cuadernillo matemáticas 3 loma linda.pdf
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Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas 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Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-M
3
MatemticaCuadernillo de Actividades
Alumno/a
-
/CVGOhVKECCwQ
U.E.P.N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Programa de contenidos
Unidad Id I Revisin de las propiedades estructurales de los conjuntos numricos N, Z y Q. Nmeros
irracionales. Nmeros reales. Propiedad de completitud. Intervalos reales. Raz n-sima de un
nmero real. Propiedades de la radicacin de nmeros reales. Radicales: Concepto, extraccin
de factores fuera del radical, operaciones con radicales: suma, resta, multiplicacin y divisin.
Racionalizacin de denominadores.
Unidad IIII Expresin algebraica: definicin. Polinomio. Caractersticas de un polinomio: grado,
coeficiente principal y trmino independiente. Clasificacin de polinomios segn el nmero
de trminos. Polinomio completo y ordenado. Valor numrico de un polinomio. Operaciones
con polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin. Regla de Ruffini. con
Unidad III Factorizacin de polinomios: factor comn y por grupos. Trinomio cuadrado y cuadrinomio
cubo perfectos. Suma y resta de potencias de igual exponente. Casos combinados.
Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificacin y operaciones.
Unidad IV Semejanza: definicin. Semejanza de tringulos y de polgonos. Razn de semejanza.
Criterios se semejanza de tringulos. Escalas. Aplicaciones prcticas de la semejanza de
tringulos.
Unidad V Estadstica. Terminologa bsica: poblacin, muestra, variables (tipos), datos. Descripcin de
variables: tabla de distribucin de frecuencias. Grficos estadsticos. Medidas estadsticas:
Promedio, moda y mediana.
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2TQH)CDTKGNC1LEKWU
U.E.P.N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Criterios de evaluacin y acreditacin
Generaleses - Cumplimiento del reglamento institucional.
- Comportamiento adecuado en el mbito escolar respetando a los compaeros, docentes y
autoridades escolares.
- Aprobacin de instancias de evaluacin (escrita u oral) y trabajos prcticos con calificacin
mayor o igual a 6 (seis).
- Presentacin en tiempo y forma de trabajos o tareas solicitadas.
- Carpeta del alumno completa, ordena y prolija.
- Asistencia al 90 % de las clases.
- Participacin activa del alumno en las clases.
- Responsabilidad en las tareas asignadas y trabajos solicitados.
- Disposicin para trabajar en forma individual o grupal.
Especficos p
- Usar de un vocabulario preciso y propio de la matemtica que permita expresar sus
conocimientos.
- Precisin y prolijidad en toda produccin matemtica realizada por el alumno, en la
presentacin de las carpetas, evaluaciones y trabajos prcticos escritos.
- Acreditar razonamientos coherentes y habilidad para resolver distintas situaciones
problemticas propuestas en clase, en instancias evaluativas escritas individuales o grupales,
en cuestionamientos orales indicados clase a clase o incluso en ejercitaciones para resolver en
sus hogares, as como tambin evidenciar el cumplimiento responsable de las actividades
antes mencionadas.
Para la elaboracin de la nota trimestral del alumno se tendr en cuenta:
- Calificaciones en evaluaciones escritas, lecciones o preguntas orales y trabajos prcticos.
- Carpeta del alumno completa, ordenada y prolija.
- Registros de desempeo: Se realizar la observacin y registro del trabajo diario de los
alumnos (en cuento a su desempeo y progreso demostrado en cada prctica cotidiana) y por
su responsabilidad en las realizacin de las tareas para el hogar o presentacin de las mismas,
como as tambin el comportamientos de los alumnos en el aula. como
....
Firma del tutor Firma del alumno/a
-
Fechas y Notas importantes
1Nmeros reales
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2 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
El conjunto de los nmeros reales
El conjunto formado por todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales
se denomina conjunto de los nmeros reales y se simboliza con la letra R.
En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusin entre
los distintos conjuntos numricos.
NZQR y IR
Q I (los Racionales no estn incluidos en los
Irracionales ni viceversa)
Actividad 3
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Indica cul de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justificar a) Todo nmero real es racional. b) Algunos nmeros naturales son nmeros enteros. c) Todo nmero entero es un nmero racional. d) Todos los nmeros reales son nmeros irracionales. e) Todos los nmeros irracionales son reales.
2) Decide si cada una de los siguientes enunciados matemticos son V o F. Justifica en cada caso.
a) 4 Q b) -2 N c)
2
1 N
d) 0,566666 Q e) - 3 I f) 81 Z
3) Completa el cuadro colocando S o NO segn corresponda.
Nmero 7 3 15 -2,08 1,222 9 6
7 3,14
2
5 5,125895 0
N?
Z?
Q?
I?
R?
4) Realiza las siguientes actividades en tu carpeta:
a) Escribir un nmero natural que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?
b) Escribir un nmero entero que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?
c) Escribir un nmero racional que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?
d) Escribir un nmero irracional que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?
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Matemtica 3 ao - 2015 3
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Propiedad de completitud
El conjunto de los reales tiene la propiedad de completar o cubrir la recta numrica sin
dejar "huecos". Esta propiedad se denomina axioma de completitud que garantiza una
correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto
de puntos en la recta, esto quiere decir que a cada nmero real le corresponde un nico punto
sobre la recta y viceversa a cada punto en la recta se le asocia un nico nmero real.
El conjunto de los nmeros reales es tambin un conjunto denso, es decir, entre dos
nmeros reales distintos siempre hay infinitos nmeros reales (tanto racionales como
irracionales).
Propiedades estructurales del conjunto numrico de los reales R
Conjunto infinito Conjunto denso
Ordenado de menor a mayor Completa la recta numrica
Intervalos reales
Un intervalo real es un segmento o una semirrecta de la recta real. Se representan como
un par ordenado de nmeros encerrados entre parntesis y/o corchetes. El parntesis indica
que no se incluye el nmero, y el corchete que s. En todo intervalo, el nmero ubicado a la
izquierda debe ser menor que el ubicado a la derecha.
Si a y b son nmeros reales, con a b, pueden tenerse los siguientes intervalos:
Nota: Los nmeros a y b se llaman extremos del intervalo.
