gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr uc eksenli gerilme hali 1... · Üç eksenli gerilme...
Post on 24-Oct-2019
124 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Üç Eksenli Gerilme Hali
σ1
σ2
00
000
0( (σ1 ≠ 0
σ2 ≠ 0
σ3 ≠ 0
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
σ2
σ1
P
1
2
3
Üç Eksenli Gerilme Hali 1
Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerin üçü de sıfırdan farklı ise o noktadaki gerilme hali "üç eksenli gerilme hali"dir.
Literatürde genellikle böyle seçilir.
I1 ≠ 0I2 ≠ 0I3 ≠ 0
Gerilme invaryantları:
σ3
σ3
τxz
τxy
σx
τyz
τyxσy
τzxτzy
σz
x
i→
y
z
j→
k→
T ( i )→ →
T ( j )→ →
T (k )→ →
P
x
y
z
P
T ( i )→ →
T ( j )→ →
T (k )→ →
(σ) =
σx τxy
σyτyx( ( ( (=
τzyτzx
τyz
τxz
σz
x1
x2
x3
e1→ →
→
e2
e3
x1
x2
x3
=
σ11( (σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
= σij (i, j = 1,2,3)
σxx τxy
σyyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σzz
=
σij = σji (i, j = 1,2,3)
(σ) = (σ)T
Üç Eksenli Gerilme Hali 2
Gerilme tansörünün dönüştürülmesi
Doğrultman kosinüsleri
}
Dönüştürme matrisi
Dönüştürme matrisi ortogonal bir matristir.
nij = ei ' • ej→ →
ekseniüzerindeki
birimvektör
xi'
→
xj ekseniüzerindekibirimvektör
→
ekseni ilexj ekseni
arasındakiaçının kosinüsü
x2' ekseni ilex1 ekseni
arasındaki açı
İndislerin açıklaması
(N)T = (N)−1
θ21
(N) =
n11( (n12
n22n21
n32n31
n13
n23
n33
= cos−1n21
nij = ei ' • ej→ →
xi'
(i, j=1,2,3)
det(N) = ± 1
τxz
τxy
σx
τyz
τyxσy
τzxτzy
σz
x
y
z
P
x1
x2
x3
τx'z'
τx'y'
σx'
τy'z'
τy'x' σy'
τz'x' τz'y'
σz'
x' y'
z'
P
x1'
x2'
x3'
x
y
z
x1x2
x3
x' y'
z'
x1'
x2'
x3'
θ21
θ32θ13
θ22σx τxy
σyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σz
σx' τx'y'
σy'τy'x'( (τz'y'τz'x'
τy'z'
τx'z'
σz'
Üç Eksenli Gerilme Hali 3
(σ' ) = (N) (σ) (N)T
σij' = nik njl σkl
(σ) = (N)T (σ' ) (N)
σij = nik njl σkl'
(i,j,k,l =1,2,3)
(i,j,k,l =1,2,3)
n11( (n12
n22n21
n32n31
n13
n23
n33
σx τxy
σyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σz
σx' τx'y'
σy'τy'x'( (τz'y'τz'x'
τy'z'
τx'z'
σz'
=
n11( (n21
n22n12
n23n13
n31
n32
n33
n11( (n12
n22n21
n32n31
n13
n23
n33
σx τxy
σyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σz
σx' τx'y'
σy'τy'x'( (τz'y'τz'x'
τy'z'
τx'z'
σz'
=
n11( (n21
n22n12
n23n13
n31
n32
n33
σx' = n112 σx + n12
2 σy + n132 σz + 2 n11n12 τxy + 2 n11n13 τxz + 2 n12n13 τyz
σy' = n212 σx + n22
2 σy + n232 σz + 2 n21n22 τxy + 2 n21n23 τxz + 2 n22n23 τyz
σz' = n312 σx + n32
2 σy + n332 σz + 2 n31n32 τxy + 2 n31n33 τxz + 2 n32n33 τyz
τx'y' = n11 n21 σx + n12 n22 σy + n13 n23 σz + (n11n22 + n12 n21) τxy + (n11 n23 + n13 n21) τxz + (n12 n23 + n13 n22) τyz
τx'z' = n11 n31 σx + n12 n32 σy + n13 n33 σz + (n11n32 + n12 n31) τxy + (n11 n33 + n13 n31) τxz + (n12 n33 + n13 n32) τyz
τy'z' = n21 n31 σx + n22 n32 σy + n23 n33 σz + (n21n32 + n22 n31) τxy + (n21 n33 + n23 n31) τxz + (n22 n33 + n23 n32) τyz
τyx = τxy
τzx = τxz
τzy = τyz
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 4
x
y
z
−T ( i )→ →
−T ( j )→ →
−T (k )→ →
x1
x2
x3
dA3
dA2
dA1
dA
T (n )→ →
=−T (n)→ →
T (−n)→ →
n : Eğik yüzeyin normali üzerindeki birim vektör→
Eğik yüzeyin normali, x' (x'1) ekseni ile çakıştırılmıştır.
