gerak rotasi benda tegar
Post on 11-Jul-2015
2.832 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Gerak Rotasi Benda Tegar
Gerak Rotasi Benda Tegar
Gerak benda yang berputar terhadap suatu sumbu putar (poros) atau sumbu rotasi
disebut gerak rotasi. Contoh gerak rotasi diantaranya: gerakan putaran bumi terhadap
sumbunya, roda sepeda yang berputar, gerakan pintu yang berputar pada engselnya,
dan masih banyak lagi. Dengan menggunakan sistem koordinat polar, posisi benda
dapat dinyatakan dalam r dan θ. Pada gambar dibuat hubungan bahwa:
komponen pada sumbu x ; x = r cos θ
komponen pada sumbu y ; y = r sin θ
besar posisi;
arah posisinya;
Keterangan:
r = jarak titik P terhadap titik pusat benda melingkar
x = proyeksi titik P terhadap sumbu x
y = proyeksi titik P terhadap sumbu y
θ = sudut r terhadap x
Hubungan besaran-besaran s , r dan θ secara geometri adalah:
Jika θ dinyatakan dalam radian maka:
Keterangan :
s = panjang busur lingkaran dalam meter
r = jari-jari titik tinjauan terhadap pusat lingkaran dalam meter
θ = sudut yang dibentuk dalam radian (derajat)
1 putaran = 3600 = 2π rad
1 rad = 1800
𝜋
1 radian adalah sudut yang dibentuk oleh suatu juring lingkaran yang
panjang busurnya sama dengan jari-jari lingkaran.
Kecepatan Sudut
Dinotasikan dengan ω, satuannya rad/s atau putaran/s.
Kecepatan sudut rata-rata partikel adalah perubahan posisi sudut dibagi selang waktu.
Dengan persamaannya dirumuskan sebagai:
Keterangan:
∆θ = θ2 – θ1 = perubahan posisi sudut dalam rad atau putaran
∆t = t2 – t1 = selang waktu dalam sekon
Kecepatan sudut sesaat
Dinotasikan dengan ω, satuannya rad/s atau putaran/s.
Untuk Δθ yang diambil kecil sekali (mendekati nol) maka kecepatan sudut rata-
ratanya merupakan gradien garis singgung kurva posisi sudut terhadap waktu.
Kecepatan sudut tersebut dinamakan kecepatan sudut sesaat. Secara matematis
kecepatan sudut rata-rata dituliskan sebagai:
Keterangan: ∆𝜃
∆𝑡 = turunan posisi sudut terhadap waktu
ω = kecepatan sudut (radian /sekon) atau dengan satuan lain yaitu rpm (rotation
permenit)
Hubungan timbal balik posisi sudut dari kecepatan sudut
Posisi sudut didapat dari kecepatan sudutnya dengan cara mengintegralkan kecepatan
sudut. Apabila posisi sudut awal partikel (t=0) adalah θ0, maka posisi sudut pada
waktu t dapat dicari dengan persamaan sebagai berikut:
ω = Dengan menggunakan integral biasa dapat ditulis hubungan antara posisi sudut
dari kecepatan sudut sebagai berikut:
Keterangan:
θ0 = posisi sudut awal, satuannya radian
θt = posisi sudut setelah t sekon, satuannya radian
t = lamanya berputar, satuannya sekon
ω = kecepatan sudut, satuannya radian/sekon
Percepatan sudut rata-rata
Dinotasikan dengan 𝛼 , satuannya rad/s2 atau putaran/s2.
Percepatan sudut rata-rata dapat didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut
dibagi selang waktunya.
Keterangan:
∆ω = ω2 – ω1 = perubahan kecepatan sudut dalam rad/s
∆t = t2 – t1 = selang waktu dalam sekon
Percepatan sudut sesaat
Dinotasikan dengan , satuannya rad/s2 atau putaran/s2
Untuk Δt yang kecil (mendekati nol) maka percepatan sudut rata-rata merupakan
gradien garis singgung kurva kecepatan sudut terhadap waktu.
