corso di biomatematica lezione 7-3: test di significatività silvia capelli
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Corso di biomatematica Corso di biomatematica lezione 7-3:lezione 7-3:
Test di significativitàTest di significatività
Silvia Capelli
Sommario•Tabelle di contingenza e Yates•Tabelle 2x2 metodo esatto piccoli campioni (Fisher)•Tabelle 2xN
Adattamento dei dati
Silvia Capelli - Dottorato in Biologia
• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Quando confronto le risposte binarie di due campioni indipendenti è utile costruire una tabella a doppia entrata detta tabella di contingenza
Il test del 2 permette in questo caso di verificare se le proporzioni di successi e di insuccessi nei due gruppi sono indipendenti dal “trattamento” al quale sono sottoposti oppure se esiste associazione tra essi.
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Per applicare il test del 2 dovrò costruirmi
una tabella di valori misurati (osservati) ed una di valori
attesi, vediamo con un esempio come fare:Date due zone una ad alto inquinamento ed
una a basso inquinamento, si vuole stabilire se esiste un
nesso con l’incidenza di malattie polmonariPer costruire la tabella dovrò tener conto
che:1. Le modalità della var. casuale vanno sulle
righe2. Le modalità della var. effetto sulle
colonne(non tutti seguono la stessa convenzione…)
Silvia Capelli - Dottorato in Biologia
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Avremo dunque la tabella dei dati osservati
Persone con
malattie
Persone senza
malattie
Totale
Zona ad alto
inquinamento
32 a 48 b 80 n1
Zona a basso
inquinamento
13 c 57 d 70 n2
Totale 45 n3 105 n4 150 NSilvia Capelli - Dottorato in Biologia
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2In questa tabella abbiamo indicato con le lettere a,b… i dati e
con indici ni le rispettive somme parziali, con N la totale.
Ora se fosse vera l’ipotesi nulla H0 le frequenze relative
sarebbero uguali e le differenze riscontrate sarebbero
casuali.
La stima migliore di questa frequenza relativa nell’ipotesi
nulla H0 è data dalla somma delle persone con malattie nei
due gruppi diviso il totale, cioè (32+13)/150 = 0.3
Considerando che nei due campioni ho un diverso numero di
osservazioni i valori aspettati sono di 24 (80x0.3) nel primo
e di 21 (70x0.3) nel secondoSilvia Capelli - Dottorato in Biologia
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Avremo quindi la tabella dei dati attesi
(mantenendo le somme parziali e totali):Persone
con malattie
Persone senza
malattie
Totale
Zona ad alto
inquinamento
24 a 56 b 80 n1
Zona a basso
inquinamento
21 c 49 d 70 n2
Totale 45 n3 105 n4 150 NSilvia Capelli - Dottorato in Biologia
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Per i valori attesi è sufficiente trovare una sola delle frequenze attese e le altre le ricavo per differenza (somme costanti…), ovvero una tabella attesa 2x2 ha solo 1 grado
di libertà (ho 4 dati e 3 informazioni necessarie: totale riga, totale colonna e totale generale, 4–3=1)
Calcoliamo ora il c2 dai nostri dati secondo la formula
n
katt
k
att
k
oss
k
ldg f
ff1
2
)..(
2
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Con i nostri dati otteniamo:
Le tavole del 2 riportano come valori critici con g.d.l. 1
1. 3,84 alla probabilità =0,052. 6,64 alla probabilità =0,01Quindi il valore calcolato è addirittura
superiore a quello per =0,01, ovvero con probabilità < 0,01
posso dire che la differenza tra le due popolazioni è
significativa (molto…)
163,8
565648
242432
....
22
)1(
2
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2Tabelle di contingenza 2x2Partendo solo dalla tabella dei dati
osservati, è possibile ricavare il valore del 2 tramite la formula:
nnnnNdcba
4321
2
)1(
2
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2 e correzione Tabelle di contingenza 2x2 e correzione
di Yatesdi YatesAnche per le tabelle 2x2 nel caso di
campioni con osservazioni comprese tra 100 e 30 è
necessario ricorrere alla correzione di Yates, che in questo caso
diventa:
E gli effetti di questa correzione sono tanto maggiori quanto
più basso è il numero di osservazioni
nnnn
NN
dcba
4321
2
)1(
2 2
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2 piccoli Tabelle di contingenza 2x2 piccoli
campioni: metodo esatto di Fishercampioni: metodo esatto di FisherSe il numero di osservazioni scende sotto le
30, e/o almeno una frequenza attesa è inferiore a 5, si ricorre al metodo delle probabilità esatte di Fisher che permette di stimare la PROBABILITA’ di ottenere una tabella 2x2 uguale a quella osservata.