e1' • e1 = n11 = n1 = l→ →
ΣF = 0→ →
Herhangi bir P noktasından geçen herhangi bir yüzeye etki eden eğik gerilme ve bileşenleri
i→ j
→
k→
T (n) dA − T (i ) dA1 − T ( j ) dA2 − T (k ) dA3 = 0→ → → → → → → →
dA1 = ( n • i ) dA = n1 dA→ →
n = n1 i + n2 j + n3 k→ → → →
e1→ →
→
e2
e3
dA2 = ( n • j ) dA = n2 dA→ →
dA3 = ( n • k ) dA = n3 dA→ → } T (n) = T (i ) n1 + T ( j ) n2 + T (k ) n3
→ → → → → → → →
T (n) = T1(n) i + T2
(n) j + T3(n) k
→ → →→ →→ →→
n = l i + m j + n k→ → → →
T (n) = Tx(n) i + Ty
(n) j + Tz(n) k
→ → →→ →→ →→
→
n =
n1
n2
n3( ( l
m
n( (=
→
x'
n = e1'→ →
x'1 n→e1'→
n
Bu dörtyüzlünün eksenlere dik olan yüzeyleri negatif yüzeydir.
e1' • e2 = n12 = n2 = m→ →
e1' • e3 = n13 = n3 = n→ →
Üç Eksenli Gerilme Hali 5
T (n) = T (i ) n1 + T ( j ) n2 + T (k ) n3
→ → → → → → → →
T (n) = (σ) • n = (σ)T (n) = → → →
T1(n) = n1 σx + n2 τyx + n3 τzx = Tx
(n)→ →
T2(n) = n1 τxy + n2 σy + n3 τzy = Ty
(n)→ →
T3(n) = n1 τxz + n2 τyz + n3 σz = Tz
(n)→ →
Tj(n) = ni σij
→
T ( i )→ →
T ( j )→ →
T (k )→ →
(σ) =
σx τxy
σyτyx( ( ( (=
τzyτzx
τyz
τxz
σz
T ( i )→ →
T ( j )→ →
T (k )→ →( (
σx τyx
σyτxy( (τyzτxz
τzy
τzx
σz
n1
n2
n3( (
31 32 31
→→→
→Bir tansör ile bir vektörün iç çarpımı = bir vektör
a • b = ax bx + ay by + az bz→ →
31 3031
→ →→
İki vektörün iç çarpımı (skaler çarpımı):
}1 − 1 = 0
1 = 2 − 1
a • b = (a)T (b) = (ax ay az)→ →
a = (a) =
ax
ay
az( (→ b = (b) =
bx
by
bz( (→
bx
by
bz( (
( (T (n) = (T) = = = =→ →
T1(n)
→
T2(n)
→
T3(n)
→ ( (Tx(n)
→
Ty(n)
→
Tz(n)
→ ( (Tx
Ty
Tz
n1
n2
n3( (
(i, j =1,2,3)
İki vektörün iç çarpımı = bir skaler
σx τyx
σyτxy( (τyzτxz
τzy
τzx
σz( ( ( (= n1 + n2 + n3( (
T (n) = T ( i ) n1 + T ( j ) n2 + T ( k ) n3
→ → → → → → → →
→ → → →
(σ)T}
} Tx(n)
→
Ty(n)
→
Tz(n)
→
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 6
x
y
z
−T ( i )→ →
−T ( j )→ →
−T (k )→ →
x1
x2
x3
n→T (n )→ →
σn = T (n) • n = T1(n) n1 + T2
(n) n2 + T3(n) n3
→ → → → →
τn
→
σn = Tx l + Ty m + Tz n
σn = [(σ)• n ] • n→ →
T1(n) = n1 σx + n2 τyx + n3 τzx = Tx
→
T2(n) = n1 τxy + n2 σy + n3 τzy = Ty
→
T3(n) = n1 τxz + n2 τyz + n3 σz = Tz
→
(T (n))2 = σn2 + τn
2→
σn = n12 σx + n2
2 σy + n32 σz + 2 n1n2 τxy + 2 n1n3 τxz + 2 n2n3 τyz
τyx = τxy
τzx = τxz
τzy = τyz
τn2 = n1
2 n22 (σx − σy)
2 + n22 n3
2 (σy − σz)2 + n3
2 n12 (σz − σx)
2 +
− 4(n1 n2 τxy + n1 n3 τxz + n2 n3 τyz )2 − 2(n1 n2 τxy σz + n1 n3 τxz σy + n2 n3 τyz σx) +
+ 2(n1 n2 τxy + n1 n3 τxz + n2 n3 τyz ) [(1 − 2n12) σx + (1 − 2n2
