conceitos básicos alysson e franklina 2ºs/2011 1
Post on 18-Apr-2015
128 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Conceitos Básicos
Alysson e Franklina2ºs/2011
1
Conceitos Básicos
2
Otimalidade
Limitantes
Relaxação
OtimalidadeDado um Problema Inteiro
Uma solução com valor z* é ótima se
n
T
Zx
Xxas
xcz
.
max
3
Sxparaxcxcz TT **
S
Z1
f.o.
Z*
Z2
Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
4
Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
5
Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
6
ZLI2
f.o.
ZLS = ZLI = Z*
ZLS1
ZLS2
ZLSn
ZLI1
ZLIk
:
:
Na prática um algoritmo simples para o problema anterior é terminado quando existe uma seqüência decrescente de limitantes superiores e uma seqüência crescente de limitantes inferiores, tal que,
zLS – zLI
7
Limitante InferiorQualquer solução x´ X (solução factível) fornece um
limitante inferior para o problema1:
zLI = z(x´) z*
Em geral, usam-se métodos heurísticos para obter um limitante inferior.
Obs. Existem problemas em que é simples encontrar uma solução factível (mochila), no entanto, para alguns essa tarefa pode ser árdua (dimensionamento de lotes).
1 – Lembre-se que estamos maximizando z.
8
Limitante SuperiorLimitante superior: é a melhor expectativa para
o problema original.
O enfoque de “relaxação” é o mais importante para determinar limitantes superiores.
Um problema “relaxado” é um problema mais simples que o problema original de programação inteira, com valor ótimo maior ou igual a z*.
9
Duas possibilidades para o problema relaxado:
a) Aumentar o conjunto de soluções factíveis (ex. relaxação linear);
b) Substituir a função objetivo por uma função com valor maior ou igual para todas as soluções factíveis.
10
Definição 2.1. Um problema
(PR) zR = max{f(x) | x T Rn}
é uma relaxação de
(PI) z = max{c(x) | x X Zn}se:(i) X T, e(ii) f(x) c(x) para todo x X.
11
(i) X T
Comentário: o problema relaxado deve conter todas as soluções do problema original, pois se uma solução for excluída, a solução ótima do problema original pode ter sido perdida, logo o problema relaxado não será uma estimativa para o problema original.
12
(ii) f(x) c(x) para todo x X.Contra exemplo:
Comentário: o máximo de f(x) não é um limite superior para o valor de c(x).
13
Proposição 2.1. Se PR é uma relaxação de PI então zR z.
Demonstração. Se x* é uma solução ótima de PI, então x* X T e z = c(x*) f(x*). Como x* T, f(x*) é um limitante inferior de zR, e portanto,
z f(x*) zR.
14
Relaxação Linear - PLDefinição 2.2. Dado o problema inteiro
Em que
Sua relaxação por programação linear é dada por:
Prove que ZPL é um relaxação de Z.
15
}|max{ nT ZPxxcz
}|{ bAxRxP n
}|max{ Pxxcz TPL
Exemplo relaxação linear
Considere o problema inteiro:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
16
Relaxação Linear do Exemplo:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
Problema linearmente Relaxado
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
17
Resolução da Relaxação Linear
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
18
Resolução da Relaxação Linear
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
Sol. Ótima:
43,8
3
86,2
2
1
PLz
x
x
19
Limitante para o prob. original
Para o problema original sabemos que o valor da f.o. será inteiro, logo o limitante superior é dado por
z 8
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
14max
43,8
3
86,2
2
1
PLz
x
x
+
=
20
Exemplo relaxação Linear
(2,1) é uma solução factível, logo é um limitante inferior para o problema,
z 7.
A solução ótima do PL é x = (20/7, 3) com valor 59/7. Como a solução ótima é inteira, temos que
z 8.
21
8
7
f.o.
z
Proposição 2.2. (Formulações Melhores) Considere P1, P2 duas formulações para o problema inteiro
Sendo P1 uma formulação melhor que P2, isto é, P1 P2. Se
para i = 1, 2 são os valores ótimos das relaxações lineares, então
para todo c.
22
}|max{ nT ZXxxcz
}|max{ iTi
PL Pxxcz
21PLPL zz
Proposição 2.3. (Prova de otimalidade) (i)Se o problema relaxado (PR) é infactível, o
problema original (PI) é infactível.
(ii)Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.
Demonstração
(i) Como PR é infactível, T = e, portanto, X = .
(ii) Como x* X, z c(x*) = f(x*) = zR. Como z zR, então c(x*) = z = zR.
23
(ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.
Nota: para f(x*) ≠ c(x*)
24
Relaxação LagrangianaDado um problema de programação inteira (PI)
z = Max {cx | Ax b, x X Zn }.
Se este problema for difícil de resolver, podemos relaxar as restrições Ax b para obter um problema relaxado mais fácil de resolver, ou seja:
zR = Max {cx | x X Zn }.
O conjunto de soluções factíveis de zR contém todas as soluções factíveis de z.
25
Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.
Então z(u) z para todo u 0.
26
Para a relaxação lagrangiana, a função objetivo do problema relaxado é dada conforme definido na Proposição 2.4.
Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.
Então z(u) z para todo u 0.
Prova. Seja x* solução ótima do PI. Como x* é factível em PI, x* X. Logo,
Ax* b
e, portanto, b – Ax* 0. Como u 0 temos
z = cx* cx* + u(b – Ax*) = z(u).
