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Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 1
FUNCIÓN EXPONENCIAL y
LOGARÍTMICA
INTRODUCCIÓN
Existe una multitud de fenómenos naturales que pueden ser regidos
por la función exponencial y su inversa, la denominada función
logarítmica; estas funciones también se aplican en la Química, en la
Física, en la Economía, en la Medicina, en la Demografía, etc.
En la figura se muestra un árbol en el cual la
formación de sus ramas se realiza de manera
exponencial, es decir, de cada rama se
genera dos ramas, de cada una de estas dos
ramas se genera otras dos ramas y así
sucesivamente.
Así, también presentan comportamiento
exponencial la reproducción de una colonia de
bacterias, la desintegración de una sustancia
radioactiva, algunos crecimientos demográficos, la capitalización de
un dinero colocado a interés compuesto, la ley que rige el
enfriamiento de un objeto en un ambiente con menor temperatura,
etc.
1. FUNCIÓN EXPONENCIAL
El número de cabinas de Internet en el Perú se ha
multiplicado y la competencia entre ellas ha hecho
que las tarifas (el costo por una hora de servicio)
sean más accesibles a las grandes mayorías. Debido
a esto, el número de usuarios de Internet se ha
incrementado significativamente.
Analicemos la siguiente situación:
El número de usuarios de Internet en el distrito de
Independencia se duplica cada año. En este
momento, 10 000 usuarios utilizan la red. Si
continúa produciéndose este fenómeno, ¿cuántos
usuarios habrá dentro de tres años?
Sean:
x: el tiempo en años.
y: la cantidad de personas que utilizan los servicios de
Internet en el distrito de Independencia.
Tenemos:
El año que viene habrá: (10 000).2 =
(10 000).21 = 20 000 usuarios
El año siguiente: (20 000).2 = (10 000).22
= 40 000 usuarios
Dentro de tres años: (40 000).2 = (10
000).23 = 80 000 usuarios.
Y así sucesivamente. Por lo tanto, el número de
usuarios se puede expresar en función del tiempo mediante la fórmula
y = (10 000).2x
Este tipo de funciones en las que la variable es un exponente, se llaman
funciones exponenciales.
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Definición
Sea a R ; a 1 ; se llama función exponencial de
base a, a la función xf : R R / f(x) a
Ejemplo
Analicemos las gráficas de las funciones xf(x) 2 y x
g(x) 1 / 2
Elaboramos la tabla de valores de cada una de las funciones y las
representamos gráficamente:
a > 1
x f(x)
-2 1/4
-1 1/2
0 1
1 2
2 4
Como podemos observar, las representaciones gráficas de f(x) y
g(x) son simétricas entre sí con respecto al eje Y.
La curva siempre se mantiene por encima del eje X, ya que las
funciones exponenciales siempre toman valores positivos.
El número e
Una función exponencial especialmente importante es xf(x) e , cuya
base es el número e = 2,718281………
Este número irracional se obtiene dando
valores muy grandes a n en la expresión n
11
n
. Luego, cuando la base de la función
exponencial es e, se tiene: xf : R R / f(x) e
Llamada función exponencial natural.
0 < a < 1
x g(x)
-2 4
-1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
Y
1
X 0
g(x) = (½)x X
f(x) = 2x X
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Logarítmos
Volvamos al ejemplo sobre los usuarios del internet en el distrito de
Independencia; si queremos saber, por ejemplo, en qué tiempo se
alcanzará la cifra de 60 000 usuarios, tenemos que resolver la
ecuación:
(10 000).2x = 60 000
Es equivalente a resolver:
2x = 6
La frase: “x es el exponente al que hay que elevar
la base 2 para obtener el número 6”, se traduce al
lenguaje matemático mediante la expresión: “x es
el logaritmo en base 2 de 6”, que se escribe
abreviadamente x = log26 ( 2log 6 2,58 años
aproximadamente).
Luego, 60 000 usuarios visitan Internet durante 2 años, 6 meses y 29
días.
Definición
Sean a,N R ; a 0 ; entonces el logaritmo de N en base a
denotado por alog N , es el exponente al que hay que elevar la base
a, para obtener N. Simbólicamente: xalog N x a N
Si la base es 10, entonces log10N se escribe log N, llamado logaritmo
decimal de N.
Si la base es e = 2,718281……, entonces logeN se escribe lnN,
llamado logaritmo natural de N.
2. FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, esta
función es una de las de más presencia en los fenómenos observables
Así aparece en la reproducción de una colonia de bacterias, la
desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos
demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a
interés compuesto, etc.
Definición
Sea a R ; a 1 ; se llama función logarítmica
de base a, a la función af : R R / f(x) log x
Cuando la base es el número de Euler e, a la función
f : R R / f(x) ln x se le llama función logaritmo natural.
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Propiedades:
Ejemplo
Analicemos las gráficas de las funciones 2f(x) log x y
1/2g(x) log x
Elaboramos la tabla de valores de
cada una de las funciones y las
representamos gráficamente:
a > 1
x f(x)
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
Como podemos observar, las representaciones gráficas de f(x) y
g(x) son simétricas entre sí con respecto al eje X
3. APLICACIONES
La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que
evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño
intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del
mismo.
A continuación se ven tres aplicaciones:
Crecimiento de poblaciones.
Interés del dinero acumulado.
