das newton - verfahren vorgestellt von arndt heinemann
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Das Newton - Verfahren
vorgestellt von Arndt Heinemann
Inhalt
• Allgemeines• Herleitung• Konvergenz• 1.Beispielaufgabe• Heron• 2. Beispielaufgabe• Quellen
Allgemeines
• Benannt nach Isaac Newton (*1643- †1727)• Ziel: Näherungsweise Bestimmung von
Nullstellen nichtlinearen Funktionen• f(x)=0 • Bestimmung mit Hilfe von Tangenten
0)log(
0)sin(
xx
xx
Herleitung
• t=mx+b
Herleitung
• t=mx+bbxxfxt nn )(')(
Herleitung
• t(xn)=mx+b
• t(xn)=f´(xn)x+b
bxxfxf nnn )(')(
Herleitung
• t(xn)=mx+b
• t(xn)=f´(xn)x+b
nnn
nnn
xxfxfb
bxxfxf
)(')(
)(')(
Herleitung
• t(xn)=mx+b
• t(xn)=f´(xn)x+b
nnn
nnn
xxfxfb
bxxfxf
)(')(
)(')(
nnnnn xxfxfxxfxt )(')()(')(
Herleitung
• t(xn)=mx+b
• t(xn)=f´(xn)x+b
nnn
nnn
xxfxfb
bxxfxf
)(')(
)(')(
)()()(')(
)(')()(')(
nnnn
nnnnn
xfxxxfxt
xxfxfxxfxt
Herleitung)()()(')(nxf
nxx
nxf
nxt
Herleitung
)()()(')(nxf
nxx
nxf
nxt
)()()('0 1 nnnn xfxxxf
Herleitung
)()()(')(nxf
nxx
nxf
nxt
nnn
n
nnnn
xxxf
xf
xfxxxf
1
1
)('
)(
)()()('0
Herleitung
)()(*)(')(nxf
nxx
nxf
nxt
nnn
n
nnnn
xxxf
xf
xfxxxf
1
1
)('
)(
)()()('0
)(')(
1 n
n
xfxf
nn xx
Konvergenz
• Newton-Verfahren trifft auf einen Extrempunkt
Fälle ohne Konvergenz
0)(' xf
KonvergenzFälle ohne Konvergenz
• Das Newton Verfahren pendelt zwischen zwei Werten
• Newton-Verfahren divergiert von der Nullstelle
KonvergenzFälle ohne Konvergenz
Beispielaufgabe 1
• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4
Beispielaufgabe 1
• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²+4
xxf 2)('
Beispielaufgabe 1
• Bestimme eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²-4
x
xxx
xxf
nn 2
4²
2)('
1
Beispielaufgabe 1
xn in f(x)1. 1 -32. 2,5 2,253. 2,05 0,20254. 2,00060976 0,00243945. 2,00000009 3,7169E-076. 2 8,8818E-157. 2 08. 2 09. 2 010. 2 011. 2 0
x²-4
Heron
• Erweiterung zum Newton-Verfahren Speziell zur Bestimmung von Wurzeln Wurde bereits 100 n. Chr. von Heron bewiesen
• Ansatz:
Heron
a
a
A
aA
aA
²
Heron
Der Flächeninhalt sei: 2
Heron
Heron
lb
bl
2
2
#1
Heron
lb
bl
2
2
)(21
2
bls
sbl
#1 #2
Heron
lb
bl
2
2
)(21
2
bls
sbl
#1 #2
Aus #1 & #2 folgt: )2
(21
lls
Heron
• Allgemeiner
)2
(21
lls
Heron
• Allgemeiner
)2
(21
lls
2 -> War der Flächeninhalt->Fl
s und l ersetzen wir durch
sn-> neue Seitenlänge
sa-> alte Seitenlänge
Heron
• Allgemeiner
)2
(21
lls
2 -> War der Flächeninhalt->Fl
s und l ersetzen wir durch
sn-> neue Seitenlänge
sa-> alte Seitenlänge
)(21
sa
Flsasn
Beispielaufgabe 2
• Bestimme : 2
Beispielaufgabe 2
• Bestimme : 2
7203.1)7.2
27.2(2
1
7.2)5
25(2
1
)(21
2
sn
sn
sa
Flsasn
Beispielaufgabe 2
• Bestimme : 2
Fläche: 21. 52. 2,73. 1,720370374. 1,441455375. 1,414470986. 1,414213597. 1,414213568. 1,414213569. 1,4142135610. 1,41421356
Heron
Quellen
• Facharbeit über Iterartionsverfahren von Patrick Brüning
• Facharbeit von Dominik Gumreben
• http://www.acdca.ac.at/material/kl4/4heronhp.pdf
• http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/newton.htm
• Numerische Mathematik kompakt
• 11 Elemente der Mathematik – Schroedel
• http://www.hh.schule.de/ak/nt/heronverfahren.htm
• http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
Danke für Ihre Aufmerksamkeit
http://arndtheinemann.ohost.de/mathe/