chapter 2 貨幣與時間的關係
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第 2章 貨幣與時間的關係
1
Chapter 2
貨幣與時間的關係
1
第 2章 貨幣與時間的關係
2
2.1 利息是貨幣的時間成本2.1.1 貨幣的時間價值
貨幣有獲利力與購買力。2.1.2 與利息相關的交易
借款或投資交易的最初金額稱為本金。計息週期,即決定計算利息的時間週期,
通常以年利率來表示。在明確時間內的收支計畫,可產生特定的現金流量型
式。
25
第 2章 貨幣與時間的關係
3
為了便於計算,以下列變數表示這些要素:
nA 第 n 期 末 支 付 或 收 入 的 金 額 。
i 計 息 週 期 的 利 率 。
N 計 息 週 期 總 數 。
P 在 時 間 為 零 的 總 金 額 , 稱 為 現 值 。
F 在 分 析 時 間 最 後 的 總 金 額 , 可 寫 成 NF , 或 稱 未 來 值 。
A 規 則 且 連 續 N 期 末 支 付 或 收 入 相 同 的 金 額 , 即 21 AA NA , 或
稱 年 金 。
nV 考 慮 某 金 額 於 第 n 期 末 的 相 當 等 額 , 注 意 , PV 0 且 FVN 。
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第 2章 貨幣與時間的關係
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期末慣例2.1.3 計算利息的方法
單 利 : 以單利計算總利息 I 為:
(2.1)
N 期後的本金 F 為
(2.2)
複 利 : N 期後的累積餘額 F 為,
(2.3)
NiPI )(
)1( iNPIPF
28
NiPF )1(
第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .1 複 利
若 將 $ 1 , 0 0 0 存 入 銀 行 帳 戶 , 年 利 率 為 8 % , 以 複 利 計 算 , 在 每 期 ( 年 ) 末 都 沒 提 出
賺 得 的 利 息 , 則 繼 續 累 計 三 年 後 有 多 少 錢 ?
解 答 :
已 知 : 現 值 $1,000P , 複 利 期 數 3N 年 , 年 利 率 %8i 。
求 : 未 來 值 F 。
利 用 公 式 ( 2 . 3 ) 求 解 , 年 利 率 8 % , 存 款 3 年 後 得
3$1,000(1 0.08) $1,259.71F
週 期 期 初 金 額 本 期 利 息 期 末 金 額
1 $ 1 , 0 0 0 . 0 0 $ 1 , 0 0 0 . 0 0 ( 0 .0 8 ) $ 1 , 0 8 0 . 0 0
2 1 , 0 8 0 . 0 0 1 , 0 8 0 . 0 0 ( 0 .0 8 ) 1 , 1 6 6 . 4 0
3 1 , 1 6 6 . 4 0 1 , 1 6 6 . 4 0 ( 0 .0 8 ) 1 , 2 5 9 . 7 1
28
第 2章 貨幣與時間的關係
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2.1.4 單利與複利例 題 2 .2 比 較 單 利 與 複 利
西 元 1 6 2 6 年 , D u tc h 西 印 度 公 司 支 付 $ 2 4 元 向 印 度 政 府 買 了 紐 約 曼 哈 頓 島 , 回 顧
一 下 , 如 果 當 時 以 8 % 利 率 將 $ 2 4 存 入 銀 行 , 則 到 西 元 2 0 0 0 年 將 有 多 少 錢 ?