Desintegración radioactiva.
CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO
Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido
como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de
tiempo dado, siguen una ley exponencial. Siendo P0 la población inicial e i
el índice de crecimiento anual en tanto por uno,
y se considera una tasa de crecimiento
continuo, la población seguirá la ley
exponencial:
kt
0P(t) P .e
Donde:
P: Número de individuos en el momento t.
P0: número de individuos en el momento inicial.
k: constante de crecimiento.
t: Tiempo
0 < a < 1
x g(x)
0,25 2
0,5 1
1 0
2 -1
4 -2
Y
4 X X
0 1
2
-2
f(x) = log2x X
g(x) = log1/2x
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Ejemplo 1
En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan de Chota era
de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al
año, ¿cuál fue la población aproximada en el 2 006?
Solución:
Datos: P 0 = 7 000; k = 5%; t = 2 006 - 2 000 t = 6 años
P(6) = 7 000e 0,05(6) P(6) = 9 449,012
Luego, en el 2 006 la población de San Juan de Chota será de 9 449
habitantes aproximadamente.
Ejemplo 2
La población de la tierra crece aproximadamente al
2% anual (crecimiento continuo). ¿Cuánto tiempo
tardará en duplicarse la población?
Solución:
Como la población crece exponencialmente, entonces rt0P(t) P .e
Donde t representa el tiempo en años y P(t) es la población en el tiempo
t.
Como r = 2% = 0,02 y P(t) = 2.P0, entonces:
rt rt0 0
ln22P P .e e 2 ln2 rt t
r0,693
t 34,650,02
Entonces, tardará aproximadamente 35 años.
Ejemplo 3
La población de Chulucanas era de 3 000 habitantes en el año 1 998
y en el 2 004 fue de 4 200. Si el crecimiento se dio con una tasa
relativa constante, determina dicha tasa.
Solución:
Datos: t = 2004 – 1998 Þ t = 6 años ; P 0 = 3000; P(6) = 4200 k(6) 6k 6kP(6) 3000.e 4200 3000.e 7 5.e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
6kln7 ln 5.e ln7 ln5 6k
1,94591 1,60943k 0,05608
6
Luego, la tasa relativa de crecimiento fue de 5,6% aproximadamente.
CRECIMIENTO NO INHIBIDO
La mitosis, o división celular, es un proceso
universal indispensable en el crecimiento de los
organismos vivos como las amibas, plantas, células
humanas y muchas otras. Con base en una
situación ideal donde no mueren células ni hay
efectos colaterales, el número de células
presentes en un instante dado obedece a la ley
del crecimiento no inhibido. Sin embargo, en la realidad, después de
cierto tiempo el crecimiento en forma exponencial cesa debido a la
influencia de factores como la carencia de espacio, la disminución de la
fuente alimenticia, etc. La ley del crecimiento no inhibido solo refleja
de manera exacta las primeras etapas del proceso de la mitosis.
Una fórmula que proporciona el número N de células en el cultivo
después de transcurrir un tiempo t (en las primeras etapas del
crecimiento) es:
kt
0N(t) N .e
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Donde N0 y K son constantes positivas, denominadas cantidad inicial y
constante de crecimiento.
Ejemplo 4
Un estudiante universitario que analiza el crecimiento de bacterias
en cierto cultivo ha reunido los siguientes datos:
Tiempo (min) Cantidad de bacterias
0 6 000
20 9 000
Emplea estos datos para hallar una función exponencial de la forma kt
0Q(t) Q .e que exprese el número de bacterias Q del cultivo como
una función del tiempo en minutos. ¿Cuál será el número de bacterias
después de una hora?
Solución:
Según los datos de la tabla k(0)
0 0Q(0) 6000 Q .e 6000 Q 6000
y k(20) 20kQ(20) 9000 6000.e 9000 2 3.e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
20k
3ln
2 0, 4054651ln3 ln e ln3 20k k k k 0,020273
20 20
Por lo tanto: 0,020273.tQ(t) 6000.e
Además, el número de bacterias después de una hora, resulta 0,020273.60Q(60) 6000.e 20 250
Después de una hora, habrá 20 250 bacterias.
Ejemplo 5
La Escherichia coli es una bacteria común que se encuentra en el
intestino humano. La tasa de crecimiento de una población de esta
bacteria es proporcional a su tamaño. En condiciones ideales de
laboratorio, la cantidad de especímenes en un cultivo se duplica
aproximadamente cada 20 minutos.
a. Si la población inicial es de 80, determina una fórmula P(t) que
exprese el crecimiento exponencial de la cantidad de bacterias como
función del tiempo t (en minutos).
b. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que una colonia de 80
especímenes llegue a un millón?
Solución:
a. Como la tasa de crecimiento es proporcional al
tamaño de la población, el crecimiento es
exponencial, luego, P(t) es de la forma: kt0P(t) P .e
…………(1)
Como la población se duplica cada 20 minutos,
utilizando (1), con
P0 = 80, obtenemos: 20k 20kP(20) 160 160 80.e 2 e
Tomando logaritmos a ambos miembros en la última igualdad, y aplicando
propiedades de los logaritmos, tenemos:
20k ln2ln2 ln e ln2 20k k k 0,034657
20
Por lo tanto, la fórmula es: 0,034567tP(t) 80.e
b. Debemos determinar t, de tal manera que P(t) =1 000 000.
