumnos que está universalmenteextendida, ya que es la unidad de medida que se utiliza paraindicar las dimensiones de las pantallas de los televisoresy de los monitores de ordenador.

CALCULA Y REFLEXIONA: EL PESO DE TU MOCHILA

Al realizar estas actividades, muchos de los alumnos sedarán cuenta de que sobrepasan, y mucho, el peso reco-mendado por la OMS. Para evitar lesiones de espalda, algu-nas de las soluciones que seguramente aporten los alum-nos serán:

– Libros fraccionados. Esta medida ya la ha tomado laeditorial SM.

– No pedir a los alumnos que lleven un cuaderno por materia. Utilizar un archivador donde tengan los apun-tes de todas las materias, vaciándolo periódicamen-te y clasificando los apuntes en casa.

– Utilización de carritos.

APRENDE A PENSAR: PEQUEÑOS GESTOS QUE SUMAN MUCHO…

La realización de estas actividades contribuirá a que losalumnos sean partícipes del ahorro del gasto energético ydel descenso de la emisión de CO2.

Los alumnos tienen que leer con detenimiento los textos yanotar las unidades de medida en que vienen expresadaslas diferentes magnitudes, ya que deberán realizar los cam-bios oportunos para que a la hora de calcular las cantida-des totales, estas sean correctas.

Para la actividad 7 les pediremos que calculen lo que cadauno de ellos ahorraría, simplemente duchándose y tenien-do el cargador del móvil conectado exclusivamente mien-tras se carga la batería.


RELACIONA E INVESTIGA: LAS MEDIDAS ANGLOSAJONAS

En este apartado se abordan algunas de las unidades demedida anglosajonas más utilizadas. Nos indican a quéequivale la milla náutica, que es diferente de la milla terres-tre. Con la equivalencia de milla náutica y kilómetro y apli-cando la regla de tres simple, los alumnos podrán realizarla actividad 1. Sin embargo, para la actividad 2 deberánrecurrir al texto de entrada para saber la equivalencia entrela milla terrestre y el kilómetro.





10


Unidad 10 Sistema de medidasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En la unidad se ven los distintos tipos de medidas. Los alumnos deberían terminarla sabiendo las distintas unidadesde longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. Además deben ser capaces de realizar cambios de unidades en cadauna de las magnitudes y conocer la relación que existe entre las unidades de volumen y las de capacidad. Por último,deben poder resolver problemas sencillos sobre medidas.

• Una de las dificultades es usar correctamente las unidades. Por ejemplo, se confunde a veces decámetros con decí-metros. Además puede ser complicado expresar oralmente las unidades.

• Hay que exigir que se hable con propiedad. Se deben usar correctamente los términos capacidad y volumen.

• Los problemas que se planteen en las actividades de refuerzo que se realicen deben ser sencillos y cercanos, apli-cándolos a situaciones de la vida real.

1.

2. El volumen de la llave inglesa es de 20 cm3.

El volumen del despertador es de 200 cm3.

3. Una moneda de 5 céntimos mide 2 cm. Así, 1 m de lacadena está formado por 50 monedas, y en los 100 m quemide la cadena hay 5000 monedas, que hacen un totalde 5 ⋅ 5000 = 25 000 céntimos, que son 250 euros.

4.

En total ha recorrido: 3 ⋅ 13,2 + 3 ⋅ 10,002 = 69,606 km

1 2 3 4 5

A

B

C

D

E

F

2 3 0

1 5 1 0

0 8 0

3 4 0 3

5 9 0

0 5 1 0

2 500 dg

0,00025 t 25 000 cg

250 g

2,25 hg

2 500 mg

250 mg

25 dag

0,25 hg

2,5 dg

0,25 kg

2,5 kg

0,025 q

25 cg 250 mg 0,25 kg


Construcción de un dominó de medidas

Se divide la clase en cinco grupos y cada grupo construirá un dominó diferente, de tal manera que haya uno con medi-das de capacidad, uno con medidas de longitud, uno con medidas de masa, uno con medidas de superficie y otro con medi-das de volumen.

En un dominó normal hay 7 resultados, del 0 al 6, cada uno de los cuales se repite 8 veces. A cada grupo se le entregan,en un folio, siete medidas diferentes, con unidades distintas, y se les pide que expresen dichas medidas de ocho mane-ras diferentes, empleando también unidades complejas. Una vez que lo hayan hecho, los grupos se intercambiarán lasmedidas entre ellos, para que cada grupo corrija las equivalencias de las medidas dadas por un grupo diferente al suyo.Cuando estén corregidas, cada grupo construirá el dominó correspondiente a esos valores.

En una clase posterior se repartirán los dominós por grupos, para que los alumnos jueguen.

La carta más alta

Dividimos la clase en cinco grupos y cada grupo construirá una baraja con 48 cartas, de tal manera que en cada cartahaya una medida de una misma magnitud. De este modo tendremos cinco barajas diferentes, una por cada una de lasdiferentes magnitudes.

Una vez formadas todas las barajas, cada grupo repartirá las cartas entre los componentes. Cada jugador mostrará ala vez una carta, y el jugador que posea la medida mayor se llevará todas las cartas que haya sobre la mesa, que guar-dará. Así sucesivamente hasta que se acaben las cartas. Una vez finalizado el juego, cada jugador sumará las medidasde todas las cartas que se haya llevado y ganará el que tenga la medida mayor.

ACTIVIDADES DE GRUPO




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1. Resuelve el siguiente crucigrama y averigua en qué año se estableció el Sistema Métrico Decimal.

2. Supongamos que quieres saber el volumen de una piedra. La verdad es que como son muy irregulares,no existe ninguna fórmula para hacerlo. Nosotros vamos a calcular el volumen de la piedra por “des-plazamiento de agua”.

Antes de introducir la piedra en el agua, el volumen es de 9 cm3.

Cuando introducimos la piedra en el agua, el volumen sube hasta los 11 cm3. Por tan-to, el volumen de la piedra se obtiene restando el volumen del agua con la piedramenos el volumen del agua sin la piedra:

V = 11 cm3 − 9 cm3 = 2 cm3

¿Cuál es el volumen de los siguientes objetos?

3. Para ayudar a los damnificados en un desastre natural, los alumnos del instituto han creado en el patio unacadena solidaria. Los eslabones de la cadena son las monedas de 5 céntimos de euro que cada alumno haaportado. Si la longitud de la cadena formada ha sido de 100 metros, ¿cuánto dinero han recaudado?

4. El motorista está situado en la casilla, y para llegar ala meta sólo puede pasar por casillas que tengan can-tidades equivalentes.

a) Encuentra y colorea el camino que ha seguido.

b) Si cada uno de los tramos horizontales mide 13 km20 dam, y cada tramo vertical tiene una longitud de10 km 2 m, ¿cuál es la distancia total que ha recorridoel motorista?

5

10

15

5

10

15

50

100

150

50

100

150

100

200

300

123

69 100

200

300

123

69

HORIZONTALESA. ¿Cuántos metros hay en 20 dm? Quintales que hay en 3 t.B. Expresa en decímetros 15 m 1 dm. Nada.C. ¿Cuántos litros son 8 dL? Nada.D. III. Expresa en mililitros 4 dL 3 mL.E. V. ¿Cuántos kilogramos hay en 9 mag?F. ¿Cuántos hectómetros cuadrados son 50 dam2? En las unidades de

capacidad, cada unidad es igual a ……. unidades del orden inmedia-tamente inferior.

VERTICALES1. Uno. Los centímetros que hay en 3,5 m.2. Gramos que hay en un cuarto de kilo. V.3. Año en que se implantó el SMD.4. III. Al revés, decilitros que hay en un daL.5. Al revés, centígramos que hay en 3 dag. Nada.

1 2 3 4 5

A

B

C

D

E

F

Unidad 10 Sistema de medidas

Pági

na

foto

cop

iab

le



2 500 dg

0,00025 t 25 000 cg

250 g

2,25 hg

2 500 mg

250 mg

25 dag

0,25 hg

2,5 dg

0,25 kg

2,5 kg

0,025 q

25 cg 250 mg 0,25 kg

META

SALIDA

12


Unidad 10 Sistema de medidasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

La mayoría de los ejercicios propuestos en este cuadernillo son problemas un poco más difíciles que los del texto dereferencia; por tanto, a lo mejor es necesario explicar algunos conceptos nuevos que no aparecen en el libro del alumno.

En algunas de las actividades propuestas se trabajan las unidades de medidas de longitud que son más grandes opequeñas que las habituales. De ellas, lo único que se ha visto en la unidad son las equivalencias, pero no se han hechoejercicios. Los problemas que aparecen con dichas medidas hacen referencia a situaciones de la vida real, donde estasunidades se usan con frecuencia.

Otros ejercicios que pueden considerarse de ampliación son los cambios de unidades en magnitudes físicas, que rela-cionan dos magnitudes, como la velocidad, que relaciona espacio y tiempo.

Por último, desarrollaremos un pensamiento lógico con el planteamiento y resolución de problemas de ingenio mate-mático, sobre todo los relacionados con pesos y pesadas.

1. a) 1352,233 m b) 1202,85 a c) 2 003 010,078 L

2. Se pueden llenar 4000 botellas de 2 litros y 32 000 de 0,25 litros.

3. Un año luz mide 9 460 800 000 000 kilómetros.

4. Un rayo tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar del Sol a la Tierra.

5.

6. Cada página mide 80 micras.

7. La caja pesa 18,7 kilogramos.

8. En el huerto caben 836 naranjos.

9. a) 27,8 m/s b) 108 km/h

10. Si se sitúan las pesas en ambos lados de la balanza,de forma que también puedan ponerse junto con elobjeto que queremos pesar, son necesarias solo cua-tro pesas: de 1 kg, 3 kg y 27 kg, respectivamente. Con-sideraremos la pesa que se sitúa en el mismo platilloque el objeto como un peso negativo.

En los siguientes ejemplos se pesan objetos de 2 y23 kg, respectivamente.

23 kg2 kg

1 kg 3 kg 1 kg 3 kg27 kg

Tamaño Dimensiones (mm) Peso (g)

A0 841 × 1189 79,99

A1 594 × 841 39,99

A2 420 × 594 19,99

A3 297 × 420 9,99

A4 210 × 297 4,99


Suma de medidas

El objetivo del juego es conseguir una longitud determinada que se decide previamente. Para ello se formarán gruposde dos alumnos.

• Primero hay que fabricar las fichas del juego. Se fabrica un número de fichas, por ejemplo, 40, con medidas de longi-tud que van desde un metro hasta un kilómetro. Ejemplo: 2 hm, 30 dam, 20 m, etc.

• La mecánica del juego es la siguiente: empieza un jugador escogiendo la ficha que desee; luego, el otro, y así sucesi-vamente.

• Gana el primer jugador que consiga que sus fichas sumen la longitud prefijada; en caso de que ninguno consiga la medi-da, gana aquel cuya suma de las fichas sea la más aproximada a la longitud fijada.

• La medida de la longitud no debe ser exageradamente mayor que las fichas fabricadas.

Una variante del juego es aquella en la que pierde el primer jugador que sobrepase la medida indicada. Se pueden fabri-car otros juegos con unidades de otras magnitudes.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Expresa las siguientes medidas en la unidad indicada.

a) En metros: 1 km 3 hm 2 dam 32 m 2 dm 33 mm

b) En áreas: 12 hm2 2 dam2 85 m2

c) En litros: 2 dam3 3 m3 10 dm3 78 cm3

2. Un depósito lleno de agua tiene la forma de un cubo de 2 metros de arista. ¿Cuántas botellas de 2 litrosse pueden llenar con el agua del depósito? ¿Y cuántas de cuarto de litro?

3. La luz viaja siempre a la misma velocidad, aproximadamente 300 000 kilómetros por segundo. Paramedir distancias astronómicas se usa el año luz, que es la distancia que recorre la luz en un año. Cal-cula cuántos kilómetros mide un año luz.

4. La distancia entre la Tierra y el Sol es de unos 150 millones de kilómetros. Calcula cuánto tiempo, enminutos, tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra. (La velocidad de la luz la tienes en el ejercicio anterior.)

5. Las hojas de papel cumplen el formato DIN. Se parte de una hoja DIN-A0 y los siguientes números seobtienen dividiendo la hoja por la mitad: una hoja DIN-A1 es la mitad de tamaño que la A0, una hojaDIN-A2 es la mitad que la A1, y así sucesivamente como se indica en el dibujo. Las hojas de papel sue-len pesar unos 80 gramos el metro cuadrado. Sabiendo que las dimensiones de una hoja de papel DIN-A0 son de 841 × 1189 milímetros, calcula las dimensiones y el peso de una hoja DIN-A4.

6. Calcula cuántas micras (o micrómetros) mide el grosor de una página de un libro sabiendo que tiene 250páginas y mide 2 centímetros de grosor.

7. Un litro de agua tiene, aproximadamente, la masa de un kilogramo. ¿Cuántos kilogramos tendrá una cajacon una docena de botellas de agua de litro y medio si la masa de cada botella es de 50 gramos, y la delcartón, de 1 hectogramo?

8. La superficie de un huerto de naranjos es de 5 hectáreas 2 áreas 80 centiáreas. Si cada naranjo nece-sita unos 60 metros cuadrados, ¿cuántos naranjos hay en el huerto?

9. La velocidad de un móvil se puede medir en kilómetros por hora (km/h) y en metros por segundo (m/s).

a) ¿Cuál es la velocidad en metros por segundo de un coche que va a 100 km/h?

b) ¿Cuál es la velocidad en kilómetros por hora de un coche que va a 30 m/s?

10. Problema de las pesas de Bachet: “¿Qué número mínimo de pesas hay que utilizar en un juego de balan-zas para poder pesar cualquier número entero entre 1 y 40?”.

A 1

A 2

A 3

A 4

A 5A 6



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Completa las siguientes igualdades.

a) 32 km = ......……………….. dam = ...…….…………. m d) 5,3 daL = .………………… dL = ..................... cL

b) 5 dam2 = ......…………………. m2 = .………………. dm2 e) 3 t = ....………………………. q =...................... kg

c) 0,451 dm3 = .....……………. cm3 = ……………… mm3. f) 131 mg = .……………….. cg = ....................... g

2. Escribe:

a) 2 m 3 cm en milímetros.

b) 2 ha 31 a 9 ca en metros cuadrados.

c) 21 dm3 12 000 cm3 en metros cúbicos.

d) 1 L 15 dL 2 cL en mililitros.

e) 2 L 5 cL en decalitros.

f) 2 mag 3 hg en gramos.

3. Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en la unidad más pequeña que aparezca.

a) 1 km 23 m − 2 hm 3 dam

b) 12 m2 34 dm2 + 1,8 dam2

c) 2 m3 550 dm3 + 345 dm3

d) 1 kL 23 hL 123 L + 2 daL 57 L

e) 5 t 2 q 1 kg − 3 q 23 mag 7 kg

f) 4 kg 32 g + 2 hg 7 g 9 dg

4. Expresa las siguientes medidas de capacidad en centímetros cúbicos.

a) 3 L b) 12 cL c) 432 dL d) 65 mL

5. Ordena las siguientes medidas de mayor a menor, expresándolas en litros.

25 kL 10 mL 20 cm3 70 dL 3 m3

6. Calcula las siguientes operaciones, expresando el resultado en decímetros cúbicos.

a) 23 dm3 − 5 dL b) 35 L + 0,7 m3 + 3 dL

7. Se tienen 14 paquetes de azúcar con un peso de 175 gramos cada uno. Si se vacían todos los paquetesen un bote, ¿cuántos kilogramos de azúcar tendrá este?

8. María quiere enlosar la entrada de su casa, que mide media hectárea, con baldosas de 30 cm de lado.¿Cuántas baldosas debe usar como mínimo?

9. Un pantano tiene una capacidad de 5 hectómetros cúbicos. Las 500 hectáreas de terreno de alrededorvierten el agua de lluvia en el pantano y la media de precipitaciones es de 2 litros por metro cuadradocada día. Si el pantano está vacío, ¿cuántos días debe llover para que se llene?

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) 32 km = 3200 dam = 32 000 m d) 5,3 daL = 530 dL = 5300 cL

b) 5 dam2 = 500 m2 = 50 000 dm2 e) 3 t = 30 q = 3000 kg

c) 0,451 dm3 = 451 cm3 = 451 000 mm3 f) 131 mg = 13,1 cg = 0,131 g

2. a) 2 m 3 cm = 2000 mm + 30 mm = 2030 mm

b) 2 ha 31 a 9 ca = 2 hm2 31 dam2 9 m2 = 20 000 m2 + 3100 m2 + 9 m2 = 23 109 m2

c) 21 dm3 12 000 cm3 = 0,021 m3 + 0,012 m3 = 0,033 m3

d) 1 L 15 dL 2 cL = 1000 mL + 1500 mL + 20 mL = 2520 mL

e) 2 L 5 cL = 0,2 daL + 0,005 daL = 0,205 daL

f) 2 mag 3 hg = 20 000 g + 300 g = 20 300 g

3. a) 1 km 23 m − 2 hm 3 dam = 1023 m − 230 m = 793 m

b) 12 m2 34 dm2 + 1,8 dam2 = 1234 dm2 + 18 000 dm2 = 19 234 dm2

c) 2 m3 550 dm3 + 345 dm3 = 2550 + 345 dm3 = 2895 dm3

d) 1 kL 23 hL 123 L + 2 daL 57 L = 3423 L + 77 L = 3500 L

e) 5 t 2 q 1 kg − 3 q 23 mag 7 kg = 5201 kg − 537 kg = 4664 kg

f) 4 kg 32 g + 2 hg 7 g 9 dg = 40 320 dg + 2079 dg = 42 399 dg

4. a) 3 L = 3 dm3 = 3000 cm3 c) 432 dL = 43 200 mL = 43 200 cm3

b) 12 cL = 120 mL = 120 cm3 d) 65 mL = 65 cm3

5. 25 kL = 25 000 L 10 mL = 0,01 L 20 cm3 = 0,02 L 70 dL = 7 L 3 m3 = 3000 L

25 kL > 3 m3 > 70 dL > 20 cm3 > 10 mL

6. a) 23 dm3 − 5 dL = 23 dm3 − 0,5 dm3 = 22,5 dm3

b) 35 L + 0,7 m3 + 3 dL = 35 dm3 + 700 dm3 + 0,3 dm3 = 735,3 dm3

7. 14 ⋅ 175 g = 2450 g = 2,45 kg

El bote contendrá 2,45 kg de azúcar.

