ejercicios diversos de la integral definida

TEMA: INTEGRAL DEFINIDA

1) Calcular las siguientes integrales:

a) ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑙𝑛 (1+𝑥

1−𝑥) 𝑑𝑥

1/8

−1/8 b) ∫ 𝑐𝑜𝑠6𝑥𝑑𝑥

𝜋/2

0 c) ∫

𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

1+𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

𝜋

0 d) ∫ 𝑥√1 − 𝑥

1

−3𝑑𝑥

2) Calcular las siguientes integrales:

a) ∫ 𝑥10𝑠𝑒𝑛9𝑥𝜋/8

−𝜋/8𝑑𝑥 b) ∫

𝑥7−2𝑥5+4𝑥3−𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥

1

−1𝑑𝑥

3) Calcular las siguientes integrales:

a) ∫ 𝑠𝑔𝑛(𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥3

0 b) ∫ (|4 − 𝑥2| + ⟦4 − 𝑥2⟧)𝑑𝑥

3

−3

4) Calcular las siguientes integrales:

∫𝑥1/4

1+𝑥1/2 𝑑𝑥16

0 b)∫ |𝑥 + ⟦𝑥⟧|𝑑𝑥

2

−1 c) ∫ |𝑥2 − 4𝑥|

6

−4𝑑𝑥 d) ∫ ⟦𝑥2 − 3⟧

√3

−√3𝑑𝑥

5) Dada la función 𝑓(𝑡) = 2𝑚𝑡 + 𝑛 . Calcular ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥+1

1

6) Sea 𝑓: ℝ → ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4|.

a) Esbozar la gráfica de f b) Calcula ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥4

−4

7) Dada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + |𝑥2 − 1|. Calcula ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

0

8) Evaluar ∫ 𝑥. 𝑓′′(2𝑥)𝑑𝑥1

0 Sabiendo que: 𝑓(0) = 1 , 𝑓(2) = 3 , 𝑓′(2) = 5

9) Si 𝑓(𝑡) = √4 + 𝑡2 + ∫𝑑𝑢

√4+𝑢2

𝑡

−2 ; si se define 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

−𝑥 . Calcular 𝐷2𝐻(1)

10) Dada la función 𝐺(𝑡) = ∫ 𝑢2𝑑𝑢𝑓(√𝑡)

𝑓(3) , si ∫ 𝑓(𝑠𝑒𝑐𝑡)𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + ln (𝑠𝑒𝑐𝑥 − 1)

arcsec (𝑡𝑔𝑥)

𝜋/4 ;

𝑥 ∈ [𝜋

4,

𝜋

2>, hallar 𝐺′(3)

11) Calcule 𝐻′(𝜋/2) si: 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (𝑡

𝑥) 𝑑𝑡

𝑔(𝑥)

𝑥 ; 𝑔(𝑥) = ∫ (𝑠𝑒𝑛𝑡 + 𝑡. 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡

𝑥

0

12) Encontrar la función 𝑓(𝑥) tal que [𝑓(𝑥)]2 = ∫ 𝑓(𝑡).𝑠𝑒𝑛𝑡

2+𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡

𝑥

0

13) Una función f continua para todo x cumple la relación: ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =1

2+ 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥 +

1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑥2𝑥

0

para todo x. Calcular 𝑓 (𝜋

4) 𝑦 𝑓′(

𝜋

4)

14) Sea f una función derivable tal que: 𝑓(0) = 𝑓′(0) = 10 ; se definen las funciones:

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑥

0 , 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑔(𝑥)

−𝑔(𝑥) . Halle 𝐷2𝐻(0)

15) Hallar 𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑡2)𝑑𝑡

√𝑥1

𝑥

, 𝑥 > 0

16) Sea f diferenciable en R tal que: 𝑓(1) = 𝑓(−1) = 1. Se definen las funciones:

𝐻(𝑥) = √7 + 𝑥33+ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑓(𝑥)

−𝑓(𝑥) ; 𝐺(𝑥) = ∫ 𝐻(𝑢)𝑑𝑢

𝑥

7 . Halle 𝐷2𝐺(1)

17) Sea f una función en R tal que: 𝑓(1) = 𝑓′(1) = 1. Se define: 𝐻(𝑥) = ∫ (𝑥2 − 𝑎)𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥3

0 ;

sabiendo que ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 8𝑎1

0 . Calcular 𝐷2𝐻(1)

18) Demostrar que: ∫𝑡

1+𝑡2 𝑑𝑡 + ∫1

𝑡(1+𝑡2)𝑑𝑡 = 1

𝑐𝑜𝑡𝑥

1/𝑒

𝑡𝑎𝑛𝑥

1/𝑒

19) Resolver la ecuación ∫𝑑𝑡

𝑡.√𝑡2−1=

𝜋

12

𝑥

√2

20) Sabiendo que ∫ 𝑓(𝑥)6

2𝑑𝑥 = 10 𝑦 ∫ 𝑔(𝑥)

6

2𝑑𝑥 = −2 , calcular:

a) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]6

2𝑑𝑥

b) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]6

2𝑑𝑥

c) ∫ 2𝑔(𝑥)6

2𝑑𝑥 d) ∫ 3𝑓(𝑥)

6

2𝑑𝑥

21) Calcular la integral definida mediante su definición como límite:

b) ∫ 𝑥3

−2𝑑𝑥

b) ∫ 𝑥31

−1𝑑𝑥 c) ∫ (𝑥2 + 1)

2

1𝑑𝑥 d) ∫ 4𝑥22

1𝑑𝑥

22) Demostrar que: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑎 + 𝑏 − 𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

23) Demostrar que si f es continua en [−3,4] , entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥−1

3+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3

4+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

4

−3+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

−3

−1= 0

24) Calcular la integral ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥4

0 , si 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 2| + |𝑥 − 1|

25) Sea la función: 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑙𝑜𝑔(𝑡2 + 4)𝑑𝑡𝑥

0. Calcular 𝐹′(𝑥)

26) Un móvil lleva una velocidad en 𝑚/𝑠, en función del tiempo, según la siguiente ecuación:

𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 1 donde 𝑡 se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el móvil entre los

segundos 2 y 5 del movimiento.

27) Demostrar que si 𝑓 es continua en [0, 1] , entonces ∫ 𝑥𝑓(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 =𝜋

2∫ 𝑓(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝜋

0

𝜋

0

28) Sea 𝑓 una función diferenciable en todo ℝ tal que 𝑓(2) = 𝑓(√2). Hallar:

𝑀 = ∫ 𝑓′[𝑔(𝑥)]𝑔′(𝑥)𝑑𝑥4

2 , donde 𝑔(𝑥) = √𝑥

29) Demostrar que si 𝑓 continua en [0, 1] , entonces ∫ 𝑓(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥𝜋/2

0

𝜋/2

0

30) Si 𝑓 continua en [0, 1] , demostrar que: ∫ 𝑥𝑓(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋/2

0

𝜋

0

31) Hallar el siguiente limite si existe: lim𝑡→∞

∫ (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)2𝑑𝑥𝑡

0

√𝑡2+1

32) Dada las funciones:

𝑓(𝑥) = {

0, 0 ≤ 𝑥 < 1/22, 1/2 < 𝑥 ≤ 2

−2, 2 < 𝑥 < 3𝑥, 3 ≤ 𝑥 ≤ 4

y 𝑔(𝑥) = {−𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

1 − 𝑥2, 1 < 𝑥 < 23 − 𝑥, 2 ≤ 𝑥 ≤ 4

Hallar ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥4

0