Utilizamos el modelo exponencial hallado en (a) y tenemos:
0,034567t 0,034567t80.e 1000000 e 12500
Tomando logaritmos:
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ln125000,034567t ln12500 t t 272,1928
0,034567
Por lo tanto, para que la población llegue a cien millones deben
transcurrir 272,1928 minutos.
Ejemplo 6
El número de bacterias en cierto cultivo crece de 5 000 a 15 000
en 10 horas. Suponiendo que la tasa o rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias,
I. Calcula el número de bacterias al cabo de 20 horas.
II. ¿Cuánto llegará a 50 000 el número de bacterias?
Solución:
Como la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias,
entonces kt0N(t) N e
Donde t representa el tiempo en horas y N(t) es la población de las
bacterias en el tiempo t.
Como N(0) = 5 000 es la población inicial, entonces: ktN(t) 5000.e
y como N(10) = 15 000, entonces: t
kt 10ln315000 5000.e k N(t) 5000.(3)
10
I. Al cabo de 20 horas habrá 2N(20) 5000(3) 45000 bacterias
II. Resolvemos la ecuación: t
10 10ln1050000 5000(3) t 20,96
ln3
Así la población llegará a 50 000 bacterias en 20,96 horas.
DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
Por su naturaleza los elementos radioactivos
tienden a disminuir hasta agotarse completamente
conforme transcurre el tiempo. Si t representa al
tiempo (medido en años, meses, días) y N(t) la
cantidad medida en gramos, miligramos, etc.) del
elemento radioactivo, entonces kt0N(t) N .e
representa la ley de decrecimiento exponencial del elemento radioactivo
según transcurre el tiempo, donde N0 es la cantidad inicial, K es la
constante de decrecimiento.
Ejemplo 7
Una sustancia radioactiva se desintegra siguiendo una función
exponencial. La cantidad inicial es de 10 gramos, pero después de
200 años es de 2 gramos. Calcula la cantidad que hubo después de
100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 10
gramos, entonces: ktC(t) 10.e
Además 200k 200k 200k1C(200) 2 10.e e 5 e ln5 200k
5
ln5 1,609437
k k k 0,00804200 200
Luego, reemplazando k obtenemos la fórmula de desintegración
radioactiva: 0,00804.tC(t) 10.e
Nos piden C(100) 0,00804.100 0,804C(100) 10.e C(100) 10.e
C(100) 10.0,4475 4,475
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Luego, la cantidad que hubo después de 100 años fue de 4,48 gramos
aproximadamente.
Ejemplo 8
Supongamos que hay 20 g de radio disponibles inicialmente, ¿Qué
porcentaje de los 20 g se habrá desintegrado después de 100 años.
Solución:
Como la sustancia se desintegra exponencialmente y desde los 20
gramos, entonces: ktC(t) 20.e , siendo k = 0,000418
Nos piden C(100) 0,000418.(100) 0,0418C(100) 20.e C(100) 20.e C(100) 19,1812
El resto es: 20 – 19,1812 = 0,8188
El porcentaje es: 0,8188 100
4,09420
Se ha desintegrado aproximadamente el 4,1%
PARA LA CASA …
01. Después que la televisión se introdujo en cierto país, la proporción
de familias que poseían televisor t años después se encontró que estaba
dado por la fórmula 0,1tT 1 e Encuentra el crecimiento de T entre
t = 3 y t = 6 0,19
02. El crecimiento de la población de un cultivo de protozoarios está
dado por el modelo 0,04t0P(t) P .e Donde P0 es la población inicial.
Si en el instante t = 2 horas hay una población de 100 protozoarios
determina P0
108,32
03. En 1 980 la población de estados Unidos era aproximadamente 227
millones y ha ido creciendo a una razón de 0,7% por año. La población
N(t), t años más tarde, se podría aproximar mediante: 0,007tN(t) 227e . A. Si continuara a este patrón de crecimiento, ¿cuál
será la población de Estados Unidos para el año 2 000?
261 millones aprox.
B. ¿ … y el año 2 007?
274 millones aprox.
04. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La
dosis inicial es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está
dada por tA(t) 10 * 0,8
A. Calcula la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas
después de la ingestión inicial. 1,68 mg
B. ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se
elimina cada hora? 20%
05. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos hembras
erstá relacionado con la edad t (en años) mediante:
3
0,075tW(t) 2600 1 0,5e
A. ¿Cuánto pesa un elefante recién nacido? 325 kg
B. Suponiendo que la hembra adulta pesa 1 800 kg, estima su edad.
20 años
06. Si el crecimiento de una colonia de abejas (en meses) está
determinado por la ecuación:
0,37t
230P(t)
1 56,5e
a. ¿Cuántas abejas había inicialmente? 4
b. ¿En cuánto tiempo las abejas llegarán a ser una población de 150?
12 meses
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07. Según un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no
puede soportar más de 40 000 millones de personas, la población
mundial (en miles de millones) t años después de 1 960 está dada por
una función de la forma:
kt
40P(t)
1 Ce
Donde C y k son constantes positivas. Halla la función de esta forma que
concuerde con el hecho de que la población mundial era aproximada-
mente de 3 000 millones en 1 960 y de 4 000 millones en 1 975. ¿Qué
predice su modelo con respecto a cuál será la población en el año 2 010?