8. 0,5 ha = 0,5 hm2 = 5000 m2

Cada baldosa mide: 30 ⋅ 30 cm = 900 cm2 = 0,09 m2.

Debe usar al menos 55 556 baldosas.

9. 500 ha = 5 000 000 m2

En las 500 ha, cada día llueve: 2 ⋅ 5 000 000 = 10 000 000 dm3 = 10 dam3.

En el pantano caben 5 hm3 = 5000 dam3.

Tiene que llover: = 500 días.500010

50000 09

55555 5,

,=�





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Elementos geométricos

CO N T E N I D O

2 Unidad 11 Elementos geométricos

En esta primera unidad de geometría plana se estudian los ángulos, la circunferencia y algunos tipos de rectas.

Conviene empezar recordando que el punto es el elemento básico de la geometría y que da lugar a los otros: rectas yplanos; es necesario insistir en el concepto de ángulo para que no se identifique sólo con el arco que lo representa enel dibujo, y repasar las unidades de medida de ángulos y sus operaciones básicas.

Es importante que los alumnos aprendan los nuevos conceptos: de tipos de ángulos complementarios, suplementarios,opuestos por el vértice, de lados paralelos, inscritos, centrales, circunferencia, círculo, figuras circulares, y los de media-triz y bisectriz, y que los identifiquen en los dibujos y en la realidad.

También deben adquirir destrezas para trazar mediatrices, bisectrices, rectas paralelas y perpendiculares, así comopara dibujar y medir ángulos.

• Puntos y rectas• Semirrectas y segmentos• Posición relativa de dos rectas en el plano• Ángulos. Vértice y lados• Ángulo recto• Ángulo agudo y ángulo llano• Ángulo convexo y ángulo cóncavo• Ángulos complementarios y ángulos suplementarios• Medida de ángulos• Forma compleja y forma incompleja• Suma y resta de ángulos

• Producto de un ángulo por un número natural• División de un ángulo por un número natural• Ángulos opuestos por el vértice• Ángulos de lados paralelos• Circunferencia. Elementos• Ángulo central y ángulo inscrito en una circunferencia• Círculo• Posiciones de recta y circunferencia• Mediatriz de un segmento• Bisectriz de un ángulo

Unidad 11 Elementos geométricos

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Identificar y establecer relacionesentre ángulos que permiten cal-cular unos a partir de otros cono-cidos.

1.1 Reconocer y calcular ángulos com-plementarios y suplementarios.

1.2 Establecer relaciones de igualdadentre ángulos opuestos por el vérti-ce o de lados paralelos.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundofísico

• Cultural y artística

• Tratamiento de la informacióny competencia digital


2. Conocer y manejar la unidad demedida de ángulos.

2.1 Expresar ángulos dados en formacompleja e incompleja.

2.2 Sumar y restar ángulos.

2.3 Producto y división de un ángulo porun número natural.

3. Comprender la relación existen-te entre circunferencia y círculo,y describir con precisión sus ele-mentos.

3.1 Reconocer y calcular ángulos ins-critos y centrales en una circunfe-rencia.

3.2 Identificar las posiciones relativasentre una recta y una circunferencia.

4. Conocer y saber dibujar la media-triz de un segmento y la bisectrizde un ángulo.

4.1 Identificar y trazar la mediatriz deun segmento y la bisectriz de unángulo.

3Elementos geométricos Unidad 11



1. Conocimientos previosLos únicos conocimientos previos imprescindibles son el manejo de los instrumentos de dibujo: compás, escuadra ycartabón, y la utilización del transportador para medir ángulos.

2. Previsión de dificultadesLa mayoría de los contenidos de esta unidad ya han sido trabajados en cursos anteriores, por este motivo no han de pre-sentar ninguna dificultad.

Entre los contenidos nuevos puede presentar una mayor dificultad el cálculo de la medida de ángulos inscritos y cen-trales en una circunferencia.

3. Vinculación con otras áreasLos contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con el estudio de las figuras planas, que se realiza enEducación Plástica y Visual.

4. Esquema general de la unidadEl bloque de geometría plana se inicia con una mención de los puntos y las rectas como elementos básicos para cons-truir la geometría y con el estudio de las posiciones relativas de rectas en el plano.

A continuación se define como ángulo cada una de las cua-tro regiones en que dos rectas secantes dividen el plano.Partiendo del concepto de ángulo recto, se realiza la cla-sificación de ángulos y se estudia la relación entre ellos,definiendo ángulos complementarios, suplementarios yopuestos por el vértice.

En el epígrafe 3 se describe el sistema sexagesimal parala medida de ángulos y se indica cómo sumar y restar ángu-los y cómo multiplicar y dividir un ángulo por un númeronatural.

Para finalizar con el estudio de los ángulos, se analiza laigualdad de ángulos en los casos en que estos son opues-tos por el vértice o de lados paralelos.

Después se distingue entre circunferencia y círculo, defi-niendo los elementos y los ángulos asociados a una cir-cunferencia, centrales e inscritos, estableciendo la relaciónde medida que existe entre ellos. Posteriormente se estu-dian las posiciones de una recta y una circunferencia.

Todos los conocimientos anteriores permiten introducirdos tipos de rectas: la mediatriz de un segmento y la bisec-triz de un ángulo, para estudiar sus propiedades y su cons-trucción.


1.ª Introducción. Puntos, rectas.

2.ª Ángulos.

3.ª Medidas de ángulos. Operaciones.

4.ª Ángulos iguales. Circunferencia y círculo.

5.ª Ángulos en una circunferencia. Posiciones relativas de circunferencia y recta.

6.ª Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo.





Ángulos CircunferenciaRectas

Mediatriz

Posicionesrelativas

Clasificación Ángulos en lacircunferencia

Posición relativarecta y

circunferencia

Medida deángulos

Operaciones con ángulos

Bisectriz

ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

4




Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciadocontextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicaciónoral y comunicación escrita.


Competencia para la interacción con el mundo físicoA lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos asituaciones y problemas de la vida real. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompe-tencia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artísticaEl estudio de los elementos geométricos permite desarrollar las subcompetencias sensibilidad artística y expresiónartística.






5



Elementos geométricos Unidad 11





Lingüística

Comunicación oral.

Escuchar textos orales como fuente deconocimiento y entretenimiento.

Argumentar con espíritu crítico yconstructivo, así como saber aceptar lascríticas de los demás.

– Realiza exposiciones orales en clase.

– Extrae información de lasexposiciones realizadas por loscompañeros.



Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida enun texto para contribuir al desarrollo delpensamiento crítico.

– Extrae información matemática deun texto y lo aplica a la defensade una posición determinada.


Problemas

Matemática


Comprender y elaborar una cadena deargumentaciones matemáticasidentificando ideas fundamentales.

– Calcula medidas de ángulos.

En toda la unidad

Resoluciónde problemas.

Seleccionar las técnicas adecuadaspara calcular resultados, y representar einterpretar la realidad mediantemedidas matemáticas.

– Aplica propiedades métricas a laresolución de problemas.

En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones realeso simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con soltura en el sistemasexagesimal.

En toda la unidad

Interaccióncon el mundo físico


Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y la tecnología ala sociedad.

– Valora la utilización de laspropiedades de la reflexión alservicio de la técnica y la sociedad.


Cultural y artística

Sensibilidad artística.

Cultivar el sentido de la trascendencia yuna actitud abierta, respetuosa y críticahacia la diversidad de expresionesartísticas y culturales.

– Distingue imágenes reales deimaginarias.

Pon a prueba tus competencias: I

Expresión artística.Realizar representaciones artísticas deforma individual y cooperativa.

– Utiliza el libro de espejos para crearfiguras.

Pon a prueba tus competencias: I


competencia digital



– Busca en diferentes páginas deinternet para complementar lainformación.

En la red


– Visita la página librosvivos.net pararealizar distintas actividades.

Actividades 10 y 18


Admitir diversidad de respuestasposibles ante un mismo problema yencontrar diferentes enfoquesmetodológicos para solventarlo.

– Resuelve problemas realizando unalluvia de ideas.

Actividad 67

6











SM



– Unidad 4. Rectas y ángulos.



– Unidad 5. Geometría.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”.

– Unidad I: Elementos geométricos del plano.

– Unidad III: Circunferencias y círculos.

• Cuaderno de Matemáticas para la vida. 1.° de ESO.

– Volantes de coches.

• Cuaderno de Investigaciones matemáticas. 1.° de ESO.

– Unidad 5: Historia de las medidas.


www.librosvivos.net

Otros

Páginas del CIDEAD sobre elementos geométricos:


Página del proyecto Descartes sobre ángulos:


• Instrumentos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos.

• El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones geométricas.Otr

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7


Entrada


La reflexión de la luz es un claro ejemplo de la aplicaciónde las matemáticas, en concreto de la geometría, para des-cribir los fenómenos físicos. Además, los alumnos veránlo útil que es la reflexión de la luz para resolver problemastan importantes como el que tenía la ciudad de Viganella.De hecho, podemos comentarles que tras el éxito de la ilu-minación natural de Viganella, muchos pueblos y ciudadesde los Alpes y Canadá están construyendo espejos similares.

Podemos hacer ver a los alumnos que la luz que recibe laciudad de Viganella varía a lo largo del día, ya que el ángu-lo de incidencia de los rayos del sol en el espejo varía en fun-ción del movimiento de la Tierra.

Para que prueben ellos mismos esta experiencia, pode-mos pedirles que traigan al aula espejos pequeños y lin-ternas, a ser posible con haz de luz de diámetro pequeño.Un alumno sujetará el espejo a una altura aproximada de1 metro, y otro, situado a un metro del primero, apuntarácon una linterna, situada a 1,5 metros del suelo, al espejo.Los demás tratarán de buscar en el aula el punto de luzque se refleja. Una vez que lo tengan localizado, el alum-no que tenga la linterna la moverá, variando el ángulo deincidencia sobre el espejo, y así podrán comprobar cómo hacambiado de posición la luz reflejada.

1. Puntos y rectas• Los conceptos aquí estudiados son ya conocidos por los

alumnos. Sin embargo, hay que insistir en que dos pun-tos determinan una recta. Se les puede dar tres puntosno alineados y pedirles que dibujen todas las rectas posi-bles que pasen por ellos.

• Las rectas coincidentes hay que explicarlas bien para quelos alumnos no piensen que es una sola recta, sino dos.

• Es conveniente que sean capaces de trazar con destrezarectas paralelas y secantes a una dada. Para este fin, seles puede recordar cómo utilizar la escuadra y el cartabón.

I. Con el experimento descrito en el apartado anterior, losalumnos no tendrán problemas para responder a estapregunta.

II. La propiedad de reflexión de la luz también la podremoscomprobar con el experimento anterior, aunque los alum-nos lo hayan comprobado previamente en casa.

III y IV. Con estas actividades desarrollaremos la compe-tencia lingüística, concretamente las subcompetenciasescrita y oral, ya que los alumnos deberán sacar deartículos encontrados en internet la información nece-saria para estudiar y comprender el funcionamiento delas antenas parabólicas y posteriormente explicarlo asus compañeros. Además, volverán a ver un ejemplo dela relación que hay entre las matemáticas y el mundoque nos rodea.


Básico 2, 3 y 32

Alto 33


Básico 7, 35, 36, 38 y 54

Alto 8, 9, 37 y 39 a 41


2. Ángulos• Es importante recordar el concepto de ángulo, ya que

tienden a asociarlo con el arco que lo representa en eldibujo y tienen cierta dificultad para comprender que setrata de una región del plano.

• Distinguen fácilmente un ángulo agudo y un ángulo obtu-so, pero no les resulta tan sencillo comprender los con-ceptos de convexo y cóncavo. Por eso es recomendableponer varios ejemplos, haciendo que sean ellos los queaprendan a distinguir ángulos convexos y cóncavos. Sondos conceptos nuevos que les cuesta aprender porquelos confunden entre sí. Dedicando más tiempo a apren-der y afianzar uno de ellos e introduciendo el otro después,se minimiza la posibilidad de confusión. Además, les cos-tará asimilar que un ángulo convexo puede ser tanto agu-do como obtuso.

• Los conceptos de ángulos complementarios y suplemen -tarios pueden ser nuevos para muchos alumnos, por esohay que dedicarles una atención especial y más tiempo.

3. Medida de ángulos. Operaciones• Los alumnos ya han visto en primaria el sistema sexa-

gesimal. No costará mucho recordarlo, teniendo ademástan recientes los sistemas de medida, vistos en la uni-dad anterior.

• A la hora de explicar la suma de ángulos y el productode un ángulo por un número, debemos hacer muchosejemplos en los que los segundos o minutos del resulta-do sobrepasen los 60.

• Para explicar la resta, cuando el primer término no esmayor que el segundo en alguna unidad, podríamos seguirel siguiente esquema.

71’13° 60’ 72’ 60” 93”14° 12’ 33”

− 5° 43’ 52”8° 28’ 41”

4. Ángulos iguales• El concepto de igualdad de ángulos es fácil de entender

y tampoco resulta difícil que entiendan qué son y quereconozcan ángulos opuestos por el vértice.

• Pero los ángulos de lados paralelos sí presentan difi-cultad, por eso conviene hacer muchos ejemplos y queconstruyan ángulos con los lados paralelos a los de unángulo determinado y los midan.


Básico 4 y 34

Medio 5

Alto 43 y 71

Organiza tus ideas

Hay que procurar que el alumno note la importancia de losesquemas haciéndole preguntas referidas a la unidad quedebe resolver ayudándose sólo de la información de esta hoja.

Es interesante que ellos elaboren sus propios esquemas,pero como puede resultar difícil, para empezar, se les pue-de pedir que copien y completen en su cuaderno el queaparece en esta página.

Se realiza uno de los apartados en clase de forma dirigiday ellos elaboran los demás en casa.

Para completar el primer apartado, realizar los siguientespasos:

8


• Conviene proponer a los alumnos que dibujen y recortenun ángulo cualquiera y que, ayudándose del mismo (pues-to que pueden cambiarlo de posición), busquen entrevarios los que tienen los lados paralelos a él con la mis-ma medida.

• De igual forma, pueden encontrar el suplementario delados paralelos con solo ponerlo junto a él y comprobarque forman un ángulo llano.

5. Circunferencia y círculo 67. Esta actividad la podemos resolver conjuntamente en laclase. Para ello dividiremos a los alumnos en cinco gru-pos y nombraremos en cada grupo a un portavoz. Pedi-remos a cada grupo que trate de encontrar la ubicacióndel transformador, realizando una lluvia de ideas. En elgrupo deberán debatir hasta decidir cuál de las solu-ciones de cada uno de sus miembros es la adecuada.Una vez que cada grupo tenga su solución, los porta-voces deberán defenderla ante el resto de la clase.Cuando ya se hayan expuesto todas las posibles solu-ciones, se establecerá una votación para que los alum-nos decidan cuál es la idónea.

7. Mediatriz de un segmento• Utilizar el plegado como se muestra en la página para

que dibujen la mediatriz de un segmento.

• Es interesante que aprendan la propiedad de la mediatrizde que todos sus puntos están situados a la misma dis-tancia de los extremos del segmento. Por ello convieneque lo comprueben en cada ejercicio midiendo la distan-cia desde varios puntos de la misma a los extremos.

8. Bisectriz de un ángulo• La utilización del plegado para construir bisectrices tal y

como se muestra en la página es muy práctica, ya que sino doblan bien, el ángulo no queda dividido en dos iguales.

• Es importante que aprendan la propiedad de que los pun-tos de la bisectriz se encuentran a la misma distancia delos lados del ángulo (aunque para que lo hagan bien esnecesario explicarles que la distancia hay que medirlade forma perpendicular a la recta). Y por ello convieneque se les pida comprobarlo en algunos ejercicios.

• Es preciso volver a insistir en la diferencia entre la cir-cunferencia y el círculo, pues a estas alturas hay alum-nos que confunden ambos conceptos.

• Es tan importante el concepto de ángulo central comocalcular su medida, puesto que se utiliza después para elcálculo de ángulos inscritos y en los polígonos regulares.

• Pedir que, una vez calculado, comprueben con el trans-portador de ángulos que el resultado es correcto.

• Si alguna vez se les olvida cómo calcularlo, se puedenayudar del transportador para que, a partir de la solu-ción, deduzcan las operaciones que han de hacer parallegar a ella y las escriban. Pero este instrumento debeser utilizado sólo para este objetivo, y no como forma deresolver el ejercicio.


Básico 12

Medio 13


Básico 21 a 24, 44 y 45

Medio 64


Básico 28 a 30

Medio 31, 55 y 57



Medio 14 a 17, 51, 61 a 62 y 65

Alto 52, 53, 68 a 70, 72 y 73


Básico 25 y 26

Medio 27, 56 y 58

Alto 59, 66 y 67


6. Posiciones de una recta y una circunferencia

• Son conceptos sencillos, pero como las rectas secantesse cortan en un punto, a veces, cuando la recta es tangentea una circunferencia, la consideran secante.

• Conviene hacerles notar la diferencia antes de que come-tan el error, e indicarles que la palabra “secante” tieneque ver con el hecho de que se “corten”, y no con el detener un punto común.

• Podemos aprovechar la definición de recta tangente paraque vean cómo en el lenguaje habitual existen expresio-nes que hacen referencia a las matemáticas, tales como“salirse por la tangente”.

9


La última actividad permitirá establecer un debate en clasesobre los pros y los contras de las campañas publicitarias.

REBOTE × REBOTE = REBOTE2

Deberemos orientar a los alumnos para la realización de laactividad dándoles la pista de que lo primero que tienenque hacer es buscar el punto B’, simétrico de B. Una vezobtenido el punto B’ bastará trazar la recta que pasa por A’y B’ y así obtener los puntos de las bandas donde rebotarála bola.

Podemos realizar en la pizarra un dibujo explicando la tra-yectoria y marcando todas las rectas necesarias y pedir a losalumnos que localicen ángulos iguales, indicando el motivo.

A los alumnos más aventajados les podemos proponer quecalculen la trayectoria de A, pero chocando además con labanda de la derecha.

¿GIRA O NO GIRA?

Para seguir un razonamiento análogo en todas las cadenasde ruedas, podemos empezar suponiendo que la rueda verdegira en el sentido de las agujas del reloj y marcar el senti-do de giro de las demás ruedas en función de este primergiro. Completaríamos cada cadena hasta llegar a la ruedasituada a la izquierda de la verde y comprobaríamos si elsentido de giro que tiene permitiría mover la verde en el sen-tido de las agujas del reloj.

