correlacion y regresion lineal
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UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA
UEC ESTADÍSTICA
Correlación lineal simple Regresión lineal simple
Es una técnica que permite medir la fuerza o intensidad de la relación entre dos variables linealmente relacionadas, su grado de relación y su sentido Se logra a través del Coeficiente de Correlación de Pearson: r r2: es el coeficiente de determinación y se suele expresar en porcentaje, indica en qué porcentaje es explicada la variabilidad total de Y por la relación lineal entre ambas variables.
Correlación lineal simple
Es la representación gráfica de la relación entre variables cuantitativas. Es el primer indicio de la forma o naturaleza de la relación entre variables .
Diagrama de dispersión
Correlación lineal simple
r: Coeficiente de Correlación de Pearson
r = 𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)
𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2
Coeficiente de correlación lineal simple Guía para la interpretación de r
Valor de r Interpretación
0,00 Ausencia de correlación lineal
± 0,10 a ±0,19 Correlación lineal insignificante
± 0,20 a ±0,39 Correlación lineal baja-leve
± 0,40 a ±0,69 Correlación lineal moderada
± 0,70 a ±0,99 Correlación lineal alta a muy alta
± 1,00 Función lineal perfecta
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Planteamiento ¿X e Y están correlacionadas lineal y significativamente?
Para determinar la significación estadística de r
Ho : ρ = 0 (X e Y no están ni lineal, ni significativamente correlacionadas)
H1 : ρ ≠ 0 (X e Y están lineal y significativamente correlacionadas)
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Prueba estadística
Para determinar la significación estadística de r
t n-2 = 𝑟.𝑛−2
1 −𝑟2
Grado de libertad (gl) de la distribución t = n-2
Correlación lineal simple ejemplo
Se realizaron mediciones de la presión sanguínea sistólica (mmHg) mediante dos métodos en 25 pacientes con hipertensión arterial. Se desee saber si existe relación directa entre las medidas de presión obtenidas y los dos métodos de obtención.
Paciente Método I Método II X2 Y2 XY
1 2 3 4 .
25
132 138 144 146
220
130 134 132 140
202
17424 19044 20736 21316
48400
16900 17956 17424 19600
40804
17160 18492 19008 20440
44440
Total 4440 4172 808408 710952 757276
Resolución
r = 𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)
𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2
r = 25 757276 −(4440)(4172)
25 808408 − 4440 2 25 710952 − 4172 2
r = 0,95
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Prueba estadística
Para determinar la significación estadística de r
t n-2 = 𝑟.𝑛−2
1 −𝑟2
Nivel de significación: 0,05
Planteamiento de hipótesis Ho : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
t 25-2 = 𝑟.25−2
1 −(0,95)2
t 23= 14,41
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Para determinar la significación estadística
de r
t 23= 14,41
Ubicamos el valor 14,41 dentro de la distribución T para determinar el valor de p
P, se halla hacia la derecha por debajo de un nivel de significancia de 0,001. O sea por encima de un N.C. de confianza de 99,95%
Se rechaza
Ho
No se rechaza
Ho
Rechazar la Ho
Conclusión:
Decisión Valor de p: para una t de 14,41 con 23 g.l.:
p˂ 0,001
Existe alta correlación lineal estadísticamente significativa entre las medidas de presión arterial obtenidas por los dos métodos (p˂ 0,001)
Correlación lineal simple
Preview Una empresa farmacéutica conduce un estudio para evaluar la relación entre tres dosis de un nuevo agente hipnótico y tiempo de sueño. Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg ¿cuánto se incrementará la hora de sueño inducido?
Análisis de regresión
Es una técnica que trata de predecir y/o explicar el valor de una variable (v. dependiente), dado el valor de otras variables relacionadas (v. independientes) Las variables X y Y deben ser de naturaleza cuantitativa y de preferencia continua. Son estudios de la relación funcional entre dos variables relacionadas
Análisis de regresión
En regresión lineal tenemos que ajustar una recta a los puntos observados, a fin de usarla para predecir el valor de Y (variable dependiente) para un valor dado de X (variable independiente.