7, 23 millones
08. El isótopo radiactivo 210Bi tiene una semivida (o vida media) de 5
días, es decir el número de partículas radiactivas se reducirá a la mitad
del número original en 5 días. Si existen 100 gr de 210Bi en el instante
t = 0, entonces la cantidad f(t) restante después de t días está dada
por 0,2tf(t) 100 2
A. ¿Qué cantidad resta después de 5 días? 50 gr
B. ¿10 días? 25 gr
C. ¿12,5 días? 17,7 gr
09. Un piscicultor introduce en un estanque mil truchas jóvenes. El
dueño estima que tres meses después sólo quedan alrededor de 600.
Encuentra una fórmula exponencial kt0N(t) N .e que esté de acuerdo
con esta información y úsala para estimar el número de truchas después
de un año.
10. En un estudio sobre la reproducción de la trucha de río, se estima
que en un determinado criadero hay 200 truchas. Transcurrido un año,
se contabilizan 360 truchas en dicho criadero. Si suponemos que el
crecimiento es exponencial, calcula ¿cuántas truchas habrá cuando
transcurran tres años? 1 139, 4
11. En el 2 002, la población de cierta ciudad era de 25 000 habitantes.
Si la tasa de crecimiento anual era de 2%
a. Detremina una fórmula para estimar la población después de t años.
b. Usa la fórmula para estimar la población de la ciudad en el 2 030.
12. Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una
nueva especie de pinos. Actualmente hay 25 000 ejemplares. Se estima
que el número N de pinos viene dado en función del tiempo, t, por la
función BtN(t) A.e , donde A y B son dos constantes. El tiempo t se
considera expresado en años desde el momento de la repoblación.
¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200 000 ejemplares?
13. Una epidemia se propaga en una comunidad de manera que t semanas
después de su brote el número de personas infectadas está dado por
una función de la forma kt
Bf(t)
1 Ce
, donde B es el número de
residentes en la comunidad que son propensos a contraer la
enfermedad. Si 1/5 de los residentes propensos estaba infectado al
principio y 1/2 de ellos había sido infectado al final de la cuarta semana,
¿qué fracción de residentes propensos a la enfermedad habrá sido
infectada al final de la octava semana?
14. Los biólogos han observado que la mayoría de las bacterias, en
condiciones ideales, se reproducen mediante modelos de crecimiento
exponencial. Si la población inicial de bacterias en cierto cultivo era de
800. Si la tasa relativa de crecimiento es de 30% por hora:
a. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de un día?
b. ¿Cuál será la población estimada de bacterias después de dos días?
15. Se tiene dos muestras de sustancias radioactivas A y B; luego de t
años las masas en mg, de estas muestras son:
mA(t) = 120.e-0,0004t, mB(t) = 160.e-0,0006t
a. Determina la vida media de cada sustancia.
b. ¿Cuánto tiempo pasará para que ambas masas sean iguales?
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(Sug. Resolver: mA(t) = mB(t))
16. El poder radioactivo de una sustancia se va perdiendo a medida que
transcurre el tiempo, según la fórmula 0,05tP(t) 1,5.e , siendo t el
tiempo en años. ¿Despúes de cuánto tiempo su poder radiactivo se
reducirá a la mitad?
17. Una sustancia radiactiva se desintegra de forma que la cantidad de
masa que queda después de t días está dada por la función 0,015.tm(t) 13.e , donde m(t) se mide en kilogramos.
a. Determina la masa en el tiempo t = 0
b. ¿Cuánta masa queda después de 45 días?
18. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el
diagnóstico de ciertos desordenes de la glándula tiroides. Este tipo de
yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t dias
está dada por la función 0,087.tm(t) 6.e , donde m(t) se mide en
kilogramos.
a. Determina la masa en el tiempo t = 0
b. ¿Cuánta masa queda después de 20 días?
19. La vida media de un elemento radioactivo se define por el tiempo
que tarda en desintegrarse la mitad de ese elemento para
transformarse en un nuevo elemento. La vida media es la medida de la
estabilidad del elemento, es decir, cuanto más corta sea la vida media,
más inestable es el elemento. El modelo matemático para hallar la vida
media de un elemento radioactivo está dado por 0,000418.t0C(t) C .e
Halla la vida media del radio.
20. El trazador (o marcador) radiactivo 51Cr puede usarse para
localizar la posición de la placenta de una mujer embarazada. A menudo
se debe pedir esta sustancia a un laboratorio médico. Si se envían A0
unidades (en microcuries), entonces, debido al decrecimiento radiactivo,
el número de unidades A(t) que quedan después de t días está dado por 0,0249.t
0A(t) A .e
a) Si se envian 35 unidades del trazador y este tarda 2 días en llegar,
¿de cuántas unidades se dispone para el análisis?
b) Si se necesitan 49 unidades para la prueba, ¿ cuántas unidades se
deben enviar?
OPERACIONES BANCARIAS
Cuando realizas una operación
bancaria como, por ejemplo,
cuando solicitas algún préstamo
para solucionar algunas de tus
necesidades (gastos médicos,
adquirir artefactos, un viaje, paquetes turísticos,
etc.) o financiar la compra de bienes y/o servicios
(adquirir una vivienda, un automóvil, gastos en
educación, etc.) debes cumplir con ciertas
condiciones impuestas por la entidad bancaria. Una
vez que obtienes tu préstamo (capital) debes saber
cuánto vas a pagar mensualmente, es decir, qué
cantidad amortizas del capital mensualmente y
cuánto pagas de interés mensual. Esto está en
función del capital que recibes y el tiempo en que deseas pagarlo.