27
Exemplo relaxação lagrangiana
Considere o problema inteiro:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
28
Exemplos de relaxação lagrangiana
Relaxação lagrangiana 1:
Relxação lagrangiana 2:0
,
322
3.
)2714(4max)(
1
21
21
2
211211
u
Zxx
xx
xas
xxuxxuz
29
0,,
,.
)223()3()2714(4max),,(
321
21
2132221121321
uuu
Zxxas
xxuxuxxuxxuuuz
Exercício: pesquise uma relaxação lagrangiana para o problema de dimensionamento de lotes definido abaixo:
30
.,,1,,1}1,0{
;,,1,,10,
;,,1,,1
;,,1
;,,1,,1
.
min
1
1,
1 11 11 1
TtNiy
TtNiIx
TtNiMyxb
TtCyfxb
TtNiIdIx
as
Ihysxc
it
itit
ititi
N
iitiiti
itittiit
T
t
N
iitit
T
t
N
iitit
T
t
N
iitit
Relaxação SurrogateDado o problema inteiro:
z = Max {cx | Ax b, x X Zn }
Sua relaxação surrogate é dada por:
z = Max {cx | T Ax Tb, x X Zn }
Com T ≥ 0.
31
Relaxação SurrogateExemplo*
32* retirado de http://upwen.ie.nthu.edu.tw/IP/Integer Programming(4).pdf
Zxx
xx
xxas
xxz
21
21
21
21
,
12
12.
4max
Relaxação surrogate com = (1 1)T
Zxx
xxas
xxz
21
21
21
,
2.
4max
Relaxação Combinatorial
Esta relaxação está associada a um problema de otimização combinatória.
Problema do Caixeiro Viajante.
É dado um grafo orientado D = (V,A) com peso cij para cada arco (i,j) A. As soluções do PCV são tours ou ciclos Hamiltonianos, que são designações (assignments) ou permutações sem subtours.
33
ciclos Hamiltonianos – uma rota através dos vértices do grafo que inicie e termine em um mesmo nó sem nunca repetir uma visita.
1 2
3
4
1 2
3
4
1 2
3
4 Grafo original
Ciclos Halmiltonianos 34
Problema de designação:
1
2
3
4
A
B
C
D
Grafo original Ciclo Halmiltoniano
1
2
3
4
A
B
C
D
35
TjiijAT
ASS
TjiijAT
PCV
Tcz
Tcz
),(
),(
designação uma é |min
tourum é |min
36
Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)
É dado um grafo G = (V,A) com peso ci para cada aresta i A.
Note que: a) todo tour consiste de duas arestas adjacentes ao
nó 1, e um caminho através dos nós {2,3,...n};b) Um caminho é um caso especial de uma árvore.
Definição 2.3. Uma 1-árvore é um subgrafo que consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e das arestas de uma árvore nos nós {2,...n}.
37
Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)
Cada tour é uma 1-árvore, e, portanto,
TeeAT
árvore
TeeAT
árvore1
TeeAT
PCVS
Tcz
Tcz
Tcz
árvore uma é |min
árvore-1 uma é |min
tourum é |min
38
Problema da Mochila
Uma relaxação do conjunto
n
1jjj
n bxaZxX |
É o conjunto
n
1jjj
n bxaZxX |
Onde a é o maior inteiro menor ou igual a a.
39
Dualidade para problemas inteiros
Definição 2.4. Os dois problemas
(PI) z = Max {cx | x X}
(D) w = Min {w(u) | u U}
Formam um par dual (fraco) se c(x) ≤ w(u) para todo x X e todo u U. Quando z = w, eles forma um par dual forte.
40
Dualidade para problemas inteiros
Vantagem da dualidade: a cada iteração do problema dual obtemos um limitante superior para o problema original.
Nota: na relaxação só temos um limitante superior quando obtemos o valor ótimo da relaxação.
Proposição 2.5. O problema inteiro z = Max {cx | Ax b, x X Zn
+ } e o problema linear w =
Min {ub| uA ≥ c, u Rm+ } formam um par dual
fraco.
41
Dualidade para problemas inteiros
Proposição 2.6. Suponha que PI e D foram um par dual fraco.
i. Se D é ilimitado então P é infactível.
ii.Se x*X e u*U satisfazem c(x*) = w(u*) então x* é solução ótima de PI e u* é solução ótima de D.
42
Limitantes inferiores: solução factível*
Heurísticas gulosas (Greedy – “gananciosa”)
Idéia geral: construir uma solução a partir de um conjunto vazio, escolhendo a cada passo a melhor decisão naquele momento.
Exemplo. Problema da Mochila
43* Problemas de maximização
Busca local
Passo 1. Seleção de uma solução inicial (S).Passo 2. Avalie se existe na vizinhança VV uma
solução S’ melhor que S.Passo 3. Se existe S’ então atualize S e volte ao
Passo 2.Passo 4. Fim.
Exemplo. Problema da mochila.
44
Incluir: slides
PI1modelagem1.pdf
121 a 125
45
Lista de Exercícios:
Exercícios 1, 3, 4, 5, 6 e 7 do Cap. 2 do livro do Integer Programming, Wolsey, L.A.
Data de entrega: 29/09
46
top related