cuadernillo matemáticas 3 loma linda.pdf

Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-ticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matemticas Matem-M

3

MatemticaCuadernillo de Actividades

Alumno/a

/CVGOhVKECCwQ

U.E.P.N 35 Instituto Adventista Loma Linda

Programa de contenidos

Unidad Id I Revisin de las propiedades estructurales de los conjuntos numricos N, Z y Q. Nmeros

irracionales. Nmeros reales. Propiedad de completitud. Intervalos reales. Raz n-sima de un

nmero real. Propiedades de la radicacin de nmeros reales. Radicales: Concepto, extraccin

de factores fuera del radical, operaciones con radicales: suma, resta, multiplicacin y divisin.

Racionalizacin de denominadores.

Unidad IIII Expresin algebraica: definicin. Polinomio. Caractersticas de un polinomio: grado,

coeficiente principal y trmino independiente. Clasificacin de polinomios segn el nmero

de trminos. Polinomio completo y ordenado. Valor numrico de un polinomio. Operaciones

con polinomios: suma, resta, multiplicacin y divisin. Regla de Ruffini. con

Unidad III Factorizacin de polinomios: factor comn y por grupos. Trinomio cuadrado y cuadrinomio

cubo perfectos. Suma y resta de potencias de igual exponente. Casos combinados.

Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificacin y operaciones.

Unidad IV Semejanza: definicin. Semejanza de tringulos y de polgonos. Razn de semejanza.

Criterios se semejanza de tringulos. Escalas. Aplicaciones prcticas de la semejanza de

tringulos.

Unidad V Estadstica. Terminologa bsica: poblacin, muestra, variables (tipos), datos. Descripcin de

variables: tabla de distribucin de frecuencias. Grficos estadsticos. Medidas estadsticas:

Promedio, moda y mediana.

2TQH)CDTKGNC1LEKWU

U.E.P.N 35 Instituto Adventista Loma Linda

Criterios de evaluacin y acreditacin

Generaleses - Cumplimiento del reglamento institucional.

- Comportamiento adecuado en el mbito escolar respetando a los compaeros, docentes y

autoridades escolares.

- Aprobacin de instancias de evaluacin (escrita u oral) y trabajos prcticos con calificacin

mayor o igual a 6 (seis).

- Presentacin en tiempo y forma de trabajos o tareas solicitadas.

- Carpeta del alumno completa, ordena y prolija.

- Asistencia al 90 % de las clases.

- Participacin activa del alumno en las clases.

- Responsabilidad en las tareas asignadas y trabajos solicitados.

- Disposicin para trabajar en forma individual o grupal.

Especficos p

- Usar de un vocabulario preciso y propio de la matemtica que permita expresar sus

conocimientos.

- Precisin y prolijidad en toda produccin matemtica realizada por el alumno, en la

presentacin de las carpetas, evaluaciones y trabajos prcticos escritos.

- Acreditar razonamientos coherentes y habilidad para resolver distintas situaciones

problemticas propuestas en clase, en instancias evaluativas escritas individuales o grupales,

en cuestionamientos orales indicados clase a clase o incluso en ejercitaciones para resolver en

sus hogares, as como tambin evidenciar el cumplimiento responsable de las actividades

antes mencionadas.

Para la elaboracin de la nota trimestral del alumno se tendr en cuenta:

- Calificaciones en evaluaciones escritas, lecciones o preguntas orales y trabajos prcticos.

- Carpeta del alumno completa, ordenada y prolija.

- Registros de desempeo: Se realizar la observacin y registro del trabajo diario de los

alumnos (en cuento a su desempeo y progreso demostrado en cada prctica cotidiana) y por

su responsabilidad en las realizacin de las tareas para el hogar o presentacin de las mismas,

como as tambin el comportamientos de los alumnos en el aula. como

....

Firma del tutor Firma del alumno/a

Fechas y Notas importantes

1Nmeros reales

2 Prof. Gabriela Ojcius

Fecha: U.E.P. N 35 Instituto Adventista Loma Linda

El conjunto de los nmeros reales

El conjunto formado por todos los nmeros racionales y todos los nmeros irracionales

se denomina conjunto de los nmeros reales y se simboliza con la letra R.

En el siguiente diagrama de Venn se pueden observar las relaciones de inclusin entre

los distintos conjuntos numricos.

NZQR y IR

Q I (los Racionales no estn incluidos en los

Irracionales ni viceversa)

Actividad 3

Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno/carpeta.

1) Indica cul de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justificar a) Todo nmero real es racional. b) Algunos nmeros naturales son nmeros enteros. c) Todo nmero entero es un nmero racional. d) Todos los nmeros reales son nmeros irracionales. e) Todos los nmeros irracionales son reales.

2) Decide si cada una de los siguientes enunciados matemticos son V o F. Justifica en cada caso.

a) 4 Q b) -2 N c)

2

1 N

d) 0,566666 Q e) - 3 I f) 81 Z

3) Completa el cuadro colocando S o NO segn corresponda.

Nmero 7 3 15 -2,08 1,222 9 6

7 3,14

2

5 5,125895 0

N?

Z?

Q?

I?

R?

4) Realiza las siguientes actividades en tu carpeta:

a) Escribir un nmero natural que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?

b) Escribir un nmero entero que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?

c) Escribir un nmero racional que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?

d) Escribir un nmero irracional que est entre 15 y 8. Cuntos hay? Por qu?

Matemtica 3 ao - 2015 3


Propiedad de completitud

El conjunto de los reales tiene la propiedad de completar o cubrir la recta numrica sin

dejar "huecos". Esta propiedad se denomina axioma de completitud que garantiza una

correspondencia biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el conjunto

de puntos en la recta, esto quiere decir que a cada nmero real le corresponde un nico punto

sobre la recta y viceversa a cada punto en la recta se le asocia un nico nmero real.

El conjunto de los nmeros reales es tambin un conjunto denso, es decir, entre dos

nmeros reales distintos siempre hay infinitos nmeros reales (tanto racionales como

irracionales).

Propiedades estructurales del conjunto numrico de los reales R

Conjunto infinito Conjunto denso

Ordenado de menor a mayor Completa la recta numrica

Intervalos reales

Un intervalo real es un segmento o una semirrecta de la recta real. Se representan como

un par ordenado de nmeros encerrados entre parntesis y/o corchetes. El parntesis indica

que no se incluye el nmero, y el corchete que s. En todo intervalo, el nmero ubicado a la

izquierda debe ser menor que el ubicado a la derecha.

Si a y b son nmeros reales, con a b, pueden tenerse los siguientes intervalos:

Nota: Los nmeros a y b se llaman extremos del intervalo.