Interés Compuesto
Llamado también proceso de capitalización, es decir, cuando el interés
que genera un capital prestado se acumula al capital al final de cada
intervalo de tiempo previsto. Analicemos el siguiente ejemplo:
Funciones 3
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Ejemplo 1:
Préstamo Bancario
Javier se presta de una entidad bancaria la cantidad de S/. 4 000
durante 3 años a una tasa de interés del 10 % que se capitalizan al
finalizar cada año. Ayudemos a Javier a calcular el monto que va a
pagar en la fecha de vencimiento.
Solución:
Identificamos los datos del problema: C = S/. 4 000;
t = 3 años; tasa = 10%
Por condición del problema, la capitalización es anual, esto significa que
a anualmente los intereses se acumulan al capital.
Como: M C I M C C.r.t M C(1 r.t)
Calculamos los montos después de cada año, es decir: M1; M2; M3.
Como la capitalización es anual t = 1, luego, utilizaremos la
fórmula M = C (1 + r t)
Reemplazando los datos tenemos:
Primer año: M1 = 4 000(1+ 0,1 (1)) M1 = 4 000 (1,1)
M1 = 4 400
Segundo año: M2 = M1 (1+ 0,1 (1)) M2 = 4 400 (1,1)
M2 = 4 840
Tercer año: M3= M2 (1+ 0,1 (1)) M3 = 4 840 (1,1)
M3 = 5 324
Luego, Javier abona un monto de 5 324 nuevos soles.
Monto compuesto anualmente
Los procesos empleados en la resolución del problema nos permiten
deducir una fórmula para calcular el monto que se debe pagar al final
del tiempo previsto para el préstamo, es decir, una fórmula del interés
compuesto, así:
Primer año: M1 = C0.(1 + r)
Segundo año: M2 = M1 (1 + r) M2 = C0.(1 + r) (1 + r) M2 = C0.(1 + r)2
Tercer año: M3 = M2 (1 + r) M3 = C0.(1 + r)2.(1 + r) M3 = C0.(1 + r)3
n-ésimo año: Mn = C0.(1 + r)n
Este es el monto de un capital C0 impuesto al r % de
interés compuesto anual.
Cuando el tiempo t, dado en años, no es un número
natural utilizamos la fórmula:
t
0M(t) C . 1 r
Donde:
M(t): monto o capital futuro
C0: capital inicial
r: tasa de interés anual, expresada como número decimal.
t: tiempo (en años)
Si r y C0 permanecen constantes, entonces el monto M(t) es una
función exponencial cuya variable es el tiempo t. Analicemos el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 2:
Si tienes ahorrado $500 en una entidad bancaria, esta cuenta de
ahorro te pagará un interés compuesto. Suponiendo que el banco
paga una tasa de interés del 6 por ciento anual, ¿cuánto dinero
recibirás después de cinco años?
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 12
Solución:
Este es un problema que involucra el interés compuesto anualmente, por
lo tanto, apliquemos la fórmula del interés compuesto: M(t) = C0.(1 + r)t
Paso 1: Sustituye Co, r, y t por los valores 500; 0,06 y 5,
respectivamente. M(5) = 500.(1 + 0.06)5
Paso 2: Utiliza una calculadora científica para operar: M(5) = 669,11
Luego, al final del quinto año recibes $ 669,11
MONTO COMPUESTO CON PERIODOS FRACCIONARIOS
En la práctica, el interés suele componerse con más frecuencia, digamos
n veces al año. Entonces, en cada periodo de composición la tasa de
interés es r/n y, si existen n.t periodos de composición en t años, el
nuevo monto después de t años es:
n.t
0
rM(t) C . 1
n
Donde:
M(t): Monto o capital después de t años.
C0: Capital inicial.
r: Tasa de interés anual expresada como un número
decimal.
n: Periodos de capitalización (en un año).
t: Tiempo (en años).
Resolvamos un problema que involucra el interés compuesto
durante el año.
Ejemplo 3:
Jaime realiza un depósito de $1 000 en una entidad bancaria a una
tasa de interés de 8 % con capitalización trimestral. ¿Cuánto dinero
recibirá Jaime después de dos años?
Solución:
Paso 1: Los datos son C0 = 1000; r = 0,08; n = 4 (trimestral) y t = 2
Paso 2: Sustituyendo los datos en la fórmula
n.t
0
rM(t) C . 1
n
tenemos: 4.2
0,08M(2) 1000. 1
4
Paso 3: Utilizando una calculadora científica obtenemos:
M(2) = 1000.(1,02)8 M(2) = $ 1 171,66
Después de los dos años de depósito, Jaime recibe 1 171.66 dólares
americanos.
