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1 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM (LPO)
Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
2 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM
▪ Linguagem possui três elementos principais:
▪ Sintaxe: alfabeto e gramática
▪ define um conjunto de fórmulas bem formadas (well-formed formulas- wffs)
▪ Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de
modelo, contexto e avaliação de fórmulas
▪ Pragmática: uso (efeito no interlocutor)
▪ Ex. Tem alguém atrás de você!
▪ Pode ser um alerta ou um pedido para deixar o caminho livre para alguém que
quer passar
3 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém
4 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) Paulo é estudante P(josé) José é professor J(paulo, josé) Paulo é mais jovem que José
5 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Objetos e constantes: paulo e josé são objetos do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) // paulo designa um objeto P(josé) // josé também é um objeto J(paulo, josé) Importante – em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome
6 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Podemos falar dos particulares utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, …
7 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
LPO: EXPRESSIVIDADE
Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição.
13 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE
▪ A sintaxe de uma linguagem é definida por:
▪ Alfabeto: São os símbolos lógicos e não lógicos
▪ Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação
▪ Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo
modelador.
▪ Gramática: regras para geração de fórmulas bem-formadas
alfabeto
Símbolos
lógicos
Símbolos
não-lógicos
pontuação
conectivos
variáveis
predicados
funções Constantes
(caso especial = aridade zero)
proposição
(caso especial = aridade zero)
( ) , . [ ]
=
x, y, z
14 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
A
1
C
3
B
2
D
4
exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun
Mundo composto por peças.
Quais são os objetos?
15 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: EXEMPLO
OBJETOS DO DOMÍNIO
A
1
2
B
2
C
3
D
4
São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as
letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores.
16 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
▪ Símbolos de função (não-lógicos) ▪ Funções mapeiam objetos para objetos
▪ Constantes são funções de aridade-zero; duas constantes
diferentes podem corresponder ao mesmo objeto
▪ Uma função representa UM OBJETO.
A
1
C
3
B
2
D
4
Constantes
a
b
a1
dois
função
numDaPeça(X)
a 1
a1 1
b 2
1
17 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: ALFABETO
▪ Símbolos de predicados
(não lógicos)
▪ Um predicado representa uma
RELAÇÃO entre objetos.
▪ Predicados binários (diádicos)
acima(X, Y)
▪ Predicados unários (monádicos)
vogal(X) = {A}
peça(X) = { , , , }
A
1
2
B
2
C
3
D
4
peça vogal
acima
18 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ TERMOS
▪ Toda variável é um termo
▪ Toda constante é um termo
▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,
então f(t1, ..., tn) é um termo
▪ Nada mais é um termo.
Termos designam objetos do domínio.
Termos não tem valor-verdade
19 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ Exemplos de termos
▪ X é uma variável e, portanto, um termo ▪ Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro
▪ a é uma constante e, portanto, um termo ▪ Ex. no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a
▪ éPaiDe(X) é uma função e, portanto, um termo ▪ é uma função de aridade 1
▪ Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família
▪ éPaiDe(éMãeDe(X)) “avô materno de x” ▪ termos aninhados
▪ éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1
▪ éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1
20 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ FÓRMULAS
1. F é o conjunto de símbolos funcionais e P, de predicados
2. Se t1, ..., tn são termos sobre F e P P é um símbolo de predicado de
aridade n > 0, então P(t1, ..., tn) é uma fórmula
3. Se α é uma fórmula então (α) também é.
4. Se α e β são fórmulas, então (α β), (α β) e (α β) também são.
5. Se α é uma fórmula e x é uma variável então (xα) e (xα) são
fórmulas
6. Nada mais é uma fórmula.
21 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
EXEMPLOS E CONTRA-EXEMPLOS DE FÓRMULAS
paiDe(Y) é um termo (é uma função sobre F) – portanto, não é fórmula.
inteligente(paiDe(x)) é uma fórmula pela regra 2: P(t1)
(x inteligente(paiDe(x))) é uma fórmula pela regra (xα)
α é uma fórmula pela regra P(t1(t2))
22 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
GRAMÁTICA em Backus-Naur Form (BNF) t:= x | c | f(t, …, t)
t é um termo
x qualquer símbolo de variável permitido pela linguagem
c qualquer símbolo do conjunto de símbolos funcionais 0-ário (constantes)
f qualquer símbolo do conjunto F de símbolos funcionais n-ário(s) com n > 0
α ::= P(t1, …, tn) | (α) | (α α) | (α α) | (α α) |(xα) | (xα)
α é uma fórmula
P é qualquer símbolo de predicado n-ário com n >= 0 de P
ti são termos sobre de F
x é uma variável
23 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
BNF: Árvore de análise dos quantificadores e conectivos lógicos
x((P(x) Q(x)) S(x, y))
x
P Q
S
x x
y x
24 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
▪ ESCOPO DOS QUANTIFICADORES
▪ Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores
▪ Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores
(P(x) (y (x(P(y) Q(x)))))
25 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
ESCOPO DOS QUANTIFICADORES
IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas
ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente).