Con la stessa simbologia precedente avremo
!!!!!
!!!! 4321
Ndcba
nnnnP i
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2 piccoli Tabelle di contingenza 2x2 piccoli
campioni: metodo esatto di Fishercampioni: metodo esatto di FisherOra, per stabilire se esiste una differenza significativa tra le
distribuzioni osservate (sani, malati) devo stimare la probabilità
totale di ottenere una distribuzione così estrema o più estrema
ancora.
Per fare questo riduco di 1 il numero di osservazioni nella
casella con numero minore e modifico le altre caselle per
mantenere uguali i totali marginali ni .
Per decidere tra le due ipotesi (H0 e H1) la probabilità che
mi occorre stimare è data dalla somma della probabilità della distrib
osservata e di quelle delle risposte più estreme nella stessa direzione.(test a 1 coda)
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2x2 piccoli Tabelle di contingenza 2x2 piccoli
campioni: metodo esatto di Fishercampioni: metodo esatto di FisherE’ necessario elencare tutte le possibilità
più estreme, ovvero continuerò a ridurre i valori della
casella con numero minore fino ad arrivare a 0.Sommo tutte le probabilità e confronto il
risultato con il limite critico fissato (di solito =0,05) Se P < rifiuto H0 ed accetto H1
Nei test a due code P è raddoppiata…
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xNTabelle di contingenza 2xNIl metodo del calcolo del 2 può essere
estesso anche al caso generale, ovvero con classificazioni
multiple, ad esempio considerando il confronto tra 2 popolazioni
per verificare l’ipotesi nulla H0 che tutte le N percentuali
o proporzioni a confronto siano uguali.I gradi di libertà di una tabella 2xN sono N-
1, mentre in generale per una tabella MxN saranno (N-
1)x(M-1).Sarebbe opportuno NON avere caselle con
frequenze attese inferiori a 5, ma con più gradi di
libertà il 2 è meno sensibile ad eventuali errori dovuti a
frequenze attese piccole.
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioVogliamo confrontare l’effetto di 5 pesticidi
dispersi in 5 areee diverse sulla sopravvivenza dello
stesso tipo dianimale
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Pestic. A
Pestic. B
Pestic. C
Pestic. D
Pestic. E
Totale
Morti 8 10 14 11 7 50
Sopravv.
12 6 20 22 10 70
Totale 20 16 34 33 17 120
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioL’ipotesi nulla H0 è quella che tutti i
pesticidi determinino la stessa frequenza percentuale, mentre
l’ipotesi alternativa H1 è che almeno una classe sia
significativamente differente dalle altre.Per determinare la distribuzione attesa in
ogni casella dovrò fare il prodotto:
Attesa= totale colonna x totale riga / totale generale
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Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioOtterremo dunque la tabella attesa
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Pestic. A
Pestic. B
Pestic. C
Pestic. D
Pestic. E
Totale
Morti 8,33 6,67 14,17 13,75 7,08 50,0
Sopravv.
11,67 9,33 19,83 19,25 9,92 70
Totale 20 16 34 33 17 120
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioIl numero di gradi di libertà è (5-1)x(2-1)=4
e calcoliamo il 2 tramite la formula seguente:
Ottenendo
Che essendo inferiore al valore critico 9,49 per =0,05
implica di non poter rifiutare l’ipotesi nulla.Silvia Capelli - Dottorato in Biologia
NM
katt
k
att
k
oss
k
ldg f
ff1
2
)..(
2
9266,3
67,667,610
33,833,88
....
22
)4(
2
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioPer il calcolo del 2 possiamo utilizzare
formule abbreviate come la seguente di Brandt e Snedecor:
Con
Dove k è il numero di gruppi a confronto, pi è la frequenza percentuale carattere in
esame, gruppo i ni è la frequenza assoluta carattere in
esame, gruppo i N totale osservazioni e è la media di tutti
i gruppi
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ppC
ldg 1100
)..(
2
k
i
k
iiii npnpC
1 1
p
Adattamento dei dati• Tabelle di contingenza 2xN - esempioTabelle di contingenza 2xN - esempioPer il calcolo del 2 nel nostro caso
avremo:
Silvia Capelli - Dottorato in Biologia
Pestic. A
Pestic. B
Pestic. C
Pestic. D
Pestic. E
Totale
Morti ni
Pi in %
840,0
1062,5
1441,2
1133,3
741,2
5041,66
Sopravv.
12 6 20 22 10 70
Totale 20 16 34 33 17 120