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4 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 4
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos:
A= 4;0 B= 1x 3/ Rx C= 2;6 D=
35
2/ xRx
2) Escribir algebraicamente cada uno de los siguientes intervalos:
3) Graficar sobre la recta real los siguientes intervalos:
xRxA 5,1/ 3;B :4C D= 7/ xRx
4) Escribe los intervalos de reales que corresponden a las siguientes situaciones: a) Vengan a almorzar a casa, los espero entre las 13:00 hs y las 13:30 hs. b) Voy a comprarme un pantaln, pero no gastar ms de $50. c) La clase de msica es todos los lunes, de 15:00 a 17:50 hs.
Raz n-sima de un nmero real
Llamamos raz n-sima de un nmero real a, y lo simbolizamos con n a , a un nmero b
definido de la siguiente manera:
* Si n es par, 0a , 0 bban y abn
* Si n es impar, ban abn
Nn se llama ndice de la raz, a se llama radicando y n se llama signo radical
Por convencin, cuando n = 2 no se escribe el ndice en el smbolo de la raz.
Recordar que la radicacin es la operacin inversa de la potenciacin y eso nos
permite tener una herramienta para obtener y controlar resultados. Ejemplos:
283 porque 82 3 32435 porque 2433 5 3273 porque 27)3( 3
Actividad 5
Completar con el nmero que falta:
121 .., porque .. 4 16 ., porque .
3 64 .., porque .. 5 32 ., porque .
Propiedades de la radicacin
Si n a y n b existen en R entonces se cumplen las siguientes propiedades:
I) Distributividad respecto de la multiplicacin, en smbolos: nnn baba ..
Nota:. .
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Matemtica 3 ao - 2015 5
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
II) Distributividad respecto de la divisin, en smbolos: nnn baba :: siempre que 0b .
III) Raz de otra raz, en smbolos: mnn m aa
.
IV) Potencia de una raz n mmn aa
V) Simplificacin de ndices: es correcto simplificar ndices con exponentes slo si la base es
positiva. Ejemplo: 312 4 55
VI) La radicacin puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: nm
n m aa
Actividad 6
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Completa las casillas libres
Raz Potencia fraccionaria Raz Potencia fraccionaria
3 4 37
5
4
3
9
1
4
2) Usando las propiedades de radicacin decide si cada una de las siguientes igualdades es Verdadera o Falsa. Si es F escribe la expresin correcta.
a) 556 3 b) 916916 c) 916916
d) 2364
aa
e) 3)3(2 f) 6 88
g) 2)2(4 2 h) 189 1818 i) 32
3 aa
Radicales: concepto
Se denomina radical a la raz indicada de un nmero o
de una expresin algebraica, siempre que sta tenga
solucin real. Ejemplos: 2 ; 4 5 ; 7 83 ;
3 9 ; 5 2a ; 85 ;
364m con 0m . Los radicales son nmeros irracionales
y la forma exacta de escribir estos nmeros es expresarlos
como raz.
Las potencias de exponente fraccionario se definen de manera que las propiedades ya
conocidas de potencia de exponente entero continan siendo vlidas.
Completa las propiedades de potenciacin de un nmero real y exponente fraccionario
..................2
1
4
3
222 ..................2
1
4
3
22:2
.....................
2
1
4
3
22
4
3
2
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6 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Extraccin de factores fuera del radical
Algunos radicales pueden ser transformados en expresiones ms sencillas. Para ello
existen factores, dentro del radical, que pueden ser extrados si el exponente del mismo es
mayor o igual que el ndice de la raz.
Actividad 13
Transforma el siguiente radical en su mnima expresin usando la extraccin de factores fuera
del radical y siguiendo las explicaciones de la profesora.
....................................................................................504
Paso 2: Para cada uno de los factores se compara el exponente de la potencia del mismo con
el ndice de la raz, si el exponente resulta mayor o igual al ndice se realiza la divisin de los
mismos donde el cociente que se obtiene es el exponente de la potencia con que sale el factor en cuestin y el resto es el exponente de la potencia con la que queda dentro del radical.
Para el factor
Es exponente ndice?
Para el factor
Es exponente ndice?
Para el factor
Es exponente ndice?
Paso 3: Se realizan los clculos aritmticos correspondientes.
Paso 1: Descomposicin factorial del 504
Paso 1 Paso 2 Paso 3
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Matemtica 3 ao - 2015 7
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 7
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
Extraer todos los factores posibles de cada uno de los siguientes radicales:
a) 48 b) 5 8128b c) 5
9
8x d) 4 3732 ba
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual ndice y el mismo radicando.
Ejemplos: 3 y 5 3 ; -2 3 2 y 4 3 2 . En algunos casos, aunque parezcan distintos radicales,
es posible operar convenientemente y obtener expresiones con radicales semejantes. Ejemplo:
20 y 5 son radicales semejantes, pues 5420 .
Operaciones con radicales
Suma y resta de radicales
Solo es posible sumar o restar trminos que contengan radicales semejantes. Existen
casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de transformarlos extrayendo
factores fuera del radical, por ejemplo: 5252332523
2.2.523 2 22322023
La resta se realiza en forma similar.
Multiplicacin de radicales Divisin de radicales Para multiplicar radicales del mismo
ndice se deben multiplicar por un lado los
coeficientes de los radicales y por otro, usar
la propiedad distributiva de la radicacin
respecto al producto nnn baba .. .
Ejemplo:
4
3143
4
17337
4
13
Para dividir radicales del mismo ndice se
deben dividir por un lado los coeficientes de
los radicales y por otro, usar la propiedad
distributiva de la radicacin respecto al
cociente nn
n
b
a
b
a . Ejemplo:
2
3
4
5
2
3
4
5
24
35
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas con radicales se tendr en cuenta el orden de
prioridad de las operaciones que ya conoces.
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8 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 8
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Une con flechas aquellos radicales que sean semejantes:
63 4 5.2 3 135 7.3
75 3. 3 5 4 80 4. 3 8
3 4 3.5
2) Realiza las siguientes operaciones e indica cul de las 3 opciones es el resultado correcto.
a) 268221183
i. 28 ii. 2585 iii. 8525
b) 52125320
i. 0 ii. 511 iii. 51
c) 864
i.322 ii. 24 iii. 4 8
3) Realiza las siguientes operaciones combinadas con radicales e indica cul de las 3 opciones es el resultado correcto.
a) 5233
215
4
3452
i. 455
12 ii. 56 iii. 5
2
13
b) 6
183329532 33
i. 184 ii. 311 iii. 46 27
4) Resuelve los siguientes situaciones problemticas: a) Calcula la medida de los lados de un tringulo rectngulo, sabiendo que la hipotenusa
mide 5 m y que un cateto es el doble del otro.
b) En la figura se ven dos cuadrados de reas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente. Calcular el permetro de la figura sombreada.