Para que los alumnos identifiquen correctamente los dife-rentes tamaños de ruedas, les indicaremos que previamenteidentifiquen cada uno de los tres tamaños relacionándoloscon su color.


EL LIBRO DE ESPEJOS

Al finalizar las actividades de consolidación indicaremos alos alumnos el material necesario que deben traer parapoder construir el libro de espejos.

Para realizar esta actividad dividiremos la clase en gruposde dos personas, de tal manera que cada grupo fabrique unlibro de espejos.

En la actividad 1 se describe paso a paso cómo construir unlibro de espejos, así que no tendrán problemas a la hora deconstruirlo.

En las actividades 2, 3, 4 y 5 deberán ir cerrando el ángu-lo del libro de espejos para ir formando el triángulo equi-látero, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y elheptágono regular.

Una vez completada la tabla deberán poder calcular elángulo central de cualquier polígono regular en funcióndel número de lados.


1. Buscar en la unidad los epígrafes correspondientesa los tipos de rectas que hay en el esquema.

2. Observar lo que no está anotado y que puede serimportante para resolver ejercicios.

3. Anotar debajo de cada tipo de recta lo que se les ocu-rrió en el paso anterior.

Es importante enseñarles a escribir las cosas utilizando,siempre que se pueda, el lenguaje matemático. Así obser-van cómo se pueden expresar las frases del lenguaje habi-tual de forma simplificada y lo aprenden poco a poco.

10


Unidad 11 Elementos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos aprendan los conceptos básicos de mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo,ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice. Tienen que manejar con soltura las unidades demedidas de ángulos y operar correctamente en el sistema sexagesimal. También deben establecer relaciones entreángulos en una circunferencia y estudiar posiciones relativas de rectas y circunferencias.

• Intentar que los nuevos nombres sean sencillos de recordar y asociar a los nuevos conceptos con pequeños trucos:media-triz (por la mitad), bi-sectriz (en dos), ins-crito (dibujado dentro)…

• Empezar por la construcción de cada elemento y, a partir del dibujo, mediante observación y preguntas orientadas,estudiar sus propiedades o las relaciones entre ellos.

• Habituar a los alumnos a representar gráficamente los ejercicios indicando los datos y lo desconocido.

• Comprobar siempre las soluciones obtenidas con el transportador de ángulos y la regla graduada.

• Utilizar materiales alternativos: plegado, recortables, programas de ordenador, páginas web…

1. a) y son agudos, con < y < = 90°. Una solu-ción es: = 20° y = 70°.

b) es agudo, y es el doble de . Una solución es: = 50° y = 100°.

c) = por ser opuestos por el vértice, y es obtuso.Una solución es: = = 140°.

d) es obtuso, y , agudo, y + = 180°. Una solu-ción es: = 100° y = 80°.

2. a) Un punto. b) Menor que 3 cm. c) Exterior.

3. 17° 22’ 15” + 2° 47’ 48” = 20° 10’ 3”

43° 12” − 21° 12’ = 21° 48’ 12”

23567” = 6° 32’ 47”

4. r no es perpendicular a AB, y t no pasa por el punto medio. La mediatriz es s.

5. = 45°; = 140°; = 25°

BAA

ABBABA

CBA

BA

ABBAB

BABABABA


Construye tus materiales

Propondremos a los alumnos la construcción de herramientas que les permitirán estudiar los conceptos de forma activa.

Para ello se dividirán en grupos de tres o cuatro personas y les repartiremos distintas actividades:

• Los componentes de un grupo dibujarán y recortarán ángulos de 18°, 72° y 162°; 40°, 50° y 140°… es decir, ánguloscomplementarios y suplementarios a los que pondrán su medida. Una vez recortados, tienen que colocarlos por pare-jas con un lado común y estudiar si forman un ángulo recto o un ángulo llano, indicando en cada caso si son comple-mentarios o suplementarios.

• Unos dibujarán circunferencias de distinto tamaño en una cartulina. Mientras, otros dibujarán ángulos de 10°, 20°,40° y 80°; 30°, 60° y 120°… con los lados suficientemente grandes para que se puedan inscribir en las circunferenciasy en los que escribirán su medida. Luego recortarán los ángulos dibujados. Deben colocar los ángulos sobre las cir-cunferencias de modo que uno sea central, y otro, inscrito, emparejando los que abarcan el mismo ángulo. De esta for-ma comprueban la relación doble-mitad que existe entre ellos.

• Otro grupo se ocupará de dibujar circunferencias de tamaños diferentes en una cartulina, indicando la medida de susradios, y de dibujar y recortar rectas. Los alumnos deben colocar las rectas respecto de las circunferencias en respuestaa preguntas del tipo: “Coloca la recta a 5 cm del centro de cada circunferencia e indica la posición que tiene respectoa ella”, que serán elaboradas por el profesor.

Una vez elaborados los materiales, cada grupo pasará a realizar las actividades preparadas por los demás. Siemprehabrán de anotar en su cuaderno los resultados obtenidos.

ACTIVIDAD DE GRUPO




11

1. Pon una medida a cada uno de los ángulos y , siguientes:

a) b) c) d)

2. Dibuja una circunferencia de 3 cm de radio y luego dibuja una recta tangente a ella, otra secante y otraexterior.

Observa el dibujo, utiliza la regla para medir si lo necesitas y responde a las siguientes preguntas marcando una Xen el recuadro que corresponda:

a) La recta que está a 3 cm de distancia del centro de la circunferencia toca a esta en:

Dos puntos Un punto Ningún punto

b) La recta secante está a una distancia del centro de la circunferencia:

Mayor que 3 cm Igual a 3 cm Menor que 3 cm

c) La recta que se encuentra a una distancia mayor que 3 cm del centro de la circunferencia es:

Tangente Exterior Secante

3. Relaciona con flechas cada operación con su resultado.

4. En los siguientes segmentos se han trazado distintas rectas. Explica en cuál de ellos se ha dibujado lamediatriz y en cuáles no.

5. En los siguientes dibujos se ha trazado la bisectriz de cada ángulo con línea discontinua, y debajo deellos están desordenadas las medidas en grados de los ángulos y . Une con una flecha cada ángu-lo con su medida correspondiente.

140° 25° 45°

25°

^C

70°^B

Â

r

E M FC DM

s

A M B

r

Â^

B

Â

^B

Â^

BÂ

^B

CBA

grados minutos segundos

17° 22’ 15” + 2° 47’ 48” 20° 32’ 12”

43° 12” − 21° 12’ 6° 48’ 3”

Pasa a compleja 23567” 21° 10’ 47”

BA


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 11 Elementos geométricosORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Nuestros alumnos ya dominan todos los conceptos básicos de la unidad, por eso hay que proponerles actividades queles permitan descubrir nuevas propiedades de estos elementos geométricos.

También podemos aprovechar para que observen la realidad con ojos matemáticos, buscando la geometría en los ele-mentos que les rodean.

Así, entre otras muchas posibilidades, podemos:

• Orientarles para que con las herramientas básicas vistas hasta el momento obtengan resultados más complejos einteresantes.

• Guiarles para que en los problemas comprendan la utilidad de los elementos estudiados y distingan claramente cadauno de los pasos necesarios para realizarlos.

• Incitarles a que busquen los elementos geométricos en su entorno inmediato: centro de estudios, vivienda, lugar deresidencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes.

1. Opuestos por el vértice: y 25°, que miden 25°, y y, que miden 155°.

Lados paralelos: y 115°, que miden 115°, y y 40°, quemiden 40°.

2. a) Son iguales.

b) Son paralelas si son ángulos iguales, y perpendicu-lares si son suplementarios.

3. No es posible porque solamente tiene sentido trazarmediatrices de segmentos.

4. a) 22° 53’ 48” b) 115° 13’ 15”

5. a) = 25° = 65° b) = 30°

6. = = = = 125°

= = = = = 55°

= = 35°

7. Las doce menos veinte, las seis y diez, las seis menosveinte, las dos, las dos y media, las ocho o las ocho ymedia.

8.

Son iguales

LI

KJGEC

HDFB

ABA

C

^A

^B

^C

E

HGA


A la caza del ángulo obtuso

En los edificios que nos rodean es muy fácil encontrar segmentos, rectas paralelas, secantes, perpendiculares… Algomás complicado es encontrar ángulos agudos, aunque lo que resulta más difícil, pero no imposible, es encontrar ángu-los obtusos; esa es la actividad que se propone.

En grupos de tres o cuatro personas deben localizar en su entorno situaciones que ilustren el concepto elegido (ángu-los obtusos, en este caso). Cuando ya tengan buscados unos cuantos (por ejemplo, 5), se analizarán en conjunto y se deci-dirá qué fotos son las que se van realizar y entregar posteriormente. Para esta actividad resulta conveniente recoger porescrito las ideas surgidas en la puesta en común de manera que toda la clase disponga de ellas. También resulta de granayuda, para la búsqueda de situaciones, entregarles una ficha en la que tengan que anotar:

– ¿Qué busco?

– Descripción gráfica de la situación elegida.

– Descripción con palabras.

– Posibles títulos de la futura foto.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. En la siguiente figura hay ángulos opuestos por el vértice y ángulos de lados paralelos. Indica cuálesson y cuánto miden.

2. Mediante un dibujo, estudia cómo son las bisectrices de:

a) Dos ángulos opuestos por el vértice. b) Dos ángulos de lados paralelos.

3. ¿Se puede trazar la mediatriz de la mediatriz de una recta? ¿Por qué?

4. Calcula la medida de los siguientes ángulos.

a) El complementario del suplementario de un ángulo de 112° 53’ 48”.

b) El suplementario del complementario de un ángulo de 25° 13’ 15”.

5. Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras.

a) b)

6. El ángulo mide 55°. ¿Cuánto miden los demás ángulos de la figura?

7. ¿Qué hora tendrá un reloj cuando el ángulo formado par las manecillas tenga los lados paralelos al for-mado cuando son las doce y diez?

8. Construye un ángulo de lados paralelos a y que sea suplementario de él, y otro de lados perpendicu-lares. ¿Qué relación tiene este último con ?

AB

CD

EF

GH

LK

JI

A

ÂÂ

2

60°Â

^B

65 °

115°40° 25°

Â

^C ^

H

Ê

^G

Â

AA



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Calcula el complementario y el suplementario de los ángulos y , siendo = 68° y = 85° 40’.

2. Las siguientes circunferencias se han dividido en partes iguales. Halla el valor del ángulo en cadacaso.

a) b)

3. Indica los ángulos que son opuestos por el vértice.

4. Observa los siguientes ángulos y responde a las preguntas:

a) ¿Cuáles tienen los lados paralelos?

b) ¿Cuánto miden?


a) 45° 56’ 57” + 123° 34’ 25” b) 100° 1” − 93° 15’ c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14 d) (129° 45’) : 18

6. Dibuja dos segmentos de 4 centímetros de longitud que formen un ángulo de 130° y traza después lasmediatrices de cada segmento y la bisectriz del ángulo que forman.

7. La mediatriz de un segmento ha dividido este en dos partes, una de las cuales mide 4,5 centímetros.¿Cuál es la longitud del segmento?

8. Una recta está situada a 5 centímetros de distancia del centro de una circunferencia de 10 centímetrosde diámetro. ¿Qué posición tienen la recta y la circunferencia?

145°^D

^C ^

F

Ê

^G

^B

H

Â

^C

^F

Ê

^G

^B

^D

Â

Â

A

BABA

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. Complementario de 68°: 90° − 68° = 22°

Suplementario de 68° = 180° − 68° = 112°

Complementario de 85° 40’: 90° − 85° 40’ = 4° 20’

Suplementario de 85° 40’: 180 − 85° 40’ = 94° 20’

2. a) La circunferencia se ha dividido en 10 partes: .

El ángulo central abarca cuatro partes: 36 ⋅ 4 = 144°.

Luego el ángulo mide 144°.

b) La circunferencia se ha dividido en ocho partes: .

El ángulo central correspondiente abarca tres partes: 45° ⋅ 3 = 135°.

Luego el ángulo inscrito mide = 67° 30’.

3. y , y .

4. a) Todos.

b) = = = = 35°

= = =145°

5. a) 45° 56’ 57” + 123° 34’ 25” = 169° 31’ 22”

b) 100° 1” − 93° 15’ = 6° 45’ 1”

c) (24° 13’ 55”) ⋅ 14 = 339° 14’ 50”

d) (129° 45’) : 18 = 7° 12’ 30”

6.

7. La longitud del segmento es la suma de las dos partes en las que ha quedado dividido:

4,5 + 4,5 = 9 cm

8. Como la distancia entre la recta y la circunferencia coincide con el radio, la recta es tangente a la circunferencia.

3608

45°

°=

A

36010

36°

°=

1352

°A

GDEA

GE B

FBD H

t

130°

sr

C

B

A 4 cm

M

N





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Figuras planas

CO N T E N I D O

2 Unidad 12 Figuras planas

En esta nueva unidad se van a afianzar y ampliar los conocimientos adquiridos en la etapa anterior con un estudio gene-ral de los polígonos y en particular del triángulo. Este se va a constituir en la figura plana más sencilla que permite sim-plificar el estudio de las demás, dado que cualquier polígono se puede descomponer en triángulos contiguos y conse-cutivos cuyos vértices coincidan con los del polígono.

Los alumnos deben comprender y aprender que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, puesto quees la base para el estudio de la suma de los ángulos interiores de cualquier otro polígono.

Es importante que utilicen con soltura los instrumentos de dibujo para poder realizar construcciones de polígonos regu-lares, ya sea conociendo el radio de la circunferencia circunscrita o el lado del polígono.

Asimismo deben manejar los criterios de igualdad de triángulos para identificar de forma rápida si dos triángulos soniguales o para construir un triángulo igual a otro.

Y por último, estudiarán las rectas notables del triángulo: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas, y sus puntos decorte, y utilizarán sus propiedades para construir circunferencias inscritas y circunscritas.

Unidad 12 Figuras planas


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Identificar las figuras planas que sepresentan en la realidad analizandosus características.

1.1 Reconocer, dibujar y describir las figu-ras planas en ejercicios y en su entornoinmediato distinguiendo sus elementoscaracterísticos.

1.2 Clasificar polígonos.

1.3 Utilizar la suma de los ángulos interio-res de un triángulo para obtener la sumade los ángulos interiores de un polígonocualquiera.

1.4 Identificar ejes de simetría en figuras planas.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con elmundo físico


• Tratamiento de lainformación ycompetencia digital

• Autonomía e iniciativapersonal

2. Reconocer el triángulo como el polí-gono más sencillo a partir del cual sepueden obtener relaciones geomé-tricas en las demás figuras planas.

2.1 Identificar y construir triángulos igua-les, usando los criterios de igualdad deforma adecuada.

3. Distinguir las rectas y puntos nota-bles de un triángulo, y usar sus pro-piedades para resolver problemasgeométricos.

3.1 Trazar y obtener las rectas y los puntosnotables de un triángulo cualquiera y uti-lizarlos para resolver problemas geo-métricos sencillos.

• Polígonos y polígonos regulares: descripción de sus ele-mentos y clasificación

• Suma de los ángulos interiores de un triángulo• Suma de los ángulos interiores de un polígono• Clasificación de triángulos y cuadriláteros según sus

ángulos y según sus lados• Criterios de igualdad de triángulos• Utilización diestra de instrumentos de dibujo habituales

• Construcción de polígonos regulares conociendo el radiode la circunferencia circunscrita y el lado del polígono.

• Trazado de las rectas notables de un triángulo: media-trices, bisectrices, alturas y medianas

• Obtención de los puntos notables de un triángulo: cir-cuncentro, incentro, ortocentro y baricentro

• Propiedades de los puntos notables de un triángulo• Ejes de simetría de una figura plana

CONTENIDOS

3Figuras planas Unidad 12



1. Conocimientos previosEn esta unidad se repasan conceptos ya trabajados en cursos anteriores. Para afianzarlos y asimilar los nuevos es pre-ciso que los alumnos dominen la terminología utilizada en geometría, distingan los diversos tipos de ángulos y estén fami-liarizados con los instrumentos de dibujo.

2. Previsión de dificultadesLas mayores dificultades se pueden encontrar en que los alumnos sean capaces de representar mentalmente una situa-ción geométrica planteada y de traducirla, por sí solos, a la representación sobre el papel por medio del dibujo. Para resol-ver estas dificultades es importante aprovechar los dibujos que aparecen a lo largo de toda la unidad, para apoyar lasexplicaciones.

3. Vinculación con otras áreasLos contenidos de esta unidad, al igual que los del resto de las unidades de geometría, están íntimamente relacionadoscon el estudio de las figuras planas, que se realiza en Educación Plástica y Visual.

4. Esquema general de la unidadEn esta nueva unidad de geometría plana se van a afianzar los conocimientos adquiridos en la etapa anterior y se van aampliar con un estudio general de los polígonos y en particular del triángulo.

Se empieza recordando qué son los polígonos y cuálesson los elementos de los polígonos regulares, y se cal-cula la suma de los ángulos interiores de un triánguloy de un polígono en general.

En el epígrafe 2 se hace una clasificación de los trián-gulos y los cuadriláteros.

A continuación se describen dos métodos para la cons-trucción de polígonos regulares: conociendo el radiode la circunferencia circunscrita y conociendo el lado.

Después se establece la relación de igualdad entre trián-gulos, simplificando su estudio con la utilización de lostres criterios de igualdad.

Se completa el estudio del triángulo con la definición yel trazado de sus rectas notables: mediatrices, bisec-trices, alturas y medianas, y con la obtención de lospuntos notables y el estudio de sus propiedades.

Para finalizar la unidad, se define el eje de simetría deuna figura plana.


1.ª Introducción. Polígonos. Triángulos y cuadriláteros

2.ª Construcción de polígonos regulares

3.ª Criterios de igualdad de triángulos

4.ª Mediatrices y bisectrices de triángulos. Circuncentro e incentro

5.ª Alturas y medianas de triángulos. Ortocentro y baricentro

6.ª Simetrías de figuras planas

7.ª Actividades de repaso y consolidación

8.ª Pon a prueba tus competencias



Clasificación

Ejes de simetría de figuras planas

Triángulos

Igualdad detriángulos

Elementos notables

FIGURAS PLANAS

Polígonos

Suma deángulos

Construcción de polígonos

regulares

Clasificación

Cuadriláteros

4




Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma.

Además, en esta unidad se repasa e introduce la terminología para describir con precisión polígonos, triángulos, cua-driláteros y elementos notables del triángulo, que servirá a los alumnos para detallar la presencia de la geometría pla-na en la vida cotidiana.

