conceitos básicos alysson e franklina 2ºs/2011 1
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Conceitos Básicos
Alysson e Franklina2ºs/2011
1
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Conceitos Básicos
2
Otimalidade
Limitantes
Relaxação
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OtimalidadeDado um Problema Inteiro
Uma solução com valor z* é ótima se
n
T
Zx
Xxas
xcz
.
max
3
Sxparaxcxcz TT **
S
Z1
f.o.
Z*
Z2
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Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
4
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Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
5
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Uma solução com valor z* é ótima se existe um limitante inferior
zLI z*
e um limitante superior zLS z*
tal que zLI = z* = zLS.
6
ZLI2
f.o.
ZLS = ZLI = Z*
ZLS1
ZLS2
ZLSn
ZLI1
ZLIk
:
:
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Na prática um algoritmo simples para o problema anterior é terminado quando existe uma seqüência decrescente de limitantes superiores e uma seqüência crescente de limitantes inferiores, tal que,
zLS – zLI
7
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Limitante InferiorQualquer solução x´ X (solução factível) fornece um
limitante inferior para o problema1:
zLI = z(x´) z*
Em geral, usam-se métodos heurísticos para obter um limitante inferior.
Obs. Existem problemas em que é simples encontrar uma solução factível (mochila), no entanto, para alguns essa tarefa pode ser árdua (dimensionamento de lotes).
1 – Lembre-se que estamos maximizando z.
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Limitante SuperiorLimitante superior: é a melhor expectativa para
o problema original.
O enfoque de “relaxação” é o mais importante para determinar limitantes superiores.
Um problema “relaxado” é um problema mais simples que o problema original de programação inteira, com valor ótimo maior ou igual a z*.
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Duas possibilidades para o problema relaxado:
a) Aumentar o conjunto de soluções factíveis (ex. relaxação linear);
b) Substituir a função objetivo por uma função com valor maior ou igual para todas as soluções factíveis.
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Definição 2.1. Um problema
(PR) zR = max{f(x) | x T Rn}
é uma relaxação de
(PI) z = max{c(x) | x X Zn}se:(i) X T, e(ii) f(x) c(x) para todo x X.
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(i) X T
Comentário: o problema relaxado deve conter todas as soluções do problema original, pois se uma solução for excluída, a solução ótima do problema original pode ter sido perdida, logo o problema relaxado não será uma estimativa para o problema original.
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(ii) f(x) c(x) para todo x X.Contra exemplo:
Comentário: o máximo de f(x) não é um limite superior para o valor de c(x).
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Proposição 2.1. Se PR é uma relaxação de PI então zR z.
Demonstração. Se x* é uma solução ótima de PI, então x* X T e z = c(x*) f(x*). Como x* T, f(x*) é um limitante inferior de zR, e portanto,
z f(x*) zR.
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Relaxação Linear - PLDefinição 2.2. Dado o problema inteiro
Em que
Sua relaxação por programação linear é dada por:
Prove que ZPL é um relaxação de Z.
15
}|max{ nT ZPxxcz
}|{ bAxRxP n
}|max{ Pxxcz TPL
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Exemplo relaxação linear
Considere o problema inteiro:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
16
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Relaxação Linear do Exemplo:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
Problema linearmente Relaxado
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
17
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Resolução da Relaxação Linear
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
18
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Resolução da Relaxação Linear
0,
322
3
1427.
4max
21
21
2
21
21
xx
xx
x
xxas
xxzPL
Sol. Ótima:
43,8
3
86,2
2
1
PLz
x
x
19
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Limitante para o prob. original
Para o problema original sabemos que o valor da f.o. será inteiro, logo o limitante superior é dado por
z 8
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
14max
43,8
3
86,2
2
1
PLz
x
x
+
=
20
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Exemplo relaxação Linear
(2,1) é uma solução factível, logo é um limitante inferior para o problema,
z 7.