Racionalizacin de denominadores
La racionalizacin es una costumbre matemtica, en la que siempre al finalizar una
operacin, no debe quedar un radical en el denominador de una fraccin.
Primer caso: En el denominador hay un nico radical de ndice 2.
Actividad 9
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora:
1) 2
1 2)
3 5
3
Segundo caso: En el denominador hay un nico radical de ndice mayor a 2.
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Matemtica 3 ao - 2015 9
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 10
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora:
1) 3 9
1 2)
4 3
6
Tercer caso: El denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de ndice 2.
Para ellos se debe aplicar el producto de una suma de dos trminos por su diferencia conocido
como diferencia de cuadrados: 22)()( bababa
Actividad 11
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
Racionaliza el siguiente denominador siguiendo las explicaciones de la profesora:
1) 32
1
Actividad 12
1) Escribe una expresin equivalente a cada una de las dadas donde los radicales estn en el numerador (racionalizar):
a) 5
1 b)
3 14
7 c)
35
1
2) Compara cada par de nmeros 2
3 y 2
2
3,
22
2
y 22 Son iguales? Son
distintos? Explica por qu. Ayuda: realiza racionalizacin de denominador cuando
corresponda y compara los nmeros.
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Fechas y Notas importantes
2Polinomios
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Matemtica 3 ao A - 2015 11
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Expresiones algebraicas. Polinomios
Una expresin algebraica es una combinacin finita de nmeros reales, letras o de
nmeros y letras, ligados entre s por las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin,
divisin, potenciacin y/o radicacin.
Los nmeros se llaman coeficientes y las letras variables o indeterminadas.
Los polinomios son un caso especial de las expresiones algebraicas en las que la variable
o indeterminada no aparece como denominador y no est afectada por una raz. Los
polinomios se simbolizan, generalmente con una letra mayscula seguida de la indeterminada
encerrada entre parntesis, por ejemplo: )(xP , )(xQ , etc.
Caractersticas de un polinomio
Considerando el siguiente polinomio 9755
3)( 42 xxxxP , para el cual se verifican
las siguientes caractersticas:
Grado de un polinomio: es el mayor exponente al que est elevada la indeterminada. Se
simboliza con gr )(xP = 3 Coeficiente principal: es el coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente.
En P(x) es 7
Trmino independiente: Es el coeficiente que no est multiplicado por ninguna
indeterminada. En P(x) es 9.
Algunos polinomios especiales:
Polinomio nulo: sus coeficientes son ceros, no tiene grado. Ejemplo: 0)(0 x
Monomio: tiene un solo trmino. Ejemplo: 43)( xxP
Binomio: tiene dos trminos. Ejemplo: 12)( 7 xxQ
Trinomio: tiene tres trminos. Ejemplo: 83)( 2 xxxR
Cuatrinomio: tiene cuatro trminos. Ejemplo: 725
36)( 28 xxxxS
Adems, los polinomios pueden ser completos y ordenados.
Un polinomio de grado n es completo cuando entre sus trminos aparecen todos los
exponente desde n hasta 0. Ejemplo: 32 532
3)( xxxxT
Si alguno de los trminos falta, el polinomio es incompleto. Para completarlo se
agregan trminos con los exponentes faltantes y con coeficientes iguales a cero. Ejemplo:
1)( 3 xxU es incompleto, para completarlo escribimos: 100)( 23 xxxxU
Un polinomio est ordenado si sus trminos aparecen de mayor a menos segn sus
grados, en orden creciente o decreciente. Ejemplos: 53
16)( 24 xxxV
Valor numrico de un polinomio
El valor numrico de un polinomio )(xP , para x = a, es el nmero que resulta de sustituir la
variable x por el valor a. Ejemplo: en el polinomio 352)( 3 xxxP , para x = 1,
435231.51.2)1( 3 P , por lo tanto 4)1( P
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12 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 1
1) Indica con una P cules de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. 12 73)( xxxP xxQ 4)( 1215)( xxR
xxS 5)( 2)( xT xxxU 95)(5
2) a) Dados los polinomios completa el siguiente cuadro de caractersticas: Coeficiente principal : CP Trmino independiente : TI
Polinomio Grado CP TI
Clasificacin
segn cantidad
de trminos 62 715)( xxxP
xxxQ 33)( 4
33
1)( 2 xxxR
xxS5
127)(
xxxT 527,0)( 3
b) Observa si los polinomios anteriores estn completos y ordenados, de no ser as
compltalos y ordnalos.
3) a) Escribe un monomio de grado 6. b) Escribe un polinomio completo cuyo grado sea 5, el coeficiente principal igual a 1
y los dems coeficientes elegidos por vos.
c) Escribe un trinomio completo con coeficientes negativos.
4) Sea 55)( 23 xxxxP , determina el valor numrico del polinomio para 1x ;
1x ; 3x y 5x .
Operaciones con polinomios
Suma y resta de polinomios Para sumar dos o ms polinomios se suman los coeficientes de los trminos semejantes;
para restar dos polinomios, se suman los opuestos de los trminos semejantes del polinomio
que se resta. Generalmente para realizar estas operaciones escriben los trminos semejantes
uno debajo del otro, de forma que sea ms sencillo sumarlos o restarlos. Ejemplo: Dados los
siguientes polinomios 126)( 2 xxxR y 23)( 2 xxxS , sumarlos y restarlos.
Suma de los polinomios Resta de los polinomios
126)( 2 xxxR
23)( 2 xxxS
357)()( 2 xxxSxR
126)( 2 xxxR
23)( 2 xxxS
15)()( 2 xxxSxR
Son los trminos que tienen la
indeterminada x elevada al
mismo exponente.
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Matemtica 3 ao A - 2015 13
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Multiplicacin Para multiplicar dos polinomios, se deben aplicar la propiedad distributiva de la
multiplicacin respecto de la suma: acabcba ).( y la propiedad de producto de dos
potencias de igual base: mnmn aaa
En general, para efectuar esta operacin resulta muy conveniente adoptar una
disposicin prctica similar a la del mecanismo ya conocido para multiplicar nmero reales,
es decir, se escriben los polinomios uno debajo del otro (en forma completa y ordenada) y se
multiplica el ltimo trmino del polinomio de abajo por cada uno de los trminos del
polinomio de arriba, y as sucesivamente, hasta multiplicar todos los trminos del primer
polinomio.
Ejemplo: Dados los siguientes polinomios 126)( 2 xxxR y 23)( 2 xxxS ,
multiplicarlos.