En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias reflexión sobre el lenguaje ycomunicación escrita.


Competencia para la interacción con el mundo físicoAl tratar esta unidad sobre las figuras planas elementales y sus propiedades métricas, aparecen varias referencias a situa-ciones y problemas de la vida diaria. En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompeten-cia conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artísticaLa geometría está presente en numerosas manifestaciones artísticas de diferentes culturas. En esta unidad en particu-lar se describe brevemente el arte de los mosaicos, tan presente en la cultura árabe, lo que va a permitir desarrollar lasubcompetencia sensibilidad artística.

La construcción de diversos elementos geométricos permitirá el desarrollo de algunos de los indicadores de la sub-competencia expresión artística.


Competencia para aprender a aprenderLas actividades en grupo y las que implican debate permiten trabajar la subcompetencia liderazgo.


Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críti-co del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio refle-xivo y crítico.


5



Figuras planas Unidad 12





Lingüística


Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizarla información contenida en un texto paracontribuir al desarrollo del pensamientocrítico.

– Extrae información matemática deun texto y aplicarlo a la resoluciónde problemas.Desarrolla tus competencias

Reflexión sobre ellenguaje.

Tomar el lenguaje como objeto deobservación y análisis para conocer sufuncionamiento y sus normas de uso.

– Identifica la utilización de prefijos enla terminología matemática.Epígrafes 1 y 2

Matemática

Resolución de problemas.Utilizar las matemáticas para el estudio ycomprensión de situaciones cotidianas.

– Aplica propiedades métricas a laresolución de problemas.

– Identifica formas geométricas.En toda la unidad


Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos (distintos tipos denúmeros, medidas, símbolos, elementosgeométricos, etc.) en situaciones reales osimuladas de la vida cotidiana.Conocer y aplicar herramientas matemáticaspara interpretar y producir distintos tipos deinformación (numérica, gráfica…).

– Reconoce triángulos iguales.– Identifica los elementos notables de

un triángulo.– Clasifica polígonos.– Identifica ejes de simetría en figuras

planas.En toda la unidad


Conocimiento y valoracióndel desarrollo científico-tecnológico.

Aplicar soluciones técnicas a problemascientífico-tecnológicos basadas en criteriosde respeto, de economía y eficacia, parasatisfacer las necesidades de la vidacotidiana y el mundo laboral.

– Aplica las propiedades métricasde los triángulos para optimizarsituaciones relacionadas con ladistancia.Actividades 16 y 72

Cultural y artística

Sensibilidad artística.

Adquirir sensibilidad y sentido estético paracomprender, apreciar, emocionarse ydisfrutar con el arte y otras manifestacionesculturales.

– Aprecia y comprende el arte de losmosaicos.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar

Expresión artística.

Poner en funcionamiento la iniciativa, laimaginación y la creatividad para expresarde forma personal ideas, experiencias osentimientos mediante códigos artísticos.Realizar representaciones artísticas deforma individual y cooperativa.

– Decora habitaciones.– Construye polígonos regulares.

Actividades 9, 10, 52, 53 y 54Pon a prueba tus competencias:Dibuja y resuelve


competencia digital

Obtención, transformacióny comunicación de lainformación.


– Busca en diferentes páginas deinternet para complementar lainformación.En la redPon a prueba tus competencias:Experimenta y reflexiona, aprende apensar

– Visita la página librosvivos.netActividades 4, 8 y 36, organiza tusideas, autoevaluación


Liderazgo.Desarrollar las habilidades para el diálogo yla cooperación, resolver conflictos y llegar aacuerdos a través de la negociación.

– Realiza de forma consensuada eldiseño más óptimo.Pon a prueba tus competencias:Dibuja y resuelve

6



SM



– Unidad 5. Polígonos y círculos.




• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”.


– Unidad II: Polígonos.


– Los mil y un centros del triángulo.

Otros• ALSINA, C., y FORTUNY, J. M.ª: Miralandia. Un viaje a través de los espejos. Granada, Proyecto

Sur, 1992.

• CASADO, M.ª J.: Geometría dinámica con papel. Granada, Proyecto Sur, 1997.


www.librosvivos.net

Otros

Página del proyecto Descartes sobre la geometría del triángulo:


Página de los docentes de Navarra donde pueden encontrarse construcciones con Geo-Gebra de los elementos notables del triángulo:


• Instrumentos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás.

• El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones geométricas.Otr

os

mat

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Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

osEDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación vial: actividad 71.

• Educación intercultural: Pon a prueba tus competencias.








7


Entrada


Podemos aprovechar la foto de la entrada para averiguarla visión espacial que tienen nuestros alumnos, pidiéndo-les que identifiquen en el plano puntos que les marcaremosen el edificio.

Con la representación en el plano de objetos de tres dimen-siones potenciaremos la competencia de interacción conel mundo físico, ya que los alumnos apreciarán lo útilesque son las figuras planas y sus propiedades métricas pararepresentar situaciones del mundo que nos rodea.

Para que se familiaricen con los planos de viviendas yaamuebladas, podríamos indicarles que pueden encontrargran variedad de ellos en los portales inmobiliarios. A menu-do, los anuncios de venta y alquiler de pisos, además dedescribir las características del inmueble, suelen veniracompañados del plano de la vivienda y de fotos de las dife-rentes habitaciones. Si el piso en concreto es de nuevaconstrucción, estos planos vienen ya con los dibujos esque-máticos de los muebles. Sería interesante llevar uno deestos planos al aula y pedir a los alumnos que identifiquenlas figuras planas que aparecen en él, asociándolas conlos muebles que representan.

1. Puntos y rectas• Los alumnos ya conocen las clasificaciones de los polí-

gonos, pero suelen estar acostumbrados a trabajar conpolígonos regulares. Por eso es importante mostrarlesotros tipos de polígonos y propiciar que trabajen con ellos.

• Aunque conocen que los ángulos de un triángulo suman180°, es necesario recordárselo. Para que lo comprendanresulta muy útil que dibujen en una cartulina un trián-gulo cualquiera, pinten los 3 ángulos interiores de dis-tintos colores y recorten el triángulo en tres trozos deforma que en cada uno de ellos quede el vértice de unode los ángulos. Posteriormente se juntan los ángulos for-mando ángulos consecutivos y se obtiene que entre lostres sumen un ángulo llano.

• Una vez trabajada la suma de los ángulos interiores de untriángulo, es necesario pararse para conseguir que com-prendan también (y no solo memoricen la fórmula) cómoobtener la suma de los ángulos interiores de cualquierpolígono. Para ello se puede proponer como actividadque descompongan en triángulos un cuadrilátero, un pen-tágono, un hexágono… Junto a cada figura deben escri-bir el número de triángulos que contiene y la suma delos ángulos de todos ellos. De esta forma se puede llegara generalizar la fórmula para un polígono de n lados.

• Es conveniente insistir en los elementos de los polígo-nos regulares, sobre todo en la apotema, porque apare-ce en el cálculo de áreas y en la obtención de la medidadel lado de polígonos regulares.

2. Triángulos y cuadriláteros• Es un epígrafe de repaso, y todos los conceptos que aparecen

en el mismo ya los han visto los alumnos en cursos ante-riores, pero conviene mostrarles que pueden combinarselas clasificaciones, usando ejemplos muy claros: triánguloisósceles rectángulo, trapecio rectángulo, trapecio isósceles…

• Para reforzar las ideas conviene que los alumnos des-criban las características que los triángulos (cuadriláte-ros) tienen en común y las que tienen diferentes.

• También es importante que se den cuenta de que unafigura continúa siendo la misma aunque se cambie deposición (giros, traslaciones, simetrías…); así, si giramosun cuadrado 45°, sigue siendo un cuadrado, y no un rom-bo como a menudo piensan la mayoría de los alumnos.

• Otro aspecto importante es considerar que el cuadradoes un caso especial de los rectángulos, ya que cualquiercuadrado cumple todas las propiedades de los rectángulosy además se le añade una: que sus lados sean iguales.

3. Construcción de polígonos regulares• Los métodos de construcción que aparecen en el epígra-

fe solo son exactos para el hexágono regular, pero danbuenas aproximaciones para otros polígonos regulares. EnEducación Plástica y Visual los alumnos ven los métodosde construcción de polígonos que sí son exactos.

• Una vez conocidos los polígonos regulares y sus carac-terísticas, resulta interesante para los alumnos el poderconstruir ellos mismos dichos polígonos.

• Hay que resaltar la importancia en el manejo del compásen la construcción de la mediatriz, así como trasladaruna misma medida con el compás.

Tras haber visto todos los conceptos que aparecen en estosdos epígrafes, podremos hacer una reflexión con los alum-nos sobre el significado de los prefijos de algunas de estaspalabras, tales como:

– Poli-: muchos.– Equi-: igual en latín.– Iso-: igual en griego.– Los diferentes prefijos numéricos para nombrar un

polígono según el número de lados.

Podemos pedir a los alumnos que realicen un trabajo deinvestigación buscando el significado etimológico de equi-látero (lados iguales), isósceles (piernas iguales), polígono(muchos ángulos), cateto (lado perpendicular)…

I. En esta actividad debemos hacer notar a los alumnosque la vivienda ha de tener al menos un baño y una coci-na, aunque esta pueda ser americana.

II y III. Estas actividades no les costarán mucho si previa-mente han realizado la búsqueda de planos de viviendasen los portales inmobiliarios.



Básico 1, 2 y 40

Medio 3, 6 y 48

Alto 74


Básico 5 y 41 a 44

Medio 6, 7 y 45 a 47

Alto 49 a 51, 62, 75 y 77

8




Básico 9 y 52 a 54

Medio 10 y 67

4. Criterios de igualdad de triángulos• Intentar que los alumnos deduzcan por sí mismos los

criterios proponiéndoles la construcción de un triánguloconocidos sus lados. Una vez hecho, pedirles que midanlos ángulos, y así comprobarán que todos los triángulosobtenidos son iguales.

• De la misma forma, se les pedirá que construyan un trián-gulo conociendo dos lados y el ángulo que forman. Des-pués medirán el tercer lado y los otros dos ángulos, ycomprobarán que son iguales.

• Como en los otros criterios, se pedirá a los alumnos quedibujen un triángulo conociendo un lado y los ánguloscontiguos. Luego medirán los otros dos lados y el ángu-lo que forman, y comprobarán que son iguales.

5. Mediatrices de un triángulo• En la unidad anterior se estudió el concepto de media-

triz y su trazado. Por tanto, es suficiente recordar sudefinición y la propiedad de que todos sus puntos estána la misma distancia de los extremos del segmento. Demodo que ellos solos pueden trazar las tres mediatri-ces de los lados del triángulo y observar que se cortanen un punto.

• Intentar, mediante preguntas, que deduzcan que el cir-cuncentro se encuentra a la misma distancia de los tresvértices del triángulo, y pedirles que adivinen la figuraque se podría trazar teniendo en cuenta esa propiedad.

6. Bisectrices de un triángulo• Como ya conocen el concepto y el trazado de la bisectriz

de un ángulo, se puede comenzar pidiéndoles que dibu-jen las bisectrices de los tres ángulos del triángulo. Asícomprobarán por sí mismos que se cortan en un punto.

• Recordando la propiedad de la bisectriz de que todos suspuntos están a la misma distancia de los lados del ángu-lo, podemos hacer preguntas que les lleven a la conclu-sión de que el incentro está a la misma distancia de lostres lados del triángulo y que es posible dibujar una cir-cunferencia con centro en él y radio la distancia a un ladocualquiera del triángulo.

7. Alturas de un triángulo• Hay que definir la altura porque es un nuevo concepto.

Después se les puede pedir que tracen las alturas detriángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos dedistintos tamaños y en posiciones diferentes.

• La dificultad al dibujar las alturas es que los alumnostienden a pensar que deben ir al centro de cada lado (porsimilitud a las mediatrices). Para que ganen confianzaen su trazado, conviene empezar por los triángulos acu-tángulos, continuar con los rectángulos y finalizar conlos obtusángulos.

• Además hay que ayudarles a construirlas cuando se tra-ta de estos últimos, puesto que alguna de las alturas noqueda dentro del triángulo.

• Desde el primer ejercicio comprobarán por sí mismosque, como en los demás casos, las alturas se cortan enun punto, el ortocentro, aunque este no cumple ningunapropiedad.

72. Al igual que hicimos con la actividad resuelta 16, convienehacer ver a los alumnos cómo las propiedades métricasde los triángulos permiten solucionar problemas delmundo cotidiano. Es importante indicarles que en estecaso se trata de buscar el punto donde el radio de accióndel caballo no traspase las lindes del campo.

16. Conviene detenerse en esta actividad resuelta para quelos alumnos vean la utilidad de las propiedades métri-cas de los triángulos, para solucionar problemas talescomo el abastecimiento de agua, o para que el sumi-nistro de electricidad sea lo más óptimo posible.


Básico 12, 65 y 66

Medio 13, 14, 55 y 56

Alto 15 y 57



Medio 76


Medio 22 a 25 y 60

Alto 72


Medio 27 a 31

8. Medianas de un triángulo• También es nuevo el concepto y trazado de las media-

nas. Pero una vez definido, no presenta ninguna dificul-tad, y ellos solos pueden dibujar las tres medianas de untriángulo cualquiera, comprobando una vez más que secortan en un punto.

• Se les puede hacer notar con las distintas actividadesque el baricentro siempre queda dentro del triángulo.

• Una vez estudiadas las rectas notables de un triángulo,y comprobando que se cortan siempre en un punto, les

• Recordar que para dividir un segmento en partes igualeshay que utilizar el método de Tales. Para ello es impor-tante que los alumnos trabajen con escuadra y cartabónpara trazar paralelas.

9, 10, 52 a 54. Aún teniendo en cuenta que los métodos deconstrucción propuestos son aproximados excepto para elcaso del hexágono regular, estos ejercicios son muy inte-resantes porque fomentan la disciplina en el método detrabajo y estimulan la creación propia en el alumnado.

9



indicaremos que para localizar cada uno de los puntosnotables del triángulo bastará con trazar dos de las rec-tas notables asociadas, ya que la tercera obligatoriamentepasará por el punto de corte de las dos primeras.

• Como contenido de ampliación. se puede pedir a aquellosalumnos aventajados que dibujen las rectas notables enun triángulo equilátero y vean qué sucede. También seles puede pedir que hagan un estudio particular de las rec-tas y puntos notables cuando el triángulo es rectángulo.



Básico 58

Medio 33 a 34, 59, 61 y 70

Alto 73

9. Simetrías en las figuras planas• Intentar que los alumnos puedan ver en los objetos coti-

dianos los ejes de simetría que los dividen en dos partesiguales.

• Proponer figuras más complejas en las que aparezcanvarios ejes de simetría. Estas figuras suelen aparecer enlogotipos de algunas marcas.

• Para que los alumnos reconozcan con facilidad los ejesde simetría de las figuras elementales, lo más adecua-do es que recorten rectángulos, cuadrados, rombos… y quelos vayan doblando por sus ejes de simetría para quevean que se obtienen figuras iguales.

Organiza tus ideasEs conveniente acostumbrar a los alumnos a elaborar suspropios esquemas de la unidad. Como no resulta fácil, sepueden dar unas orientaciones a seguir:1. Anotar los epígrafes de la unidad.2. Dividirlos en dos grupos: polígonos y triángulos.3. Seleccionar en los epígrafes de polígonos lo más impor-

tante y escribirlo en forma abreviada ayudándose de undibujo si lo consideran necesario.

4. Hacer lo mismo con los epígrafes referidos a los trián-gulos.

5. Presentar todo lo anterior en una sola hoja.Una vez realizados, es importante revisarlos uno a uno,indicando las mejoras que se pueden hacer, bien porquehaya que añadir algún detalle olvidado o bien porque hayanseleccionado conceptos que no son tan importantes.


Pon a prueba tus competenciasDIBUJA Y RESUELVE: AMUEBLANDO LA BUHARDILLA

Esta actividad está relacionada con las actividades de laentrada de la unidad.

Podemos dividir la clase en grupos de tres o cuatro alum-nos y pedir a cada uno de ellos que realicen un diseño conla colocación de las estanterías sobre la pared. Con la rea-lización de estos diseños estaremos fomentando la com-petencia artística, ya que los alumnos tendrán que pensarque además de obtener un diseño óptimo, máxima capaci-dad y mínimo coste, debe ser estético.

Una vez que tengan el diseño elaborado les pediremos quelo plasmen en una cartulina, aplicando una escala de 1 : 10.En la misma cartulina deberán elaborar el presupuesto del diseño.

Un representante de cada grupo explicará el diseño sobre lacartulina y marcará el presupuesto. El resto de los alumnostendrá que averiguar si el diseño elaborado es posible o no,es decir, si se respetan las dimensiones. Aquellos diseños queno cumplan con las dimensiones de la buhardilla serán des-cartados. Los componentes del grupo cuyo diseño haya sidodescartado deberán aceptarlo deportivamente.

EXPERIMENTA Y REFLEXIONA: CONSTRUIMOS UN MÓVIL

Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos quetraigan cartulinas de diferentes colores, y a la hora de rea-lizar los móviles cortaremos los hilos a diferentes alturas.

Para construir el móvil con todos los triángulos y rectán-gulos, utilizaremos dos listones de madera que uniremoscon cuerda formando una cruz, e iremos atando los móvi-les en los brazos de la cruz.

APRENDE A PENSAR: CUBRIENDO EL SUELDO

Al introducir esta actividad hablaremos a los alumnos de lacultura musulmana y les haremos ver, que además de lega-do matemático, también nos han dejado un legado artísti-co de incalculable valor.

Dividiremos la clase en grupos de cuatro y repartiremos acada grupo plantillas con triángulos equiláteros, cuadrados,hexágonos y octógonos regulares, todos ellos con el lado deigual longitud, para poder formar los mosaicos.

Podemos llevar al aula una cámara fotográfica e ir fotografiandolos diferentes mosaicos que vayan construyendo los alumnos,para luego montar un collage con todas las imágenes.

Una vez que hayamos realizado el collage con los diferen-tes mosaicos, visionaremos en el aula las construccionessobre la formación del hueso nazarí, la pajarita y el péta-lo, aprovechando para ver también diferentes mosaicos quepueden encontrarse en la Alhambra.

Para finalizar, realizaremos un pequeño debate en clasesobre el enriquecimiento de las diferentes culturas.