(x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(y))
x
P Q
x x
y
P
x
Q
Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y
26 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SINTAXE: GRAMÁTICA
SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA
É uma fórmula bem formada sem variáveis livres.
Possui valor-verdade.
Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valor-
verdade de uma fórmula com variável livre pode variar de acordo com o objeto que a variável livre
designar.
27 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
TIPOS DE FÓRMULAS EM LPO
▪ Fórmula-bem-formada (FBF) atômica ▪ É um predicado com somente com variáveis livres.
▪ Ex.: Par(x)
▪ FBF predicativa ▪ Fórmula onde há variáveis que ocorrem livres.
▪ Ex.: x (Par(x)) Ímpar(x)
▪ Sentença ▪ é uma FBF predicativa se todas as ocorrências de variáveis não forem livres.
▪ Possui valor-verdade.
▪ Ex. x (Par(x) Ímpar(x))
28 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
FÓRMULAS EM LPO
Prioridade dos quantificadores e conectivos lógicos
1.
2.
3.
4. (associativa à esquerda)
5. (associativa à esquerda)
6. que é associativa à direita
30 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ Semântica
▪ Define o significado no mundo (real ou artificial) das fórmulas bem-
formadas
▪ O significados de uma fórmula derivam do SIGNIFICADO atribuído aos
símbolos não-lógicos por meio de um MODELO
▪ os símbolos lógicos tem significados fixos (dados pela própria lógica)
▪ são neutros em relação ao domínio modelado
31 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ EXEMPLOS
vamos supor que
▪ feliz(joão) é uma fórmula bem formada;
▪ O símbolo joão denota um indivíduo;
▪ O símbolo feliz é um predicado.
▪ João, o indivíduo denotado, está feliz.
▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joão
e feliz) pode variar de uma pessoa a outra!
32 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças
de interpretação ainda que
▪ a noção de feliz seja diferente de pessoa para pessoa
▪ e que joão possa denotar diferentes indivíduos no mundo
▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos
pela dificuldade de precisar seus significados ou pela
simples dificuldade de entender o ponto de vista do
modelador
▪ PaísDemocrático
▪ MelhorComidaDoMundo
▪ éBoaPessoa
▪ txN27
33 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
▪ Na LPO não é preciso dar definições precisas (como a de
um dicionário) para os símbolos não-lógicos, por exemplo,
que um país democrático é um pais que possui eleições,
liberdade de expressão, etc.
▪ É preciso somente declarar quais são países os
democráticos e quais não são.
▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,
fala-se em diferentes MODELOS
35 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
MODELOS: DEFINIÇÃO
▪ Um modelo M do par (F, P) consiste de:
▪ um conjunto não vazio A de valores concretos
▪ a A é um objeto do domínio (ou um referente)
representado (ou não) por um símbolo
▪ Para cada símbolo funcional f F
▪ se f é 0-ário (constante): fm : a A
▪ se f é n-ário (n > 0): fm : An A
Na lógica clássica não há indeterminação, logo as funções
devem ser totais
f é total se para todos objetos do domínio, existe um objeto no
contradomínio tal que y = f (x).