2) σy + (1 − 2n32) σz]
+ (n2 τxy + n3 τxz)2 + (n1 τyx + n3 τyz)
2 + (n1 τzx + n2 τzy)2 −
τn = τx' = τ2x'y' + τ2
x'z'√________
x'
σn = σx'
nσnσx'τx'
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 7
n→T (n )→ →
σn = T (n) • n = → →
σn
τn
→ [(σ) • n ] • n→ →
(T (n))2 = σn2 + τn
2→
σn = n12 σ1 + n2
2 σ2 + n32 σ3
τn2 = n1
2 n22 (σ1 − σ2)
2 + n22 n3
2 (σ2 − σ3)2 + n3
2 n12 (σ3 − σ1)
2
Eksenler, asal eksenler ile çakıştırılırsa:
1
2
3
T (n) = n1 σ1 i + n2 σ2 j + n3 σ3 k→ → → → →
(T (n))2 = n12 σ1
2 + n22 σ2
2 + n32 σ3
2→
σ1 0
σ20( (00
0
0
σ3
n1
n2
n3( (T (n) = (σ) • n = (σ)T (n) = =
→ → →
n1 σ1
n2 σ2( (n3 σ3
−σ1
σn = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3
(T (n))2 = l2 σ12 + m2 σ2
2 + n2 σ32
→
τn2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)
2 + m2 n2 (σ2 − σ3)2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)
2
→
−σ3→
−σ2→
x'n
x
y
z
x1
x2
x3
Üç Eksenli Gerilme Hali 8
Asal gerilmelerEğik gerilmenin, yüzey normali ile çakışık olması durumu
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
- Asal gerilmeler, normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali üç eksenli olduğu zaman üç tane asal gerilme vardır.- Asal gerilmeler, gerilme tansörünün özdeğerleridir.
σx τxy
σyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σz
T ( i )→ →
T ( j )→ →
T (k )→ →( ((σ) = =
"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.
T (n ) = σn n = λ n =→ → → →
P
x
y
z
−T ( i )→ →
−T ( j )→ →
−T (k )→ →
x1
x2
x3
n→
T (n )→ →
σn
τn = τx' = 0
x'
σn = σx' = λ
σx'
n
σn = n12 σx + n2
2 σy + n32 σz + 2 n1n2 τxy + 2 n1n3 τxz + 2 n2n3 τyz
σ1
σ2
0
0
00
0
0( (σ3
σn = σ1
σn = σ2
σn = σ3
veya
veya
σx τyx
σyτxy( (τyzτxz
τzy
τzx
σz
T (n) = =→ → ( (Tx
Ty
Tz
n1
n2
n3( (
λ n1
λn2
λn3( ( σx τxy
σyτyx( (τzyτzx
τyz
τxz
σz
n1
n2
n3( (λ n1
λn2
λn3( (=→
τxy
τyx
τzyτzx
τyz
τxzσx−λ
σy−λ
σz−λ( ( n1
n2
n3( ( 0
0
0( (=}
σij − λ δij
≡ |σij − λ δij| = 0 →
λ1 = λmax = σ1
λ2 = σ2
λ3 = λmin = σ3
(σ)T = (σ)}
Üç Eksenli Gerilme Hali 9
Gerilme halinin invaryantlarıGerilme tansörünün değişmezleri
Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörünbileşenleri de değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.
Gerilme halinin invaryantlarını x-y-z eksenlerindeki gerilme bileşenleri cinsinden bulalım:
| = 0 → − λ3 + I1 λ2 − I2 λ + I3 = 0
Gerilme tansörününbirinci invaryantı
→
→
→ Bu üçüncü derecedendenklemin kökleriasal gerilmeleri verir.
