ejercicios diversos de la integral definida
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TEMA: INTEGRAL DEFINIDA
1) Calcular las siguientes integrales:
a) โซ ๐ ๐๐๐ฅ. ๐๐ (1+๐ฅ
1โ๐ฅ) ๐๐ฅ
1/8
โ1/8 b) โซ ๐๐๐ 6๐ฅ๐๐ฅ
๐/2
0 c) โซ
๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ
1+๐ ๐๐2๐ฅ๐๐ฅ
๐
0 d) โซ ๐ฅโ1 โ ๐ฅ
1
โ3๐๐ฅ
2) Calcular las siguientes integrales:
a) โซ ๐ฅ10๐ ๐๐9๐ฅ๐/8
โ๐/8๐๐ฅ b) โซ
๐ฅ7โ2๐ฅ5+4๐ฅ3โ๐ฅ
๐๐๐ 2๐ฅ
1
โ1๐๐ฅ
3) Calcular las siguientes integrales:
a) โซ ๐ ๐๐(๐ฅ โ ๐ฅ3)๐๐ฅ3
0 b) โซ (|4 โ ๐ฅ2| + โฆ4 โ ๐ฅ2โง)๐๐ฅ
3
โ3
4) Calcular las siguientes integrales:
โซ๐ฅ1/4
1+๐ฅ1/2 ๐๐ฅ16
0 b)โซ |๐ฅ + โฆ๐ฅโง|๐๐ฅ
2
โ1 c) โซ |๐ฅ2 โ 4๐ฅ|
6
โ4๐๐ฅ d) โซ โฆ๐ฅ2 โ 3โง
โ3
โโ3๐๐ฅ
5) Dada la funciรณn ๐(๐ก) = 2๐๐ก + ๐ . Calcular โซ ๐(๐ก)๐๐ก๐ฅ+1
1
6) Sea ๐: โ โ โ la funciรณn definida por ๐(๐ฅ) = |๐ฅ2 โ 4|.
a) Esbozar la grรกfica de f b) Calcula โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ4
โ4
7) Dada la funciรณn ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ + |๐ฅ2 โ 1|. Calcula โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ2
0
8) Evaluar โซ ๐ฅ. ๐โฒโฒ(2๐ฅ)๐๐ฅ1
0 Sabiendo que: ๐(0) = 1 , ๐(2) = 3 , ๐โฒ(2) = 5
9) Si ๐(๐ก) = โ4 + ๐ก2 + โซ๐๐ข
โ4+๐ข2
๐ก
โ2 ; si se define ๐ป(๐ฅ) = โซ ๐(๐ก)๐๐ก
๐ฅ
โ๐ฅ . Calcular ๐ท2๐ป(1)
10) Dada la funciรณn ๐บ(๐ก) = โซ ๐ข2๐๐ข๐(โ๐ก)
๐(3) , si โซ ๐(๐ ๐๐๐ก)๐๐ก = ๐ ๐๐๐ฅ + ln (๐ ๐๐๐ฅ โ 1)
arcsec (๐ก๐๐ฅ)
๐/4 ;
๐ฅ โ [๐
4,
๐
2>, hallar ๐บโฒ(3)
11) Calcule ๐ปโฒ(๐/2) si: ๐ป(๐ฅ) = โซ ๐ฅ. ๐๐๐๐ ๐๐ (๐ก
๐ฅ) ๐๐ก
๐(๐ฅ)
๐ฅ ; ๐(๐ฅ) = โซ (๐ ๐๐๐ก + ๐ก. ๐๐๐ ๐ก)๐๐ก
๐ฅ
0
12) Encontrar la funciรณn ๐(๐ฅ) tal que [๐(๐ฅ)]2 = โซ ๐(๐ก).๐ ๐๐๐ก
2+๐๐๐ ๐ก๐๐ก
๐ฅ
0
13) Una funciรณn f continua para todo x cumple la relaciรณn: โซ ๐(๐ก)๐๐ก =1
2+ ๐ฅ๐ ๐๐2๐ฅ +
1
2๐๐๐ 2๐ฅ + ๐ฅ2๐ฅ
0
para todo x. Calcular ๐ (๐
4) ๐ฆ ๐โฒ(
๐
4)
14) Sea f una funciรณn derivable tal que: ๐(0) = ๐โฒ(0) = 10 ; se definen las funciones:
๐(๐ฅ) = โซ ๐(๐ข)๐๐ข๐ฅ
0 , ๐ป(๐ฅ) = โซ ๐(๐ก)๐๐ก
๐(๐ฅ)
โ๐(๐ฅ) . Halle ๐ท2๐ป(0)
15) Hallar ๐
๐๐ฅโซ ๐๐๐ (๐ก2)๐๐ก
โ๐ฅ1
๐ฅ
, ๐ฅ > 0
16) Sea f diferenciable en R tal que: ๐(1) = ๐(โ1) = 1. Se definen las funciones:
๐ป(๐ฅ) = โ7 + ๐ฅ33+ โซ ๐(๐ก)๐๐ก
๐(๐ฅ)
โ๐(๐ฅ) ; ๐บ(๐ฅ) = โซ ๐ป(๐ข)๐๐ข
๐ฅ
7 . Halle ๐ท2๐บ(1)
17) Sea f una funciรณn en R tal que: ๐(1) = ๐โฒ(1) = 1. Se define: ๐ป(๐ฅ) = โซ (๐ฅ2 โ ๐)๐(๐ก)๐๐ก๐ฅ3