解 答 :
已 知 : 年374,%8,24$ NiP 。
求 : 在 年 利 率 8 % 下 , ( a ) 單 利 情 況 ; ( b ) 複 利 情 況 的 未 來 值 F 。
(a ) 在 8 % 單 利 情 況 : 08.742$)]374)(08.0(1[24$ F
( b) 在 8 % 複 利 情 況 : 896,483,388,979,75$)08.01(24$ 374 F
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第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習( 2 題)
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第 2章 貨幣與時間的關係
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2.2 經濟的等值例 題 2 .3 等 值
假 設 有 兩 種 選 擇 : 在 5 年 後 一 次 收 到 $ 3 , 0 0 0 , 或 現 在 擁 有 P 元 。 利 率 為 8 % , 使 兩
者 無 差 異 的 P 應 為 多 少 ? 當 然 , 5 年 後 一 定 會 支 付 $ 3 , 0 0 0 , 且 現 在 不 需 要 用 到 這 筆 錢 ,
可 將 P 元 以 利 率 8 % 存 入 銀 行 。
討 論 : 我 們 要 求 出 現 值 $ 3 , 0 0 0 以 年 利 率 8 % 5 年 後 的 等 值 , 注 意 , 這 個 問 題 的 假 設 , 是
“ ”要 把 錢 放 入 銀 行 使 利 潤 增 加 , 而 無 差 異 表 示 在 8 % 利 率 下 願 意 做 的 交 易 。
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第 2章 貨幣與時間的關係
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解 答 :
已 知 : 未 來 值 000,3$F , 期 數 5N 年 , 年 利 率 %8i 。
求 : 現 值 P 。
由 公 式 ( 2 . 3 ) 知 ,
NiPF )1(
移 項 得 ,
NiFP )1/(
代 入 已 知 條 件 得 ,
042,2$)08.01/(000,3$ 5 P
這 個 問 題 可 整 理 成 圖 2 . 4 。
33
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
10
第 2章 貨幣與時間的關係
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2.3 利率公式的推導2.3.1 五種現金流量型式
(1) 一次支付(2) 等額系列(3) 等差系列(4) 等比系列(5) 不規則系列
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第 2章 貨幣與時間的關係
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(a) 一次支付
(b) 相同時間間隔的等額支付系列
(c) 以固定遞增或遞減量 G的等差支付系列
(d) 以固定比率遞增或遞減的等比支付系列
(e) 不規則支付系列
年
100$
0 1 2 3 4 5
100$100$ 100$ 100$
年0 1 2 3 4 5
G50$50$
G250$ G350$
G450$
年0 1 2 3 4 5
)1(50$ g50$
2)1(50$ g
3)1(50$ g
4)1(50$ g
年
60$
0 1 2 3 4 5
100$70$
50$
100$
年
100$
0 1 2 3 4 5
圖 2 . 8 五 種 現 金 流 量 型 式 : ( a ) 一 次 支 付 ; ( b ) 等 額 支 付 系 列 ; ( c ) 等 差 支 付
系 列 ; ( d ) 等 比 支 付 系 列 ; ( e ) 不 規 則 支 付 系 列 。
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第 2章 貨幣與時間的關係
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2.3.2 一次支付公式複利因子
P
O
F
N
貼現程序NiFP )1(
複利程序NiPF )1( P
O
F
N
圖 2 . 9 F 與 P 間 的 等 值 關 係
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第 2章 貨幣與時間的關係
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因子的符號也就是“已知 及 N ,求解 F” ,稱為一次支付複
利因子,表示如下:),,/( NiPF iP ,
(1 ) ( / , , )NF P i P F P i N
0
1 2 3 4 5 6 7 8
2000$年
%10i
F
圖 2 . 1 0 投 資 者 觀 點 的 現 金 流 量 圖 ( 例 題 2 . 7 )
42
現在投資 2,000 元,年利率為 10% ,8 年後可拿回多少錢?F = 2000(F/P,10%,8) = 20002.1436 = 4287.18
第 2章 貨幣與時間的關係 查表 (F/P,10%,8)
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第 2章 貨幣與時間的關係
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現值因子一次支付現值因子
),,/()1(
1 NiFPFi
FPN
),,/( NiFP
0
1 2 3 4 5
?P
1000$
年
%12i
43
P = 1000 (P/F,12%,5) = 1000 0.5674 = 567.4
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
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第 2章 貨幣與時間的關係
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2.3.3 不規則支付系列例 題 2 .1 1 把 不 規 則 支 付 流 量 分 解 成 一 次 支 付 系 列 , 以 求 現 值 。
昌 達 科 技 是 個 正 在 成 長 的 機 械 工 廠 , 想 在 未 來 4 年 內 撥 款 投 資 於 客 服 部 門 的 自 動 化 。
公 司 現 在 存 入 一 筆 錢 , 利 率 為 1 0 % , 且 以 下 列 方 式 提 款 運 用 :
第 1 年 : 以 $ 2 5 , 0 0 0 購 買 電 腦 及 資 料 庫 軟 體 給 客 服 部 門 用 。
第 2 年 : 以 $ 3 , 0 0 0 購 買 附 加 硬 體 , 以 容 納 系 統 的 預 期 成 長 。
第 3 年 : 沒 有 花 費 。
第 4 年 : 以 $ 5 , 0 0 0 升 級 軟 體 。
試 問 , 現 在 要 存 入 多 少 錢 , 才 能 滿 足 未 來 4 年 的 支 出 ?