PARA LA CASA …
01. Una pareja de novios decide colocar S/.10 000 al 8% anual.
Determina el capital acumulado al cabo de 5 años. S/.14 693,281
02. Suponga que se invirtió $1 000 a una tasa de interés compuesto del
9% mensual, calcula el monto final del capital inicial después de:
A. 5 años $1 565,68
A. 10 años $2 451,36
A. 15 años $3 838,04
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 13
03. Si $1 000 se invierten al 12% anual y el interés se capitaliza
mensualmente, encuentra el capital al final de:
A. ¿1 mes? $1 010
B. ¿2 meses? $1 020,1
C. ¿6 meses? $1 061,52
D. ¿1 año? $1 126,83
04. Si $1 000 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza
mensualmente, encuentra el capital al final de:
A. ¿1 año? $1 061,68
B. ¿2 años? $1 127,16
C. ¿5 años? $1 348,85
D. ¿10 años? $1 819,40
05. Si $1 000 se invierten al 6% anual y el interés se capitaliza
trimestralmente, encuentra el capital al final de:
A. ¿1 año? $1 061,36
B. ¿2 años? $1 126,49
C. ¿5 años? $1 346,86
D. ¿10 años? $1 418,02
06. Si $10 000 se invierten al 9% anual y el interés se capitaliza
semestralmente, encuentra el tiempo requerido para que el capital
exceda a:
A. $15 000 5 años (4,61)
B. $20 000 8 años (7,87)
C. $30 000 12,5 años (12,48)
07. Pepito deposita 500 nuevos soles en una cuenta de ahorros que paga
interés a una tasa de 6% co mpuesto anual capitalizado semanalmente.
¿Cuánto tendrá en la cuenta luego de 1 año? S/.530,90
08. José abre una cuenta con un depósito inicial de S/. 5 000 a un 6%
de interés compuesto anual, con una capitalización trimestral. Dos años
después, si no se realizan depósitos ni retiros adicionales, ¿cuánto gana
o pierde si coloca la misma cantidad a un 5% de de interés compuesto
anual, con una capitalización cuatrimestral?
S/. 111, 16
09. La señora Martínez invierte 6 000 € en un depósito financiero al 5%
anual durante 3 años. No retira los intereses al finalizar cada año, sino
que se añaden al capital y se vuelven a reinvertir. ¿Cuál será el capital
de la señora Martínez al finalizar el tercer año? 6 945,75 €
10. La computadora
El padre de Carlitos Peña ha obtenido un préstamo de
S/ 1 600 a 3 años con interés del 7 % capitalizable
anualmente, para poder comprar una computadora.
Calcula el monto que debe pagar en la fecha de
vencimiento. S/. 1 960,06
11. La guitarra
Pedro Morales, un joven músico deposita S/. 1 200 en una cuenta
de ahorros que paga el 11% con capitalización anual. Si él desea
comprar, en el futuro, una guitarra profesional de S/. 1 500, ¿en
qué tiempo se tendrá el monto para hacer la compra? 2 años
12. El cuarto de niños
La familia Pérez deposita S/. 15 000 en una cuenta de ahorros que paga
el 8,5 % con capitalización trimestral, para poder construir el
dormitorio de los niños, el cual se estima en S/. 18 000. ¿En qué tiempo
se tendrá el monto que permita la construcción?
13. El segundo piso
La familia Paredes deposita S/. 7 500 en una cuenta de ahorros que
paga el 9% con capitalización bimestral para poder construir el
segundo piso de la casa, el cual se estima en S/. 10 500. ¿En qué
tiempo se tendrá el monto que permita la construcción? 3,77 años
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 14
14. La casa
Los Rodríguez planean comprar una casa dentro de cinco años. Si se
espera que el costo de los inmuebles aumentará a razón de 6%
compuesto continuamente, durante ese periodo, ¿cuánto tendrán que
pagar los Rodríguez por una casa que ahora cuesta S/. 45 000?
15. El tractor
Juan Quispe es un agricultor que ha obtenido un
préstamo de S/. 30000 a 5 años con interés del 8%
capitalizable semestralmente con el fi n de comprar un
tractor. Calcula el monto que debe pagar en la fecha de
vencimiento. S/. 44 407,34
MONTO COMPUESTO CON CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Cuando el número de periodos de capitalización (en un año) aumenta
considerablemente (es decir, cuando n se hace inmensamente grande),
cada periodo es un intento de tiempo más pequeño que cualquier
cantidad arbitrariamente escogida (es decir, tiende a cero).
El interés continuo consiste en acumular el interés al capital,
instantáneamente. En este caso, el monto compuesto es:
r.t
0M(t) C .e
Donde:
M(t): monto en el instante t.
C0: Capital inicial.
r: Tasa instantánea, expresada como número decimal.
t: Tiempo (en años)
Ejemplo 4:
Javier invierte una suma de S/. 5 000 en 10 años, determina los
montos que recibe a:
A. La tasa efectiva del 6%.
B. La tasa del 6% con capitalización mensual.
C. La tasa del 6% instantánea (o continuo).
Solución:
A. Los datos son C0 = 5000; t = 10; r = 0,06
Reemplazamos los datos en t0M(t) C .(1 r)
10M(10) 5000.(1 0,06)
M(10) 8954,24
El monto que recibe Javier a la tasa efectiva del 6% es de S/. 8 954,24
B. Los datos son C0 = 5 000; t =10; n = 12; r = 0,06
Reemplazamos los datos en n.t
0
rM(t) C . 1
n
12(10)0,06
M(10) 5000. 112
M(10) 9096,98
El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual
es de S/. 9096,98
C. Los datos son C0 = 5 000; t =10; r = 0,06
Reemplazando en: r.t0M(t) C .e
0,06(10)M(10) 5000.e
M(10) 9110,60
El monto que recibe Javier a la tasa del 6% con capitalización mensual
es de S/. 9110,60
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 15
Observemos que el monto es mayor cuando la capitalización es continua.