65
2003 23
x
xxx
xxxx
xxx
1015
18
234
23
xxxx23415
Completar los polinomios
Ubicar los monomios del mismo
grado uno debajo del otro
Actividad 2
1) Dados los siguientes polinomios: 1)( 2 xxP ; 1)( 2 xxQ ; 12)( 2 xxxR y
32
12)( 23 xxxxS resuelve las siguientes operaciones:
2) Expresa con un monomio el rea de la parte coloreada en estas figuras.
a) b) c) d)
a) )()( xQxP b) )()( xRxS
c) )()()( xRxQxP d) )()()( xPxQxR
El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de ambos polinomios factores.
El coeficiente principal y el trmino independiente del polinomio producto son,
respectivamente, el producto de los coeficientes principales y el de los trminos
independientes de los polinomios multiplicados.
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14 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
3) El siguiente plano es el diseo de un pequeo centro comercial que ser ubicado prontamente en nuestra ciudad. El mismo cuenta con 7 locales y en el centro hay una zona
verde.
Responde:
a) La superficie total donde est construido el centro comercial permite establecer el costo de la obra Cmo son las dimensiones del terreno? (ancho y largo)
b) La superficie que corresponde a la zona verde, Qu rea tiene? c) Cul es el rea del local ms grande y del ms pequeo? [ayuda: calcula las reas de
todos los locales y luego compara]
4) Resuelve los siguientes ejercicios:
a) )5()32( 2 xxx = b) )6()2( 2 xx
c) 15)4()3( xxx d) 243 )23(2 xxxxx
Divisin de polinomio
Para dividir un monomio o polinomio por un monomio, se aplica la propiedad de la
potenciacin en reales: mnmn aaa : y la propiedad distributiva de la divisin respecto de
la suma y de la resta: cbcacba :::)(
Ejemplos: 233 2):).(2:4()2(:)4( xxxxx
)3(:)6()3(:)3()3(:)9()3(:)639( 2225262256 xxxxxxxxxx
23 34 xx
Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un mtodo prctico que se utiliza para dividir un polinomio )(xP
cualquiera por otro de la forma )( ax con Ra .
Por ejemplo, para dividir )3(:)13( 2 xx , podemos hallar los coeficientes del polinomio
cociente, mediante la siguiente disposicin:
Coeficientes
del cociente
Resto
1.Se escriben los coeficientes del polinomio
dividendo completo y ordenado en la parte superior.
2.A la izquierda se escribe a a, que es el opuesto
del trmino independiente del polinomio divisor. {El
teorema dice que el divisor es de la forma )( ax por
eso se reescribe ))3(()3( xx con lo cual
3a } 3.Se baja el 1 coeficiente del polinomio
dividendo.
3 0 1
-3 - 9 27
3 - 9 28
-
Matemtica 3 ao A - 2015 15
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
4.Se multiplica por a y se coloca debajo del
siguiente coeficiente del polinomio dividendo.
5.Se suman, y su resultado se coloca en la parte
de abajo.
6.Se vuelve a repetir el procedimiento hasta
terminar con todos los coeficientes del polinomio
dividendo.
De esta manera obtenemos los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es 1
menos que el grado del polinomio dividendo. Es decir que si 2)( xPgr , resultar el 1)( xCgr , por lo tanto, 93)( xxC y luego el resto es 28)( xR .
Actividad 3
1) Realiza las siguientes divisiones de polinomios por monomios:
a) )5(:)34
175( 2623 xxxx
b) )6(:)7
410863( 3358 xxxx
2) Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios aplicando teorema de Ruffini.
a) )1(:)345( 3 xxx
b) )2(:)413248( 234 xxxxx
c)
)3(:13
3
1 2 xxx
3) Resuelve las siguientes operaciones combinadas con polinomios:
a) 323 3)46()2(:)8( xxxxx
b) )1()2()52(3 xxxx
c) 223 )44()5(:)251520( xxxxxx
d) 36)2(:)853( 2 xxxx
Puedes usar la regla
de Ruffini cuando
convenga
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Fechas y Notas importantes
3Factorizacinde Polinomios
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Matemtica 3 ao - 2015 17
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Factorizacin de polinomios
La factorizacin es quiz uno de los temas ms importantes y fundamentales del lgebra
(rama de la matemtica) bsica. La factorizacin es tan importante como saber las tablas de
multiplicar en las matemticas bsicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente
no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemticas.
Por qu aprender factorizacin? La respuesta es sencilla y contundente: Es la base del lgebra y del clculo en general. Entonces si aprendes a factorizar, las cosas de ah en adelante sern ms fciles para continuar con temas ms avanzados.
Definicin: Factorizar o factorear un polinomio es expresarlo como un producto de
polinomios del menor grado posible, y generalmente sern binomios de la forma( ) con .
Teorema
Casos de factoreo
Hemos visto cmo factorizar un polinomio a partir de sus races, pero para algunos
polinomios es posible encontrar su forma factorizada empleando tcnicas muy sencillas como
las siguientes:
Factor comn
El factor comn es el monomio que se forma con el divisor comn mayor de los
coeficientes del polinomio y la variable elevada a la menor potencia. Luego para encontrar los
trminos que van entre parntesis, se divide cada trmino de P(x) por el factor comn.
Ejemplo:
( ) Divisor comn mayor de ambos coeficientes 2
La variable est presente en ambos trminos
(elevada a la menor potencia) x
Factor
comn
2x
Importancia de la factorizacin de un polinomio:
Si podemos encontrar una expresin factorizada de un polinomio, entonces es ms fcil ver
las races de dicho polinomio, porque las mismas son las races de cada uno de los
polinomios factores.
Todo polinomio )(xP de grado n, con n races reales se puede factorizar de la siguiente
forma: ))...().(.()( 21 nxxxxxxaxP
donde a es coeficiente principal y nxxx ,...,, 21 son las races reales
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18 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
( ) (
) Simplificando lo necesario
( ) ( ) Expresin factoreada de P(x)
Factor comn por grupos Se aplica el factor comn por grupos a polinomios que no tienen un factor comn en todos sus
trminos. Ejemplo:
( ) En todos los trminos no hay un factor comn
( ) ( ) ( ) Se forman grupos de igual cantidad de trminos, de forma tal que en cada uno de
ellos haya un factor comn.
Factor comn de cada grupo
( ) ( ) ( ) En cada trmino debe aparecer el mismo factor comn para poder extraerlo
nuevamente como factor comn.
