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TEMA: FUNCIONES
CONFERENCIA MAGISTRAL Nº 9
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Función Cuadrática 1
Función Exponencial2
Función Logarìtmica3
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CONTENIDO
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Comprender los diferentes tipos de comportamientos de las funciones cuadráticas, exponencial y logarítmica
Identificar el dominio y el recorrido de los tipos de funciones de acuerdo a su expresión analítica y/o Grafica
Valorar la importancia de la teoría de funciones en situaciones de su entorno
OBJETIVOS
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Función Cuadrática Una función de la forma
f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a ≠0, se denomina función cuadrática.
La gráfica es una curva llamada Parábola
El Vértice es:
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Características
Toda parábola tiene eje de simetría que es una recta paralela al eje Y
El eje de simetría de la parábola pasa por el vértice
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Características
si a > 0 la gráfica se extiende indefinidamente hacia arriba, y se dice que es cóncava hacia arriba.
si a < 0 la gráfica se extiende indefinidamente hacia abajo y se dice que es cóncava hacia abajo
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Características
Si b = c = 0, entonces el vértice de la parábola es: V(0, 0)
Dominio de una función cuadrática será el conjunto de los números reales(R)
Recorrido o Rango se determina a partir del valor de f(x)=Y en el vértice (siempre que el dominio no este restringido)
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Características
Interceptos con el eje x:Hacemos y = 0, factorizamos o aplicamos la ecuación cuadrática
Interceptos con el eje y:Hacemos x = 0
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EJEMPLO
Caracterice y grafique la siguiente función: f(x) = x² − 4x + 3.Vértice , )) = v(2, f(2))
V(2, −1)
2. Puntos de intersección con el eje X
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Puntos de intersección con el eje Y es (0, 3)
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Gráfica de la Función f(x) = x² − 4x + 3.
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Introducción de funciones exponenciales
En la ciudad de Estelí existen 106 000 habitantes. Se propaga un rumor de modo que cada hora se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. ¿Cuántas personas conocerán el rumor al cabo de 12 horas?
entonces
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Función Exponencial
f(x) = x2 y g(x) = 2x
La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática.
La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
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Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.
Definición
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Representación gráfica de funciones Exponenciales
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Un laboratorio quiere saber en cualquier instante el número de bacterias presentes en su estudio en función de las horas transcurridas. Para ello, en el laboratorio saben que en el instante inicial solo tienen una bacteria y que ésta se duplica por mitosis en una hora. Determina:
a) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de una hora?b) ¿Y al cabo de 3 horas? ¿Y al cabo de 5 horas?c) ¿Podrías dar la función que expresa el número de bacterias que habrán en el laboratorio al cabo de x horas?
Ejemplo de aplicación
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La función que expresa el número de bacterias presentes en el laboratorio en función de las horas transcurridas es
f(x)= 2x y su representación es la siguiente:
Ejemplo de aplicación
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Funciones Logarítmicas
La inversa de las función exponencial se llaman funciones logarítmicas y viceversa
El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y.
Definición
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Funciones Logarítmicas
Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
logb x= y si y sólo si x = by.
El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.
Definición
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Representación gráfica de funciones Logarítmicas
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xf(x)
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Ejemplo de funciones logarítmicas
𝒇 (𝒙 )=𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙
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xf(x)
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 −1
4 −2
8 −3
𝒇 (𝒙 )=𝐥𝐨𝐠𝟏/𝟐 𝒙
Ejemplo de funciones logarítmicas
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Ejemplo de funciones logarítmicas
𝒇 (𝒙 )=𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙
x = entonces
Si y = 1, entonces x =
El punto a graficar es P(3, 1).
De igual manera, Si y = 2, entonces
El punto a graficar es P(9, 2).
Y así sucesivamente.
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x = entonces
Si y = 1, entonces x =
. El punto a graficar es P(0,6, 1).
De igual manera, Si y = 2, entonces
El punto a graficar es P(0,36; 2).
Y así sucesivamente.
2.
Ejemplo de funciones logarítmicas
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EJEMPLOS DE LA GRÁFICA DE FUNCIONES LOGAR´ITMICAS
El dominio de las funciones el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido son los números reales.
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Muchas Gracias