No todos los puntos se hallarán sobre la recta, pero la recta ajustada se supone que pasa lo más cerca posible de todos los puntos
Regresión lineal simple
A la recta obtenida se le llama recta de regresión cuya ecuación es la de la regresión lineal simple Para cada valor de X prefijado, hay una subpoblación de valores Y
Regresión lineal simple
a: ordenada en el origen o intercepto, distancia entre el origen y el punto en que la recta corta al eje Y, puede ser (+, -, 0) b: Coeficiente de regresión, expresa la cantidad en la que varía Y cuando X aumenta en una unidad, puede ser (+, -, 0)
Recta de regresión
Variable dependiente
Intersección en Y
Pendiente de la línea
Variable independiente
Regresión lineal simple
Estimadores mínimo-cuadráticos
b= ( 𝑋.𝑌) − (
𝑋)( 𝑌)𝑛
( 𝑥2) − ( 𝑥)2
𝑛
a = 𝒀
𝒏 − 𝒃
𝑿
𝒏
a = 𝒚 − 𝐛𝒙
𝒚 =a+ 𝐛𝒙
Regresión lineal simple Ejemplo
Una empresa farmacéutica conduce un estudio para evaluar la relación entre tres dosis de un nuevo agente hipnótico y tiempo de sueño. Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg ¿cuánto se incrementará la hora de sueño inducido? Los resultados son presentados en la siguiente tabla:
Tiempo de sueño en horas:
4 6 5 9 8 7 13 11 9
Dosis (mg/kg)
3 3 3 10 10 10 15 15 15
En el diagrama de puntos se aprecia una relación lineal positiva o directa entre ambas variables
Diagrama de dispersión de puntos
Dosis
Tiem
po
de
su
eñ
o
Modelo de regresión lineal simple:
Regresión lineal simple
Cálculos previos
Prueba X Y X2 Y2 XY
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 3 3
10 10 10 15 15 15
4 6 5 9 8 7
13 11 9
9 9 9
100 100 100 225 225 225
16 36 25 81 64 49
169 121 81
12 18 15 90 80 70
195 165 135
Total 84 72 1002 642 780
Obtención de la recta de regresión Estimadores mínimo-cuadráticos
b= ( 𝑋.𝑌) − (
𝑋)( 𝑌)𝑛
( 𝑥2) − ( 𝑥)2
𝑛
a = 𝒀
𝒏 − 𝒃
𝑿
𝒏
a = 𝒚 − 𝐛𝒙
b= 780 −
(84)(72)9
1002 − 842
9 = 0,5
a = 𝟕𝟐
𝟗 − 𝟎, 𝟓
𝟖𝟒
𝟗 = 𝟑, 𝟑𝟖
Obtención de la recta de regresión
Luego, el modelo de regresión lineal estimado es:
a = 𝒚 − 𝐛𝒙
𝒚 =a+ 𝐛𝒙
3,38 = 𝒚 − 𝟎, 𝟓𝒙
𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓𝒙
Regresión lineal simple
modelo de regresión lineal
𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓𝒙
Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg, el tiempo de sueño se incrementa en 0,5 horas
X= 1 mg
Cuando X=0 entonces y=3,38 X=1 entonces y= 3,38 + (0,5 x 1) X=2 entonces y= 3,38 + (0,5 x 2) X=3 entonces y= 3,38 + (0,5 x 3)
Respuesta
Un equipo de profesionales de salud mental de un hospital psiquiátrico desea investigar el nivel de respuesta de pacientes distraídos mediante un programa de terapia de remotivación, nueva prueba (X) y con la prueba estándar (Y) que están aplicando actualmente, Los resultados fueron:
Práctica 01
Correlación y regresión lineal simple
n = 11
𝑌 = 916
𝑋𝑌 = 71790
𝑋 = 825
𝑥2 = 64625
𝑦2 = 80076
Estime la recta de regresión lineal simple. Interprete el coeficiente de regresión Determine e interprete el coeficiente de correlación y de determinación Evalúe el coeficiente de correlación
Práctica
Correlación y regresión lineal simple
Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierta droga en la disminución del ritmo cardiaco en adultos. Los resultados fueron:
Práctica 02 Dosis (mg) X Reducción del ritmo
cardiaco (lat/min) Y
0,50 10
0,75 8
1,00 12
1,25 12
1,50 14
1,75 12
2,00 16
2,25 18
Correlación y regresión lineal simple
Elabore un diagrama de dispersión de puntos Estime la recta de regresión lineal simple. Interprete el coeficiente de regresión Realice valores predictivos (4) y represéntelos en la recta
Práctica
Correlación y regresión lineal simple
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