geostatistik kriging 21.01.02sarah böckmann1 geostatistik kriging

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Geostatistik Kriging

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Geostatistik Kriging

Gliederung• Einleitung• Theoretisches Semivariogramm• Empirisches Semivariogramm• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 1• Anwendung des Semivariogramms auf Kriging• Kriging-Varianz• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 2

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Bisher:deterministische Interpolation

ist relativ genau, falls die Messwerte:- regelmäßig und- in einer relativ hohen Dichteüber das zu untersuchende Gebiet verteilt liegen

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Neu:

Geostatistische Interpolationwird verwendet, falls die Messwerte- unregelmäßig und- in relativ niedriger Dichte vorliegen

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Geostatistik Kriging

Besonderheiten geostatistischer Verfahren:

mit geostatistischen Interpolationstechniken kann man :

• Vorhersagen für bestimmte Orte machenUND

• diese Vorhersagen auf ihre Genauigkeit prüfen

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Geschichte des Verfahrens:• wurde nach dem südafrikanischen Bauingeneur

D.G.Krige benannt• Mitte des 20.Jahrhunderts von G.Matheron in

Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiterentwickelt

• zur gleichen Zeit von L.S.Gandin in der Sowjetunion entwickelt, in dem Bereich Meterologie angewandt

• heute: Anwendung in allen Geowissenschaften

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Geostatistik Kriging

Eigenschaften des Verfahrens:• im Mittel ist der Schätzfehler minimal (best)

• als gewichtetes Mittel ist er linear

• im Mittel wird richtig geschätzt (unbiased)

B L U E

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Das geostatistische Modell

Z(x) = m(x) + ´(x) + ´´(x)

Mittelwert Rauschenvom Ort abhängige Zufallsvariable

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Voraussetzungen für Kriging:

Intrinsche Hypothese

Semivariogramm

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Intrinische Hypothese1. Der Erwartungswert von Z im Untersuchungsgebiet ist konstant

E[Z(x) – Z(x+h)] = 0

2. Der räumliche Zusammenhang zwischen 2 Variablen hängt nicht von deren absoluter Lage ab, sondern nur von deren Abstandsvektoren:

E[{Z(x) – Z(x+h)}²] = 2(h)

Semivarianz

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Definition Semivarianz

(h) = 1/2n{z(xi) – z(xi+h)}²

Abstandsvektor

Anzahl der Punktpaare mit Abstand h

2 Variablen mit Abstand h

ein Graph von (h) wird das „empirische Variogramm“ genannt

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Das empirisches Variogramm

• Vorgehensweise:1. Abstände zwischen jedem existierenden

Punktpaar werden berechnet2. Für jeden Abstand h wird ein Variogrammwert (h) bestimmt3. In der Praxis bestimmt man Abstandsklassen, da nur wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand haben

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Das empirisches Variogramm

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Das theoretische Variogramm

• Bisher: Aussage über den räumlichen

Zusammenhang der Stichprobe

• Neu:Variogrammwert auch für Abstände,

die nicht in der Stichprobe vorkommen

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Das theoretische Variogramm

Annahme:- empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf Lösung: - Verlauf wird einer Funktion angepasst

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• 3 Modelle- Sphärisches Modell- Exponentielles Modell- Gaussches Modell

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Das theoretische Variogramm

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Vom empirischen zum theoretischen Variogramm

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Kenngrößen des Variogramms

• SchwellenwertSchwellenwert: Maximum von (h)• AussageweiteAussageweite:: Abstand bei dem das Variogramm einen

Schwellenwert erreicht• NuggetNugget: Schnittpunkt mit der y-Achse, existiert, wenn das

Variogramm nicht durch den Ursprung verläuft (Rauschen)

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Umsetzung in ArcGIS Semivariogramm

Klick auf „Semivariogramm“

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wähle Layer und Attribut aus

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durch Anklicken eines Punktes im Semivariogrammwird das entsprechende Punktpaar in der Karte angezeigt

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Aufgabe 1• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\

proseminar2001\böckmann_otte die Datei „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“

• Erstellt ein Semivariogramm• Findet die Punkte im Semivariogramm

dessen Punktpaare in der Karte -1. den größten und -2. den kleinsten Abstand voneinander haben

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Kriging-SchätzerAufgabe:Aufgabe: Ein unbekannter Wert wird durch ein gewichtetes Mittel der bekannten Nachbarwerte geschätzt.

z*(x0) = i z(xi)

gesuchter Wert

Gewichte gemessener Wert

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Die Gewichte

• Werden so bestimmt, dass:1. der Schätzfehler im Mittel 0 ist E[F(x0)] = 0

2. die Varianz des Schätzfehlers minimal ist Var [F(x0)] = min

3. die Summe der Gewichte = 1 i = 1

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Berechnung der Gewichte Berechnung erfolgt aus den BLUE-Anforderungen:

• Linearität => gewogenes Mittel => z*(x0) = iz(xi)

• Erwartungstreue =>Schätzfehler Null => z*(x0) – z(x0) = 0• Beste Schätzung => minimale Varianz des Schätzfehlers

=> VAR [z*(x0) – z(x0)] = min

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

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Lösung in Matrizenform11 . . .1n 1 1 10

: : : : :n1 . . .nn 1 * n = n0

1 . . . 1 0 m m

Semivariogramm-werte zwischen allen Paaren gemessener Orten

Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort

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Nun ist es möglich die Gewichte zu bestimmen und damit den Wert für einen nicht-gemessenen Ort vorherzusagen!

= -1 * z*(x0) = i z(xi)

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Die Kriging-Varianz

• Der Vorteil statistischer Interpolation: Genauigkeit der Vorhersage feststellen

• Die Kriging-Varianz berechnet sich nach² = i(xi, xk) +

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Umsetzung in ArcGISKreieren einer Oberfläche

Klick auf Geostatistical Analyst, wähle den Geostatistical Wizard

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Wähle aus den Daten die „ca_ozone_pts“

Klick auf„Kriging“

Klick auf „Next“

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Wähle unter „Ordinary Kriging“ die „Prediction Map“

Klick auf „Next“

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Nugget

Schwellenwert

Aussageweite

Klick auf „Next“

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Klick auf „Next“

Anzahl der Nachbarn in einem Sektor

„Nachbarn“ und deren Gewichte

vorherzusa-gender Ort

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Klick auf „Finish“

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Klick auf „OK“

zur Überprüfung der Eingaben

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Die Vorhersage

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Klick auf „Create Prediction Standard Error Map“

Genauigkeit der Vorhersage kann anhand einer Genauigkeits-Karte überprüft werden

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Vorhersage und ihre Genauigkeit

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Aufgabe 2

• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\proseminar2001\böckmann_otte die Dateien „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“

• erstellt eine Karte mit Kriging• und die dazugehörige Genauigkeitskarte