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第 2章 貨幣與時間的關係
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解 答 :
已 知 : 不 規 則 現 金 流 量 圖 如 圖 2 . 1 4 所 示 , 年 利 率 %10i 。
求 : 現 值 P 。
622,28$
)4,%10,/(000,5$)2,%10,/(000,3$)1,%10,/(000,25$
FPFPFPP
1P
000,25$
0
年
1
1 2
2P
3000$
年
0
1 2 3 4
421 PPPP
5000$
000,25$
3000$
年
0
1 2 3 4
4P
5000$
年
圖 2 . 1 4 不 規 則 現 金 流 量 系 列 的 分 解 圖 ( 例 題 2 . 1 1 )
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第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
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第 2章 貨幣與時間的關係
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2.3.4 等額支付系列複利額因子:已知 A, i, N ,求 F 值
或改變式子如下:(2.8)
公式 (2.8) 兩邊乘上 得,(2.9)
2 1(1 ) (1 ) (1 )NF A A i A i A i
AiAiAiAF NN )1()1()1( 21
NiAiAiAFi )1()1()1()1( 2
)1( i
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第 2章 貨幣與時間的關係
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0 1 2 3 1NN
?F
AAAAA
圖 2 . 1 6 A 與 F 的 現 金 流 量 關 係 圖
0 1 2
1A 2A
1N
1NA NA
N
NFFFF 21
F
0 1 2 3
1A
N
1F
0 1 2 3
2A
N
2F
0 1 2 1N
1NA
N
1NF
0 1 2 3
NA
N
NF
圖 2 . 1 7 加 總 個 別 現 金 流 量 的 未 來 值 , 以 獲 得 整 體 現 金 流 量 的 未 來 值
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第 2章 貨幣與時間的關係
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公式 (2.9) 減去公式 (2.8) ,消掉共同項,
求解 F 得,(2.10)
NiAAFiF )1()1(
),,/(1)1(
NiAFAii
AFN
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第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .1 3 均 勻 等 額 系 列 : 已 知 i, A , N, 求 解 F。
假 如 每 年 底 帳 戶 存 入 $ 3 , 0 0 0 , 年 利 率 7 % , 則 1 0 年 後 有 多 少 錢 可 提 領 ? ( 圖 2 . 1 8 )
0 1 2 543 6 107 8 9%7i
3000$A
年F
圖 2 . 1 8 現 金 流 量 圖 ( 例 題 2 . 1 3 )
解 答 :
已 知 : 等 額 年 金 000,3$A , 利 息 期 數 10N 年 , 年 利 率 %7i 。
求 : 未 來 值 F 。
20.449,41$
)8164.13(000,3$
)10,%7,/(000,3$
AFF
51
第 2章 貨幣與時間的關係
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償債基金因子:已知 F, i, N ,求 A 值
資本回收因子 ( 年金因子 ) :已知 P, i, N ,求 A 值
( / , , )(1 ) 1N
iA F F A F i Ni
52
),,/(1)1(
)1(NiPAP
iii
PAN
N
第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .1 6 均 勻 規 則 連 續 付 款 : 已 知 P , i , N, 求 解 A。
拜 貢 是 個 小 型 生 物 科 技 公 司 , 準 備 借 $ 2 5 0 , 0 0 0 購 買 實 驗 設 備 以 發 展 基 因 重 組 技 術 。
這 項 貸 款 的 年 利 率 為 8 %,且 在 6 年 內 等 額 分 期 付 款,求 每 年 應 償 還 的 金 額 為 何 ? ( 圖 2 . 2 2 )
解 答 :
已 知 : 現 值 000,250$P , 年 利 率 %8i , 利 息 期 數 6N 年 。
求 : 年 金 值 A。
000,250$
0
1 2 3 4 5
AAAAA
年
6
A
圖 2 . 2 2 以 拜 貢 的 觀 點 看 貸 款 現 金 流 量 圖 ( 例 題 2 . 1 6 )
075,54$
)2163.0(000,250$
)6,%8,/(000,250$
PAA
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第 2章 貨幣與時間的關係
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現值因子:已知 A, i, N ,求 P 值),,/(
)1(1)1(
NiAPAiii
APN
N
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第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .1 8 均 勻 等 額 連 續 支 付 : 已 知 A , i , N, 求 解 P。
讓 我 們 來 看 一 個 領 取 中 獎 彩 金 的 問 題 , 王 太 太 放 棄 9 年 內 每 年 領 $ 3 2 , 6 3 9, 而 一 次 領
取 $ 1 4 0 , 0 0 0。 若 年 利 率 8 % , 則 她 的 決 定 正 確 嗎 ? 若 否 , 則 彩 金 金 額 為 多 少 , 才 值 得 讓 她
放 棄 分 9 年 領 取 ?