0 ;
sabiendo que โซ ๐(๐ก)๐๐ก = 8๐1
0 . Calcular ๐ท2๐ป(1)
18) Demostrar que: โซ๐ก
1+๐ก2 ๐๐ก + โซ1
๐ก(1+๐ก2)๐๐ก = 1
๐๐๐ก๐ฅ
1/๐
๐ก๐๐๐ฅ
1/๐
19) Resolver la ecuaciรณn โซ๐๐ก
๐ก.โ๐ก2โ1=
๐
12
๐ฅ
โ2
20) Sabiendo que โซ ๐(๐ฅ)6
2๐๐ฅ = 10 ๐ฆ โซ ๐(๐ฅ)
6
2๐๐ฅ = โ2 , calcular:
a) โซ [๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)]6
2๐๐ฅ
b) โซ [๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)]6
2๐๐ฅ
c) โซ 2๐(๐ฅ)6
2๐๐ฅ d) โซ 3๐(๐ฅ)
6
2๐๐ฅ
21) Calcular la integral definida mediante su definiciรณn como lรญmite:
b) โซ ๐ฅ3
โ2๐๐ฅ
b) โซ ๐ฅ31
โ1๐๐ฅ c) โซ (๐ฅ2 + 1)
2
1๐๐ฅ d) โซ 4๐ฅ22
1๐๐ฅ
22) Demostrar que: โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = โซ ๐(๐ + ๐ โ ๐ฅ)๐๐ฅ๐
๐
๐
๐
23) Demostrar que si f es continua en [โ3,4] , entonces:
โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅโ1
3+ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
3
4+ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
4
โ3+ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
โ3
โ1= 0
24) Calcular la integral โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ4
0 , si ๐(๐ฅ) = |๐ฅ โ 2| + |๐ฅ โ 1|
25) Sea la funciรณn: ๐น(๐ฅ) = โซ ๐๐๐(๐ก2 + 4)๐๐ก๐ฅ
0. Calcular ๐นโฒ(๐ฅ)
26) Un mรณvil lleva una velocidad en ๐/๐ , en funciรณn del tiempo, segรบn la siguiente ecuaciรณn:
๐ฃ(๐ก) = 2๐ก + 1 donde ๐ก se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el mรณvil entre los
segundos 2 y 5 del movimiento.
27) Demostrar que si ๐ es continua en [0, 1] , entonces โซ ๐ฅ๐(๐ ๐๐๐ฅ)๐๐ฅ =๐
2โซ ๐(๐ ๐๐๐ฅ)๐๐ฅ
๐
0
๐
0
28) Sea ๐ una funciรณn diferenciable en todo โ tal que ๐(2) = ๐(โ2). Hallar:
๐ = โซ ๐โฒ[๐(๐ฅ)]๐โฒ(๐ฅ)๐๐ฅ4
2 , donde ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ
29) Demostrar que si ๐ continua en [0, 1] , entonces โซ ๐(๐ ๐๐๐ฅ)๐๐ฅ = โซ ๐(๐๐๐ ๐ฅ)๐๐ฅ๐/2
0
๐/2
0
30) Si ๐ continua en [0, 1] , demostrar que: โซ ๐ฅ๐(๐ ๐๐๐ฅ)๐๐ฅ = ๐ โซ ๐(๐ ๐๐๐ฅ)๐๐ฅ๐/2
0
๐
0
31) Hallar el siguiente limite si existe: lim๐กโโ
โซ (๐๐๐๐ก๐๐ฅ)2๐๐ฅ๐ก
0
โ๐ก2+1
32) Dada las funciones:
๐(๐ฅ) = {
0, 0 โค ๐ฅ < 1/22, 1/2 < ๐ฅ โค 2
โ2, 2 < ๐ฅ < 3๐ฅ, 3 โค ๐ฅ โค 4
y ๐(๐ฅ) = {โ๐ฅ, 0 โค ๐ฅ โค 1
1 โ ๐ฅ2, 1 < ๐ฅ < 23 โ ๐ฅ, 2 โค ๐ฅ โค 4
Hallar โซ [๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)]๐๐ฅ4
0