Básico 37 y 63

Medio 38, 39, 64 y 71

10


Unidad 12 Figuras planasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos reconozcan los distintos tipos de polígonos y sus elementos, así como que distingan, cla-sifiquen y dibujen los distintos tipos de triángulos y cuadriláteros. También deben conocer los criterios de igualdad detriángulos y aplicarlos en la construcción de los mismos. Y trazar y reconocer las rectas y puntos notables del triángulo.

• Realizar los ejercicios usando siempre los instrumentos de medida y el compás, y después comprobar las soluciones.

• Dibujar sobre un mismo triángulo y sobre un mismo lado las rectas notables para describir las diferencias entreellas y lo que tienen en común.

• Emplear materiales alternativos para estudiar propiedades de las figuras planas: transparencias, figuras recortadas,libros de espejos…

• Utilizar herramientas informáticas (que tanto motivan a los alumnos) para realizar construcciones geométricas yvisualizar los contenidos estudiados. Cabe destacar los programas CABRI Géomètre II y GeoGebra.

Busca simetrías

Formaremos grupos de un máximo de cuatro alumnos. Cadagrupo deberá fabricar un tablero como el que se propone acontinuación.

Reglas del juego

• Cada grupo necesitará un dado, un libro de espejos y unaficha de distinto color para cada jugador.

• Se sitúan todas las fichas en la primera casilla. Comenzaráel jugador que obtenga mayor puntuación al lanzar el dado.

• En cada turno se avanza la ficha tantas casillas como indicala puntuación obtenida en el lanzamiento del dado.

• Cuando un jugador caiga en una casilla en la que haya dibu-jada una figura, deberá localizar, con ayuda del libro de espe-jos, los ejes de simetría que tiene la figura y avanzar tantascasillas como ejes encuentre en ella.

• Gana la partida el primer jugador que llega a la meta.1

ACTIVIDAD DE GRUPO




M E T A

1.

2. a) A es un cuadrado, y B, un pentágono irregular cóncavo.

b) En A han resultado dos triángulos isósceles, y en B,un rectángulo y otro pentágono irregular cóncavo.

3. a con III b con I c con II

4. a) c)

b) d) e

e

e

e

B I S E C T R I Z

A A

R N

I A I

C I N S C R I T A

E D

N E

T M A R U T L A

R

O R T O C E N T R O


11

1. Busca en la siguiente sopa de letras los nombres de los elementos relacionados con las rectas y puntosnotables de un triángulo que aparecen en los dibujos.

2. Observa las señales siguientes: A es una señal de peligro de mercancías, y B es una bandera marítima.

a) Clasifica los polígonos que las forman.

b) Las zonas sombreadas han formado dos nuevos polígonos en cada una de ellas. Clasifícalos.

3. Une con flechas los triángulos de la primera fila con los de la segunda que sean iguales.

a) b) c)

I) II) III)

4. Completa las siguientes figuras en las que aparecen sus ejes de simetría.

a) b) c) d)

B I S E C T R I Z X

A A V D E R O I M E

R N R A N O S A I N

I A I I J M U O M T

C I N S C R I T A G

E D T O N E H U C S

N E P J G U N O A T

T M Y N A R U T L A

R M U O A T S L R P

O R T O C E N T R O

a

b

c

d

A

RADIOACTIVIDAD

37°80°3 cm

5 cm10 cm

83°

42°9 cm

5 cm7 cm

55° 42°9 cm 7 cm

5 cm

63°3 cm5 cm

e

e

e

e


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 12 Figuras planasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los alumnos manejan los conceptos y elementos de los polígonos. Por tanto, deben ser capaces de manejar con sol-tura los criterios de igualdad de triángulos para estudiar si dos triángulos son iguales y utilizar las propiedades de lasrectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.

• Utilizar los elementos de los polígonos para intentar buscar otras características comunes a ellos.

• Siempre que sea posible, trabajar con el entorno para plantear y resolver ejercicios en los que intervengan los con-ceptos de la unidad.

• Hacer un dibujo aproximado con los datos del problema y lo que se pretende calcular.

• Aplicar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos.

1. a) 40° b) 20°

2. Los dos tienen las diagonales perpendiculares.

3. Hay seis trapecios rectángulos y dos isósceles.

4. Como es regular, cada ángulo agudo mide 60°, y cada ángulo obtuso, 240°.

5. T1 y T2 son iguales por tener iguales los lados y el ángulo comprendido entre ellos.

6. Al dibujar los segmentos que unen los puntos dos a dos, se obtiene un triángulo. La circunferencia circunscrita pasapor los tres puntos, A, B y C.

7. a) En el circuncentro, que es el punto que está a la misma distancia de los tres.

b) El pozo estará a unos 250 m de cada casa.


La recta de Euler

Es un trabajo de investigación que debe ser orientado para que construyan la recta de Euler, estudien sus propiedadesy traten de resolver alguna otra cuestión relacionada con todos los puntos notables.

1. Dibujar un triángulo escaleno cualquiera y señalar en él todos los puntos notables del triángulo. Conviene que las medi-das que se pongan no coincidan para que más tarde comprueben que el ortocentro, O; el baricentro, B, y el circun-centro, C, siempre están alineados.

2. Trazar la recta que pasa por el circuncentro y el baricentro. ¿Pasa por algún otro punto notable?

3. Medir la distancia desde el baricentro a cada uno de los otros dos puntos y calcular la razón .

4. Exponer las soluciones que han obtenido y observar que todas son iguales.

5. Dar el nombre de la recta o proponerles que investiguen el nombre dándoles las pistas oportunas para que encuen-tren al matemático descubridor de la misma.

Se puede ampliar pidiéndoles que investiguen en qué tipo de triángulo el incentro es un punto de la recta de Euler.

BOBC

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Determina el valor de x en los siguientes polígonos.

a) b)

2. Observa estos dos cuadriláteros y di qué tienen en común.

3. ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura y de qué tipo son?

4. En el polígono de la figura, todos los lados son iguales. Calcula cuánto mide cada uno de sus ángulos.

5. En un pentágono se han dibujado dos de sus diagonales, d y D, como se ve en la figura. Demuestra queson iguales.

6. Explica cómo se puede trazar una circunferencia que pase por los puntos A, B y C.

7. Los vecinos quieren excavar un pozo de tal forma que todos recorran la misma distancia para ir a por agua.

a) ¿En qué punto deben situarlo?

b) ¿A qué distancia del pozo se encuentra cada una de sus casas?

A

BC

300 m500 m

400 m

AB

C

DdT1 T5

6x160°150°

20°2xx

140° 100°



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Dibuja las siguientes figuras planas.

a) Un paralelogramo regular.

b) Un triángulo rectángulo isósceles.

c) Un hexágono cóncavo.

2. Calcula la suma de los ángulos interiores de las figuras planas.

a) b) c)

3. Utiliza los criterios de igualdad adecuados para estudiar si son iguales los triángulos.

a) b)

4. ¿Qué nombre reciben las rectas r, s y t que están dibujadas en el triángulo?

5. Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo ABC.

6. Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 2 centímetros de radio.

7. Indica qué figuras son simétricas y dibuja sus ejes de simetría.

a) b) c) d)

40°

70°

15 cm 15 cm

9 cm9 cm

70°

55° 35°13 cm

1,3 dm 35°

A B

C

rt

s

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) b) c)

2. a) 180° ⋅ (9 − 2) = 1260°

b) 180° ⋅ (4 − 2) = 360°

c) 180° ⋅ (7 − 2) = 900°

3. a) El lado conocido mide lo mismo, y los ángulos adyacentes son iguales. Por tanto, son iguales.

b) El segundo triángulo es isósceles, y los ángulos son iguales, pero los lados que forman el ángulo de 40° no midenlo mismo. Entonces son distintos.

4. r es una altura; s, una mediana, y t, una bisectriz.

5. Hay que dibujar la circunferencia circunscrita.

6.

7. Son simétricas la a y la b.

a) b)

2 cm

A B

C





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Longitudes y áreas

CO N T E N I D O

2 Unidad 13 Longitudes y áreas

Para finalizar con la geometría plana y una vez conocidos todos los elementos y figuras del plano, se estudian los con-ceptos de longitud y superficie, y se aprenden métodos y fórmulas para calcularlos.

Es muy importante identificar los conceptos de perímetro y área con la medida del borde y del interior de la figura, res-pectivamente, y usar de forma adecuada sus unidades de medida.

Se debe conseguir que los alumnos utilicen correctamente el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa o algúncateto de cualquier triángulo rectángulo, y reconocer situaciones que requieran de su uso para calcular distancias, asícomo resolverlas. Por ello es importante que dominen los contenidos referidos a la resolución de ecuaciones

También es importante establecer la utilidad de las fórmulas para calcular el área de las figuras planas sencillas, pues-to que agilizan dicho cálculo y permiten hallar el área de otras figuras más complejas que se obtienen mediante com-posición o descomposición de aquellas.

Unidad 13 Longitudes y áreas


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Emplear el teorema de Pitágoras ylas fórmulas adecuadas para obte-ner distancias, perímetros o áreas defiguras planas.

1.1 Calcular de la forma más sencilla y rápi-da el perímetro de las figuras planas.

1.2 Estimar y calcular medidas indirectasutilizando el teorema de Pitágoras.

1.3 Reconocer triángulos rectángulos uti-lizando el teorema de Pitágoras.

1.4 Utilizar las fórmulas y procedimientosadecuados para el cálculo directo delárea de las figuras planas más ele-mentales.

1.5 Reconocer, dibujar y describir las figu-ras planas como resultado de la com-posición de otras más sencillas.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con elmundo físico



• Tratamiento de lainformación ycompetencia digital


2. Resolver problemas geométricosrelacionados con la vida cotidiana enlos que intervengan longitudes, perí-metros y áreas, utilizando los proce-dimientos y estrategias adecuados.

2.1 Aplicar las fórmulas del cálculo de dis-tancias, perímetros y áreas de figurasplanas elementales para resolver pro-blemas relacionados con el entorno.

• Perímetro y área de una figura plana• Teorema de Pitágoras• Cálculo de medidas indirectas• Identificación de triángulos rectángulos• Área del rectángulo y del cuadrado• Área del paralelogramo y del triángulo• Área del trapecio• Área de polígonos regulares• Triangulación de un polígono

• Área de un polígono irregular• Longitud de una circunferencia• Longitud de un arco de circunferencia• Área del círculo• Área de una corona circular• Área de un sector circular• Cálculo de áreas por composición• Cálculo de áreas por descomposición

CONTENIDOS

3Longitudes y áreas Unidad 13



1. Conocimientos previosPara el correcto cálculo de longitudes y áreas de figuras planas es necesario que los alumnos dominen las unidades delongitud y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades.

El cálculo de medidas indirectas a través del teorema de Pitágoras implica que los alumnos recuerden la resolución de ecua-ciones y el cálculo de raíces cuadradas.

2. Previsión de dificultadesLa principal dificultad la vamos a encontrar en la comprensión y aplicación del teorema de Pitágoras. De entrada, a losalumnos les cuesta distinguir los catetos de la hipotenusa en un triángulo rectángulo, así como asimilar que el teore-ma relaciona una variable de longitud (los lados del triángulo rectángulo) con una variable de superficie (la superficiede los cuadrados que tienen por lado los lados del triángulo rectángulo en cuestión).

3. Vinculación con otras áreasComo en todas las unidades de geometría, los contenidos de esta unidad están íntimamente relacionados con los de Edu-cación Plástica y Visual. También encontraremos relación con las ciencias sociales, al ser Pitágoras uno de los mate-máticos más destacados de la cultura griega.

4. Esquema general de la unidadEl estudio de la geometría plana se completa en este nivel con el cálculo del perímetro de los polígonos, la longitud dela circunferencia y el área de todas las figuras planas.

Comienza la unidad con el significado y definición de perímetro de un polígono y las unidades de medida con que seexpresa. Y continúa con el cálculo de longitudes, introduciendo el teorema de Pitágoras como un método para obtenermedidas indirectas. En concreto, se aplica al cálculo de la distancia entre dos puntos que junto con otro forman un trián-gulo rectángulo.

Finalizadas las medidas de longitud se define el conceptode área, determinando el metro cuadrado como unidadde medida de superficie.

Seguidamente, mediante ejemplos sencillos, se mues-tran las fórmulas que permiten calcular el área de lospolígonos, agrupados en ocasiones por la relación entresus áreas: rectángulo y cuadrado, paralelogramo y trián-gulo, trapecio, polígonos regulares e irregulares, círcu -lo y figuras circulares.

Termina con el cálculo del área de figuras planas quese obtienen por composición o descomposición de lasanteriores.


1.ª Introducción. Perímetro y área de una figura plana.

2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras.

3.ª Área del rectángulo, del cuadrado, del paralelogramo y del triángulo.

4.ª Área del rombo y del trapecio.

5.ª Área de polígonos regulares.

6.ª Triangulación. Área de polígonos irregulares.

7.ª Longitud de figuras circulares.

8.ª Área de figuras circulares.

9.ª Cálculo de áreas por composición y descomposición.

10.ª y 11.ª Actividades de repaso y consolidación.




Cálculo de áreas por composición y descomposición

Perímetro defiguras planas

Teorema de Pitágoras

Área del círculo y figuras circulares

Área de polígonos

Área de unasuperficie

LONGITUDES Y ÁREAS

4




Competencia lingüísticaLa comprensión del texto de los diferentes epígrafes es básica para adquirir las destrezas que se persiguen, por lo queesta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad.

En particular, la sección “Pon a prueba tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcom-petencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar la subcompetencia conocimiento y valoración del de -sarrollo científico-tecnológico.

Competencia social y ciudadanaLa situación de los descubrimientos matemáticos que aparecen en la unidad permite trabajar el indicador conocer ycomprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo de la subcompetencia desarrollo personaly social.

Competencia cultural y artísticaEl diseño de sombreros con formas geométricas que aparece en las páginas de “Pon a prueba tus competencias” per-mite desarrollar la subcompetencia expresión artística.



Asimismo, los problemas de cálculo de áreas por composición y descomposición facilitan trabajar de una forma más con-creta el descriptor relacionar la información e integrarla con los conocimientos previos y la propia experiencia.


Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críti-co del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo ycrítico.


5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad,en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


Longitudes y áreas Unidad 13






Adquirir el hábito de la lectura y aprendera disfrutar con ella considerándola fuentede placer y conocimiento.

Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida en untexto para contribuir al desarrollo delpensamiento crítico.

– Muestra interés por la lectura.Pon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

– Extrae información matemática deun texto y la aplica con diferentesfines.Desarrolla tus competenciasProblemasPon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye

Matemática



Seleccionar las técnicas adecuadas paracalcular resultados, y representar einterpretar la realidad mediante medidasmatemáticas.

– Cálculo de áreas y longitudes enun contexto cotidiano.

– Construcción de figurasgeométricas

En toda la unidad



– Aplica las fórmulas del cálculo deáreas.

En toda la unidad

Pon a prueba tus competencias:Interpreta y concluye




– Valora y aprecia el descubrimientodel teorema de Pitágoras.

En toda la unidad


Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y su carácterevolutivo.

– Sitúa a Pitágoras en su época.

Epígrafe 2

Cultural y artística Expresión artística.Realizar representaciones artísticas deforma individual y cooperativa.

– Diseña figuras geométricas.

Pon a prueba tus competencias:Imagina y construye


competencia digital




En la red



Actividades 20, 34 y 45, organizatus ideas, autoevaluación


Relacionar información e integrarla conlos conocimientos previos y con la propiaexperiencia.

– Calcula áreas por composición ydescomposición.

Actividad 72

6



SM



– Unidad 5. Polígonos y círculos.




• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: “Geometría”.


– Unidad II: Polígonos.


– Los mil y un centros del triángulo.

Otros NELSEN, R.: Demostraciones sin palabras. Granada, Proyecto Sur, 2001.


www.librosvivos.net

Otros

Página en la que aparecen varios puzles pitagóricos que permiten realizar una demostraciónvisual del teorema:


Unidad interactiva de perímetros y áreas:


Película Donald en el país de las matemágicas. El comienzo de esta película se sitúa en la época de Pitá-goras y describe brevemente las aportaciones matemáticas que hicieron los pitagóricos.

El programa GeoGebra es muy útil para realizar construcciones que demuestran el teorema de Pitágoras.Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

osEDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos per-miten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores:

• Educación para la igualdad: actividad 74.








7


Entrada


Para que los alumnos tengan clara la idea de lo que esun patrón, podríamos llevar al aula revistas de patrones,dividir la clase en cuatro grupos y distribuir a cada unode ellos una de las láminas que aparecen en las revistascon los diferentes patrones. Les pediríamos que selec-cionasen uno de los modelos de la revista y que, con lasindicaciones que en ella aparezcan, marcasen en la “mara-ña” de patrones el correspondiente a su modelo elegido.Una vez que lo tuvieran marcado, trasladarían, a escala,el patrón en un folio y les pediríamos que reconocieranen él figuras planas.

1. Perímetro y área de una figura plana• Conviene que los alumnos obtengan el perímetro de algu-

nos objetos mediante medida directa para que com-prendan el significado de la palabra perímetro.

• También es interesante que les propongamos activida-des con polígonos regulares e irregulares. Ellos encon-trarán la forma de simplificar el cálculo del perímetroutilizando la multiplicación en lugar de la suma en el casode las figuras regulares.

• Se pueden utilizar geoplanos o poliminós para que com-prendan no solo el significado del área, sino también laimportancia de la unidad de medida utilizada: no es lomismo tomar como unidad un cuadrito o uno de los trián-gulos rectángulos en que se puede dividir. Así compro-barán que la superficie es la misma, pero la medida varíadependiendo de la unidad elegida.

• Con esos mismos materiales se puede estudiar cómofiguras que encierran superficies distintas tienen la mis-ma área o cómo figuras de igual perímetro encierransuperficies diferentes.

1. Los alumnos deberán interpretar la figura del patrón dela falda, indicando a qué parte del cuerpo pertenece cadauna de las medidas que en ella se indican.

2. Una vez que los alumnos hayan realizado sus patrones,los agruparemos juntando a aquellos que hayan dise-ñado el patrón de la misma prenda para que los com-paren entre sí y decidan cuál sería el adecuado.

3. Esta actividad ayudará a que los alumnos enriquezcan suvocabulario y les pediremos que, además de estos con-ceptos, busquen todos aquellos que aparecen en el tex-to, y de los cuales no conozcan su significado.

4. Esta última actividad puede servirnos para poner demanifiesto la necesidad de tener un patrón de medidaspara poder comparar.