Actividad 4


1) Representar en la recta real cada uno de los siguientes intervalos:

A= 4;0 B= 1x 3/ Rx C= 2;6 D=

35

2/ xRx

2) Escribir algebraicamente cada uno de los siguientes intervalos:

3) Graficar sobre la recta real los siguientes intervalos:

xRxA 5,1/ 3;B :4C D= 7/ xRx

4) Escribe los intervalos de reales que corresponden a las siguientes situaciones: a) Vengan a almorzar a casa, los espero entre las 13:00 hs y las 13:30 hs. b) Voy a comprarme un pantaln, pero no gastar ms de $50. c) La clase de msica es todos los lunes, de 15:00 a 17:50 hs.

Raz n-sima de un nmero real

Llamamos raz n-sima de un nmero real a, y lo simbolizamos con n a , a un nmero b

definido de la siguiente manera:

* Si n es par, 0a , 0 bban y abn

* Si n es impar, ban abn

Nn se llama ndice de la raz, a se llama radicando y n se llama signo radical

Por convencin, cuando n = 2 no se escribe el ndice en el smbolo de la raz.

Recordar que la radicacin es la operacin inversa de la potenciacin y eso nos

permite tener una herramienta para obtener y controlar resultados. Ejemplos:

283 porque 82 3 32435 porque 2433 5 3273 porque 27)3( 3

Actividad 5

Completar con el nmero que falta:

121 .., porque .. 4 16 ., porque .

3 64 .., porque .. 5 32 ., porque .

Propiedades de la radicacin

Si n a y n b existen en R entonces se cumplen las siguientes propiedades:

I) Distributividad respecto de la multiplicacin, en smbolos: nnn baba ..

Nota:. .



II) Distributividad respecto de la divisin, en smbolos: nnn baba :: siempre que 0b .

III) Raz de otra raz, en smbolos: mnn m aa

.

IV) Potencia de una raz n mmn aa

V) Simplificacin de ndices: es correcto simplificar ndices con exponentes slo si la base es

positiva. Ejemplo: 312 4 55

VI) La radicacin puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario: nm

n m aa

Actividad 6


1) Completa las casillas libres

Raz Potencia fraccionaria Raz Potencia fraccionaria

3 4 37

5

4

3

9

1

4

2) Usando las propiedades de radicacin decide si cada una de las siguientes igualdades es Verdadera o Falsa. Si es F escribe la expresin correcta.

a) 556 3 b) 916916 c) 916916

d) 2364

aa

e) 3)3(2 f) 6 88

g) 2)2(4 2 h) 189 1818 i) 32

3 aa

Radicales: concepto

Se denomina radical a la raz indicada de un nmero o

de una expresin algebraica, siempre que sta tenga

solucin real. Ejemplos: 2 ; 4 5 ; 7 83 ;

3 9 ; 5 2a ; 85 ;

364m con 0m . Los radicales son nmeros irracionales

y la forma exacta de escribir estos nmeros es expresarlos

como raz.

Las potencias de exponente fraccionario se definen de manera que las propiedades ya

conocidas de potencia de exponente entero continan siendo vlidas.

Completa las propiedades de potenciacin de un nmero real y exponente fraccionario

..................2

1

4

3

222 ..................2

1

4

3

22:2

.....................

2

1

4

3

22

4

3

2



Extraccin de factores fuera del radical

Algunos radicales pueden ser transformados en expresiones ms sencillas. Para ello

existen factores, dentro del radical, que pueden ser extrados si el exponente del mismo es

mayor o igual que el ndice de la raz.

Actividad 13

Transforma el siguiente radical en su mnima expresin usando la extraccin de factores fuera

del radical y siguiendo las explicaciones de la profesora.

....................................................................................504

Paso 2: Para cada uno de los factores se compara el exponente de la potencia del mismo con

el ndice de la raz, si el exponente resulta mayor o igual al ndice se realiza la divisin de los

mismos donde el cociente que se obtiene es el exponente de la potencia con que sale el factor en cuestin y el resto es el exponente de la potencia con la que queda dentro del radical.

Para el factor

Es exponente ndice?

Para el factor

Es exponente ndice?

Para el factor

Es exponente ndice?

Paso 3: Se realizan los clculos aritmticos correspondientes.

Paso 1: Descomposicin factorial del 504

Paso 1 Paso 2 Paso 3



Actividad 7


Extraer todos los factores posibles de cada uno de los siguientes radicales:

a) 48 b) 5 8128b c) 5

9

8x d) 4 3732 ba

Radicales semejantes

Dos radicales son semejantes cuando tienen igual ndice y el mismo radicando.

Ejemplos: 3 y 5 3 ; -2 3 2 y 4 3 2 . En algunos casos, aunque parezcan distintos radicales,

es posible operar convenientemente y obtener expresiones con radicales semejantes. Ejemplo:

20 y 5 son radicales semejantes, pues 5420 .

Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

Solo es posible sumar o restar trminos que contengan radicales semejantes. Existen

casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de transformarlos extrayendo

factores fuera del radical, por ejemplo: 5252332523

2.2.523 2 22322023

La resta se realiza en forma similar.

Multiplicacin de radicales Divisin de radicales Para multiplicar radicales del mismo

ndice se deben multiplicar por un lado los

coeficientes de los radicales y por otro, usar

la propiedad distributiva de la radicacin

respecto al producto nnn baba .. .

Ejemplo:

4

3143

4

17337

4

13

Para dividir radicales del mismo ndice se

deben dividir por un lado los coeficientes de

los radicales y por otro, usar la propiedad

distributiva de la radicacin respecto al

cociente nn

n

b

a

b

a . Ejemplo:

2

3

4

5

2

3

4

5

24

35

Operaciones combinadas

Para resolver operaciones combinadas con radicales se tendr en cuenta el orden de

prioridad de las operaciones que ya conoces.



Actividad 8


1) Une con flechas aquellos radicales que sean semejantes:

63 4 5.2 3 135 7.3

75 3. 3 5 4 80 4. 3 8

3 4 3.5

2) Realiza las siguientes operaciones e indica cul de las 3 opciones es el resultado correcto.

a) 268221183

i. 28 ii. 2585 iii. 8525

b) 52125320

i. 0 ii. 511 iii. 51

c) 864

i.322 ii. 24 iii. 4 8

3) Realiza las siguientes operaciones combinadas con radicales e indica cul de las 3 opciones es el resultado correcto.

a) 5233

215

4

3452

i. 455

12 ii. 56 iii. 5

2

13

b) 6

183329532 33

i. 184 ii. 311 iii. 46 27

4) Resuelve los siguientes situaciones problemticas: a) Calcula la medida de los lados de un tringulo rectngulo, sabiendo que la hipotenusa

mide 5 m y que un cateto es el doble del otro.

b) En la figura se ven dos cuadrados de reas 8 cm2 y 2 cm2 respectivamente. Calcular el permetro de la figura sombreada.