( ) ( )( ) Expresin factoreada de P(x)
Actividad 4
1) Coloca una X a los polinomios correctamente factorizados. Los que no, factorzalos
correctamente.
a) ( ) c) ( )
b) ( )
d) ( )
2) Extraer factor comn o factor comn por grupos segn convenga y factorizar los
siguientes polinomios: 245 301824)( xxxxP 26 55)( xxxS
3624)( 23 xxxxQ 33)( 325 xxxxT
4222)( 3456 xxxxxxR 6374
12
25
27
20
9
10
6
5)( xxxxxU
Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio
Trinomio cuadrado perfecto Cuadrado de un binomio
Observacin: Las letras a y b representan a cualquier monomio
( )
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Matemtica 3 ao - 2015 19
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio que se quiere factorizar sea un
trinomio cuadrado perfecto.
Actividad 5
1) Completa los casilleros vacos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos y
luego factorzalos.
a)
c)
b) d)
2) Factorizar los siguientes polinomios utilizando trinomio cuadrado perfecto:
xxxxP 14444)( 24 44)( 36 xxxR
9
4
3
4)( 2 xxxQ
4
1)( 2 xxxS
Cuatrinomio cubo perfecto
Un cuatrinomio cubo perfecto se factoriza como el cubo de un binomio.
Cuatrinomio cubo perfecto
Cubo de un binomio
Observacin: Las letras a y b representan a cualquier monomio
Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio sea un cuatrinomio cubo
perfecto.
Actividad 6
1) Completar los casilleros vacos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos
y luego factorzalos.
a)
c)
b) d)
2) Factorizar los siguientes polinomios:
12
3
4
3
8
1)( 23 xxxxP 1257515)(
23 xxxxQ 644812)( 23 xxxxR
( ) ( )
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20 Prof. Gabriela Ojcius
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Diferencia de cuadrados
La diferencia de dos cuadrados de monomios es igual al producto entre la suma y la diferencia
de los mismos.
Ejemplo: )7).(7(749)(222 xxxxxP
Actividad 7
1) Factorizar los siguientes polinomios utilizando diferencia de cuadrados:
1144)( 4 xxP 225)( xxQ 2549)( 4 xxR 6369
4)( xxS
100)( 2 xxT 6121)( xxU 8125)( 4 xxV
Casos combinados
En algunos casos se deben aplicar varias veces distintos casos de factorizacin para factorizar
un polinomio. Se aconseja como primer paso aplicar sacar factor comn, si no es posible,
probar con factor comn por grupos; luego analizar si se puede aplicar otro caso de
factorizacin. Ejemplo:
( ) ( ) ( )
Actividad 8
1) Justifiquen cada transformacin realizada:
a)
2
2
2
)1(4
)12(4
484)(
x
xx
xxxP
b)
)2()2()3(
)4()3(
)3(4)3(
1243)(
2
2
23
xxx
xx
xxx
xxxxQ
( ) ( )
Factor comn x2
Trinomio cuadrado perfecto
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Matemtica 3 ao - 2015 21
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
2) Factoricen los siguientes polinomios combinando procedimientos convenientemente.
82123)( 45 xxxxP 245 301824)( xxxxS
3624)( 23 xxxxQ 2222)( 246 xxxxT
48362)( 2345 xxxxxxR 81)( 4 xxU
Expresiones algebraicas fraccionarias
Una expresin algebraica fraccionaria es el cociente de dos polinomios: ( )
( )
Simplificacin Para simplificar expresiones fraccionarias, se debe factorizar su numerador y denominador
para luego cancelar los factores en ambos. Ejemplo:
2223
2 2
)2(
)2()2(
2
4
x
x
xx
xx
xx
x
2: xx
Diferencia de cuadrados
Factor comn x2 Al simplificar se deben
identificar los valores de x que
anulan el denominador
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22 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Actividad 9
1) Justifiquen cada transformacin realizada:
a)
)12(
)1(
2 223
2
xxx
xx
xxx
xx xxx :
b)
2
)2()2(
2
42
x
xx
x
x xx :
2) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias e indicar los valores de x que anulan el denominador en cada caso.
a)34
2
62
182
xx
x
b)
34
2
153
2510
xx
xx
c)
xxx
xx
32 23
2
d)
123
23
xx
xx
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Fechas y Notas importantes
4Semejanza
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24 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
Actividad introductoria
1) Responde: A qu nos referimos cuando utilizamos el trmino semejanza en el lenguaje cotidiano? .. 2) Identifica en la imagen un par de figuras congruentes y un par de figuras no congruentes
pero s semejantes.
Figuras
congruentes
Figuras
semejantes
3) a) A simple vista, Te parecen los siguientes cuadrilteros semejantes? Marca tu alternativa
a la derecha.
b) Mide las dos longitudes solicitadas en cada figura y luego realiza el cociente entre
cada lado y su homlogo (es el lado igualmente dispuesto en la otra figura)
c) De acuerdo al resultado, Qu par/es de segmentos medidos son proporcionales?.........
..
d) Mide los ngulos de los cuadrilteros A, B y C. Compara con lo que marcaste en la
parte a) y cocientes en b). Qu te llama la atencin respecto de los ngulos, proporcionalidad
y semejanza de los cuadrilteros semejantes?......................................................................
..
Cocientes
Medidas Fig. A Fig. B Fig. C Fig. A
Fig. B
Fig. A
Fig. C
Fig. B
Fig. C
ANCHO
ALTO
La razn entre los nmeros a y b es el cociente
Una proporcin est formada por dos razones iguales:
Tangram
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Matemtica 3 ao - 2015 25
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
f) Redacta una oracin:
Semejanza de polgonos
Dos polgonos son semejantes si sus lados homlogos son proporcionales y sus ngulos
son iguales.
Si dos polgonos son semejantes, la constante de proporcionalidad entre ellos se llama
razn de semejanza.
Ejemplo 1: Halla la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la
primera:
Como las dos figuras son semejantes, existe una proporcionalidad entre las longitudes de
sus lados que se escribe: zyx
364
1
2
usando: x
4
1
2 412 x x
usando: y
6
1
2 612 y y
usando: z
3
1
2 312 z z
Ejemplo 2: Los lados desiguales de un tringulo issceles miden 5 cm y 3cm. Cunto
miden los lados de otro tringulo issceles, semejante al
primero, si la razn de semejanza entre ellos es 2
1?