A solução ótima do PL é x = (20/7, 3) com valor 59/7. Como a solução ótima é inteira, temos que
z 8.
21
8
7
f.o.
z
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Proposição 2.2. (Formulações Melhores) Considere P1, P2 duas formulações para o problema inteiro
Sendo P1 uma formulação melhor que P2, isto é, P1 P2. Se
para i = 1, 2 são os valores ótimos das relaxações lineares, então
para todo c.
22
}|max{ nT ZXxxcz
}|max{ iTi
PL Pxxcz
21PLPL zz
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Proposição 2.3. (Prova de otimalidade) (i)Se o problema relaxado (PR) é infactível, o
problema original (PI) é infactível.
(ii)Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.
Demonstração
(i) Como PR é infactível, T = e, portanto, X = .
(ii) Como x* X, z c(x*) = f(x*) = zR. Como z zR, então c(x*) = z = zR.
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(ii) Seja x* uma solução ótima de PR. Se x* X e f(x*) = c(x*), então x* é uma solução ótima de PI.
Nota: para f(x*) ≠ c(x*)
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Relaxação LagrangianaDado um problema de programação inteira (PI)
z = Max {cx | Ax b, x X Zn }.
Se este problema for difícil de resolver, podemos relaxar as restrições Ax b para obter um problema relaxado mais fácil de resolver, ou seja:
zR = Max {cx | x X Zn }.
O conjunto de soluções factíveis de zR contém todas as soluções factíveis de z.
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Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.
Então z(u) z para todo u 0.
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Para a relaxação lagrangiana, a função objetivo do problema relaxado é dada conforme definido na Proposição 2.4.
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Proposição 2.4. Dadoz(u) = Max {cx + u(b – Ax), x X}.
Então z(u) z para todo u 0.
Prova. Seja x* solução ótima do PI. Como x* é factível em PI, x* X. Logo,
Ax* b
e, portanto, b – Ax* 0. Como u 0 temos
z = cx* cx* + u(b – Ax*) = z(u).
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Exemplo relaxação lagrangiana
Considere o problema inteiro:
Zxx
xx
x
xxas
xxz
21
21
2
21
21
,
322
3
1427.
4max
28
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Exemplos de relaxação lagrangiana
Relaxação lagrangiana 1:
Relxação lagrangiana 2:0
,
322
3.
)2714(4max)(
1
21
21
2
211211
u
Zxx
xx
xas
xxuxxuz
29
0,,
,.
)223()3()2714(4max),,(
321
21
2132221121321
uuu
Zxxas
xxuxuxxuxxuuuz
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Exercício: pesquise uma relaxação lagrangiana para o problema de dimensionamento de lotes definido abaixo:
30
.,,1,,1}1,0{
;,,1,,10,
;,,1,,1
;,,1
;,,1,,1
.
min
1
1,
1 11 11 1
TtNiy
TtNiIx
TtNiMyxb
TtCyfxb
TtNiIdIx
as
Ihysxc
it
itit
ititi
N
iitiiti
itittiit
T
t
N
iitit
T
t
N
iitit
T
t
N
iitit
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Relaxação SurrogateDado o problema inteiro:
z = Max {cx | Ax b, x X Zn }
Sua relaxação surrogate é dada por:
z = Max {cx | T Ax Tb, x X Zn }
Com T ≥ 0.
31
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Relaxação SurrogateExemplo*
32* retirado de http://upwen.ie.nthu.edu.tw/IP/Integer Programming(4).pdf
Zxx
xx
xxas
xxz
21
21
21
21
,
12
12.
4max
Relaxação surrogate com = (1 1)T
Zxx
xxas
xxz
21
21
21
,
2.
4max
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Relaxação Combinatorial
Esta relaxação está associada a um problema de otimização combinatória.
Problema do Caixeiro Viajante.
É dado um grafo orientado D = (V,A) com peso cij para cada arco (i,j) A. As soluções do PCV são tours ou ciclos Hamiltonianos, que são designações (assignments) ou permutações sem subtours.