I1 = σx + σy + σz = σ1 + σ2 + σ3 = tr(σ) = σkk
I2 =
I1, I2 ve I3 değerleri,eksen takımı değişse de değişmeyen değerlerdir.
σx τxy
σyτyx| |
Gerilme tansörününikinci invaryantı
τxy
τyx( (τzyτzx
τyz
τxzλ
λ
0
0
00
0
0( (λ
(σ) = +
σx−λ
σy−λ
σz−λ}
σij − λ δij
τxy
τyx
τzyτzx
τyz
τxzσx−λ
σy−λ
σz−λ|
Gerilme tansörününüçüncü invaryantı
→
σx τxz
σzτzx| |+ +
σy τyz
σzτzy| | = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 = –– (σii σjj − σij σji)
12
|τxy
τyx
τzyτzx
τyz
τxzσx
σy
σz|I3 = = σ1σ2 σ3 = det(σ)
τxy
τyx
τzyτzx
τyz
τxzσx
σy
σz
( (=
λ δij
}
λ1 = λmax = σ1
λ2 = σ2
λ3 = λmin = σ3
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 10
n→T (n )→ →
σn
τn
σn = n12 σ1 + n2
2 σ2 + n32 σ3
τn2 = n1
2 n22 (σ1 − σ2)
2 + n22 n3
2 (σ2 − σ3)2 + n3
2 n12 (σ3 − σ1)
2
Eksenler, asal eksenler ile çakıştırılarak:
1
2
3
−σ1→
−σ3→
−σ2→
x'n
x
y
z
x1
x2
x3
Kayma gerilmesinin maksimum değerleri
τn = τmax
σn = ––––––
τmax = ––––––––––|σmax − σmin|
2
τmax = –––––––|σ1 − σ3|
2
σ1 + σ3
2
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
n1 = ± –––12√__
n3 = ± –––12√__
n2 = 0 }P
n→
T (n )→ →
1
2
3
−σ1→
−σ3→
−σ2→
x'n
σ2→
σn
τmax
τn
45o
45o
Kayma gerilmesinin maksimum olduğu 4 tane yüzey vardır.Bu yüzeylerdeki kayma gerilmelerinin değerleri aynıdır.Bu yüzeylerin normalleri 2-eksenine diktir.
n1 = –––12√__
n3 = –––12√__
n2 = 0Bu 4 yüzeyden birisi,yandaki şekilde gösterilmiştir.}
n→
x'n
T (n )→ →
σn
τmaxτn
3
−σ1→
−σ3→
1
45o
45o
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 11
n→Toct
→
σoct
σn = n12 σ1 + n2
2 σ2 + n32 σ3
τn2 = n1
2 n22 (σ1 − σ2)
2 + n22 n3
2 (σ2 − σ3)2 + n3
2 n12 (σ3 − σ1)
2
Oktahedral gerilmelerAsal eksenler ile eşit açılar yapan yüzeylere etki eden eğik gerilme ve bileşenleri
1
2
3
x'n
n1 = n2 = n3 = ± –––13√__
τoct
τn = τoct
σn = σoct→
σoct = –– (σ1 + σ2 + σ3) = σm
τoct = –– (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)
2 + (σ3 − σ1)2
13
13
σoct = –– (σx + σy + σz)13
τoct = –– 2 I12 − 6 I2 = –– 6 J2
13 √
________13 √
____
τoct = –– (σx − σy)2 + (σy − σz)
2 + (σz − σx)2 + 6 (τxy
2 + τyz2 + τzx
2)13
τoct = –– (σ12 + σ2
2 + σ32) − –– (σ1 + σ2 + σ3)
213
19
1/2
1/2
]1/2
τn
σn
8 tane yüzey vardır.
