corso di biomatematica lezione 5: propagazione degli errori davide grandi
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Corso di biomatematica Corso di biomatematica lezione 5:lezione 5:
propagazione degli erroripropagazione degli errori
Davide Grandi
Sommario•Dalla somma in quadratura:•Somme e differenze•Prodotti e quozienti•Funzioni arbitrarie di una variabile•La potenza•Formula generale
•Livelli di confidenza•Rigetto dei dati•Metodo dei minimi quadrati
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• NotaNotaUsiamo nei lucidi seguenti
Per indicare l’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y
dove intendiamo non la deviazione standard, legata alla
bontà di una misura, ma l’errore standard, ovvero l’errore
della media, legato alla deviazione standard dalla relazione
y
Nx
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Relazione lineareRelazione linearePartiamo dalla relazione lineare
conL’errore o l’accuratezza relativo alla stima
di y dovuto alla misura di x
kxy
kxy
xky
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Somme (e differenze)Somme (e differenze)Se invece abbiamo
conAbbiamo già visto che l’errore o
l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla misura di x e di z
sarà
Che solo in alcuni casi può approssimarsi a
(stima per eccesso)
zxy
zxy
22
zxy
zxy
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Prodotti e quozientiProdotti e quozientiSe invece abbiamo
L’errore o l’accuratezza relativo alla stima di y dovuto alla
misura di a,b,c,d sarà (errore relativo)
dcbay
dcbaydcbay
2222
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoDato il caso semplice
Abbiamo che l’errore relativo per a (o per b) sarà
Per cui esprimerò a (o b) come
bay
aa
a
aa a1
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoDa questo avremo che
Il valore più probabile più grande sarà con numeratore
grande (segno +) e denominatore piccolo (meno)
b
a
ba
bay
b
a
1
1
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoOvvero
E siccome vale
avremo
b
a
ba
bay
b
a
1
1
bb
11
1
bab
ay ba 1
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Giustif. errore relativoGiustif. errore relativoLa somma in quadratura introdotta la
lezione precedente giustifica il passaggio da
a
bab
ay ba 1
22
1bab
ay ba
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Funzioni arbitrarieFunzioni arbitrarieData una funzione di diverse variabili
Avremo che l’errore (o l’accuratezza) dato dalla misura delle
variabili x,…z sarà:
E non è mai più grande della somma ordinaria dei termini
22
.........
zxy zy
xy
),....,( zxyy
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• PotenzaPotenzaNel caso in cui
avremoxy n
xyxy n
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Livello di confidenzaLivello di confidenzaSe abbiamo trovato con una misura un
valore medio (migliore stima)
Rappresentato con la deviazione standard della media,
possiamo dire che la probabilità che il calcolo del valore
medio cada nell’intervallo
È il 68% (circa)
yyvalore
yy yy ,
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Livello di confidenzaLivello di confidenzaPartiamo dunque dall’ipotesi di avere una
distribuzione centrata sul valore vero yv, la cui larghezza
viene stimata dal parametro .In questo modo avremo che la discrepanza
tra il valor medio ed il valor vero (espressa in unità di ) sarà
In questo modo posso calcolare la probabilità che una misura
(una media) cada al di fuori di t
yy
t v
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Livello di confidenzaLivello di confidenzaCome
P(fuori da t) = 1 – P(entro t)
Nel caso la probabilità della mia misura sia grande essa
risulterà accettabile, altrimenti inaccettabile (o significativa)
Ad esempio P(fuori da 2) = 4.6%P(fuori da 1.96) = 5%P(fuori da 2.32) = 2%
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Rigetto dei datiRigetto dei datiDati ad esempio 6 valori di cui uno
“sospetto”, in quanto calcolato il valor medio e la deviazione
standard noto che dista dal valor medio 2 . A questo punto
abbiamo visto cheP(fuori da 2) = 4.6% 5% (0.05)Questo implica che 1 misura ogni 20 circa
dovrebbe essere 2 oltre il valor medio, quindi:Sse ho fatto 20 misure non ha senso
rigettarla (rientra nella coda statistica), invece nel nostro caso la
probabilità sarà:6 x 0.05= 0.3Ovvero solo 1/3 di misura dovrebbe essere
oltre 2
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Rigetto dei datiRigetto dei datiQuesto implica che se riteniamo 1/3 di
misura altamente improbabile, possiamo rigettare il dato
“erroneo”.
Il criterio di Chauvenet pone il limite di improbabilità a ½
ovvero date N misure ed una di queste oltre ad esempio 2
calcoliamo NP(fuori da 2) e se è minore di ½ “posso”
rigettare il rispettivo dato..
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiSupponiamo di avere ottenuto una serie N
di misure di una variabile yi, ognuna in corrispondenza di un
determinato valore xi, ovvero di possedere una serie di
coppie(x1,y1), (x2,y2), ……. (xN,yN),E di voler stabilire se esiste una relazione
ad esempio lineare tra le due classi di parametri, ovvero se
posso scriverey=a+bxPuò ad esempio essere il caso di
determinare le costanti a e b con sufficiente precisione in quanto
rappresentano l’obiettivo finale della mia misura
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiAgendo come nel caso del calcolo del valor
medio, se i miei dati si possono disporre su una retta dovrò
minimizzare la distanza di ciascuna coppia di valori dalla
retta di equazione y=a+bx, ottenendo:
yxxyx
a i iiii2
yxyxN
b iii i
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiDove abbiamo semplificato
Si può affermare che la misura di tutti gli yi sia normalmente
distribuita attorno al suo valore y=a+bx con larghezza
22 xxN ii
N
iy iiN
bxay1
22
2
1
Propagazione degli errori
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiPossiamo anche calcolare gli scarti per i
coefficienti a e b, che saranno:
yb
N
ya
ix
2
Regressione lineare
Davide Grandi - Dottorato in Biologia
• Metodo dei minimi quadratiMetodo dei minimi quadratiIl metodo dei minimi quadrati che permette
di stimare a e b dall’equazione y=a+bx (x e y valori
medi) in pratica cerca di minimizzare l’errore residuo ei nella
relazioneyi = a+bxi + ei
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