Básico 1 a 3 y 46

Medio 4, 47 y 48

Alto 86


Básico 6 a 8, 49, 50, 74 y 77

Medio 9, 10 y 51 a 54

Alto 55, 56 y 87

3. Área del rectángulo y del cuadrado• En lugar de darles la fórmula para calcular el área del rec-

tángulo, se les pueden proponer ejercicios en los quetengan que hallar el área de rectángulos de distintasmedidas contando cuadritos como en el epígrafe ante-rior. A partir de los resultados, ellos deducirán una for-ma rápida para obtener esa área.

Podemos aprovechar este epígrafe para que los alumnosbusquen en la red información sobre la vida y obras de Pitá-goras, situándolo en el siglo que vivió.

Para completar esta información podemos ponerles el frag-mento de la película Donald en el país de las matemáticas enel que se narra la historia de los pitagóricos.

Además, para que vean la importancia que ha tenido Pitá-goras, podemos pedirles que hagan una encuesta, en subarrio o en su comunidad de vecinos, preguntando por nom-bres de matemáticos. Una vez realizadas las encuestascontabilizaremos las veces que ha salido Pitágoras en ellasy nos quedaremos asombrados.

2. Medidas indirectas: teorema de Pitágoras

• Es interesante que los alumnos realicen la comproba-ción gráfica del teorema de Pitágoras, dibujando y midien-do, recortando o con el ordenador, utilizando alguna delas páginas que hay en internet. Es más fácil recordarlas fórmulas si se hace alguna práctica que contribuya asu comprensión.

• Por otro lado, se deben realizar muchos ejercicios parautilizar la fórmula correctamente:

En el cálculo de la hipotenusa no suelen tener dificulta-des, solo algún problema al despejarla de la igualdadfinal y en particular cuando no toma un valor entero; porejemplo: a2 = 30.

• En el caso en que se utilice para calcular la medida de uncateto, se plantean problemas al despejar. Es importantehacerles razonar las relaciones de la fórmula: si apare-ce, por ejemplo, c2 + 16 = 25, explicarles que hay que encon-trar un valor para c2 que sumado a 16 dé 25, y que ellosdeduzcan cómo se obtiene.

• Se debe insistir en que los alumnos realicen dibujos querepresenten las situaciones planteadas en los proble-mas, que busquen en ellos triángulos rectángulos y queanoten los datos y lo que deben calcular.

• Proponer actividades variadas con un grado de dificul-tad cada vez mayor. Así se animarán a enfrentarse a losproblemas y a aprender el mecanismo de resolución.

• Como contenido de ampliación puede considerarse laclasificación de triángulos en acutángulos, rectángulos yobtusángulos a partir del teorema de Pitágoras.

8



• La fórmula del área del cuadrado se puede obtener dela misma forma o como se indica en el epígrafe, tenien-do en cuenta que es un rectángulo con todos los ladosiguales.


Básico 12, 57 a, 58 a, 73 y 75

Medio 13 a 15, 79 y 81

Alto 85 y 88

4. Área del paralelogramo y del triángulo

• Siempre es interesante intentar que los alumnos deduz-can las fórmulas mediante métodos sencillos. En estecaso se puede utilizar el ejemplo del epígrafe pidiéndo-les que dibujen el paralelogramo y recorten el triángulorectángulo de la izquierda para que al colocarlo a la dere-cha comprueben que se forma un rectángulo de igualbase y altura que el paralelogramo inicial.

• Otra opción es que el profesor prepare la actividad y,mediante transparencias, realice él mismo ese proceso.También sería interesante preparar una animación conGeoGebra.

• De igual forma (realizado por los alumnos o con las trans-parencias) se puede actuar con el triángulo demostran-do que su área es la mitad de la del paralelogramo, y conel rombo indicando que su área es la mitad del parale -logramo que tiene por dimensiones las diagonales del rombo.


Básico 17, 57 b y 58 b

Medio 18, 19, 59, 61 a y 80

Alto 63 b y 64 a


Básico 22

Medio 23 y 61 b

Alto 63 a

5. Área del trapecio• De nuevo se puede recortar y pegar para obtener una

figura de área conocida. En este caso, siguiendo las ins-trucciones del epígrafe y colocando de forma consecuti-va e invertida un trapecio, se obtiene un paralelogramoque tiene la misma altura que el trapecio y cuya base esla suma de las dos bases del trapecio.

• Es más interesante si la actividad la realizan los alumnos,pero también es un buen recurso la utilización de trans-parencias, puesto que el proceso es seguido por todosde una forma más constructiva que si se observa el dibu-jo del libro o en la pizarra.

6. Área de polígonos regulares• Es conveniente e interesante que los alumnos observen

que las fórmulas surgen por un proceso de construcciónde figuras de área conocida.

• En los polígonos regulares resulta algo complicado obte-ner la fórmula, por eso lo mejor es centrarnos en el hexá-gono regular (es el más sencillo de dibujar) y realizar latriangulación del mismo desde su centro. Una vez obte-nida el área de cada triángulo, basta sumar el área detodos y hacer ver a los alumnos que el resultado estárelacionado con el perímetro del polígono.

7. Área de polígonos irregulares• En los polígonos irregulares se puede insistir en la trian-

gulación, pero no siempre es posible conocer la base y laaltura de los triángulos obtenidos. Por eso se les puedeorientar para que intenten descomponer la figura en otrasmás sencillas de medidas conocidas para calcular el áreade cada una de ellas.


Básico 25 y 26

Medio 62


Medio 27, 60 y 82

Alto 28 y 65

8. Longitudes de figuras circulares• Muchos alumnos ya conocen (y presumen de ello) la fór-

mula para hallar la longitud de una circunferencia. Poreso hay que insistir, sobre todo, en que la comprendan.Si es posible, sería conveniente realizar experienciascomo las que se proponen en el epígrafe del libro, paraque mediante la toma de distintas mediciones com-prueben de un modo experimental que en cualquier cir-cunferencia, la relación entre la longitud y el diámetro esalgo mayor que 3. Para ello llevaremos al aula botes derefrescos, platillos de los que se lanzan, etc. Llevare-mos además lana de colores para repartir entre los alum-nos y que así puedan medir el contorno de todos estosobjetos.

• También hay que hacer mucho hincapié para que sepanutilizar la fórmula tanto si se tiene la longitud del radiocomo si se tiene la del diámetro.

• Hay que insistir en que el valor de π es aproximado: toma-mos 3,14, pero en ningún caso se trata de un valor exacto,ya que π tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales.

• La longitud del arco de un sector circular se puede tra-bajar como aplicación de la fórmula anterior utilizando unaproporción con los grados del sector.

• Cuando se trata de calcular la longitud del arco de un sec-tor circular correspondiente a un cuarto de círculo o a unsemicírculo, basta con dividir la longitud de la circunfe-rencia de igual radio por 4 o por 2, respectivamente.

9




Básico 29 a 32, 66 y 76

Medio 33 y 67

Alto 48 y 84


Básico 36, 37, 69 y 70

Medio 38, 71, 78 y 83

Alto 89

Organiza tus ideasPara ayudarles en la elaboración del esquema de la unidadse les puede pedir que:1. Distingan dos conceptos: longitud y área.2. Agrupen en el concepto de longitud los epígrafes de la

unidad relacionados con él y añadan un ejemplo de cadauno de ellos.

3. Definan el concepto de área y sus unidades de medida,y después, dibujen cada una de las figuras planas queaparecen en la unidad y a su lado escriban la fórmulaque permite obtener su área y un ejemplo.



Pon a prueba tus competenciasIMAGINA Y CONSTRUYE: PATRONES DE CABEZA

Aprovecharemos esta actividad para fomentar la lecturaentre nuestros alumnos. Seguro que muchos de ellos tie-nen el libro de Harry Potter y la piedra filosofal y podemospedirles que lleven varios ejemplares a clase y leer en vozalta el pasaje de la primera cena en Hogwarts.

Para realizar las actividades es preciso que dibujen en unacartulina negra todas las piezas, empleando para ello tizablanca. Antes de realizar el montaje del sombrero, nosdetendremos en el sector circular y calcularemos su área.

INTERPRETA Y CONSTRUYE: LA PARCELA

Para realizar esta actividad indicaremos a los alumnos querealicen una tabla con dos filas y dos columnas. Les dire-mos que lean atentamente cada uno de los anuncios y queanoten en las celdas los datos correspondientes a cada unode ellos. A continuación, en la misma celda calcularán elprecio del metro cuadrado de cada terreno.

De este modo organizarán y ordenarán toda la informacióny podrán contestar con facilidad a las actividades.

OBSERVA Y CALCULA: EL TEOREMA DE PICK

Para realizar esta actividad sería conveniente llevar al aulauna plantilla de geoplano donde habremos dibujado pre-viamente el primer polígono. De esta manera podrán mar-car sin problemas los nudos sobre ella.Una vez que hayan comprobado que el área es de 28 cm2,podemos pedirles que recorten la figura de tal manera quepuedan construir un rectángulo de 7 cuadrados de anchopor 4 de largo.Para calcular el área de los tres polígonos que aparecenen la actividad, en primer lugar los dibujarán en el geo-plano que les hayamos entregado y a continuación aplica-rán el teorema de Pick.


Básico 43

Medio 44, 72 e y f

9. Área de figuras circulares• Aunque algunos alumnos conocen también la fórmula

para hallar el área del círculo, la mayoría suele confun-dirla con la de la longitud de la circunferencia. Para quelas asocien correctamente sería práctico que identifica-sen las unidades que resultan en cada caso: 2 ⋅ π ⋅ r daráunidades de longitud, y π ⋅ r2 dará unidades de superficie.

• Para obtener el área de la corona circular pueden calculary colorear el área del círculo mayor. Después, señalar conotro color o con rayas o puntos la zona que hay que quitar-le para que solo quede la corona. Observarán que es el áreadel círculo más pequeño y entonces se escribe la fórmula.

• Para el sector circular hay que partir de que el círculotiene 360° y, desde este hecho, realizar una proporción.


Medio 40, 41, 72 a, b, c y d

10. Cálculo de áreas por composición• Para calcular el área de figuras planas no elementales, se

dividirá la figura en figuras de las que se conozca la fórmuladel área, para posteriormente calcular el área de cada unade estas figuras y dar el área de la figura original como lasuma de estas áreas. El problema que puede surgir aquíes que los alumnos dividan la figura de formas distintas,pero comprobarán que el resultado final es el mismo.

11. Cálculo de áreas por descomposición• A menudo, la figura de la que tenemos que calcular el

área proviene de una figura conocida a la que se le hanquitado figuras conocidas y calcular el área resulta muyrápido como resta de áreas de figuras conocidas.

• Conviene realizar el ejercicio resuelto 42 descomponien-do la figura en un triángulo y tres rectángulos, y que ellosvean que es más corto el procedimiento aplicado en el libro.

72. Para realizar esta actividad podríamos dibujar cada unade las figuras en la pizarra y pedir que salgan volunta-riamente alumnos a la pizarra para resolverlas y quevayan contando a sus compañeros cómo lo van haciendo.

10


Unidad 13 Longitudes y áreasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Es importante que los alumnos comprendan la diferencia entre perímetro y área, y utilicen correctamente sus unida-des de medida. Además deben aprender el teorema de Pitágoras y calcular uno de los lados de un triángulo rectán-gulo a partir de los otros dos. También deben conocer y aplicar adecuadamente las fórmulas que permiten obtener elárea de los polígonos y del círculo.

• Proponer actividades para comprobar que conocen el significado de perímetro y de área. Por ejemplo: colorear la super-ficie de las figuras, pintar de rojo el perímetro o unir mediante flechas esas palabras con distintas unidades de medida.

• Utilizar el teorema de Pitágoras para comprobar si un triángulo es rectángulo.

• Realizar muchos ejercicios de aplicación del teorema de Pitágoras para que aprendan el mecanismo que permite obte-ner un cateto, conocidos el otro y la hipotenusa.

• Permitirles utilizar el esquema de la unidad hasta que aprendan las fórmulas del cálculo del área de figuras planas.

• Plantear problemas sencillos que tengan relación con la vida cotidiana.

• Insistir en que realicen dibujos y anoten lo conocido y lo desconocido.

1.

2. a) 5 cm b) 12 dm

3. Triángulo Pentágono Cuadrado

Rectángulo 2 2 1

Trapecio 1 2 6

Rombo 2 0 9

15 cm3 dm

1,8

dm

3 dm STOP

140 mm

45 cm 9,6 dm 9,42 dm 1120 mm

cm dm dm mm

cm2 dm2 dm2 mm2


Mide y calcula tu entorno

Puede ser una actividad a realizar dentro o fuera del aula, pero siempre es más motivador salir, al menos al patio. Encaso de que no sea factible la salida, utilizar los elementos que proporciona el aula para realizarla.

En todos los centros suele haber un campo de deportes donde se puede practicar fútbol, baloncesto, balonmano… El másinteresante por la variedad de figuras planas que presenta es el de baloncesto, pero cada grupo se puede encargar deuno distinto, y así trabajarán más cómodos.

El objetivo es que calculen el perímetro y el área de todas las figuras planas que se encuentran pintadas en el suelo. Paraello:

• Organizar a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

• Cada grupo llevará una cinta métrica, un cuaderno y un lapicero.

• Dibujarán en el cuaderno el contorno, las zonas, los círculos… y cualquier otra figura plana que encuentren, anotan-do en ella las medidas necesarias para el posterior cálculo de áreas y perímetros.

• Después, en clase, harán todos los cálculos y expondrán el trabajo al resto de compañeros, explicándoles qué tipo depolígonos y figuras circulares han encontrado, qué medidas tienen, cuáles necesitan para calcular el perímetro y cómolo han hecho, qué otras han necesitado hallar para obtener el área y cómo las han averiguado…

ACTIVIDAD DE GRUPO




11

1. Dibuja el perímetro en rojo y la superficie en azul, y completa la siguiente tabla:

2. Marca con una cruz la respuesta correcta.

a) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4 cm, la hipotenusa mide:

5 cm 8 cm 6 cm

b) Si la hipotenusa mide 13 dm, y un cateto, 5 dm, el otro cateto mide:

10 cm 16 dm 12 dm

3. En el siguiente crucigrama debes escribir un dígito en cada cuadro de manera que en horizontal y ver-tical aparezca el área de las figuras que hay dibujadas en cada fila y en cada columna.

53 cm

8 cm

11 dm

8 dm

13 cm

17 dm

13 dm

12 cm

16 cm

9 cm

22 cm

19 cm

FIGURA

15 cm 3 dm

1,8 dm 3 dm STOP

140 mm

Perímetro

Unidad demedida delperímetro

Unidad de medida de lasuperficie


Pági

na

foto

cop

iab

le



12


Unidad 13 Longitudes y áreasORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Como estos alumnos utilizan correctamente el teorema de Pitágoras, lo que deben conseguir es aplicarlo a la resolu-ción de actividades y problemas en los que sea necesario calcular una distancia como paso intermedio para obtenerla solución. Y puesto que también conocen y aplican las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas, han de avan-zar en este sentido y ser capaces de obtener el área de figuras circulares y de otras que son el resultado de la com-posición y descomposición de figuras más sencillas.

• Mostrar el teorema de Pitágoras como un método para calcular medidas indirectas necesarias en la resolución deproblemas.

• Proponer problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un esbozo de la situación y anotenlos elementos conocidos y desconocidos, así como las fórmulas que los relacionan.

• Animarles en la búsqueda de distintas formas de descomposición de una figura para calcular su área.

• Utilizar el arte y la naturaleza como elementos geométricos susceptibles de ser medidos.

• Realizar alguna actividad fuera del aula, como, por ejemplo, un paseo por los alrededores del centro, para buscar lageometría en la calle.

1. El lado del rombo mide 15 cm. Su perímetro, 60 cm.

2. a) ATriángulo = 240 cm2 b) ACírculo = 127,41 cm2

3. AHexágono = 41,52 cm2 ACuadrado = 72 cm2

La baldosa cuadrada ocupa mayor superficie.

4. Si la circunferencia es exterior, r = 5,40 cm.Si la circunferencia es interior, r = 4,56 cm.

5. a) 70,32 cm2 b) 156,78 cm2

6. Asuelo = 2,25 m2, Aducha = 0,5762 m2

Quedan libres 1,68 m2 aproximadamente.

7.

8. 24 ⋅ 18 − (24 ⋅ 2,8 + 18 ⋅ 2,2 − 2,2 ⋅ 2,8 + 3,14 ⋅ 1,252) =

= 326,45 m2

9. El área aumenta en 25 cm2 más 10 veces la longituddel lado inicial.

314 32

314 42

314 52

6 82

2 2 2, , ,⋅+

⋅−

⋅−

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

= cm224


Logotipos

Se trata de que los alumnos observen cómo las matemáticas están en cualquier rincón. En este caso estudiaremos lageometría a nuestro alrededor. Se propone a los alumnos que busquen en la prensa algunos de los logotipos de las mar-cas de coches para estudiar su diseño geométrico.

• Organizamos a los alumnos en grupos de tres o cuatro personas.

• Cada grupo debe tener varios logotipos. Si no han encontrado ninguno, se lo podemos facilitar nosotros.

• Deben descomponer los logotipos en figuras planas más sencillas y clasificarlas; después deben calcular las dimen-siones de sus lados para seguidamente proponerles calcular el perímetro y el área de cada uno de ellos.

• En el último logotipo aparecen tres sectores circulares iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de ellos?

Se puede complicar el ejercicio si les pedimos que nos digan si algún logotipo se ha conseguido por medio de simetríaso giros de alguna misma figura. Además se les puede animar a que diseñen su propio logotipo utilizando figuras planas.

NISSAN

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

1. Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 24 y 18 centímetros.

2. Calcula el área de:

a) Un triángulo isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 26 centímetros, y el lado desigual, 20centímetros.

b) Un círculo circunscrito en un cuadrado de 9 centímetros de lado.

3. La forma de una baldosa es un hexágono regular de 4 centímetros de lado, y la de otra, un cuadrado de12 centímetros de diagonal. ¿Cuál de las dos ocupa mayor superficie?

4. Por la dificultad de esta actividad, podrían organizarse en parejas.

En un círculo de 5 centímetros de radio se dibuja un sector circular cuyo ángulo central es de 60°.

¿Con qué radio habría que dibujar una circunferencia concéntrica con la anterior para que la corona cir-cular que determinen tenga el mismo área que el sector circular anterior?