Racionalizacin de denominadores

La racionalizacin es una costumbre matemtica, en la que siempre al finalizar una

operacin, no debe quedar un radical en el denominador de una fraccin.

Primer caso: En el denominador hay un nico radical de ndice 2.

Actividad 9


Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora:

1) 2

1 2)

3 5

3

Segundo caso: En el denominador hay un nico radical de ndice mayor a 2.



Actividad 10


Racionaliza los siguientes denominadores siguiendo las explicaciones de la profesora:

1) 3 9

1 2)

4 3

6

Tercer caso: El denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de ndice 2.

Para ellos se debe aplicar el producto de una suma de dos trminos por su diferencia conocido

como diferencia de cuadrados: 22)()( bababa

Actividad 11


Racionaliza el siguiente denominador siguiendo las explicaciones de la profesora:

1) 32

1

Actividad 12

1) Escribe una expresin equivalente a cada una de las dadas donde los radicales estn en el numerador (racionalizar):

a) 5

1 b)

3 14

7 c)

35

1

2) Compara cada par de nmeros 2

3 y 2

2

3,

22

2

y 22 Son iguales? Son

distintos? Explica por qu. Ayuda: realiza racionalizacin de denominador cuando

corresponda y compara los nmeros.


2Polinomios

Matemtica 3 ao A - 2015 11


Expresiones algebraicas. Polinomios

Una expresin algebraica es una combinacin finita de nmeros reales, letras o de

nmeros y letras, ligados entre s por las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin,

divisin, potenciacin y/o radicacin.

Los nmeros se llaman coeficientes y las letras variables o indeterminadas.

Los polinomios son un caso especial de las expresiones algebraicas en las que la variable

o indeterminada no aparece como denominador y no est afectada por una raz. Los

polinomios se simbolizan, generalmente con una letra mayscula seguida de la indeterminada

encerrada entre parntesis, por ejemplo: )(xP , )(xQ , etc.

Caractersticas de un polinomio

Considerando el siguiente polinomio 9755

3)( 42 xxxxP , para el cual se verifican

las siguientes caractersticas:

Grado de un polinomio: es el mayor exponente al que est elevada la indeterminada. Se

simboliza con gr )(xP = 3 Coeficiente principal: es el coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente.

En P(x) es 7

Trmino independiente: Es el coeficiente que no est multiplicado por ninguna

indeterminada. En P(x) es 9.

Algunos polinomios especiales:

Polinomio nulo: sus coeficientes son ceros, no tiene grado. Ejemplo: 0)(0 x

Monomio: tiene un solo trmino. Ejemplo: 43)( xxP

Binomio: tiene dos trminos. Ejemplo: 12)( 7 xxQ

Trinomio: tiene tres trminos. Ejemplo: 83)( 2 xxxR

Cuatrinomio: tiene cuatro trminos. Ejemplo: 725

36)( 28 xxxxS

Adems, los polinomios pueden ser completos y ordenados.

Un polinomio de grado n es completo cuando entre sus trminos aparecen todos los

exponente desde n hasta 0. Ejemplo: 32 532

3)( xxxxT

Si alguno de los trminos falta, el polinomio es incompleto. Para completarlo se

agregan trminos con los exponentes faltantes y con coeficientes iguales a cero. Ejemplo:

1)( 3 xxU es incompleto, para completarlo escribimos: 100)( 23 xxxxU

Un polinomio est ordenado si sus trminos aparecen de mayor a menos segn sus

grados, en orden creciente o decreciente. Ejemplos: 53

16)( 24 xxxV

Valor numrico de un polinomio

El valor numrico de un polinomio )(xP , para x = a, es el nmero que resulta de sustituir la

variable x por el valor a. Ejemplo: en el polinomio 352)( 3 xxxP , para x = 1,

435231.51.2)1( 3 P , por lo tanto 4)1( P



Actividad 1

1) Indica con una P cules de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. 12 73)( xxxP xxQ 4)( 1215)( xxR

xxS 5)( 2)( xT xxxU 95)(5

2) a) Dados los polinomios completa el siguiente cuadro de caractersticas: Coeficiente principal : CP Trmino independiente : TI

Polinomio Grado CP TI

Clasificacin

segn cantidad

de trminos 62 715)( xxxP

xxxQ 33)( 4

33

1)( 2 xxxR

xxS5

127)(

xxxT 527,0)( 3

b) Observa si los polinomios anteriores estn completos y ordenados, de no ser as

compltalos y ordnalos.

3) a) Escribe un monomio de grado 6. b) Escribe un polinomio completo cuyo grado sea 5, el coeficiente principal igual a 1

y los dems coeficientes elegidos por vos.

c) Escribe un trinomio completo con coeficientes negativos.

4) Sea 55)( 23 xxxxP , determina el valor numrico del polinomio para 1x ;

1x ; 3x y 5x .

Operaciones con polinomios

Suma y resta de polinomios Para sumar dos o ms polinomios se suman los coeficientes de los trminos semejantes;

para restar dos polinomios, se suman los opuestos de los trminos semejantes del polinomio

que se resta. Generalmente para realizar estas operaciones escriben los trminos semejantes

uno debajo del otro, de forma que sea ms sencillo sumarlos o restarlos. Ejemplo: Dados los

siguientes polinomios 126)( 2 xxxR y 23)( 2 xxxS , sumarlos y restarlos.

Suma de los polinomios Resta de los polinomios

126)( 2 xxxR

23)( 2 xxxS

357)()( 2 xxxSxR

126)( 2 xxxR

23)( 2 xxxS

15)()( 2 xxxSxR

Son los trminos que tienen la

indeterminada x elevada al

mismo exponente.



Multiplicacin Para multiplicar dos polinomios, se deben aplicar la propiedad distributiva de la

multiplicacin respecto de la suma: acabcba ).( y la propiedad de producto de dos

potencias de igual base: mnmn aaa

En general, para efectuar esta operacin resulta muy conveniente adoptar una

disposicin prctica similar a la del mecanismo ya conocido para multiplicar nmero reales,

es decir, se escriben los polinomios uno debajo del otro (en forma completa y ordenada) y se

multiplica el ltimo trmino del polinomio de abajo por cada uno de los trminos del

polinomio de arriba, y as sucesivamente, hasta multiplicar todos los trminos del primer

polinomio.

