congruencia de triángulos

1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulosopuestos a dichos lados son congruentes.

A

B

CP

Q

R

Entonces podemos afirmar:

Por lo tanto:

ABC PQR

AB PQ

AC PR

BC QR

m A m P

m B m Q

m C m R

2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A )

Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes.

AC MN

m A m N

m C m M

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.

CASO: lado – ángulo – lado ( L A L )

Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

A

B

S N

T

C

AB ST

AC SN

m A m S

CASO: lado – lado – lado ( L L L )

Si son congruentes los tres lados.

Problemas resueltos:

1.Hallar el valor de “x”

Desarrollo:

Estamos en caso LAL los triángulosSon congruentes

entonces a ángulos iguales se oponen Lados iguales.

X + 5 = 12

X = 7

2.En la figura encuentra el valor de «a»

Desarrollo:

Si observamos estamos en un caso, ALA. Lostriángulos son congruentes.

A ángulos iguales se oponen ladosiguales.

a = 12

3.En la figura, halla «a + b»

Desarrollo:

Se observa que hay dos ángulos congruentes y un Lado común entre ellos.

Caso: ALA.

A ángulos congruentelados iguales.

A + b

10 + 4 =14

4.En la figura AM = BCHalla : MBC

Desarrollo:

x

x73°

107°

107°

N

De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triánguloBMC.

Caso: LAL

Resolviendo en el triángulo BMC se tiene:

X = 39°

5.En la figura halla MB

Desarrollo:

45°

45m C

El triángulo ABC es isósceles.

Observando la figura ( ALA) :

AMB CRB

MB = 8

Conocimiento previo:

DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO( P ) A UNA RECTA .

L

P

d

Es la longitud ( d) de la perpendicularTrazada del punto ( P ) a la recta.

DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN SEGMENTO ( AB)

A B

Q

d

L

Es la longitud ( d ) de la perpendicular al segmento o a su prolongación.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

La mediatriz es una recta ( L ) perpendicularque pasa por el punto medio del segmento( AB )

A B

L

APLICACIONES:

1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo

A

B

P

Donde:

AP = PB

2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.

A B

P

Cualquier punto de la mediatrizequidista de los extremos del segmento.

3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES

En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se encuentra contenida en la mediatriz.

M

BASE MEDIA

Es el segmento que une los puntos mediosde dos lados de un triángulo es paralelo ymide la mitad de su longitud y se lodenomina base media.

//MN AC2

ACMN

En un triángulo la base media genera4 triángulos congruentes.

Ejemplos:

1.En la figura ABCD es un cuadrado, BH = 3m y DF = 5m .Halla HF

Desarrollo:

3

5

5

3

Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusay ángulos agudos iguales. ( ALA )

AH = 5 + 3 = 8 m

2.En la figura halla «x» si HB = HC.

Desarrollo:

Por propiedad de la bisectriz de un ángulo se tiene que:

X = 20°

3. En la figura L es mediatriz y AB = MCHalla «x»

desarrollo

55°

Los triángulos AMH y MHC son congruentes ( mediatriz de un segmento)

55°

el triángulo ABM es isósceles.

X = 70°

H

A C

M

4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y Mlos puntos medios de AB , BC y AC.Si PQ // AC Y 70m PMQ

Desarrollo:

A

B

CM

PQ

70°

Halla m PBQ

por propiedad de base media:

X = 70°