5. Calcula el área de las siguientes figuras mediante composición o descomposición en otras más sencillas:

a) b)

6. El suelo de un baño tiene forma cuadrada de 1,50 m de lado. Se va a instalar una ducha con forma de sec-tor circular de 85 centímetros de radio y cuyo ángulo central es de 90°. ¿Qué superficie del baño quedalibre para colocar el resto de los sanitarios?

7.

8. Un jardín rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho está cruzado por dos caminos perpendicu-lares. El camino más largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Además, en una de las esquinas hayuna fuente circular de 2,5 metros de diámetro.

¿Cuál es la superficie útil que queda en el jardín para plantar césped?

9. ¿Cuánto aumenta el área de un cuadrado si prolongamos cada uno de sus lados 5 centímetros?

10 cm

6 cm8 cm

El triángulo inscrito de la circunferencia es rectángulo, y las regionessombreadas reciben el nombre de lúnulas de Arquímedes.

Calcula el área total de la superficie sombreada.

12 c

m

18 cm

4 cm

9 cm



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Halla el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

a) Un rombo de 9 centímetros de lado.

b) Un decágono regular de 2,5 centímetros de lado.

c) Un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 8 centímetros, y cada uno de sus lados iguales, 10 cen-tímetros.

2. Calcula el valor de x en los siguientes triángulos rectángulos.

a) b)

3. Calcula la diagonal del rectángulo, d, y el lado del cuadrado, l.

a) b)

4. Calcula el área de las siguientes figuras.

a) Triángulo isósceles de altura 5 centímetros y lado desigual 120 milímetros.

b) Heptágono regular de lado 2 centímetros y apotema 3 centímetros.

c) Trapecio rectángulo de bases 80 y 50 metros, respectivamente, y altura 4 decámetros.

d) Círculo de diámetro 6 decímetros.

5. Halla el área de las siguientes figuras circulares.

a) Una corona circular formada por dos circunferencias concéntricas de 6 y 10 centímetros de radio.

b) Un sector circular determinado por un ángulo de 150° en un círculo de 8 centímetros de diámetro.

6. Tres hermanos han comprado una finca con forma rectangular de la que conocen su ancho, 200 metros,y la distancia del camino que forma la diagonal, 250 metros. Si la dividen en partes iguales, ¿cuántos metroscuadrados le corresponden a cada uno?

7. Calcula el área de estas figuras.

a) b)

8 cm

l

l

15 cm

8 cm d

13 cm

x

5 cm

3 cm

3 cmx

4 cm

2 cm

7,2 dm

5,4 dm

3,4 dm

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) Prombo = 4 ⋅ 9 = 36 cm

b) Pdecágono = 10 ⋅ 2,5 = 25 cm

c) Ptriángulo = 8 + 2 ⋅ 10 = 28 cm

2. a) x2 = 32 + 32 = 18 ⇒ x2 = 18 ⇒ x = 4,25 cm

b) cm

3. a)

b)

4. a) Expresamos previamente todas las medidas en centímetros, base = 12 cm.

b)

c) Expresamos previamente todas las medidas en decámetros, bases = 8 y 5 dam, respectivamente.

d)

5. a)

b)

6. ⇒ 2502 = h2 + 2002

⇒ h2 = 2502 − 2002 = 22 500

⇒ h = 150

Atotal = b ⋅ h = 200 ⋅ 150 = 30 000 m2

30 000 : 3 = 10 000 m2

A cada hermano le corresponden 10 000 m2.

7. a) Podemos descomponer la figura en dos triángulos de área conocida.

b) Podemos descomponer la figura como la suma de las áreas de dos semicírculos de 6 y 4 cm de radio, y luego restar el área de un semicírculo de 2 cm de radio.

Ar n°

°°

°=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

π π2 2

3604 150360

20 93, ccm2

A R r( ) (10 ) 64 22= ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =π π π2 2 26 000,96 cm2

250 m

200 m

A =⋅

+⋅

−⋅

=314 6

2314 4

2314 2

275 3

2 2 2, , ,, 66 cm2

A dm2=⋅

+⋅

=7 2 3 4

25 4 3 4

22142

, , , ,,

A r dm2= ⋅ = ⋅ =π π2 23 28 26,

AB b

h dam2=+

⋅ =+

⋅ =2

8 52

4 26

Ab h

cm2=⋅

=⋅

=2

12 52

30

8 8 2 32 52 2 2 2 2 2= + ⇒ = ⇒ = ⇒ =l l l l l ,,66 cm

d d2 2 28 15 289 17 cm= + = ⇒ =

Ap a n l a

cm2=⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=2 2

7 2 32

21

13 5 13 5 144 12 2 2 2 2 2= + ⇒ = − = ⇒ =x x x 22





Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2






6

4

5

3

2

1

1 ES

O


Cuerpos geométricos.Volúmenes

CO N T E N I D O

2 Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes

Con esta unidad se empieza a trabajar la geometría del espacio. Nos introducimos en un mundo que los alumnos no domi-nan muy bien: el de las tres dimensiones. Hay que poner especial cuidado en que vean adecuadamente las figuras, lascomprendan y sean capaces de trabajar con ellas.

Al dibujar en la pizarra distorsionamos la realidad, ya que realizamos una proyección de tres dimensiones a dos dimen-siones, y habrá algunos alumnos que no sean capaces de visualizar bien las ideas que queremos trabajar. Por eso es impor-tante que puedan manipular físicamente los cuerpos geométricos.

La unidad comienza con un repaso de los poliedros y los cuerpos redondos y sus elementos, para después introducir elconcepto de volumen de una figura cualquiera. Los alumnos deben comprender el concepto de volumen de una figuraen el espacio y la necesidad de una unidad que permita medir y comparar el volumen de diversas figuras.

Es importante que identifiquen las múltiples figuras del espacio y que distingan perfectamente los prismas de las pirá-mides y los cilindros de los conos, así como sus elementos, muy especialmente la base y la altura, dado que son los queaparecen en las fórmulas para el cálculo del volumen.

No menos importante es que comprendan la utilidad de las fórmulas para el cálculo del volumen de las figuras y que,además de aprenderlas y utilizarlas correctamente, sepan cómo se pueden obtener todas a partir de la más sencilla: laque permite calcular el volumen del ortoedro.

• Poliedros• Elementos de un poliedro: caras, aristas y vértices• Poliedros convexos y cóncavos• Poliedros regulares• Prismas rectos y prismas oblicuos• Prisma regular• Pirámides rectas y oblicuas• Pirámide regular• Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera

• Eje de giro• Generatriz del cilindro y del cono• Superficie esférica• Casquete esférico. Círculo máximo• Paralelos y meridianos• Volumen del ortoedro y del cubo• Volumen del prisma y de la pirámide• Volumen del cilindro y del cono

Unidad 14 Cuerpos geométricos. Volúmenes

CONTENIDOS


OBJETIVOSCRITERIOS


BÁSICAS

1. Identificar las formas espacialesque aparecen en la realidad.

1.1. Reconocer las distintas figurasdel espacio y sus elementos dis-tinguiendo los distintos tipos depoliedros y de cuerpos redondos.

• Lingüística

• Matemática





2. Interpretar expresiones matemá-ticas sencillas que permiten obte-ner el cálculo del volumen de lasfiguras del espacio.

2.1. Utilizar adecuadamente las fór-mulas que permiten obtener elvolumen de los poliedros.

2.2. Usar correctamente las fórmu-las para el cálculo del volumende los cuerpos de revolución.

3. Resolver problemas matemáticosrelacionados con la vida cotidia-na utilizando diferentes estrate-gias, procedimientos y recursos.

3.1. Aplicar las fórmulas del cálculodel volumen de las figuras delespacio para resolver problemas.

3Cuerpos geométricos. Volúmenes Unidad 14



1. Conocimientos previosPara el correcto cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos es necesario que los alumnos dominen las unidades devolumen y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades, así como el cálculode áreas de figuras planas.

2. Previsión de dificultadesComo ya hemos dicho anteriormente, la principal dificultad que vamos a encontrar es que a los alumnos les cuesta veren dos dimensiones la representación de un cuerpo geométrico. Para solventarlo conviene que llevemos al aula cuer-pos geométricos que puedan manipular.

3. Vinculación con otras áreasEl estudio de los cuerpos geométricos está estrechamente relacionado con los contenidos de Educación Plástica y Visual.

El concepto de volumen y su cálculo está relacionado con los contenidos de ciencias de la naturaleza, en especial con ladensidad.

4. Esquema general de la unidadLa última unidad sobre geometría está dedicada al cálculo del volu-men de las figuras del espacio.

Se inicia este estudio con un repaso de los poliedros y los cuerpos derevolución, así como de los elementos que los caracterizan: aristas,caras, vértices, bases, altura, apotema.

Después se introduce el concepto de volumen de una figura en gene-ral, indicando la necesidad de elegir una unidad de medida.

A partir de un ejemplo se obtiene la fórmula que permite calcular elvolumen del ortoedro y, como caso particular, la del volumen del cubo.

Por último, utilizando como referencia la fórmula del volumen delortoedro y construyendo figuras de la misma área de la base que ladel ortoedro y la misma altura, se obtienen las fórmulas para el cálculo del volumen del resto de las figuras del espacio.


1.ª Introducción. Poliedros.

2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras.

3.ª Prismas y pirámides.

4.ª Cilindros, conos y esferas.

5.ª Volumen del ortoedro, del cubo y del prisma.

6.ª Volumen de la pirámide, del cilindro y del cono.





Prismas y pirámides

Poliedros

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Cuerpos redondos

Cilindros, conos y esferas

Volúmenes

4


Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja en toda la unidad, ya que la comprensión del texto es imprescindible para comprender y apli-car todos los conceptos que aparecen en ella.

En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizadodesarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcom-petencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físicoEn las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcompetencias aplicación del método científicoen diferentes contextos y conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artística

Las actividades y reseñas sobre la evolución de la arquitectura a lo largo de la historia permiten desarrollar la sub-competencia sensibilidad artística.








5



Cuerpos geométricos. Volúmenes Unidad 14






Leer, buscar, recopilar, procesar ysintetizar la información contenida en untexto para contribuir al desarrollo delpensamiento crítico.

– Extrae información de un texto quepermita la identificación de losobjetos en él descritos.


Problemas

Matemática



– Identifica cuerpos geométricos enla vida cotidiana.

En toda la unidad



– Aplica las fórmulas del cálculo devolúmenes.

En toda la unidad



Formular hipótesis y prevenirconsecuencias sobre los problemasrelevantes en situaciones reales osimuladas.

– Aplica el estudio de los cuerposgeométricos para diseñar unenvase óptimo.

Pon a prueba tus competencias:Compara y decide



– Identifica construcciones concuerpos geométricos.


Pon a prueba tus competencias:Observa y realiza, aprende apensar, modeliza y construye

Cultural y artística Sensibilidad artística.

Adquirir sensibilidad y sentido estéticopara comprender, apreciar, emocionarse ydisfrutar con el arte y otrasmanifestaciones culturales.

– Aprecia las obras de arquitectura.


Pon a prueba tus competencias:Observa y realiza, aprende apensar


competencia digital




En la red



Actividades 7 y 14, organiza tusideas, autoevaluación


Admitir diversidad de respuestas posiblesante un mismo problema y encontrardiferentes enfoques metodológicos parasolventarlo.

– Decide la respuesta adecuada deun problema entre cuatro posibles.


6




• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada

unidad del libro.• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-

milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para

evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.




SM


• Cuadernos de refuerzo “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO.

– Unidad 6. Cuerpos geométricos.

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: “Medida”.

– Unidad III. Cuerpos geométricos. Volúmenes.


– Los dados del rol.


www.librosvivos.net

Otros

Página en la que podemos encontrar una clasificación clara y concisa de los cuerpos geo-métricos:


Página de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales-CICA sobre áreas yvolúmenes de cuerpos geométricos:


• Cuerpos geométricos, preferiblemente con la base desmontable para comprobar las fórmulas de losvolúmenes.

• Láminas con el desarrollo plano de los diferentes cuerpos geométricos.Otr

os

mat

eria

les

Inte

rnet

Bib

liogr

áfic

os

7


Entrada


La foto de entrada de la unidad es una magnífica oportunidadpara que los alumnos aprecien la geometría como parteimprescindible de las construcciones arquitectónicas.

Podemos aprovechar para pedir a los alumnos que traiganal aula fotografías de edificios característicos de su lugarde vacaciones, de residencia… e identificar en ellos ele-mentos geométricos.

La entrada tiene su continuidad en las dos primeras acti-vidades de “Pon a prueba tus competencias” con la cons-trucción de una maqueta de las Torres KIO y con la evoluciónde la arquitectura.

– Con cuatro triángulos por vértice formarán el octae-dro.

– Con cinco triángulos por vértice formarán el icosaedro.

Se darán cuenta de que con seis triángulos equiláteros porvértice ya no se puede formar un poliedro, pues la sumade los ángulos es 360º y obtendrían una figura plana.

Una vez que hayan encontrado los tres poliedros regula-res cuyas caras son triángulos equiláteros, repetiremosel proceso con poliedros cuyas caras sean cuadrados,pentágonos regulares y hexágonos regulares. Cuandohayan comprobado que la suma de los ángulos de treshexágonos que concurren en un vértice es 360º, podránafirmar que no existen poliedros regulares cuyas carassean polígonos de seis o más lados.

1. Poliedros• Es importante que los alumnos recuerden los elemen-

tos de un poliedro. Por ello, además de utilizar los dibu-jos de la unidad como apoyo a la explicación, esaconsejable llevar modelos de cada poliedro para quepuedan “tocar” las caras, aristas y vértices en cada caso.

• Conviene que los alumnos identifiquen los distintos tiposde poliedros. Para ello se pueden realizar actividades enlas que tengan que identificar el tipo de poliedro que sepresenta, bien a través de un dibujo o de los que existenconstruidos en madera o plástico.

• No menos importante es que sean capaces de dibujar unpoliedro determinado. El dibujo más o menos aproxima-do de las figuras resulta muy útil en la resolución de pro-blemas geométricos.

• Sería interesante guiar a los alumnos para que descu-brieran por sí mismos que solo existen cinco poliedrosregulares. Para ello les indicaremos que:

– En cada vértice de un poliedro deben concurrir almenos tres caras.

– La suma de sus ángulos debe ser menor que 360º.

A continuación les diremos que busquen los poliedros regu-lares que pueden formarse con triángulos equiláteros:

– Con tres triángulos por vértice formarán el tetrae-dro.

2. Prismas y pirámides• Es importante que los alumnos distingan entre prismas

y pirámides.

• Deben reconocer los distintos tipos de prismas que hay,distinguiendo sus elementos e identificando cada uno deellos con su desarrollo plano.

• En las pirámides también deben reconocer sus elemen-tos característicos, distinguiendo entre apotema de labase, apotema de la pirámide y altura de la misma.

• Sería interesante dibujar en la pizarra una pirámide regu-lar y marcar en ella el triángulo rectángulo que se formacon la apotema de la base, la apotema de la pirámide yla altura. También sería conveniente marcar el triángu-lo rectángulo que se forma con la altura, la arista lateraly el radio de la base. De este modo facilitaremos que pue-dan hallar los diferentes elementos de la pirámide conayuda del teorema de Pitágoras.

3. Cilindros y conos• La posibilidad de ver y manipular las figuras geométricas

resulta de gran ayuda para la comprensión de los con-ceptos. Por eso conviene que los alumnos experimentensiempre que sea posible.

• Utilizaremos un rectángulo de cartulina para que veancómo se genera un cilindro. Para ello pasaremos un hilopor uno de los lados y haremos girar el rectángulo por losextremos del hilo. De este modo identificarán el hilo conel eje de giro.

• A continuación pasaremos un hilo sobre otro de los ladosdel rectángulo, no paralelo al anterior, y haremos girar el

III. En el texto se describen perfectamente las cuatro torres,con lo que para la identificación de cada una de ellasserá preciso que los alumnos hayan realizado una lec-tura comprensiva del mismo, anotando los datos mássignificativos.

III. No tendrán problema para realizar esta actividad des-pués de haber realizado la primera, ya que para enton-ces ya habrán identificado los elementos geométricos.

III. El término skyline es un anglicismo con el que se deno-mina el panorama urbano de una ciudad. Literalmen-te significa línea de cielo y hace referencia a “la siluetade una ciudad”.

IV. A la hora de realizar esta actividad pediremos a losalumnos que, si es posible, traigan al aula los objetos.Si no es posible, podrían traer fotografías de los mismos.


Básico 1, 2, 23, 25 y 26

Medio 3, 29 y 30



Básico 4, 5, 24, 27 y 28

Medio 6 y 29 a 33

Alto 34, 35 y 69

8


rectángulo. De este modo visualizarán los dos cilindrosdiferentes que puede engendrar un rectángulo.

• Para que los alumnos vean cómo se genera un cono hare-mos lo mismo que hicimos con el cilindro, solo que conun triángulo rectángulo de catetos diferentes, pasandoesta vez el hilo por cada cateto. También podríamos cogerun cartabón y hacerlo girar sobre cada uno de los catetos.


Básico 8

Medio 9, 10 y 36 a 38


Básico 18 y 42

Medio 19, 20, 45 a 47, 60 y 65


Básico 12

Medio 13, 39 y 40


4. Esferas• Al igual que hicimos para generar el cono con el cartabón

o el cilindro con un rectángulo de cartulina, podemoshacer lo mismo para generar la esfera con el transporta-dor de ángulos o con un semicírculo de cartulina.

• Es importante que los alumnos, a partir de objetos esfé-ricos cotidianos, puedan identificar las distintas zonas dela esfera como el casquete esférico y la semiesfera.

• Se pueden realizar cortes en esferas realizadas con plas-tilina para identificar el círculo máximo en las mismas.

5. Volumen del ortoedro y del cubo• Para comprender el significado del volumen de un cuerpo

se pueden utilizar policubos. Construyendo figuras y con-tando los cubos que se necesitan para cada una de ellas, losalumnos pueden calcular fácilmente su volumen y enten-der que lo que están midiendo es el espacio que ocupan.

• La utilización de cubos de distinto tamaño para rellenarel espacio hueco que queda en una caja ayuda a enten-der la necesidad de definir una unidad de medida y cómo,dependiendo de esta, se obtienen distintos valores demedida para el mismo volumen.

• Cualquier caja tiene forma de ortoedro, de modo querellenándola con cubos pequeños de igual tamaño, esfácil obtener su volumen.

• Pero ahora el objetivo es que deduzcan una forma rápidade calcularlo, así que se les pedirá que rellenen un late-ral grande y otro pequeño de la base de la caja y calculen,sin añadir más cubos, cuántos serán necesarios paracompletarla. Hecho esto, completarán con cubos esa base.