Ejemplo: Dados los siguientes polinomios 126)( 2 xxxR y 23)( 2 xxxS ,

multiplicarlos.

65

2003 23

x

xxx

xxxx

xxx

1015

18

234

23

xxxx23415

Completar los polinomios

Ubicar los monomios del mismo

grado uno debajo del otro

Actividad 2

1) Dados los siguientes polinomios: 1)( 2 xxP ; 1)( 2 xxQ ; 12)( 2 xxxR y

32

12)( 23 xxxxS resuelve las siguientes operaciones:

2) Expresa con un monomio el rea de la parte coloreada en estas figuras.

a) b) c) d)

a) )()( xQxP b) )()( xRxS

c) )()()( xRxQxP d) )()()( xPxQxR

El grado del polinomio resultante es la suma de los grados de ambos polinomios factores.

El coeficiente principal y el trmino independiente del polinomio producto son,

respectivamente, el producto de los coeficientes principales y el de los trminos

independientes de los polinomios multiplicados.



3) El siguiente plano es el diseo de un pequeo centro comercial que ser ubicado prontamente en nuestra ciudad. El mismo cuenta con 7 locales y en el centro hay una zona

verde.

Responde:

a) La superficie total donde est construido el centro comercial permite establecer el costo de la obra Cmo son las dimensiones del terreno? (ancho y largo)

b) La superficie que corresponde a la zona verde, Qu rea tiene? c) Cul es el rea del local ms grande y del ms pequeo? [ayuda: calcula las reas de

todos los locales y luego compara]

4) Resuelve los siguientes ejercicios:

a) )5()32( 2 xxx = b) )6()2( 2 xx

c) 15)4()3( xxx d) 243 )23(2 xxxxx

Divisin de polinomio

Para dividir un monomio o polinomio por un monomio, se aplica la propiedad de la

potenciacin en reales: mnmn aaa : y la propiedad distributiva de la divisin respecto de

la suma y de la resta: cbcacba :::)(

Ejemplos: 233 2):).(2:4()2(:)4( xxxxx

)3(:)6()3(:)3()3(:)9()3(:)639( 2225262256 xxxxxxxxxx

23 34 xx

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini es un mtodo prctico que se utiliza para dividir un polinomio )(xP

cualquiera por otro de la forma )( ax con Ra .

Por ejemplo, para dividir )3(:)13( 2 xx , podemos hallar los coeficientes del polinomio

cociente, mediante la siguiente disposicin:

Coeficientes

del cociente

Resto

1.Se escriben los coeficientes del polinomio

dividendo completo y ordenado en la parte superior.

2.A la izquierda se escribe a a, que es el opuesto

del trmino independiente del polinomio divisor. {El

teorema dice que el divisor es de la forma )( ax por

eso se reescribe ))3(()3( xx con lo cual

3a } 3.Se baja el 1 coeficiente del polinomio

dividendo.

3 0 1

-3 - 9 27

3 - 9 28



4.Se multiplica por a y se coloca debajo del

siguiente coeficiente del polinomio dividendo.

5.Se suman, y su resultado se coloca en la parte

de abajo.

6.Se vuelve a repetir el procedimiento hasta

terminar con todos los coeficientes del polinomio

dividendo.

De esta manera obtenemos los coeficientes del polinomio cociente, cuyo grado es 1

menos que el grado del polinomio dividendo. Es decir que si 2)( xPgr , resultar el 1)( xCgr , por lo tanto, 93)( xxC y luego el resto es 28)( xR .

Actividad 3

1) Realiza las siguientes divisiones de polinomios por monomios:

a) )5(:)34

175( 2623 xxxx

b) )6(:)7

410863( 3358 xxxx

2) Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios aplicando teorema de Ruffini.

a) )1(:)345( 3 xxx

b) )2(:)413248( 234 xxxxx

c)

)3(:13

3

1 2 xxx

3) Resuelve las siguientes operaciones combinadas con polinomios:

a) 323 3)46()2(:)8( xxxxx

b) )1()2()52(3 xxxx

c) 223 )44()5(:)251520( xxxxxx

d) 36)2(:)853( 2 xxxx

Puedes usar la regla

de Ruffini cuando

convenga


3Factorizacinde Polinomios



Factorizacin de polinomios

La factorizacin es quiz uno de los temas ms importantes y fundamentales del lgebra

(rama de la matemtica) bsica. La factorizacin es tan importante como saber las tablas de

multiplicar en las matemticas bsicas. Quien no sabe las tablas de multiplicar, sencillamente

no va a poder avanzar con relativa facilidad en las matemticas.

Por qu aprender factorizacin? La respuesta es sencilla y contundente: Es la base del lgebra y del clculo en general. Entonces si aprendes a factorizar, las cosas de ah en adelante sern ms fciles para continuar con temas ms avanzados.

Definicin: Factorizar o factorear un polinomio es expresarlo como un producto de

polinomios del menor grado posible, y generalmente sern binomios de la forma( ) con .

Teorema

Casos de factoreo

Hemos visto cmo factorizar un polinomio a partir de sus races, pero para algunos

polinomios es posible encontrar su forma factorizada empleando tcnicas muy sencillas como

las siguientes:

Factor comn

El factor comn es el monomio que se forma con el divisor comn mayor de los

coeficientes del polinomio y la variable elevada a la menor potencia. Luego para encontrar los

trminos que van entre parntesis, se divide cada trmino de P(x) por el factor comn.

Ejemplo:

( ) Divisor comn mayor de ambos coeficientes 2

La variable est presente en ambos trminos

(elevada a la menor potencia) x

Factor

comn

2x

Importancia de la factorizacin de un polinomio:

Si podemos encontrar una expresin factorizada de un polinomio, entonces es ms fcil ver

las races de dicho polinomio, porque las mismas son las races de cada uno de los

polinomios factores.

Todo polinomio )(xP de grado n, con n races reales se puede factorizar de la siguiente

forma: ))...().(.()( 21 nxxxxxxaxP

donde a es coeficiente principal y nxxx ,...,, 21 son las races reales



( ) (

) Simplificando lo necesario

( ) ( ) Expresin factoreada de P(x)

Factor comn por grupos Se aplica el factor comn por grupos a polinomios que no tienen un factor comn en todos sus

trminos. Ejemplo:

( ) En todos los trminos no hay un factor comn

( ) ( ) ( ) Se forman grupos de igual cantidad de trminos, de forma tal que en cada uno de

ellos haya un factor comn.