σoct= –– I1 = –– tr (σ)13
13
Ortalamanormal gerilme→
]
] ]
] ]
τoct = –– 2(σ1 + σ2 + σ3)2 − 6(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)
13
1/2] ]
P
Üç Eksenli Gerilme Hali 12
Deviatorik gerilme tansörü
τxy
τyx( (τzyτzx
τyz
τxz0
0
00
0
0( ( + }
σij = σm δij + sij (i, j=1,2,3)
τxy
τyx
τzyτzx
τyz
τxzσx
σy
σz
( (= }
τxz
τxy
σx
τyz
τyx
σy
τzxτzy
σz
x
y
z
P
x
y
z
P τxz
τxy
τyz
τyx
τzxτzy
x
y
z
Deviatorik gerilme tansörü
+=
σz−σm
sij
Hidrostatik gerilme tansörü
Volümetrik gerilme tansörüOrtalama normal gerilme tansörü
σm δij
}
σij
σm = σoct = –– (σx + σy + σz) = –– (σ1 + σ2 + σ3) = = –– I113
13
13
( (sxy
syx
szyszx
syz
sxzsx
sy
sz
sij = (s) =
σm
σm
σm
σy−σm
σx−σm
σm
σm
σm σz−σm
σy−σm
σx−σm
Üç Eksenli Gerilme Hali 13
Deviatorik gerilme tansörünün invaryantları
J1 = s1 + s2 + s3 = skk = tr (s) = 0
J2 = s1 s2 + s2 s3 + s3 s1 = –– sij sji12
J3 = s1 s2 s3 = –– sij sjk ski = det(s)
= –– (σx − σy)2 + (σy − σz)
2 + (σz − σx)2 + τxy
2 + τyz2 + τzx
216 ]]
13
= –– (σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)
2 + (σ3 − σ1)21
6 ]]
= –– I12 − I2 = –– τ2
oct13
32
= ––– I13 − –– I1I2 + I3
227
13
σ1−σm
σ2−σm
σ3−σm
( (sij = (s) = ( (0
0
00
0
0s1
s2
s3
=
0
0
00
0
0
Üç Eksenli Gerilme Hali 14
Mohr çemberiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
Mohr çemberi nedir?
- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterimidir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenin dik olduğu yüzeydeki gerilmebileşenlerini veren grafiktir (x' ekseni döndürülen eksendir).
σn = T (n) • n = → → → [(σ) • n ] • n→ →P
n→T (n )→ →
στ
1
2
3
−σ1→
−σ3→
−σ2→
x'n (T (n))2 = σn
2 + τn2
→
σn
τn T 2 = σ2 + τ2
σ = σn = σx'
τ = τn = τx'
l2 + m2 + n2 = 1
σn = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3
τn2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)
2 + m2 n2 (σ2 − σ3)2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)
2
= l 2 σ12 + m2 σ2
2 + n2 σ32
Üç Eksenli Gerilme Hali 15
l2 + m2 + n2 = 1
l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3 = σ
l 2 σ12 + m2 σ2
2 + n2 σ32 = σ 2 + τ 2
1 1
( (1 l2
m2
n2( (1
σ( (σ2+τ2
→ σ1 σ2 σ3
σ12 σ2
2 σ32
=
1 1
( (1 l2
m2
n2( (1
( (σ2+τ2−σ1
2
=σ2−σ1 σ3−σ10 σ−σ1
σ22−σ1
20 σ32−σ1
2
1 1
( (1 l2
m2
n2( (1
( (=σ2−σ1 σ3−σ10 σ−σ1
0 0 σ32−σ1
2−(σ3−σ1)(σ1+σ2) σ2+τ2−σ12−(σ−σ1)(σ1+σ2)
n2 = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––σ2 +τ2−σ1
2−(σ−σ1)(σ1+σ2)
σ32−σ1
2−(σ3−σ1)(σ1+σ2)
(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2
(σ3−σ1)(σ3−σ2)
m2 = –––––––––––––––(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2
(σ2−σ1)(σ2−σ3)
l2 = –––––––––––––––(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2
(σ1−σ2)(σ1−σ3)
Üç Eksenli Gerilme Hali 16
n2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2
(σ1−σ3)(σ2−σ3)
m2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2
(σ2−σ1)(σ2−σ3)
l2 = ––––––––––––––– ≥ 0(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2
(σ1−σ2)(σ1−σ3)
}≥ 0
} } < 0 < 0
σ1>σ2>σ3
→
}≤ 0
} } < 0 > 0}≥ 0
} } > 0 > 0
→
→
(σ−σ1)(σ−σ2) + τ2 ≥ 0
(σ−σ1)(σ−σ3) + τ2 ≤ 0
(σ−σ2)(σ−σ3) + τ2 ≥ 0
[σ − –– (σ1+σ3)]2 + τ 2 ≤ [–– (σ1−σ3)]
212
12
[σ − –– (σ1+σ2)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ1−σ2)]
212
12
[σ − –– (σ2+σ3)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ2−σ3)]
212
12
Üç Eksenli Gerilme Hali 17
[σ − –– (σ1+σ3)]2 + τ 2 ≤ [–– (σ1−σ3)]
212
12
[σ − –– (σ1+σ2)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ1−σ2)]
212
12
[σ − –– (σ2+σ3)]2 + τ 2 ≥ [–– (σ2−σ3)]
212
12
(σ1 ,0)(σ2 ,0)
τ
σ(σ3 ,0)
Bu denklemler,aşağıdaki alanı tanımlayan denklemlerdir.