Como las dos figuras son semejantes, existe una
proporcionalidad entre las longitudes de sus lados que
se escribe: 2
1355
zyx
usando: 2
15
x x 125 x
usando: 2
13
z z 123 z
Luego, los lados del tringulo issceles semejante al primero miden: x = ...cm, y = .cm, z = .cm.
Concepto matemtico de Semejanza Para que dos figuras sean semejantes, adems de tener la .. forma, aunque puede variar el tamao, sus lados homlogos deben ser .. ..y sus ngulos deben ser ....
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26 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
Actividad 1
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Responde a las siguientes preguntas (puedes realizar las construcciones geomtricas para guiarte)
a) Todos los cuadrados son semejantes entre s? b) Todos los rectngulos son semejantes entre s? c) Todos los tringulos son semejantes entre s? d) Todos los tringulos issceles son semejantes entre s? e) Todos los tringulos equilteros son semejantes entre s?
2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la primera:
3) Los lados de un cuadriltero miden 1,2 cm; 2,1 cm; 1,8 cm y 2,4 cm. Cunto miden
cada uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza entre
ellos es 3? (Dibuja la situacin para ayudarte)
4) Los lados de un tringulo escaleno miden 1,5 cm; 5 cm y 3,9 cm. Cunto miden cada
uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza entre ellos es
3
1? (Dibuja la situacin para ayudarte)
Criterios de semejanza de tringulos
Dos tringulos son semejantes cando tienen todos sus ngulos iguales y sus lados
homlogos proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos tringulos son
semejantes sin necesidad de conocer todos sus ngulos y lados.
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Matemtica 3 ao - 2015 27
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
Actividad 2
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Une con flecha cada par de tringulos semejantes. Justifica la eleccin indicando qu criterio de semejanza usaste.
2) Calcula el valor de x e y para que los tringulos sean semejantes.
a)
b)
c)
d)
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28 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
Clculo de distancias inaccesibles
La semejanza de tringulos permite calcular distancias a las que no se tiene acceso
directo simplemente ubicando los tringulos semejantes y utilizando la proporcionalidad entre sus lados.
Actividad 3
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) Calcula la altura de la torre de la iglesia.
2) Cul es la profundidad de un
pozo, si su anchura es de 1,2 m y
alejndose 0,8 m del borde, desde una
altura de 1,7 m, se ve que la visual une
el borde del pozo con la lnea del fondo?
3) Un observador, cuya altura desde
sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada
en un espejo, que se encuentra en el
suelo, la parte ms alta de un pino. El
espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies
y a 5 m del pie del pino. Halla la altura
del mismo.
4) Cuenta la historia que el gran matemtico griego Tales de Mileto
midi la altura de las pirmides de Egipto usando un mtodo muy simple:
compar la sombra de su bastn con la sombra de la pirmide.
En la siguiente situacin unos hombres intentan usar el mismo mtodo para
medir la altura del rbol. Si el palo mide 1 m y su sombra mide 1,52 m,
Cul ser la altura del rbol si al medir
su sombra obtenemos 6 m?
ED DF
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Matemtica 3 ao - 2015 29
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
5) Para realizar prcticas de ptica,
un estudiante situado a 12 metros de un
edificio, coloca frente a sus ojos una regla
vertical de 25 cm con la que oculta
exactamente la altura del mismo. Si la
distancia del ojo a la regla es de 40
centmetros, calcula la altura del edificio.
Escalas
La escala, en s, es la razn de semejanza entre un objeto original y su representacin, que
puede ser un plano, un mapa, una maqueta, etc. En smbolos:
Ambas longitudes deben estar en la
misma unidad de medida
La escala puede ser representada en forma numrica o grfica.
Escala numrica
1 : 500
Escala grfica
En ambos casos, 1 unidad sobre el plano, representa 500 unidades en la realidad.
Actividad 4
Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.
1) La distancia real entre dos ciudades es de 50 km y en el mapa, est representada por un
segmento de 5 cm. Qu escala se us en el mapa?
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30 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
2) Mide con regla graduada las diferentes habitaciones
del departamento al que le corresponde el plano de la
derecha y luego calcula las dimensiones de las mismas, en
metros, sabiendo que el plano usa la estaca 1 : 200.
Saln:
cm cm = cm cm = m m
Cocina:
cm cm = cm cm = m m
Dormitorio:
cm cm = cm cm = m m
Bao:
cm cm = cm cm = m m
3) Conoces la distancia (en este caso en lnea recta) que hay entre nuestra ciudad y cada
una de las siguientes: Resistencia, J.J. Castelli, Taco Pozo, Quitilipi, Villa ngela, Charata y
Santa Sylvina? La escala que se usa en el mapa es: 000.000.4
1
Pasos:
1 Ubica las ciudades en el mapa. 2 Mide las distancias en el dibujo (en lnea recta) usando una regla.
3 Utiliza la escala para obtener la distancia real entre nuestra ciudad y las dems ciudades, transforma a la unidad Kilmetro.
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Matemtica 3 ao - 2015 31
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
Ejercicios de repaso
1) Calcula las longitudes desconocidas en estas figuras, sabiendo que son semejantes.
2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la
primera:
3) Los lados de un cuadriltero miden 2,3 cm; 5,2 cm; 1,2 cm y 2 cm. Cunto miden cada uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza
entre ellos es 1,5? (Dibuja la situacin para ayudarte)
4) Determina si los siguientes pares de tringulos son semejantes, indicando, en caso afirmativo, el criterio de semejanza.
5) Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m al mismo tiempo que una seal de trnsito de 2,5 m proyecta una sombra de 0,75 m
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32 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda
6) El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gat relfejado en un charco en el piso. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus
ojos: 144 cm. A qu altura est el gato?
7) La distancia entre dos ciudades es de 354 km. Qu distancia haba en un mapa a escala 1:1 500 000?
8) Dos localidades que distan 50,4 km estn representadas en un mapa a una distancia de 2,8 cm. Con qu escala est hecho el mapa? Represntala grficamente.
9) Un alumno tiene que hacer una copia de un objeto de 0,75 m de ancho en un rectngulo de 20 cm de ancho de su hoja de papel. Qu escala tiene que aplicar?
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Fechas y Notas importantes
5Estadstica
-
34 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Estadstica
Hay numerosas situaciones en las cuales es necesario organizar una gran cantidad de
datos para que estn disponibles y se pueda leer toda la informacin que ellos proveen. En
otras oportunidades hace falta hacer un resumen de esa coleccin de datos para tomar
decisiones. Tambin es til usar datos obtenidos a partir de una parte de un grupo para
predecir qu suceder con el grupo entero. Esto es lo que permite la Estadstica.