1 2 3 4 5 60
7 8 9
P
639,32$A
圖 2 . 2 4 現 金 流 量 圖 ( 例 題 2 . 1 8 )
解 答 :
已 知 : 年 利 率 8 % , 年 金 值 639,32$A , 利 息 週 期 9N 年 。
求 : 現 值 P 。
查 表 法 :
893,203$
)4269.6(639,32$)9,%8,/(639,32$
APP
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第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
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第 2章 貨幣與時間的關係
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2.3.5 連續等差支付系列
1 2 3 40 1N N
0
G
G2G3
GN )2( GN )1(
年
注意:在嚴格連續等差支付系列的第一個現金流量值為 0
圖 2 . 2 5 嚴 格 連 續 等 差 支 付 系 列 的 現 金 流 量 圖
1 2 3 40 5
1AGA 1
GA 21 GA 31
GA 41
年
圖 2 . 2 6 一 典 型 等 差 系 列 的 現 金 流 量 圖。注 意,第 一 期 末 的 現 金 流 量 不 為 零。
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第 2章 貨幣與時間的關係
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視連續等差支付為連續支付系列的組合
年
(a) 遞增等差系列
0 1 2 3 4 5 6
1A
0 1 2 3 4 5 6
1A GA 1
GA 51
0 1 2 3 4 5 6
GG2
G5
G3G4
年
(b) 遞減等差系列
0 1 2 3 4 5 6
1A
0 1 2 3 4 5
1AGA 1
GA 51
0 1 2 3 4 5 6
GG2
G5
G3G4
6
圖 2 . 2 7 典 型 的 連 續 等 差 支 付 系 列 ,可 視 為 N 期 連 續 均 勻 每 期 1A 支 付 和 遞 增 G 的 連 續 等
差 支 付 系 列 的 組 合 。
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第 2章 貨幣與時間的關係
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現值因子 ─ ------ 連續等差支付系列:已知 G, N, i ,求解 P),,/(
)1(1)1(
2NiGPG
iiiNiGPN
N
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第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .2 0 連 續 等 差 支 付 : 已 知 1 , , ,A G i N, 求 解 P。
某 紡 織 廠 欲 購 買 一 部 使 用 年 限 5 年 的 吊 車 , 工 程 師 估 計 第 1 年 的 維 修 費 為 $ 1 , 0 0 0 ,
此 維 修 費 在 吊 車 壽 命 年 限 內 每 年 增 加 $ 2 5 0 , 假 設 維 修 費 於 每 年 年 終 時 支 付 , 年 利 率
1 2 % , 若 公 司 想 設 立 一 個 帳 戶 以 支 應 未 來 維 修 費 用 , 則 現 在 必 須 存 入 多 少 錢 ?