▪ Para cada símbolo de predicado P P
▪ a aridade do predicado é n
▪ Pm An
▪ o conjunto de tuplas de An é a extensão do predicado Pm
An é o produto cartesiano de n x A fm
é uma função no modelo M
Pm é um relação no modelo M f é um símbolo de função P é um símbolo de predicado
fonte: (HUTH e RYAN, 2008, pg. 93)
36 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
EXEMPLO 1
▪ Modelo M para um par (F, P) ▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}
▪ P = {par}
▪ Descrição dos símbolos em F e P
▪ par(x) é um predicado representando que x é par
▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x
▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1
▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2
▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3
▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4
▪ Construção do modelo M ▪ A = {1, 2, 3, 4}
▪ Interpretação dos predicados ▪ parm = {2, 4}
▪ Interpretação das funções ▪ 0-árias (constantes)
▪ umm = 1
▪ doism = 2
▪ trêsm = 3
▪ quatrom = 4
▪ Funções
▪ sucm = {(12), (23), (3 4), (41)}
▪ Avaliação de fórmulas no
modelo M
M ⊯ par(um) M ⊫ par(suc(três)) M ⊫ par(suc(suc(dois)))
37 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONTEXTO
Pode ser entendido como as atribuições de valores às variáveis de um modelo, sendo que os valores possíveis são os objetos do domínio Um contexto l é definido por l: var A tal que var é o conjunto de variáveis e A o conjunto de objetos l[x a] representa o mapeamento da variável x para o valor a - pode ser escrito como l(x) = a
38 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SEMÂNTICA
Com as definições de modelo e de contexto, é possível definir uma
semântica para as fórmulas de LPO.
Dados um modelo M para o par (F, P),
um conjunto não vazio A de valores concretos (os objetos do domínio) e um contexto l
pode-se definir a relação de satisfação M ╞ no contexto l, ou seja,
avaliar se é verdadeira no modelo M com o contexto l
Escreve-se
M ╞ l
40 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
EXEMPLO 1 REVISITADO
▪ Modelo M para um par (F, P) ▪ F = {suc, um, dois, três, quatro}
▪ P = {Par}
▪ Par(x) é um predicado
▪ suc(x) é uma função que retorna o sucessor de x
▪ um é o símbolo de constante que denota o número 1
▪ dois é o símbolo de constante que denota o número 2
▪ três é o símbolo de constante que denota o número 3
▪ quatro é o símbolo de constante que denota o número 4
▪ Construção do modelo M ▪ A = {1, 2, 3, 4}
▪ Interpretação dos predicados ▪ Parm = {2, 4}
▪ Interpretação das funções ▪ 0-árias (constantes)
▪ umm = 1
▪ doism = 2
▪ trêsm = 3
▪ quatrom = 4
▪ Funções
▪ sucm = {(12), (23), (3 4), (41)}
▪ Avaliação de fórmulas no
modelo M =y(Par(y)→Par(suc(y))) M ⊫ no contexto l ? Contexto: l(y) = 1 V() = V l(y) = 2 V() = V l(y) = 3 V() = V l(y) = 4 V() = V
42 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
Consequência, Satisfabilidade e Validade
É uma teoria (conjunto de fórmulas)
Check = é verdadeira
Look-up tables = environment = contexto
(Huth e Ryan, 2004)
Teoria
consistente
Def. 2.20 Considere a teoria Γ (gama) como um conjunto (possivelmente infinito) de fórmulas
em lógica de predicados e uma fórmula (psi) da lógica de predicados.
43 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
SATISFABILIDADE DE FÓRMULA vs. CONSISTÊNCIA DE TEORIA
* Uma fórmula de uma teoria pode ser satisfeita por um modelo M ao
mesmo tempo em que a teoria não é consistente em relação ao
mesmo modelo M.
* Exemplo:
Teoria={f1, f2, f3}
f1: x (esquiador(X) → gostaNeve(X))
f2: x (gostaNeve(X) → ¬gostaChuva(X))
f3: x (esquiador(X) gostaChuva(X))
* Modelo
A = {tony}
esquiador = {tony}
gostaNeve = {tony}
gostaChuva = {tony}
* Sentenças f1 e f3 são satisfeitas pelo modelo M substituindo-se X por
tony. Porém, como f2 não é satisfeita , a teoria não é consistente com o
modelo M.
É possível encontrar um modelo que satisfaça a teoria?
44 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
CONSEQUÊNCIA LÓGICA
▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da
interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças
em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos
▪ Por exemplo, sendo γ (gama) definido por ( ), M um modelo
onde é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente
de como entendemos os símbolos e
▪ Sempre que for verdadeiro, γ o será!!! γ é uma consequência lógica
de ou a verdade de γ está implícita na verdade de
45 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA
REFERÊNCIAS
HUTH, M.; RYAN, M. Logic in Computer Science: modelling and reasoning about systems,
2ND. Edition, 426 p., Cambridge Press, 2004.
HUTH, M.; RYAN, M. Lógica em ciência da computação: modelagem e argumentação sobre
sistemas . 2. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2008. x, 322 p. ISBN 9788521616108.
BRACHMAN, R.; LEVESQUE, H. Knowledge Representation and Reasoning, 2004, Ed.
Morgan Kaufmann.
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