La Estadstica es la ciencia, con base matemtica, referente a la recopilacin,
clasificacin, presentacin e interpretacin de datos. El campo de la estadstica puede
dividirse aproximadamente en dos reas: la estadstica descriptiva que incluye la
recopilacin, presentacin y descripcin de datos y la estadstica inferencial que se refiere a la
tcnica de interpretar los valores resultante de las tcnicas descriptivas, y a su utilizacin
posterior para tomar decisiones.
Trminos bsicos
Poblacin: es el conjunto de todos los individuos u objetos que se quiere estudiar.
Muestra: es un subconjunto de la poblacin que se analiza con el fin de reducir la
cantidad de informacin a obtener. Las propiedades que se obtengan de la muestra son
extensibles a toda la poblacin.
Variable: cada una de las caractersticas que puede estudiarse de una poblacin. Las
variables puede clasificarse en:
Datos: son los distintos valores, numricos o no, que toma la variable. Por ser los
valores que toma la variable, se tienen datos cualitativos o atributos o datos cuantitativos o
numricos, los que a su vez pueden subdividirse en dos clases: ser discretos o continuos.
Actividad 1
1) Identifiquen la poblacin, la muestra y la variable de estudio y su tipo, en cada uno de los siguientes casos:
a) Con el fin de conocer mejor la forma de viajar de las personas de la provincia de
Buenos Aires se ha preparado una encuesta para 700 pasajeros. Algunas de las preguntas
trataron sobre: Nmero de das de viaje, dinero empleado en cada viaje, nmero de bultos
transportado, medio de transporte utilizado y naturaleza del viaje (negocios, turismo,
-
35 Matemtica 3 ao - 2015
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
familiar, salud). (Clasifica cada una de estas variables estadsticas). b) Se quiere estudiar el desempeo de un equipo de ftbol de Senz Pea y para ello se
analizan los resultados de 25 partidos jugados por el mismo obtenindose la siguiente tabla
2) Clasifica cada una de las siguientes variables en cualitativa o cuantitativa y en su correspondientes subdivisiones (nominal ordinal o continua discreta), escribiendo una X en el recuadro correspondiente.
Tipo
Variable
Cualitativa Cuantitativa
Nominal Ordinal Discreta Continua
Nmero de libros que presta la
biblioteca de una escuela en el mes de
marzo.
Color de cabello de los asistentes a una
funcin de teatro.
Nmero de miembros de una familia.
Mximo nivel de estudio alcanzado por
una persona.
Altura de los jugadores del equipo de
basquetbol local.
Velocidad con la que pasan los
automviles por un puesto de radar.
Estado civil de los socios de un club.
Cantidad de autos vendidos por una
concesionaria en el ao 2014.
Peso de recin nacidos en el mes de
marzo en el hospital local.
Cantidad de asignaturas pendientes a
diciembre por alumno.
Das de la semana
Partidos Cantidad
Ganados 13
Empatados 7
Perdidos 5
TOTAL 25
-
36 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Tabla de distribucin de frecuencia para variables cuantitativas
Problema 1 Se realiz una encuesta a 30 personas para conocer el color primario preferido y se
obtuvieron las siguientes respuestas:
Rojo Amarillo Azul Azul Rojo Amarillo
Amarillo Rojo Azul Rojo Amarillo Rojo
Rojo Rojo Amarillo Azul Rojo Azul
Amarillo Azul Amarillo Rojo Amarillo Azul
Rojo Azul Rojo Azul Azul Rojo
Cul es la muestra?.......................................................................................................
Cul es la variable de estudio? De qu tipo es?.................................................................
....
Con esos datos obtenidos es posible realizar una tabla en la cual se agrupen los datos y
queden ordenados de manera tal que de ella sea posible extraer algn tipo de informacin til
para la toma de alguna decisin posterior.
La tabla donde figuran los datos y las respectivas frecuencias de stos se denomina
tabla de distribucin de frecuencias.
Para completar la tabla de frecuencias se agregan otras columnas que indican:
Completa la tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al problema 1
Color
preferido
Frecuencia
absoluta f
Frecuencia
relativa Rf
Frecuencia
porcentual
%f
ngulo
central
360% f
Rojo 12 0,4 40 144
Amarillo
Azul
Total
la frecuencia absoluta f es el nmero de veces que aparecen cada uno de los datos particulares.
la frecuencia relativa ( Rf ): que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el
tamao muestral.
n
ffR
la frecuencia porcentual ( %f ): que se obtiene multiplicando a la frecuencia
relativa por 100. 100.% Rff la frecuencia acumulada (F): de un intervalo es la suma de la frecuencia del
intervalo ms todas las frecuencias de los intervalos anteriores a l.
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37 Matemtica 3 ao - 2015
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Interpretaciones: Frecuencia absoluta f = 12 significa que hay 10 personas cuyo color preferido es rojo.
Frecuencia relativa Rf = 0,4 significa que 0,4 de cada persona tiene por color preferido el
rojo.
Frecuencia porcentual %f = 40 % significa que el 40 % de las personas encuestadas
prefieren el rojo como color preferido.
Grfico circular de torta
El grfico circular es la representacin de datos mediante un crculo, donde se hace
corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del
sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el nmero total de
datos con los 360 que mide la longitud de la circunferencia. Permite una mejor visualizacin de la proporcin en que aparece la caracterstica de
estudio respecto del total.
Construir el grfico circular correspondiente al problema 1:
Las leyendas indican los colores que representan cada frecuencia de la variable.
Importancia de los grficos estadsticos
Son esenciales en el estudio y presentacin de trabajos estadsticos y de investigacin.
Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del anlisis e interpretacin de datos.
Permiten observar en forma instantnea el comportamiento de la variable o variables.
Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el
futuro.
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38 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Problema 2
Con el objetivo de saber el rendimiento de los alumnos de un colegio secundario de
Senz Pea en la asignatura matemtica se realiz una evaluacin especial y las
calificaciones obtenidas fueron:
5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6,
7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.
a) Determina la poblacin de estudio, la muestra y la variable estadstica y su tipo.
b) Confecciona la tabla de distribucin de frecuencias.
c) Realiza un grfico de barras. Es aquella representacin grfica bidimensional donde los datos son representados por
un conjunto de rectngulos dispuestos paralelamente, de manera que la altura de los
mismos es proporcional a la frecuencia. Bsicamente, este tipo de grfico se utiliza para
comparar las distintas partes de un todo entre s o como parte del total. En el eje vertical se
representa las frecuencias y en el eje horizontal, los distintos valores que la variable
adopta.