解 答 :
已 知 : 初 始 基 礎 付 款 000,1$1 A , 固 定 差 額 250$G , 年 利 率 1 2 %, 利 息 週 期 5N 年 。
求 : 現 值 P 。
本 題 要 求 年 利 率 1 2 % 時 , 此 維 修 費 相 當 於 多 少 現 值 ? 現 金 流 量 可 分 為 兩 部 分 ( 如
圖 2 . 2 8 所 示 ) 。
第 一 部 分 是 等 額 連 續 支 付 系 列 )( 1A , 第 二 部 分 是 連 續 等 差 支 付 系 列 )(G 。
204,5$)397.6(250$)6048.3(000,1$
)5,%12,/()5,%12,/(1
21
GPGAPAPPPP
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第 2章 貨幣與時間的關係
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0 1 2 3 4 5
21 PPP
1000$1250$ 1500$
1750$2000$
年
等額連續支付系列
0
1 2 3 4 5
1P
1000$
等差連續支付系列
01 2 3 4 5
2P
250$500$
750$1000$
圖 2 . 2 8 現 金 流 量 圖 ( 例 題 2 . 2 0 )
62
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
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第 2章 貨幣與時間的關係
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等差轉等額連續支付系列因子 : 已知 G, i, N ,求解 A
(2.18)),,/(]1)1[(1)1(
NiGAGiiiNi
GAN
N
1 2 3 40 1N N
GG2
G3
GN )2(
GN )1(
年
1 2 3 40 1N N
A
年
A A A A A
),,/( NiGAGA
嚴格的連續等差支付系列 相當於均勻等額連續支付的系列
圖 2 . 2 9 將 等 差 系 列 轉 成 均 勻 規 則 連 續 支 付 系 列
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第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .2 1 等 差 連 續 支 付 : 已 知 NiGA ,,,1 , 求 解 A。
志 明 及 春 嬌 在 信 用 合 作 社 開 了 兩 個 儲 蓄 帳 戶 , 年 利 率 1 0 % , 志 明 想 在 第 1 年 底 存 入
$ 1, 0 0 0, 之 後 5 年 內 逐 年 增 加 $ 3 0 0 存 款 , 而 春 嬌 則 在 這 6 年 每 年 等 額 存 款 。 春 嬌 每 年 須
存 入 多 少 錢 , 才 能 在 第 6 年 底 與 志 明 有 相 同 的 餘 額 ? ( 圖 2 . 3 0 )
1 2 3 4 5 60
1000$1300$
1600$1900$
2200$2500$
年
等差的存款系列
1 2 3 4 5 60
300$G
300$600$
900$1200$
1500$
等額的存款系列
1 2 3 4 5 60
1000$1 A
志明的存款計畫
63
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
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第 2章 貨幣與時間的關係
39
2.3.6 等比連續支付系列65
1 2 3 4 1N N
1A1(1 )A g
年
遞減等比連續支付系列
0gP
0或
1 2 3 4 1N N
1A
11 )(1 NgA
年
遞增等比連續支付系列
0g
)1(1 gA
P
0
11(1 ) NA g
21(1 )A g2
1(1 )A g
圖 2 . 3 2 以 常 數 百 分 比 g 遞 增 或 遞 減 的 等 比 連 續 支 付 系 列
或
giiNA
gigi
igAP
NN
如果,
如果,
)1/(
)1()1(1
1
1
),,,/( 11 NigAPAP
本小節略過,直接跳至 2.4 小節
第 2章 貨幣與時間的關係
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例 題 2 .2 3 等 比 連 續 支 付 : 已 知 NigA ,,,1 , 求 解 P。
安 迪 公 司 是 個 藥 品 設 備 製 造 商 。 在 機 器 的 螺 管 及 壓 力 開 關 中 要 壓 縮 空 氣 控 制 機 器 運
轉 。 幾 年 來 , 多 次 更 換 製 造 樓 層 的 配 管 , 每 次 有 新 配 管 , 加 入 壓 縮 空 氣 的 管 線 就 更 多 ,
所 以 一 定 要 移 除 老 舊 管 線 ; 儘 管 如 此 , 現 行 空 壓 傳 遞 系 統 還 是 效 率 不 足 且 有 洩 漏 之 虞 。
預 計 壓 縮 機 未 來 有 7 0 % 的 運 轉 效 率 , 每 千 瓦 小 時 的 電 力 成 本 為 $ 0 . 0 5 , 一 小 時 需 要
2 6 0 千 瓦 ( 工 廠 一 年 運 轉 2 5 0 天 , 一 天 2 4 小 時 ) 。 若 此 系 統 繼 續 運 轉 , 則 壓 縮 機 因 洩 漏
問 題 , 未 來 5 年 內 每 年 將 增 加 7 % 的 電 力 成 本 。 ( 5 年 後 須 汰 換 不 合 需 求 的 現 行 系 統 ) 。
若 壓 縮 機 一 年 運 轉 天 數 相 同 , 則 公 司 現 在 決 定 汰 換 老 舊 管 線 , 將 花 費 $ 2 8 , 5 7 0; 而 運
轉 時 間 將 因 減 少 空 壓 損 失 而 縮 短 2 3 % ( 或 一 天 使 用 的 時 間 為 70%(1 0.23) 53.9% ),若 年
利 率 1 2 % , 則 公 司 修 理 它 值 得 嗎 ?
