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CONTROLO LINEAR
Mestrado em Matematica e Aplicacoes
Universidade de Aveiro
1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Sistemas dinamicos de controlo
• u - entrada
• y - saıda
• x - estado - memoria do sistema (condicoes iniciais)
x(t0)
u(t), t ≥ t0
−→ y(t), t ≥ t0
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Propriedades dos sistemas a estudar
• Causalidade - os valores da saıda num dado instante nao dependem
dos valores futuros da entrada
• Dimensao finita do estado
• Linearidade
xi(t0)
ui(t)
→ yi(t), i = 1, 2 ⇒α1x1(t0) + α2x2(t0)
α1u1(t) + α2u2(t)
→ α1y1(t) + α2y2(t)
Consequencia:
resposta = resposta a entrada nula (livre) + resposta ao estado nulo (forcada)
• Invariancia no tempo
x(t0)
u(t), t ≥ t0
−→ y(t), t ≥ t0 ⇒x(t0 + T )
u(t − T ), t ≥ t0 + T
−→ y(t − T ), t ≥ t0 + T
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Descricoes matematicas - tempo contınuo
Entrada/saıda (i/o)
Tempo Frequencia (Transformada de Laplace - ANEXO 1)
Convolucao Funcao de transferencia
y(t) =∫ t
0g(t − τ )u(τ )dτ G = L[g], y = L[y], u = L[u]
y = g ∗ u y(s) = G(s)u(s)
Equacoes diferenciais Funcao de transferencia
Pndn
dtn y + . . . + P1ddt
y + P0y =
= Qmdn
dtn u + . . . + Q1ddt
u + Q0u
Com condicoes iniciais nulas
P ( ddt
)y = Q( ddt
)u P (s)y(s) = Q(s)u(s)
y(s) = P −1(s)Q(s)︸ ︷︷ ︸G(s)
u(s)
(*) Existencia das transformadas de Laplace ...
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Descricoes matematicas - tempo contınuo (continuacao)
Equacoes de estado
Tempo Frequencia
x(t) = Ax + Bu sx(s) − x(0) = Ax(s) + Bu(s)
y(t) = Cx(t) + Du(t) y(s) = Cx(s) + Du(s)
x(s) = (sI − A)−1x(0) + (sI − A)−1Bu(s)
y(s) = Cx(s) + Du(s)
Para condicoes iniciais nulas
y(s) = [C(sI − A)−1B + D]︸ ︷︷ ︸G(s)
u(s)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Descricoes matematicas - tempo discreto
Entrada/saıda (i/o)
Tempo Frequencia (Transformada z - ANEXO 2)
Convolucao Funcao de transferencia
y(k) =∑k
l=0 g(k − l)u(l) G = Z[g], y = Z[y], u = Z[u]
y = g ∗ u y(z) = G(z)u(z)
Equacoes as diferencas Funcao de transferencia
Pny(k + n) + . . . + P1y(k + 1) + P0y(k) =
= Qmu(k + m) + . . . + Q1u(k + 1) + Q0u(k)
Com condicoes iniciais nulas
P (σ)y = Q(σ)u P (z)y(z) = Q(z)u(z)
onde (σly)(k) = y(k+l) y(z) = P −1(z)Q(z)︸ ︷︷ ︸G(z)
u(z)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Descricoes matematicas - tempo discreto (continuacao)
Equacoes de estado
Tempo Frequencia
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) z[x(z) − x(0)] = Ax(z) + Bu(z)
y(k) = Cx(k) + Du(k) y(z) = Cx(z) + Du(z)
x(z) = (zI − A)−1zx(0) + (zI − A)−1Bu(z)
y(z) = Cx(z) + Du(z)
Para condicoes iniciais nulas
y(z) = [C(zI − A)−1B + D]︸ ︷︷ ︸G(z)
u(z)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Anexo 1 - Transformada de Laplace
f : [0, +∞[ → R, f ∈ Eα, para algum α ∈ R, isto e:
• f e seccionalmente contınua no intervalo [0, +∞[
• f e de ordem de crescimento α-exponencial, i.e.,
∃M > 0 ∃t0 ≥ 0 |f(t)| ≤ Meαt ∀ t ≥ t0
Transformada de Laplace de f : L{f}(s) ou F (s)
L{f} : Df → C
s 7→ L{f}(s) =∫ +∞
0
e−stf(t)dt
onde Df = {s ∈ C : o integral∫ +∞0
e−stf(t)dt converge}
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Exemplo:
f(t) = eat −→ L{f} = F (s) = ?
F (s) =∫ ∞0
eat e−stdt =∫ ∞0
e−(s−a)tdt
= − 1s−a
e−(s−a)t]+∞
0= 1
s−a
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
• O domınio de convergencia do integral∫ +∞0
e−stf(t)dt contem um
semi-plano direito, no plano complexo.
Mais concretamente:
Proposicao: Usando a notacao anteriormente introduzida, se f ∈ Eα
entao
Cα := {s ∈ C : Re(s) > α} ⊆ Df .