σ1>σ2>σ3
–– (σ1+σ3) , –– (σ1−σ3)12
12
–– (σ1+σ2) , –– (σ1−σ2)12
12
–– (σ2+σ3) , − –– (σ2−σ3)12
12
]]
]]
]]
Not: Bu şekil, asal gerilmelerin hepsinin pozitif olduğu durum için çizilmiştir.
Üç Eksenli Gerilme Hali 18
τ
σ
A (σ,τ)
T
T 2 = σ2 + τ2
τ
σ σ1σ2σ3
σ = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3
τ 2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)2 + m2 n2 (σ2 − σ3)
2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)2 Bir P noktasından geçen herhangi bir yüzeye
etki eden eğik gerilme T nin bileşenleri σ ve τ,bu alanın içinde veya sınırlarında bir noktanınkoordinatlarını belirtir.
→Bu denklemin, biri pozitif diğeri negatif iki eşit kökü vardır.Üç eksenli gerilme halinde, herhangi bir yüzeye etki edenkayma gerilmesinin negatif olması bir anlam ifade etmez.Ondan dolayı sadece pozitif kökün, yani mohr çemberlerininüst bölgesinin göz önüne alınması yeterli olur.
Üç Eksenli Gerilme Hali 19
τ
σ
Sarı çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü l = 0 olan, yani yüzey normali, 1-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.Kahverengi çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü m = 0 olan,yani yüzey normali, 2-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.Mavi çember, yüzey normalinin doğrultman kosinüsü n = 0 olan,yani yüzey normali, 3-eksenine dik olan yüzeylere karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
m = 0
n = 0
l = 0
σ1σ2σ3
l 2 + m 2 + n 2 = 1
Üç Eksenli Gerilme Hali 20
Herhangi bir yüzeye karşılık gelen noktanın grafik yolla bulunması
l2 + m2 + n2 = 1
σ1σ2
τ
σσ3
cos−1 lcos−1n
l > 0n > 0
(σ,τ)
13
Yüzey normalinin doğrultman kosinüsleri l, m ve n olan bir yüzeye etki eden eğik gerilmenin bileşenleriningrafik yolla bulunması
τ
σ
Üç Eksenli Gerilme Hali 23
σ1σ2
τ
σσ3
(σ,τ)
l = cosθ1
m = cosθ2
n = cosθ3
θ1 = cos−1 l
θ2 = cos−1m
θ3 = cos−1n
θ1 + θ2 < 90o olamaz.
θ2 + θ3 < 90o olamaz.
θ3 + θ1 < 90o olamaz.
θ3
θ2
θ3 + θ1
θ2 + θ1
123
θ1
l2 + m2 + n2 = 1
Üç Eksenli Gerilme Hali 24
σ1σ2
τ
σσ3
A (σ,τ)
θ1
θ3
θA2
123
Birinin yüzey normalinin doğrultman kosinüsü, diğerinin negatifine eşit olan yüzeylerdeki gerilme bileşenleri eşittir.
σ = l 2 σ1 + m2 σ2 + n2 σ3
τ 2 = l 2 m2 (σ1 − σ2)2 + m2 n2 (σ2 − σ3)
2 + n2 l 2 (σ3 − σ1)2
mA = −mB
θB2
mA2 = mB
2
B (σ,τ)
Örnek:
Üç Eksenli Gerilme Hali 25
σ1σ2
τ
σσ3
θ1
Yüzey normali, 1-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen çemberler
1
Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali, 1-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.
Üç Eksenli Gerilme Hali 26
σ1σ2
τ
σσ3
θ2
2
Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali 2-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.
Yüzey normali, 2-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen çemberler
Üç Eksenli Gerilme Hali 27
σ1σ2
τ
σσ3
θ3
Yeşil bölgede yer alan ve aynı çember üzerinde bulunan noktalar,yüzey normali 3-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen noktalardır.
3
Yüzey normali, 3-ekseni ile aynı açıyı yapan yüzeylere karşılık gelen çemberler
top related