67
第 2章 貨幣與時間的關係
41
解 答 :
已 知 : 電 力 成 本 變 動 百 分 比 %7g , 年 利 率 %12i , 複 利 週 期 數 5N 年 。
求 : 第 1 期 支 付 1A , 現 值 P 。
步 驟 一 : 我 們 必 須 計 算 第 一 年 間 管 路 系 統 的 電 力 消 耗 量 成 本 , 而 第 一 年 電 力 消 耗 量 的 計
算 方 式 如 下 :
%/
/$ /
(70% ) ( 250 / ) (24 / )(260 ) ($0.05 / )
$54, 440 /
電力成本 一天的運轉效率百分比
運轉天數 一年小時 一天消耗千瓦小時 每千瓦小時
天 年 小時 天千瓦小時 千瓦小時年
步 驟 二 : 每 年 的 電 力 成 本 比 前 一 年 成 長 7 % , 未 來 5 年 內 的 電 力 成 本 如 圖 2 . 3 3 所 示 , 年 利
率 1 2 % , 等 比 連 續 支 付 系 列 , 則 相 當 於 整 筆 支 付 的 現 值 計 算 如 下 :
1
5 5
$54,440( / , 7% , 12% , 5)
1 (1 0.07) (1 0.12)$54,4400.12 0.07
$222,283
P P A
舊
68
第 2章 貨幣與時間的關係
42
步 驟 三 : 若 安 迪 公 司 現 在 決 定 汰 換 空 壓 系 統 , 則 第 一 年 將 減 少 2 3 % 電 力 成 本 , 且 未 來 5
年 內 的 電 力 成 本 將 維 持 如 同 第 一 年 , 年 利 率 1 2 % , 相 當 於 整 筆 支 付 的 現 值 如 下 :
109,151$
)6048.3(80.918,41$)5,%12,/)(23.01(440,54$
APP換新
步 驟 四 : 現 在 不 汰 換 老 舊 系 統 , 比 新 系 統 的 淨 成 本 高 出 283,222$(174,71$ )109,151$ 。 由
於 換 成 新 系 統 只 花 費 $ 2 8 , 5 7 0 , 故 值 得 汰 換 老 舊 系 統 。
註 解 : 在 此 例 , 移 除 舊 系 統 的 成 本 已 包 含 在 設 置 新 系 統 內 。 若 被 移 除 的 舊 系 統 有 些 利 用
價 值 ( 殘 值 ) , 則 置 換 將 省 下 更 多 花 費 。
1 2 3 4 50
440,54$ 251,58$328,62$
691,66$360,71$
年
%7g
68
第 2章 貨幣與時間的關係
43
現 金 流 量 型
式 因 子 符 號 公 式 E x c e l 函 數 現 金 流 量 圖
一 次
付 款
系 列
複 利 額 ),,/( NiPF
現 值 ),,/( NiFP
NiPF )1(
NiFP )1(
)0,,,,(FV PNi
)0,,,,(PV FNi
0
F
N
F
複 利 額 ),,/( NiAF
償 債 基 金 ),,/( NiFA
ii
AFN 1)1(
1)1( Ni
iFA
PV( , , ,, 0)i N A
)0,,,,(PMT FPNi
0
A
F
N
A A A A
1N1 2 3
等 額
付 款
系 列 現 值 ),,/( NiAP
資 本 回 收 ),,/( NiPA
N
N
ii
iAP
)1(
1)1(
1)1(
)1(N
N
i
iiPA
PV( , , ,, 0)i N A
PMT( , ,, )i N P
A
N
A A A A
1N1 2 3
等 差 現 值 ),,/( NiGP
轉 換 因 子 ( / , , )A G i N
N
N
ii
iNiGP
)1(
1)1(2
(1 ) 1[(1 ) 1]
N
Ni iNA G
i i
G
N
GN )2( G2
1N1 2 3
P 遞 增
付 款
系 列 等 比 連 續 支 付 現 值
),,,/( 1 NigAP
1
1
1 (1 ) (1 )