Factor comn de cada grupo

( ) ( ) ( ) En cada trmino debe aparecer el mismo factor comn para poder extraerlo

nuevamente como factor comn.

( ) ( )( ) Expresin factoreada de P(x)

Actividad 4

1) Coloca una X a los polinomios correctamente factorizados. Los que no, factorzalos

correctamente.

a) ( ) c) ( )

b) ( )

d) ( )

2) Extraer factor comn o factor comn por grupos segn convenga y factorizar los

siguientes polinomios: 245 301824)( xxxxP 26 55)( xxxS

3624)( 23 xxxxQ 33)( 325 xxxxT

4222)( 3456 xxxxxxR 6374

12

25

27

20

9

10

6

5)( xxxxxU

Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio

Trinomio cuadrado perfecto Cuadrado de un binomio

Observacin: Las letras a y b representan a cualquier monomio

( )



Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio que se quiere factorizar sea un

trinomio cuadrado perfecto.

Actividad 5

1) Completa los casilleros vacos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos y

luego factorzalos.

a)

c)

b) d)

2) Factorizar los siguientes polinomios utilizando trinomio cuadrado perfecto:

xxxxP 14444)( 24 44)( 36 xxxR

9

4

3

4)( 2 xxxQ

4

1)( 2 xxxS

Cuatrinomio cubo perfecto

Un cuatrinomio cubo perfecto se factoriza como el cubo de un binomio.

Cuatrinomio cubo perfecto

Cubo de un binomio

Observacin: Las letras a y b representan a cualquier monomio

Para poder usar este caso se debe analizar que el polinomio sea un cuatrinomio cubo

perfecto.

Actividad 6

1) Completar los casilleros vacos para que los siguientes trinomios sean cuadrados perfectos

y luego factorzalos.

a)

c)

b) d)

2) Factorizar los siguientes polinomios:

12

3

4

3

8

1)( 23 xxxxP 1257515)(

23 xxxxQ 644812)( 23 xxxxR

( ) ( )



Diferencia de cuadrados

La diferencia de dos cuadrados de monomios es igual al producto entre la suma y la diferencia

de los mismos.

Ejemplo: )7).(7(749)(222 xxxxxP

Actividad 7

1) Factorizar los siguientes polinomios utilizando diferencia de cuadrados:

1144)( 4 xxP 225)( xxQ 2549)( 4 xxR 6369

4)( xxS

100)( 2 xxT 6121)( xxU 8125)( 4 xxV

Casos combinados

En algunos casos se deben aplicar varias veces distintos casos de factorizacin para factorizar

un polinomio. Se aconseja como primer paso aplicar sacar factor comn, si no es posible,

probar con factor comn por grupos; luego analizar si se puede aplicar otro caso de

factorizacin. Ejemplo:

( ) ( ) ( )

Actividad 8

1) Justifiquen cada transformacin realizada:

a)

2

2

2

)1(4

)12(4

484)(

x

xx

xxxP

b)

)2()2()3(

)4()3(

)3(4)3(

1243)(

2

2

23

xxx

xx

xxx

xxxxQ

( ) ( )

Factor comn x2

Trinomio cuadrado perfecto



2) Factoricen los siguientes polinomios combinando procedimientos convenientemente.

82123)( 45 xxxxP 245 301824)( xxxxS

3624)( 23 xxxxQ 2222)( 246 xxxxT

48362)( 2345 xxxxxxR 81)( 4 xxU

Expresiones algebraicas fraccionarias

Una expresin algebraica fraccionaria es el cociente de dos polinomios: ( )

( )

Simplificacin Para simplificar expresiones fraccionarias, se debe factorizar su numerador y denominador

para luego cancelar los factores en ambos. Ejemplo:

2223

2 2

)2(

)2()2(

2

4

x

x

xx

xx

xx

x

2: xx

Diferencia de cuadrados

Factor comn x2 Al simplificar se deben

identificar los valores de x que

anulan el denominador



Actividad 9

1) Justifiquen cada transformacin realizada:

a)

)12(

)1(

2 223

2

xxx

xx

xxx

xx xxx :

b)

2

)2()2(

2

42

x

xx

x

x xx :

2) Simplifica las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias e indicar los valores de x que anulan el denominador en cada caso.

a)34

2

62

182

xx

x

b)

34

2

153

2510

xx

xx

c)

xxx

xx

32 23

2

d)

123

23

xx

xx


4Semejanza


Fecha: U.E.P. N 35 Instituo Adventista Loma Linda

Actividad introductoria

1) Responde: A qu nos referimos cuando utilizamos el trmino semejanza en el lenguaje cotidiano? .. 2) Identifica en la imagen un par de figuras congruentes y un par de figuras no congruentes

pero s semejantes.

Figuras

congruentes

Figuras

semejantes

3) a) A simple vista, Te parecen los siguientes cuadrilteros semejantes? Marca tu alternativa

a la derecha.

b) Mide las dos longitudes solicitadas en cada figura y luego realiza el cociente entre

cada lado y su homlogo (es el lado igualmente dispuesto en la otra figura)

c) De acuerdo al resultado, Qu par/es de segmentos medidos son proporcionales?.........

..

d) Mide los ngulos de los cuadrilteros A, B y C. Compara con lo que marcaste en la

parte a) y cocientes en b). Qu te llama la atencin respecto de los ngulos, proporcionalidad

y semejanza de los cuadrilteros semejantes?......................................................................

..

Cocientes

Medidas Fig. A Fig. B Fig. C Fig. A

Fig. B

Fig. A

Fig. C

Fig. B

Fig. C

ANCHO

ALTO

La razn entre los nmeros a y b es el cociente

Una proporcin est formada por dos razones iguales:

Tangram



f) Redacta una oracin:

Semejanza de polgonos

Dos polgonos son semejantes si sus lados homlogos son proporcionales y sus ngulos

son iguales.

Si dos polgonos son semejantes, la constante de proporcionalidad entre ellos se llama

razn de semejanza.

Ejemplo 1: Halla la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la

primera:

Como las dos figuras son semejantes, existe una proporcionalidad entre las longitudes de

sus lados que se escribe: zyx

364

1

2

usando: x

4

1

2 412 x x

usando: y

6

1

2 612 y y

usando: z

3

1

2 312 z z

Ejemplo 2: Los lados desiguales de un tringulo issceles miden 5 cm y 3cm. Cunto

miden los lados de otro tringulo issceles, semejante al

primero, si la razn de semejanza entre ellos es 2

1?