01. Se invierte una suma de 1 000 dólares a una tasa de interés de 4%
anual. Encuentra el tiempo para que la cantidad crezca a 4 000, si el
interés se capitaliza de forma continua. 34,66 años
02. Una persona pide prestada la cantidad de $800. Cinco años después
devuelve $1 020. Determina la tasa de interés nominal anual que se le
aplicó, si el interés es:
A. Simple 5,5%
B. Capitalizado anualmente 4,979%
C. Capitalizado trimestralmente 4,889%,
D. Compuesto mensualmente 4,869%
03. Un pagaré por $1 000 vence dentro de un mes. Calcula su valor
presente al 8% compuesto continuamente. $993,36
04. La herencia
Al recibir una significativa herencia, los padres de Jacky quieren
establecer un fondo para la educación superior de su hija. Si necesitan
un estimado de S/. 9 000 dentro de 10 años, ¿cuánto dinero deben
separar si lo invierten a 8,5% compuesto continuamente?
S/. 3 846,7341
05. La casa Los Martínez planean comprar una casa dentro de
cuatro años. Los expertos de su área han estimado
que el costo de los inmuebles aumentará a razón
de 5% compuesto continuamente; durante ese
periodo, ¿cuánto tendrán que pagar los Martínez
por una casa que ahora cuesta S/. 65 000?
S/.79 401,21
21. Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en
una institución financiera la cantidad de $5 000. La
institución le abona el 2% nominal anual compuesto
trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una
niña y entonces divide el monto del depósito en dos
partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad
tendrá cada uno cuando cumplan 21 años? 5.879,48 y 2.280,55
22. La máquina
Una máquina se compra en S/.10 000 y se deprecia de manera continua
desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la
fórmula 0,2.tV(t) 10 000.e Determina el valor de la máquina después
de 8 años. S/.2 018,97
23. La mejor opción
Don Jacinto quiere invertir una cantidad de dinero; en el Banco de la
Familia le ofrecen una tasa de 7,5% compuesto anualmente y en el Banco
del Progreso le ofrecen una tasa de 7,2 % compuesto semestralmente.
¿Cuál es la mejor opción para don Jacinto?
24. Los Confeccionistas
Juan y Pedro son dos confeccionistas de prendas de
vestir y tienen sus talleres en la Av. Gamarra. En una
ocasión, Juan le dice a Pedro: “Mi banco ofrece una tasa
de 8% compuesto bimestralmente”, a lo que Pedro
responde: “el mío ofrece una tasa del 7,5 % compuesto
semestralmente”. ¿Quién recibe más por su dinero en un año?
Juan
25. Compañía de seguros
Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo
con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen
a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe
pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de $100 000. El
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 16
interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se
encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto
semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las edades
de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21
años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una? 54.132,11
CRÉDITOS HIPOTECARIOS
¿Qué son las hipotecas y préstamos hipotecarios?
Cuando no se tiene todo el dinero que se necesita para comprar una
vivienda, la solución es recurrir a un préstamo de un Banco o Caja de
Ahorros y hacer una hipoteca de la casa que
compra.
El préstamo hipotecario tiene como
característica específica que toma como
garantía real la vivienda (casa, apartamento,
edificio, terreno, etc.) a favor de la entidad
financiera que presta el dinero. Es decir, en
caso de no cumplir las condiciones acordadas
en la concesión del préstamo (por ejemplo:
impago de los recibos de amortización, de
plazos, etc.), el inmueble pasaría a ser propiedad del Banco. Por tanto,
usted hipoteca su casa en favor de la entidad financiera, hasta que le
haya devuelto la totalidad del préstamo.
Esta garantía, la propia vivienda, es lo que explica que el tipo de interés
sea más bajo que los préstamos generales o personales existentes en el
mercado. Usted hipoteca su casa y el banco, al obtener una garantía en
la propia vivienda hipotecada, disminuye sus riesgos y sus tipos de
interés.
Amortización de préstamos
Amortización es el proceso financiero mediante el cual se puede
extinguir una deuda, por ejemplo, un préstamo hipotecario,
gradualmente, por medio de un flujo de pagos periódicos, que pueden
ser iguales o diferentes, que sirve para pagar los intereses y reducir el
saldo insoluto.
Fórmula de amortización
El pago periódico R por un préstamo de P soles que se amortizará
durante n periodos a una tasa de interés i por periodo está dado por:
n
P.iR(n)
1 (1 i)
El denominador es una función exponencial si se considera a n como
variable.
Ejemplo 5
La familia Chávez Gómez pide prestados S/. 60 000 de un banco
para financiar la compra de una casa. El banco cobra intereses con
una tasa de 9% por año sobre el saldo insoluto y los intereses se
calculan al final de cada mes. La familia está de acuerdo en pagar
el préstamo mediante mensualidades iguales durante 20 años.
¿A cuánto debe ascender cada pago, si el préstamo debe amortizar
al final del término?