( )1
N Ng iA
i gP
NA i gi
如果
1A
N
11 (1 ) NA g
2A
1 2 3
P
3A
70
第 2章 貨幣與時間的關係
44
2.4 非傳統的等值分析2.4.1 複合式現金流量
1 2 3 4 5 60 7 8 9
50$
100$ 100$ 100$
150$ 150$ 150$ 150$
200$
年
72.543$
78.57$)9,%15,/(200$04.49$)8,%15,/(150$39.56$)7,%15,/(150$85.64$)6,%15,/(150$58.74$)5,%15,/(150$18.57$)4,%15,/(100$75.65$)3,%15,/(100$61.75$)2,%15,/(100$48.43$)1,%15,/(50$
FPFPFPFPFPFPFPFPFP
72.543$
圖 2 . 3 5 用 P / F 因 子 計 算 相 當 現 值 ( 方 法 1: 土 法 煉 鋼 法 )
71
第 2章 貨幣與時間的關係
45
1 2 3 4 5 60 7 8 9
50$
100$ 100$ 100$
150$ 150$ 150$ 150$
200$
年
72.543$
第 1 組 第 2 組 第 3 組 第 4 組
72.543$
)9,%15,/(200$85.56$
)4,%15,/()4,%15,/(150$85.244$
)1,%15,/()3,%15,/(100$54.198$
)1,%15,/(50$48.43$
FP
FPAP
FPAP
FP
圖 2 . 3 6 用 P / F 及 P / A 因 子 計 算 不 規 則 支 付 系 列 的 相 當 現 值 ( 方 法 2: 分 組 法 )。
72
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習( 3 題)
46
第 2章 貨幣與時間的關係
47
例 題 2 .2 6 設 置 教 育 基 金
一 對 夫 婦 生 了 一 個 女 兒 , 想 預 先 為 她 存 大 學 學 費 , 在 年 利 率 7 % 下 , 他 們 想 設 置 一
筆 大 學 教 育 基 金 。 假 設 這 個 孩 子 1 8 歲 進 大 學 , 估 計 一 年 需 要 $ 4 0 , 0 0 0 , 且 要 連 續 四 年 支
付 孩 子 上 大 學 的 費 用 , 試 求 直 到 孩 子 進 大 學 時 , 這 對 夫 婦 須 存 的 等 額 年 金 為 多 少 ? ( 假 設
第 一 筆 存 入 在 孩 子 1 歲 生 日 , 最 後 第 一 筆 是 在 孩 子 1 8 歲 生 日 , 而 第 一 次 提 領 是 在 孩 子 開
始 當 新 鮮 人 時 , 也 就 是 孩 子 1 8 歲 生 日 時 )
解 答 :
已 知 : 存 提 金 額 如 圖 2 . 3 8 的 現 金 流 量 , 年 利 率 %7i 。
求 : 未 知 的 每 年 存 款 金 額 X 。
000,40$
年
?X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21
圖 2 . 3 8 設 置 教 育 基 金 ( 例 題 2 . 2 6 )
75
第 2章 貨幣與時間的關係
48
方 法 1 : 建 立 第 0 期 的 等 值 。
步 驟 一 : 求 與 現 在 等 值 的 整 筆 一 次 存 款 :
X
APXP
0591.10
)18,%7,/(
存款
步 驟 二 : 求 與 現 在 等 值 的 整 筆 一 次 提 款 :
892,42$
)17,%7,/)(4,%7,/(000,40$
FPAPP提款
步 驟 三 : 因 為 兩 個 值 相 等 , 所 以 提款存款 PP , 可 求 得 X :
264,4$892,42$0591.10
XX
75
第 2章 貨幣與時間的關係
49