Como las dos figuras son semejantes, existe una

proporcionalidad entre las longitudes de sus lados que

se escribe: 2

1355

zyx

usando: 2

15

x x 125 x

usando: 2

13

z z 123 z

Luego, los lados del tringulo issceles semejante al primero miden: x = ...cm, y = .cm, z = .cm.

Concepto matemtico de Semejanza Para que dos figuras sean semejantes, adems de tener la .. forma, aunque puede variar el tamao, sus lados homlogos deben ser .. ..y sus ngulos deben ser ....



Actividad 1


1) Responde a las siguientes preguntas (puedes realizar las construcciones geomtricas para guiarte)

a) Todos los cuadrados son semejantes entre s? b) Todos los rectngulos son semejantes entre s? c) Todos los tringulos son semejantes entre s? d) Todos los tringulos issceles son semejantes entre s? e) Todos los tringulos equilteros son semejantes entre s?

2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la primera:

3) Los lados de un cuadriltero miden 1,2 cm; 2,1 cm; 1,8 cm y 2,4 cm. Cunto miden

cada uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza entre

ellos es 3? (Dibuja la situacin para ayudarte)

4) Los lados de un tringulo escaleno miden 1,5 cm; 5 cm y 3,9 cm. Cunto miden cada

uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza entre ellos es

3

1? (Dibuja la situacin para ayudarte)

Criterios de semejanza de tringulos

Dos tringulos son semejantes cando tienen todos sus ngulos iguales y sus lados

homlogos proporcionales. Existen tres criterios para determinar si dos tringulos son

semejantes sin necesidad de conocer todos sus ngulos y lados.



Actividad 2


1) Une con flecha cada par de tringulos semejantes. Justifica la eleccin indicando qu criterio de semejanza usaste.

2) Calcula el valor de x e y para que los tringulos sean semejantes.

a)

b)

c)

d)



Clculo de distancias inaccesibles

La semejanza de tringulos permite calcular distancias a las que no se tiene acceso

directo simplemente ubicando los tringulos semejantes y utilizando la proporcionalidad entre sus lados.

Actividad 3


1) Calcula la altura de la torre de la iglesia.

2) Cul es la profundidad de un

pozo, si su anchura es de 1,2 m y

alejndose 0,8 m del borde, desde una

altura de 1,7 m, se ve que la visual une

el borde del pozo con la lnea del fondo?

3) Un observador, cuya altura desde

sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada

en un espejo, que se encuentra en el

suelo, la parte ms alta de un pino. El

espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies

y a 5 m del pie del pino. Halla la altura

del mismo.

4) Cuenta la historia que el gran matemtico griego Tales de Mileto

midi la altura de las pirmides de Egipto usando un mtodo muy simple:

compar la sombra de su bastn con la sombra de la pirmide.

En la siguiente situacin unos hombres intentan usar el mismo mtodo para

medir la altura del rbol. Si el palo mide 1 m y su sombra mide 1,52 m,

Cul ser la altura del rbol si al medir

su sombra obtenemos 6 m?

ED DF



5) Para realizar prcticas de ptica,

un estudiante situado a 12 metros de un

edificio, coloca frente a sus ojos una regla

vertical de 25 cm con la que oculta

exactamente la altura del mismo. Si la

distancia del ojo a la regla es de 40

centmetros, calcula la altura del edificio.

Escalas

La escala, en s, es la razn de semejanza entre un objeto original y su representacin, que

puede ser un plano, un mapa, una maqueta, etc. En smbolos:

Ambas longitudes deben estar en la

misma unidad de medida

La escala puede ser representada en forma numrica o grfica.

Escala numrica

1 : 500

Escala grfica

En ambos casos, 1 unidad sobre el plano, representa 500 unidades en la realidad.

Actividad 4


1) La distancia real entre dos ciudades es de 50 km y en el mapa, est representada por un

segmento de 5 cm. Qu escala se us en el mapa?



2) Mide con regla graduada las diferentes habitaciones

del departamento al que le corresponde el plano de la

derecha y luego calcula las dimensiones de las mismas, en

metros, sabiendo que el plano usa la estaca 1 : 200.

Saln:

cm cm = cm cm = m m

Cocina:

cm cm = cm cm = m m

Dormitorio:

cm cm = cm cm = m m

Bao:

cm cm = cm cm = m m

3) Conoces la distancia (en este caso en lnea recta) que hay entre nuestra ciudad y cada

una de las siguientes: Resistencia, J.J. Castelli, Taco Pozo, Quitilipi, Villa ngela, Charata y

Santa Sylvina? La escala que se usa en el mapa es: 000.000.4

1

Pasos:

1 Ubica las ciudades en el mapa. 2 Mide las distancias en el dibujo (en lnea recta) usando una regla.

3 Utiliza la escala para obtener la distancia real entre nuestra ciudad y las dems ciudades, transforma a la unidad Kilmetro.



Ejercicios de repaso

1) Calcula las longitudes desconocidas en estas figuras, sabiendo que son semejantes.

2) Hallar la longitud de los lados de la segunda figura para que sea semejante a la

primera:

3) Los lados de un cuadriltero miden 2,3 cm; 5,2 cm; 1,2 cm y 2 cm. Cunto miden cada uno de los lados de otro cuadriltero, semejante a ste, si la razn de semejanza

entre ellos es 1,5? (Dibuja la situacin para ayudarte)

4) Determina si los siguientes pares de tringulos son semejantes, indicando, en caso afirmativo, el criterio de semejanza.

5) Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5 m al mismo tiempo que una seal de trnsito de 2,5 m proyecta una sombra de 0,75 m



6) El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gat relfejado en un charco en el piso. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus

ojos: 144 cm. A qu altura est el gato?

7) La distancia entre dos ciudades es de 354 km. Qu distancia haba en un mapa a escala 1:1 500 000?

8) Dos localidades que distan 50,4 km estn representadas en un mapa a una distancia de 2,8 cm. Con qu escala est hecho el mapa? Represntala grficamente.

9) Un alumno tiene que hacer una copia de un objeto de 0,75 m de ancho en un rectngulo de 20 cm de ancho de su hoja de papel. Qu escala tiene que aplicar?


5Estadstica



Estadstica

Hay numerosas situaciones en las cuales es necesario organizar una gran cantidad de

datos para que estn disponibles y se pueda leer toda la informacin que ellos proveen. En

otras oportunidades hace falta hacer un resumen de esa coleccin de datos para tomar

decisiones. Tambin es til usar datos obtenidos a partir de una parte de un grupo para

predecir qu suceder con el grupo entero. Esto es lo que permite la Estadstica.

