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Física Experimental
LEM 1º Semestre 2005-2006
Movimentos oscilatMovimentos oscilatóóriosriosObjectivo:
Estudo de um dos movimentos de uma massa num sistemamassa-mola
Procedimento experimental:
Determinação experimental dos valores de amplitude deoscilação num sistema massa-mola
Sistema Massa-Mola em movimento oscilatórioamortecido e em movimento forçado
Montagem
Fio de suspensão da molda
Controle
Alavanca
Motor
Esquema da montagemMola
Barra graduada
Pesos
magnetos
Led+fotocéula
Sistema em equilíbrio
€
l
€
d
€
r F el = −K(l − l0)r e z = −KΔz
r e z
Δz = z − d − l0
Em equilíbrio tem- ser P = −
r F el
mg = KΔzeq
Δzeq = zeq − d − l0
zeq =mK
g + (d + l0)
€
K
Cálcula da força exercida sobre o sistema
€
l
€
d
€
r F total =
r P +
r F K +
r A
r F total = m d2z
dt 2
r e z = mg−KΔz − b dz
dt
r e z
m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −mg + KΔz(t) = 0Δz(t) = z(t) − d − l0
zeq =mK
g + (d + l0)
Δz(t) = z(t) − zeq +mK
g
m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −K z(t) − zeq( ) = 0
Fazendo a mudança de variável Ζ = z - zeq
˙ ̇ Ζ (t) +bm
˙ Ζ (t) +KmΖ(t) = 0
€
K
Equação diferencial de 2ª ordem
€
˙ ̇ Ζ (t) +bm
˙ Ζ (t) +KmΖ(t) = 0
˙ ̇ Ζ (t) + 2λ ˙ Ζ (t) +ω02Ζ(t) = 0
λ =b
2m (coeficiente de amortecimento)
ω0 = Km
(frequência própria de oscilação)
€
Qual é a função cuja 1ª e 2ª derivadas são iguais à própria função?Resposta : et
Então se :Z(t) = Z0e
st
˙ Z (t) = sZ(t)˙ ̇ Z (t) = s2Z(t)s2Z(t) + 2λsZ(t) +ω0
2Z(t) = 0s2 + 2λs +ω0
2 = 0
s = −λ ± λ2 −ω02
1º caso
€
s = −λ ± λ2 −ω02
λ2 >ω02
Duas raizes reais s1 e s2
Z(t) = A1es1t + A2e
s2t
(regime aperiódico)
22ºº Caso Caso
€
s = −λ ± λ2 −ω02
λ2 =ω02
Duas raizes reais iguais s1 = s2 = −λ
Z(t) = (A1 + A2t)e−λt
(regime aperiódico limite)
AA11 e A e A22 s sãão determinados em funo determinados em funçãção das condio das condiçõções limites (oues limites (oucondicondiçõções fronteira)es fronteira)
3º Caso
€
s = −λ ± λ2 −ω02
λ2 <ω02
Duas raizes complexas s1 e s2
s1,2 = −λ ± j ω02 − λ2 = −λ ± jω
ω = ω02 − λ2
Z(t) = A1es1t + A2e
s2t =
Z(t) = A1e−λte jωt + A2e
−λte− jωt
se
A1 =A0
2e jϕ
A2 =A0
2e− jϕ
→A1 + A2 = A0 cosϕ
A02 = 4A1A2
cosϕ =e jϕ + e− jϕ
2
e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ)
€
Z(t) = A0
2e−λt e j(ωt+ϕ ) + e− j(ωt+ϕ )( )
Z(t) = A0e−λt cos ωt +ϕ( )
(regime oscilatório)
€
A0e−λt
Movimento osclatório amortecido
€
A0e−λt
Regime forçado
€
Fext = F0 cos(ωat)€
l
€
d€
K
€
r F total =
r P +
r F K +
r A +
r F ext
r F ext = F0 cos(ωat)r e zr F total = m d2z
dt 2
r e z
m d2zdt 2
r e z = mg−KΔz − b dz
dt− F0 cos(ωat)
r e z
Δz = z − zeq +mK
g
m˙ ̇ z (t) + b˙ z (t) −K z(t) − zeq( ) =F0
mcos(ωat)
Fazendo a mudança de variável Ζ = z - zeq
˙ ̇ Ζ (t) +bm
˙ Ζ (t) +KmΖ(t) =
F0
mcos(ωat)
€
ωa
Solução da equação em regime forçado
€
A solução da equação
˙ ̇ Ζ (t) + 2λ ˙ Ζ (t) +ω02Ζ(t) =
F0
mcos(ωat)
éΖ(t) = Ζ livre(t) + Ζforçado(t)
Ζ livre(t) = A0e−λt cos(ωt +ϕ)
λ =b
2m, ω = ω0
2 − λ2
Ζforçado(t) = AM cos(ωat −α)
Ζforçado(t) = AM Re cos(ωat −α) + j sin(ωat −α){ }
Ζforçado(t) = AM Re e j(ωa t−α ){ }
Fext =F0
mRe e jω a t{ }
€
˙ ̇ Z (t) + 2λ ˙ Z (t) +ω02Ζ (t) =
F0
me jω a t
Ζ forçado(t) = AM e j(ωa t−α )
−ωa2AM e j(ωa t−α ) + 2 jλωa AM e j(ωa t−α ) +ω0
2AM e j(ωa t−α ) =F0
me jω a t
AM ω02 −ωa
2 + 2 jλωa( )e− jα =F0
m
ω02 −ωa
2 + 2 jλωa = ω02 −ωa
2( )2
+ 4λ2ωa2e jα
€
a + jb = a2 + b2 aa2 + b2
+ j ba2 + b2
cosβ =a
a2 + b2
sinβ =b
a2 + b2
tanβ =ba
a + jb = a2 + b2e jβ
Regime forçado…(continuação)
€
AM ω02 −ωa
2 + 2 jλωa( )e− jα =F0m
ω02 −ωa
2 + 2 jλωa = ω02 −ωa
2( )2
+ 4λ2ωa2e jα
tanα =2λωa
ω02 −ωa
2
AM ω02 −ωa
2( )2
+ 4λ2ωa2e jαe− jα =
F0m
AM =F0m
1
ω02 −ωa
2( )2
+ 4λ2ωa2
ω0 =Km
λ =b2m
€
AM =F0mω0
21
1− ωa
ω0
2
2
+ 4λ2 ωa
ω0
2
€
F0mω0
2
€
ωaω0
Oscilações forçadas (video)
€
F0mω0
2
€
ωaω0
€
dAM
dωa
= 0
ωa =ωaR = ωo2 − 2λ2
Resumo22ºº- Determinar - Determinar λλ para uma das para uma dasmolas, uma das massas e duasmolas, uma das massas e duascondicondiçõções de atritoes de atrito11ºº- Determinar K para duas molas- Determinar K para duas molas
33ºº- Estudar a varia- Estudar a variaçãção de Ao de AMM((ωωaa))para o sistema utilizado no ponto 2 epara o sistema utilizado no ponto 2 enas mesmas condinas mesmas condiçõções de atrito.es de atrito.
€
Δl =gKm
€
AM = A0e−λt
€
AM =A0
4π 2 f02 − 4π 2 fa
2( )2 +16π 2λ2 fa2
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