33
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ciclos Hamiltonianos – uma rota através dos vértices do grafo que inicie e termine em um mesmo nó sem nunca repetir uma visita.
1 2
3
4
1 2
3
4
1 2
3
4 Grafo original
Ciclos Halmiltonianos 34
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Problema de designação:
1
2
3
4
A
B
C
D
Grafo original Ciclo Halmiltoniano
1
2
3
4
A
B
C
D
35
![Page 36: Conceitos Básicos Alysson e Franklina 2ºs/2011 1](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102605/552fc133497959413d8d7866/html5/thumbnails/36.jpg)
TjiijAT
ASS
TjiijAT
PCV
Tcz
Tcz
),(
),(
designação uma é |min
tourum é |min
36
![Page 37: Conceitos Básicos Alysson e Franklina 2ºs/2011 1](https://reader038.vdocuments.site/reader038/viewer/2022102605/552fc133497959413d8d7866/html5/thumbnails/37.jpg)
Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)
É dado um grafo G = (V,A) com peso ci para cada aresta i A.
Note que: a) todo tour consiste de duas arestas adjacentes ao
nó 1, e um caminho através dos nós {2,3,...n};b) Um caminho é um caso especial de uma árvore.
Definição 2.3. Uma 1-árvore é um subgrafo que consiste de duas arestas adjacentes ao nó 1, e das arestas de uma árvore nos nós {2,...n}.
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Problema do Caixeiro Viajante Simétrico (PCVS)
Cada tour é uma 1-árvore, e, portanto,
TeeAT
árvore
TeeAT
árvore1
TeeAT
PCVS
Tcz
Tcz
Tcz
árvore uma é |min
árvore-1 uma é |min
tourum é |min
38
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Problema da Mochila
Uma relaxação do conjunto
n
1jjj
n bxaZxX |
É o conjunto
n
1jjj
n bxaZxX |
Onde a é o maior inteiro menor ou igual a a.
39
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Dualidade para problemas inteiros
Definição 2.4. Os dois problemas
(PI) z = Max {cx | x X}
(D) w = Min {w(u) | u U}
Formam um par dual (fraco) se c(x) ≤ w(u) para todo x X e todo u U. Quando z = w, eles forma um par dual forte.
40
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Dualidade para problemas inteiros
Vantagem da dualidade: a cada iteração do problema dual obtemos um limitante superior para o problema original.
Nota: na relaxação só temos um limitante superior quando obtemos o valor ótimo da relaxação.
Proposição 2.5. O problema inteiro z = Max {cx | Ax b, x X Zn
+ } e o problema linear w =
Min {ub| uA ≥ c, u Rm+ } formam um par dual
fraco.
41
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Dualidade para problemas inteiros
Proposição 2.6. Suponha que PI e D foram um par dual fraco.
i. Se D é ilimitado então P é infactível.
ii.Se x*X e u*U satisfazem c(x*) = w(u*) então x* é solução ótima de PI e u* é solução ótima de D.
42
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Limitantes inferiores: solução factível*
Heurísticas gulosas (Greedy – “gananciosa”)
Idéia geral: construir uma solução a partir de um conjunto vazio, escolhendo a cada passo a melhor decisão naquele momento.
Exemplo. Problema da Mochila
43* Problemas de maximização
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Busca local
Passo 1. Seleção de uma solução inicial (S).Passo 2. Avalie se existe na vizinhança VV uma
solução S’ melhor que S.Passo 3. Se existe S’ então atualize S e volte ao
Passo 2.Passo 4. Fim.
Exemplo. Problema da mochila.
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Incluir: slides
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121 a 125
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Lista de Exercícios:
Exercícios 1, 3, 4, 5, 6 e 7 do Cap. 2 do livro do Integer Programming, Wolsey, L.A.
Data de entrega: 29/09
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