La Estadstica es la ciencia, con base matemtica, referente a la recopilacin,

clasificacin, presentacin e interpretacin de datos. El campo de la estadstica puede

dividirse aproximadamente en dos reas: la estadstica descriptiva que incluye la

recopilacin, presentacin y descripcin de datos y la estadstica inferencial que se refiere a la

tcnica de interpretar los valores resultante de las tcnicas descriptivas, y a su utilizacin

posterior para tomar decisiones.

Trminos bsicos

Poblacin: es el conjunto de todos los individuos u objetos que se quiere estudiar.

Muestra: es un subconjunto de la poblacin que se analiza con el fin de reducir la

cantidad de informacin a obtener. Las propiedades que se obtengan de la muestra son

extensibles a toda la poblacin.

Variable: cada una de las caractersticas que puede estudiarse de una poblacin. Las

variables puede clasificarse en:

Datos: son los distintos valores, numricos o no, que toma la variable. Por ser los

valores que toma la variable, se tienen datos cualitativos o atributos o datos cuantitativos o

numricos, los que a su vez pueden subdividirse en dos clases: ser discretos o continuos.

Actividad 1

1) Identifiquen la poblacin, la muestra y la variable de estudio y su tipo, en cada uno de los siguientes casos:

a) Con el fin de conocer mejor la forma de viajar de las personas de la provincia de

Buenos Aires se ha preparado una encuesta para 700 pasajeros. Algunas de las preguntas

trataron sobre: Nmero de das de viaje, dinero empleado en cada viaje, nmero de bultos

transportado, medio de transporte utilizado y naturaleza del viaje (negocios, turismo,

35 Matemtica 3 ao - 2015


familiar, salud). (Clasifica cada una de estas variables estadsticas). b) Se quiere estudiar el desempeo de un equipo de ftbol de Senz Pea y para ello se

analizan los resultados de 25 partidos jugados por el mismo obtenindose la siguiente tabla

2) Clasifica cada una de las siguientes variables en cualitativa o cuantitativa y en su correspondientes subdivisiones (nominal ordinal o continua discreta), escribiendo una X en el recuadro correspondiente.

Tipo

Variable

Cualitativa Cuantitativa

Nominal Ordinal Discreta Continua

Nmero de libros que presta la

biblioteca de una escuela en el mes de

marzo.

Color de cabello de los asistentes a una

funcin de teatro.

Nmero de miembros de una familia.

Mximo nivel de estudio alcanzado por

una persona.

Altura de los jugadores del equipo de

basquetbol local.

Velocidad con la que pasan los

automviles por un puesto de radar.

Estado civil de los socios de un club.

Cantidad de autos vendidos por una

concesionaria en el ao 2014.

Peso de recin nacidos en el mes de

marzo en el hospital local.

Cantidad de asignaturas pendientes a

diciembre por alumno.

Das de la semana

Partidos Cantidad

Ganados 13

Empatados 7

Perdidos 5

TOTAL 25



Tabla de distribucin de frecuencia para variables cuantitativas

Problema 1 Se realiz una encuesta a 30 personas para conocer el color primario preferido y se

obtuvieron las siguientes respuestas:

Rojo Amarillo Azul Azul Rojo Amarillo

Amarillo Rojo Azul Rojo Amarillo Rojo

Rojo Rojo Amarillo Azul Rojo Azul

Amarillo Azul Amarillo Rojo Amarillo Azul

Rojo Azul Rojo Azul Azul Rojo

Cul es la muestra?.......................................................................................................

Cul es la variable de estudio? De qu tipo es?.................................................................

....

Con esos datos obtenidos es posible realizar una tabla en la cual se agrupen los datos y

queden ordenados de manera tal que de ella sea posible extraer algn tipo de informacin til

para la toma de alguna decisin posterior.

La tabla donde figuran los datos y las respectivas frecuencias de stos se denomina

tabla de distribucin de frecuencias.

Para completar la tabla de frecuencias se agregan otras columnas que indican:

Completa la tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al problema 1

Color

preferido

Frecuencia

absoluta f

Frecuencia

relativa Rf

Frecuencia

porcentual

%f

ngulo

central

360% f

Rojo 12 0,4 40 144

Amarillo

Azul

Total

la frecuencia absoluta f es el nmero de veces que aparecen cada uno de los datos particulares.

la frecuencia relativa ( Rf ): que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el

tamao muestral.

n

ffR

la frecuencia porcentual ( %f ): que se obtiene multiplicando a la frecuencia

relativa por 100. 100.% Rff la frecuencia acumulada (F): de un intervalo es la suma de la frecuencia del

intervalo ms todas las frecuencias de los intervalos anteriores a l.



Interpretaciones: Frecuencia absoluta f = 12 significa que hay 10 personas cuyo color preferido es rojo.

Frecuencia relativa Rf = 0,4 significa que 0,4 de cada persona tiene por color preferido el

rojo.

Frecuencia porcentual %f = 40 % significa que el 40 % de las personas encuestadas

prefieren el rojo como color preferido.

Grfico circular de torta

El grfico circular es la representacin de datos mediante un crculo, donde se hace

corresponder un sector circular con cada una de las variables, de tal manera que el arco del

sector sea proporcional a la frecuencia, para lo cual se hace corresponder el nmero total de

datos con los 360 que mide la longitud de la circunferencia. Permite una mejor visualizacin de la proporcin en que aparece la caracterstica de

estudio respecto del total.

Construir el grfico circular correspondiente al problema 1:

Las leyendas indican los colores que representan cada frecuencia de la variable.

Importancia de los grficos estadsticos

Son esenciales en el estudio y presentacin de trabajos estadsticos y de investigacin.

Los datos, al ser transformados en dibujo, permiten un examen visual que constituye, muchas veces, la primera etapa del anlisis e interpretacin de datos.

Permiten observar en forma instantnea el comportamiento de la variable o variables.

Permiten formar una idea bastante aproximada sobre la tendencia de las variables en el

futuro.



Problema 2

Con el objetivo de saber el rendimiento de los alumnos de un colegio secundario de

Senz Pea en la asignatura matemtica se realiz una evaluacin especial y las

calificaciones obtenidas fueron:

5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6,

7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7.

a) Determina la poblacin de estudio, la muestra y la variable estadstica y su tipo.

b) Confecciona la tabla de distribucin de frecuencias.

c) Realiza un grfico de barras. Es aquella representacin grfica bidimensional donde los datos son representados por

un conjunto de rectngulos dispuestos paralelamente, de manera que la altura de los

mismos es proporcional a la frecuencia. Bsicamente, este tipo de grfico se utiliza para

comparar las distintas partes de un todo entre s o como parte del total. En el eje vertical se

representa las frecuencias y en el eje horizontal, los distintos valores que la variable

adopta.