Besarnya percepatan sudut dirumuskan sebagai:
Penentuan kecepatan sudut dari percepatan sudut
Kecepatan sudut dicari melalui percepatan sudut dengan cara mengintegralkan
percepatan sudut yang telah diketahui. Secara matematis dapat diuraikan sebagai
berikut:
Bila konstan maka persamaannya menjadi:
Keterangan:
ωt = kecepatan sudut akhir, satuannya rad/s
ω0 = kecepatan sudut awal, satuannya rad/s
= percepatan sudut, satuannya rad/s2
t = waktu yang ditempuh, satuannya sekon
Sedangkan posisi sudut untuk konstan dicari dengan persamaan:
θt=θ0 + ωt dt
θt=θ0 + (ω0+ t) dt
Keterangan:
θ0 = posisi sudut awal, satuannya rad atau putaran
θt = posisi sudut akhir, satuannya rad atau putaran
Secara garis besar hubungan antara besaran-besaran dalam gerak rotasi dan gerak
translasi dibuat tabel berikut ini:
Hubungan antara Gerak Rotasi dan Translasi
Momen Gaya
Dinotasikan dengan 𝜏 (tau), satuannya N.m.
Benda dikenakan suatu gaya, salah satu akibatnya adalah terjadinya perubahan gerak
pada benda tersebut, yaitu gerak rotasi atau gerak translasi. Hal ini dapat diartikan
bahwa bila pada benda dikerjakan gaya, maka akan melakukan gerak rotasi saja atau
melakukan rotasi dan translasi atau melakukan gerak translasi saja.
Perhatikan gambar berikut!
Sebuah titik O dipengaruhi sebuah gaya F seperti gambar, momen gaya yang timbul
dapat dirumuskan sebagai:
Dengan = momen gaya, satuannya N.m
F = gaya, satuannya N
r = jarak titik O terhadap garis kerja gaya, satuannya meter
Untuk momen gaya karena pengaruh beberapa gaya, maka momen gaya totalnya
dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
Momen gaya yang mengakibatkan putaran searah jarum jam diberi tanda (+) positif
sedangkan momen gaya yang menyebabkan putaran berlawanan dengan jarum jam
diberi tanda (-) negatif.
Bila gaya bukan tegak lurus dapat dilakukan dengan
a. mengeser gaya sepanjang garis kerja gaya sehingga tegak lurus dengan posisi
sumbu rotasi
b. menguraikan gaya atas komponen-komponennya
Momen Inersia Titik Partikel
Dinotasikan dengan I, satuannya kg.m2
Momen inersia suatu partikel adalah hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak
terhadap sumbu putarnya dan dirumuskan dengan:
Jika titik masa partikel lebih dari satu maka momen inersianya dapat dihitung dengan
rumus:
dimana:
I = momen inersia, satuannya kg.m2
m = massa partikel, satuannya kg
r = jarak partikel terhadap sumbu putar, satuannya m
Momen Inersia benda tegar
Perhatikan gambar berikut ini!
Sebuah elemen massa dm berjarak r terhadap sumbu rotasi. Apabila sebuah benda
pejal terdiri dari distribusi materi yang kontinue, maka kita dapat menganggap benda
terdiri dari sejumlah besar elemen massa dm yang tersebar merata. Momen Inersia
benda adalah jumlah dari momen inersia semua elemen massa tersebut, r2 dm. Untuk
dm yang jumlahnya banyak, penjumlahan menjadi sebuah integral.
Dengan batas-batas integral yang dipilih sehingga mencakup seluruh benda.