• Después, en una esquina de la caja colocarán cubos, unossobre otros hasta alcanzar la altura de la misma, y se lesindicará que por cada uno de ellos pueden volver a colo-car tantos cubos como tenían en la base. Entonces, y sinañadir ninguno más, tendrán que calcular el número decubos necesarios para rellenar la caja.

• Conseguida la fórmula del volumen del ortoedro y con-siderando que el cubo es un caso particular en el que lastres dimensiones miden lo mismo, resulta fácil obtenerla fórmula del volumen del cubo.

6. Volumen del prisma y de la pirámide• Conviene que los alumnos deduzcan por sí mismos las fór-

mulas siempre que sea posible.

• Para la del volumen del prisma se puede realizar la expe-riencia que se comenta al margen del epígrafe utilizan-do figuras geométricas hechas de plástico duro con unagujero en la base que permite llenarlas de agua.

• Pero si esto no es posible, se les puede pedir que lo cons-truyan ellos en cartulina, por ejemplo, y que traten derellenarlo de cubos pequeños como hicieron con el orto-edro. Deben concluir que si la base es la misma, necesi-tan igual número de cubos para recubrirla, y como laaltura también lo es, el volumen debe coincidir.

• Para comprobar la relación existente entre el volumendel prisma y de la pirámide podemos realizar en el aulala experiencia que viene en el epígrafe, llevando un pris-ma y una pirámide regular con la misma base y altura alos que se le puede quitar la base y rellenar el prismacon el contenido de exactamente tres pirámides, pudien-do emplear para ello arroz.

7. Volumen del cilindro y del cono• Como en el caso anterior, lo mejor es trabajar con un

cilindro y un prisma ya construidos en un material que per-mita llenarlos de agua. Pero si no es posible, y dada la difi-cultad que existe para rellenar un cilindro con cubospequeños, se puede utilizar otro material que facilite estatarea sin que se rompan las figuras hechas en cartulina,empleando arroz, tal y como se indicó en el anterior punto.

• También conviene realizar la experiencia indicada en elepígrafe para ver la relación existente entre el volumendel cono y el del cilindro.


Básico 16, 41, 43 y 56

Medio 76

Alto 48 a 50, 66, 68, 71 y 73 a 75


Básico 21, 22, 51 y 57

Medio 52, 53 y 61 a 63

Alto 54, 55, 67, 70 y 72

Organiza tus ideasLa esquematización de los contenidos de la unidad es degran ayuda, sobre todo en unidades como esta, en las queaparecen fórmulas, puesto que se consigue tener todas enuna hoja y elegir la necesaria en cada caso de un solo vis-tazo.

9



Aunque el esquema de esta unidad es sencillo, se les pue-de orientar en su elaboración para que observen lo másimportante pidiéndoles que:

1. Distingan los dos tipos de figuras del espacio: polie-dros y cuerpos redondos.

2. Identifiquen los cinco poliedros regulares que existen.

3. Escriban los dos tipos de poliedros que existen, pris-mas y pirámides, hagan un dibujo de cada uno deellos indicando sus elementos y escriban debajo lafórmula del volumen.

4. Repitan lo anterior con los cuerpos de revolución.

5. Destaquen como casos especiales, dado que han sidoel punto de partida para calcular el volumen de lasdemás figuras, el ortoedro y el cubo con las fórmu-las correspondientes a cada uno de ellos.

También es interesante que en algún caso añadan fórmu-las que relacionen los elementos de las figuras. Por ejemplo:

– Junto al volumen del cono se puede escribir la rela-ción que existe entre la generatriz, la altura y el radiogracias al teorema de Pitágoras.

– Junto al volumen de la pirámide pueden escribir lasrelaciones que existen entre la apotema de la base, laapotema de la pirámide y la altura de la misma.

Conviene que los alumnos utilicen el esquema mientrasresuelven los ejercicios. Así resulta más fácil encontrar lafórmula que necesitan y poco a poco las van aprendiendo.

Para construir la maqueta deberán recordar el conceptode escala tratado en la unidad 6. No les saldrán dimensio-nes decimales, ya que la escala es de 1 : 1000.

Como las Torres KIO son un ejemplo de prisma oblicuo,podemos preguntar a los alumnos si conocen algún otroedificio similar, es decir, “inclinado”. Si no es así, les dire-mos que lo busquen en la red, anotando su nombre, la for-ma de la base y la inclinación que tiene con respecto a lavertical.

APRENDE A PENSAR: ARQUITECTURA Y GEOMETRÍA

Los edificios que aparecen en las imágenes correspondena diferentes épocas y civilizaciones. De este modo, los alum-nos percibirán que la geometría siempre ha estado pre-sente en la arquitectura desde sus inicios.

Pediremos a los alumnos que busquen edificios emble-máticos de diferentes épocas y culturas y los comparenentre sí, haciendo hincapié en las similitudes que hay entrelas pirámides de Egipto y las mayas, a pesar de ser civili-zaciones tan separadas. Así podrán intuir que las mate-máticas siempre están “ahí”, simplemente hay queencontrarlas.

La actividad 3 puede servir para realizar un debate sobrelas “megaconstrucciones” que se están realizando en laactualidad y la competencia que hay entre las ciudadespara tener el edifico más alto, sin importar su coste.

COMPARA Y DECIDE: ELIGIENDO ENVASES

Para poder realizar esta actividad es preciso indicar a losalumnos que la superficie del desarrollo plano de los polie-dros es el “área del poliedro”.

Les pediremos que traigan al aula envases de la leche queconsumen en sus casas. Seleccionaremos aquellos quetengan la misma capacidad y sean tetra briks. Los recorta-remos para obtener su desarrollo plano y poder calcular deeste modo la cantidad de material empleado para cons-truir el envase.

De este modo verán que es más económico aquel que ten-ga área menor.

MODELIZA Y CONSTRUYE: GOLPEA EL ESFÉRICO

Para realizar esta actividad podemos enseñar a los alum-nos a construir polígonos regulares con GeoGebra, pro-grama de libre distribución. De esta forma evitaremos elproblema de la inexactitud de las construcciones con reglay compás.

Otra forma de construir el icosaedro truncado es construirun icosaedro y cortarle las esquinas.

Podemos utilizar la actividad 2 para establecer un debatey decidir cuál es el mejor balón de fútbol, el que tiene for-ma de icosaedro truncado o el que se utilizó en el Mundialde Sudáfrica 2010, que era casi esférico.

Pon a prueba tus competenciasOBSERVA Y REALIZA: LAS TORRES KIO EN PAPEL

Esta actividad está relacionada con la entrada de la unidad.

En la fotografía pueden apreciarse otros dos edificios queconfiguran el skyline de la ciudad de Madrid.

Los desarrollos planos que se han visto en la unidad han sidode prismas y pirámides rectos, fáciles de obtener. Con laconstrucción de la maqueta, los alumnos podrán apreciarque dos de las caras laterales de un prisma oblicuo sonromboides.


Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias pararesolver los problemas, dado que estos no son guiados ni seajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo quepuede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo lesasuste un poco.

10


Unidad 14 Cuerpos geométricos. VolúmenesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los alumnos deben distinguir entre figuras planas y figuras del espacio, y aprender correctamente sus nombres y suselementos. Es importante que comprendan el concepto de volumen, utilicen adecuadamente sus unidades de mediday sepan cómo pasar de unas a otras. También deben aprender y utilizar las fórmulas que permiten calcular el volumende cualquier figura geométrica.

• Utilizar objetos cotidianos: folio, pizarra, lapicero, caja, trozo de cartón… para clasificar y nombrar figuras del espa-cio y figuras planas.

• Tener en el aula los cuerpos geométricos en madera, plástico o cualquier otro material para que los alumnos pue-dan observar el tipo de caras que los forman, cuántas son, las diferencias entre unos y otros…

• Proponer actividades que acostumbren al alumno a dibujar las figuras y representar en ellas sus elementos.

• Utilizar el esquema de la unidad para resolver los ejercicios y problemas con el fin de que busquen las fórmulas ylas aprendan poco a poco.

• En la resolución de problemas, hacer esbozos y anotar los elementos conocidos y los que hay que obtener.

• Plantear, mediante problemas, el cálculo del volumen de figuras que sean del entorno del alumno.

1. 2. a) 4 dm3 b) 4 dm3 c) 9 dm3 d) 9 dm3

3. Todas las figuras tienen 27 unidades de volumen salvola c, que tiene 24.

4. Vcubo = l3 = 729 cm3

Vcilindro = Ab · h = 339,12 cm3

Vcono = · π · r2 · h = 2616,67 cm3

Vortoedro = Ab · h = 945 cm3

Vprisma = Ab · h = 336 cm3

Vpirámide = · Ab · h = 150 cm313

13

O

C

T

A

EG N E R

I

S

P

A T R I

L

I

C EITREV

N

D

R

O N O

B A S E

U

C

C

Z

D

R

OPA T E M

A

A


Los envases

Organizar a los alumnos en grupos de tres y pedirles que lleven de casa algún envase que tenga una forma geométricaconocida: cajas de cereales, latas de refrescos, tetra briks… de tal manera que cada componente del grupo debe llevarun envase con una forma distinta.

En el aula:

• Cada grupo debe escribir en una hoja los envases que ha elegido y su forma geométrica.

• Debajo del nombre harán un dibujo aproximado y anotarán en él las medidas de sus dimensiones: largo, ancho y alto,radio y altura… Para ello tendrán que realizar medidas directas sobre los envases.

• Después calcularán el volumen de cada uno de ellos y comprobarán si coincide con el indicado en la caja o si al menoses aproximado.

El inconveniente de la última comprobación es que en la mayoría de los casos, en los envases aparece el peso o el volu-men, y es probable que estos alumnos no sepan bien cómo relacionar unas unidades con otras. Podemos ayudarles conun ejemplo o, si no nos parece adecuado para su nivel, simplemente calcular el volumen.

ACTIVIDAD DE GRUPO




11

1. Observa los dibujos. Encuentra las palabras que se refieren a las figuras completas o al elemento mar-cado con trazo más grueso. Coloca después una letra de esa palabra en cada recuadro.

2. Halla el volumen de las figuras teniendo en cuenta que cada cubo equivale a 1 decímetro cúbico.

3. Encuentra la figura que tiene distinto volumen que el resto.

a) b) c) d)

4. Las medidas de las siguientes figuras están dadas en centímetros. Ana y Juan calcularon su volumen enel folio que hay escrito al lado, pero ahora no saben cuál corresponde a cada una de ellas. Ayúdales y escri-be debajo de cada figura su volumen correspondiente.


Pági

na

foto

cop

iab

le



10 letras

7 letras

6 letras

8 letras 4 letras

9

157

9

12

6

6

8

14

18

5

25

20

CÁLCULOSV = l3 = 729 cm3

V = Ab · h = 339,12 cm3

V = · · r 2 · h = 2616,67 cm3

V = Ab · h = 945 cm3

V = Ab · h = 336 cm3

V = · Ab · h = 150 cm313

13

12


Unidad 14 Cuerpos geométricos. VolúmenesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos han adquirido los conocimientos básicos de la geometría del espacio, por ello deben orientar estosconocimientos en la utilización de las fórmulas del volumen para fines distintos al de su propio cálculo, en la obten-ción del volumen de figuras que resultan de la composición de las formas básicas y en la resolución de problemas enlos que el cálculo del volumen sea un paso intermedio para conseguir otros objetivos como son:

• Calcular volúmenes de figuras obteniendo previamente alguno de los elementos de la fórmula.

• Utilizar la fórmula del volumen para calcular alguna de las dimensiones de un cuerpo geométrico.

• Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un dibujo aproximado, anotando loselementos conocidos y los desconocidos, y las fórmulas que los relacionan.

• Obtener el volumen de una figura que resulte de la composición de otras más sencillas.

• Resolver problemas en los que las fórmulas del volumen se utilicen con una finalidad distinta a la del cálculo del mismo.

1. 7 cm

2. 7 cm

3. a) La apotema del hexágono mide 4,33 cm.

a) El volumen del prisma es de 584,55 cm3.

b) La altura del cono es de 10,43 cm.

b) El volumen es de 133,79 cm3

4. La altura de la pirámide mide 34,58 cm.

El volumen de la pirámide es de 4610,67 cm3.

5. Vprisma − Vcilindro = 131,73 cm3 de madera tiene la pieza.

6. Se necesitan 108 volúmenes, que son 3 enciclopediasy un tercio.

17. 10 080 m3

18. 1391,15 cm3

19. VAZUL = x · y · z

VROJA = 1,5x · 1,5y · 0,5z = 1,125xyz

Tiene más volumen la caja roja.

10. La pirámide de Keops mide 146,44 metros de altura y230,12 metros de lado de la base.

Vpirámide = 2 584 920,53 m3 de tierra

Vcamión = 3,6 m3

2 584 920,53 : 3,6 = 718 033,48

Se necesitarán 718 034 camiones.


Del plano al espacio: los hexaminós

Se formarán grupos de tres o cuatro alumnos y se les darán las siguientes pautas:

1. Recordaremos que los poliminós son figuras formadas por cuadrados iguales unidos por sus lados de forma que almenos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado. Los triminós tienen tres cuadrados, los cua-triminós están formados por cuatro cuadrados, y así sucesivamente.

2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 × 1,5 cm sería ideal) y les pediremos que, de formaindividual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible.

3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes, y en ese momento empezará la labordel grupo.

4. Entre los miembros del grupo deberán intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan ycompletar la colección.

5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo limpioy ordenado para poder realizar la actividad final.

6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concepto,habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual les pro-porcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos.

ACTIVIDAD DE GRUPO




13

11. El volumen de un cubo es de 343 metros cúbicos. ¿Cuánto mide su lado?

12. Calcula la altura de un cilindro de 1,8 decímetros de diámetro sabiendo que su volumen es de 1780,38centímetros cúbicos.

13. Halla el volumen de las siguientes figuras:

a) b)

14. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 2 decímetros,y la apotema de la pirámide, 36 centímetros.

15. Los soportes de unas estanterías se sujetan al techo y al suelo mediante unas piezas de madera con for-ma de prisma cuadrangular de 10 centímetros de altura y 4 de lado de la base. En el centro del mismohay un hueco de forma cilíndrica de 9 centímetros de altura y 2 de diámetro.

¿Qué cantidad de madera se necesita para hacer el soporte?

16. Una enciclopedia está formada por 25 volúmenes de 20 � 28,50 � 3,5 centímetros cada uno. ¿Cuántasenciclopedias se necesitarían para llenar una caja de 6 � 5,7 � 6,3 decímetros? ¿Cuántos volúmenes?

17. La figura siguiente representa la capilla de un castillo. Calcula el volumen que ocupa.

18. De un queso se ha cortado una cuña como se muestra en la figura. Calcula el volumen del trozo que haquedado.

19. David tiene dos cajas, una azul y otra roja. La caja azul es el doble de alta que la roja, pero la caja rojaes una vez y media más ancha y más larga que la caja azul.

¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad?

10. Trabajo de investigación.

1. Busca las dimensiones de alguna de las pirámides de Egipto.

2. Halla las toneladas de tierra que se necesitarían para construir una igual, pero maciza.

Si se transportara la tierra en camiones con un remolque de 3 metros de largo, 1,5 de ancho y 0,8 de alto,¿cuántos se necesitarían para construirla?

11 cm

7 cm

h9 cm

5 cm

15 m

32 m18 m

20 m

7 cm

10,5 cm

50°



Pági

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:


1. Escribe el nombre de cada cuerpo geométrico y del elemento señalado con la a.

a) b)

2. Dibuja las siguientes figuras geométricas y señala en ellas todos sus elementos.

a) Pirámide pentagonal b) Cilindro

3. Calcula el volumen de:

a) Un prisma triangular, sabiendo que su base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 9 cen-tímetros, y su altura, 12 centímetros.

b) Un cubo de 7 decímetros de arista.

c) Una pirámide cuadrangular cuya altura mide 18 centímetros, y el lado de la base, 6 centímetros.

4. Halla la altura de un ortoedro de 1800 centímetros cúbicos de volumen sabiendo que la medida delancho y el largo del mismo es de 10 y 15 centímetros, respectivamente.

5. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

6. Halla el volumen de los siguientes cuerpos.

a) b)

7. El volumen de un cilindro es de 113,04 decímetros cúbicos, y el diámetro de la base mide 2 decímetros.¿Cuánto mide su altura?

8. Calcula el volumen de un cono de 10 centímetros de diámetro y 13 centímetros de generatriz.

9. ¿Dónde caben más litros de agua, en un depósito cilíndrico de 5 metros de radio y 5 metros de altura,o en uno cúbico de 5 metros de arista?

10. Se quiere construir una caja con forma de prisma de base cuadrada. Su volumen debe ser de 6,75 metroscúbicos, y su altura, de 3 metros. Calcula cuánto debe medir el lado de la base

12 cm

5 cm

20 cm

9 cm

5 cm

6 cm

8 cm

14 cm13 cm

7 cm

aa

Pági

na

foto

cop

iab

le




15

Pági

na

foto

cop

iab

le

1. a) Prisma hexagonal. La letra a es la altura. b) Cono. La letra a es la generatriz.

2. a) b)

3. a)

b) V = 73 = 343 dm3

c)

4.

5. a)

b)

6. a)

b)

7. La altura mide 36 decímetros.

8. Por el teorema de Pitágoras:

9.

Cabe más en el depósito cilíndrico.

10.

La base debe medir 1,5 metros.

V cm3= =13

5 6 1572· · ·π

A lbase3m m= = ⇒ = =

6 753

2 25 2 25 15,

, , ,

Vcubo = = m35 1253

Vcilindro m3= =π · · ,5 5 392 72

V cm3= =13

5 12 3142· ·π

h cm= − =13 5 122 2

h dm= =113 04

136

2

,·π

Alturabase = − = =+

5 15 4 779 1

2 2, , V22 4 77

220 10017

( ) ⋅= cm3

,· ,

Apotema cmbase = − = =8 4 6 9313

2 2 , ·V cm36 8 6 932

14 77616· · ,

· ,=

l V lcm cm3= ⇒ = = ⋅ =72

1372

13 318 52

22

· ,

V a b h hV

a bh= ⇒ = ⇒ = =· ·

· ·1800

10 15112 cm

V cm3= =13

6 18 2162· ·

V cm3= =5 9

212 270

··

Altura

BasesRadio

Base

Cara lateral

Vértice

Altura





guia 1o secundaria matematicas

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