Solución:
Datos: P = 60 000; i = 0,09/12 = 0,0075; n = 20(12) = 240
Para calcular el pago periódico utilizamos:
i
n
PR(n)
1 (1 i)
Reemplazamos los datos:
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 17
240 240
(60000).(0,0075) 450 450R(20)
1 0,1664181 (1 0,0075) 1 (1,0075)
R(20) 539,835573
Por lo tanto, cada pago es de S/. 539,83573
Ejemplo 6
La familia Rojas ha adquirido una casa de $ 50 000, ellos han
pagado una cuota inicial de $ 20 000 y solicitan una hipoteca con
una tasa de interés de 7% por año sobre el saldo insoluto. Los
intereses se calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe
amortizarse en 30 años, ¿cuál será el monto de cada una de las
mensualidades que deben pagar los Rojas?
Solución:
Como se ha pagado una cuota inicial de $ 20 000 la deuda es de
$ 30 000.
Datos: P = 30 000; i= 0,07/12 = 0,005833; n = 30(12)
Para calcular el monto de cada mensualidad utilizamos:
Reemplazamos los datos en:
i
n
PR(n)
1 (1 i)
360 360
(30000).(0,005833) 175 175R(30)
1 0,123221 (1 0,005833) 1 (1,005833)
R(30) 199,594
Por lo tanto, la mensualidad que deben pagar los Rojas es de $ 199, 594
CRÉDITOS PERSONALES
Cuando una persona utiliza una tarjeta de crédito
debe pagar una cuota mensual fija durante el plazo
acordado. Este es un caso particular de amortización
de un préstamo donde los periodos son mensuales y en
donde intervienen pagos adicionales que se incluyen en
la cuota mensual.
La cuota mensual (C.M.) que se tiene que cancelar para
amortizar la compra de un artículo cuyo costo es P y
que se amortizará en n meses a una tasa de interés de
i% mensual es:
C.M R portes S.D
Donde
R: Amortización
Portes: pago fijo por gastos administrativos
S.D: seguro de desgravamen
Luego:
n
P.iC.M portes S.D
1 (1 i)
Ejemplo 7
Jorge ha decidido adquirir un minicomponente que cuesta
S/. 800. Para ello utiliza su tarjeta de crédito del Banco
Continental cuya tasa de interés mensual es de 3%, el
pago por porte es de S/. 7 y el seguro desgravamen es de
S/. 0,8.
a. Calcula la cuota mensual que debe cancelar don Jorge si
debe liquidar la deuda en 12 meses.
b. Calcula el interés total.
Funciones 3
Profesor: Javier Trigoso Página 18
Solución:
a. Datos: P = 800; i = 3% = 0,03; n = 12; portes = 7; S. D. = 0,8
Para calcular la cuota mensual utilizamos la fórmula:
n
P.iC.M portes S.D
1 (1 i)
reemplazando los datos tenemos
12
(800).(0,03)C.M 7 0,8 80,37 7 0,8 88,17
1 (1 0,03)
La cuota mensual será de 88,17 nuevos soles
b. Para calcular el interés total por la compra del equipo de audio
utilizamos la fórmula: I = n (C.M.) – P
I = 12 (88,17) – 800 = 258,04
El interés total asciende a 258,04 nuevos soles
01. La hipoteca:
La familia Velásquez ha adquirido una casa de $ 35 000. Ellos han
pagado una cuota inicial de $. 17 000 y solicitan una hipoteca con una
tasa de interés de 6% por año sobre el saldo insoluto. Los intereses se
calculan al final de cada mes. Si el préstamo debe amortizarse en 20
años, ¿cuál será el monto de cada una de las mensualidades que deben
pagar los Velásquez?
02. Máquina de coser
Miryan es una confeccionista de prendas de vestir que desea comprar a
plazos una máquina de coser que cuesta S/. 2 200. Para ello utiliza su
tarjeta de crédito del centro comercial Maquicentro, cuya tasa de
interés mensual es de 2,7%, el cobro por portes es de S/. 6 y el seguro
de desgravamen es de S/. 0,9.
a. Calcula la cuota mensual que deberá cancelar para liquidar
la deuda en 20 meses.
b. Calcula el interés total que deberá pagar por la máquina.
03. Cámara fotográfica
Ángela es una periodista gráfica que desea comprar a plazos una cámara
fotográfica digital. Ella tiene las tarjetas de crédito de los centros
comerciales Compucentro y Cyberplaza. En Compucentro la cámara
cuesta S/. 1 200 y la tasa de interés mensual es de 1,5%; en Cyberplaza
la misma cámara cuesta S/. 1 000 y la tasa de interés es de 2,5%.
Considerando que el pago de portes, seguros de desgravamen y el plazo
de 10 meses es el mismo en ambos centros comerciales, ¿con cuál
tarjeta de crédito Nora comprará la cámara?
04. La Refrigeradora
Nora tiene tarjetas de crédito de los centros comerciales Ecónomas y
Metroplaza y desea adquirir una refrigeradora. En Ecónomas la
refrigeradora cuesta S/. 1 400, la tasa de interés mensual es de 2,5%.
En Metroplaza la refrigeradora cuesta S/. 1 300 y la tasa de interés
mensual es de 4,2%. Considerando que el pago de porte y seguro de
desgravamen, y el plazo de 10 meses es el mismo en ambos centros
comerciales, ¿con qué tarjeta de crédito Nora comprará la
refrigeradora? Economás
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