Besar momen Inersia tergantung pada:
- Bentuk benda
- Massa benda
- Letak sumbu putarnya
Momen Inersia untuk berbagai bentuk benda:
a. Batang Homogen
- Diputar pada salah satu ujungnya:
- Diputar ditengah-tengahnya:
Dimana:
m = massa batang, satuannya kg
L = panjang batang, satuannya m
b. Cincin
- Berongga poros di pusat
- Pejal poros di pusat
- Pejal diputar pada salah satu sisi
Keterangan:
m = massa cincin, satuannya kg
R = jari-jari cincin, satuannya m
c. Silinder
- Silinder Berongga dengan poros melalui pusat
- Silinder Pejal dengan poros melalui pusat
- Silinder Berongga dengan 2 jari-jari dalam dan luar dengan poros melalui pusat
dengan:
m = massa silinder = kg
R1 = Jari-jari dalam = m
R2 = Jari-jari luar = m
R = Jari-jari silinder berongga atau pejal
d. Bola
- Bola Berongga dengan poros pusat bola
- Bola Pejal dengan poros pusat bola
Selanjutnya untuk mencari momen inersia dari benda-benda yang bentuknya seperti
di atas tetapi dengan sumbu putar pada jarak L dan sejajar dengan sumbu mula-mula,
melalui poros massa, dapat digunakan rumus sumbu sejajar:
dengan
I = Momen Inersia yang baru dalam kg. m2
I0 = momen inersia dengan poros melalui pusat massa dalam kg.m2
M = massa benda dalam kg
L = jarak sumbu mula-mula melalui pusat massa dengan yang baru dalam m
Energi Kinetik Rotasi
Energi kinetik rotasi sebuah benda pejal dapat diturunkan dari energi kinetik translasi
sebagai berikut:
dengan
m = massa benda dalam kg;
v = kecepatan linier benda dalam m/s2
Ek = energi kinetik benda dalam joule.
Mengingat v = ω R maka
Karena mR2 adalah momen inersia maka rumus energi kinetik rotasi dapat
dirumuskan sebagai:
dengan:
Ek rot = energi kinetik rotasi dalam joule
I = momen inersia benda dalam kg.m2
ω = kecepatan sudut dalam rad/s
Usaha dalam Gerak Rotasi
Perhatikan gambar berikut ini !
Sebuah gaya F bekerja pada jarak R dari sumbu putar benda.
Usaha yang dilakukan oleh sebuah momen gaya yang bekerja untuk merotasikan
sebuah benda tegar sejauh dθ dapat diperoleh dari rumus gerak linier sebagai berikut:
W = F.s = F. Rθ; karena F.R adalah momen gaya maka:
dengan
W = usaha gerak rotasi dalam joule
τ = momen gaya dalam kg.m
θ = sudut yang dibentuk dalam rad
Dalam gerak rotasi sebuah momen gaya melakukan kerja pada benda dan mengubah
energi kinetik rotasinya sesuai dengan hubungan
Hubungan momentum sudut dengan momen gaya
Analogi dengan hubungan impuls dan momentum maka hubungan momentum sudut
dengan momen gaya dapat diperoleh :
τ dt = dL atau
dengan τ = momen gaya dan dL/dt adalah turunan dari momentum sudut terhadap
waktu
Hukum Kekekalan Momentum Sudut
Bila tidak ada gaya dari luar yang bekerja pada benda maka berlaku hukum kekekalan
momentum sudut yaitu :
a. untuk satu benda
I1 = momen inersia keadaan 1, ω1 = kecepatan sudut keadaan 1, L1 = momentum
sudut keadaan 1
I2 = momen inersia keadaan 2, ω2 = kecepatan sudut keadaan 2, L2 = momentum
sudut keadaan 2
b. untuk dua benda
I1. ω1 + I2. ω2 = ( I1 + I2 )ω Bila arah gerak searah
I1. ω1 - I2. ω2 = ( I1 + I2 )ω Bila arah gerak berlawanan arah
I1 = momen inersia benda 1 dalam kg.m2 ; ω1 = kecepatan sudut benda 1 dalam rad/s
I2 = momen inersia benda 2 dalam kg.m2 ; ω2 = kecepatan sudut benda 2 dalam rad/s
ω = kecepatan sudut benda gabungan benda 1 dan benda 2 dalam rad/s
top related