Calificacin Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

porcentual

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TOTAL



Medidas estadsticas: Promedio, Moda y Mediana

El promedio o media de los datos que se presentan agrupados mediante una tabla de distribucin frecuencias se define como la suma de los productos de cada valor de la

distribucin por su frecuencia respectiva dividida por la cantidad total de valores (tamao

muestral n). En smbolos:

n

fx

n

fxfxfxx

iinn ....... 2211

La moda (Mo) de una distribucin estadstica es el valor que se repite un mayor

nmero de veces. Es, por tanto el valor ms comn.

La mediana (Me) es el valor central de esa serie de todos los valores ordenados de

forma creciente. As pues la mediana deja el mismo nmero de datos por debajo de su valor

que por encima. Cuando el nmero de datos es par, se define como la media de los dos

valores centrales.

Problema 3

Se arroj un dado una cierta cantidad de veces y los resultados obtenidos fueron:

1 2 4 4 1 3 5 4 2 6 6 4 3 6 2

4 5 1 2 4 1 6 5 6 5 2 4 3 2 5

2 3 3 4 6 2 4 6 1 3

a) Determina la variable estadstica y su tipo.

b) Confecciona la tabla de distribucin de frecuencias.

Nmero Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

Porcentual

1

2

3

4

5

6

Total



c) Realiza un grfico de barras:

d) Responde a las siguientes preguntas:

i) Cuntas veces se arroj el dado?

ii) Qu nmero sali ms veces? A qu medida estadstica corresponde?

iii) Qu nmeros salieron igual cantidad de veces?

iv) Cuntas veces sali un nmero menor que cuatro?

v) Cuntas veces sali un nmero mayor que 2?

Tabla de distribucin de frecuencia para variables cuantitativas continuas

Problema 4

Una fbrica de ropa para chicas adolescentes necesita saber qu largo de pantalones le

conviene fabricar para vender la mayor cantidad posible. El dueo decidi elegir 80 chicas de

edades entre 13 y 17 aos y les consult acerca de su altura. Las estaturas registradas en cm,

fueron: 143 158 170 154 169 166 144 145 157 161 167 160 169 146 144 160

153 152 175 153 144 155 159 165 147 144 153 171 161 155 164 152

156 163 164 158 155 152 143 157 156 163 157 156 150 155 166 142

144 142 149 156 153 147 152 158 162 153 158 144 172 148 155 151

154 156 150 159 155 164 169 162 152 168 154 163 166 158 161 160

Cul es la variable de estudio? De qu tipo es?.................................................................

....

Como no se pueden fabricar pantalones para todas las alturas existentes, el dueo debe

considerar intervalos de altura para determinar la medida de los diferentes talles. A cada uno

de estos intervalos se los llama intervalos de clase y a su punto medio marca de clase que es

el representante de dicho intervalo.



Cmo se determinan los intervalos de clase?

Para armar una tabla agrupando los datos en intervalos de clase hay que tener en cuenta

algunas cuestiones:

Todos los intervalos deben tener la misma amplitud.

Cada dato debe pertenecer a un nico intervalo.

No es conveniente trabajar con menos de 5 o 6 intervalos ni ms de 15.

No deben quedar intervalos vacos.

Muchas veces se toman intervalos que son abiertos en un extremo y cerrados en el otro.

Cmo se calcula la amplitud de cada intervalo?

Para determinarla se debe identificar el mayor y el menor de los datos y establecer el

nmero de intervalos que se deseen:

Si se desea distribuir a los datos en 8 intervalos ( 880 ), la amplitud de cada uno de

los intervalos ser: cmcmcmcm

58

40

8

140180

.

Por lo tanto la amplitud de cada intervalo es de 5 cm y considerando cerrados a

izquierda y abiertos a derecha, quedan determinados as:

Completar donde haga falta:

145;140 ; 150;145 ; 155;150 ; 160......; ; .......;.... ; ;.....165 ; 175;170 ; ;.....175

Si el fabricante numera los talles de los pantalones consecutivamente es posible armar

una tabla de frecuencias absolutas segn los intervalos:

Completa la tabla de distribucin de frecuencias correspondiente al problema 4

Al considerar la muestra de los 80 chicos, En qu intervalo est la mayor

frecuencia? (Ese es el talle de pantaln que le conviene fabricar ms al vendedor) .

Talles Intervalos Marca de clase

im Frecuencia

absoluta f

Frecuencia

relativa

Frecuencia

porcentual

1 [140;145) 5,1422

145140

10 0,125 12,5

2 [145;150) 147,5 6 0,075 7,5

3 [150;155) 152,5 16 0,2 20

4 [..;160)

5 [..;..)

6 [165;..)

7 [170;175)

8 [175;..)

Total 80

Rf %f



Histograma

Un histograma es el grfico que se utiliza para representar las frecuencias de una

variable cuantitativa continua. Es muy similar a un grfico de barras pero tiene algunas

diferencias importantes con l: como la variable toma valores continuos, no hay espacios

entre los valores de la variable y entonces las barras no deben separarse.

El histograma cuenta con:

Una escala horizontal, en la cual se indican el lmite inferior y el superior de cada intervalo de clase.

Una escala vertical, en la cual se indican las frecuencias de las distintas clases.

Construir el histograma:

Problema 5

En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos de la duracin, en horas, de

500 lmparas:

a) Completa la tabla:

b) Cul es la variable de estudio y su tipo?

Intervalos Marca de clase

im Frecuencia

absoluta f

Frecuencia

relativa

Frecuencia

porcentual

[1700 ; 1750)

[1750 ; 1800)

[1800 ; 1850)

[1850 ; 1900)

[1900 ; 1950)

[1950 ; 2000)

Total

Rf %f



c) Construye el histograma:

Problema 6

El peso de cada uno de los 30 alumnos de un curso es:

27 36 32 39 31 35 37 25 32 36 38 30 26 33 35

36 37 30 26 36 40 25 31 34 36 26 28 25 27 29

a) Completa la tabla de distribucin de frecuencias:

b) Cul es la variable de estudio y su tipo? c) Construye el histograma:

Intervalos Marca de clase

im Frecuencia

absoluta f

Frecuencia

relativa

Frecuencia

porcentual

[25 ; 28)

[28 ; 31)

[31 ; 34)

[34; 37)

[37 ; 40)

Total

Rf %f

cuadernillo matemáticas 3 loma linda.pdf

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