das newton - verfahren vorgestellt von arndt heinemann

Das Newton - Verfahren

vorgestellt von Arndt Heinemann

Inhalt

• Allgemeines• Herleitung• Konvergenz• 1.Beispielaufgabe• Heron• 2. Beispielaufgabe• Quellen

Allgemeines

• Benannt nach Isaac Newton (*1643- †1727)• Ziel: Näherungsweise Bestimmung von

Nullstellen nichtlinearen Funktionen• f(x)=0 • Bestimmung mit Hilfe von Tangenten

0)log(

0)sin(

xx

xx

Herleitung

• t=mx+b

Herleitung

• t=mx+bbxxfxt nn )(')(

Herleitung

• t(xn)=mx+b

• t(xn)=f´(xn)x+b

bxxfxf nnn )(')(

Herleitung

• t(xn)=mx+b

• t(xn)=f´(xn)x+b

nnn

nnn

xxfxfb

bxxfxf

)(')(

)(')(

Herleitung

• t(xn)=mx+b

• t(xn)=f´(xn)x+b

nnn

nnn

xxfxfb

bxxfxf

)(')(

)(')(

nnnnn xxfxfxxfxt )(')()(')(

Herleitung

• t(xn)=mx+b

• t(xn)=f´(xn)x+b

nnn

nnn

xxfxfb

bxxfxf

)(')(

)(')(

)()()(')(

)(')()(')(

nnnn

nnnnn

xfxxxfxt

xxfxfxxfxt

Herleitung)()()(')(nxf

nxx

nxf

nxt

Herleitung

)()()(')(nxf

nxx

nxf

nxt

)()()('0 1 nnnn xfxxxf

Herleitung

)()()(')(nxf

nxx

nxf

nxt

nnn

n

nnnn

xxxf

xf

xfxxxf

1

1

)('

)(

)()()('0

Herleitung

)()(*)(')(nxf

nxx

nxf

nxt

nnn

n

nnnn

xxxf

xf

xfxxxf

1

1

)('

)(

)()()('0

)(')(

1 n

n

xfxf

nn xx

Konvergenz

• Newton-Verfahren trifft auf einen Extrempunkt

Fälle ohne Konvergenz

0)(' xf

KonvergenzFälle ohne Konvergenz

• Das Newton Verfahren pendelt zwischen zwei Werten

• Newton-Verfahren divergiert von der Nullstelle

KonvergenzFälle ohne Konvergenz

Beispielaufgabe 1

• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4

Beispielaufgabe 1

• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4

xxf 2)('

Beispielaufgabe 1

• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²-4

x

xxx

xxf

nn 2

4²

2)('

1

Beispielaufgabe 1

xn in f(x)1. 1 -32. 2,5 2,253. 2,05 0,20254. 2,00060976 0,00243945. 2,00000009 3,7169E-076. 2 8,8818E-157. 2 08. 2 09. 2 010. 2 011. 2 0

x²-4

Heron

• Erweiterung zum Newton-Verfahren Speziell zur Bestimmung von Wurzeln Wurde bereits 100 n. Chr. von Heron bewiesen

• Ansatz:

Heron

a

a

A

aA

aA

²

Heron

Der Flächeninhalt sei: 2

Heron

Heron

lb

bl

2

2

#1

Heron

lb

bl

2

2

)(21

2

bls

sbl

#1 #2

Heron

lb

bl

2

2

)(21

2

bls

sbl

#1 #2

Aus #1 & #2 folgt: )2

(21

lls

Heron

• Allgemeiner

)2

(21

lls

Heron

• Allgemeiner

)2

(21

lls

2 -> War der Flächeninhalt->Fl

s und l ersetzen wir durch

sn-> neue Seitenlänge

sa-> alte Seitenlänge

Heron

• Allgemeiner

)2

(21

lls

2 -> War der Flächeninhalt->Fl

s und l ersetzen wir durch

sn-> neue Seitenlänge

sa-> alte Seitenlänge

)(21

sa

Flsasn

Beispielaufgabe 2

• Bestimme : 2

Beispielaufgabe 2

• Bestimme : 2

7203.1)7.2

27.2(2

1

7.2)5

25(2

1

)(21

2

sn

sn

sa

Flsasn

Beispielaufgabe 2

• Bestimme : 2

Fläche: 21. 52. 2,73. 1,720370374. 1,441455375. 1,414470986. 1,414213597. 1,414213568. 1,414213569. 1,4142135610. 1,41421356

Heron

Quellen

• Facharbeit über Iterartionsverfahren von Patrick Brüning

• Facharbeit von Dominik Gumreben

• http://www.acdca.ac.at/material/kl4/4heronhp.pdf

• http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/newton.htm

• Numerische Mathematik kompakt

• 11 Elemente der Mathematik – Schroedel

• http://www.hh.schule.de/ak/nt/heronverfahren.htm

• http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Danke für Ihre Aufmerksamkeit

http://arndtheinemann.ohost.de/mathe/