Calificacin Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TOTAL
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39 Matemtica 3 ao - 2015
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Medidas estadsticas: Promedio, Moda y Mediana
El promedio o media de los datos que se presentan agrupados mediante una tabla de distribucin frecuencias se define como la suma de los productos de cada valor de la
distribucin por su frecuencia respectiva dividida por la cantidad total de valores (tamao
muestral n). En smbolos:
n
fx
n
fxfxfxx
iinn ....... 2211
La moda (Mo) de una distribucin estadstica es el valor que se repite un mayor
nmero de veces. Es, por tanto el valor ms comn.
La mediana (Me) es el valor central de esa serie de todos los valores ordenados de
forma creciente. As pues la mediana deja el mismo nmero de datos por debajo de su valor
que por encima. Cuando el nmero de datos es par, se define como la media de los dos
valores centrales.
Problema 3
Se arroj un dado una cierta cantidad de veces y los resultados obtenidos fueron:
1 2 4 4 1 3 5 4 2 6 6 4 3 6 2
4 5 1 2 4 1 6 5 6 5 2 4 3 2 5
2 3 3 4 6 2 4 6 1 3
a) Determina la variable estadstica y su tipo.
b) Confecciona la tabla de distribucin de frecuencias.
Nmero Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Frecuencia
Porcentual
1
2
3
4
5
6
Total
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40 Prof. Gabriela Ojcius
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c) Realiza un grfico de barras:
d) Responde a las siguientes preguntas:
i) Cuntas veces se arroj el dado?
ii) Qu nmero sali ms veces? A qu medida estadstica corresponde?
iii) Qu nmeros salieron igual cantidad de veces?
iv) Cuntas veces sali un nmero menor que cuatro?
v) Cuntas veces sali un nmero mayor que 2?
Tabla de distribucin de frecuencia para variables cuantitativas continuas
Problema 4
Una fbrica de ropa para chicas adolescentes necesita saber qu largo de pantalones le
conviene fabricar para vender la mayor cantidad posible. El dueo decidi elegir 80 chicas de
edades entre 13 y 17 aos y les consult acerca de su altura. Las estaturas registradas en cm,
fueron: 143 158 170 154 169 166 144 145 157 161 167 160 169 146 144 160
153 152 175 153 144 155 159 165 147 144 153 171 161 155 164 152
156 163 164 158 155 152 143 157 156 163 157 156 150 155 166 142
144 142 149 156 153 147 152 158 162 153 158 144 172 148 155 151
154 156 150 159 155 164 169 162 152 168 154 163 166 158 161 160
Cul es la variable de estudio? De qu tipo es?.................................................................
....
Como no se pueden fabricar pantalones para todas las alturas existentes, el dueo debe
considerar intervalos de altura para determinar la medida de los diferentes talles. A cada uno
de estos intervalos se los llama intervalos de clase y a su punto medio marca de clase que es
el representante de dicho intervalo.
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41 Matemtica 3 ao - 2015
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Cmo se determinan los intervalos de clase?
Para armar una tabla agrupando los datos en intervalos de clase hay que tener en cuenta
algunas cuestiones:
Todos los intervalos deben tener la misma amplitud.
Cada dato debe pertenecer a un nico intervalo.
No es conveniente trabajar con menos de 5 o 6 intervalos ni ms de 15.
No deben quedar intervalos vacos.
Muchas veces se toman intervalos que son abiertos en un extremo y cerrados en el otro.
Cmo se calcula la amplitud de cada intervalo?
Para determinarla se debe identificar el mayor y el menor de los datos y establecer el
nmero de intervalos que se deseen:
Si se desea distribuir a los datos en 8 intervalos ( 880 ), la amplitud de cada uno de
los intervalos ser: cmcmcmcm
58
40
8
140180
.
Por lo tanto la amplitud de cada intervalo es de 5 cm y considerando cerrados a
izquierda y abiertos a derecha, quedan determinados as:
Completar donde haga falta:
145;140 ; 150;145 ; 155;150 ; 160......; ; .......;.... ; ;.....165 ; 175;170 ; ;.....175
Si el fabricante numera los talles de los pantalones consecutivamente es posible armar
una tabla de frecuencias absolutas segn los intervalos:
Completa la tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al problema 4
Al considerar la muestra de los 80 chicos, En qu intervalo est la mayor
frecuencia? (Ese es el talle de pantaln que le conviene fabricar ms al vendedor) .
Talles Intervalos Marca de clase
im Frecuencia
absoluta f
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
1 [140;145) 5,1422
145140
10 0,125 12,5
2 [145;150) 147,5 6 0,075 7,5
3 [150;155) 152,5 16 0,2 20
4 [..;160)
5 [..;..)
6 [165;..)
7 [170;175)
8 [175;..)
Total 80
Rf %f
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42 Prof. Gabriela Ojcius
Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda
Histograma
Un histograma es el grfico que se utiliza para representar las frecuencias de una
variable cuantitativa continua. Es muy similar a un grfico de barras pero tiene algunas
diferencias importantes con l: como la variable toma valores continuos, no hay espacios
entre los valores de la variable y entonces las barras no deben separarse.
El histograma cuenta con:
Una escala horizontal, en la cual se indican el lmite inferior y el superior de cada intervalo de clase.
Una escala vertical, en la cual se indican las frecuencias de las distintas clases.
Construir el histograma:
Problema 5
En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos de la duracin, en horas, de
500 lmparas:
a) Completa la tabla:
b) Cul es la variable de estudio y su tipo?
Intervalos Marca de clase
im Frecuencia
absoluta f
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
[1700 ; 1750)
[1750 ; 1800)
[1800 ; 1850)
[1850 ; 1900)
[1900 ; 1950)
[1950 ; 2000)
Total
Rf %f
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43 Matemtica 3 ao - 2015
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c) Construye el histograma:
Problema 6
El peso de cada uno de los 30 alumnos de un curso es:
27 36 32 39 31 35 37 25 32 36 38 30 26 33 35
36 37 30 26 36 40 25 31 34 36 26 28 25 27 29
a) Completa la tabla de distribucin de frecuencias:
b) Cul es la variable de estudio y su tipo? c) Construye el histograma:
Intervalos Marca de clase
im Frecuencia
absoluta f
Frecuencia
relativa
Frecuencia
porcentual
[25 ; 28)
[28 ; 31)
[31 ; 34)
[34; 37)
[37 ; 40)
Total
Rf %f
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