方 法 2 : 建 立 相 當 於 孩 子 1 8 歲 生 日 時 的 等 值 。
步 驟 一 : 求 孩 子 1 8 歲 生 日 時 的 累 積 存 款 金 額 :
X
AFXV
9990.33
)18,%7,/(18
步 驟 二 : 求 相 當 於 孩 子 1 8 歲 生 日 時 的 一 次 提 款 等 值 :
972,144
)3,%7,/(000,40$000,40$18
APV
步 驟 三 : 因 為 兩 個 值 相 等 , 所 以 可 求 得 X :
264,4$
972,144$9990.33
XX
計 算 步 驟 歸 納 於 圖 2 . 3 9 中 。 一 般 而 言 , 第 二 種 方 法 求 解 這 類 問 題 的 等 值 比 較 有 效 。
76
第 2章 貨幣與時間的關係
隨堂練習
50
第 2章 貨幣與時間的關係
51
2.5 總 結 貨 幣 是 有 時 間 價 值 的 , 因 其 可 隨 時 間 的 增 加 而 獲 得 更 多 利 益 。 本 章 介 紹 與 貨 幣 時 間 價 值 相
關 的 名 詞 如 下 :
利 息 : 貨 幣 的 成 本 。 對 借 方 而 言 是 支 付 花 費 , 而 對 貸 方 而 言 是 賺 得 利 潤 , 它 們 都 超 過 原 始
借 或 貸 的 金 額 。
利 率 : 決 定 總 金 額 週 期 性 增 加 利 息 的 百 分 比 。
單 利 : 只 對 原 始 總 金 額 執 行 支 付 利 息 的 利 率 。
複 利 : 所 支 付 的 利 息 , 是 針 對 原 始 總 金 額 加 上 先 前 累 積 的 利 息 。 顯 然 , 複 利 是 真 實 世 界 裡
最 常 用 的 系 統 。
等 值 : 在 個 別 現 金 流 量 和 其 他 價 值 相 同 的 現 金 流 量 型 式 中 。 雖 然 金 額 和 時 間 點 可 能 不 同 ,
但 適 當 的 利 率 卻 可 使 其 等 值 。
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第 2章 貨幣與時間的關係
52
複 利 公 式 可 能 是 本 書 中 最 重 要 者 :
NiPF )1(
其 中 , P 為 現 值 , i 為 利 率 , N 為 複 利 週 期 數 , F 為 產 生 的 未 來 值 。 其 他 所 有 重 要 的 利 率 公
式 , 都 由 此 式 推 導 而 得 。
現 金 流 量 圖 : 現 金 沿 著 時 間 刻 度 線 流 入 或 流 出 的 視 覺 表 示 法 , 對 於 辨 別 五 種 現 金 流 量 的 特
殊 型 式 特 別 有 用 。
五 種 現 金 流 量 型 式 如 下 :
1 . 一 次 支 付 : 現 在 或 未 來 支 付 單 一 的 現 金 流 量 。
2 . 等 額 連 續 支 付 : 以 規 則 的 週 期 , 每 期 連 續 支 付 一 筆 固 定 金 額 的 現 金 流 量 。
3 . 等 差 連 續 支 付 : 以 規 則 的 週 期 , 每 期 連 續 以 等 額 增 或 減 支 付 一 筆 金 額 的 現 金 流 量 。
4 . 等 比 連 續 支 付: 以 規 則 的 週 期 ,每 期 連 續 以 固 定 百 分 比 增 或 減 支 付 一 筆 金 額 的 現 金 流 量 。
5 . 不 規 則 連 續 支 付 : 連 續 支 付 可 能 包 含 上 述 各 種 支 付 型 式 。
現 金 流 量 型 式 之 所 以 非 常 重 要 , 是 因 為 可 推 導 利 率 公 式 及 簡 化 求 解 等 值 問 題 。 表 2 . 3 摘 錄
一 些 重 要 的 利 率 公 式 , 以 推 導 工 程 經 濟 中 的 其 它 分 析 。
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