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Propriedades das transformadas de Laplace
1. Sejam f1 ∈ Eα1 , f2 ∈ Eα2 , a1, a2 ∈ R, entao
• a1f1 + a2f2 ∈ Eα, α = max{α1, α2};
• L{a1f1 + a2f2} = a1L{f1} + a2L{f2}
2. Se f ∈ Eα e a ∈ R entao
(1) L{eatf(t)} = F (s − a),
para todo s ∈ C tal que Re(s − a) > α
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
3. Se f ∈ Eα e n ∈ N0 entao
L{tnf(t)} = (−1)n dn
d sn[F (s)],
4. Sejam f, f ′ ∈ Eα, sendo f ′ contınua para t ≥ 0, entao
L{f ′} = sF (s) − f(0)
5. Se f ∈ Eα, entao
L{∫ t
0
f(τ ) dτ
}=
1
sF (s)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Tabela
f(t) L{f}
1 1s
tn n!sn+1
eat 1s−a
sin at as2+a2
cos at ss2+a2
eatf(t) F (s − a)
f(t − a)u∗a(t) e−asF (s)
tnf(t) (−1)n dnF (s)dsn
n ∈ N0, a ∈ R, u∗a(t) - degrau unitario (= 1 t ≥ a)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Transformada inversa
Uma transformada inversa de Laplace de uma funcao F (s), L−1{F (s)}, e
outra funcao f que goza da propriedade L{f} = F (s).
Teorema: Se L{f} ≡ L{g} e se f e g so contınuas em [0, +∞[,
entao f ≡ g.
Teorema: Se as transformadas inversas de Laplace de duas funcoes F1(s)
e F2(s) existem, entao para quaisquer constantes c1 e c2
L−1{c1F1(s) + c2F2(s)} = c1L−1{F1(s)} + c2L−1{F2(s)}.
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Exemplo: F (s) = 1(s−2)(s+3)2
−→ f(t) = ?
1(s−2)(s+3)2
= As−2
+ B(s+3)2
+ Cs+3
A = 125 ;B = − 1
5 ; C = − 125
L−1[
1(s−2)(s+3)2
]= 1
25L−1(
1s−2
)- 125L−1
(1
s+3
)- 15L−1
(1
(s+3)2
)
= 125 e2t - 1
25 e−3t - 15L−1
(d
ds
(−
1
s + 3
))︸ ︷︷ ︸L−1
(−
d
ds
(1
s + 3
))︸ ︷︷ ︸
tL−1(
1s+3
)=te−3t
= 125e2t- 1
25e−3t- 15 te−3t
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Transformada de Laplace e derivacao
L{ ˙f(t)} = s L{f(t)} − f(0)
L{f(t)} =∫ ∞0
f(t) e−stdt =integrando por partes
=[f(t)(−1
se−st)
]+∞0
+ 1s
∫ ∞0
ddt
(f(t)) e−stdt
= f(0)s
+1sL{ d
dt(f(t))}
L{f(t)} = s L{f(t)}- f(0)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Generalizando:
L{f (k)} =skL{f} -∑k−1
l=0 sk−1−lf (l)(0)
=skL{f} - sk−1 f(0) − sk−2 f (1)(0) − · · · − f (k−1)(0)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Convolucao e a transformada de Laplace
P1: Sejam f, g : [0, +∞[ → R, seccionalmente contınuas
• O produto de convolucao ou convolucao de f e g dado por
(f ∗ g) (t) =∫ t
0
f(t − τ ) g(τ ) dτ.
Elemento neutro do produto de convolucao → δ tal que:
(δ ∗ f) (t) :=∫ t
0
δ(t − τ ) f(τ ) dτ = f(t)
δ → ”funcao” δ de Dirac → nao e uma funcao!!!
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
Teorema: Sejam f e g satisfazendo P1, e de ordem exponencial.
Entao:
L{f ∗ g} = L{f} L{g} = F (s) G(s)
Corolario: L{δ} = 1
Demonstracao do teorema →
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
L{f ∗ g} =∫ ∞0
[∫ t
0f(t − τ ) g(τ ) dτ
]e−st dt =
= limb→∞∫ b
0
[∫ t
0f(t − τ ) g(τ ) dτ
]e−st dt = ∗
∗ = limb→∞∫ b
0
∫ b−τ
0f(θ) g(τ ) e−s(θ+τ) dθ dτ =
= limb→∞∫ b
0
[∫ b−τ
0f(θ) e−sθ dθ
]g(τ ) e−sτ dτ =
=∫ ∞0
[∫ ∞
0
f(θ) e−sθ dθ
]︸ ︷︷ ︸
F (s)
g(τ ) e−sτ dτ =
=F (s)∫ ∞
0
g(τ ) e−sτ dτ︸ ︷︷ ︸G(s)
= F (s) G(s)
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
∗
t
τ
→
θ = t − τ dθ = dt
τ
τ : 0 → b
t : τ → b
→
τ : 0 → b
θ : 0 → b − τ
[voltar]
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1. Introducao - Sistemas Dinamicos de Controlo
ANEXO 2 - Transformada z
Definicao
f : Z −→ R
Z[f ] =∑∞
k=0 f(k)z−k
Propriedades mais relevantes
• Z[σf ] = z(Z[f ] − f(0)) (Demonstre!)
• Z[g ∗ f ] = Z[g]Z[f ] (Demonstre!)
[voltar]
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